10 重庆南开中学2023～2024学年下学期定时训练(八)-【智乐星中考】2025年重庆中考数学真题汇编（Word)

10．重庆南开中学2023～2024学年度下学期定时训练(八) (全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟) 参考公式：抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标为(－，)，对称轴为x＝－. 一、选择题：(本大题10个小题，每小题4分，共40分)在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案填在对应的括号里． 1．刘徽在《九章算术注》对负数做了很自然的解释：“两算得失相反，要令正、负以名之”．若收入100元记作＋100元，那么支出30元应记作( ) A．＋30元 B．－30元 C．＋70元 D．－70元 2．下列图形中，是轴对称图形的是( ) 3．若2xmy3与－3xyn是同类项，则m＋n的值为( ) A．2 B．3 C．4 D．5 4．为了了解某区初中毕业年级体育考试情况，从20 000名初三年级学生中随机抽取1 200名学生的体育考试成绩进行分析．下列说法正确的是( ) A．该调查方式是普查 B．每名初三学生的体育考试成绩是个体 C．1 200名学生是总体的一个样本 D．20 000名考生是总体 5．如图，△AOB与△CDB位似，点B为位似中心，△AOB与△CDB的周长之比为1∶2.若点B的坐标为(1，1)，则点D的坐标是( ) 5题图 A．(3，3) B．(4，4) C．(5，5) D．(6，6) 6．估计×(2－)的结果应在( ) A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 7．如图，长为38 cm，宽为x cm的大长方形被分割成7小块．除阴影A，B外，其余5块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短的边长为6 cm，则阴影A的周长比阴影B的周长多( ) 7题图 A．20 cm B．18 cm C．16 cm D．14 cm 8．如图，D是⊙O的弦AB延长线上一点，CD切⊙O于点C.若OB∥CD，AB＝OB＝，则BD的长度为( ) 8题图 A. B.＋1 C．2 D．2 9．如图，在矩形ABCD中，E为边AB上一点，连接DE，点F为对角线AC的中点，连接EF.若DE⊥AC，AB＝2AD.设∠AFE＝α，则∠DAF的度数可以表示为( ) 9题图 A．45°＋α B．45°＋α C．45°－α D．45°－α 10．已知有序整式串：m－n，m，对其进行如下操作： 第1次操作：用第一个整式减去第二个整式得到一个整式，将得到的整式作为新整式串的第一项，即得到新的整式串：－n，m－n，m； 第2次操作：用第一个整式减去第二个整式得到一个整式，将得到的整式作为新整式串的第一项，即得到新的整式串：－m，－n，m－n，m； 依次进行操作．下列说法： ①第3次操作后得到的整式串为－m＋n，－m，－n，m－n，m； ②第11次操作得到的新整式与第22次得到的新整式相等； ③第2 024次操作后得到的整式串各项之和为m－2n. 其中正确的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题：(本大题8个小题，每小题4分，共32分)请将每小题的答案直接填在对应的横线上． 11．2024年3月12日是我国第46个植树节，截至2023年，全国完成新增种植和低产林改造10 180 000亩，将数据10 180 000用科学记数法表示为________． 12．若反比例函数y＝的图象经过点A(4，m)和点B(－4，n)，则m________n．(填“>”“＝”或“<”) 13．有四张大小、形状完全相同的卡片，卡片上分别写有－2，－3，2，3，从这四张卡片随机同时抽取两张，则抽取的两张卡片上的数字之和小于0的概率是________． 14．如图，已知∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝280°，则∠6＝________°. 14题图 15．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝105°，半径OA＝8，将扇形AOB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交OA于点C，则图中阴影部分的面积是________．(结果保留π) 15题图 16题图 16．在▱ABCD中，∠BAD的平分线交边CD于点E，与边AB的垂直平分线相交于点O.若点O恰好为线段AE的中点，且tan∠DAE＝，EC＝2，则BC的长是________． 17．若整数a使关于x的一元一次不等式组有解，同时使得关于y的分式方程1＋＝的解为非负整数，则满足条件的所有a的值之和是________． 18．若一个四位正整数abcd的各个数位上的数字不同，且各个数位上的数字之和为完全平方数，则称这个四位数为“和平数”，那么最大的“和平数”为________；将一个“和平数”M的前两位数字组成的两位数ab记为s，后两位数字组成的两位数cd记为t，规定F(M)＝，G(M)＝，若F(M)，G(M)都是整数，则满足条件的M的最大值和最小值的差为________． 三、解答题：(本大题8个小题，19题8分，20～26题各10分，共78分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形(包括辅助线)，请将解答过程书写在对应的位置上． 19．计算： (1)4x(x－y)－(2x＋y)2； (2)(－1)÷. 20．学习了正方形的对称性后，同学们发现过正方形对称中心O的直线l将正方形分成面积相等的两部分．某小组就“能否在此基础上再作一条直线将正方形的面积四等分”进行了探究．小明的想法是：过点O作直线l的垂线．他的证明思路是：连接OB，OC，通过证明三角形全等将四边形的面积转化成三角形的面积从而使问题得到解决．请根据他的思路完成以下作图与填空： 用直尺和圆规，过点O作直线l的垂线交AD于点H，交BC于点F，连接OB，OC.(只保留作图痕迹) 已知：如图，过正方形ABCD对称中心O作两条互相垂直的直线分别交AB，BC，CD，DA于点E，F，G，H. 求证：S四边形OEAH＝S四边形OFBE＝S四边形OGCF＝S四边形OHDG. 证明：∵O为正方形的对称中心， ∴O为正方形对角线AC，BD的交点， ∴OB＝OC，∠BOC＝90°，∠EBO＝∠FCO＝45°. 20题图 ∵HF⊥EG于点O， ∴①________＝90°. ∴∠EOF－∠BOF＝∠BOC－∠BOF， ∴②____________________． 在△EOB和△FOC中， ∴△EOB≌△FOC(ASA)， ∴③__________________， ∴S四边形OFBE＝S△OEB＋S△OFB＝S△OFC＋S△OFB＝S△OBC＝S正方形ABCD， ∴同理可得S四边形OEAH＝S四边形OGCF＝S四边形OHDG＝S正方形ABCD， ∴S四边形OEAH＝S四边形OFBE＝S四边形OGCF＝S四边形OHDG. 根据题意完成以下命题：过正方形对称中心的两条互相垂直的直线④__________________________． 21．为了解A，B两款饮水机的用户体验情况，小南随机调查了购买A，B两款饮水机的各10名用户，记录下他们的体验评分(单位：分)，并对数据进行整理、描述和分析(体验评分用x表示，共分为三个等级：差评0≤x<4，中评4≤x<9，好评9≤x≤10)，下面给出了部分信息． 购买A款饮水机的10名用户体验评分为2，6，6，7，8，8，9，9，9，10. 购买B款饮水机的10名用户体验评分中“中评”等级包含的所有数据为5，7，7，7，8，8. 购买这两款饮水机的被调查用户体验评分统计表 类别 平均数 众数 中位数 方差 A 7.4 a 8 4.84 B 7.4 7 b 4.24 购买B款饮水机的被调查用户体验评分 21题图 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中的a＝________，b＝________，m＝________； (2)根据以上数据，你认为哪款饮水机用户体验情况更好？请说明理由；(写出一条理由即可) (3)若购买A款饮水机的用户有2 000名，购买B款饮水机的用户有1 500名，估计对A，B两款饮水机好评的用户共有多少名？ 22．如图1，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，BC＝8，AD＝2.动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着折线B→D→A方向运动，到点A处停止；动点Q从点C出发，以同样的速度沿着折线C→D→A方向运动，到点A处停止．令y＝S△ABP＋S△ACQ，运动时间记为x秒，请回答下列问题： (1)请直接写出y关于x的函数表达式并注明自变量x对应的取值范围； (2)请在图2的平面直角坐标系中画出函数y的图象，并根据图象写出一条性质； (3)根据图象直接写出当y≥5时，x的取值范围． 22题图1 　22题图2 23．为丰富市民的生活，某市准备改建文化广场，甲、乙两施工队均参与了改建工程的招标．已知甲队独立完成此工程所需的天数比乙队独立完成所需天数多5天，乙队的施工效率为甲队施工效率的1.5倍． (1)请问乙队独立完成此项工程需要多少天； (2)为缩短工期，该市安排甲、乙两施工队一起完成改建工程．两队同时开工，同时完工，已知甲队每天的工程款比乙队每天的工程款少2 000元，完工后，该市在结算时发现总工费不超过12万元，则乙施工队每天的工程款至多为多少？ 24．如图，考古人员在古墓大门A处探测到一青铜古物O，由于大门A正北方向有间墓室，考古人员无法沿直线AO直接挖掘前往．经勘测，考古人员发现有两条线路可以挖掘前往青铜古物O：线路①A－C－D－O；线路②A－B－O.其中点C在点A的正东方10米处，点O在点C北偏西30° 方向，点D在点C正北方，点O在点D西北方向20米处，点B在点A正西方向，点O在点B北偏东30°方向．(参考数据：≈1.41，≈2.45) (1)求CD的长度；(结果保留根号) (2)受周围环境的影响，考古人员在线路①挖掘的平均速度为3米/小时，在线路②挖掘的平均速度为3.2米/小时，请通过计算说明选择哪条线路能更快挖掘到古物O. 24题图 25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋(a≠0)与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，连接AC，BC. (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线BC上方抛物线上一动点，过点P作PM∥x轴交BC于点M，过点P作PN∥AC交BC于点N，求PM＋PN的最大值及此时点P的坐标； (3)把原抛物线y＝ax2＋bx＋(a≠0)沿射线AC方向平移8个单位长度，E为平移后新抛物线对称轴上的一点，连接BE，CE，将△BCE沿直线BC翻折，使得点E的对应点Q落在坐标轴上．写出所有符合条件的点E的坐标，并写出求解点E的坐标的其中一种情况的过程． 　25题图 25题备用图 26．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，过点A作AO⊥BC于点O，D是BC边上一点，连接AD. (1)如图1，若∠BAD＝15°，AD＝2，求BD的长； (2)如图2，将线段AD绕着点A逆时针旋转60°到AE，点F为线段CD的中点，连接EF，DE.求证：AC＝BD＋2EF； (3)如图3，在(2)的条件下，连接OE，当OE最小时，将△AOE沿着AE翻折得到△AO′E，连接O′C，请直接写出的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 10．重庆南开中学2023～2024学年度下学期 定时训练(八) 1 2 3 4 5 B D C B A 6 7 8 9 10 B A D B C 1．B　【考点】正数与负数． 【解析】收入100元记作＋100元，那么支出30元应记作－30元． 2．D　【考点】轴对称图形的判别． 【解析】A．不是轴对称图形，故该选项错误； B．不是轴对称图形，故该选项错误； C．不是轴对称图形，故该选项错误； D．是轴对称图形，故该选项正确． 3．C　【考点】同类项的定义． 【解析】∵2xmy3与－3xyn是同类项， ∴m＝1，n＝3，∴m＋n＝1＋3＝4. 4．B　【考点】抽样调查与全面调查． 【解析】A．从20 000名初三年级学生中随机抽取 1 200 名学生的体育考试成绩进行分析，此调查方式为抽样调查，故本选项不符合题意； B．每名初三学生的体育考试成绩是个体，故本选项符合题意； C．样本是1 200名学生的体育考试成绩，故本选项不符合题意； D．20 000名考生的体育考试成绩是总体，故本选项不符合题意． 5．A　【考点】位似变换、相似三角形的性质． 【解析】∵△AOB与△CDB位似，点B为位似中心，△AOB与△CDB的周长之比为1∶2， ∴△AOB∽△CDB，相似比为1∶2，即＝. 又∵B(1，1)，∴OB＝＝， ∴BD＝2OB＝2， ∴OD＝OB＋BD＝3，∴OC＝CD＝3，∴D(3，3)． 6．B　【考点】二次根式的估值、二次根式的运算． 【解析】原式＝6－6. ∵6＝，＜＜，∴8<6＜9， ∴2＜6－6＜3，∴×(2－)的结果应在2和3之间． 7．A　【考点】列代数式、整式加减法的应用． 【解析】C阴影A＝2×(38－6×3)＋2(x－12)＝16＋2x(cm)， C阴影B＝2×6×3＋2[x－(38－3×6)]＝2x－4(cm)， ∴16＋2x－(2x－4)＝20 (cm)， ∴阴影A的周长比阴影B的周长多20 cm. 8．D　【考点】切线的性质． 【解析】如图，连接OC，过点B作BE⊥CD于点E. ∵AB＝OB＝，OA＝OB， ∴OA＝OB＝AB＝， ∴△OAB是等边三角形， ∴∠OBA＝60°. ∵OB∥CD，∴∠D＝∠OBA＝60°. ∵CD切⊙O于点C，∴∠OCD＝90°. ∵BE⊥CD，OB∥CD，∴BE＝OC＝. 在Rt△BED中，BD＝＝2. 9．B　【考点】矩形的性质、三角形的中位线定理． 【解析】如图，取AB的中点G，连接FG， ∴FG为△ACB的中位线，∴FG＝CB，FG∥BC. ∵AB＝2AD，∴设AD＝BC＝2x，则AB＝DC＝4x. ∵DE⊥AC， ∴∠1＋∠CDE＝∠2＋∠CDE＝90°，∴∠1＝∠2， ∴tan∠1＝tan∠2，∴＝，∴＝， ∴AE＝x，∴EG＝AG－AE＝2x－x＝x. ∵FG＝CB，∴FG＝x，∴FG＝EG. 又∵FG∥CB，∠B＝90°， ∴∠FGE＝90°，∴△FGE为等腰直角三角形， ∴∠FEB＝45°. ∵∠FEB＝α＋∠EAF，∴∠EAF＝45°－α， ∴∠DAF＝90°－∠EAF＝90°－(45°－α)＝45°＋α. 10．C　【考点】整式的加减． 【解析】由题意可得第1次操作后得到整式串－n，m－n，m，各项之和为2m－2n； 第2次操作后得到整式串－m，－n，m－n，m，各项之和为m－2n； 第3次操作后得到整式串－m＋n，－m，－n，m－n，m，各项之和为－n；故说法①正确； 第4次操作后得到整式串n，－m＋n，－m，－n，m－n，m，各项之和为0； 第5次操作后得到整式串m，n，－m＋n，－m，－n，m－n，m，各项之和为m； 第6次操作后得到整式串m－n，m，n，－m＋n，－m，－n，m－n，m，各项之和为2m－n； 第7次操作后得到整式串－n，m－n，m，n，－m＋n，－m，－n，m－n，m，各项之和为2m－2n； ... 所以，各项之和以及各项的首项都以6次操作为一个周期依次循环． ∵2 024÷6＝337……2， ∴第2 024次操作后的整式串各项之和与第2次操作后的整式串各项之和相同，为m－2n，故说法③正确； ∵11÷6＝1……5， ∴第11次操作后得到的新整式与第5次操作后得到的新整式相等都是m. ∵22÷6＝3……4， ∴第22次操作后得到的新整式与第4次操作后得到的新整式相等，都是0，故第11次操作后得到的新整式与第22次操作后得到的新整式不相等，故说法②错误． 11．1.018×107　【考点】用科学记数法表示较大的数． 【解析】10 180 000＝1.018×107. 12．>　【考点】反比例函数的性质． 【解析】∵反比例函数y＝的图象经过点A(4，m)和点B(－4，n)， ∴m＝＝2，n＝＝－2.∵2>－2，∴m>n. 13.　【考点】用列表法或树状图法求概率． 【解析】列表如下. －2 －3 2 3 －2 －5 0 1 －3 －5 －1 0 2 0 －1 5 3 1 0 5 由上表可知，共有12种等可能的结果，其中数字之和小于0的结果有4种， ∴抽取的两张卡片上的数字之和小于0的概率为＝. 14．80　【考点】多边形的外角和． 【解析】由多边形的外角和等于360°得∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝360°. ∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝280°， ∴∠6＝360°－280°＝80°. 15．8π－16　【考点】不规则阴影部分的面积． 【解析】如图，连接OD，交BC于点E. ∵沿BC对折点O和D重合，OD＝8， ∴BC⊥OD，DE＝OE＝4，∠DBE＝∠OBE，OB＝BD＝8， ∴∠BEO＝90°，△DOB是等边三角形， ∴∠DOB＝∠DBO＝60°.∵∠AOB＝105°， ∴∠COD＝∠AOB－∠DOB＝45°. ∵∠OEC＝90°，∴CE＝OE＝4， ∴S阴影＝S扇形AOD－S△COD＝－×8×4＝8π－16. 16.　【考点】平行四边形的判定与性质． 【解析】如图，连接BE. ∵四边形ABCD是平行四边形，CE＝2，∴CD∥AB， ∴∠DEA＝∠BAE. ∵∠BAD的平分线交边CD于点E， ∴∠DAE＝∠BAE，∴∠DEA＝∠DAE，∴ED＝AD＝BC， ∴AB＝CD＝ED＋2＝BC＋2. ∵FO垂直平分AB，点O是线段AE的中点， ∴∠AFO＝90°，AF＝BF，AO＝EO，∴BE∥FO， ∴∠BEC＝∠ABE＝∠AFO＝90°， ∴＝tan∠BAE＝tan∠DAE＝， ∴BE＝AB＝(BC＋2)＝BC＋. ∵BE2＋CE2＝BC2，∴(BC＋)2＋22＝BC2， 整理得5BC2－16BC－52＝0， 解得BC＝或BC＝－2(不符合题意，舍去)， ∴BC的长是. 17．－1　【考点】分式方程的解、解一元一次不等式组． 【解析】 解不等式①得x≥－2，解不等式②得x≤1－a. ∵关于x的一元一次不等式组有解， ∴1－a≥－2，解得a≤3. 解分式方程1＋＝得y＝. ∵y是非负整数，且y≠2， ∴整数a可取的值为－3，－1，3， ∴满足条件的所有a的值之和为－3－1＋3＝－1. 18．9 871　4 761　【考点】新定义运算． 【解析】①abcd为最大的“和平数”，且1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9，0≤d≤9，但各个数位上的数字不同，而各个数位上的数字之和为完全平方数， ∴最大的完全平方数为25， ∴最大的“和平数”9bcd，当b＝8，c＝7时， d＝25－9－8－7＝1， ∴最大的“和平数”为9 871； ②s＝10a＋b，t＝10c＋d，则F(M)＝＝， G(M)＝＝， ∵F(M)，G(M)都是整数， 设＝k1，＝k2， ∴k1，k2为正整数， 则10(a＋c)＋b＋d＝9k1，10(a－c)＋b－d＝3k2， 两式相加得20a＋2b＝18a＋2(a＋b)＝9k1＋3k2＝3(3k1＋k2)， 两式相减得20c＋2d＝18c＋2(c＋d)＝9k1－3k2＝3(3k1－k2)， ∴a＋b，c＋d都能被3整除，∴a＋b＋c＋d能被3整除． ∵1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9，0≤d≤9， ∴4<a＋b＋c＋d<36， ∴a＋b＋c＋d＝9或16或25，且a＋b＋c＋d能被3整除， ∴a＋b＋c＋d＝9. 又∵a＋b，c＋d都能被3整除， ∴a＋b＝6，c＋d＝3时，M最大，a＋b＝3，c＋d＝6时，M最小， ∴Mmax＝6 021，Mmin＝1 260，∴Mmax－Mmin＝4 761. 19．【考点】整式的运算、分式的化简． 解：(1)原式＝4x2－4xy－(4x2＋4xy＋y2) ＝4x2－4xy－4x2－4xy－y2 ＝－8xy－y2 .4分 (2)原式＝· ＝·＝.8分 20．【考点】正方形的性质、全等三角形的性质与判定、尺规作图． 解：作图如下． 4分 ①∠EOF；②∠EOB＝∠FOC；③S△OEB＝S△OFC ； ④将正方形的面积四等分.10分 21．【考点】扇形统计图、数据分析、用样本估计总体． 解：(1)9　7.5　30 3分 (2)A款饮水机用户体验更好． A，B两款饮水机和用户体验评分的平均数相等，均为7.4.A款饮水机用户体验评分的众数9大于B款饮水机用户体验评分的众数7.5分 (3)2 000×＋1 500×30%＝1 250(名)． 答：估计对A，B两款饮水机好评的用户共有1 250名． 10分 22．【考点】动态几何题． 解：(1)y＝4分 (2)如图所示． 6分 在函数自变量取值范围内有最大值，当x＝4时，y取得最大值8.8分 (3)≤x≤.10分 23．【考点】分式方程的实际应用、一元一次不等式的实际应用． 解：(1)设乙队独立完成此项工程需要x天，则甲队需要(x＋5)天． 由题意得×＝，2分 解得x＝10. 经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意． 答：乙队独立完成此项工程需要10天.5分 (2)设乙施工队每天的工程款为y元，则甲队为每天(y－2 000)元． 由(1)得甲队单独完成此工程需10＋5＝15(天)， 由题意得(y＋y－2 000)×≤120 000，8分 解得y≤11 000， ∴乙施工队每天的工程款至多为11 000元． 10分 24．【考点】解直角三角形的实际应用． 解：(1)如图，过点O作OE⊥CD交CD延长线于点E.1分 由题意得AC＝10米，OD＝20米，∠OCD＝30°，∠ODE＝45°. 在Rt△ODE中，EO＝ED＝OD·sin 45°＝10米． 在Rt△COE中，∠OCD＝30°， ∴CE＝＝10米， ∴CD＝CE－DE＝(10－10)米． 答：CD的长度为(10－10)米.5分 (2)如图，过点O作OF⊥BC于点F. ∵CE⊥BC，BH⊥BC，∠OCD＝∠OBH＝30°， ∴∠OBC＝∠OCB＝90°－30°＝60°， ∴OB＝OC. ∵OF⊥BC，∴FB＝FC＝OE＝10米， ∴AB＝(20－10)米． 在Rt△OBF中，OB＝＝20米， ∴线路②路程为AB＋BO＝20－10＋20＝40－10≈46.4米， ∴t2＝＝14.5(小时).8分 线路①路程为10＋10－10＋20＝(30＋10－10)≈40.4(米)， ∴t1＝≈13.5(小时)， ∴t1<t2，∴线路①能更快挖掘到古物O.10分 25．【考点】二次函数综合． 解：(1)将点A(－1，0)，B(3，0)分别代入y＝ax2＋bx＋(a≠0)得 解得 ∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋.2分 (2)将x＝0代入y＝－x2＋x＋中得y＝， ∴C(0，)，∴OC＝. 设直线BC的解析式为y＝kx＋b′， ∴∴ ∴直线BC的解析式为y＝－x＋.4分 ∵B(3，0)，∴OB＝3， ∴tan∠OBC＝＝，∴∠OBC＝30°，∴∠OCB＝60°. 同理可得∠OCA＝30°，∴∠ACB＝90°. ∵PM∥AB，PN⊥AC， ∴∠PMN＝∠OBC＝30°，∠PNM＝∠ACB＝90°， ∴PN＝PM，∴PM＋PN＝PM. 设P(m，－m2＋m＋)，则M(m2－2m，－m2＋m＋)， ∴PM＝m－m2＋2m＝－m2＋3m， ∴PM＋PN＝(－m2＋3m)＝－(m－)2＋， ∴当m＝时，PM＋PN有最大值，最大值为， ∴此时点P的坐标为(，).6分 (3)点E的坐标为(5，)或(5，－2).8分 由(2)得∠OCA＝30°， ∴把原抛物线y＝－x2＋x＋沿射线AC方向平移8个单位长度，相当于把抛物线y＝－x2＋x＋向右移动4个单位长度，向上移动4个单位长度． ∵原抛物线对称轴为直线x＝1， ∴平移后的抛物线的对称轴为直线x＝5. 如图，当点E在x轴上方且点Q在y轴上时，设直线BC与直线x＝5交于点H. 在y＝－x＋中，当x＝5时， y＝－， ∴H(5，－)． 由(2)得∠OCB＝60°. ∵EH∥OC，∴∠EHC＝∠OCB＝60°. 由翻折的性质可得∠ECH＝∠QCH＝60°， ∴△CEH是等边三角形， ∴点C在线段EH的垂直平分线上， ∴＝，∴yE＝，∴E(5，)； 如图，当点E在x轴下方，且点Q恰好在x轴上时，设直线x＝5于x轴交于点H. 由翻折的性质可得EQ⊥BC，BQ＝BE. 由(2)得∠ACB＝90°，即AC⊥BC， ∴AC∥EQ， ∴直线AC与y轴所夹的锐角和直线EQ与直线x＝5所夹的锐角相同， ∴∠HEQ＝30°，∴∠BQE＝60°， ∴△BQE是等边三角形， ∴HE＝BH＝2，∴E(5，－2)． 综上所述，点E的坐标为(5，)或(5，－2)． 10分 (过程任选其一即可) 26．【考点】三角形的综合． (1)解：∵AB＝AC，AO⊥BC， ∴∠BAO＝∠CAO，BO＝CO. 又∵∠BAC＝120°， ∴∠BAO＝∠BAC＝60°，∠B＝∠C＝(180°－∠BAC)＝×(180°－120°)＝30°. ∵∠BAD＝15°， ∴∠DAO＝∠BAO－∠BAD＝60°－15°＝45°. ∵在Rt△ADO中，∠DAO＝45°， ∴∠ADO＝90°－∠DAO＝45°， ∴DO＝AO. 又∵AD＝2，DO2＋AO2＝AD2， ∴DO＝AO＝2. ∵在Rt△ABO中，∠B＝30°，AO＝2，∴tan B＝， 即tan 30°＝＝， ∴BO＝2，∴BD＝BO－DO＝2－2.3分 (2)证明：取AB的中点K，连接DK，过点D作DH⊥AB，连接OE. ∵AB＝AC，∠BAC＝120°， AO⊥BC， ∴∠BAO＝∠BAC＝60°， BO＝CO. 又∵∠DAE＝60°， ∴∠BAO－∠DAO＝∠DAE－∠DAO，即∠BAD＝∠OAE. 在Rt△BAO中，∠B＝30°，∴AO＝AB＝AK＝BK. 在△AKD和△AOE中， ∴△AKD≌△AOE(SAS)， ∴DK＝EO，∠AKD＝∠AOE. ∵点F是CD的中点，∴DF＝CF， ∴DO＋OF＝CO－OF. 又∵BO＝CO，∴DO＋OF＝BO－OF， ∴2OF＝BO－DO＝BD. 在Rt△BDH中，∠B＝30°， ∴DH＝BD，cos B＝＝， 即BD＝2DH，BH＝BD， ∴OF＝DH. ∵∠AKD是△HDK的外角， ∴∠AKD＝∠KHD＋∠HDK＝90°＋∠HDK. 又∵∠AOE＝∠AOF＋∠FOE＝90°＋∠FOE， ∴∠HDK＝∠FOE. 在△DHK和△OFE中， ∴△DHK≌△OFE(SAS)，∴HK＝FE. ∵BK＝BH＋HK，BH＝BD，HK＝FE，BK＝AB＝AC， ∴BK＝BD＋EF， ∴AC＝BD＋EF， ∴AC＝BD＋2EF.7分 (3)解：10分 提示：如图，延长AO′，交CO于点M，过点C作AO′的垂线CN，垂足为N，作AD的垂直平分线交AB于点F，连接DF. 由(2)可知△AKD≌△AOE，OE＝DK. 当KD⊥BC时，KD最短， 不妨设∠BAD＝θ， 则∠OAE＝∠O′AE＝θ，∠OAM＝2θ. ∵点F在AD的垂直平分线上， ∴FD＝FA，∴∠FDA＝∠FAD＝θ，∴∠HFD＝2θ， 不妨设AO＝2，由∠B＝30°，可知AB＝4，BO＝2. ∵点K是AB的中点， ∴BK＝AK＝2. 在Rt△BKD中，∠B＝30°，BK＝2，∴DK＝1，BD＝. 在Rt△BDH中，∠B＝30°，BD＝， ∴DH＝，BH＝， ∴HK＝BK－BH＝2－＝， AH＝AB－BH＝4－＝. 设AF为x，则DF为x， 在Rt△DHF中，HD＝，HF＝AH－AF＝－x，DF＝x， ∴()2＋(－x)2＝x2，∴x＝， ∴HF＝－＝， ∴tan∠HFD＝＝＝， cos∠HFD＝＝＝，即tan 2θ＝，cos 2θ＝. 在Rt△AOM中，∠OAM＝2θ， ∴tan∠OAM＝＝＝，∴OM＝. 又∵CO＝BO＝2， ∴CM＝CO－OM＝2－＝. ∵在△AOM和△CNM中，∠AOC＝∠CNM＝90°，∠AMO＝∠CMN， ∴∠OAM＝∠NCM＝2θ，∴cos∠NCM＝＝cos 2θ＝， ∴＝，∴CN＝. ∵△AKD≌△AOE，△AOE≌△AO′E， ∴S△ADK＝S△AOE＝＝＝， S△AO′C＝＝＝， ∴＝＝. 【错题反思】 难度系数 对应题号 命中注定送给你 T1，T2，T3，T4，T5，T6，T7，T11，T12，T13，T19，T20 再接再厉鼓舞你 T8，T14，T15，T21，T22 伤筋动骨磨炼你 T9，T16，T17，T23，T24 学霸登顶恭喜你 T10，T18，T25，T26 核对完答案后，将错题做重点反思．对应的考点如果还有不明白的地方，可回到教材或复习资料中再深入学习一遍． 学科网（北京）股份有限公司 $$