精品解析：辽宁省县域重点高中2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题

2024-2025学年度辽宁省县域重点高中高一下学期期中考试 数学 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列角中，与终边相同的角是（ ） A. B. C. D. 2. 为钝角是为第二象限角的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知向量，满足，，则在上的投影的数量为（ ） A B. C. D. 2 4. 为得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移1个单位 B. 向左平移3个单位 C. 向右平移1个单位 D. 向右平移3个单位 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 6. 受鲁洛克斯三角形的启发，我们可以得到没有尖点的圆弧图形.如图，已知的所有边长均为，把的各边分别向两个方向延伸长度为的一段，然后以三个顶点为圆心分别画圆弧，使得三个内角所对的圆弧的半径均为，内角的对顶角所对的圆弧的半径均为，由这样的六条圆弧组成圆弧六边形.已知该圆弧六边形的面积为，周长为，则（ ） A. 2 B. C. D. 3 7. 已知向量，，若存在实数，使得，则取值范围是（ ） A. B. C. D. 8 设，，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于平面向量，，下列说法正确是（ ） A. 若，则 B. 若，则，的夹角为锐角 C. 若，，，可能垂直 D. 若，则 10. 已知，则可能是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 11. 如图，在直角梯形中，，，，，动点从顶点出发，以每秒1个单位的速度在梯形的边上沿着的路线运动到点处则停止，当运动时间为秒时，令，则（ ） A. 的定义域为 B. C. 的最大值为5 D. 有5个单调区间 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知角的终边经过点，将角的终边绕原点按逆时针方向旋转得到角的终边，则的值为________. 13. 在现代社会中，信号处理是非常关键的技术，而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数.若某种信号波函数为，则的最小正周期为________. 14. 在中，，， 分别为的重心和外接圆圆心，则的最小值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）根据五点作图法完善以下表格，并在如图所示的直角坐标系中作出在上的图象； 0 （2）若函数为奇函数，求的值及的对称轴方程. 16. 设，已知向量，，且. （1）求的值； （2）求 17. 已知，且，证明： （1）； （2）. 18. 已知函数的部分图象如图所示，. （1）求的解析式； （2）若关于的方程在上有且仅有四个解，求的取值范围. 19. 如图，我们把由平面内夹角成的两条数轴，构成的坐标系，称为“完美坐标系”.设，分别为，正方向上的单位向量，若向量，则把实数对叫做向量的“完美坐标”，记作. （1）若，，求的“完美坐标”； （2）已知，，证明：； （3）若，，设函数，，求不等式的解集. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度辽宁省县域重点高中高一下学期期中考试 数学 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列角中，与终边相同的角是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】终边相同的角相差360°的整数倍，所以要找到一个正数，使得等于选项中的某个角. 【详解】因为， 所以与终边相同的角是. 故选：B. 2. 为钝角是为第二象限角的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用推出来判断是否充分和必要条件，即可. 【详解】若为钝角，则，则为第二象限角； 反之，若为第二象限角，例如，则不为钝角. 所以为钝角是为第二象限角的充分不必要条件. 故选：A. 3. 已知向量，满足，，则在上的投影的数量为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】利用投影数量的定义来求解即可. 【详解】由题得在上的投影的数量为. 故选：B 4. 为得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移1个单位 B. 向左平移3个单位 C. 向右平移1个单位 D. 向右平移3个单位 【答案】A 【解析】 【分析】根据图象平移变换的规则即可得解. 【详解】将函数的图象向左平移1个单位， 得到函数的图象，即的图象. 故选：A 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将两式平方相加，再根据平方关系及两角差的正弦公式计算即可. 【详解】由，得①， 由，得②， ①+②得，所以. 故选：C. 6. 受鲁洛克斯三角形的启发，我们可以得到没有尖点的圆弧图形.如图，已知的所有边长均为，把的各边分别向两个方向延伸长度为的一段，然后以三个顶点为圆心分别画圆弧，使得三个内角所对的圆弧的半径均为，内角的对顶角所对的圆弧的半径均为，由这样的六条圆弧组成圆弧六边形.已知该圆弧六边形的面积为，周长为，则（ ） A 2 B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式及弧长公式列出方程计算即可. 【详解】由题意可得圆弧六边形的面积为： ①， 圆弧六边形的周长为： ，即②， 联立①②，解得，，所以. 故选：D 7. 已知向量，，若存在实数，使得，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，得到有实数解，令，化简得到，结合三角函数的性质，求得，进而求得的取值范围. 【详解】由，所以有实数解， 令， 则， 因为，所以，所以， 解得. 故选：D. 8. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据当时，及诱导公式判断即可. 【详解】由三角函数线可得当时，， 又， 所以，所以. 故选：C. 其中当时的证明如下： 构造单位圆，如图所示： 则，设，则， 过点作直线垂直于轴，交所在直线于点， 由，得，所以， 由图可知， 即，即. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于平面向量，，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则，的夹角为锐角 C. 若，，，可能垂直 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A，利用向量垂直的定义，数量积为0即可判定；选项B，数量积大于0时，向量夹角的余弦值为正，但要注意夹角为时，不属于锐角；选项C，通过计算数量积为0时，是否有解，即可判断；选项D，展开左边的式子，得，即，可得，选项D正确. 【详解】对于A项，若，则，故A项正确； 对于B项，若，则，的夹角为锐角或，故B项错误； 对于C项，，令，则，显然有解，故C项正确； 对于D项，，所以，所以，故D项正确. 故选：ACD. 10. 已知，则可能是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 【答案】BD 【解析】 【分析】根据二倍角的正弦公式及商数关系将变形，再化简得到，即可根据三角函数值在各个象限的符号判断所在的象限. 【详解】因为，即， 所以， 即，所以， 所以是第二象限角或第四象限角. 故选：BD. 11. 如图，在直角梯形中，，，，，动点从顶点出发，以每秒1个单位的速度在梯形的边上沿着的路线运动到点处则停止，当运动时间为秒时，令，则（ ） A. 的定义域为 B. C. 的最大值为5 D. 有5个单调区间 【答案】AC 【解析】 【分析】计算出点所走的总路程，即可得到的取值范围，即可判断A；以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，建立平面直角坐标系，结合图形，可以得到，，不同区间的函数的解析式及图象，从而求出的值及的值域，得到的单调区间，即可判断B，C，D. 【详解】由题意可得，所以点所走的总路程为， 所以，故A正确； 以为坐标原点，，所在直线分别为，轴， 建立如图所示的平面直角坐标系，其中， 则，，，， 设，则，， 所以. 如图所示： ①当时，，，所以， 即，故B错误； ②当时，，， 所以 ③当时，，， 所以. 综上，可知，故C正确； 且在区间上单调递减，在区间上单调递增， 在区间上单调递减，在区间上单调递增， 共4个单调区间，故D错误. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知角终边经过点，将角的终边绕原点按逆时针方向旋转得到角的终边，则的值为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数的定义，得到，结合两角和的正切公式，即可求解. 【详解】由角的终边经过点，可得， 又由将角的终边绕原点按逆时针方向旋转得到角的终边， 则. 故答案为：. 13. 在现代社会中，信号处理是非常关键的技术，而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数.若某种信号波函数为，则的最小正周期为________. 【答案】 【解析】 【分析】利用三角函数的周期性质，来求周期即可. 【详解】设函数，，， 其最小正周期分别，，，最小公倍数是， 所以的最小正周期为. 故答案为： 14. 在中，，， 分别为的重心和外接圆圆心，则的最小值为________. 【答案】9 【解析】 【分析】取的中点为，把用表示，根据平面向量数量积的定义表示出，再根据投影向量的定义及平面向量数量积的几何意义即可求出的值，也就是的最小值. 【详解】 如图所示：取的中点为，则， 所以， 所以 ， 所以，当且仅当，共线同向时取等号（此时为直角）. 故答案为：9 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）根据五点作图法完善以下表格，并在如图所示的直角坐标系中作出在上的图象； 0 （2）若函数为奇函数，求的值及的对称轴方程. 【答案】（1）表格见详解，图象见详解 （2），，. 【解析】 【分析】（1）根据余弦函数的五个关键点填写表格，再根据作图的一般步骤，列表-描点-连线，即可做出函数的图象； （2）先根据函数为奇函数求出值，进而得到解析式，再根据正弦的对称轴方程求解即可. 【小问1详解】 列表如下： 0 2 0 0 2 再描点连线，得图象如下： 【小问2详解】 因为，所以， 令， 因为为奇函数，所以， 所以，. 又因为，所以当时，， 所以， 所以的对称轴方程为，， 即的对称轴方程为，. 16. 设，已知向量，，且. （1）求的值； （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出及的坐标，再根据两向量垂直其数量积为0计算即可； （2）当时，分别求出，及，再根据向量夹角的公式求解即可. 【小问1详解】 由题得， 因为， 所以， 所以， 解得或， 又，所以. 【小问2详解】 当时，， 所以， 所以， ， 又因为，所以， 所以. 17. 已知，且，证明： （1）； （2）. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由两角差的正弦公式化简得出，等式两边同时除以，化简可得出结论成立； （2）由已知条件得出，即为，再结合两角和的余弦公式可证得结论成立. 【小问1详解】 因为，所以， 两边同时除以，得，即. 【小问2详解】 因为，所以， 所以， 所以， 所以. 18. 已知函数的部分图象如图所示，. （1）求的解析式； （2）若关于的方程在上有且仅有四个解，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数的图象，求得，且最小正周期，得到，再由，求得，即可得到的解析式； （2）由中，令且，转化为，得到方程组的值有且仅有四个，令，得到必有两个相异零点，作出直线与和的图象，结合图象，列出不等式组，即可求解. 【小问1详解】 解：由函数的图象，可得，且最小正周期， 所以，所以， 又由，且点在图象的上升部分，且， 所以，所以. 【小问2详解】 解：在中，令，且，则， 因为，所以， 当时，满足方程组的值有且仅有四个， 且函数在上单调递增，在上单调递减， 令，可得必有两个相异零点， 由直线与和，的图象分别有两个交点， 作出直线与和的图象，如图所示， 由图象可得，，即在区间上有两个相异零点， 则满足，解得解得， 所以的取值范围是. 19. 如图，我们把由平面内夹角成两条数轴，构成的坐标系，称为“完美坐标系”.设，分别为，正方向上的单位向量，若向量，则把实数对叫做向量的“完美坐标”，记作. （1）若，，求的“完美坐标”； （2）已知，，证明：； （3）若，，设函数，，求不等式的解集. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）,. 【解析】 【分析】（1）首先根据“完美坐标”的定义将和表示出来，进而利用向量的加减表示出. （2）利用向量数量积的坐标公式推导出的表达式. （3）首先用向量的基本公式将函数表达出来，然后对函数式进行变换，最后求解不等式. 【小问1详解】 由题得， 所以， 所以， 即的“完美坐标”为. 【小问2详解】 证明：由题知， 所以 即. 【小问3详解】 由（2）得. 因为， 所以， 所以， ， 所以. 令， 则， 所以， 即， 解得（舍去）或， 所以， 即， 所以， 所以， 即不等式的解集为，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$