3 重庆市2023年初中学业水平暨高中招生考试(A卷)-【智乐星中考】2025年重庆中考数学真题汇编（Word)

3．重庆市2023年初中学业水平暨高中招生考试(A卷) (全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟) 参考公式：抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标为(－，)，对称轴为x＝－. 一、选择题：(本大题10个小题，每小题4分，共40分)在每个小题的下面，都给出了代号为A，B，C，D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案填在对应的括号里． 1．8的相反数是( ) A．－8 B．8 C．－ D. 2．四个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面得到的视图是( ) 3．反比例函数y＝－的图象一定经过的点是( ) A．(1, 4) B．(－1，－4) C．(－2，2) D．(2，2) 4．若两个相似三角形周长的比为1∶4，则这两个三角形对应边的比是( ) A．1∶2 B．1∶4 C．1∶8 D．1∶16 5．如图，AB∥CD, AD⊥AC.若∠1＝55°， 则∠2的度数为( ) 5题图 A．35° B．45° C．50° D．55° 6．估计(＋)的值应在( ) A．7和8之间 B．8和9之间 C．9和10之间 D．10和11之间 7．用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，…，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是( ) 7题图 A．39 B．44 C．49 D．54 8．如图，AC是⊙O的切线，点B为切点，连接OA，OC.若∠A＝30°，AB＝2，BC＝3，则OC的长度是( ) 8题图 A．3 B．2 C. D．6 9．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，连接AE，AF，EF，∠EAF＝45°.若∠BAE＝α，则∠FEC一定等于( ) 9题图 A．2α B．90°－2α C．45°－α D．90°－α 10．在多项式x－y－z－m－n (其中x>y>z>m>n)中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如：x－y－|z－m|－n＝x－y－z＋m－n，|x－y|－z－|m－n|＝x－y－z－m＋n，… 下列说法： ①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等； ②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0； ③所有的“绝对操作”共有7种不同的运算结果． 其中正确的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题：(本大题8个小题，每小题4分，共32分)请将每小题的答案直接填在对应的横线上． 11．计算：2－1＋30＝________． 12．如图，正五边形ABCDE中，连接AC，那么∠BAC的度数为________． 12题图 13．一个口袋中有1个红色球，有1个白色球，有1个蓝色球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摇匀后再从中随机摸出一个球，则两次都摸到红球的概率是________． 14．某新建工业园区今年六月份提供就业岗位1 501个，并按计划逐月增长，预计八月份将提供岗位1 815个．设七、八两个月提供就业岗位数量的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为______________． 15．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°， AB＝AC，D为BC上一点，连接AD.过点B作BE⊥AD于点E，过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F.若BE＝4，CF＝1，则EF的长度为________． 15题图 16．如图，⊙O是矩形ABCD的外接圆，若AB＝4，AD＝3，则图中阴影部分的面积为________．(结果保留π) 16题图 17．若关于x的一元一次不等式组至少有2个整数解，且关于y的分式方程＋＝2有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是________． 18．如果一个四位自然数abcd的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足ab－bc＝cd，那么称这个四位数为“递减数”．例如：四位数4 129.∵41－12＝29，∴4 129是“递减数”，又如四位数5 324，∵53－32＝21≠24，∴5 324不是“递减数”．若一个“递减数”为a312，则这个数为________；若一个“递减数”的前三个数字组成的三位数abc与后三个数字组成的三位数bcd的和能被9整除，则满足条件的数的最大值是________． 三、解答题：(本大题8个小题，第19题8分，其余每题各10分，共78分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形(包括辅助线)，请将解答过程书写在对应的位置上． 19．计算： (1)a(2－a)＋(a＋1)(a－1)； (2)÷(x－)． 20．学习了平行四边形后，小虹进行了拓展性研究．她发现，如果作平行四边形一条对角线的垂直平分线，那么这个平行四边形的一组对边截垂直平分线所得的线段被垂足平分. 她的解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图与填空： 用直尺和圆规，作AC的垂直平分线交DC于点E，交AB于点F，垂足为O.(只保留作图痕迹) 20题图 已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，AC是对角线，EF垂直平分AC，垂足为O. 求证：OE＝OF. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC∥AB， ∴∠ECO＝①________． ∵EF垂直平分AC， ∴ ②________． 又∵∠EOC＝③________， ∴△COE≌△AOF(ASA)， ∴OE＝OF. 小虹再进一步研究发现，过平行四边形对角线AC中点的直线与平行四边形一组对边相交形成的线段均有此特征．请你依照题意完成下面命题： 过平行四边形对角线中点的直线④________． 21．为了解A，B两款品质相近的智能玩具飞机在一次充满电后运行的最长时间，有关人员分别随机调查了A，B两款智能玩具飞机各10架，记录下它们运行的最长时间(分钟)，并对数据进行整理、描述和分析(运行最长时间用x表示，共分为三组：合格60≤x<70，中等70≤x<80，优等x≥80)，下面给出了部分信息： A款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间是 60，64，67，69，71，71，72，72，72，82. B款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间属于中等的数据是70，71，72，72，73. 两款智能玩具飞机运行 　最长时间统计表 类别,A,B 平均数,70,70 中位数,71,b 众数,a,67 方差,30.4,26.6 B款智能玩具飞机运行 最长时间扇形统计图 21题图 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中a＝________，b＝________，m＝________； (2)根据以上数据，你认为哪款智能玩具飞机运行性能更好？请说明理由；(写出一条理由即可) (3)若某玩具仓库有A款智能玩具飞机200架、B款智能玩具飞机120架，估计两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的共有多少架？ 22．某公司不定期为员工购买某预制食品厂生产的杂酱面、牛肉面两种食品． (1)该公司花费3 000元一次性购买了杂酱面、牛肉面共170份，此时杂酱面、牛肉面的价格分别为15元、20元，求购买两种食品各多少份？ (2)由于公司员工人数和食品价格有所调整，现该公司分别花费1 260元、1 200元一次性购买杂酱面、牛肉面两种食品，已知购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多50%，每份杂酱面比每份牛肉面的价格少6元，求购买牛肉面多少份？ 23．如图，△ABC是边长为4的等边三角形，动点E，F分别以每秒1个单位长度的速度同时从点A出发，点E沿折线A→B→C方向运动，点F沿折线A→C→B方向运动，当两者相遇时停止运动．设运动时间为t秒，点E，F的距离为y. (1)请直接写出y关于t的函数表达式并注明自变量t的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图象，写出点E，F相距3个单位长度时t的值． 23题图 24．为了满足市民的需求，我市在一条小河AB两侧开辟了两条长跑锻炼线路，如图：①A－D－C－B；②A－E－B.经勘测，点B在点A的正东方，点C在点B的正北方10千米处，点D在点C的正西方14千米处，点D在点A的北偏东45°方向，点E在点A的正南方，点E在点B的南偏西60°方向．(参考数据：≈1.41，≈1.73) (1)求AD的长度；(结果精确到1千米) (2)由于时间原因，小明决定选择一条较短线路进行锻炼，请计算说明他应该选择线路①还是线路②？ 24题图 25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋2过点(1，3)，且交x轴于A(－1，0)，B两点，交y轴于点C. (1)求抛物线的表达式； (2)点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作PD⊥BC于点D，过点P作y轴的平行线交直线BC于点E，求△PDE周长的最大值及此时点P的坐标； (3)在(2)中△PDE周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线CB方向平移个单位长度，M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平面内确定一点N，使得以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 26．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，点D为线段AB上一动点，连接CD. (1)如图1，若AC＝9，BD＝，求线段AD的长； (2)如图2，以CD为边在CD上方作等边三角形CDE，点F是DE的中点，连接BF并延长，交CD的延长线于点G. 若∠G＝∠BCE，求证：GF＝BF＋BE； (3)在CD取得最小值的条件下，以CD为边在CD右侧作等边三角形CDE.M为CD所在直线上一点，将△BEM沿BM所在直线翻折至△ABC所在平面内得到△BNM.连接AN，点P为AN的中点，连接CP，当CP取最大值时，连接BP，将△BCP沿BC所在直线翻折至△ABC所在平面内得到△BCQ，请直接写出此时的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3．重庆市2023年初中学业水平暨高中 招生考试(A卷) 1 2 3 4 5 A D C B A 6 7 8 9 10 B B C A C 1．A　【考点】相反数的概念． 【解析】8的相反数是－8. 2．D　【考点】三视图的判别． 【解析】从正面观察，从下往上第一行有两个正方形，第二行右上角有一个正方形． 3．C　【考点】反比例函数的图象上点的坐标特征． 【解析】当x＝1时，y＝－4，故选项A错误； 当x＝－1时，y＝4，故选项B错误； 当x＝－2时，y＝2，故选项C正确； 当x＝2时，y＝－2，故选项D错误． 4．B　【考点】相似三角形的性质． 【解析】∵相似三角形的周长比等于相似比， ∴两个三角形对应边的比为1∶4. 5．A　【考点】平行线的性质． 【解析】∵AD⊥AC，∴∠CAD＝90°. 在△ACD中，∠1＝55°，∠CAD＝90°， ∴∠ADC＝180°－90°－55°＝35°. ∵AB∥CD， ∴∠2＝∠ADC＝35°. 6．B　【考点】二次根式的运算、二次根式的估值． 【解析】原式＝＋＝4＋2. ∵4<2<5， ∴8<4＋2<9， ∴估计(＋)的值应在8和9之间． 7．B　【考点】规律的探索——图形类． 【解析】第①个图案中用了4＋5×1＝9根木棍， 第②个图案中用了4＋5×2＝14根木棍， 第③个图案中用了4＋5×3＝19根木棍， 第④个图案中用了4＋5×4＝24根木棍， ... ∴可以得到规律，第n个图形用了4＋5n根木棍， ∴第⑧个图案中用的木棍根数是4＋5×8＝44. 【授之以渔——方法点拨】 探索图形的规律 解决这类问题首先要转化为代数式规律从简单等式入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个等式与前一个等式相比，在数量上增加(或倍数)情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论． 8．C　【考点】切线的性质、解直角三角形． 【解析】如图，连接OB. ∵AC是⊙O的切线，点B为切点， ∴∠ABO＝∠OBC＝90°. 在Rt△ABO中， ∵∠A＝30°，AB＝2， ∴tan A＝，∴OB＝2×＝2. 在Rt△OBC中，∵OB＝2，BC＝3， ∴由勾股定理得OC＝＝. 9．A　【考点】正方形的性质、全等三角形的判定与性质． 【解析】如图，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得△ABG， 则△ADF≌△ABG， ∴AF＝AG，∠DAF＝∠BAG＝45°－α， ∴∠GAE＝45°－α＋α＝45°， ∴∠GAE＝∠FAE. 又∵AE＝AE， ∴△AEG≌△AEF(SAS)． ∵∠ADF＝∠ABG＝90°， ∴∠AEG＝∠AEF＝90°－α， ∴∠FEC＝180°－2(90°－α)＝2α. 10．C　【考点】新定义、代数式与绝对值的运算． 【解析】①∵x＞y＞z＞m＞n，∴|x－y|－z－m－n＝x－y－z－m－n，∴存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等，故①正确； ②∵x＞y＞z＞m＞n，x－y－z－m－n的相反数为－x＋y＋z＋m＋n，∴不论怎么加绝对值符号都得不到这个式子，∴不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0，故②正确； ③第1种结果：|x－y|－z－m－n＝x－y－z－m－n； 第2种结果：x－|y－z|－m－n＝x－y＋z－m－n； 第3种结果：x－y－|z－m|－n＝|x－y|－|z－m|－n＝x－y－z＋m－n； 第4种结果：x－y－z－|m－n|＝|x－y|－z－|m－n|＝x－y－z－m＋n； 第5种结果：x－|y－z|－|m－n|＝x－y＋z－m＋n， 所有的“绝对操作”共有5种不同运算结果，故③错误． 11.　【考点】实数的运算． 【解析】原式＝＋1＝. 12．36°　【考点】正多边形的性质． 【解析】∵多边形ABCDE是正五边形， ∴AB＝BC＝CD＝DE＝EA，∴∠B＝＝108°. ∵AB＝BC，∴∠BAC＝∠BCA， ∴∠BAC＝(180°－108°)÷2＝36°. 13.　【考点】用列表法或画树状图法求概率． 【解析】画树状图如下. 由树状图可知共有9种等可能的结果，其中两次都摸到红球的结果有1种，所以两次都摸到红球的概率是. 14．1 501(1＋x)2＝1 815　【考点】一元二次方程的实际应用． 【解析】根据题意可列方程为1 501(1＋x)2＝1 815. 15．3　【考点】全等三角形的判定与性质． 【解析】∵BE⊥AF，CF⊥AF，∴∠AEB＝∠CFA＝90°， ∴△ABE和△CAF都是直角三角形． ∵∠BAC＝90°，∴∠BAE＋∠CAF＝90°. 在Rt△ABE中，∠ABE＋∠BAE＝90°， ∴∠ABE＝∠CAF. 又∵AB＝AC，∴△ABE≌△CAF(AAS)， ∴AE＝CF＝1，AF＝BE＝4，∴EF＝AF－AE＝4－1＝3. 16.－12　【考点】阴影部分面积的计算． 【解析】如图，连接AC. ∵⊙O为矩形ABCD的外接圆，AB＝4，AD＝3， ∴DC＝AB＝4，∠ADC＝90°， ∴AC为⊙O的直径，且AC＝＝5， ∴⊙O的半径为， ∴S阴影＝S⊙O－S矩形ABCD＝π×()2－4×3＝ － 12. 【授之以渔——方法点拨】 求不规则图形面积的方法 (1)割补法：把阴影图形的一部分割下来，放到其他位置，使整个阴影图形组成规则的图形； (2)和差法：把阴影部分看成几个小部分，通过求各部分的面积计算总面积．在计算不规则图形的面积中，易出错的是不会利用割补法把不规则的图形转化为规则的图形． 17．4　【考点】解分式方程、解一元一次不等式组． 【解析】解不等式≤4得x≤5， 解不等式2x－a≥2得x≥，∴≤x≤5. ∵一元一次不等式组至少有2个整数解，∴≤4，解得a≤6.解分式方程得y＝且y≠2. ∵分式方程有非负整数解， ∴所有满足条件的整数a的值有1，3， ∴所有满足条件的整数a的值之和是1＋3＝4. 18．4 312　8 165　【考点】新定义的运算． 【解析】∵a312为“递减数”，∴10a＋3－31＝12， ∴a＝4，∴“递减数”为4 312. ∵abcd为“递减数”，a≠b≠c≠d≠0，且ab－bc＝cd， ∴10a＋b－(10b＋c)＝10c＋d，∴10a－9b＝11c＋d. 又∵abc与bcd的和能被9整除， ∴ ＝＝ ＝＝12a＋11b＋是整数， 即是整数． ∵a≠b，且1≤a≤9，1≤b≤9，∴2＜a＋b＜18， ∴4＜2a＋2b＜36. 若2a＋2b＝9，则a＋b＝(不合题意，舍去)； 若2a＋2b＝18，则a＋b＝9； 若2a＋2b＝27，则a＋b＝(不合题意，舍去)． 若要使满足条件的数最大，则a＝8，b＝1. ∵10a－9b＝11c＋d，∴71＝11c＋d，∴c＝6，d＝5， ∴满足条件的数的最大值是8 165. 【命题特点】重庆市中考数学新定义题命题特点 考查点： (1)阅读理解能力； (2)规律探究能力； (3)总结归纳能力． 考查形式： (1)新定义阅读理解题，2023年改为第18题，设置2小空； (2)涉及数字特征的新定义，第1空为求所定义的特殊数，第2空为由特殊数定义求出特殊值，一般用到列举法． 19．【考点】整式的运算、分式的化简． 解：(1)原式＝2a－a2＋a2－1 ＝2a－1.4分 (2)原式＝·＝.8分 20．【考点】尺规作图、全等三角形的判定与性质． 解：尺规作图如下.6分 ①∠FAO ②OC＝OA ③∠FOA ④被一组对边截得的线段被对角线的中点平分 10分 21．【考点】统计图表的分析、用样本估计总体． 解：(1)72　70.5　103分 (2)A款智能玩具飞机运行性能更好．理由如下(写出一条理由即可)： ①A款智能玩具飞机运行最长时间的中位数71大于B款智能玩具飞机运行最长时间的中位数70.5； ②A款智能玩具飞机运行最长时间的众数72大于B款智能玩具飞机运行最长时间的众数67. B款智能玩具飞机运行性能更好．理由如下： A，B两款智能玩具飞机运行最长时间的平均数均为70，B款智能玩具飞机运行最长时间的方差26.6小于A款智能玩具飞机运行最长时间的方差30.4. (答案任选其一即可)6分 (3)200×＋120×(1－40%)＝192(架)． 答：估计两款智能玩具飞机运行性能在中等及以上的共有192架.10分 22．【考点】一元一次方程的实际应用、分式方程的实际应用． 解：(1)设购买杂酱面x份，则购买牛肉面(170－x)份． 根据题意得15x＋20×(170－x)＝3 000， 解得x＝80， 则170－x＝90. 答：该公司购买杂酱面80份，牛肉面90份.5分 (2)设购买牛肉面y份，则杂酱面为(1＋50%)y份． 根据题意得＝－6， 解得y＝60. 经检验，y＝60是原方程的解，且符合题意． 答：购买牛肉面60份.10分 23．【考点】函数性质的探究． 解：(1)y＝4分 (2)函数图象如图． 当0<t<4时，y随t的增大而增大； 当4<t<6时，y随t的增大而减小．(答案不唯一) 8分 (3)当t＝3或4.5时，点E，F相距3个单位长度． 10分 24．【考点】解直角三角形的实际应用． 解：(1)如图，过点D作DH⊥AB于点H. 由题意得DH＝BC＝10(千米)． ∵在Rt△AHD中，∠DAH＝90°－45°＝45°， ∴AD＝DH＝10≈10×1.41≈14(千米)． 答：AD的长度约为14千米.4分 (2)由(1)可知，AH＝DH＝10(千米)，AD＝10(千米)， 由题意得BH＝CD＝14(千米)， ∴AB＝AH＋BH＝10＋14＝24(千米)． ∵在Rt△ABE中，∠ABE＝90°－60°＝30°， ∴BE＝＝＝16(千米)， AE＝BE＝×16＝8(千米)， ∴线路①的长度为AD＋DC＋CB＝10＋14＋10≈14.1＋14＋10＝38.1(千米)； 线路②的长度为AE＋EB＝8＋16＝24≈24×1.73＝41.52(千米)． ∵38.1<41.52，∴线路①长度短． 答：小明应选择线路①.10分 25．【考点】二次函数的综合． 解：(1)将点A(－1，0)，(1，3)代入y＝ax2＋bx＋2得解得 ∴抛物线的表达式为y＝－x2＋x＋2.2分 (2)由(1)知B(4，0)，C(0，2)， ∴OC＝2，OB＝4，BC＝2. ∵直线BC过点B(4，0)，C(0，2)， ∴直线BC的函数表达式为y＝－x＋2. ∵∠PDE＝∠BOC＝90°，∠PED＝∠BCO， ∴△PDE∽△BOC，∴＝＝， ∴PD＝PE，DE＝PE. 设P(m，－m2＋m＋2)，则E(m，－m＋2)， ∴PE＝－m2＋m＋2－(－m＋2)＝－(m－2)2＋2. ∵－<0， ∴当m＝2时，PE有最大值2， ∴△PDE周长的最大值是PD＋DE＋PE＝PE＋PE＝＋2， 此时点P的坐标为(2，3).6分 (3)满足条件的点N的坐标为(－，)或(，)或(，－)． 由题意得抛物线沿射线CB方向平移个单位长度，即抛物线向右平移2个单位长度，向下平移1个单位长度． ∵y＝－x2＋x＋2＝－(x－)2＋， ∴平移后的抛物线的表达式为y＝－(x－)2＋. 设M(，t), N(n，k)． ①当AP为菱形的对角线时． 由题意得MA＝MP，即(＋1)2＋t2＝(－2)2＋(t－3)2， 解得t＝－， ∴n＝－，k＝，即N(－，)． ②当AP为菱形的边长时， 若AP＝PM，则(2＋1)2＋32＝(2－)2＋(3－t)2， 解得t＝3±， ∴n＝，k＝±，即N(，)或N(，－)． 若AP＝AM，则(2＋1)2＋32＝(＋1)2＋t2，无解． 10分 (过程任选其一即可) 26．【考点】几何的综合． (1)解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， ∵∠B＝60°，AC＝9，∴AB＝6. ∵BD＝，∴AD＝AB－BD＝5.3分 (2)证明：如图，取AB的中点O，连接OC. ∵∠ACB＝90°，∠B＝60°， ∴∠A＝30°，∴BC＝AB. ∵在Rt△ABC中，点O为斜边AB的中点， ∴OC＝OB＝BC，∴∠OCB＝∠BOC＝60°， ∴∠DOC＝120°. ∵△CDE为等边三角形，∴CD＝CE，∠DCE＝60°， ∴∠OCD＋∠OCE＝∠OCE＋∠BCE， ∴∠OCD＝∠BCE. ∴在△OCD和△BCE中， ∵∴△OCD≌△BCE(SAS)． ∴∠EBC＝∠DOC＝120°，∴∠OCB＋∠EBC＝180°， ∴OC∥BE. 在GF上截取HF＝BF，连接DH. ∵点F是DE的中点，∴FE＝FD. 在△BEF和△HDF中，∴ ∴△BEF≌△HDF(SAS)，∴BE＝HD，∠BEF＝∠HDF， ∴DH∥BE，∴DH∥OC，∴∠HDG＝∠OCD. 又∵∠G＝∠BCE，∴∠G＝∠HDG，∴HG＝HD， ∴HG＝BE，∴GF＝FH＋HG＝BF＋BE.8分 (3)解：.10分 提示：CD取得最小值，即CD⊥AB. 设AB＝4a，则BC＝2a，AC＝2a， ∴CD＝＝＝a，BD＝BC＝a. ∵△CDE为等边三角形，∠DCB＝30°， ∴∠BCE＝30°，∴BC为DE的垂直平分线， ∴BE＝BD＝a. ∵将△BEM沿BM所在直线翻折至△ABC所在平面内得到△BNM，∴BE＝BN＝a， ∴点N在以点B为圆心，a为半径的圆上运动， 取AB的中点S，连接SP，则SP是△ABN的中位线， ∴点P在半径为a的⊙S上运动. 当P，S，C三点共线时CP取得最大值．如图，过点P作PT⊥AC于点T，过点N作NR⊥AC于点R. ∵点S是AB的中点，∠ABC＝60°，∴SC＝SB＝BC， ∴△BCS是等边三角形，则∠PCB＝60°， ∴∠PCA＝∠ACB－∠BCP＝30°. ∵BC＝2a，AB＝4a，∴CS＝BC＝2a，PS＝a， ∴PC＝a，PT＝PC·sin∠PCT＝PC＝a， TC＝PT＝a. ∵AC＝2a，∴AT＝a. 连接PQ，交NR于点U，则四边形PURT是矩形， ∴PU∥AR，点P是AN的中点， ∴＝＝1，即PU是△ANR的中位线，同理可得PT是△ANR的中位线， ∴NU＝UR＝PT＝a，PU＝AR＝AT＝a. ∵△BCS是等边三角形，将△BCP沿BC所在直线翻折至△ABC所在平面内得到△BCQ， ∴∠QCP＝2∠BCP＝120°，∴PQ＝QC＝PC＝a， 则UQ＝PQ－PU＝a－a＝a. 在Rt△NUQ中， NQ＝＝＝a， ∴＝＝. 【错题反思】 难度系数 对应题号 命中注定送给你 T1，T2，T3，T4，T5，T6，T7，T11，T12，T13，T19，T20 再接再厉鼓舞你 T8，T14，T15，T21，T22 伤筋动骨磨炼你 T9，T16，T17，T23，T24 学霸登顶恭喜你 T10，T18，T25，T26 核对完答案后，将错题做重点反思．对应的考点如果还有不明白的地方，可回到教材或复习资料中再深入学习一遍． 学科网（北京）股份有限公司 $$