4 重庆市2023年初中学业水平暨高中招生考试(B卷)-【智乐星中考】2025年重庆中考数学真题汇编（Word)

4．重庆市2023年初中学业水平暨高中招生考试(B卷) (全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟) 参考公式：抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标为(－，)，对称轴为x＝－. 一、选择题：(本大题10个小题，每小题4分，共40分)在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案填在对应的括号里． 1．4的相反数是( ) A. B．－ C．－4 D．4 2．四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面看到的视图是( ) 3．如图，直线a，b被直线c所截．若a∥b，∠1＝63°，则∠2的度数为　( ) 3题图 A．27° B．53° C．63° D．117° 4．如图，已知△ABC∽△EDC，AC∶EC＝2∶3.若AB的长度为6，则DE的长度为( ) 4题图 A．4 B．9 C．12 D．13.5 5．反比例函数y＝ 的图象一定经过的点是( ) A．(－3，2) B．(2，－3) C．(－2，－4) D．(2，3) 6．用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆圈，第②个图案中有5个圆圈，第③个图案中有8个圆圈，第④个图案中有11个圆圈，…按此规律排列下去，则第⑦个图案中圆圈的个数为( ) 6题图 A．14 B．20 C．23 D．26 7．估计×(－)的值应在( ) A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 8．如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，连接AC.若∠ACD＝50°，则∠BAC的度数为( ) 8题图 A．30° B．40° C．50° D．60° 9．如图，在正方形ABCD中，点O为对角线AC的中点，E为正方形内一点，连接BE，BE＝BA，连接CE并延长，与∠ABE的平分线交于点F.连接OF.若AB＝2，则OF的长度为( ) 9题图 A．2 B. C．1 D. 10．在多项式x－y－z－m－n(其中x>y>z>m>n)中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如：x－y－|z－m|－n＝x－y－z＋m－n，|x－y|－z－|m－n|＝x－y－z－m＋n，… 下列说法： ①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等； ②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0； ③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果． 其中正确的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题：(本大题8个小题，每小题4分，共32分)请将每小题的答案直接填在对应的横线上． 11．计算：|－5|＋(2－)0＝________． 12．有四张完全一样正面分别写有汉字“清”“风”“朗”“月”的卡片，将其背面朝上并洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片正面上的汉字后放回，洗匀后再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上的汉字相同的概率是________． 13．若七边形的内角中有一个角为100°，则其余六个内角之和为________． 14．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线．若AB＝5，BC＝6，则AD的长度为________． 14题图 15．为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了301个充电桩，第三个月新建了500个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x，根据题意，请列出方程______________． 16．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点E为BC的中点，连接AE，DE，以点E为圆心，EB长为半径画弧，分别与AE，DE交于点M，N，则图中阴影部分的面积为________．(结果保留π) 16题图 17．若关于x的不等式组的解集为x<－2，且关于y的分式方程＋＝2的解为正数，则所有满足条件的整数a的值之和为________． 18．对于一个四位自然数M，若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称M为“天真数”，如四位数7 311.∵7－1＝6，3－1＝2，∴7 311是“天真数”；四位数8 421，∵8－1≠6，∴8 421不是“天真数”，则最小的“天真数”为________；一个“天真数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记P(M)＝3(a＋b)＋c＋d，Q(M)＝a－5.若能被10整除，则满足条件的M的最大值为________． 三、解答题：(本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形(包括辅助线)，请将解答过程书写在对应的位置上． 19．计算： (1)x(x＋6)＋(x－3)2； (2)(3＋)÷. 20．在学习了平行四边形的相关知识后，小虹进行了拓展性研究．她发现，如果作平行四边形一条对角线的垂直平分线，那么这条垂直平分线在该四边形内部的线段被这条对角线平分．其解决问题的思路为通过证明对应线段所在两个三角形全等即可得出结论． 请根据她的思路完成以下作图和填空： 用直尺和圆规作平行四边形ABCD对角线AC的垂直平分线，交DC于点E，交AB于点F，垂足为O.(只保留作图痕迹) 如图，四边形ABCD是平行四边形，AC是对角线，EF垂直平分AC，垂足为O. 20题图 求证：EO＝FO. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC∥AB， ∴∠ECO＝①________． ∵EF垂直平分AC， ∴②________． 又∵∠EOC＝③________， ∴△COE≌△AOF(ASA)， ∴EO＝FO. 再进一步研究发现，过平行四边形对角线中点的所有与该四边形一组对边相交所得的线段均具备此特征．请你依照题目中的相关表述完成下面命题的填空： 过平行四边形对角线中点的直线④________． 21．某洗车公司安装了A，B两款自动洗车设备，工作人员从消费者对A，B两款设备的满意度评分中各随机抽取20份，并对数据进行整理、描述和分析(评分分数用x表示，分为四个等级，不满意x<70，比较满意70≤x<80，满意80≤x<90，非常满意x≥90)，下面给出了部分信息： 抽取的对A款设备的评分数据中“满意”包含的所有数据： 83，85，85，87，87，89； 抽取的对B款设备的评分数据： 68，69，76，78，81，84，85，86，87，87，87，89，95，97，98，98，98，98，99，100. 21题图 抽取的对A，B款设备的评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 “非常满意”所占百分比 A 88 m 96 45% B 88 87 n 40% 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：a＝________，m＝________，n＝________； (2)5月份，有600名消费者对A款自动洗车设备进行评分，估计其中对A款自动洗车设备“比较满意”的人数； (3)根据以上数据，你认为哪一款自动洗车设备更受消费者欢迎？请说明理由(写出一条理由即可)． 22．如图，△ABC是边长为4的等边三角形，动点E，F均以每秒1个单位长度的速度同时从点A出发，点E沿折线A→B→C方向运动，点F沿折线A→C→B方向运动，当两点相遇时停止运动．设运动的时间为t秒，点E，F的距离为y. (1)请直接写出y关于t的函数关系式并注明自变量t的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，直接写出点E，F相距3个单位长度时t的值． 22题图 23．某粮食生产基地为了落实在适宜地区开展双季稻中间季节再种一季油菜的号召，积极扩大粮食生产规模，计划用基地的甲、乙两区农田进行油菜试种．甲区的农田比乙区的农田多10 000亩，甲区农田的80%和乙区全部农田均适宜试种，且两区适宜试种农田的面积刚好相同． (1)求甲、乙两区各有农田多少亩； (2)在甲、乙两区适宜试种的农田全部种上油菜后，为加强油菜的虫害治理，基地派出一批性能相同的无人机，对试种农田喷洒除虫药，由于两区地势差别，派往乙区的无人机架次是甲区的1.2倍(每架次无人机喷洒时间相同)，喷洒任务完成后，发现派往甲区的每架次无人机比乙区的平均多喷洒 亩，求派往甲区每架次无人机平均喷洒多少亩？ 24．人工海产养殖合作社安排甲、乙两组人员分别前往海面A，B养殖场捕捞海产品，经测量，A在灯塔C的南偏西60°方向，B在灯塔C的南偏东45°方向，且在A的正东方向，AC＝3 600 米． (1)求B养殖场与灯塔C的距离；(结果精确到个位) (2)甲组完成捕捞后，乙组还未完成捕捞，甲组决定前往B处协助捕捞，若甲组航行的平均速度为600米每分钟，请计算说明甲组能否在9分钟内到达B处？ (参考数据：≈1.414，≈1.732) 24题图 25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中B(3，0)，C(0，－3)． (1)求该抛物线的表达式； (2)点P是直线AC下方抛物线上一动点，过点P作PD⊥AC于点D，求PD的最大值及此时点P的坐标； (3)在(2)的条件下，将该抛物线向右平移5个单位长度，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，Q为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以QF为腰的△QEF是等腰三角形的点Q的坐标，并把求其中一个点Q的坐标的过程写出来． 26．如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC于点D，点E为线段AD上一动点(不与点A，D重合)，连接BE，CE，将CE绕点C顺时针旋转60°得到线段CF，连接AF. (1)如图1，求证：∠CBE＝∠CAF； (2)如图2，连接BF交AC于点G，连接DG，EF，EF与DG所在直线交于点H，求证：EH＝FH； (3)如图3，连接BF交AC于点G，连接DG，EG，将△AEG沿AG所在直线翻折至△ABC所在平面内，得到△APG，将△DEG沿DG所在直线翻折至△ABC所在平面内，得到△DQG，连接PQ，QF.若AB＝4，直接写出PQ＋QF的最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4．重庆市2023年初中学业水平暨高中 招生考试(B卷) 1 2 3 4 5 C A C B D 6 7 8 9 10 B A B D C 1．C　【考点】相反数的概念． 【解析】4的相反数为－4. 2．A　【考点】三视图的判别． 【解析】由题图可知，这个几何体的主视图有两行，第二行有三个正方形，第一行最右侧有一个正方形． 3．C　【考点】平行线的性质． 【解析】∵a∥b， ∴∠1＝∠2＝63°. 4．B　【考点】相似三角形的性质． 【解析】∵△ABC∽△EDC，AB＝6，AC∶EC＝2∶3， ∴＝＝，∴DE＝9. 5．D　【考点】反比例函数图象上点的坐标特征． 【解析】由反比例函数的表达式可知，只有D选项在反比例函数图象上． 6．B　【考点】图形规律的探索． 【解析】第①个图案中有2个圆圈， 第②个图案中有2＋3×1＝5个圆圈， 第③个图案中有2＋3×2＝8个圆圈， 第④个图案中有2＋3×3＝11个圆圈， … 则第n个图案中有2＋3(n－1)个圆圈， ∴第⑦个图案中有2＋3×6＝20个圆圈． 7．A　【考点】估计无理数的大小． 【解析】原式＝－1. ∵25<30<36，∴5<<6，∴4<－1<5. 8．B　【考点】切线的性质． 【解析】如图，连接OC. ∵直线CD与⊙O相切，∴∠OCD＝90°. ∵∠ACD＝50°， ∴∠OCA＝90°－50°＝40°. ∵OC＝OA， ∴∠BAC＝∠OCA＝40°. 9．D　【考点】全等三角形的判定与性质、正方形的性质． 【解析】如图，连接AF. ∵BF是∠ABE的平分线， ∴∠ABF＝∠EBF. ∵BE＝BA，BF＝BF， ∴△ABF≌△EBF(SAS)， ∴∠AFB＝∠EFB. 设∠ABF＝∠EBF＝α. ∵∠ABC＝90°，∴∠EBC＝90°－2α. ∵BC＝BA＝BE， ∴∠BEC＝∠BCE＝45°＋α，∴∠BFE＝45°， ∴∠AFC＝∠AFB＋∠EFB＝90°. ∵AB＝BC＝2，∴AC＝＝2. ∵点O是对角线AC的中点，∴OF＝AC＝. 10．C　【考点】新定义、代数式与绝对值的运算． 【解析】①∵x＞y＞z＞m＞n，∴|x－y|－z－m－n＝x－y－z－m－n，∴存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等，故①正确； ②∵x＞y＞z＞m＞n，x－y－z－m－n的相反数为－x＋y＋z＋m＋n，∴不论怎么加绝对值符号都得不到这个式子，∴不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0，故②正确； ③第1种结果：|x－y|－z－m－n＝x－y－z－m－n； 第2种结果：x－|y－z|－m－n＝x－y＋z－m－n； 第3种结果：x－y－|z－m|－n＝|x－y|－|z－m|－n＝x－y－z＋m－n； 第4种结果：x－y－z－|m－n|＝|x－y|－z－|m－n|＝x－y－z－m＋n； 第5种结果：x－|y－z|－|m－n|＝x－y＋z－m＋n， ∴所有的“绝对操作”共有5种不同运算结果，故③错误． 11．6　【考点】实数的运算． 【解析】原式＝5＋1＝6. 12.　【考点】用列表法或画树状图法求概率． 【解析】列表如下. 清 风 朗 月 清 (清，清) (清，风) (清，朗) (清，月) 风 (风，清) (风，风) (风，朗) (风，月) 朗 (朗，清) (朗，风) (朗，朗) (朗，月) 月 (月，清) (月，风) (月，朗) (月，月) 共有16种等可能的结果，抽取的两张卡片上的汉字相同的结果有4种， ∴抽取的两张卡片上的汉字相同的概率为＝. 13．800°　【考点】多边形的内角和． 【解析】七边形的内角和为(7－2)×180°＝900°， ∴其余六个内角之和为900°－100°＝800°. 14．4　【考点】等腰三角形的性质、勾股定理． 【解析】∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线， ∴BD＝CD＝3，AD⊥BC. 在Rt△ABD中，AB＝5，BD＝3， ∴AD＝＝＝4. 15．301(1＋x)2＝500　【考点】一元二次方程的实际应用． 【解析】由题意知301(1＋x)2＝500. 16．4－π　【考点】阴影部分面积的计算． 【解析】∵四边形ABCD是矩形，点E为BC的中点， ∴∠ABC＝∠DCE＝90°，AD＝BC＝4， ∴BE＝ME＝EC＝EN＝2. ∵AB＝BE＝2， ∴△ABE和△ECD是等腰直角三角形， ∴∠AEB＝∠CED＝45°， ∴S阴影＝2(S△ABE－S扇形BEM)＝2×(×2×2－ )＝4－π. 17．13　【考点】解一元一次不等式组、分式方程的解． 【解析】解不等式>＋1得x<－2， 解不等式4x＋a<x－1得x<－. ∵不等式组的解集为x<－2， ∴－2≤－， ∴a≤5. 解分式方程得y＝，∵分式方程的解为正数， ∴>0且≠1， ∴a>－2且a≠1， ∴－2<a≤5且a≠1， ∴a为－1，0，2，3，4，5， ∴所有满足条件的整数a的值之和为－1＋0＋2＋3＋4＋5＝13. 【授之以渔——易错提醒】 解一元一次不等式(组)的易错点 解一元一次不等式(组)时，最易出错的有以下两点： (1)去分母时，常数项漏乘； (2)两边同乘负数时，不等号方向忘记改变． 18．6 200　9 313　【考点】新定义运算． 【解析】由题易知a－d＝6，b－c＝2， ∴d＝a－6，c＝b－2， ∴6≤a≤9，2≤b≤9，0≤c≤7，0≤d≤3， ∴最小的“天真数”为6 200. P(M)＝3(a＋b)＋c＋d＝3(a＋b)＋b－2＋a－6＝4a＋4b－8，Q(M)＝a－5， ∴＝. 要求满足条件的M的最大值，只需千位数a最大，则令a＝9，代入＝＝7＋b. ∵能被10整除，∴b最大为3， ∴满足条件的M的最大值9 313. 19．【考点】整式的运算、分式的化简． 解：(1)原式＝x2＋6x＋x2－6x＋9 ＝2x2＋9.4分 (2)原式＝· ＝.8分 20．【考点】尺规作图、全等三角形的判定与性质． 解：作图如下． 6分 ①∠FAO；②OA＝OC；③∠FOA； ④与其一组对边相交所得的线段被对角线平分． 10分 21．【考点】统计图表的分析、用样本估计总体． 解：(1)15　88　983分 (2)600×15%＝90(人)． 答：估计600名消费者对A款自动洗车设备“比较满意”的人数为90人.6分 (3)A款自动洗车设备更受欢迎． 理由如下：被抽取的对A款自动洗车设备评分的中位数88大于被抽取的对B款自动洗车设备评分的中位数87.(答案不唯一)10分 【核心素养】数据观念 A，B两款自动洗车设备满意度数据的收集、整理和分析能够对数据的意义和随机性有比较清晰的认识．根据问题的背景和所要研究的问题确定研究数据所用统计图的类型．形成数据观念有助于理解和表达生活中随机现象发生的规律，感知大数据时代数据分析的重要性，养成重证据、讲道理的科学态度． 22．【考点】函数性质的探究． 解：(1)y＝4分 (2)函数图象如图． 当0<t<4时，y随t的增大而增大； 当4<t<6时，y随t的增大而减小．(答案不唯一) 8分 (3)当t＝3或4.5时，点E，F相距3个单位长度． 10分 23．【考点】一元一次方程的实际应用、分式方程的实际应用． 解：(1)设甲区有农田x亩，则乙区有农田(x－10 000)亩． 由题意得80%x＝x－10 000， 解得x＝50 000. 50 000－10 000＝40 000(亩)． 答：甲区有农田50 000亩，乙区有农田40 000亩． 5分 (2)甲区试种的农田为50 000×80%＝40 000(亩)． 设派往甲区无人机y架次，则派往乙区无人机1.2y架次． 根据题意得＝ ＋ ， 解得y＝400， 经检验，y＝400是所列分式方程的解，且符合题意． ＝100(亩)． 答：派往甲区每架次无人机平均喷洒100亩． 10分 24．【考点】解直角三角形的实际应用 解：(1)如图，过点C作CD⊥AB于点D. 由题意得∠ACD＝60°，∠BCD＝45°， ∴∠A＝30°，∠B＝∠BCD＝45°， ∴BD＝CD＝AC＝1 800(米)，∴BC＝≈2 545(米)． 答：B养殖场与灯塔C的距离约为2 545米.4分 (2)∵AD＝AC·sin 60°＝1 800(米)， ∴AB＝AD＋BD＝(1 800＋1 800)(米)， ∴甲组到达B处所需时间为(1 800＋1 800)÷600＝3＋3≈8.196(分钟)． ∵8.196<9，∴甲组能在9分钟内到达B处． 答：甲组能在9分钟内到达B处.10分 25．【考点】二次函数的综合． 解：(1)将点B(3，0)，C(0，－3)代入y＝x2＋bx＋c得 解得 ∴抛物线的表达式为y＝x2＋x－3.2分 (2)∵y＝x2＋x－3与x轴交于点A，B， 当y＝0时，x2＋x－3＝0，解得x1＝－4，x2＝3， ∴A(－4，0)． ∵C(0，－3)，∴设直线AC的表达式为y＝kx－3， 将A(－4，0)代入得－4k－3＝0，解得k＝－， ∴直线AC的表达式为y＝－x－3. 如图，过点P作PE⊥x轴于点E，交AC于点Q. 设P(t，t2＋t－3)， 则Q(t，－t－3)， ∴PQ＝－t－3－(t2＋t－3)＝－t2－t. ∵∠AQE＝∠PQD，∠AEQ＝∠QDP＝90°， ∴∠OAC＝∠QPD. ∵OA＝4，OC＝3，∴AC＝5， ∴cos∠QPD＝＝cos∠OAC＝＝， ∴PD＝PQ＝(－t2－t)＝－t2－t＝ －(t＋2)2＋. ∵－<0，∴当t＝－2时，PD取得最大值为， 此时y＝×(－2)2＋×(－2)－3＝－， ∴P(－2，－).6分 (3)满足条件的点Q的坐标为(，－1)或(，5)或(，).8分 ∵抛物线y＝x2＋x－3＝(x＋)2－， ∴将该抛物线向右平移5个单位长度，得到y＝(x－)2－，对称轴为直线x＝，点P(－2，－)向右平移5个单位长度得到点E(3，－ )． ∵平移后的抛物线与y轴交于点F，令x＝0， 则y＝×(－)2－＝2，∴F(0，2)， ∴EF2＝32＋(2＋)2＝. ∵Q为平移后的抛物线的对称轴上任意一点，则点Q的横坐标为，设Q(，m)， ∴QE2＝(－3)2＋(m＋)2，QF2＝()2＋(m－2)2. ①当QF＝EF时，()2＋(m－2)2＝， 解得m＝－1或m＝5， ∴点Q的坐标为(，－1)或(，5)； ②当QF＝QE时，()2＋(m－2)2＝(－3)2＋(m＋)2， 解得m＝， ∴点Q的坐标为(，).10分 (过程任选其一即可) 26．【考点】几何图形的综合． (1)证明：∵△ABC为等边三角形， ∴∠ACB＝60°，AC＝BC. ∵将CE绕点C顺时针旋转60°得到线段CF， ∴CE＝CF，∠ECF＝60°，∴∠ACB＝∠ECF， ∴∠ACB－∠ACE＝∠ECF－∠ACE，即∠BCE＝∠ACF. 在△BCE和△ACF中， ， ∴△BCE≌△ACF(SAS)， ∴∠CBE＝∠CAF.3分 (2)证明：如图，过点F作FK∥AD，交DH的延长线于点K，连接EK，FD. ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC. ∵AD⊥BC，∴BD＝CD，∴AD垂直平分BC， ∴EB＝EC. 又∵△BCE≌△ACF，∴AF＝BE，CF＝CE，∴AF＝CF， ∴点F在AC的垂直平分线上． ∵AB＝BC，∴点B在AC的垂直平分线上， ∴BF垂直平分AC， ∴AC⊥BF，AG＝CG＝AC，∴∠AGF＝90°. 又∵DG＝AC＝CG，∠ACD＝60°， ∴△DCG是等边三角形， ∴∠CGD＝∠CDG＝60°，∴∠AGH＝∠DGC＝60°， ∴∠KGF＝∠AGF－∠AGH＝90°－60°＝30°. 又∵∠ADK＝∠ADC－∠GDC＝90°－60°＝30°，KF∥AD， ∴∠HKF＝∠ADK＝30°， ∴∠FKG＝∠KGF＝30°， ∴FG＝FK. 在Rt△CED与Rt△CGF中， ∴Rt△CED≌Rt△CFG(HL)，∴GF＝ED， ∴ED＝FK，∴四边形EDFK是平行四边形， ∴EH＝HF.8分 (3)解：PQ＋QF的最小值为＋2.10分 提示：如图，延长AP，DQ交于点R. 由(2)可知△DCG是等边三角形，∴∠EDG＝30°， ∵将△AEG沿AG所在直线翻折至△ABC所在平面内，得到△APG，将△DEG沿DG所在直线翻折至△ABC所在平面内，得到△DQG， ∴∠PAG＝∠EAG＝30°，∠QDG＝∠EDG＝30°， ∴∠PAE＝∠QDE＝60°，∴△ADR是等边三角形， ∴∠QDC＝∠ADC－∠ADQ＝90°－60°＝30°. 由(2)可得Rt△CED≌Rt△CFG，∴DE＝GF. ∵DE＝DQ，∴GF＝DQ. ∵∠GBC＝∠QDC＝30°，∴GF∥DQ， ∴四边形GDQF是平行四边形， ∴QF＝DG＝AC＝2. 由(2)可知点G是AC的中点，则GA＝GD， ∴∠GAD＝∠GDA＝30°，∴∠AGD＝120°， ∴∠AGP＋∠DGQ＝∠AGE＋∠DGE＝∠AGD＝120°. ∴∠PGQ＝360°－2∠AGD＝120°. 又∵PG＝GE＝GQ， ∴PQ＝PG＝GQ， ∴当GQ取得最小值时，即GQ⊥DR时，PQ取得最小值，如图， ∴GQ＝GC＝DC＝1， ∴PQ＝， ∴PQ＋QF的最小值为＋2. 【错题反思】 难度系数 对应题号 命中注定送给你 T1，T2，T3，T4，T5，T6，T7，T11，T12，T13，T19，T20 再接再厉鼓舞你 T8，T14，T15，T21，T22 伤筋动骨磨炼你 T9，T16，T17，T23，T24 学霸登顶恭喜你 T10，T18，T25，T26 核对完答案后，将错题做重点反思．对应的考点如果还有不明白的地方，可回到教材或复习资料中再深入学习一遍． 学科网（北京）股份有限公司 $$