精品解析：广东省深圳市第七高级中学2024-2025学年高一下学期期中质量检测数学试题

秘密★启用前 深圳市第七高级中学2024-2025学年第二学期 期中质量检测高一数学 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上，并在答题卡相应位置上填涂考生号． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数满足，其中为虚数单位，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，化简得到，结合复数的概念，即可求解. 【详解】由复数满足，可得， 所以复数的虚部为. 故选：A. 2. 已知，若，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用向量的夹角公式，求得，得到，即可求解. 【详解】由向量，且，可得， 因为，所以，所以与的夹角为. 故选：D. 3. 已知，则（ ） A. 50 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的数量积的坐标运算公式，结合，求得，得到，再由向量模的坐标运算，即可求解. 【详解】由，可得且， 因为，可得， 解得，所以，则. 故选：B. 4. 已知，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量在向量上的投影公式进行计算即可. 【详解】因为向量在向量上的投影向量为：， 故选：C. 5. 已知向量，是平面上两个不共线的单位向量，且，，，则（ ） A. 、、三点共线 B. 、、三点共线 C. 、、三点共线 D. 、、三点共线 【答案】C 【解析】 【分析】结合向量线性运算，逐项判断向量共线得解. 【详解】对A，因为，则、、三点不共线，故A错误； 对B，因为，则、、三点不共线，故B错误； 对C，因为，则、、三点共线，则C正确； 对D，，因为，则、、三点不共线. 故选：C． 6. 在中，，则是 A. 等腰三角形 B. 等腰直角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】利用同角三角函数关系式，把正切函数化成正余弦函数．然后用倍角公式化简，得到角A和角B的关系． 【详解】 ，因为 所以，所以 所以，所以或 故选：D 7. 已知矩形的长，宽.点在线段上运动（不与两点重合），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意，点在线段上，设，建立空间直角坐标系，根据点坐标，表示出，根据，求出答案. 【详解】由题意得，点在线段上，设， 且.以为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示， 则，则， 由， 故， 所以， 由于，所以. 故选：A. 8. 设，，，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角恒等变换结合三角函数分析运算即可. 【详解】因为，由题意可得：， ， ， 则可得， 又因为，则，即， 所以. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中正确的是（ ） A. B. 若满足，且与同向，则 C. 若，则 D. 若是等边三角形，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据向量的加法性质即可求解A,根据向量的定义即可求解B，根据即可求解C，根据向量的夹角即可求解D. 【详解】对于A, ,当且仅当方向相同时取到等号，故A正确， 对于B,向量不可以比较大小，故B错误， 对于C, 若，则,故或者或，故C错误， 对于D，若是等边三角形，则,D正确， 故选：AD 10. 有下列四种变换方式，能将的图象变为的图象的是（ ） A. 横坐标变为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度 B. 横坐标变为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的（纵坐标不变） D. 向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的（纵坐标不变） 【答案】BC 【解析】 【分析】根据三角函数的图象变换，结合平移变换和伸缩变换的原则，即可求解. 【详解】由函数图象上的横坐标缩短为原来的倍，得到， 再将函数向左平移个单位，，得到， 所以A不正确，B正确 由函数向左平移个单位，得到， 再将函数图象上点的横坐标缩短为原来的倍，得到，所以C正确，D不正确. 故选：BC. 11. 《数书九章》是南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷，共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积术”中提出了已知三角形三边，，，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即．现有满足，且的面积，请运用上述公式判断下列结论正确的是（ ） A. 的周长为 B. 三个内角，，满足 C. 外接圆的直径为 D. 的中线的长为 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于选项，由正弦定理得三角形三边之比，由面积求出三边，代入公式即可求出周长； 对于选项，根据余弦定理可求得的值为，可得，可得三个内角，，成等差数列； 对于选项，由正弦定理可得，外接圆直径可得的值； 对于选项，由题意利用中线定理即可计算得解． 【详解】由正弦定理可得． 设 ， 解得的周长为，故A正确； 由余弦定理得，， 故B正确； 由正弦定理知，外接圆的直径，故C正确； 由中线定理得，即， ，故D错误． 故选:ABC． 三、填空题：本题共 3 小题，每小题5 分，共 15 分． 12. 复数的共轭复数为，则______. 【答案】 【解析】 【分析】现根据复数的除法运算求出复数，再根据共轭复数的定义即可得解. 【详解】， 所以. 故答案为：. 13. 已知点，向量，点是线段上靠近点的三等分点，求点的坐标______． 【答案】 【解析】 【分析】由题，设，代入坐标运算解方程求出点的坐标. 详解】由题，设， 所以，即， 所以，解得， 所以点的坐标为. 故答案为： 14. 圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美．为了估算圣．索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高约为36m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得建筑物顶A、教堂顶C的仰角分别是45°和60°，在建筑物顶A处测得教堂顶C的仰角为15°，则可估算圣．索菲亚教堂的高度CD约为______． 【答案】54m 【解析】 【分析】根据题意求得，在中由正弦定理求出，即可在直角中求出. 【详解】由题可得在直角中，，，所以， 在中，，， 所以， 所以由正弦定理可得，所以， 则在直角中，， 即圣·索菲亚教堂的高度约为54m. 故答案为：54m. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数. （1）若为纯虚数，求实数的值； （2）若在复平面内对应的点在直线上，求. 【答案】（1） （2）0 【解析】 【分析】（1）根据纯虚数的概念列出方程或不等式，即可求得答案. （2）根据在复平面内对应的点在直线上列出m满足的方程，求得z，即可求得答案. 【小问1详解】 若为纯虚数，则，解得. 【小问2详解】 由题意可得， 解得， 所以，所以. 16. 如图，在菱形中，. （1）若，求的值； （2）若，，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可知，即可求解； （2），从而即可求解. 【小问1详解】 因为在菱形中，. 故， 故，所以. 【小问2详解】 显然， 所以 ①， 因为菱形，且，， 故， 所以. 故①式. 故. 17. 分别为内角的对边，已知． （1）求； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将已知等式统一成角的形式，化简后可求得结果， （2）利用余弦定理求出，再利用三角形的面积公式可求得结果. 【小问1详解】 因为， 所以， 即， 又，所以． 【小问2详解】 由余弦定理得， 即，解得或（舍去）． 因为，， 所以， 所以的面积． 18. 已知函数． （1）求函数的最小正周期 （2）若，求函数的值域； （3）若且，求的值． 【答案】（1）最小正周期为 （2） （3） 【解析】 【分析】(1)根据二倍角公式和辅助角公式，把函数整理为正弦型函数，利用周期公式，求周期； (2)根据题中所给，求得的取值范围，利用正弦函数的图像，求出函数值域； (3)根据题中所给范围，求得的取值范围，转化为解方程，结合，代入求解. 【小问1详解】 由题意可得： ， 所以函数的最小正周期为. 【小问2详解】 因为，则， 可得，即， 所以函数的值域为. 【小问3详解】 因为，则， 且，即， 可得， 所以 ， 所以. 19. 定义函数的“源向量”为，非零向量的“伴随函数”为，其中为坐标原点． （1）若向量的“伴随函数”为，求与向量方向相同的单位向量； （2）在中，角的对边分别为，若函数的“源向量”为，且已知； （ⅰ）求周长的最大值； （ⅱ）求的最大值． 【答案】（1） （2）（ⅰ），（ⅱ）16 【解析】 【分析】（1）将化为形式，由“源向量”与“伴随函数”概念求解即可. （2）（ⅰ）由余弦定理得，利用基本不等式求解的最大值即可 （ⅱ）利用模长公式，结合基本不等式求解即可 【小问1详解】 因为 所以 所以与向量方向相同单位向量为 【小问2详解】 （ⅰ）由于函数的“源向量”为，所以， 又因为，所以，又因为，所以 在中，，由余弦定理得： 即 又由基本不等式得： 所以，即 所以，当且仅当时取等号. 所以， 所以周长的最大值为 （ⅱ）， 又，所以， 所以， 因为，所以，当且仅当时取等号， 所以， 即的最大值为16. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 秘密★启用前 深圳市第七高级中学2024-2025学年第二学期 期中质量检测高一数学 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上，并在答题卡相应位置上填涂考生号． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数满足，其中为虚数单位，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，若，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. 50 B. C. 2 D. 4. 已知，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，是平面上两个不共线的单位向量，且，，，则（ ） A. 、、三点共线 B. 、、三点共线 C. 、、三点共线 D. 、、三点共线 6. 在中，，则是 A. 等腰三角形 B. 等腰直角三角形 C. 直角三角形 D. 等腰或直角三角形 7. 已知矩形长，宽.点在线段上运动（不与两点重合），则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8 设，，，则有（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中正确的是（ ） A. B. 若满足，且与同向，则 C. 若，则 D. 若是等边三角形，则 10. 有下列四种变换方式，能将的图象变为的图象的是（ ） A. 横坐标变为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度 B. 横坐标变为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的（纵坐标不变） D. 向左平移个单位长度，再将横坐标变为原来的（纵坐标不变） 11. 《数书九章》是南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷，共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积术”中提出了已知三角形三边，，，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以少广求之，以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即．现有满足，且的面积，请运用上述公式判断下列结论正确的是（ ） A. 的周长为 B. 三个内角，，满足 C. 外接圆的直径为 D. 的中线的长为 三、填空题：本题共 3 小题，每小题5 分，共 15 分． 12. 复数的共轭复数为，则______. 13. 已知点，向量，点是线段上靠近点的三等分点，求点的坐标______． 14. 圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美．为了估算圣．索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高约为36m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得建筑物顶A、教堂顶C的仰角分别是45°和60°，在建筑物顶A处测得教堂顶C的仰角为15°，则可估算圣．索菲亚教堂的高度CD约为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数. （1）若为纯虚数，求实数的值； （2）若在复平面内对应的点在直线上，求. 16. 如图，菱形中，. （1）若，求的值； （2）若，，求. 17. 分别为内角的对边，已知． （1）求； （2）若，，求的面积． 18. 已知函数． （1）求函数的最小正周期 （2）若，求函数值域； （3）若且，求的值． 19. 定义函数的“源向量”为，非零向量的“伴随函数”为，其中为坐标原点． （1）若向量“伴随函数”为，求与向量方向相同的单位向量； （2）在中，角的对边分别为，若函数的“源向量”为，且已知； （ⅰ）求周长的最大值； （ⅱ）求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$