11.2反比例函数图像与性质（面积问题）2024-2025学年苏科版八年级数学下册

苏科版八年级数学下 11.2反比例函数图像与性质（面积问题） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、解答题 1．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)过点B作轴，于点D，点C是直线上一点，若，求点C的坐标． 2．如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)若过点且平行于轴的直线上有一动点，当的面积为时，求点的坐标； (3)若，请直接写出关于的不等式的解． 3．如图，反比例函数的图像与一次函数的图像相交于点，一次函数的图像与y轴的交点为C． (1)求反比例函数表达式和一次函数表达式； (2)当x取何值时，？ (3)求的面积． 4．如图，已知反比例函数和一次函数的图象相交于点，两点，O为坐标原点，连接，． (1)求与的解析式； (2)当时，请结合图象直接写出自变量x的取值范围； (3)求的面积； (4)设直线与的交点横坐标分别为，，与直线的交点横坐标为，若，直接写出b的取值范围． 5．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点、 (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)直线与轴交于点，是轴上一点，若的面积等于12，求的值． 6．如图，一次函数的图象和反比例函数的图象交于和两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)请直接写出不等式的解集； (3)连结，设点为轴上一点，使得为等腰三角形，求点的坐标． 7．如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点和点，与轴交于点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)请直接写出关于的不等式的解集； (3)连接、，在直线上是否存在点，使的面积是面积的？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 8．如图所示，直线与双曲线交于、两点，已知点坐标为，点的纵坐标是，直线与轴交于点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)观察函数图像，直接写出不等式的解集； (3)求的面积． 9．已知直线与反比例函数的图象在第一象限交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)如图，将直线向上平移个单位后与的图象交于点和点， ①求出的值． ②直接写出的面积． 10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交，两点． (1)求一次函数解析式； (2)根据函数的图象，直接写出不等式的解集； (3)点是轴上一点，的面积等于面积的2倍，求点坐标． 11．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点． (1)求反比例函数的解析式； (2)结合图象请直接写出不等式的解集； (3)若点P在y轴上，且的面积为12，请直接写出点P的坐标． 12．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)设直线交轴于点，点是正半轴上的一个动点，过点作轴交反比例函数的图象于点，连接，．若，直接写出的取值范围． 13．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)过线段上的动点P作x轴的垂线，垂足为点M，其交函数的图像于点Q，若，直接写出P点的坐标． 14．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于第二象限内的点和，与轴交于点． (1)分别求出这两个函数的表达式； (2)点是轴上一点，的面积等于面积的2倍，求点坐标． 15．如图，直线与双曲线交于点，且点的横坐标为4，双曲线上有一动点，过点作轴垂线，垂足为，过点作轴垂线，垂足为，连接． (1)求的值； (2)直接写出时的取值范围； (3)连接，当与的重合部分的面积为1时，求的面积． 16．双曲线的图象与一次函数的图象交于两点． (1)求反比例函数的解析式； (2)观察图象，直接写出不等式的解集； (3)设直线与x轴交于点C，若P为x轴上一点，当的面积为3时，求点P的坐标． 17．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求的值以及点坐标； (2)为轴上的一动点，的面积时，求点坐标． 18．如图，反比例函数（）的图像经过点A，B，点A的坐标为，点B的纵坐标为3，点C的坐标为． (1)如图①，求反比例函数和直线的函数表达式； (2)如图②，P是直线上一点，D是x轴上一点，当的值最小时，求的最小值和此时点P的坐标； (3)如图③，是反比例函数（）图像上异于点A的一点，过点M作轴，垂足为N，过点A作轴，垂足为E，直线交x轴于点Q，是否存在点，使得四边形是菱形？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《苏科版八年级数学下 11.2反比例函数图像与性质（面积问题）》参考答案 1．(1)； (2)点C的坐标为或 【分析】本题考查了待定系数法，两点间距离公式，数形结合思想，直接开平方法解方程，熟练掌握待定系数法，数形结合思想，直接开平方法解方程是解题的关键． （1）根据点B的坐标，先确定反比例函数解析式，再确定点A的坐标，最后确定一次函数的解析式． （2）根据，，得到，设，则，根据勾股定理求出即可求解． 【详解】（1）∵点在反比例函数的图象上， ∴，解得， ∴这个反比例函数的解析式为， ∵点在反比例函数的图象上， 所以点的坐标满足，即， 解得， ∴点A的坐标为， ∵一次函数经过点和点， ∴， 解得， ∴这个一次函数的解析式为； （2）∵， ∴， ∴D点坐标为， ∴， 设，则， 根据勾股定理：，即， 解得，（舍去）， ∴， ∴点C的坐标为或． 2．(1)， (2)或 (3)或 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，求一次函数与反比例函数解析式， （1）把代入可得反比例函数解析式；把代入反比例函数解析式求出n的值，再利用待定系数法求一次函数解析式； （2）记直线与直线的交点为，求出点C的坐标，设点，根据即可求解． （3）运用数形结合思想，得出当时，则或，即可作答． 【详解】（1）解：依题意把代入，得出， 解得， 反比例函数的解析式为：； 把代入中，得出， ， 则把和分别代入， 得出， 解得， ； （2）解：如图，记直线与直线的交点为， 当时，则 ， 是直线上的一个动点， 设点， 的面积为21， ， 即， ， 解得或， 点坐标为或． （3）解：依题意，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． 则结合图象，当时，则或． 3．(1)，； (2)或． (3) 【分析】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及待定系数法求解析式．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． （1）由反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点，首先求得反比例函数表达式，继而求得点的坐标，然后由待定系数法即可求得一次函数表达式； （2）观察图象，即可求得当取何值时； （3）首先求得点的坐标，继而求得的面积． 【详解】（1）解：将点代入反比例函数得：， 解得：， ∴反比例函数表达式为：； 将代入反比例函数得：， ∴点的坐标为：， 将点与代入一次函数得：， 解得：， ∴一次函数表达式为：； （2）解：如图，当或时，； （3）解：∵点是一次函数与轴的交点， ， ． 4．(1)； (2)或 (3) (4) 【分析】（1）根据反比例函数性质得到，求出值，得到点，坐标，再利用待定系数法求解，即可解题； （2）根据图象交点坐标直接得出自变量x的取值范围即可； （3）利用一次函数性质求出其与轴交点坐标，再结合利用割补法求三角形面积，即可解题； （4）根据题意得到即与的交点在之间，求出当过时，当过时b的临界值，即可得到b的取值范围． 【详解】（1）解：反比例函数和一次函数的图象相交于点，两点， ， 解得， 点，， ， 反比例函数解析式为； 又，解得， 一次函数解析式为； （2）解：由图象可知，当时，自变量x的取值范围是或； （3）解：， 当时，，解得， 的面积； （4）解：直线与的交点横坐标分别为，，与直线的交点横坐标为，若， 即与的交点在之间， 当过时，．解得， 当过时，．解得， b的取值范围为． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据交点情况求不等式解集，待定系数法求函数解析式，三角形的面积，数形结合是解题的关键． 5．(1)反比例函数的解析式为：，一次函数的解析式为：； (2)或 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等，求得交点坐标是解题的关键． （1）将A点坐标代入反比例函数解析式求得反比例函数，再把B点坐标代入所求得的反比例函数解析式，求得m，进而把A、B的坐标代入一次函数解析式便可求得一次函数的解析式； （2）由一次函数的解析式求得与x轴的交点C的坐标，根据的面积等于12，再建立方程即可求解． 【详解】（1）解：∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为：， 把代入，得， ∴， 把，都代入一次函数，得 ， 解得， ∴一次函数的解析式为：； （2）解：如图， 对于，当，解得， ∴， ∵， ∴， ∵的面积等于12， ∴，即， 解得：或； ∴或． 6．(1)， (2)或 (3)或或或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合，熟练掌握用待定系数法求反比例函数解析式和一次函数的解析式，函数与不等式，等腰三角形性质，分类讨论，是解题的关键． （1）先把A点坐标代入中求出m得到反比例函数解析式，再利用反比例函数解析式确定B点坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式； （2）结合一次函数图象与反比例函数图象，写出一次函数图象在反比例函数图象下方所对应的自变量的范围即可； （3）分，列方程求得C的横坐标，即得． 【详解】（1）解：点在的图象上， ， ， ． 将代入， 得， ， ． 将代入中， 得， 解得， ． （2）解：∵函数和的图象交于和两点，如图， ∴不等式的解集为或． （3）解：， ． ∵为等腰三角形， 当时， 得到； 当时，， ∵C点在轴负半轴， ； 当时， 设． ∵中点为， ∴， 解得 ． 综上所述，C点坐标为或或或． 7．(1)； (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的综合应用，反比例函数与几何综合，待定系数法求函数解析式，三角形的面积的计算，正确求出一次函数和反比例函数解析式是解题的关键． （1）将点坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，进而求出点的坐标，用待定系数法即可求出一次函数表达式； （2）根据函数图像找到一次函数的图像在反比例函数图像上方时自变量的取值范围即可得到答案； （3）求出点坐标，根据、、三点坐标求出的面积，再得到的面积，设，利用三角形面积求出的值即可得到答案． 【详解】（1）解：把代入，得，解得， 反比例函数表达式为， 在中，当时，，， ∴ 把，代入，得， ， 一次函数表达式为； （2）解：由函数图象可知，当时，一次函数的图像在反比例函数图像上方， ∴关于的不等式的解集为； （3）解：在中，当时，则得，， 点的坐标为， ， ， 设，则，得 ∴， ， 解得：或， 故或． 8．(1)的解析式为；双曲线的解析式为 (2)或 (3) 【分析】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法， （1）利用待定系数法求出双曲线的解析式，进而求出点的坐标，最后用待定系数法，即可得出结论； （2）直接利用图象即可得出结论； （3）根据一次函数的解析式，求得的坐标，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：点在双曲线上，， ， 双曲线的解析式为， 点在双曲线上，且纵坐标为， ， ， ， 将点代入直线中得， ，解得， 直线的解析式为； （2）解：由图象知，不等式的解集为或； （3）解：直线与轴交于点，当时， ∴ ∴ ∵ ∴． 9．(1) (2)；的面积是7.5 【分析】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，三角形的面积，熟练根据坐标找线段关系是解题的关键． （1）先根据一次函数求出点坐标，再代入反比例函数计算即可； （2）①先求出的点坐标，再代入平移后的一次函数解析式计算即可；②先求出C、D两点的坐标，再根据，代入数据计算即可． 【详解】（1）解：直线过点， ， 将代入中，得， 反比例函数的解析式为； （2）解：①由（1）知，反比例函数的解析式为， 点在的图象上， ， ， 由平移得，平移后直线的解析式为， 将代入中，得， ； ②由（1）可知直线的解析式为， 令，得，令，得， 与轴、轴的交点坐标为，， ， ． 10．(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合，熟练应用数形结合思想是解题的关键． （1）先利用反比例函数解析式求出点A和点B的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式； （2）一次函数图象在反比例函数图象下方部分对应的x的取值范围即为不等式的解集； （3）连接，根据计算出，设，根据三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解： 反比例函数的图象经过点，， ，解得， ，， 把A、B的坐标代入， 得，解得， 一次函数的解析式为； （2）解：由（1）知，， 观察图象可得，不等式的解集为：或； （3）解：连接， 中，当时， ， ， 设， 由题意， 解得， 或． 11．(1) (2)或； (3)或 ． 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握交点坐标满足两个函数解析式是关键． （1）待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）根据函数图象及函数图象的交点坐标直接写出不等式解集即可； （3）设，先求出直线与y轴交点C的坐标，再根据三角形面积公式底高，以为底，A、B横坐标差的绝对值为高来计算的面积，进而求出y的值． 【详解】（1）解：将代入 ， 得， ∴， 把代入得 ， ∴反比例函数的解析式为； （2）如图所示，一次函数的图象与反比例函数y的图象交于点、，A点为， 把B点代入反比例函数，即， ∴B点坐标为， ∴根据函数图象及函数图象的交点坐标可知，不等式解集为：或； （3）如图所示，与y轴交于C点， 在中，令，得， ∴直线与y轴交点， 已知，，根据三角形面积公式， ，， ∴， ∴或， ∴点P的坐标为或 ． 12．(1)反比例函数为，一次函数的解析式为； (2)． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，比例系数的几何意义，利用待定系数法求解析式等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）将点，点坐标代入反比例函数的解析式，可求和的值，利用待定系数法可求一次函数解析式； （）先求出点坐标，由面积关系列出不等式即可求解. 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过于，两点， ∴，解得：，， ∴反比例函数为，， ∵一次函数的图象相交，两点， ∴，解得：， ∴一次函数的解析式为； （2）解：∵直线交于点， ∴当时，， ∴， ∴， ∵点是正半轴上的一个动点， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴． 13．(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为． (2)或 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，一次函数和反比例函数的交点问题，解二元一次方程组，解一元一次方程，解一元二次方程，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题关键． （1）先把、代入得，再代入，解二元一次方程组得，，即可得一次函数和反比例函数的解析式； （2）设，得，，根据题意列方程，求出，即可求解． 【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数为的图象交于，两点， ， 解得：， ， 解得：， 一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为． （2）解：设， 轴， ，， ∵，即， ∴， ∴， ，整理得：， 解得：或， 出P点的坐标为或即或． 14．(1)一次函数的解析式为；反比例函数的解析式为 (2)或 【分析】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，三角形的面积，利用数形结合思想解决问题是解题的关键． （1）将点A，点B代入解析式，即可求解； （2）由题意求得，则，求得，然后设，根据题意求解即可． 【详解】（1）解：将代入， 得，解得， ∴反比例函数的解析式为； 将代入，可得，即：， 将，代入， 得，解得， ∴一次函数的解析式为； （2）当时，， 解得，即：， ∴， 则． ∵点是轴上一点，的面积等于面积的2倍， ∴设， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴或 ． 15．(1)8 (2)或 (3)6 【分析】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，三角形的面积的计算，反比例函数系数的几何意义，正确地求得的值是解题的关键． （1）首先将A点横坐标代入求出，然后代入求解即可； （2）根据要使得，只需的图象在的图象上方时的取值范围，再结合其交点坐标即可得出答案； （3）设与的重合部分的面积值为，设，根据三角形的面积公式得到，求得，根据梯形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）解：∵点A的横坐标是4 ∴将代入 ∴ ∴将代入，得， 的值为8； （2）令与的另一个交点为， 由反比例函数与正比例函数的性质可知， 要使得，只需的图象在的图象上方， 此时，或； （3）连接，令与交点为，设与的重合部分的面积值为， 在直线上， 设点的坐标为， ， ， 解得或（舍去）， ， ， 点在函数的图象上， ， 梯形的面积， 由（1）知，， ， 梯形的面积， 梯形的面积． 16．(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，已知自变量值求函数值，一次函数和反比例函数交点问题，一次函数与轴交点问题等． （1）先将交点求出，再将其代入反比例函数解析式即可； （2）观察图象一次函数在反比例函数上方即可； （3）先求出，再设，后列式，求出，继而得到或，即可求出本题答案． 【详解】（1）解：由题意得：将分别代入中， ，解得：， ，解得：， ∴， ∴将代入中，得：， ∴反比例函数的解析式：； （2）解：∵一次函数与反比例函数交于， ∴观察图象，不等式的解集为：或； （3）解：∵直线与x轴交于点C，直线为， ∴令，即：， ∴， ∵P为x轴上一点， ∴设， ∵的面积为3， ∴，即：， ∴，解得：或， ∴或． 17．(1)，， (2)P点坐标为或 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会利用参数构建方程解决问题． （1）将代入中，可得，把点代入中，可得，联立一次函数与反比例函数，即可求点坐标． （2）将和分别代入一次函数中，得出点的坐标，根据面积，求得，设点坐标为，故，解得或，进而得出点坐标． 【详解】（1）解：将代入中，即， ∴， 把点代入，得， 联立， 得，， ∴． （2）解：将代入中，得， 将代入中，得， ∴，， ∵为轴上的一动点，的面积， ∴， ∴． 设点坐标为， ∴， 即， 解得：或， ∴点坐标为或． 18．(1)反比例函数为；直线的函数表达式为 (2)的最小值为，此时 (3)的值为 【分析】（1）把点A的坐标代入反比例函数解析式中，即可求得反比例函数解析式；把点B的纵坐标代入所求反比例函数式中，求得点B的横坐标，从而求得点B的坐标，再用待定系数法即可求得直线的解析式； （2）作点A关于x轴的对称点E，连接，则当三点共线，且时，的值最小；设点，则得，由此可求得最小值，得到点P的坐标； （3）由M在反比例函数图像上得；求出直线的函数解析式，则可得，从而知四边形是平行四边形，若要使它为菱形，则即可，由勾股定理建立关于m的方程即可求解． 【详解】（1）解：∵反比例函数（）的图像经过点， ∴，即， ∴； ∵点B的纵坐标为3，且在反比例函数的图像上， ∴，即， ∴； 设直线的函数表达式为，把B、C两点坐标分别代入其中， 得：，解得：， ∴． 即直线的函数表达式为． （2）解：如图，作点A关于x轴的对称点E，连接， 则，， ∴， 则当三点共线，且时，的值最小； 设点，由勾股定理得， ∵， ∴， 当时，有最小值18，则有最小值； 当时，，即， ∴的最小值为，此时； （3）解：存在，理由如下； ∵点M在反比例函数的图像上，且， ∴； 设直线解析式为，则有，解得：， ∴直线解析式为； 同理求得直线的解析式为； 由两直线解析式的系数相等得，且， ∴四边形是平行四边形； ∵四边形是菱形， ∴， 而， ∴， 解得（舍去）， 即的值为． 【点睛】本题是一次函数与反比例函数的综合，考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，勾股定理，垂线段最短，对称问题，菱形的判定等知识点，掌握这些知识是关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$