11.2反比例函数的图像与性质 同步练习 2024-2025学年苏科版八年级数学下册·

苏科版八年级数学下11.2反比例函数的图像与性质（同步练习） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．若反比例函数的图象经过点，则该反比例函数图象也一定经过点（   ） A． B． C． D． 2．反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点A，，则的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 3．若点关于轴对称的点在反比例函数（）的图象上，则这个函数的图象分别位于（   ） A．第一、第三象限 B．第一、第四象限 C．第二、第三象限 D．第二、第四象限 4．已知点在反比例函数为常数，的图象上，，则以下说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数的图象上，直线与反比例函数的图象的另一支交于点B，轴于点C，连接．若的面积为5，则的值为（  ） A．5 B． C．10 D． 6．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（    ） A． B． C． D． 7．如图，直线交反比例函数的图象于点和点，交轴于点 ，，过点作轴于点，连接并延长，交轴于点 ，连接． 若的面积为，则的值为 （    ） A．8 B．12 C．16 D．18 二、填空题 8．已知点、、均在反比例函数（k为常数，且）的图象上，则的值为 ． 9．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象相交于A，B两点，点C在y轴上，若的面积等于4，则k的值为 ． 10．若点、、都在反比例函数的图象上，若，则、、的大小关系是 （用“”连接）． 11．如图，平行四边形的面积为4，顶点A与原点O重合，顶点B在x轴的负半轴上，顶点C，D分别落在反比例函数和的图象上，则k的值等于 ． 12．如图，点A在函数的图像上，点B在函数的图像上，且轴，轴于点C，则四边形的面积为 13．如图，点A，B在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为D，过点B作轴，垂足为C．若，且的面积为15，则 ． 14．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A，C 分别在x 轴 ，y轴上，且， 反比例 函数 的图像与正方形 的两边分别相交于M、N 两点，且的面积为3.5，若动点P 在 x 轴上，则取最小值时，点P 的坐标为 ． 三、解答题 15．在平面直角坐标系中，已知四边形为矩形，其中点，． (1)当反比例函数（）的图象和矩形有交点时，求k的最大值； (2)如图，反比例函数（）的图象与,分别交于点D，E，连接，，．当时，求的面积． 16．某气象研究中心观测到一场沙尘暴从发生到减弱的全过程（如图）．开始一段时间风速平均每小时增加2千米，4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加4千米，然后风速不变，当沙尘暴遇到绿色植被区时，风速y（千米/时）与时间x（时）成反比例函数关系． (1)这场沙尘暴的最高风速是______千米/时，最高风速维持了______小时． (2)当时，求出风速y（千米/时）与时间x（时）的函数关系式． (3)在这次沙尘暴形成的过程中，当风速不超过10千米/时称为“安全时刻”，其余时刻为“危险时刻”，那么该沙尘暴在整个过程中的“危险时刻”共有多长时间？ 17．如图，已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，与反比例函数的图象分别交于点C、D，点C坐标为，点D坐标为． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)求的面积； (3)直接写出当时，自变量x的取值范围． 18．棱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中，反比例函数的图象经过点C． (1)求此反比例函数的解析式； (2)在x轴的下方作矩形，使，请你通过计算说明点N在反比例函数图象上； 19．反比例函数中两个变量的乘积不变，由此带来反比例函数的一些特性．如图①，是反比例函数的图像上的一个动点，轴，垂足为轴，垂足为，则，所以，，即矩形的面积不变．当时上述结论也成立．我们可称这一性质为“反比例函数的′面积不变性′”，连接，此时，的面积为，也是定值．试利用“反比例函数的′面积不变性′”解决下列问题：    如图②，③，点在反比例函数的图像上，轴，垂足为． (1)如图②，点在反比例函数的图像上，轴，垂足为、相交于点．试比较下列图形面积的大小：______，______（选填“”“”或“”）． (2)如图③，的延长线与反比例函数的图像的另一个交点为轴，垂足为，连接，则四边形的面积为______． 20．【情境引入】数学来源于生活，数学问题往往产生于某一场景中或一瞬间．近年来，AI技术已悄然渗透日常，信息技术课上，小宛用一款名为“GGB”数学应用软件绘制一个小球运动瞬间（图1），由此产生一些数学问题，请你帮助小宛解决下列问题． 【条件设置】将图1放置在直角坐标系中（图2），设点O为坐标原点，水平直线为横轴，过点O的铅垂线为纵轴．小球从y轴上的A点出发，到达x轴上的B点后改变方向运动到挡板上D点处，其中轴，垂足为C，，小球运动都为直线型路径． 【初步发现】 (1)如图2，若的函数关系式为． ①则点A坐标为________；点B坐标为________； ②聪明的小宛发现当时，就构成了典型的“一线三垂直全等模型”，则点D的坐标为________； 【方法总结】遇等腰直角三角形，可以过两个锐角顶点分别向直角顶点所在的直线作垂线，就得到了两个全等的直角三角形，从而利用线段相等得到点的坐标． 【应用探究】 (2)已知直线与x轴交于点B，与y轴交于点A，过反比例函数图象一点E，在第二象限构造等腰直角，使得，求反比例函数的表达式； 【拓展延伸】 (3)如图4，将直线绕点A旋转得到，直接写出的函数表达式． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《苏科版八年级数学下11.2反比例函数的图像与性质（同步练习）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 D D A D B D B 1．D 【分析】本题考查了反比例函数，掌握待定系数法求解析式是关键． 根据题意，运用待定系数法得到反比例函数解析式，再将选项代入计算即可判定． 【详解】解：反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数解析式， ∴A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，符合题意， 故选：D ． 2．D 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，求一次函数与反比例函数的解析式；把点A，B的坐标分别代入反比例函数式中求得k与a的值，再把A，B两点的坐标代入一次函数解析式中，求得m，n的值，即可求得结果． 【详解】解：把点A的坐标代入中，得，即， ∴； 把点B的坐标代入中，得，即， ∴； 把点A，B的坐标分别代入中，得， 解得：， ∴； 故选：D． 3．A 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．当时，函数图象位于第一、三象限；时函数图象位于第二、四象限． 先求得点关于轴对称的点的坐标，然后根据题意求得��的值，进而即可求解． 【详解】解：点关于轴对称的点为， 把代入中，可得，解得， ∴这个函数的图象分别位于第一、第三象限， 故选：A． 4．D 【分析】本题考查了比较反比例函数的函数值大小，反比例函数的增减性，当两个点都在第四象限时，两个点纵坐标都是负数，不管横坐标的大小如何，纵坐标的和都小于0，当时，则有，则，据此可判断A、B；根据增减性和函数图象所在的象限可判断C、D． 【详解】解：反比例函数的图象分布在第二、四象限，在每个象限内，随增大而增大； A、当两点都在第四象限时，满足，此时，不满足，原说法错误，不符合题意； B、当两点不在同一象限时，若，则不一定成立，例如时，则有，则，原说法错误，不符合题意； C、若，那么在同一象限，而，故，原说法错误，不符合题意； D、若，那么不在同一象限，而，则，原说法正确，符合题意； 故选：D． 5．B 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点以及反比例函数的定义，设点，则点，，由求出，即可得出结论，求出的值是解题的关键． 【详解】解：如图，过作轴于点， 设点，则点，， 轴， ，， ， ， ， ， 故选：B． 6．D 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的图象与性质，首先以一次函数的图象为标准，确定的取值范围，再根据反比例函数所在的象限判断是否正确． 【详解】解：A选项：一次函数的走向是随的增大而增大， ， 当时，， 一次函数的图象与轴的交点应在轴的正半轴， 故A选项错误， B选项：一次函数的走向是随的增大而减小，直线与轴的交点在轴的负半轴， ， 反比例函数的图象应在第二、四象限， 故B选项错误； C选项：一次函数的走向是随的增大而减小， ， 直线与轴的交点在轴的负半轴， 故C选项错误； D选项：一次函数的走向是随的增大而增大，直线与轴的交点在轴的正半轴， ， 反比例函数在第一、三象限， 故D选项正确． 故选：D． 7．B 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 连接,根据题意得到，求出，由轴得到，推出，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接, , , , , , , 轴于点， , , 点在反比例函数图象上， ， 故选：B． 8．9 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．将点A、B的坐标分别代入已知反比例函数解析式，分别求得m、k的值，再求出n的值，然后再代入计算即可． 【详解】解：将点、代入得，，， ∴， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 把点代入，得， ∴， ∴， 故答案为：9． 9． 【分析】该题考查了一次函数和反比例函数综合，由正比例函数与反比例函数图象的对称性可得O为的中点，且，根据的面积得出的面积，联立两个函数解析式求出B点坐标，表示的面积，即可求出k的值． 【详解】解：由正比例函数与反比例函数图象的对称性可得O为的中点，且． 的面积等于4， 的面积等于2． 将联立可得B点坐标为． ， ∴， ， ∴． ， ， 故答案为：． 10． 【分析】本题考查了反比例函数的性质，当时，在每个象限内，随的增大而增大，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据反比例函数的性质比较即可得出答案． 【详解】解：反比例函数， ， 图象分布在二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大， 点、、都在反比例函数的图象上，若， ，， ． 故答案为：． 11． 【分析】延长交y轴于E，过点C，轴于点F，过点D作轴于点G，根据矩形的性质结合反比例函数系数k的几何意义即可得出矩形的面积为5，矩形的面积为，结合平行四边形的面积为4，可得k值． 【详解】解：延长交y轴于E，过点C，轴于点F，过点D作轴于点G，如图所示： 则， 根据反比例函数k的几何意义：矩形的面积为5，矩形的面积为， ∵四边形为平行四边形， ∴轴， ∴四边形为平行四边形， ∵平行四边形的面积为4， ∴平行四边形的面积为4， ∴， ∵， ∴解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质以及反比例函数系数k的几何意义，根据反比例函数系数k的几何意义找出、是解题的关键． 12． 【分析】本题考查反比例函数与几何图形的综合应用．熟练掌握反比例函数中的几何意义，是解题的关键．延长交轴于点，根据反比例函数值的几何意义得到，，根据四边形的面积等于，即可得解． 【详解】解：延长交轴于点， ∵轴， ∴轴， ∵点A在函数的图象上， ∴， ∵轴于点C，轴，点B在函数的图象上， ∴， ∴四边形的面积等于， 故答案为：． 13．8 【分析】本题考查了根据图形面积求反比例函数的比例系数，熟练掌握根据图形面积求反比例函数的比例系数是解题的关键．过点A作轴，垂足为E，先求出，，再结合，求得，由此列方程求解即可． 【详解】解：过点A作轴，垂足为E， ， ， 令，则， 解得， 令，则， ，， ，，， 由题意得， 则， ， 解得， ， ． 故答案为：8． 14． 【分析】本题考查了正方形的性质，反比例函数的图象与性质，轴对称的性质，先求得，再由，再列出方程求得k的值，可求出点M、N的坐标，作点M关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接，此时最小，设直线的表达式为，将点、N的坐标代入即可求出其表示，直线与x轴的交点即可求得点P 的坐标． 【详解】解：正方形中，， 点M的横坐标和点N的纵坐标都是4， 点M、N在反比例函数的图像上， ， ， ， 解得：（负值舍去）， ， 如图，作点M关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接，此时最小， 点M关于x轴的对称点， ， 设直线的表达式为， 将点、N的坐标代入得 ， 解得， 直线的表达式为， 令，则， 点P 的坐标为． 15．(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点，利用数形结合的思想是解题的关键． （1）由反比例函数的性质可得，再根据反比例函数图象和矩形有交点，即，，进而得到当，时，k有最大值； （2）先根据题意得到，，连接，，由，得到，，求得，，，，然后利用割补法即可求得答案． 【详解】（1）解：∵反比例函数（）， ∴． ∵反比例函数（）的图象和矩形OABC有交点，其中，， ∴，， ∴当，时，k有最大值． （2）∵，，且四边形OABC为矩形， ∴， ∴，． ∵反比例函数的图象与AB，BC分别交于点D，E， ∴，． ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴ ． 16．(1)32，10 (2)y= (3)59.5 【分析】本题考查反比例函数的应用，待定系数法求函数的解析式，学生阅读图象获取信息的能力，理解题意，读懂图象是解决本题的关键． （1）速度=增加幅度×时间，得4时风速为8千米/时，10时达到最高风速，为32千米/时，与x轴平行的一段风速不变，最高风速维持时间为小时； （2）当时函数解析式为，将，代入，利用待定系数法即可求解； （3）求出当和，时，求出对应x的值，然后求差即可求解． 【详解】（1）解：由函数图象可知；0～4时，风速平均每小时增加2千米；所以4时风速为8千米/时； 时，风速变为平均每小时增加4千米，10时达到最高风速，为千米/时； 时，风速不变；最高风速维持时间为小时； 故答案为：32，10； （2）解：设当时函数解析式为，将，代入， ，解得： 当时，出风速y（千米/时）与时间x（时）的函数关系式为； （3）解：∵当，时，，解得， ∴时风速为10千米/时， 当时，设风速y（千米/小时）与时间x（小时）的函数解析式为y= 将代入，得 解得 所以当时，风速y（千米/小时）与时间x（小时）之间的函数关系为； 当，时，，解得 “危险时刻”的时间为：（小时）． ∴在沙尘暴整个过程中，“危险时刻”共有 小时． 17．(1)； (2)3 (3)或 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数的交点，利用函数图象解不等式．熟练掌握待定系数法是关键． （1）将点坐标代入，即可求出反比例函数解析式；根据点D坐标为．求出，再利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）先求出，，再利用即可求解； （3）时，自变量的取值范围即为一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围，根据图象即可解答． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点， ∴，解得， 即反比例函数解析式为：； ∵点D坐标为． ∴， ∴点D坐标为． ∵一次函数的图象过点，， ∴， 解得：， ∴一次函数解析式为； （2）解：∵一次函数解析式为与x轴、y轴分别交于点A、B， ∴当时，则， ∴， ∴， ∵，， 则的面积， （3）解：根据图象可得，当时，自变量的取值范围为或． 18．(1) (2)见解析 【分析】本题考查了反比例函数的综合题，反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质和轴对称、中心对称的性质，解题的关键是掌握以上知识点． （1）利用待定系数法求解即可； （2）首先求出，，然后根据得到，进而求解即可； 【详解】（1）点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为． （2）已知，，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴点N的坐标为． ∵， ∴点N在反比例函数的图象上； 19．(1)， (2) 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，解题的关键是熟练掌握“过反比例函数图像上的任意一点分别向两坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积等于”． （1）由反比例函数系数的几何意义可得，，进而根据，即可求解； （2）根据“反比例函数图像”和“过原点的直线”都是以原点为对称中心的中心对称图形，得出、两点关于原点对称，再根据反比例函数中系数的几何意义求解即可． 【详解】（1）解：由反比例函数系数的几何意义可得，， ， ， 故答案为：，； （2）“反比例函数图像”和“过原点的直线”都是以原点为对称中心的中心对称图形， 、两点关于原点对称， 反比例函数的解析式为：， ， ， 故答案为：． 20．(1)①；；② (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数与几何综合、求反比例函数解析式、全等三角形的性质与判定，学会作垂线构造全等三角形是解题的关键． （1）①利用一次函数的性质即可求解；②通过证明，得出，，代入数据即可得出点D的坐标； （2）作轴于点，利用一次函数的性质求出点的坐标，再通过证明，得到，，代入数据得到点E的坐标，再利用待定系数法求反比例函数表达式即可； （3）根据题意，分两种情况讨论：①直线绕点A顺时针旋转得到；②直线绕点A逆时针旋转得到，过点作交于点，作轴于点，通过证明，得到，，代入数据得到点M的坐标，再利用待定系数法求直线的函数表达式即可． 【详解】（1）解：①令，则， 令，则，解得， 点A坐标为；点B坐标为． 故答案为：；． ②， ， 轴， ， ， ， 又，， ， ，， 由①得，，， ，， ， 点D的坐标为． 故答案为：． （2）解：如图，作轴于点， 令，则， 令，则，解得， ，， ，， ， ， 轴， ， ， ， 又，， ， ，， ， ， 代入到反比例函数，得， 反比例函数的表达式为． （3）解：由（2）得，，， ①若直线绕点A顺时针旋转得到， 如图，过点作交于点，作轴于点， ， ， ， 轴， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ，， ， ， 设直线的函数表达式为， 代入，得， 解得：， 直线的函数表达式为； ②若直线绕点A逆时针旋转得到， 如图，过点作交于点，作轴于点， 同理①的方法可得，，， ， ， 设直线的函数表达式为， 代入，得， 解得：， 直线的函数表达式为； 综上所述，直线的函数表达式为或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$