精品解析：天津市滨海新区塘沽紫云中学2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷

天津市滨海新区塘沽紫云中学教育集团校 2024—2025学年度第二学期期中高二年级联合检测数学学科试题 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时100分钟.第Ⅰ卷1到3页，第Ⅱ卷4到6页. 答卷前，考生务必将自己的姓名、班号、考场号和座位号填写在答题卡上，将考号填、涂准确；答卷时，考生务必将选择题答案涂在答题卡上，非选择题答在答题纸上、答在试卷上无效. 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 选择题（共60分） 一、单项选择题（每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.） 1. 下列函数的求导正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列散点图中，两个变量呈负相关的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 下面列联表： 合计 21 73 22 25 47 合计 46 120 则表中，的值分别为（ ） A. 94，72 B. 52，50 C. 52，74 D. 74．52 4. 某班有4名同学报名参加校运会的五个比赛项目，每人参加一项且各不相同，则不同的报名方法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 5. 如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是（ ） A. 在上单调递增 B. 在上单调递减 C. 当时，取极小值 D. 当时，取极大值 6. 设随机变量服从正态分布，记，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.4 D. 0.6 7. 某项羽毛球单打比赛规则是3局2胜制，运动员甲和乙进入了男子羽毛球单打决赛，假设甲每局获胜的概率为，则由此估计甲获得冠军的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 二项式的展开式中，常数项等于（ ） A. 7 B. C. 21 D. 9. 为调查吸烟是否对患肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了50人，得到如下结果（单位：人） 不患肺癌 患肺癌 合计 不吸烟 24 6 30 吸烟 6 14 20 合计 30 20 50 根据表中数据，以下叙述正确的是：（    ） A. 可以通过计算，结合统计决断，判断：有的把握认为吸烟与患肺癌有关 B. 可以通过计算，结合统计决断，判断：不能否定吸烟与肺癌无关 C. 可以通过计算，结合统计决断，判断：有把握认为吸烟与患肺癌有关 D. 可以通过计算，结合统计决断，判断：不能否定吸烟与肺癌无关 10. 设随机变量，若，则（ ） A B. C. D. 11. 公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率π的范围是：，为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就.小明是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将圆周率的前6位数字3，1，4，1，5，9进行某种排列得到密码.如果排列时要求数字9不在最后一位，那么小明可以设置的不同密码有（ ）个. A. 180 B. 300 C. 360 D. 480 12. 已知定义在上的函数满足，且，则的解集是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共8小题，共40分） 13. 下列结论正确的是__________. ①变量间的线性相关系数的取值范围为； ②变量间的线性相关系数的绝对值越接近于0，则变量间的线性相关程度越弱： ③变量间的相关系数越小，则变量间的相关程度越弱. 14. 已知两个变量y与x对应关系如下表： x 1 2 3 4 5 y 5 m 8 9 10.5 若y与x满足一元线性回归模型，且经验回归方程为，则________． 15. 函数的单调递增区间为_________. 16. 某化工厂实验生产中需依次投入2种化工原料，现已知有6种原料可用，但甲､乙两种原料不能同时使用，且依次投料时，若使用甲原料，则甲必须先投放，因此不同的实验方案种数共有_____. 17. 某体育器材商店经营三种型号的组合器械，三种型号组合器械的优质率分别为0.9，0.8，0.7，市场占有比例为，某健身中心从该商店任意购买一种型号的组合器械，则买到的组合器械是优质产品的概率为_____；若该健身中心从三种型号的组合器械各买一件，则恰好买到两件优质产品的概率为_____． 18. 已知函数，给出下列结论： ①是的单调递减区间； ②函数有极大值点是； ③当时，直线与图象有两个不同交点. 其中正确的序号是_________. 19. 在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则_________；并且所有项的系数之和为1，则含的项的系数为_________（用数字作答）. 20. 石室校园，望楼汉阙，红墙掩映，步移景异！现有甲、乙、丙、丁四位校友到“文翁化蜀”、“锦水文风”、“魁星阁”、“银杏大道”4处景点追忆石室读书时光.若每人只去一处景点，设事件为“4个人去的景点各不相同”，事件为“只有甲去了锦水文风”，则____，_________. 三、解答题（本题共4小题，共60分.解答应写出必要的文字说明、公式和重要的演算步骤.只写出最后答案不得分.） 21. 高二某班计划从4名男生、3名女生中选拔4人负责本周校会. （1）若要求选出的4人中同时包含男生和女生，有多少种不同的组合方式？（写出必要的数学式，结果用数字作答） （2）已经按照（1）中要求选出甲、乙、丙、丁四人，现要从已选择的4人中安排1人担任校会主持，1人进行国旗下的讲话，2人负责升旗仪式，有多少种不同的职务分配方案？（写出必要的数学式，结果用数字作答） （3）在完成（2）的职务分配后，校会结束后这4位同学和班主任共5人需合影留念，要求两位升旗手必须相邻站立，有多少种不同的排列方法？（写出必要的数学式，结果用数字作答） 22. 某市共有10所重点大学可供考生选择，其中3所为985高校，5所为211高校，另外2所为特色专业高校．一位考生准备从这10所高校中随机选择4所进行志愿填报，每所高校被选中的概率相同． （1）求该考生恰好选到2所985高校的概率； （2）若该考生选到985高校数量为，求随机变量的分布列和数学期望． 23. 已知函数 （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数在上的单调区间、最值. （3）设在上有两个零点，求a的范围. 24. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）设，当时，对任意的，总存在，使，求实数m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市滨海新区塘沽紫云中学教育集团校 2024—2025学年度第二学期期中高二年级联合检测数学学科试题 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时100分钟.第Ⅰ卷1到3页，第Ⅱ卷4到6页. 答卷前，考生务必将自己的姓名、班号、考场号和座位号填写在答题卡上，将考号填、涂准确；答卷时，考生务必将选择题答案涂在答题卡上，非选择题答在答题纸上、答在试卷上无效. 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 选择题（共60分） 一、单项选择题（每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.） 1. 下列函数的求导正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的计算公式与求导法则计算即得. 【详解】选项A：，故A错误； 选项B：，故B错误； 选项C：，故C错误； 选项D：，故D正确. 故选：D 2. 下列散点图中，两个变量呈负相关的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由正、负相关的概念逐项判断即可. 【详解】从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减少的趋势，则这两个变量为负相关． 结合散点图可知，①②满足题意，即两个变量呈负相关的个数为2个． 故选：B 3. 下面是列联表： 合计 21 73 22 25 47 合计 46 120 则表中，的值分别为（ ） A. 94，72 B. 52，50 C. 52，74 D. 74．52 【答案】C 【解析】 【分析】根据联表计算求参即可. 【详解】因为．所以．又，所以． 故选：C. 4. 某班有4名同学报名参加校运会的五个比赛项目，每人参加一项且各不相同，则不同的报名方法有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意应用排列计算求解. 【详解】由题可知不同的报名方法数为从5个不同元素中取出4个元素的排列数， 所以不同的报名方法有种. 故选：C. 5. 如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是（ ） A. 上单调递增 B. 在上单调递减 C. 当时，取极小值 D. 当时，取极大值 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数与函数单调性间的关系及极值的定义，结合图象，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于选项A，由图知，当时，的符号有正有负， 不是单调的函数，所以选项A错误， 对于选项B，由图知，当时，是增函数，所以选项B错误， 对于选项C，由图知，且在左侧附近，，在右侧附近，， 所以是极小值点，在处取到极小值，所以选项C正确， 对于选项D，由图知，且在左侧附近，，在右侧附近，， 所以是极小值点，在处取到极小值，所以选项D错误， 故选：C. 6. 设随机变量服从正态分布，记，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.4 D. 0.6 【答案】B 【解析】 【分析】根据正态曲线的对称性，可得，即可由求得答案. 【详解】因，则， 由和正态曲线的对称性，可得， 故. 故选：B. 7. 某项羽毛球单打比赛规则是3局2胜制，运动员甲和乙进入了男子羽毛球单打决赛，假设甲每局获胜的概率为，则由此估计甲获得冠军的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】按照以下两种情形，利用独立事件同时发生用乘法，结合二项分布概率公式进行计算即可. 【详解】甲获得冠军分以下二类： 第一类：甲获胜的概率为：； 第二类：甲获胜的概率为：； 所以甲获胜的概率为， 故选：D. 8. 二项式的展开式中，常数项等于（ ） A. 7 B. C. 21 D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用二项式展开式通项求常数项即可. 【详解】由的展开式通项，， 当时，常数项为. 故选：A 9. 为调查吸烟否对患肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了50人，得到如下结果（单位：人） 不患肺癌 患肺癌 合计 不吸烟 24 6 30 吸烟 6 14 20 合计 30 20 50 根据表中数据，以下叙述正确的是：（    ） A. 可以通过计算，结合统计决断，判断：有的把握认为吸烟与患肺癌有关 B. 可以通过计算，结合统计决断，判断：不能否定吸烟与肺癌无关 C. 可以通过计算，结合统计决断，判断：有的把握认为吸烟与患肺癌有关 D. 可以通过计算，结合统计决断，判断：不能否定吸烟与肺癌无关 【答案】C 【解析】 【分析】利用卡方计算公式求得，再利用独立性检验中的意义即可得解. 【详解】由题意，得12.5， 则，所以有的把握认为“吸烟与患肺癌有关有关”. 故选：C. 10. 设随机变量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据二项分布方差的计算公式求，再根据求解. 【详解】由题意知，，解得， 所以. 故选：D 11. 公元五世纪，数学家祖冲之估计圆周率π的范围是：，为纪念祖冲之在圆周率方面的成就，把3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就.小明是个数学迷，他在设置手机的数字密码时，打算将圆周率的前6位数字3，1，4，1，5，9进行某种排列得到密码.如果排列时要求数字9不在最后一位，那么小明可以设置的不同密码有（ ）个. A. 180 B. 300 C. 360 D. 480 【答案】B 【解析】 【分析】将六个数全排并剔除两个1的重复情况，求出9为最后一位数的排法数，间接法求不同密码数. 【详解】将六个数字看作不同数有种，剔除两个1的重复情况，共有， 若9为最后一位数有种，剔除两个1的重复情况，共有， 所以一共有种. 故选：B 12. 已知定义在上的函数满足，且，则的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造函数，可判断在上的单调性，根据单调性即可求解. 【详解】令，，则， 所以在单调递减，因为，所以， 时，不等式化为，即，即，所以， 所以不等式的解集为. 故选：C. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共8小题，共40分） 13. 下列结论正确的是__________. ①变量间的线性相关系数的取值范围为； ②变量间的线性相关系数的绝对值越接近于0，则变量间的线性相关程度越弱： ③变量间的相关系数越小，则变量间的相关程度越弱. 【答案】①② 【解析】 【分析】由相关系数的概念以及意义逐一判断即可求解. 【详解】对于①，相关系数满足，即变量间的线性相关系数的取值范围为，①正确； 对于②，根据相关系数的性质，，且越接近于1，相关程度越强，越接近于0，相关程度越弱，②正确； 对于③，比如时，变量间的相关系数越小，则变量间的相关程度越强，③错误. 故答案为：①②. 14. 已知两个变量y与x对应关系如下表： x 1 2 3 4 5 y 5 m 8 9 10.5 若y与x满足一元线性回归模型，且经验回归方程为，则________． 【答案】7.5## 【解析】 【分析】先计算，再将点代入回归方程中即可. 【详解】，， 将点代入方程中得，， 得 故答案为： 15. 函数的单调递增区间为_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数求函数的递增区间即可. 【详解】由题设，令，即的单调递增区间为. 故答案为： 16. 某化工厂实验生产中需依次投入2种化工原料，现已知有6种原料可用，但甲､乙两种原料不能同时使用，且依次投料时，若使用甲原料，则甲必须先投放，因此不同的实验方案种数共有_____. 【答案】24 【解析】 【分析】按照是否投入甲原料分类讨论，用加法原理相加即得解. 【详解】分类讨论：（1）若使用甲原料，有种方法；（2）若不使用甲原料，有种方法， 因此共有24种不同的方法. 故答案为：24 【点睛】本题考查了分类计数原理，考查了学生综合分析问题的能力，属于基础题. 17. 某体育器材商店经营三种型号的组合器械，三种型号组合器械的优质率分别为0.9，0.8，0.7，市场占有比例为，某健身中心从该商店任意购买一种型号的组合器械，则买到的组合器械是优质产品的概率为_____；若该健身中心从三种型号的组合器械各买一件，则恰好买到两件优质产品的概率为_____． 【答案】 ①. 0.82 ②. 0.398 【解析】 【分析】依据题意，分析事件关系，利用全概率公式求解第一空，利用互斥事件与相互独立事件求解第二空即可. 【详解】第一空：由全概率公式可得：； 第二空：恰好买到两件优质产品是“AB优C不优，AC优B不优，BC优A不优”这三个互斥事件的和，故所求概率为：， 故答案为：0.82；0.398. 18. 已知函数，给出下列结论： ①是的单调递减区间； ②函数有极大值点是； ③当时，直线与的图象有两个不同交点. 其中正确的序号是_________. 【答案】① 【解析】 【分析】利用导数研究的单调区间和极值判断①②，再确定函数区间值域或符号，结合交点个数确定参数k范围. 【详解】由题设，且， 令，则，故在上单调递增， 令，则，故在上单调递减， 所以有极大值，无极小值， 又时，时，且时， 所以直线与的图象有两个不同交点，则， 综上，①对，②③错. 故答案为：① 19. 在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则_________；并且所有项的系数之和为1，则含的项的系数为_________（用数字作答）. 【答案】 ①. 8 ②. 【解析】 【分析】根据已知易得，再由所有系数和得，最后应用展开式通项求含的项的系数. 【详解】由只有第5项的二项式系数最大，易知， 所有项的系数之和为1，令有，可得或（舍）， 所以二项式为，其展开式通项，， 所以常数项为. 故答案为：8， 20. 石室校园，望楼汉阙，红墙掩映，步移景异！现有甲、乙、丙、丁四位校友到“文翁化蜀”、“锦水文风”、“魁星阁”、“银杏大道”4处景点追忆石室读书时光.若每人只去一处景点，设事件为“4个人去的景点各不相同”，事件为“只有甲去了锦水文风”，则____，_________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据古典概型结合排列数计算，再应用条件概率公式计算求解即可. 【详解】由题意可知，4人去4个不同的景点，事件数有，总事件数为， 故， 又事件的总数为，所以， 事件和事件同时发生，即“只有甲去了锦水文风，另外3人去了另外3个不同的景点”，则事件的总数为， 所以，所以. 故答案为：. 三、解答题（本题共4小题，共60分.解答应写出必要的文字说明、公式和重要的演算步骤.只写出最后答案不得分.） 21. 高二某班计划从4名男生、3名女生中选拔4人负责本周校会. （1）若要求选出的4人中同时包含男生和女生，有多少种不同的组合方式？（写出必要的数学式，结果用数字作答） （2）已经按照（1）中要求选出甲、乙、丙、丁四人，现要从已选择的4人中安排1人担任校会主持，1人进行国旗下的讲话，2人负责升旗仪式，有多少种不同的职务分配方案？（写出必要的数学式，结果用数字作答） （3）在完成（2）的职务分配后，校会结束后这4位同学和班主任共5人需合影留念，要求两位升旗手必须相邻站立，有多少种不同的排列方法？（写出必要的数学式，结果用数字作答） 【答案】（1）34 （2）12 （3）48 【解析】 【分析】（1）结合组合数利用间接法列式计算即可； （2）结合组合数根据分步乘法原理求解即可； （3）利用捆绑法结合分步乘法原理求解即可. 【小问1详解】 如果选出的4人中同时包含男生和女生，先从所有7人中选4人，去掉只有男生的情况，故有种组合方式. 【小问2详解】 先选出的4人中安排1人担任校会主持，再从剩余3人中安排1人进行国旗下的讲话， 最后让剩余2人负责升旗仪式，共有种职务分配方案 小问3详解】 将两位升旗手看成一个整体，与其它的3人排列有种情况， 再排两位升旗手有种情况，共有种排法. 22. 某市共有10所重点大学可供考生选择，其中3所为985高校，5所为211高校，另外2所为特色专业高校．一位考生准备从这10所高校中随机选择4所进行志愿填报，每所高校被选中的概率相同． （1）求该考生恰好选到2所985高校的概率； （2）若该考生选到985高校的数量为，求随机变量的分布列和数学期望． 【答案】（1） （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）先求出从10所高校中任取4所的总数，再求出恰有2所985高校的取法，再用古典概型的概率公式计算即可； （2）先分析出该考生选到985高校的个数取值为0，1，2，3，再利用超几何分布计算出取不同值时的概率，进而列出分布列，求出数学期望. 【小问1详解】 从10所高校中，任取4所，共有种取法， 恰有2所985高校的取法为：， 该考生恰好选到2所985高校的概率为； 【小问2详解】 设为该考生选到985高校的个数，则的取值为0，1，2，3． ， ， ， ， 则 0 1 2 3 . 23. 已知函数 （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求函数在上的单调区间、最值. （3）设在上有两个零点，求a的范围. 【答案】（1）； （2）答案见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）应用导数的几何意义求切线方程； （2）应用导数研究函数的单调区间，进而求出最值； （3）根据（2）得到各单调区间的值域，再由零点的个数确定参数范围. 【小问1详解】 由题设，则，又， 所以曲线在点处的切线方程， 所求切线方程为； 【小问2详解】 由， 时，，在上单调递增， 时，，在上单调递减， 由，，， 所以在上的增区间为，减区间为， 且最大值、最小值分别为2，. 【小问3详解】 由（2）知，在上值域为，在上值域为， 所以，要使在上有两个零点，只需. 24 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）设，当时，对任意的，总存在，使，求实数m的取值范围． 【答案】（1）答案见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）求导后，分和讨论即可； （2）先由函数的单调性求出的最大值，再将问题转化为，恒成立，然后分离参数，构造函数，利用导数分析单调性，求出最值即可； 【小问1详解】 由题意得． 当时，由，得， 所以当时，； 当时，， 因此，当时，函数在上单调递减，在上单调递增． 当时，由，得， 所以当时，； 当时，， 因此，当时，函数在上单调递减，在上单调递增． 【小问2详解】 当时，由（1）知，函数上单调递减， 所以当时，． 对任意的，总存在，使等价于，恒成立， 则，恒成立， 即，恒成立． 令， 则． 令，得， 所以当时，； 当时，， 即在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，， 因此． 故实数m的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $