精品解析： 云南省德宏州2025年九年级初中学业水平考试模拟（4月一模）监测数学试卷

德宏州2025年初中学业水平考试模拟监测 九年级数学试题卷 （全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1.本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 2.考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共15个小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 《九章算术》中有注：“今两算得失相反，要令正负以名之．”意思就是：在计算过程中遇到具有相反意义的量，要用正数和负数来区分．如果温度为零上，记为，那么温度为零下，记为（ ） A. B. C. D. 2. 经过全社会的共同努力，我国牢牢守住了18亿亩耕地红线，为粮食连续丰收提供了重要支撑．数据1800000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 榫卯是我国传统建筑及家具的基本构建，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，如图是某个部件“卯”的实物图，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，是底边上的高，点E、F分别是、的中点，若，则长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．下图是从玻璃杯底部发出的一束平行光线经过水面折射形成的光线示意图，水面与玻璃杯的底面平行．若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 8. 2016年，联合国教科文组织将我国申报的“二十四节气——中国人通过观察太阳周年运动而形成的时间知识体系及其实践”列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．如图，四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，为的直径，则（ ） A. B. C. D. 10. 若有一组按一定规律排列的多项式：，，，，…，则第个多项式是（ ） A. B. C. D. 11. 深度求索（）是一家专注人工智能领域的中国科技公司，致力于开发先进的大语言模型和生成式技术．一经发布，便占据各大手机应用市场下载榜首位．据统计，该软件首日在某平台的下载量为48万次，第二天、第三天下载量连续增长，第三天为150万次．设下载量的日平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 若一个多边形的内角和与外角和相等，则此多边形是（ ） A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 七边形 13. 黄金分割数是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，如果估算的值应该在（ ） A. 和0之间 B. 0和1之间 C. 1和2之间 D. 2和3之间 14. 如图，内接于，连结，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 15. 某中学为将“五育”并举思想有机融入学校课程，进一步丰富学校课后服务体系，决定根据学生的兴趣爱好开展绘画、书法、舞蹈、乐器四个课程供学生选择，学校随机抽取了该校200名学生，了解他们喜欢的课程，将收集的数据整理并绘制成下列统计图： 注：该校每位学生被抽到的可能性相等，每位被抽样调查的学生选择且只选择一种喜欢的课程． 若该校共有1200名学生，则该校喜欢书法的学生大约有（ ） A. 60人 B. 90人 C. 120人 D. 360人 二、填空题（本大题共4个小题，每小题2分，共8分） 16. 分解因式：_________． 17. 函数中自变量x的取值范围是__． 18. 每年的12月4日是国家宪法日，某校组织了“学法、知法”知识竞赛活动，从中抽取了7名同学的参赛成绩如下（单位：分）：88，90，95，100，85，87，85，则这组数据的中位数是________． 19. 物理实验课上，同学们分组研究定滑轮“可以改变用力的方向，但不能省力”时，小文同学用一个半径为的定滑轮带动重物上升，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，当重物上升时，滑轮上点A经过的弧长为，则点A绕O点转过的度数为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共62分） 20. 计算： 21. 如图所示，已知，，求证． 22. 为了丰富学生的课余生活，学校计划为体育社团购买一批排球和篮球，已知每个排球的价格比每个篮球的价格少元，用元购买排球的数量是用元购买篮球数量的倍．求每个排球和篮球的价格各是多少元． 23. 某校计划开展文化艺术节，准备从八、九年级的备选主持人中各选1名同学作为主持人．已知八年级备选主持人男生有3人，女生有1人，九年级备选主持人男生有2人，女生有2人． （1）请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； （2）求选中的两名主持人恰好是一名男生、一名女生的概率． 24. 如图，在平行四边形中，点E，F分别在上，且．   （1）求证：四边形是矩形； （2）若，的面积为9，求的周长． 25. 某中学心理咨询教师为缓解九年级学生考前压力，设计了A（情绪宣泄）和B（正念放松）两类团体活动，共个小项目，已知A类项目数是B类项目数的2倍少3个． （1）求A类项目和B类项目各有多少个？ （2）若A、B两类项目的单个小项目平均用时分别是6分钟、8分钟（项目转场时间忽略不计），由于时间的限制，在实际活动时，两种类型的项目只能开展个，且A类项目数大于B类项目数的一半，活动应该怎么设计才能使所用时间最少，设活动时间为w分钟，求w的最小值？ 26. 已知抛物线的对称轴是直线． （1）求的值； （2）若满足方程，设，求代数式的值． 27. 如图，为的直径，弦，连接 ，，E为上一点，，连接，并延长交于点M，连接，在的延长线上取一点N，使，连接． （1）若，求的长； （2）求证：是的切线； （3）连接，交于点F，若，看一看，想一想，证一证：以下与线段，有关的三个结论：，，，你认为哪个正确？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 德宏州2025年初中学业水平考试模拟监测 九年级数学试题卷 （全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1.本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 2.考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共15个小题，每小题只有一个正确选项，每小题2分，共30分） 1. 《九章算术》中有注：“今两算得失相反，要令正负以名之．”意思就是：在计算过程中遇到具有相反意义的量，要用正数和负数来区分．如果温度为零上，记为，那么温度为零下，记为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相反意义的量，熟练掌握正负数的意义是解答本题的关键． 根据在一对具有相反意义的量中，规定其中一个为正，则另一个就用负表示，进行解答即可． 【详解】解：∵温度为零上，记为， ∴温度为零下，记为． 故选：A． 2. 经过全社会的共同努力，我国牢牢守住了18亿亩耕地红线，为粮食连续丰收提供了重要支撑．数据1800000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：， 故选：B 3. 榫卯是我国传统建筑及家具的基本构建，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，如图是某个部件“卯”的实物图，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三视图，熟练掌握三视图的画法，是解题的关键．根据主视图是从正面观察到的图形，进行判断即可． 【详解】解：由题意，得：“卯”的主视图是： 故选：C． 4. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，根据题意将各项的坐标代入反比例函数即可解答． 【详解】解：A将代入反比例函数得到，故A项不符合题意； B项将代入反比例函数得到，故B项不符合题意； C项将代入反比例函数得到，故C项不符合题意； D项将代入反比例函数得到，故D项符合题意； 故选D． 5. 如图，在中，是底边上的高，点E、F分别是、的中点，若，则长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的中位线的性质，由中位线的性质可得，从而可得答案． 【详解】解：∵点E、F分别是、的中点， ∴， ∵， ∴， 故选：D 6. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂乘除法和合并同类项等计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 按照幂的乘方，同底数幂乘除法和合并同类项等计算法则逐选项计算即可判断。 【详解】解：A、，原式计算正确，符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：A． 7. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．下图是从玻璃杯底部发出的一束平行光线经过水面折射形成的光线示意图，水面与玻璃杯的底面平行．若，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质，理解题意，掌握数形结合的思想是解题的关键．根据平行线的性质，，即可得到答案． 【详解】解：由平行线的性质可得， ， ， 故选C． 8. 2016年，联合国教科文组织将我国申报的“二十四节气——中国人通过观察太阳周年运动而形成的时间知识体系及其实践”列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．如图，四幅作品分别代表“立春”“立夏”“芒种”“大雪”，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据定义求解即可． 【详解】解：A，B，C选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：D． 9. 如图，为的直径，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了求三角函数、圆周角定理．根据圆周角定理得到，根据正弦定义进行解答即可． 【详解】解：∵为的直径， ∴， ∴， 故选：A 10. 若有一组按一定规律排列的多项式：，，，，…，则第个多项式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多项式的规律探索，根据前几个多项式找到规律是解题的关键； 根据前几个多项式的构成可以发现：第个多项式的第1项是，第2项是，即可得到答案. 【详解】解：因为第1个多项式是， 第2个多项式， 第3个多项式是， 第4个多项式是， …， 可以发现：第个多项式的第1项是，第2项是， 则第个多项式是； 故选：C. 11. 深度求索（）是一家专注人工智能领域的中国科技公司，致力于开发先进的大语言模型和生成式技术．一经发布，便占据各大手机应用市场下载榜首位．据统计，该软件首日在某平台的下载量为48万次，第二天、第三天下载量连续增长，第三天为150万次．设下载量的日平均增长率为，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系是解决此题的关键，设第二天、第三天下载量的平均增长率为x．根据首日在某平台的下载量为48万次，第二天、第三天下载量连续增长，第三天为150万次，列方程即可得解． 【详解】解：设第二天、第三天下载量的平均增长率为x． 根据题意，得， 故选：B． 12. 若一个多边形的内角和与外角和相等，则此多边形是（ ） A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 七边形 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形内角和和外角和综合，n边形的内角和为，外角和为，据此建立方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为n， 由题意得，， 解得， ∴这个多边形是四边形， 故选：A． 13. 黄金分割数是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，如果估算的值应该在（ ） A. 和0之间 B. 0和1之间 C. 1和2之间 D. 2和3之间 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了无理数的大小，估算出的值是解题的关键．先估算出的值，再估算出的值在1和2之间，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故选B． 14. 如图，内接于，连结，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是圆周角定理的应用，由可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D 15. 某中学为将“五育”并举思想有机融入学校课程，进一步丰富学校课后服务体系，决定根据学生的兴趣爱好开展绘画、书法、舞蹈、乐器四个课程供学生选择，学校随机抽取了该校200名学生，了解他们喜欢的课程，将收集的数据整理并绘制成下列统计图： 注：该校每位学生被抽到的可能性相等，每位被抽样调查的学生选择且只选择一种喜欢的课程． 若该校共有1200名学生，则该校喜欢书法的学生大约有（ ） A. 60人 B. 90人 C. 120人 D. 360人 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图，利用样本估计总体，用乘以即可求解，看懂统计图是解题的关键． 【详解】解：该校喜欢跳绳的学生大约有人， 故选：C． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题2分，共8分） 16. 分解因式：_________． 【答案】 【解析】 【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，直接提取公因式x再应用完全平方公式继续分解即可． 【详解】解： 故答案为: ． 【点睛】本题主要考查了因式分解．能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍． 17. 函数中自变量x的取值范围是__． 【答案】x≠3 【解析】 【详解】根据题意得x﹣3≠0， 解得x≠3． 故答案为x≠3． 18. 每年的12月4日是国家宪法日，某校组织了“学法、知法”知识竞赛活动，从中抽取了7名同学的参赛成绩如下（单位：分）：88，90，95，100，85，87，85，则这组数据的中位数是________． 【答案】88 【解析】 【分析】本题主要考查中位数，将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 先将数据按照从小到大重新排列，再根据中位数的定义求解可得． 【详解】解：∵88，90，95，100，85，87，85，从小到大排列后为：85，85，87，88，90，95，100， ∴中位数是88． 故答案为：88． 19. 物理实验课上，同学们分组研究定滑轮“可以改变用力的方向，但不能省力”时，小文同学用一个半径为的定滑轮带动重物上升，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，当重物上升时，滑轮上点A经过的弧长为，则点A绕O点转过的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了弧长公式的计算，熟练掌握弧长公式是解此题的关键．设旋转的角度是，根据当重物上升时，滑轮上点A经过的弧长为，利用弧长公式计算即可得出答案． 【详解】解：设滑轮上点A转过的度数为， 当重物上升时，滑轮上点A经过的弧长为， 又滑轮的半径为， ， 解得， 滑轮上点A转过的度数为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共62分） 20. 计算： 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查的是含特殊角的三角函数值的混合运算，先代入特殊角的三角函数值，化简二次根式，计算绝对值，零次幂，负整数指数幂，再合并即可． 【详解】解： ； 21. 如图所示，已知，，求证． 【答案】 证明：∵， ∴， 在和中： ， ∴． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键．平行，得到，利用，进行证明即可． 【详解】略 22. 为了丰富学生的课余生活，学校计划为体育社团购买一批排球和篮球，已知每个排球的价格比每个篮球的价格少元，用元购买排球的数量是用元购买篮球数量的倍．求每个排球和篮球的价格各是多少元． 【答案】每个排球的价格为元，每个篮球的价格为元． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设每个排球的价格为元，则每个篮球的价格为元，根据题意列方程，然后解方程并检验即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设每个排球的价格为元，则每个篮球的价格为元， 根据题意列方程为：， 解得：， 经检验是所列方程的解，且符合题目要求，此时 ， 答：每个排球的价格为元，每个篮球的价格为元． 23. 某校计划开展文化艺术节，准备从八、九年级的备选主持人中各选1名同学作为主持人．已知八年级备选主持人男生有3人，女生有1人，九年级备选主持人男生有2人，女生有2人． （1）请用列表法或画树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； （2）求选中的两名主持人恰好是一名男生、一名女生的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了列表法或画树状图求概率，解题关键是列出表格或画出树状图求出所有可能结果数． （1）列出表格求出所有可能结果数； （2）根据（1）中表格，求出所有可能结果数及符合条件的结果数，再利用概率公式求解． 【小问1详解】 解：将男生记为A，女生记为B，列表如下： 八年级 九年级 A A A B A A B B 由上表可知，一共有16种． 答：选取2名主持人所有可能出现的结果共有16种． 【小问2详解】 ∵所有可能出现的结果共有种，并且它们的可能性相等，其中选中的两名主持人恰好是一名男生、一名女生的结果有8种， ∴选中的两名主持人恰好是一名男生、一名女生的概率为， 答：选中的两名主持人恰好是一名男生、一名女生的概率为． 24. 如图，在平行四边形中，点E，F分别在上，且．   （1）求证：四边形是矩形； （2）若，的面积为9，求的周长． 【答案】（1） 解：∵平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形； （2）18 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定，勾股定理，完全平方公式与几何图形的面积问题： （1）根据平行四边形的性质结合线段的和差关系求出，进而得到四边形为平行四边形，根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可得证； （2）勾股定理得到，面积公式得到，再根据完全平方公式求出的长，即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴（负值舍去）； ∴的周长为． 25. 某中学心理咨询教师为缓解九年级学生考前压力，设计了A（情绪宣泄）和B（正念放松）两类团体活动，共个小项目，已知A类项目数是B类项目数的2倍少3个． （1）求A类项目和B类项目各有多少个？ （2）若A、B两类项目的单个小项目平均用时分别是6分钟、8分钟（项目转场时间忽略不计），由于时间的限制，在实际活动时，两种类型的项目只能开展个，且A类项目数大于B类项目数的一半，活动应该怎么设计才能使所用时间最少，设活动时间为w分钟，求w的最小值？ 【答案】（1）A类项目有7个，B类项目有5个 （2）设计A类项目为7个，B类项目为3个时，所用时间w最少为分钟 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，一次函数的实际应用，解题关键是找准等量关系列出方程组求解． （1）先设A类项目有x个，B类项目有y个，再根据“共个小项目”、“已知A类项目数是B类项目数的2倍少3个”列出方程组求解； （2）设A类项目为a个，再用a表示出B类项目个数，列出一元一次不等式求出a的取值范围，然后根据“A、B两类项目的单个小项目平均用时分别是6分钟、8分钟”列出一次函数关系，利用增减性求出最小值． 【小问1详解】 解：设A类项目有x个，B类项目有y个， 由题意可得：， 解得：， 答：A类项目有7个，B类项目有5个； 【小问2详解】 设A类项目为a个，则B类项目为（）个，由题意得： ，解得： ， ∵为正整数， ∴， 又∵， ∴， 由题意得:，即， 在中， ∵ ， ∴w随a的增大而减小， ∴当时，所用时间w最少，． 答：设计A类项目为7个，B类项目为3个时，所用时间w最少为分钟． 26. 已知抛物线的对称轴是直线． （1）求的值； （2）若满足方程，设，求代数式的值． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】本题考查二次函数对称轴公式，一元二次方程根与系数的关系以及代数式求值，解题的关键是熟练运用二次函数对称轴公式求出a的值，再根据一元二次方程根与系数的关系和已知条件求出代数式的值． 【解析过程简要分析】 （1）利用二次函数对称轴公式求出的值； （2）先根据的值确定方程，再利用根与系数的关系求出与的值，进而得到与的值，对进行变形，代入与的值计算。 【小问1详解】 解：∵ 【小问2详解】 把带入，得：， ∵满足方程， ， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ． 27. 如图，为的直径，弦，连接 ，，E为上一点，，连接，并延长交于点M，连接，在的延长线上取一点N，使，连接． （1）若，求的长； （2）求证：是的切线； （3）连接，交于点F，若，看一看，想一想，证一证：以下与线段，有关的三个结论：，，，你认为哪个正确？请说明理由． 【答案】（1）4 （2） 证明：∵， ∴， ， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 即， ∴， ∴， 即， ∴， ∵为的半径， ∴为的切线． （3） 解：正确．理由如下： 连接， ∵是的直径，弦， ∴垂直平分， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）由垂径定理可得，从而可得结论； （2）由等腰三角形的性质与圆周角定理证明，，结合，可得，从而可得结论； （3）连接，证明，可得，可得，，证明，可得，结合，，，从而可得结论． 【小问1详解】 解：∵，为⊙O的直径， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，相似三角形的判定与性质，切线的判定，等腰三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $