专题12 锐角三角函数（5大题型提分练）（山西专用）-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编

专题12 锐角三角形 题型概览 题型01 锐角三角函数 题型02 解直角三角形应用---仰角俯角问题 题型03 解直角三角形应用---方向角问题 题型04 解直角三角形应用---坡度坡角问题 题型05解直角三角形应用---其它问题 锐角三角形题型01 1．（2025·山西运城·一模）如图，在正方形网格中，为格点（网格线的交点），交于点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了网格图中求三角函数，勾股定理逆定理，先将平移至，所以，连接，再判定是直角三角形，根据和的值，即可求出答案，解题关键是掌握所给示例中的方法，灵活运用所学知识解决问题． 【详解】解：如图，将线段向右平移至处，使得点与点重合，连接． ． 设正方形网格的边长为单位1， ，，，，，， 根据勾股定理可，，． ， ， ， ． 故选：B． 2．（2025·山西运城·模拟预测）如图，在四边形中，对角线，交于点，，，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】过点作于点，先证明得，，再在中利用正切的定义得到，设，，则，，，接着证明得到，然后在中利用正切的定义得到，解得，然后在中利用勾股定理可计算出． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵在中，， 设，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， 解得：， ∴，， 在中，， 即的长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形，全等三角形的判定和性质，勾股定理定理，平行线的判定和性质，灵活运用锐角三角函数的定义和勾股定理，构建是解题的关键． 3．（2025·山西晋城·一模）如图，中，，，点E在边上，沿直线折叠，使的对应边，垂足为F，交与点G，当点G恰好为的中点时，长为 ． 【答案】14 【分析】由平行四边形的性质可知，，进而可知，则设，，在中，，得，即，过点作垂直于，交延长线于，，由折叠可知，，，，得，设，则，，再证，得，，由平行四边形的性质可知，则，得，，则，由，得，解方程即可求解． 【详解】解：在中，，，，，， ∵，， ∴， 则设，， 在中，， ∴，即， 过点作垂直于，交延长线于，， 由折叠可知，，，， ∴，则， 设，则， 在中，， ∵点为的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，则， ∴，则， ∴，则， 又∵， ∴，解得：， 即：， ∴， 故答案为：14． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，解直角三角形，根据直角三角形，利用，表示边的长度，列方程是解决问题的关键． 4．（2025·山西·一模）如图，在中，，是的平分线，与中线相交于点．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质、等腰三角形的性质、余弦的定义、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 根据中线的定义、角平分线的定义以及等腰三角形的性质可得，再根据余弦的定义可得，进而可得，；如图：过B作于G，运用勾股定理可得等面积法和勾股定理可得、，再根据等面积法可得，即，据此即可解答． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵，即，解得：， ∴， ∴， 如图：过B作于G， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴， ∵的边上的高相等， ∴， 如图：过D作， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 故答案为：． 5．（2025·山西吕梁·一模）如图，在矩形中，E是边上的一点，将矩形沿折叠，使点C落在点F处，延长，交的延长线于点H．若，，，则的长为 【答案】 【分析】利用矩形性质，折叠的性质，以及解直角三角形得到，，进而得到，记交于点，结合等腰三角形性质得到，设，则，，利用勾股定理求出的值，再证明，利用相似三角形性质求解，即可解题． 【详解】解：四边形为矩形，，， ，，， 由折叠的性质可知，，，，， ， ， 解得， ， ， 记交于点， ， ， ， 设，则，， ， ， ， 解得， ， ， ， ， 解得． 故答案为： 解直角三角形的应用---仰角俯角问题题型02 6．（2025·山西运城·一模）山西是我国的古建筑之乡，有地上文物看山西的美誉．图是位于山西大同的应县木塔．如图，小方站在点处操纵无人机到与水平距离为米的处，无人机在处测得小方所在位置的俯角为，木塔顶部点的仰角为，已知无人机与木塔的水平距离为米，点，，，在同一平面上，求应县木塔的高度．参考数据，，， 【答案】应县木塔的高度均为米． 【分析】过点作于点，的延长线于点，根据题意得，，，利用，即可求出、，则． 【详解】解：如图，过点作于点，的延长线于点， 根据题意得，，，， 四边形是矩形， ， 在中，， ， 米， ，， ，， 米， 米． 答：应县木塔的高度均为米． 【点睛】本题考查的知识点是解直角三角形的应用—仰角俯角问题，解题关键是根据题意正确作出辅助线求解． 7．（2025·山西太原·一模）太原吾悦广场的具体位置是山西省太原市万柏林区千峰北路与漪汾街交叉口处，其摩天轮（图1）是太原大型商场中独一无二的摩天轮．才思数学兴趣小组利用所学知识开展“测量太原吾悦广场摩天轮高度”的综合实践活动，并写出如下报告，请完成任务． 课题 测量太原吾悦广场摩天轮高度 测量工具 无人机、测角仪、秒表等 测量示意图 测量过程 如图2，测量小组使用无人机在点处竖直上升至点处，在点处测得摩天轮顶部的仰角为，然后以的速度沿水平方向向左飞行至点处，在点处测得摩天轮顶部的仰角为，底部的俯角为． 说明 点，，，，均在同一竖直平面内，且点，在同一水平线上．（参考数据．，，，） 任务 求太原吾悦广场摩天轮的高度（结果精确到） 【答案】太原吾悦广场摩天轮的高度约为 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数是解题的关键；延长交于点，设，则四边形是矩形，依题意得，，解直角三角形求出，，，由，建立方程求解即可． 【详解】解：如图，延长交于点，设， 则四边形是矩形， 依题意得，， 在中，，，则， 在中，，，则， 在中，，，则， ， ， 解得，， ， 答：太原吾悦广场摩天轮的高度约为． 8．（2025·山西运城·一模）太原市晋阳湖之眼摩天轮计划于年月正式试灯营业，该摩天轮位于晋阳湖北岸，采用双侧通透立柱和全拉索轮盘设计，配备台球形吊舱，兼具安全性与科技感．图是太原市晋阳湖之眼摩天轮，图2是测量晋阳湖之眼摩天轮高度示意图．才思数学兴趣小组利用所学知识开展“测量晋阳湖之眼摩天轮高度”的综合实践活动，并写出如下报告，请完成任务． 课题 测量晋阳湖之眼摩天轮高度 测量工具 无人机、测角仪、秒表等 测量示意图 测量过程 如图，测量小组使用无人机在点处竖直上升至点处，在点处测得摩天轮顶部的仰角为，然后以的速度沿水平方向向左飞行至点处，在点处测得摩天轮顶部的仰角为，底部的俯角为． 说明 点均在同一竖直平面内，且点在同一水平线上．（参考数据：，，，） 任务 求晋阳湖之眼摩天轮的高度．（结果精确到） 【答案】太原晋阳湖之眼摩天轮的高度约为米． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，延长交于点，设，得出四边形是矩形，然后在中，，，则，在中，，，则，在中，，，则，最后通过线段和差即可求解，矩形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交于点，设， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 依题意得，， 在中，，，则， 在中，，，则， 在中，，，则， ∵， ∴， 解得，， ∴（米）， 答：太原晋阳湖之眼摩天轮的高度约为米． 9．（2025·山西·一模）守护鸟巢，护佑生命之家，共创和谐生态．在爱鸟护鸟活动中，爱心小组计划为喜鹊搭建鸟巢．为了解喜鹊巢穴自身的高度，同学们到森林公园进行实地测量，方法如下：如图，在距离大树底部A点3米的点B处，利用测角仪测得鸟巢底部点D的仰角，在点F处测得鸟巢顶部点H的仰角，点B，F之间的距离为4米，测量时测角仪的高度．图中所有点均在同一竖直平面内，A，B，F三点在同一条水平直线上，A，D，H三点在同一条铅垂直线上．请根据以上信息，求鸟巢高度的长（结果精确到0.1米．参考数据：，，，，，）． 【答案】鸟巢高度的长约为0.3米 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，延长交于点M，根据得，根据得，再由可求出答案． 【详解】解：延长交于点M， 根据题意得，，四边形、四边形均为矩形． ∴，， 在中，，， ∴， ∴（米）， 在中，，， ∴， ∴（米）， ∴（米）． 答：鸟巢高度的长约为0.3米． 10．（2025·山西·模拟预测）研学实践：迎泽大桥是太原迎泽大街上的标志性桥梁，而新建的桥头堡作为其重要组成部分，已成为太原市的新地标．某校研学小组在了解“桥头堡”的历史背景后，利用测量工具测量了桥头堡的相关数据． 数据采集：如图，点A是桥头堡的顶端，是桥面，在点B处用测角仪测得顶端A的仰角为，然后沿方向后退，在点C处用测角仪测得顶端A的仰角为，用皮尺测得测角仪的高，点B与点C之间的距离为． 数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，点M，C，B，N在同一水平直线上．请根据上述数据，计算桥头堡顶端到桥面的距离．（结果精确到．参考数据：，，，） 【答案】桥头堡顶端到桥面的距离约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．过点作于点，连接，并延长交于点，先证出，，，再设，解直角三角形可得的长，然后根据建立方程，解方程可得的值，最后根据求出的长，由此即可得． 【详解】解：如图，过点作于点，连接，并延长交于点， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形， ∴，， 又∵，， ∴四边形是矩形， ∴，， 由题意得：，， 设， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得， ∴， 答：桥头堡顶端到桥面的距离约为． 11．（2025·山西吕梁·一模）亭是我国最具代表性的传统建筑形式之一，我国汉代便有十里一亭，十亭一乡的建制．如图，某小区的一凉亭可看作由等腰三角形和矩形构成，其中，横梁的长为，数学小组的同学用自制的测角仪在点处测量，发现凉亭顶端点、檐角点和点正好在同一条直线上，此时测得檐角点的仰角为，将测角仪往前移至点处，测得檐角点的仰角为，已知点到的距离．求凉亭的高度（精确到，参考数据：）． 【答案】5.2米 【分析】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、解直角三角形的应用，解题的关键是通过作辅助线构造矩形，利用三角函数和几何图形的性质建立等式来求解线段长度． 首先设与的交点为，过点作于点构造矩形，利用矩形性质得，，．再根据等腰三角形的性质确定，然后分别在两个直角三角形中，利用已知的仰角和三角函数（正切函数）的定义，得到的长度，最后通过计算得出凉亭的高度． 【详解】解：如图，设与的交点为，过点作于点， ，，易得四边形是矩形， ，，， 为等腰三角形， ， 由题意可知，， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ． 答：凉亭的高度约为5.2米． 12．（2025·山西吕梁·一模）图书楼是交城中学的标志性建筑，其结构灵动飘逸，象征着交城教育日新月异，乘风而上的积极状态（如图）．某校“综合与实践”活动小组的同学们为了测量该图书楼的高度，设计了如下方案： 课题 测量图书楼的高度 测量工具 无人机，测角仪，皮尺等 成员 组长：×××，组员：×××，×××，××× 测量示意图 说明：表示图书楼，点表示图书楼的最高点，点表示图书楼的底部．点为无人机测量的位置，为无人机的高度，点，在同一竖直直线上，点，，，均在同一竖直平面内，AB与水平面BD垂直． 测量数据 从处观测处的仰角 从处观测处的仰角 米 参考数据 ，，，，， …… …… 请你结合以上数据，帮助该小组的同学求出图书楼的高度（结果保留整数）． 【答案】米 【分析】本题考查了三角函数的应用，解题的关键是掌握相关知识．延长交于点，由题意可知：，，，可得四边形为矩形，得到，，设，根据三角函数可得：，，再根据，列方程求出，即可求解． 【详解】解：延长交于点， 由题意可知：，，， ， 四边形为矩形， ，， 设， 在中，， 即， ， 在中，， 即， ， ， ， ， 米， 答：图书楼的高度为米． 13．（2025·山西大同·一模）太原双塔寺又名永祚寺，是国家级文物保护单位，由于双塔（舍利塔、文峰塔）耸立，被人们称为“文笔双塔”，是太原市的标志性建筑之一．某校实践小组的同学把“测量舍利塔的高度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告． 课题 测量舍利塔的高度 调查方式 资料查阅、实地测量 调查内容 目的 测量舍利塔的高度 工具 无人机、测角仪、皮尺等 测量示意图及相关数据 如图，将无人机悬停在距离水平地面的点P处，测得塔顶A处的俯角为，同时测得地面标记点C的俯角为，点P，A，B，C在同一竖直平面内，于点B，标记点C与塔底的距离为． 计算结果 …… 展示交流 …… 求舍利塔的高度．（结果精确到，参考数据：） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 过点P作于点D，过点A作于点E，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：如图，过点P作于点D，过点A作于点E， 则， ， 在中．， ∴． ∴． ∵． ∴． ∴． ∴四边形为矩形． ∴，． 在中、． ∴． ∴． ∴． 答：舍利塔的高度约为． 解直角三角形的应用---方向角问题题型03 14．（2025·山西朔州·一模）【实践情景】如图，太原市在本市两景点之间开设了两条徒步路线，线路1为路线，路线为之间的线段；线路2为越野线路，路线为之间的折线段． 【数据收集】 数据①：点在点的北偏东方向上； 数据②：线路2的行走方式为从起点出发，先向北偏东的方向越野行走一段路程到达中转点，再从中转点向正东方向行走2000米即可到达终点． 【数据应用】 利用以上数据，求的长．（结果保留整数，参考数据：） 【答案】的长米 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，如图，过作于，结合题意可得：，，，，证明，，再分别求解，，即可得到答案. 【详解】解：如图，过作于， 由题意可得：，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴（米）； 答：的长米． 解直角三角形的应用---坡度坡角问题题型04 15．（2025•榆社县一模）一个物块静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力F1的方向与斜面垂直，摩擦力F2的方向与斜面平行．若摩擦力F2与重力G方向的夹角α的度数为132°，则斜面的坡角β的度数为（　　） A．52° B．48° C．42° D．38° 【答案】C 【分析】先利用平行线的性质得到∠1=∠α=132°，然后利用三角形外角性质计算∠β的度数． 【详解】解：如图，∵摩擦力F2的方向与斜面平行， ∴∠1=∠α=132°， ∵重力G的方向竖直向下， ∴∠2=90°， ∵∠1=∠2+∠β， ∴∠β=132°-90°=42°． 故选：C． 16．（2025·山西朔州·模拟预测）如图是传送带和水平地面所成斜坡的示意图．传送带和地面所成斜坡的坡度为，若该传送带把某物体从地面传送到离地面15米高的地方，那么该物体所经过的路程恰好是 米． 【答案】30 【分析】本题主要考查斜坡的坡度和勾股定理，根据题意求得水平距离，再利用勾股定理求得经过的路程即可． 【详解】解：∵传送带和地面所成斜坡的坡度，把某物体从地面送到离地面15米高的地方， ∴水平距离为米， 则该物体所经过的路程米， 故答案为：30米． 17．（2025•长治一模）如图，一个滑雪爱好者乘滑雪板沿斜坡上的滑雪道笔直滑下208米，若斜坡滑雪道的坡度（指斜坡的铅直高度与水平宽度的比）为5：12，则他在这次滑雪时下降的高度是 米． 【答案】80． 【分析】根据坡度的概念、勾股定理列出方程，解方程得到答案． 【详解】解：如图，构造直角三角形ABC， 设他下降的高度AC=x米， ∵斜坡的坡度为5：12， ∴AC=5x米，BC=12x米， 由勾股定理得：AC2+BC2=AB2， 即（5x）2+（12x）2=2082， 解得：x=16（负值舍去）， ∴他下降的高度为16×5=80米， 故答案为：80． 解直角三角形的应用---其它问题题型05 18．（2025·山西运城·模拟预测）随着人民生活质量的不断提高，国家越来越重视“全民运动”，其中篮球运动是一项深受市民喜欢的球类运动，图1，图2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知，，，，，篮板顶端P点到篮框F的距离，支架垂直水平地面，支架与水平地面平行，求篮框F到水平地面的距离．（结果精确到．参考数据：，，） 【答案】篮框F到水平地面的距离约为 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，延长交于点M，先求出，再解得到，根据线段的和差关系得到，据此求出的值即可得到答案． 【详解】解：如图，延长交于点M． 由题意可知， ， ． 在，，， ． ，， ， ， ∴篮框F到水平地面的距离约为． 19．（2025·山西晋中·一模）图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图2是某种工作状态下的侧面结构示意图（是基座的高，是主臂，是伸展臂，）．已知基座高度为，主臂长为，测得主臂伸展角． （参考数据：） (1)求点P到地面的高度； (2)若挖掘机能挖的最远处点Q到点N的距离为，求的度数． 【答案】(1)点到地面的高度为； (2)． 【分析】（1）过点作，延长交于，易知四边形为矩形，则，，进而可求得答案； （2）由（1）可知，四边形为矩形，则，可得，进而可得，求得，由，可得，由可得答案． 【详解】（1）解：过点作于H，延长交于， 则四边形为矩形， ∴，， 则， ∴点到地面的高度：， 即点到地面的高度为； （2）由（1）可知，四边形为矩形， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 20．（2025·山西阳泉·一模）如图，高铁列车座位后面的小桌板收起时可以近似地看作与地面垂直，展开小桌板后，桌面会保持水平，图①、图②分别是小桌板收起时和展开时的实物图，图④是小桌板展开后的侧面示意图，其中表示小桌板桌面的宽度，表示小桌板的支架，连接，此时，且支架长与桌面宽的长度之和等于的长度，求点到的距离.（结果精确到，参考数据：） 【答案】点到的距离约为. 【分析】延长交于点，构造Rt△AOD和Rt△BCD,解直角三角形,求得BD的长. 【详解】解：如解图，延长交于点，由题可知， 设，则，                 在中， ，                   ， 在中， ， ， 解得，                      ， 答：点到的距离约为. 【点睛】本题考查了锐角三角形的基本关系与应用,中等难度,正确作出辅助线构造直角三角形是解题关键,主要是失分原因是:（1）不能将题目中的信息和示意图结合起来；（2）不能正确构造出直角三角形；（3）不能利用已知角度和线段解直角三角形确定未知线段的长度. 方法指导：当构造出的图形中有两个直角三角形时，两个直角三角形的公共边是解决问题的突破口.（1）当公共边已知时，可直接利用公共边求其他未知量；（2）当公共边未知时，若公共边能在某个直角三角形中求出，则先求出此公共边；若公共边不能求出，则设公共边的长为x，从而列方程解决问题. 21．（2025·山西晋中·一模）为了加强学校之间区域教学交流，通过课堂实录进行线上教研探讨，如图1，是学校购进的某款线上教学设备，其由底座，支撑臂，连杆，悬臂和安装在D处的摄像头组成．如图2是该款设备放置在水平桌面上的示意图．已知支撑臂，，，，固定，可通过调试悬臂与连杆的夹角改善拍摄效果． (1)当悬臂与桌面l平行时，__________； (2)已知悬臂与连杆的夹角的度数约为时，拍摄效果较好，请你探究此时摄像头点D到桌面l的距离约为多少？ （参考数据：，，） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线是解题的关键； （1）作，根据平行线的性质求解即可； （2）过点C作于F，过点 B作于N，过点作于M，过D作于E，设与交于点，则，，，，，根据三角函数的定义分别求出，即可得解． 【详解】（1）解：如图：当悬臂与桌面平行时，作， ，， ， ， ， ，悬臂与桌面l平行时， ， ， 故答案为：； （2）解：如图，过点C作于F，过点 B作于N，过点作于M，过D作于E，设与交于点，则，，，，， ， ， ， ， 在中，，， ， 在中，， ， ， ， 摄像头点到桌面的距离为． 22．（2025·山西吕梁·一模）学科实践：南中环桥是连接太原南部汾河两岸的一条重要通道，其主桥桥型设计构思源于“太原古八景”之一的“蒙山晓月”，从桥的两端看，形如“展翅鸿雁”．某校“综合与实践”活动小组的同学对南中环桥的结构进行调查． 数据采集：图2是调查得到的南中环桥的截面示意图，整个示意图关于中央隔离带成轴对称，通过测量得知：中央隔离带的高度为5米，主吊杆与地面的倾角，底端C点到B点的距离为15米，斜拉杆与的夹角． 问题解决：请根据上述数据，计算主拱到地面的距离（即点E到地面的距离）．（参考数据：，，） 【答案】主拱到地面的距离为40米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，轴对称图形，解题的关键构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．过点E作于点P，过点作于点Q，根据矩形的判定与性质得出，，根据轴对称性得出．设，则．在中，可求，根据等角对等边得出，则，．在中，根据正切定义得出，则． 解方程即可求解． 【详解】解：过点E作于点P，过点作于点Q， 则四边形为矩形． ∴，． ∵整个示意图关于中央隔离带成轴对称，且． ∴． 设，则． 在中，，， ∴． ∴． ∴，． 在中，，， ∵， ∴． ∴． 解，得． ∴，（米）． 答：主拱到地面的距离为40米． 23．（2025·山西太原·一模）综合与实践 校园内运动场的围网外有一直立的路灯，综合实践活动中，创新小组利用所学知识测量该路灯的高度，活动报告如下： 活动主题 测量运动场围网外路灯的高度 数学抽象 如图1，表示水平地面，线段表示路灯，线段表示运动场围网的一根立柱，于点于点． 测量工具 激光投线角度仪（可测量角度，其高度忽略不计）、皮尺． 方案设计 如图2，在运动场内，因为有围网遮挡，底部不能直接到达，测量步骤如下： 第一步：在运动场内的地面上取测量点，将角度仪放置于地面，测得路灯顶端的仰角的度数； 第二步：将角度仪沿方向移动至测量点，测得路灯顶端的仰角的度数； 第三步：测出两点间的距离（图中各点均在同一竖直平面内）． 数据测量 测量对象 测量结果 米 解决问题 根据上述方案及测量结果，计算路灯的高度如下：…… （结果精确到0.1米，参考数据：； ． 实践反思 我们在完成任务后，对测量方案提出新的思考，步骤如下，如图3： 第一步：测量围网立柱的高米，到围网外测量路灯到立柱的水平距离米； 第二步：在运动场内的地面上调整角度仪的位置，记为点，使点与分别在同一条直线上； 第三步：测量……． (1)请补充“活动报告”中解决问题一栏计算路灯高度的过程； (2)按照“实践反思”中的测量步骤，在第三步中仅需再测图3中的一个数据，即可求得路灯的高度．你要测量的线段或角是___________，根据你测量的数据，路灯的高度为___________米． （用含或的式子表示，其中，用表示测得的线段长度，表示测得的角度）． 【答案】(1)8.9米 (2)线段；或；或：； 【分析】本题考查解直角三角形的实际运用，一元一次方程的实际运用，相似三角形性质和判定，解题的关键在于熟练掌握相关知识，并灵活运用． （1）设路灯的高度为米，根据解直角三角形得到，，再结合米，建立方程求解，即可解题； （2）证明，根据相似三角形性质可推出要测量的线段，以及求出的高度，或结合解直角三角形，推出要测量的角，以及求出的高度． 【详解】（1）解：设路灯的高度为米， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ， 米， ， 解得米， 即米； （2）解：， ， ， ， 米，米， 米， ， 解得； 要求得路灯的高度．要测量的线段是，的高度为米或米； ， 米，米，， ， ， ， 要求得路灯的高度．要测量的角是，的高度为米； 故答案为：线段，或；或，． 24．（2025·山西临汾·一模）《黑神话：悟空》选取的山西古建筑，不仅展示了山西深厚的文化底蕴，也为当地文旅产业带来新的发展机遇．隰县小西天是临汾市的一处佛教寺院，它以布局新颖、精巧玲珑、格调别致而著称．某“综合与实践”小组开展利用标杆来测量摩云阁AB的高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实际测量，测量报告如下： 课题 测量摩云阁的高度 成员 组长：        组员：、、、 测量工具 卷尺、标杆等 测量 示意图 1．选取与摩云阁底部在同一水平地面上的，两点，分别垂直地面竖立两根高度相同的标杆和，且摩云阁、标杆和在同一竖直平面内． 2．从标杆后退一定距离到处，从处观察点，点，，在同一直线上． 3．从标杆后退一定距离到处，从处观察点，点，，也在同一条直线上，且，，，，在同一条直线上． 测量数据 标杆，的高度 两标杆间隔 标杆到点的距离 标杆到点的距离 请你根据以上测量数据，帮助该小组求出摩云阁的高度． 【答案】摩云阁的高度为． 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确理解题意，运用等角的三角函数值相等是解题的关键． 由题意得：都是直角三角形，设摩云阁的高度为，由，得到，由，得到，再由即可求解． 【详解】解：由题意得都是直角三角形． 设摩云阁的高度为． 在 中，， ． ， 在 中，． ． 在 中，， ． ， 在 中，． ． ， ． 解得． 答：摩云阁的高度为． 25．（2025·山西·一模）波浪能转换器是一种利用海浪的动能转换成电能的技术装置．如图1是一款波浪能转换器，如图2是其平面几何示意图，该图形关于直线轴对称，线段和是可伸缩连接杆，点的位置固定不变，在海浪波的带动下点处齿轮组可以在上来回滑动生成动力．已知，，求连杆的最小值．（结果精确到．参考数据：，，，） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，以及轴对称的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． 连接交于点，过点作于点，过点作于点．由轴对称的性质可得，求出，在Rt中，求出，在中，求出，根据求出，然后根据三点共线时，取得最小值即可求解． 【详解】解：如答图，连接交于点，过点作于点，过点作于点． 由题意可知四边形和四边形是矩形． ． 由轴对称的性质可得． ， ． ． ， ， ． 在Rt中，， ． 在中，， ． ， ． 解得． ． 当点运动到点处时， 即三点共线时，取得最小值， 即 ． 答：连杆的最小值是． 1．（2025·湖山西晋中·一模）如图是小区内一小山的等高线示意图，小明同学计划利用这个等高线示意图计算的距离，他在点处测得处的俯角为，则 m． 【答案】100 【分析】本题是跨学科综合题．根据由等高线可知、两地的高度差为50米，然后点处测得处的俯角为求值即可． 【详解】解：由等高线可得、两地的实际高度差为， 依题意作图得：，，， ∴ 故答案为：100． 2．（2025·山西阳泉·一模）如图是某商场营业大厅自动扶梯示意图．自动扶梯的倾斜角为，在自动扶梯下方地面处测得扶梯顶端的仰角为，、之间的距离为4． 则自动扶梯的垂直高度= ．（结果保留根号） 【答案】 【分析】先推出∠ABC=∠BAC，得BC=AC=4，然后利用三角函数即可得出答案． 【详解】∵∠BAC+∠ABC=∠BCD=60°，∠BAC=30°， ∴∠ABC=30°， ∴∠ABC=∠BAC， ∴BC=AC=4， 在Rt△BCD中，BD=BCsin60°=4×=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角函数，得出BC=AB=4是解题关键． 3．（2025·山西长治·模拟预测）如图为一款婴儿车车架的示意图，推杆长为，推杆底部点B到后车轮顶部点C的距离为，推杆与的夹角为，与水平面的夹角为，若后车轮顶部点C距地面的高度为，估计推杆顶部点A到地面的距离．（结果精确到；） 【答案】 【分析】此题考查了矩形的判定和性质、解直角三角形的等知识．过点作于点G，过点A作于点E，过点B作于点F，证明四边形是矩形，则，再求出，得到，由后车轮顶部点C距地面的高度为即可得到推杆顶部点A到地面的距离． 【详解】解：过点作于点G，过点A作于点E，过点B作于点F， 则 ∴四边形是矩形， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵后车轮顶部点C距地面的高度为， ∴推杆顶部点A到地面的距离为． 答：推杆顶部点A到地面的距离． 4．（2025·山西朔州·一模）激光三角法测距是通过测量激光照射点在相机中的成像位置获得信息，具有技术难度低，成本低等特点．如图，激光器从点A处发射一束激光以一定的角度照射到被测目标表面的点B处，在点B处发生反射或散射，光线经过接收透镜的光心O照射在感光耦合组件上的点C处，当被测目标沿激光方向移动至点E处时，反射或者散射后的光线经过接收透镜的光心O照射在上的点F处，点G是上一点且，若测得，求被测目标移动的距离．（结果精确到，参考数据：） 【答案】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，求出和的长度，即可求出． 【详解】解：在中， ， ∴， ∵， ∴，， ∴ 即， ∴， ∴， ∴, 即被测目标移动的距离约为 5．（2025·山西长治·一模）纵观古今，解码测量背后的数学智慧． (1)【古】《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．意思是把“矩（曲尺）”仰立放，可测物体的高度．如图，点B，D，E在同一水平线上，，与交于点F．测得米，米，米，求树的高度． (2)【今】某综合实践活动小组，尝试通过利用无人机（无人机限高120米）测算某山体的海拔高度，设计了如下两种方案．请选择其中一种可行的测算方案，计算该山体的海拔高度（的长）．（精确到1米） 测量示意图 方案说明 方案一 无人机位于海拔高度为60米的C处，测得与山顶A处的仰角为，与山脚D处的俯角为． （参考数据：，，） 方案二 当无人机位于海拔高度为60米的C处时，测得与山顶A处的仰角为；当无人机垂直上升到海拔高度为113米的G处时，测得与山顶处A的仰角为． （参考数据：，，） 【答案】(1)米 (2)山体高度约为160米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）证明，根据相似三角形的性质求解即可． （2）选择方案二进行问题解决：在和中，解直角三角形求出，求解即可． 【详解】（1）解：，， ， ， （米），（米），（米）， 解得：（米）． （2）解：选择方案一无法算出，故不能解决问题． 选择方案二进行问题解决： 根据题意可得， ，， ， ，， ， 可得， （米）， （米）， 山体高度约为160米． 6．（2025·山西吕梁·一模）高科技的发展与技术创新为我们的生活带来无限可能．某数学兴趣小组用无人机来测量大楼楼顶上的信号塔的高度（通过调查已经获得该大楼的高度为44米）．如图，具体的测量过程是无人机先垂直上升至距水平地面的点E，这时测得信号塔底端C的俯角为；无人机再向信号塔沿水平方向飞行到达点F，此时测得信号塔顶端D的仰角为．请根据以上数据，计算信号塔的高度．（结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，延长交于点，结合解直角三角形先得到，进而得到，，最后根据求解，即可解题． 【详解】解：延长交于点， 结合题意可知， 大楼的高度为44米， 无人机垂直上升至距水平地面的点E， ， ， ， ， ， ， ， ． 7．（2025·山西晋中·一模）研学实践：钟鼓楼作为中国古代的传统建筑，一般都成为当地的地标，在古时主要承担报时之责．太原钟楼坐落于太原市府东街南侧，它始建于明代中期，是由傅山先生的祖父傅霖筹集资金修建而成．周末某学校研学小组对太原钟楼的高度进行测量． 方案设计：如图，观察员在地面上的点处观察点的仰角为．观察员在点处竖直向上升起一架无人机，当无人机到达离地面的点处时，测得钟楼顶端点的俯角为， 数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，两点的水平距离，．请根据上述数据，计算太原钟楼的顶端到地面的距离．（结果精确到；参考数据：，，，，，） 【答案】太原钟楼的顶端到地面的距离约为 【分析】本题考查三角函数测高，涉及矩形的判定与性质，过点作于点，延长交于点，如图所示，由矩形的判定与性质得到相关角度与线段长度，数形结合，由正切函数定义列式求解即可得到答案，熟练掌握三角函数测高题型的解法是解决问题的关键． 【详解】解：过点作于点，延长交于点，如图所示： 则四边形、四边形都是矩形，， ∴，，． 设，则． 在中，，，， ∴． 在中，，，， ∴． ∵， ∴，解得． ∴． ∴． 答：太原钟楼的顶端到地面的距离约为． 8．（2025·山西晋中·一模）“怡然见晋中  欢乐过大年”主题活动中，某校综合实践小组开展了数学实践活动．同学们注意到学校附近的小区高层住宅楼侧面的电子屏（显示“晋中欢迎您”）格外醒目，决定测量该电子屏的高度，并利用课余时间完成了实践调查．如图所示，为住宅楼，为电子屏，为地面．利用无人机在空中点P处测得电子屏顶端点B的俯角，同时测得地面点C的俯角，米，米，米（图中各点均在同一竖直平面内，点A，B，M，N在同一条直线上）．请根据上述数据，求电子屏的高度．（结果精确到1米．参考数据：）        【答案】78米 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数是解题的关键；延长交直线于点G，过点C作于点H，由题意易得四边形为矩形，则有，然后根据解直角三角形可进行求解 【详解】解：延长交直线于点G，过点C作于点H， 由题意得，四边形为矩形， （米）． 在中，， ． （米）． 米． ． （米）． （米）． 在中，， ． （米）． （米）． 答：电子屏的高度为78米． 9．（2025·山西吕梁·一模）膜结构车棚是近年来比较流行的一种棚型，它不仅具有功能性，而且具有观赏性，它以建筑造型美观、跨度空间大、抗震性强，透光性良好等特点赢得了良好的市场．图1是某小区新建的斜拉杆车棚，图2是其示意图，已知立柱与地面垂直，；测得立柱段的长为，横支撑杆，，．求： (1)棚顶末端到地面的距离的长． (2)车棚的最大停车长度的长．（结果精确到．参考数据：，，） 【答案】(1)棚顶末端到地面的距离的长约 (2)车棚的最大停车长度的长约 【分析】本题考查了解直角三角形的应用， （1）作于点H，则四边形是矩形，，再求出，根据等腰三角形性质求出，进而求出结论； （2）在中，求出，即可求出结论． 【详解】（1）解：作于点H， 则由题意得： 四边形是矩形， ， ，，， ， ， ， ； （2）解：在中，， ， 则车棚的最大停车长度的长约． 10．（2025·山西朔州·模拟预测）某校数学实践活动小组要测量校园内一棵大树的高度，王华同学带领甲、乙、丙三位小组成员进行此项实践活动，并做出下面的实践报告单． 课题 测量校园内一棵大树的高度 测量工具 测角仪、皮尺 测量图例 测量方法 某一时刻，大树在太阳光下的影子末端落在地面上的点处，甲同学在点处竖立一根标杆，同一时刻标杆在太阳光下的影子末端落在地面上的点处，丙同学站在点处，他的眼睛在点处，观察得知，树顶的仰角为． 测量数据 标杆米，标杆的影长为2米，米，米，仰角 说明 点，，，在同一水平直线上，，，，图中所有的点都在同一平面内．（参考数据：，，） (1)请你根据所学知识用直尺和圆规在图中画出点的位置；（不写画法，保留作图痕迹） (2)根据报告单的测量数据，计算这棵大树的高度．（结果精确到0.1米） 【答案】(1)见解析 (2)这棵大树的高度约为9.5米 【分析】本题考查了平行投影，解直角三角形的应用，解题的关键： （1）根据平行投影作即可； （2）由平行投影可得出，根据同角的正切值相等可得出，设米，则米，米，米，在中，根据正切的定义求解即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求： （2）解：如图，延长交于点，则，米， 由题意知， ， ， ，即． 设米，则米， 米，米， 在中，， ， 解得， 米， 答：这棵大树的高度约为9.5米． 11．（2025山西·一模）根据以下素材，探索完成任务． 素材1 图①是宁宁家安装的户外遮阳篷．图②是其侧面示意图，已知该遮阳篷安装在垂直于地面BC的墙面上，篷面安装点A离地面4米，篷面与墙面的夹角，篷面宽米．除此之外，为了保障遮阳篷的稳定性，还加装了支架MN稳定篷面．支架MN的安装方式如下：点M固定在墙面上，位于点A的正下方，即点A，M，B共线；点N固定在篷面上离A点1米处（点A，N，D共线），即米，支架MN与墙面的夹角． 素材2 宁宁所在地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）的正切值参照表： 时刻 12点 13点 14点 15点 角的正切值 4 3 2.5 2 素材3 宁宁养了一株龙舌兰（图③），该植物喜阳，所以宁宁经常把龙舌兰搬到能被太阳光照射到的地方，以保证龙舌兰有充足的光照，如图②，这株龙舌兰摆放的位置记为点E． 任务1 确定安装点 请求出支架的固定点M与A点的距离的长． 任务2 确定影子长 请求出这天13点时遮阳篷落在地面上影子的长度． 任务3 判断能否照射到 这天14点，宁宁将龙舌兰摆放到点E处，为了保证龙舌兰能被太阳光照射到，请求出此时摆放点离墙角距离的取值范围． 【答案】任务1：米；任务2： 米，任务3：大于米． 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、解直角三角形的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 任务1：过作于， 解三角形即可求出，，进而可得， 任务2：过作于，过作于，得四边形为矩形，再解三角形求出米，米，进而求出米，米，根据13点时，太阳高度角，由即可完成任务2， 任务3：由表格可知，在12时时，角的正切值逐渐减小，即逐渐较小，当14时，此时的长度就是龙舌兰摆放位置与墙壁的最大距离，求出此时米，即可完成任务3． 【详解】解：任务1：如图，过作于，   ， ∴， 又∵，， ∴（米）， （米）， （米）， ∴（米）， 任务2：如解图2，过作于，过作于，   ， 则， 四边形为矩形， ，， ∵米，， ∴（米）， （米）， （米）， ∵由题意可知：米， ∴（米） ∴（米），（米）， ∵13点时，太阳高度角， ∴， ∴（米） ∴13点时遮阳篷落在地面上影子的长度（米） 任务3： 由表格可知，在12时时，角的正切值逐渐减小，即逐渐较小， 当14时，此时的长度就是绿萝摆放位置与墙壁的最大距离， 如解图3，在中，， 即（米）， （米）， 答：龙舌兰能被太阳光照射到，此时摆放点离墙角距离的大于米． 12．（2025·山西临汾·一模）下面是小明的数学笔记，请仔细阅读并完成相应的任务： 今天，我们学习了锐角三角函数，知道在直角三角形ABC中，正弦等于对边比斜边，如；余弦等于邻边比斜边，如；正切等于对边比邻边，如；其中的对边分别为a，b，c． 我还查阅到任意三角形中三条边之间的一个关系式： 正弦定理：在任意一个三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等，即． 我认真思考，探究过程如下： 【探索证明】 已知：如图，在锐角三角形中，的对边分别为a，b，c． 求证：． 证明：如图，过点A作于点， 则． 都是直角三角形． 在中，，即， ∴． 在中，，即， ． ， 即． 的对边分别为b，c， ． …… 任务： (1)帮助小明将材料中的证明过程补充完整． (2)已知在锐角三角形中，，则的周长为______（参考数据： 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数是解题的关键； （1）根据题意及三角函数的定义可进行求解； （2）根据题中所给正弦定理可得a、c的长，进而问题可求解 【详解】（1）解：证明：如图，过点A作于点， 则．都是直角三角形． 在中，，即， ∴． 在中，，即， ． ， 即． 的对边分别为b，c， ， 同理可得， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴， 即的周长为． 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 锐角三角形 题型概览 题型01 锐角三角函数 题型02 解直角三角形应用---仰角俯角问题 题型03 解直角三角形应用---方向角问题 题型04 解直角三角形应用---坡度坡角问题 题型05解直角三角形应用---其它问题 锐角三角形题型01 1．（2025·山西运城·一模）如图，在正方形网格中，为格点（网格线的交点），交于点，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·山西运城·模拟预测）如图，在四边形中，对角线，交于点，，，，，则的长为 ． 3．（2025·山西晋城·一模）如图，中，，，点E在边上，沿直线折叠，使的对应边，垂足为F，交与点G，当点G恰好为的中点时，长为 ． 4．（2025·山西·一模）如图，在中，，是的平分线，与中线相交于点．若，，则的长为 ． 5．（2025·山西吕梁·一模）如图，在矩形中，E是边上的一点，将矩形沿折叠，使点C落在点F处，延长，交的延长线于点H．若，，，则的长为 解直角三角形的应用---仰角俯角问题题型02 6．（2025·山西运城·一模）山西是我国的古建筑之乡，有地上文物看山西的美誉．图是位于山西大同的应县木塔．如图，小方站在点处操纵无人机到与水平距离为米的处，无人机在处测得小方所在位置的俯角为，木塔顶部点的仰角为，已知无人机与木塔的水平距离为米，点，，，在同一平面上，求应县木塔的高度．参考数据，，， 7．（2025·山西太原·一模）太原吾悦广场的具体位置是山西省太原市万柏林区千峰北路与漪汾街交叉口处，其摩天轮（图1）是太原大型商场中独一无二的摩天轮．才思数学兴趣小组利用所学知识开展“测量太原吾悦广场摩天轮高度”的综合实践活动，并写出如下报告，请完成任务． 课题 测量太原吾悦广场摩天轮高度 测量工具 无人机、测角仪、秒表等 测量示意图 测量过程 如图2，测量小组使用无人机在点处竖直上升至点处，在点处测得摩天轮顶部的仰角为，然后以的速度沿水平方向向左飞行至点处，在点处测得摩天轮顶部的仰角为，底部的俯角为． 说明 点，，，，均在同一竖直平面内，且点，在同一水平线上．（参考数据．，，，） 任务 求太原吾悦广场摩天轮的高度（结果精确到） 8．（2025·山西运城·一模）太原市晋阳湖之眼摩天轮计划于年月正式试灯营业，该摩天轮位于晋阳湖北岸，采用双侧通透立柱和全拉索轮盘设计，配备台球形吊舱，兼具安全性与科技感．图是太原市晋阳湖之眼摩天轮，图2是测量晋阳湖之眼摩天轮高度示意图．才思数学兴趣小组利用所学知识开展“测量晋阳湖之眼摩天轮高度”的综合实践活动，并写出如下报告，请完成任务． 课题 测量晋阳湖之眼摩天轮高度 测量工具 无人机、测角仪、秒表等 测量示意图 测量过程 如图，测量小组使用无人机在点处竖直上升至点处，在点处测得摩天轮顶部的仰角为，然后以的速度沿水平方向向左飞行至点处，在点处测得摩天轮顶部的仰角为，底部的俯角为． 说明 点均在同一竖直平面内，且点在同一水平线上．（参考数据：，，，） 任务 求晋阳湖之眼摩天轮的高度．（结果精确到） 9．（2025·山西·一模）守护鸟巢，护佑生命之家，共创和谐生态．在爱鸟护鸟活动中，爱心小组计划为喜鹊搭建鸟巢．为了解喜鹊巢穴自身的高度，同学们到森林公园进行实地测量，方法如下：如图，在距离大树底部A点3米的点B处，利用测角仪测得鸟巢底部点D的仰角，在点F处测得鸟巢顶部点H的仰角，点B，F之间的距离为4米，测量时测角仪的高度．图中所有点均在同一竖直平面内，A，B，F三点在同一条水平直线上，A，D，H三点在同一条铅垂直线上．请根据以上信息，求鸟巢高度的长（结果精确到0.1米．参考数据：，，，，，）． 10．（2025·山西·模拟预测）研学实践：迎泽大桥是太原迎泽大街上的标志性桥梁，而新建的桥头堡作为其重要组成部分，已成为太原市的新地标．某校研学小组在了解“桥头堡”的历史背景后，利用测量工具测量了桥头堡的相关数据． 数据采集：如图，点A是桥头堡的顶端，是桥面，在点B处用测角仪测得顶端A的仰角为，然后沿方向后退，在点C处用测角仪测得顶端A的仰角为，用皮尺测得测角仪的高，点B与点C之间的距离为． 数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，点M，C，B，N在同一水平直线上．请根据上述数据，计算桥头堡顶端到桥面的距离．（结果精确到．参考数据：，，，） 11．（2025·山西吕梁·一模）亭是我国最具代表性的传统建筑形式之一，我国汉代便有十里一亭，十亭一乡的建制．如图，某小区的一凉亭可看作由等腰三角形和矩形构成，其中，横梁的长为，数学小组的同学用自制的测角仪在点处测量，发现凉亭顶端点、檐角点和点正好在同一条直线上，此时测得檐角点的仰角为，将测角仪往前移至点处，测得檐角点的仰角为，已知点到的距离．求凉亭的高度（精确到，参考数据：）． 12．（2025·山西吕梁·一模）图书楼是交城中学的标志性建筑，其结构灵动飘逸，象征着交城教育日新月异，乘风而上的积极状态（如图）．某校“综合与实践”活动小组的同学们为了测量该图书楼的高度，设计了如下方案： 课题 测量图书楼的高度 测量工具 无人机，测角仪，皮尺等 成员 组长：×××，组员：×××，×××，××× 测量示意图 说明：表示图书楼，点表示图书楼的最高点，点表示图书楼的底部．点为无人机测量的位置，为无人机的高度，点，在同一竖直直线上，点，，，均在同一竖直平面内，AB与水平面BD垂直． 测量数据 从处观测处的仰角 从处观测处的仰角 米 参考数据 ，，，，， …… …… 请你结合以上数据，帮助该小组的同学求出图书楼的高度（结果保留整数）． 13．（2025·山西大同·一模）太原双塔寺又名永祚寺，是国家级文物保护单位，由于双塔（舍利塔、文峰塔）耸立，被人们称为“文笔双塔”，是太原市的标志性建筑之一．某校实践小组的同学把“测量舍利塔的高度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告． 课题 测量舍利塔的高度 调查方式 资料查阅、实地测量 调查内容 目的 测量舍利塔的高度 工具 无人机、测角仪、皮尺等 测量示意图及相关数据 如图，将无人机悬停在距离水平地面的点P处，测得塔顶A处的俯角为，同时测得地面标记点C的俯角为，点P，A，B，C在同一竖直平面内，于点B，标记点C与塔底的距离为． 计算结果 …… 展示交流 …… 求舍利塔的高度．（结果精确到，参考数据：） 解直角三角形的应用---方向角问题题型03 14．（2025·山西朔州·一模）【实践情景】如图，太原市在本市两景点之间开设了两条徒步路线，线路1为路线，路线为之间的线段；线路2为越野线路，路线为之间的折线段． 【数据收集】 数据①：点在点的北偏东方向上； 数据②：线路2的行走方式为从起点出发，先向北偏东的方向越野行走一段路程到达中转点，再从中转点向正东方向行走2000米即可到达终点． 【数据应用】 利用以上数据，求的长．（结果保留整数，参考数据：） 解直角三角形的应用---坡度坡角问题题型04 15．（2025•榆社县一模）一个物块静止在斜面上，其受力分析如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力F1的方向与斜面垂直，摩擦力F2的方向与斜面平行．若摩擦力F2与重力G方向的夹角α的度数为132°，则斜面的坡角β的度数为（　　） A．52° B．48° C．42° D．38° 16．（2025·山西朔州·模拟预测）如图是传送带和水平地面所成斜坡的示意图．传送带和地面所成斜坡的坡度为，若该传送带把某物体从地面传送到离地面15米高的地方，那么该物体所经过的路程恰好是 米． 17．（2025•长治一模）如图，一个滑雪爱好者乘滑雪板沿斜坡上的滑雪道笔直滑下208米，若斜坡滑雪道的坡度（指斜坡的铅直高度与水平宽度的比）为5：12，则他在这次滑雪时下降的高度是 米． 解直角三角形的应用---其它问题题型05 18．（2025·山西运城·模拟预测）随着人民生活质量的不断提高，国家越来越重视“全民运动”，其中篮球运动是一项深受市民喜欢的球类运动，图1，图2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知，，，，，篮板顶端P点到篮框F的距离，支架垂直水平地面，支架与水平地面平行，求篮框F到水平地面的距离．（结果精确到．参考数据：，，） 19．（2025·山西晋中·一模）图1是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图2是某种工作状态下的侧面结构示意图（是基座的高，是主臂，是伸展臂，）．已知基座高度为，主臂长为，测得主臂伸展角． （参考数据：） (1)求点P到地面的高度； (2)若挖掘机能挖的最远处点Q到点N的距离为，求的度数． 20．（2025·山西阳泉·一模）如图，高铁列车座位后面的小桌板收起时可以近似地看作与地面垂直，展开小桌板后，桌面会保持水平，图①、图②分别是小桌板收起时和展开时的实物图，图④是小桌板展开后的侧面示意图，其中表示小桌板桌面的宽度，表示小桌板的支架，连接，此时，且支架长与桌面宽的长度之和等于的长度，求点到的距离.（结果精确到，参考数据：） 21．（2025·山西晋中·一模）为了加强学校之间区域教学交流，通过课堂实录进行线上教研探讨，如图1，是学校购进的某款线上教学设备，其由底座，支撑臂，连杆，悬臂和安装在D处的摄像头组成．如图2是该款设备放置在水平桌面上的示意图．已知支撑臂，，，，固定，可通过调试悬臂与连杆的夹角改善拍摄效果． (1)当悬臂与桌面l平行时，__________； (2)已知悬臂与连杆的夹角的度数约为时，拍摄效果较好，请你探究此时摄像头点D到桌面l的距离约为多少？ （参考数据：，，） 22．（2025·山西吕梁·一模）学科实践：南中环桥是连接太原南部汾河两岸的一条重要通道，其主桥桥型设计构思源于“太原古八景”之一的“蒙山晓月”，从桥的两端看，形如“展翅鸿雁”．某校“综合与实践”活动小组的同学对南中环桥的结构进行调查． 数据采集：图2是调查得到的南中环桥的截面示意图，整个示意图关于中央隔离带成轴对称，通过测量得知：中央隔离带的高度为5米，主吊杆与地面的倾角，底端C点到B点的距离为15米，斜拉杆与的夹角． 问题解决：请根据上述数据，计算主拱到地面的距离（即点E到地面的距离）．（参考数据：，，） 23．（2025·山西太原·一模）综合与实践 校园内运动场的围网外有一直立的路灯，综合实践活动中，创新小组利用所学知识测量该路灯的高度，活动报告如下： 活动主题 测量运动场围网外路灯的高度 数学抽象 如图1，表示水平地面，线段表示路灯，线段表示运动场围网的一根立柱，于点于点． 测量工具 激光投线角度仪（可测量角度，其高度忽略不计）、皮尺． 方案设计 如图2，在运动场内，因为有围网遮挡，底部不能直接到达，测量步骤如下： 第一步：在运动场内的地面上取测量点，将角度仪放置于地面，测得路灯顶端的仰角的度数； 第二步：将角度仪沿方向移动至测量点，测得路灯顶端的仰角的度数； 第三步：测出两点间的距离（图中各点均在同一竖直平面内）． 数据测量 测量对象 测量结果 米 解决问题 根据上述方案及测量结果，计算路灯的高度如下：…… （结果精确到0.1米，参考数据：； ． 实践反思 我们在完成任务后，对测量方案提出新的思考，步骤如下，如图3： 第一步：测量围网立柱的高米，到围网外测量路灯到立柱的水平距离米； 第二步：在运动场内的地面上调整角度仪的位置，记为点，使点与分别在同一条直线上； 第三步：测量……． (1)请补充“活动报告”中解决问题一栏计算路灯高度的过程； (2)按照“实践反思”中的测量步骤，在第三步中仅需再测图3中的一个数据，即可求得路灯的高度．你要测量的线段或角是___________，根据你测量的数据，路灯的高度为___________米． （用含或的式子表示，其中，用表示测得的线段长度，表示测得的角度）． 24．（2025·山西临汾·一模）《黑神话：悟空》选取的山西古建筑，不仅展示了山西深厚的文化底蕴，也为当地文旅产业带来新的发展机遇．隰县小西天是临汾市的一处佛教寺院，它以布局新颖、精巧玲珑、格调别致而著称．某“综合与实践”小组开展利用标杆来测量摩云阁AB的高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实际测量，测量报告如下： 课题 测量摩云阁的高度 成员 组长：        组员：、、、 测量工具 卷尺、标杆等 测量 示意图 1．选取与摩云阁底部在同一水平地面上的，两点，分别垂直地面竖立两根高度相同的标杆和，且摩云阁、标杆和在同一竖直平面内． 2．从标杆后退一定距离到处，从处观察点，点，，在同一直线上． 3．从标杆后退一定距离到处，从处观察点，点，，也在同一条直线上，且，，，，在同一条直线上． 测量数据 标杆，的高度 两标杆间隔 标杆到点的距离 标杆到点的距离 请你根据以上测量数据，帮助该小组求出摩云阁的高度． 25．（2025·山西·一模）波浪能转换器是一种利用海浪的动能转换成电能的技术装置．如图1是一款波浪能转换器，如图2是其平面几何示意图，该图形关于直线轴对称，线段和是可伸缩连接杆，点的位置固定不变，在海浪波的带动下点处齿轮组可以在上来回滑动生成动力．已知，，求连杆的最小值．（结果精确到．参考数据：，，，） 1．（2025·湖山西晋中·一模）如图是小区内一小山的等高线示意图，小明同学计划利用这个等高线示意图计算的距离，他在点处测得处的俯角为，则 m． 2．（2025·山西阳泉·一模）如图是某商场营业大厅自动扶梯示意图．自动扶梯的倾斜角为，在自动扶梯下方地面处测得扶梯顶端的仰角为，、之间的距离为4． 则自动扶梯的垂直高度= ．（结果保留根号） 3．（2025·山西长治·模拟预测）如图为一款婴儿车车架的示意图，推杆长为，推杆底部点B到后车轮顶部点C的距离为，推杆与的夹角为，与水平面的夹角为，若后车轮顶部点C距地面的高度为，估计推杆顶部点A到地面的距离．（结果精确到；） 4．（2025·山西朔州·一模）激光三角法测距是通过测量激光照射点在相机中的成像位置获得信息，具有技术难度低，成本低等特点．如图，激光器从点A处发射一束激光以一定的角度照射到被测目标表面的点B处，在点B处发生反射或散射，光线经过接收透镜的光心O照射在感光耦合组件上的点C处，当被测目标沿激光方向移动至点E处时，反射或者散射后的光线经过接收透镜的光心O照射在上的点F处，点G是上一点且，若测得，求被测目标移动的距离．（结果精确到，参考数据：） 5．（2025·山西长治·一模）纵观古今，解码测量背后的数学智慧． (1)【古】《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．意思是把“矩（曲尺）”仰立放，可测物体的高度．如图，点B，D，E在同一水平线上，，与交于点F．测得米，米，米，求树的高度． (2)【今】某综合实践活动小组，尝试通过利用无人机（无人机限高120米）测算某山体的海拔高度，设计了如下两种方案．请选择其中一种可行的测算方案，计算该山体的海拔高度（的长）．（精确到1米） 测量示意图 方案说明 方案一 无人机位于海拔高度为60米的C处，测得与山顶A处的仰角为，与山脚D处的俯角为． （参考数据：，，） 方案二 当无人机位于海拔高度为60米的C处时，测得与山顶A处的仰角为；当无人机垂直上升到海拔高度为113米的G处时，测得与山顶处A的仰角为． （参考数据：，，） 6．（2025·山西吕梁·一模）高科技的发展与技术创新为我们的生活带来无限可能．某数学兴趣小组用无人机来测量大楼楼顶上的信号塔的高度（通过调查已经获得该大楼的高度为44米）．如图，具体的测量过程是无人机先垂直上升至距水平地面的点E，这时测得信号塔底端C的俯角为；无人机再向信号塔沿水平方向飞行到达点F，此时测得信号塔顶端D的仰角为．请根据以上数据，计算信号塔的高度．（结果精确到，参考数据：，，，） 7．（2025·山西晋中·一模）研学实践：钟鼓楼作为中国古代的传统建筑，一般都成为当地的地标，在古时主要承担报时之责．太原钟楼坐落于太原市府东街南侧，它始建于明代中期，是由傅山先生的祖父傅霖筹集资金修建而成．周末某学校研学小组对太原钟楼的高度进行测量． 方案设计：如图，观察员在地面上的点处观察点的仰角为．观察员在点处竖直向上升起一架无人机，当无人机到达离地面的点处时，测得钟楼顶端点的俯角为， 数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，两点的水平距离，．请根据上述数据，计算太原钟楼的顶端到地面的距离．（结果精确到；参考数据：，，，，，） 8．（2025·山西晋中·一模）“怡然见晋中  欢乐过大年”主题活动中，某校综合实践小组开展了数学实践活动．同学们注意到学校附近的小区高层住宅楼侧面的电子屏（显示“晋中欢迎您”）格外醒目，决定测量该电子屏的高度，并利用课余时间完成了实践调查．如图所示，为住宅楼，为电子屏，为地面．利用无人机在空中点P处测得电子屏顶端点B的俯角，同时测得地面点C的俯角，米，米，米（图中各点均在同一竖直平面内，点A，B，M，N在同一条直线上）．请根据上述数据，求电子屏的高度．（结果精确到1米．参考数据：）        9．（2025·山西吕梁·一模）膜结构车棚是近年来比较流行的一种棚型，它不仅具有功能性，而且具有观赏性，它以建筑造型美观、跨度空间大、抗震性强，透光性良好等特点赢得了良好的市场．图1是某小区新建的斜拉杆车棚，图2是其示意图，已知立柱与地面垂直，；测得立柱段的长为，横支撑杆，，．求： (1)棚顶末端到地面的距离的长． (2)车棚的最大停车长度的长．（结果精确到．参考数据：，，） 10．（2025·山西朔州·模拟预测）某校数学实践活动小组要测量校园内一棵大树的高度，王华同学带领甲、乙、丙三位小组成员进行此项实践活动，并做出下面的实践报告单． 课题 测量校园内一棵大树的高度 测量工具 测角仪、皮尺 测量图例 测量方法 某一时刻，大树在太阳光下的影子末端落在地面上的点处，甲同学在点处竖立一根标杆，同一时刻标杆在太阳光下的影子末端落在地面上的点处，丙同学站在点处，他的眼睛在点处，观察得知，树顶的仰角为． 测量数据 标杆米，标杆的影长为2米，米，米，仰角 说明 点，，，在同一水平直线上，，，，图中所有的点都在同一平面内．（参考数据：，，） (1)请你根据所学知识用直尺和圆规在图中画出点的位置；（不写画法，保留作图痕迹） (2)根据报告单的测量数据，计算这棵大树的高度．（结果精确到0.1米） 11．（2025山西·一模）根据以下素材，探索完成任务． 素材1 图①是宁宁家安装的户外遮阳篷．图②是其侧面示意图，已知该遮阳篷安装在垂直于地面BC的墙面上，篷面安装点A离地面4米，篷面与墙面的夹角，篷面宽米．除此之外，为了保障遮阳篷的稳定性，还加装了支架MN稳定篷面．支架MN的安装方式如下：点M固定在墙面上，位于点A的正下方，即点A，M，B共线；点N固定在篷面上离A点1米处（点A，N，D共线），即米，支架MN与墙面的夹角． 素材2 宁宁所在地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）的正切值参照表： 时刻 12点 13点 14点 15点 角的正切值 4 3 2.5 2 素材3 宁宁养了一株龙舌兰（图③），该植物喜阳，所以宁宁经常把龙舌兰搬到能被太阳光照射到的地方，以保证龙舌兰有充足的光照，如图②，这株龙舌兰摆放的位置记为点E． 任务1 确定安装点 请求出支架的固定点M与A点的距离的长． 任务2 确定影子长 请求出这天13点时遮阳篷落在地面上影子的长度． 任务3 判断能否照射到 这天14点，宁宁将龙舌兰摆放到点E处，为了保证龙舌兰能被太阳光照射到，请求出此时摆放点离墙角距离的取值范围． 12．（2025·山西临汾·一模）下面是小明的数学笔记，请仔细阅读并完成相应的任务： 今天，我们学习了锐角三角函数，知道在直角三角形ABC中，正弦等于对边比斜边，如；余弦等于邻边比斜边，如；正切等于对边比邻边，如；其中的对边分别为a，b，c． 我还查阅到任意三角形中三条边之间的一个关系式： 正弦定理：在任意一个三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等，即． 我认真思考，探究过程如下： 【探索证明】 已知：如图，在锐角三角形中，的对边分别为a，b，c． 求证：． 证明：如图，过点A作于点， 则． 都是直角三角形． 在中，，即， ∴． 在中，，即， ． ， 即． 的对边分别为b，c， ． …… 任务： (1)帮助小明将材料中的证明过程补充完整． (2)已知在锐角三角形中，，则的周长为______（参考数据： 6 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$