专题07 一次函数的图象和性质（10大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期末真题分类汇编（河北专用）

专题07 一次函数的图象和性质 题型概览 题型01正比例函数的图象和性质 题型02函数概念辨析 题型03由函数图象获取信息 题型04待定系数法求函数解析式 题型05一次函数的图象和性质 题型06一次函数与方程、方程组 题型07一次函数的图象平移 题型08一次函数与几何综合问题 题型09动点问题的函数图形 题型10一次函数压轴问题 正比例函数的图象和性质题型01 1．（24-25八年级上·河北张家口·期末）下列函数是正比例函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·河北唐山·期末）已知函数是正比例函数，则m的值为（    ） A． B．3 C． D．9 3．（23-24八年级下·河北唐山·期末）已知正比例函数的图象上两点，当时，有，那么的取值范围是（    ） A． B．为任意实数 C． D． 4．（23-24八年级下·河北秦皇岛·期末）在下列各图象中，为函数的大致图象的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·陕西西安·期中）若正比例函数的图象经过点，则以下四个点中，也在其图象上的是（    ） A． B． C． D． 6．（21-22八年级下·海南省直辖县级单位·期末）已知点，都在直线上，则，大小关系是（   ） A． B． C． D． 7．（22-23八年级下·河北保定·期末）对于函数，下列说法不正确的是（    ） A．是的正比例函数 B．图象经过点 C．图象不经过第四象限 D．当时， 8．（22-23八年级下·河北邯郸·期末）正比例函数，若的值随的值的增大而增大，则的值可能是（    ） A．0 B． C． D． 9．（24-25八年级上·河北张家口·期末）在正比例函数中，y随x的增大而减小，则k的值可以是 ．（写出一个满足条件的值） 函数概念辨析题型02 10．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）一支冰激凌的价格是5元，买支冰激凌共支付元，则5和分别是（    ） A．常量，常量 B．变量，变量 C．常量，变量 D．变量，常量 11．（23-24八年级下·河北承德·期末）刘师傅到加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，则其中的变量是（   ） A．金额 B．单价 C．数量 D．金额和数量 12．（23-24八年级下·河北沧州·期末）函数的自变量的取值范围是（    ） A． B． C．且 D． 13．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）在函数中，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 14．（23-24八年级下·河北唐山·期末）在中， 点D、E分别是边和的中点， 连接．设，，则y与x的函数关系是（  ） A． B． C． D． 15．（23-24八年级下·河北唐山·期末）寄快递时，快递公司规定：不超过1千克，收费12元，超过1千克时，超出部分按每千克4元加收费用．若小李给亲人邮寄了千克本地土特产，则快递的费用y（元）与x（千克）之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 16．（23-24八年级下·河北邢台·期末）托运行李p千克（p为整数）的费用为c元，已知托运第一个1千克需付2元，以后每增加1千克（不足1千克按1千克计）需增加费用5角，则计算托运行李费用c的公式是（　　） A． B． C． D． 17．（23-24七年级下·河北保定·期末）高原反应是人到达一定海拔高度后，由于机体对低压低氧环境的适应能力不足而引起的．下面是反映海拔高度与空气含氧量之间关系的一组数据： 海拔高度 0 1000 2000 3000 4000 空气含氧量 下列说法不正确的是（    ） A．海拔高度是自变量，空气含氧量是因变量； B．海拔高度每上升，空气含氧量减少； C．在海拔高度为的地方空气含氧量是； D．当海拔高度从上升到时，空气含氧量减少了． 18．（24-25七年级上·河北沧州·期末）某机床要加工一批机器毛绒玩具，每小时加工的件数与加工的时间如下表： 每小时加工件数（件） 30 20 18 9 … 加工时间（小时） 12 18 20 40 用x表示每小时加工毛绒玩具的件数，用y表示加工时间，用式子表示y与x之间的关系为 ． 19．（23-24七年级下·河北保定·期末）小明和妈妈去超市买凳子，小明发现售货员把凳子按如图方式叠放在一起时，每叠放一个凳子，增加的高度是一样的．下表是叠放凳子的总高度h与凳子数量n的几组对应值． 凳子的数量n（个） 1 2 3 4 … 叠放凳子的总高度h（厘米） 46 52 58 64 … 根据以上信息，回答下列问题： (1)按照表格所示的规律，当凳子的数量为6时，叠放的凳子总高度为____________厘米； (2)直接写出叠放的凳子总高度h与凳子的数量n之间的关系式：____________； (3)按上表所示的规律，若将该种凳子按如图方式叠放在层高为92厘米的超市货架上，能叠放8个吗？请说明理由． 由函数图象获取信息题型03 20．（23-24八年级下·河北承德·期末）一艘轮船在同一航线上往返于甲、乙两地．已知轮船在静水中的速度为，水流速度为．轮船先从甲地顺水航行到乙地，在乙地停留一段时间后，又从乙地逆水航行返回到甲地．设轮船从甲地出发后所用时间为，航行的路程为，则与的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 21．（23-24八年级下·河北石家庄·期中）以下四种情景分别描述了两个变量之间的关系： （1）篮球运动员投篮时，抛出去的篮球的高度与时间的关系． （2）小华在书店买同一单价的作业本，所付费用与作业本数量的关系． （3）李老师上班打出租车，他所付车费与路程的关系． （4）周末，小亮从家到体育馆，打了一段时间的篮球后，按原速度原路返回，小亮离家的距离与时间的关系．用图象法依次刻画以上变量间关系，排序正确的是（    ） A．①—（1），②—（2），③—（3），④—（4） B．①—（1），③—（2），④—（3），②—（4） C．①—（1），③—（2），②—（3），④—（4） D．①—（1），④—（2），②—（3），③—（4） 22．（22-23八年级上·河北邢台·期末）甲、乙两人利用不同的交通工具，沿同一路线从A地出发前往B地，两人行驶的路程y（km）与行驶的时间x（h）之间的函数图象如图所示．根据图象得到如下结论，其中错误的是（    ） A．甲的速度是 B．乙比甲早1小时到达 C．乙出发3小时追上甲 D．乙比甲的速度快 23．（23-24八年级下·河北廊坊·期末）A、B两地相距，甲8：00由A地出发骑自行车去B地，速度为；乙9：30由A地出发开汽车也去B地，速度为．两人之间的距离与时刻t的函数关系大致如图所示，下列说法中正确的是（    ） A．， B．， C．乙到达B地时两人相距 D．乙比甲提前到B地 24．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）佳佳荡秋千时，自由摆动的秋千距离地面的高度与摆动时间之间的关系如图所示．根据图像回答问题：        (1)当时，__________m； (2)解释坐标的含义． 25．（22-23七年级上·河北邯郸·期末）如图1，小刚家、学校、图书馆在同一条直线上，小刚骑自行车匀速从学校到 图书馆，到达图书馆还完书后，再以相同的速度原路返回家中(上、下车时间忽略不计) 小刚离家的距离与他所用的时间的函数关系如图2所示．根据图象回答问题： (1)小刚在图书馆停留时间 ； (2)小刚家与学校的距离为 m，小刚骑自行车的速度为 ； (3)小刚出发35分钟时，他离家有 m． 26．（2024·河北邯郸·二模）如图，两个透明的正方体器皿，其中小正方体的器皿棱长是大正方体棱长的，将小正方体器皿放置大正方体器皿的底部，现先向小正方体器皿内匀速注水，注满后，再向大正方体器皿内以同样的速度注水，直到液面刚好没过小正方体器皿．设注水时间为，两个器皿内水面之差为，则与之间关系的大致图象是（    ）    A．   B．   C．   D．   27．（23-24八年级下·河北沧州·期末）如图，甲、乙两人于某日下午从P地前往Q地，图中的折线和线段分别表示甲与乙所行驶的路程s和时间t的关系.根据图象回答下列问题： (1)两地相距______千米； (2)甲出发______小时后，乙才开始出发； (3)甲在段路程中的平均速度是______千米/小时；乙的平均速度是______千米/小时； (4)根据图象上的数据，乙出发后经过多少小时追上甲． 28．（23-24七年级下·河北保定·期末）【综合与实践】某学校在操场上举办“绑腿跑”比赛，要求每队若干名队员并列立于起跑线后，每相邻的两名队员把腿绑在一起，队员通过协调配合在跑道上共同行进．赛前某班队员在长方形比赛场地中(如图2所示)进行适应性训练，把这组“绑腿跑”队员表示为图中线段．线段可匀速向右或向左平行移动，该组“绑腿跑”队员从长方形内平行于边的某地出发向右匀速奔跑4s之后到达终点边，停留后又向左返回，匀速平行奔跑直至与边重合． 【问题分析】 （1）图3反映队员奔跑时与边的距离(即线段的长度)随时间变化而变化的情况． ①这个变化过程中，自变量是 ，因变量是 ； ②当这组队员开始出发时，到边的距离是 m； ③当时，求该“绑腿跑”队员向右运动的速度？ 【实践探索】 （2）图4反映了队员在奔跑过程中形成长方形的面积． 随时间变化的情况， ①长方形中边的长为 m； ②当时，请写出S与y之间的关系式． 待定系数法求函数解析式题型04 29．（23-24八年级下·河北唐山·期末）某经销商销售一种边长为的正方形板材，板材的售价（元）与成正比例.当时，，则与满足的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 30．（23-24八年级下·河北唐山·期末）如果一个正比例函数的图象经过两点，那么的值为（　　） A．3 B． C．12 D． 31．（23-24九年级上·河北保定·期末）一个乒乓球从光滑斜面自由滚下的路程y（米）与时间x（秒）的平方成正比例，当乒乓球滚下3米时，经过的时间为1.5秒，当时，该乒乓球所经过的路程为（    ） A．5米 B．米 C．米 D．米 32．（23-24八年级下·河北张家口·期末）已知正比例函数的图象过点，则的值为 ． 33．（23-24九年级上·河北承德·期末）已知y是的正比例函数，并且当时，． (1)求出y与x之间的函数关系式； (2)求时x的值． 34．（23-24八年级下·河北邢台·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，． (1)求这个一次函数的解析式； (2)若点在该一次函数的图象上，求的值． 35．（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）规定在平面直角坐标系中，点M的坐标为，点的坐标为，若，则称点为点M的伴随点．现有点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，…，这样依次得到点． （1）若点，则点N的伴随点的坐标为，的坐标为 ； （2）点P在一次函数上，且点P的伴随点是，则一次函数的解析式为 ． 36．（23-24八年级下·河北唐山·期末）已知与成正比例， 当时，． (1)求与的函数关系式； (2)若（）中的函数图象经过第四象限内的点，已知点到轴的距离是，求点的坐标． 37．（23-24八年级下·河北张家口·期末）已知y关于x的函数． (1)若该函数是正比例函数，求k的值； (2)若． ①写出该函数图象经过的象限； ②若点，在该函数的图象上，且，比较与的大小关系． 38．（23-24八年级下·河北唐山·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与过点的直线交于y轴上的点B，点A，D分别为直线，与x轴的交点． (1)求点B的坐标及直线的函数表达式； (2)若过点B的直线把的面积平分，直接写出直线的表达式． 一次函数的图象和性质题型05 39．（23-24八年级下·河北邢台·期末）已知函数是关于的一次函数，则的值为（    ） A． B．3 C． D．9 40．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）下列各列表中，能表示y是x的一次函数的是（    ） A． x … 1 2 3 4 5 … y … 8.9 8 8 8 10 … B． x … 1 2 3 4 5 … y … 6 7 9 9 10 … C． x … 1 2 3 4 5 … y … 6 3 2 1 5 … D． x … 1 2 3 4 5 … y … 2 4 6 8 10 … 41．（23-24八年级下·河北邢台·期末）一次函数的图象过一、二、三象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 42．（23-24八年级下·河北保定·期末）点，点是一次函数图象上的两点，则与的大小关系是（　　） A． B． C． D． 43．（23-24八年级下·河北邢台·期末）图1是变量y与变量x的函数关系的图象，图2是变量z与变量y的函数关系的图象，则z与x的函数关系的大致图象是（　　） A． B． C． D． 44．（23-24八年级下·河北廊坊·期末）一次函数的图象是（    ） A． B． C． D． 45．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）如图，在平面直角坐标系中，若点位于直线的下方，则a的值可能为（   ）    A．5 B．4 C．3 D．2 46．（24-25八年级上·河北保定·期末）如图，为平面直角坐标系内一点，M是x轴上一点，直线的函数表达式为，当y的值随着x值的增大而增大时，点M的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 47．（23-24八年级下·河北唐山·期末）已知点，都在直线上，则和的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 48．（24-25八年级上·河北保定·期末）如图，为平面直角坐标系内一点，是轴上一点，直线的函数表达式为，当的值随着值的增大而增大时，点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 49．（24-25八年级上·河北张家口·期末）在平面直角坐标系中，一次函数和，无论x取何值，始终有，则n的取值范围为(    ) A．且 B．且 C．且 D． 50．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）从，0，1，2中，选取两个不同的数作为一次函数的系数 k，b，使一次函数的y值随着x的增大而增大，且图象经过第一、三、四象限，写出一个满足条件的一次函数为 ． 51．（23-24八年级下·河北秦皇岛·期末）一次函数中，的几组对应值如下表，可以得到的值为 ． … … … … 52．（24-25八年级上·河北保定·期末）已知一次函数的图象经过两点，且交x轴于点C，交y轴于点D． (1)求该一次函数的表达式； (2)求的面积． 一次函数与方程、方程组题型06 53．（24-25八年级上·河北保定·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点．关于甲、乙两人的说法，下列判断正确的是（   ） 甲：；乙：关于x，y的方程组的解为 A．只有甲的对 B．只有乙的对 C．甲、乙的都对 D．甲、乙的都不对 54．（24-25八年级上·河北保定·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点．关于甲、乙两人的说法，下列判断正确的是（    ） 甲：；乙：关于、的方程组的解为 A．只有甲的对 B．只有乙的对 C．甲、乙的都对 D．甲、乙的都不对 55．（23-24八年级下·河北保定·期末）一次函数直线与（）的交点横坐标为，则关于的不等式的整数解为（　　）    A． B． C． D． 56．（24-25八年级上·河北保定·期末）如图，在同一平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于x，y的方程组的解为 ． 57．（23-24八年级下·河北沧州·期末）一次函数与的图像如图所示，已知二元一次方程组的解为，则不等式的解集为 ． 58．（23-24八年级下·河北保定·期末）新定义：关于x的一次函数与叫做一对交换函数．例如：一次函数与就是一对交换函数． (1)一次函数的交换函数是 ； (2)一次函数的交换函数是 ； (3)当时，（2）中两个函数图象交点的横坐标是 ；若，求（2）中两个函数图象与y轴围成的三角形的面积． 59．（23-24八年级下·河北承德·期末）一次函数与轴交点纵坐标为，与轴交点的横坐标为． (1)确定一次函数解析式，在坐标系中画出一次函数的图象； (2)结合图象解答下列问题： ①当时，的取值范围是______； ②当时，的取值范围是______； (3)若点在这个函数的图象上，求出的值，写出点的坐标； (4)这个函数的图象上有两个点：，，请比较和的大小，并说明理由． 60．（23-24八年级下·河北唐山·期末）如图1，直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B；直线经过两点，两直线相交于点C． (1)求的函数表达式；直接写出交点C的坐标 ； (2)在x轴上有一动点，过点T作x轴的垂线l，直线l交直线于点P、Q，当时，求t的值； (3)如图2，若在y轴上有一点，在直线l上是否存在一点E，使直线与y轴的夹角与互余，请直接写出点E的坐标 （用含t的代数式表示）． 61．（23-24八年级下·河北唐山·期末）一次函数的图象分别交两坐标轴于点和点，如图所示．在研究函数的图象和性质时，某同学把一次函数中的k、b调换位置得到一次函数．    (1)求k、b的值； (2)在图中画出的图象 （不用列表）； (3)直接写出方程组 的解为； (4)直线轴，且与直线、分别交于点、， 点M永远在点N的上方，则m的取值范围是 ． 一次函数的图象平移题型07 62．（24-25八年级上·河北保定·期末）将直线向下平移4个单位长度后．经过点，则b的值是（   ） A．1 B．7 C． D． 63．（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）将直线向右平移个单位，平移后的直线经过点，则（   ） A． B． C． D． 64．（23-24八年级下·河北邢台·期末）将直线向下平移3个单位长度后得到直线，下列关于的描述正确的是（　　） A． B．y随x的增大而增大 C．方程的解为 D．图象不经过第二象限 65．（23-24八年级下·河北保定·期末）在平面直角坐标系中，直线的图象不动，将坐标系向上平移2个单位后得到新的平面直角坐标系，此时该直线的解析式变为 ． 66．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线过点，且与x轴交于点A． (1)求的函数表达式； (2)将向下平移个单位长度得到直线，若平移后的直线经过点A关于y轴的对称点，求n的值． 67．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）已知函数，m为常数． (1)若函数图象经过原点，求m的值； (2)若该函数的图象与直线平行，求m的值； (3)若这个函数是一次函数，且函数图象不经过第二象限，求m的取值范围． 一次函数的图象平移题型08 八、一次函数与几何综合问题 68．（23-24八年级下·河北邢台·期末）如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，P为线段上的一个动点，过点P分别作轴于点F，轴于点E，连接，则长的最小值为（　　） A． B．3 C． D．4 69．（23-24八年级下·河北唐山·期末）将正方形，，按如图所示方式放置，点，，，…和点，，，…分别在直线和x轴上，则点的坐标是 ，的纵坐标是 ． 70．（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，直线分别与轴，轴交于点，该直线上一点的横坐标为1，过点的一条直线交轴的正半轴于点，的面积为18． (1)求点的坐标及直线的解析式； (2)设点为轴上点右侧一点，过点作轴，分别交直线于点，求点的坐标． 71．（23-24八年级下·河北邢台·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点． (1)求直线的解析式和线段，的长． (2)在线段上有一动点（不与点，重合），过点作轴于点，于点，以，为邻边作． ①求的周长． ②当为菱形时，求点的坐标． 72．（23-24八年级下·河北邯郸·期末） 如图，直角坐标系中， 过点的直线与直线：交于点， 直线与x轴交于点 B． (1)求k 的值及的函数表达式； (2)求 的值； (3)直线与直线和直线 分别交于点M，N．直接写出点 M，N 在y轴异侧时a 的取值范围． 73．（2024·河北邯郸·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，与x轴交于点C，直线经过点A，B，已知，，直线与相交于点P．    (1)求直线的解析式； (2)求的面积； (3)直线与x轴交于点E，与直线，分别交于点M，N，若点M，N，E中有两点关于第三个点对称，直接写出m的值． 74．（22-23八年级上·河北保定·期末）如图，在平面直角坐标系中，点在直线图象上，过点作 y 轴平行线，交直线 于点，以线段为边在右侧作第一个正方形 所在的直线交的图象于点，交 的图象于点 ，再以线段为边在右侧作第二个正方形…依此类推，按照图中反映的规律，第 3 个正方形的边长是 ；第 100 个正方形的边长是 ． 75．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，…都在x轴上，点，，…都在直线上，，，，，…都是等腰直角三角形，且，则点的坐标是 ，点的坐标是 ． 76．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）如图，点，． （1）点A关于x轴的对称点的坐标为 ： （2）若点P为坐标轴上一点，当的周长最小时，点P的坐标为 ． 77．（22-23八年级下·河北唐山·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，直线与y轴相交于C点，与线段交于P点    (1)求的面积； (2)若点A和点B在直线的两侧，求k的取值范围； (3)若P点将线段分成两部分，直接写出k的值． 动点问题的函数图形题型09 78．（23-24九年级上·河北石家庄·期末）如图1，已知扇形，点从点出发，沿以的速度匀速运动，设点的运动时间为，，随变化的图象如图2所示，则的长为（   ） A． B． C． D． 79．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）如图，直线l（不经过点A，B，E）与五边形的边，相交，设，，则能够大致反映y与x函数关系的部分图像是（    ） A． B． C． D． 80．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）如图甲，点G为边的中点，点H在上，动点P以每秒的速度沿路线运动，到点H停止，相应的的面积关于运动时间的函数图象如图乙所示，若，则下列结论正确为 ①图甲中长8； ②图甲中的长是6； ③图乙中点M表示时y值为； ④图乙中点N表示时y值为． 81．（23-24八年级下·河北唐山·期末）如图1，点为矩形中边的中点，点从点出发，沿以的速度运动到点，图2是点运动时，的面积随时间变化的函数图象，则点C到的距离是 ，的值为 ． 82．（23-24七年级下·河北保定·期末）如图1，在直角中，，D是的中点，动点P从点C沿出发，沿运动到点B．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的关系图象如图2所示．    （1） ． （2）当点P运动到边的中点时， ． 83．（23-24八年级下·河北唐山·期末）如图1，平行四边形中，， 两动点M， N同时从点A出发， 点M在边上以的速度匀速运动，到达点B时停止运动，点 N沿的路径匀速运动，到达点B时停止运动．的面积与点 N的运动时间的关系图象如图2所示， 已知． （1） N点的运动速度是 ； （2）c处的数值等于 ． 84．（23-24八年级下·河北邢台·期末）如图1，点从菱形的顶点A出发，沿以的速度匀速运动到点，点运动时，的面积随时间的变化关系图象如图2， （1） . （2）的值是 ． 85．（23-24八年级下·河北衡水·期末）如图1，在正方形的边上有一点E，连接．点P从正方形的顶点A出发，沿以的速度匀速运动到点C．图2是点P运动时，的面积y（）随时间x（s）变化的函数图象． （1）正方形的边长为 ． （2）当时，y的值为 ． 一次函数压轴问题题型10 86．（23-24八年级下·河北承德·期末）如图平面直角坐标系中，，，点是线段上一点，直线解析式为，当随增大而减小时，点坐标可以是（    ）    A． B． C． D． 87．（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）在平面直角坐标系中，将点向左平移4个单位长度，得到点N，点N在直线上．如果一次函数的图象与线段有公共点，则n的取值范围为（    ） A． B． C． D． 88．（22-23八年级上·河北张家口·期末）如图，已知是x轴上的点，且，分别过点作x轴的垂线交一次函数的图象于点，连接依次产生交点，则：的纵坐标是 ，的纵坐标是 ．    89．（23-24七年级下·河北保定·期末）如图1，在长方形中，，E为边中点．动点P从点B开始，以的速度沿路线运动，到点A停止．图2是点P出发t秒后，的面积随时间变化的图象．根据图中提供的信息，回答下列问题： (1)____________；点M表示的实际意义是________________________； (2)当点P在上运动时，求的面积为时t的值； (3)如图3，当点P从点B出发时，动点Q同时以的速度从C点出发，沿边运动，当点P运动到点C时，P、Q两点停止运动．当x为何值时，与全等，请直接写出x的值． 90．（23-24八年级下·河北邢台·期末）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与一次函数的图象的交点为． (1)求m和k的值； (2)直接写出使函数的值小于函数的值的自变量x的取值范围； (3)设一次函数的图象与x轴交于点C，将一次函数的图象向右平移2个单位长度，交的图象于点E，交x轴于点D，求四边形的面积． 91．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）如图，一次函数的图象经过点，并与直线：交于点，设直线与轴交于点． (1)求直线的函数表达式并画出直线的图象； (2)连接，求的面积； (3)若第一象限上的点在正比例函数的图象上，且点在的内部（包括边界），设点的横坐标为．请直接写出的取值范围． 92．（22-23八年级下·河北保定·期末）经过点，的一次函数的图象（直线）在如图所示的平面直角坐标系中，某同学为观察对图象的影响，将上面函数中的减去2，不变得到另一个一次函数，设其图象为直线．    (1)求直线的函数解析式； (2)在图上画出直线（不要求列表计算），并求直线，和轴所围成的三角形的面积； (3)将直线向下平移个单位长度后，得到直线，若直线与的交点在第三象限，求的取值范围； (4)若是轴上的一个动点，过点作轴的平行线，该平行线分别与直线，及轴有三个不同的交点，且其中一个交点的纵坐标是另外两个交点的纵坐标的平均数，请直接写出的值． 93．（22-23八年级上·河北保定·期中）如图，，，，已知点和点的坐标分别为和，过点、的直线关系式为. (1)点的坐标为：___________． (2)求直线的函数关系式． (3)在轴上有一个点，已知直线把的面积分为两部分，请直接写出点的坐标． (4)在线段上是否存在点，使的面积为4?若存在，请求出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． (5)直线与有公共点，直接写出的取值范围． 94．（21-22八年级下·河北唐山·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线经过点和点，直线经过原点和点． (1)求直线和直线的表达式； (2)点是射线上一动点，点关于点的对称点为点，过点作轴，交直线于点．以、为邻边作矩形． ①当点落在直线上时，直接写出长； ②当为等腰三角形时，直接写出点的坐标．（写出一种情况即可） 95．（21-22八年级下·河北石家庄·期末）直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，菱形ABCD如图放置在平面直角坐标系中，其中点D在x轴负半轴上，直线y＝x+m经过点C，交x轴于点E． (1)请直接写出点C，点D的坐标，并求出m的值； (2)点P（0，t）是线段OB上的一个动点（点P不与O、B重合），经过点P且平行于x轴的直线交AB于M，交CE于N．当四边形NEDM是平行四边形时，求点P的坐标； (3)点P（0，t）是y轴正半轴上的一个动点，Q是平面内任意一点，t为何值时，以点C、D、P、Q为顶点的四边形是菱形？ 试卷第4页，共93页 21 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题07 一次函数的图象和性质 题型概览 题型01正比例函数的图象和性质 题型02函数概念辨析 题型03由函数图象获取信息 题型04待定系数法求函数解析式 题型05一次函数的图象和性质 题型06一次函数与方程、方程组 题型07一次函数的图象平移 题型08一次函数与几何综合问题 题型09动点问题的函数图形 题型10一次函数压轴问题 正比例函数的图象和性质题型01 1．（24-25八年级上·河北张家口·期末）下列函数是正比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正比例函数的判断，根据正比例函数的定义：形如，这样的函数叫做正比例函数，进行判断即可． 【详解】解：A、，不是正比例函数，不符合题意； B、，不是正比例函数，不符合题意； C、，是正比例函数，符合题意； D、，不是正比例函数，不符合题意； 故选：C． 2．（23-24八年级下·河北唐山·期末）已知函数是正比例函数，则m的值为（    ） A． B．3 C． D．9 【答案】A 【分析】此题考查了正比例函数的定义，形如的函数叫做正比例函数，据此进行解答即可. 【详解】解：∵函数是正比例函数， ∴且， 解得. 故选：A 3．（23-24八年级下·河北唐山·期末）已知正比例函数的图象上两点，当时，有，那么的取值范围是（    ） A． B．为任意实数 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，解不等式，准确理解一次函数图象的性质，确定y随x的变化情况是解题的关键． 由当时，可知：y随x的增大而增大，则由一次函数性质可得：，然后求解即可． 【详解】解：∵正比例函数的图象上两点，当时，有， ∴正比例函数的图象是y随x的增大而增大， ∴，解得：． 故选D． 4．（23-24八年级下·河北秦皇岛·期末）在下列各图象中，为函数的大致图象的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正比例函数的性质，对于正比例函数，当时，其函数图象经过第一、三象限，当时，其函数图象经过第二、四象限，据此求解即可． 【详解】解：∵，， ∴函数经过第一、三象限， ∴四个选项中只有A选项符合题意， 故选：A． 5．（23-24八年级上·陕西西安·期中）若正比例函数的图象经过点，则以下四个点中，也在其图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查待定系数法求正比例函数解析式中的参数k．直接把代入求得解析式，再判断即可求解． 【详解】解：把代入， 解得：， ∴正比例函数的解析式为， 当时，，点也在其图象上， 当时，，点不在其图象上， 当时，，点不在其图象上， 当时，，点不在其图象上， 故选：A． 6．（21-22八年级下·海南省直辖县级单位·期末）已知点，都在直线上，则，大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正比例函数的性质，先根据直线判断出函数图象的增减性，即正比例函数中，当，随的增大而增大；当，随的增大而减小，再根据各点横坐标的大小进行判断即可．熟练掌握正比例函数的增减性是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而减小， 又∵点，都在直线上，且， ∴． 故选：A． 7．（22-23八年级下·河北保定·期末）对于函数，下列说法不正确的是（    ） A．是的正比例函数 B．图象经过点 C．图象不经过第四象限 D．当时， 【答案】D 【分析】根据正比例函数的定义以及图象特点，逐项判断即可． 【详解】A、符合正比例函数的形式， 为正比例函数，说法正确，该选项不符合题意； B、当时，，函数的图象经过点，说法正确，该选项不符合题意； C、函数经过第一、第三象限，不经过第二、第四象限，说法正确，该选项不符合题意； D、当时，，说法错误，该选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查正比例函数的定义（形如的函数叫做正比例函数）以及图象的特点，牢记正比例函数的定义以及图象的特点是解题的关键． 8．（22-23八年级下·河北邯郸·期末）正比例函数，若的值随的值的增大而增大，则的值可能是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正比例函数的图像性质即可求出答案. 【详解】解：正比例函数，的值随的值的增大而增大， ， . 故选：A. 【点睛】本题考查了正比例函数的图像性质，解题的关键在于通过增减性判断未知数系数是否大于0. 9．（24-25八年级上·河北张家口·期末）在正比例函数中，y随x的增大而减小，则k的值可以是 ．（写出一个满足条件的值） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了正比例函数的性质，开放型题目，所写函数解析式必须满足，据此求解即可． 【详解】解：∵正比例函数中，y随x的增大而减小， ∴， ∴k的值可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 函数概念辨析题型02 10．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）一支冰激凌的价格是5元，买支冰激凌共支付元，则5和分别是（    ） A．常量，常量 B．变量，变量 C．常量，变量 D．变量，常量 【答案】C 【分析】本题考查了常量和变量，熟知相关概念是解题的关键．根据常量和变量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量，即可判断． 【详解】解：根据题意，可知5是常量，a是变量， 故选：C． 11．（23-24八年级下·河北承德·期末）刘师傅到加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，则其中的变量是（   ） A．金额 B．单价 C．数量 D．金额和数量 【答案】D 【分析】本题考查了常量和变量．根据在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称为常量即可求解． 【详解】解：在金额、数量和单价中，金额和数量是变量，单价是常量． 故选：D． 12．（23-24八年级下·河北沧州·期末）函数的自变量的取值范围是（    ） A． B． C．且 D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是：被开方数为非负数；分式有意义的条件是：分母不为0，求出结果即可． 【详解】解：依题意得：， 解得：. 故选：B． 13．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）在函数中，自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件、二次根式有意义的条件、自变量的取值范围等知识点，掌握分式有意义的条件、二次根式有意义的条件成为解题的关键． 根据分式的分母不等于0、二次根式的被开方数大于等于0列不等式组求解即可． 【详解】解：∵函数， ∴，解得：． 故选A． 14．（23-24八年级下·河北唐山·期末）在中， 点D、E分别是边和的中点， 连接．设，，则y与x的函数关系是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了函数，三角形的中位线定理，根据三角形中位线定理得出，即可求出y与x的函数关系式． 【详解】解∶∵点D、E分别是边和的中点， ∴， 又，， ∴， 故选：B． 15．（23-24八年级下·河北唐山·期末）寄快递时，快递公司规定：不超过1千克，收费12元，超过1千克时，超出部分按每千克4元加收费用．若小李给亲人邮寄了千克本地土特产，则快递的费用y（元）与x（千克）之间的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了列函数关系式，不超过1千克，收费12元，超过1千克时，超出部分按每千克4元加收费用．据此即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得， 故选：C 16．（23-24八年级下·河北邢台·期末）托运行李p千克（p为整数）的费用为c元，已知托运第一个1千克需付2元，以后每增加1千克（不足1千克按1千克计）需增加费用5角，则计算托运行李费用c的公式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查函数关系式，根据题目已知可写出：托运1千克费用为2元；托运2千克行李的时候，2千克行李的费用为元；托运p千克行李的时候，p千克的运费为元． 【详解】解：根据题意，知：托运p千克行李的时候，p千克的运费为元． 故选：C． 17．（23-24七年级下·河北保定·期末）高原反应是人到达一定海拔高度后，由于机体对低压低氧环境的适应能力不足而引起的．下面是反映海拔高度与空气含氧量之间关系的一组数据： 海拔高度 0 1000 2000 3000 4000 空气含氧量 下列说法不正确的是（    ） A．海拔高度是自变量，空气含氧量是因变量； B．海拔高度每上升，空气含氧量减少； C．在海拔高度为的地方空气含氧量是； D．当海拔高度从上升到时，空气含氧量减少了． 【答案】B 【分析】本题主要考查了用表格表示变量，解题的关键是，熟练掌握自变量和因变量，表中数据及变化． 根据题目中表格给出的数据逐一判断，即可． 【详解】A．海拔高度是自变量，空气含氧量是因变量； ∵海拔高度是自变量，空气含氧量是因变量， ∴A正确，不符合题意； B．海拔高度每上升，空气含氧量减少； ∵，，，， ∴海拔高度每上升，空气含氧量减少值不都是， ∴B错误，符合题意． C．在海拔高度为的地方空气含氧量是； ∵在海拔高度为的地方空气含氧量是， ∴C正确，不符合题意； D．当海拔高度从上升到时，空气含氧量减少了； 由B知，当海拔高度从上升到时，空气含氧量减少了， ∴D正确，不符合题意． 故选：B． 18．（24-25七年级上·河北沧州·期末）某机床要加工一批机器毛绒玩具，每小时加工的件数与加工的时间如下表： 每小时加工件数（件） 30 20 18 9 … 加工时间（小时） 12 18 20 40 用x表示每小时加工毛绒玩具的件数，用y表示加工时间，用式子表示y与x之间的关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例关系的意义，工作总量、工作时间、工作效率三者关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键．观察表格数据，发现，，，，结合工作时间工作效率工作总量，且工作总量不变，即可作答． 【详解】解：由表格数据，得，，，， ∴这批毛绒玩具共360件， ∵工作总量不变，都是360件， ∴加工时间与每小时加工件数乘积都是360，即乘积不变， ∴， 故答案为：． 19．（23-24七年级下·河北保定·期末）小明和妈妈去超市买凳子，小明发现售货员把凳子按如图方式叠放在一起时，每叠放一个凳子，增加的高度是一样的．下表是叠放凳子的总高度h与凳子数量n的几组对应值． 凳子的数量n（个） 1 2 3 4 … 叠放凳子的总高度h（厘米） 46 52 58 64 … 根据以上信息，回答下列问题： (1)按照表格所示的规律，当凳子的数量为6时，叠放的凳子总高度为____________厘米； (2)直接写出叠放的凳子总高度h与凳子的数量n之间的关系式：____________； (3)按上表所示的规律，若将该种凳子按如图方式叠放在层高为92厘米的超市货架上，能叠放8个吗？请说明理由． 【答案】(1)76 (2) (3)能叠放8个，理由见解析 【分析】本题主要考查了列函数关系式，求自变量的值等等： （1）由表格中的数据可知，凳子数量每增加1，叠放凳子的总高度就增加6厘米，据此求解即可； （2）由表格中的数据可知，凳子数量每增加1，叠放凳子的总高度就增加6厘米，据此求解即可； （3）根据（2）所求求出当时，h的值即可得到结论． 【详解】（1）解：由表格中的数据可知，凳子数量每增加1，叠放凳子的总高度就增加6厘米， ∴当凳子的数量为6时，叠放的凳子总高度为， 故答案为：76； （2）解：由题意得：， 故答案为：； （3）解：能叠放8个， 理由如下： 当时，， ∵， ∴能叠放8个． 由函数图象获取信息题型03 20．（23-24八年级下·河北承德·期末）一艘轮船在同一航线上往返于甲、乙两地．已知轮船在静水中的速度为，水流速度为．轮船先从甲地顺水航行到乙地，在乙地停留一段时间后，又从乙地逆水航行返回到甲地．设轮船从甲地出发后所用时间为，航行的路程为，则与的函数图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由航行，休息，航行可得此函数图象将分三个阶段，逐段进行分析即可得答案． 本题考查了实际问题的函数图象，解决本题的关键是抓住相同路程用时不同得到相应的函数图象． 【详解】解：第一个阶段，逆水航行，用时较多； 第二个阶段，在乙地停留一段时间，随着时间的增长，路程不再变化，函数图象将与x轴平行； 第三个阶段，顺水航行，所走的路程继续增加，相对于第一个阶段，用时较少， 故选：C． 21．（23-24八年级下·河北石家庄·期中）以下四种情景分别描述了两个变量之间的关系： （1）篮球运动员投篮时，抛出去的篮球的高度与时间的关系． （2）小华在书店买同一单价的作业本，所付费用与作业本数量的关系． （3）李老师上班打出租车，他所付车费与路程的关系． （4）周末，小亮从家到体育馆，打了一段时间的篮球后，按原速度原路返回，小亮离家的距离与时间的关系．用图象法依次刻画以上变量间关系，排序正确的是（    ） A．①—（1），②—（2），③—（3），④—（4） B．①—（1），③—（2），④—（3），②—（4） C．①—（1），③—（2），②—（3），④—（4） D．①—（1），④—（2），②—（3），③—（4） 【答案】D 【分析】本题考查了函数的图象，解题的关键是了解两个变量之间的关系，解决此类题目还应有一定的生活经验． （1）篮球运动员投篮时，抛出去的篮的高度变大后逐渐变小至0；（2）小华在书店买同一单价的作业本，所付费用与作业本数量成正比例关系；（3）李老师上班打出租车，他所付车费与路程的关系是一次函数关系；（4）周末，小亮从家到体育馆，打了一段时间的篮球后，按原速度原路返回，小亮离家的距离从0开始变大，到达体育馆打篮球的时候与家的距离不变，返回时与家的距离变小直至为0．据此可以得到答案． 【详解】解：（1）篮球运动员投篮时，抛出去的篮的高度变大后逐渐变小至0，故对应①； （2）小华在书店买同一单价的作业本，所付费用与作业本数量成正比例关系，故对应④； （3）李老师上班打出租车，他所付车费与路程的关系是一次函数关系，故对应②； （4）周末，小亮从家到体育馆，打了一段时间的篮球后，按原速度原路返回，小亮离家的距离从0开始变大，到达体育馆打篮球的时候与家的距离不变，返回时与家的距离变小直至为0，故对应③． 故选：D． 22．（22-23八年级上·河北邢台·期末）甲、乙两人利用不同的交通工具，沿同一路线从A地出发前往B地，两人行驶的路程y（km）与行驶的时间x（h）之间的函数图象如图所示．根据图象得到如下结论，其中错误的是（    ） A．甲的速度是 B．乙比甲早1小时到达 C．乙出发3小时追上甲 D．乙比甲的速度快 【答案】C 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息，观察函数图象逐一分析四个结论的正误是解题的关键．由速度=路程÷÷时间，可求出甲的速度，从而得出结论A正确；由，可得出乙比甲早1小时到达，于是结论B正确；由速度=路程÷时间，可求出乙的速度，再用甲出发l小时的路程甲、乙速度差，可求出乙出发2小时追上甲，从而结论C错误、结论D正确；即可得出结论． 【详解】解：甲的速度是，故选项A正确，但不符合题意； ∵， ∴乙比甲早1小时到达，故选项B正确，但不符合题意； ∵乙的速度是， ， ∴乙出发2小时追上甲，故选项C错误，符合题意，选项D正确，不符合题意， 故选：C． 23．（23-24八年级下·河北廊坊·期末）A、B两地相距，甲8：00由A地出发骑自行车去B地，速度为；乙9：30由A地出发开汽车也去B地，速度为．两人之间的距离与时刻t的函数关系大致如图所示，下列说法中正确的是（    ） A．， B．， C．乙到达B地时两人相距 D．乙比甲提前到B地 【答案】A 【分析】本题考查函数图象获取信息，由图可得，m对应的时间为9：30，a表示的时间是甲乙两车相遇的时间，b表示乙到达B地的时间，c表示甲到达B地的时间，据此逐一分析即可． 【详解】解：甲到达B地所需的时间：（小时），， ∴， 乙到达B地所需的时间：（小时）（分钟）， 设乙出发后x小时与甲相遇， 则， 解得：， 分钟， 即，A说法正确， ，分钟， B说法错误； （分钟）（小时） ， C选项说法错误； 乙比甲提前到B地，D说法错误， 故选：A． 24．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）佳佳荡秋千时，自由摆动的秋千距离地面的高度与摆动时间之间的关系如图所示．根据图像回答问题：        (1)当时，__________m； (2)解释坐标的含义． 【答案】(1) (2)秋千开始摆动时，离地面的高度是 【分析】本题主要考查了函数图像的认识，正确认识函数图像中数据的关系是解题关键． （1）根据函数图像上的数据进行答题即可； （2）根据图像中的数据答题即可． 【详解】（1）解：由函数图象可知，当时，； （2）解：坐标的实际意义是：秋千开始摆动时，离地面的高度是； 25．（22-23七年级上·河北邯郸·期末）如图1，小刚家、学校、图书馆在同一条直线上，小刚骑自行车匀速从学校到 图书馆，到达图书馆还完书后，再以相同的速度原路返回家中(上、下车时间忽略不计) 小刚离家的距离与他所用的时间的函数关系如图2所示．根据图象回答问题： (1)小刚在图书馆停留时间 ； (2)小刚家与学校的距离为 m，小刚骑自行车的速度为 ； (3)小刚出发35分钟时，他离家有 m． 【答案】(1)10 (2)3000，200 (3)2000 【分析】本题考查用函数图象表示变量之间的关系： （1）直接从图象获取进行作答即可； （2）直接从图象获取信息，用路程除以时间求出速度即可； （3）根据路程等于速度乘以时间进行计算即可． 【详解】（1）解：由图象可知小刚在图书馆停留时间为； 故答案为：10； （2）由图象可知：小刚家与学校的距离为，小刚骑自行车的速度为； 故答案为：3000，200 （3）； 故答案为：2000． 26．（2024·河北邯郸·二模）如图，两个透明的正方体器皿，其中小正方体的器皿棱长是大正方体棱长的，将小正方体器皿放置大正方体器皿的底部，现先向小正方体器皿内匀速注水，注满后，再向大正方体器皿内以同样的速度注水，直到液面刚好没过小正方体器皿．设注水时间为，两个器皿内水面之差为，则与之间关系的大致图象是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查函数的图象．根据题意可以得到各段内的函数图象，从而可以得到哪个选项是正确的． 【详解】解：向小正方体器皿内匀速注水，注满后，两个器皿内水面之差为最大， 注满后，再向大正方体器皿内以同样的速度注水，两个器皿内水面之差随着的增加而缓慢减少，直到为0， 设小正方体的器皿棱长为，则大正方体棱长为， 小正方体的体积为， 则大正方体中直到液面刚好没过小正方体器皿时的体积为， ∴小正方体器皿注满水后，再向大正方体器皿内以同样的速度注水的时间是向小正方体器皿注水时间的倍， 观察四个选项，选项C符合题意， 故选：C． 27．（23-24八年级下·河北沧州·期末）如图，甲、乙两人于某日下午从P地前往Q地，图中的折线和线段分别表示甲与乙所行驶的路程s和时间t的关系.根据图象回答下列问题： (1)两地相距______千米； (2)甲出发______小时后，乙才开始出发； (3)甲在段路程中的平均速度是______千米/小时；乙的平均速度是______千米/小时； (4)根据图象上的数据，乙出发后经过多少小时追上甲． 【答案】(1)50 (2)1 (3)10，50 (4)0.5小时 【分析】本题主要考查了函数图象和一元一次方程， （1）观察图象可得结论； （2）观察图象可得结论； （3）根据路程除以时间可得答案； （4）设乙出发后经过t小时追上甲，再根据等量关系列出方程，求出解即可． 【详解】（1）乙2时出发，3时行驶50千米到达了Q地，所以两地相距50千米． 故答案为：50； （2）甲1时出发，乙2时出发，所以甲出发1小时后，乙才开始出发． 故答案为：1； （3）甲2时走到了20千米，4时走了40千米， 所以段路程中的平均速度是（千米/小时）； 乙的平均速度是（千米/小时）． 故答案为：10，50； （4）解：设乙出发后经过t小时追上甲，依题意得， ， 解得， ∴乙出发后经过0.5小时追上甲． 28．（23-24七年级下·河北保定·期末）【综合与实践】某学校在操场上举办“绑腿跑”比赛，要求每队若干名队员并列立于起跑线后，每相邻的两名队员把腿绑在一起，队员通过协调配合在跑道上共同行进．赛前某班队员在长方形比赛场地中(如图2所示)进行适应性训练，把这组“绑腿跑”队员表示为图中线段．线段可匀速向右或向左平行移动，该组“绑腿跑”队员从长方形内平行于边的某地出发向右匀速奔跑4s之后到达终点边，停留后又向左返回，匀速平行奔跑直至与边重合． 【问题分析】 （1）图3反映队员奔跑时与边的距离(即线段的长度)随时间变化而变化的情况． ①这个变化过程中，自变量是 ，因变量是 ； ②当这组队员开始出发时，到边的距离是 m； ③当时，求该“绑腿跑”队员向右运动的速度？ 【实践探索】 （2）图4反映了队员在奔跑过程中形成长方形的面积． 随时间变化的情况， ①长方形中边的长为 m； ②当时，请写出S与y之间的关系式． 【答案】（1）①时间（或），到边的距离（或）； ②10； ③（2）①14 ；② 【分析】本题考查从图像中获取信息解决实际问题，读懂题意，看懂图像，通过问题，找准需要的相关信息是解决问题的关键． （1）①由题意及图像，获取信息填空即可得到答案； ②由图像1可知，当时，，即当这组队员开始出发时，到边的距离是； ③由图像1可知，当时，该“绑腿跑”队员向右运动的速度为 （2）①图像2可知，当时，，则由长方形面积公式得到长方形中边的长为 ②用关系式表示出变量之间的关系即可. 【详解】解：（1）①由图可知，自变量是时间（），因变量是到边的距离（）； ②由图像1可知，当时，，即当这组队员开始出发时，到边的距离是； ③由图像1可知，当时，该“绑腿跑”队员向右运动的速度为； 故答案为：时间（或），到边的距离（或）；10；； （2）①由（1）②可知，当时，，即当这组队员开始出发时，到边的距离是； 由图像2可知，当时，，则由长方形面积公式得到长方形中边的长为； 故答案为：14 ②由题意可知，当时， 与之间的关系式为. 待定系数法求函数解析式题型04 29．（23-24八年级下·河北唐山·期末）某经销商销售一种边长为的正方形板材，板材的售价（元）与成正比例.当时，，则与满足的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求正比例函数的解析式，先设，把，，代入，解出值，即可作答． 【详解】解：∵板材的售价（元）与成正比例 ∴设 ∴把，，代入， 得 解得 ∴ 故选：A 30．（23-24八年级下·河北唐山·期末）如果一个正比例函数的图象经过两点，那么的值为（　　） A．3 B． C．12 D． 【答案】A 【分析】本题考查求正比例函数，求自变量的值，根据点求出正比例函数的解析式，进一步求出的值即可． 【详解】解：设正比例函数的解析式为：，把，得：， ∴， ∴， 把代入，得：， ∴； 故选A． 31．（23-24九年级上·河北保定·期末）一个乒乓球从光滑斜面自由滚下的路程y（米）与时间x（秒）的平方成正比例，当乒乓球滚下3米时，经过的时间为1.5秒，当时，该乒乓球所经过的路程为（    ） A．5米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查的是二次函数的应用，确定函数表达式是本题解题的关键．先由待定系数法求出函数关系式，再代入即可求出结论． 【详解】解：设， 将代入上式得：， 解得：， 则函数的表达式为：， 当时，， 即乒乓球所经过的路程是米， 故选：B． 32．（23-24八年级下·河北张家口·期末）已知正比例函数的图象过点，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征，把代入函数解析式中计算即可求解，掌握正比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：∵正比例函数的图象过点， ∴， 解得， 故答案为：． 33．（23-24九年级上·河北承德·期末）已知y是的正比例函数，并且当时，． (1)求出y与x之间的函数关系式； (2)求时x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，正比例函数的定义，求自变量的值： （1）设，再根据当时，进行求解即可 （2）把代入（1）所求中进行求解即可． 【详解】（1）解：设， 把时，代入得，解得， ∴y与x之间的函数关系式为 （2）解：当时，， 解得． 34．（23-24八年级下·河北邢台·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，． (1)求这个一次函数的解析式； (2)若点在该一次函数的图象上，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用待定系数法即可得出一次函数解析式； （2）将代入一次函数解析式求出a的值即可得解． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：， 这个一次函数的解析式为：； （2）解：点在该一次函数的图象上， ， 解得：． 35．（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）规定在平面直角坐标系中，点M的坐标为，点的坐标为，若，则称点为点M的伴随点．现有点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，点的伴随点为，…，这样依次得到点． （1）若点，则点N的伴随点的坐标为，的坐标为 ； （2）点P在一次函数上，且点P的伴随点是，则一次函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查数的运算，点坐标表示，整式规律的探索，求一次函数解析式等． （1）依次求出，继而可得点坐标为4个一循环，再用除以4即可得到点坐标； （2）利用一次函数性质及题意即可得到本题答案． 【详解】解：（1）∵点，点N的伴随点的坐标为， ∴的坐标为，的坐标为，的坐标为， ∴通过题目可知从到，四个数一循环， ∴， ∴的坐标， 故答案为：； （2）∵点P的伴随点是， ∴点P的坐标为， ∵点P在一次函数上， ∴，解得：， ∴一次函数的解析式为：， 故答案为：． 36．（23-24八年级下·河北唐山·期末）已知与成正比例， 当时，． (1)求与的函数关系式； (2)若（）中的函数图象经过第四象限内的点，已知点到轴的距离是，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）设，把，代入计算即可求解； （）由点在第四象限，且点到轴的距离是，可得点的纵坐标为，再把代入函数解析式计算即可求解； 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形，求一次函数图象上点的坐标，正确求出一次函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：设，把，代入得， ， ∴， ∴； （2）解：∵点在第四象限，且点到轴的距离是， ∴点的纵坐标为， 把代入得，， ∴， ∴点的坐标为． 37．（23-24八年级下·河北张家口·期末）已知y关于x的函数． (1)若该函数是正比例函数，求k的值； (2)若． ①写出该函数图象经过的象限； ②若点，在该函数的图象上，且，比较与的大小关系． 【答案】(1) (2)①该函数图象经过第一、三、四象限；② 【分析】本题考查了正比例函数的定义、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数的性质． （1）根据正比例函数的定义即可求得的值； （2）①当时，，根据一次函数的系数及常数项即可判断该函数图象经过的象限；②由，可知随增大而增大，结合可得结论． 【详解】（1）解：∵函数是正比例函数， ∴且，即且， ∴； （2）①当时，， ∴该函数图象经过第一、三、四象限； ②∵， ∴随增大而增大， 则当时，． 38．（23-24八年级下·河北唐山·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与过点的直线交于y轴上的点B，点A，D分别为直线，与x轴的交点． (1)求点B的坐标及直线的函数表达式； (2)若过点B的直线把的面积平分，直接写出直线的表达式． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点坐标,三角形的中线性质． （1）根据待定系数法求一次函数解析式即可； （2）先求出点A、D的坐标，以及的中点坐标，然后利用待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：在直线中，令，得，即， 设直线为，根据题意得： ， 解得：， 即直线的解析式为． （2）解：在直线中，令，解得，即， 在直线中，令，得，即， 中点的横坐标为， ∴的中点坐标为， 由题意知直线经过的中点和点， 设直线的表达式为， 代入得， 解得， ∴直线的表达式为． 一次函数的图象和性质题型05 39．（23-24八年级下·河北邢台·期末）已知函数是关于的一次函数，则的值为（    ） A． B．3 C． D．9 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的定义，利用平方根解方程等知识．熟练掌握一次函数的定义，利用平方根解方程是解题的关键． 由题意可得，，，计算求解即可． 【详解】解：∵函数是关于的一次函数， ∴，， 解得，，， ∴， 故选：A． 40．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）下列各列表中，能表示y是x的一次函数的是（    ） A． x … 1 2 3 4 5 … y … 8.9 8 8 8 10 … B． x … 1 2 3 4 5 … y … 6 7 9 9 10 … C． x … 1 2 3 4 5 … y … 6 3 2 1 5 … D． x … 1 2 3 4 5 … y … 2 4 6 8 10 … 【答案】D 【分析】本题主要考查一次函数的概念，根据一次函数的性质解题即可． 【详解】解：∵一次函数要求当自变量增大（或减小）相同数值时，函数值的变化量也相同， ∴符合的选项为D， 故选D． 41．（23-24八年级下·河北邢台·期末）一次函数的图象过一、二、三象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据题意可得，解不等式组即可求解，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图象过一、二、三象限， ∴， 解得， 故选：． 42．（23-24八年级下·河北保定·期末）点，点是一次函数图象上的两点，则与的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数的性质．先求出一次函数的图象过点，然后根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】解：当时，， 解得：， ∴一次函数的图象过点， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∵点，点是一次函数图象上的两点，且， ∴． 故选：A． 43．（23-24八年级下·河北邢台·期末）图1是变量y与变量x的函数关系的图象，图2是变量z与变量y的函数关系的图象，则z与x的函数关系的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，由图1可设（k，b为常数，且，），由图2可设（m为常数，），将代入得，再根据一次函数图象与系数之间的关系即可判断． 【详解】解：由图1可设（k，b为常数，且，），由图2可设（m为常数，）， 将代入得：， ∴z与x的函数关系为一次函数关系， ∵，，， ∴，， ∴z与x的函数图象过一、二、四象限． 故选：D． 44．（23-24八年级下·河北廊坊·期末）一次函数的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象； 根据，时，一次函数图象过二、三、四象限可得答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴函数图象过二、三、四象限， 故选：C． 45．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）如图，在平面直角坐标系中，若点位于直线的下方，则a的值可能为（   ）    A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象，把代入解析式，求出值，根据点，在直线的下方，得到的值小于时的函数值，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∵点位于直线的下方， ∴， ∴的值可能是2； 故选：D． 46．（24-25八年级上·河北保定·期末）如图，为平面直角坐标系内一点，M是x轴上一点，直线的函数表达式为，当y的值随着x值的增大而增大时，点M的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据函数表达式为，当y的值随着x值的增大而增大，得出直线一定经过第一、三象限，根据，M是轴上一点，得出点M一定在x轴负半轴上，从而得出答案． 【详解】∵直线的函数表达式为，当y的值随着x值的增大而增大， ∴该函数图象一定经过一、三象限，即直线一定经过一、三象限， ∵，M是x轴上一点， ∴M一定在x轴负半轴上， 故选：A 47．（23-24八年级下·河北唐山·期末）已知点，都在直线上，则和的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查对一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用一次函数的性质进行推理是解此题的关键．根据一次函数的性质得到随的增大而增大，根据得到答案即可． 【详解】解：函数中，， 随的增大而增大， 函数的图象经过点和点， ， ， 故选：C 48．（24-25八年级上·河北保定·期末）如图，为平面直角坐标系内一点，是轴上一点，直线的函数表达式为，当的值随着值的增大而增大时，点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据函数表达式为，当的值随着值的增大而增大，得出直线一定经过第一、三象限，根据，是轴上一点，得出点M一定在x轴负半轴上，从而得出答案． 【详解】解：∵函数表达式为，当的值随着值的增大而增大， ∴该函数图象一定经过一、三象限，即直线一定经过一、三象限， ∵，是轴上一点， ∴点M一定在x轴负半轴上， ∴、、、四个点中只有符合题意． 故选：A． 49．（24-25八年级上·河北张家口·期末）在平面直角坐标系中，一次函数和，无论x取何值，始终有，则n的取值范围为(    ) A．且 B．且 C．且 D． 【答案】A 【分析】本题是一次函数综合问题，考查了一次函数的图象与性质，解一元一次不等式；根据题意得两直线平行，且对任何的值，直线在直线上方，取，得到对应的函数值关系，则可确定n的范围． 【详解】解：∵无论x取何值，始终有， 则两直线必平行，且直线在直线上方， 当，则，， ∴， ∴且； 故选：A． 50．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）从，0，1，2中，选取两个不同的数作为一次函数的系数 k，b，使一次函数的y值随着x的增大而增大，且图象经过第一、三、四象限，写出一个满足条件的一次函数为 ． 【答案】（或） 【分析】本题考查了一次函数的性质、一次函数图像与系数的关系，掌握一次函数的性质、一次函数图像与系数的关系是解题的关键． 由y值随着x的增大而增大，利用一次函数的性质，可得出，进而得出或，由一次函数的图象经过第一、三、四象限，利用一次函数图像与系数的关系，可得出，，进而得出，由此可得出该一次函数解析式为：或． 【详解】一次函数的y值随着x的增大而增大， ， 或． 一次函数的图象经过第一、三、四象限， ，， 或． 故答案为（或）． 51．（23-24八年级下·河北秦皇岛·期末）一次函数中，的几组对应值如下表，可以得到的值为 ． … … … … 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征．利用一次函数图像上点的坐标特征，可得出关于，的方程组，解之即可得出，的值，进而可得出一次函数解析式，再利用一次函数图像上点的坐标特征，即可求出的值． 【详解】解：将点，，代入得： ， 解得：， ， 令，则，即， 故答案为：． 52．（24-25八年级上·河北保定·期末）已知一次函数的图象经过两点，且交x轴于点C，交y轴于点D． (1)求该一次函数的表达式； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)的面积为 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式． （1）先把A点和点坐标代入得到关于、的方程组，解方程组得到、的值，从而得到一次函数的解析式； （2）先求出直线与坐标轴交点，再根据三角形面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：把，代入得 ，解得， 一次函数解析式为； （2）解：当时，， 点的坐标分别为； 当时，， 解得：， 点的坐标分别为； 的面积为． 一次函数与方程、方程组题型06 53．（24-25八年级上·河北保定·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点．关于甲、乙两人的说法，下列判断正确的是（   ） 甲：；乙：关于x，y的方程组的解为 A．只有甲的对 B．只有乙的对 C．甲、乙的都对 D．甲、乙的都不对 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，两直线的交点与二元一次方程组的解的关系，掌握两条直线的交点坐标为两条直线解析式联立形成的二元一次方程的解是解题关键．先把点代入直线解析式中，求得m的值，在根据点的坐标，从而可得方程组的解． 【详解】解：点在直线上， ， 甲说法对； 直线与直线交于点， 关于、的方程组的解为， 乙说法错， 故选：A． 54．（24-25八年级上·河北保定·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点．关于甲、乙两人的说法，下列判断正确的是（    ） 甲：；乙：关于、的方程组的解为 A．只有甲的对 B．只有乙的对 C．甲、乙的都对 D．甲、乙的都不对 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，两直线的交点与二元一次方程组的解的关系，掌握两条直线的交点坐标为两条直线解析式联立形成的二元一次方程的解是解题关键．先把点代入直线解析式中，求得m的值，在根据点的坐标，从而可得方程组的解． 【详解】解：点在直线上， ， 甲说法对； 直线与直线交于点， 关于、的方程组的解为， 乙说法错， 故选：A． 55．（23-24八年级下·河北保定·期末）一次函数直线与（）的交点横坐标为，则关于的不等式的整数解为（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图象与不等式组的解集的关系．先求出直线与x轴的交点坐标为，观察图象得：当时，直线在直线的上方，且直线在x轴的上方，可得关于的不等式的解集为，即可求解． 【详解】解：∵， ∴当，即时，， 即直线与x轴的交点坐标为， ∵一次函数直线与（）的交点横坐标为， 观察图象得：当时，直线在直线的上方，且直线在x轴的上方， ∴关于的不等式的解集为， ∴关于的不等式的整数解为． 故选：B 56．（24-25八年级上·河北保定·期末）如图，在同一平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于x，y的方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，解题的关键是掌握两直线的交点坐标就是这两条直线组成的方程组的解．由题意先求出交点坐标，两直线的交点坐标就是这两条直线组成的方程组的解，即可得到答案． 【详解】解：根据题意， ∵直线与直线交于点， 把代入， ， 解得：， ， ∴方程组的解为； 故答案为：． 57．（23-24八年级下·河北沧州·期末）一次函数与的图像如图所示，已知二元一次方程组的解为，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组，一次函数与一元一次不等式，先根据方程组的解可知两条直线的交点坐标，要求不等式的解集就是看直线在直线上方时自变量的取值范围． 【详解】∵二元一次方程组的解是， ∴一次函数与的交点坐标是， ∴不等式的解集是． 故答案为：． 58．（23-24八年级下·河北保定·期末）新定义：关于x的一次函数与叫做一对交换函数．例如：一次函数与就是一对交换函数． (1)一次函数的交换函数是 ； (2)一次函数的交换函数是 ； (3)当时，（2）中两个函数图象交点的横坐标是 ；若，求（2）中两个函数图象与y轴围成的三角形的面积． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、三角形的面积等知识： （1）根据题目中的交换函数的定义进行求解，即可写出一次函数的交换函数； （2）根据题目中的交换函数的定义进行求解，即可写出一次函数的交换函数； （3）联立可得，可以求得当时，（2）中两个函数图象交点的横坐标；根据题意和（2）的结果，可以求得两函数图象与y轴的交点坐标，再利用三角形面积公式计算，即可． 【详解】（1）解：根据题意得：一次函数的交换函数是； 故答案为： （2）解：根据题意得：一次函数的交换函数是； 故答案为： （3）解：联立得：， 整理得：， ∵， ∴， 即当时，（2）中两个函数图象交点的横坐标是1； ∵， ∴两函数解析式分别为，， 对于，当时，， 对于，当时，， ∴两函数图象与y轴的交点坐标分别为为， ∴（2）中两个函数图象与y轴围成的三角形的面积为． 59．（23-24八年级下·河北承德·期末）一次函数与轴交点纵坐标为，与轴交点的横坐标为． (1)确定一次函数解析式，在坐标系中画出一次函数的图象； (2)结合图象解答下列问题： ①当时，的取值范围是______； ②当时，的取值范围是______； (3)若点在这个函数的图象上，求出的值，写出点的坐标； (4)这个函数的图象上有两个点：，，请比较和的大小，并说明理由． 【答案】(1)，图象见解析 (2)①；②． (3)， (4)，理由见解析 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式，比较函数值大小，无理数的估算等知识，数形结合是解题的关键． （1）利用待定系数法求出一次函数解析式，根据两点法作直线即可得到一次函数的图象； （2）根据函数图象中的信息即可得到结论； （3）把点Q的坐标代入函数解析式，解方程即可得到a的值，即可得到点Q的坐标； （4）先由无理数估算得到，再根据一次函数的增减性得到答案即可 【详解】（1）∵一次函数与轴交点纵坐标为，与轴交点的横坐标为． ∴一次函数经过点， ∴ 解得， ∴一次函数解析式为 根据题意可得直线与x轴和y轴的交点分别为和， 函数图像如图所示： （2）①当时，y的取值范围是； ②当时，x的取值范围是； 故答案为：①；②； （3）把点代入得到， ， 解得， ∴ ∴点Q的坐标是； （4），理由如下： ∵， ∴， ∵中， ， ∴y随着x的增大而减小， ∵， ∴． 60．（23-24八年级下·河北唐山·期末）如图1，直线：与x轴交于点A，与y轴交于点B；直线经过两点，两直线相交于点C． (1)求的函数表达式；直接写出交点C的坐标 ； (2)在x轴上有一动点，过点T作x轴的垂线l，直线l交直线于点P、Q，当时，求t的值； (3)如图2，若在y轴上有一点，在直线l上是否存在一点E，使直线与y轴的夹角与互余，请直接写出点E的坐标 （用含t的代数式表示）． 【答案】(1)， (2)或； (3)或． 【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求函数的解析式，线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定和性质等知识，数形结合和分类讨论是解题的关键． （1）利用待定系数法求得直线的解析式，再联立即可求得点的坐标； （2）用表示点、的坐标，根据列绝对值方程，求解即可； （3）先求得直线与轴的夹角与相等，分两种情况讨论，当时，求得直线的解析式，即可求解；当时，设的垂直平分线交于点，交直线于点，则点是直线与直线的交点，求得直线的解析式，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵直线经过，两点， ∴设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 与联立得， 解得， ∴， ∴点的坐标为； 故答案为： （2）解：∵点，过点作轴的垂线，直线交直线、于点、， ∴，， 由题意得，即， 整理得或， 解得或； （3）∵， ∴直线与轴的夹角与相等， 当时，， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点的坐标为； 当时，设的垂直平分线交于点，交直线于点，则点是直线与直线的交点， 令，则， ∴， ∵， ∴, ∵是等腰三角形， ∴ ∴， 当时，，解得 ∴点G的坐标为， 设直线直线的解析式为， 则，解得 同理，直线的解析式为， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或． 故答案为；或 61．（23-24八年级下·河北唐山·期末）一次函数的图象分别交两坐标轴于点和点，如图所示．在研究函数的图象和性质时，某同学把一次函数中的k、b调换位置得到一次函数．    (1)求k、b的值； (2)在图中画出的图象 （不用列表）； (3)直接写出方程组 的解为； (4)直线轴，且与直线、分别交于点、， 点M永远在点N的上方，则m的取值范围是 ． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) (4) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与二元一次方程的关系等知识，解题的关键是： （1）把A、B的坐标代入求解即可； （2）先求出与x、y轴的交点，然后描点画图即可； （3）利用加减消元法解方程即可； （4）直接观察函数图象即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象分别交两坐标轴于点和点， ∴， 解得， 故答案为：，； （2）解：由（1）知， 当时，， 当时，，解得， ∴与x轴交于，与y轴交于， 画图如下：    （3）解：由题意得， 解得， 故答案为：； （4）解：由图象可知，当时，直线在的上方， ∵直线轴，且与直线、分别交于点、，点M永远在点N的上方， ∴， 故答案为：． 一次函数的图象平移题型07 62．（24-25八年级上·河北保定·期末）将直线向下平移4个单位长度后．经过点，则b的值是（   ） A．1 B．7 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象与几何变换，根据题目先求得一次函数平移后的解析式是，将点代入即可求出答案． 【详解】解：直线向下平移4个单位长度后解析式为， 将代入可得， 故选：C． 63．（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）将直线向右平移个单位，平移后的直线经过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象的平移、一次函数图象上点的坐标特征，根据图象平移的规律“左加右减”得出平移后的解析式，再将坐标代入求解即可，熟练掌握图象平移的规律“左加右减，上加下减”是解题的关键． 【详解】∵将直线向右平移个单位后的解析式为， ∴将点代入，得， 解得：， 故选：． 64．（23-24八年级下·河北邢台·期末）将直线向下平移3个单位长度后得到直线，下列关于的描述正确的是（　　） A． B．y随x的增大而增大 C．方程的解为 D．图象不经过第二象限 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数的图象和性质，利用一次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，得出即可． 【详解】解：将直线向下平移3个单位长度后得到直线， A、∵， ∴，故本选项不符合题意； B、∵， ∴直线，y随x的增大而减小，故本选项不符合题意； C、∵， ∴，故本选项符合题意 D、∵直线经过第二、三、四象限， ∴直线不经过第一象限，故本选项不符合题意． 故选：C． 65．（23-24八年级下·河北保定·期末）在平面直角坐标系中，直线的图象不动，将坐标系向上平移2个单位后得到新的平面直角坐标系，此时该直线的解析式变为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象与几何变换，掌握解析式的“左加右减，上加下减”平移规律是解题的关键． 将坐标系向上平移2个单位后得到新的平面直角坐标系，相当于是把直线向下平移2个单位，据此求解即可． 【详解】解：由题意，可知本题是求把直线向下平移2个单位后的解析式， 则所求解析式为，即． 故答案为：． 66．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线过点，且与x轴交于点A． (1)求的函数表达式； (2)将向下平移个单位长度得到直线，若平移后的直线经过点A关于y轴的对称点，求n的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式、一次函数的图象与性质、坐标与图形变化——轴对称，掌握相关知识点是解题的关键． （1）代入点到，利用待定系数法即可求解； （2）先求出点A的坐标，得出点A关于y轴的对称点的坐标，再根据一次函数的平移，设出的函数表达式，再代入对称点的坐标即可求出n的值． 【详解】（1）解：代入点，得， 解得：， 的函数表达式为． （2）解：令，则， 解得：， ， 点A关于y轴的对称点为， 将向下平移个单位长度得到直线， 设的函数表达式为， 代入得，， 解得：， n的值为2． 67．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）已知函数，m为常数． (1)若函数图象经过原点，求m的值； (2)若该函数的图象与直线平行，求m的值； (3)若这个函数是一次函数，且函数图象不经过第二象限，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点与两条直线平行的条件，熟知一次函数图象上各点一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． （1）根据已知条件知，关于的函数的图象经过点，所以把代入已知函数解析式列出关于系数的方程，通过解方程即可求得的值； （2）函数的图象平行于直线，说明，由此求得的数值即可； （3）根据题意列不等式组即可得到结论． 【详解】（1）关于的函数的图象经过原点， 点满足函数的解析式， ， 解得． （2）函数的图象平行于直线， ，， ； （3）函数是一次函数，且不经过第二象限， 且， ， 的取值范围是． 一次函数的图象平移题型08 八、一次函数与几何综合问题 68．（23-24八年级下·河北邢台·期末）如图，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，P为线段上的一个动点，过点P分别作轴于点F，轴于点E，连接，则长的最小值为（　　） A． B．3 C． D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查一次函数的点的坐标的特征、勾股定理以，熟练掌握一次函数的点的坐标的特征、勾股定理是解决本题的关键．根据题意可得出四边形是矩形，连接，则，利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出点A，B的坐标，结合勾股定理，可求出的长，再利用点到直线垂线段最短，可求出长的最小值，即长的最小值． 【详解】解：连接，由题意可知， 则四边形为矩形， 则，如图所示， 当时，， ∴点B的坐标为， ∴； 当时，，解得：， ∴点A的坐标为， ∴， ∴， 由点到直线垂线段最短可知，当时，取得最小值， 此时，， ∴的最小值为， ∴长的最小值为． 故选：A． 69．（23-24八年级下·河北唐山·期末）将正方形，，按如图所示方式放置，点，，，…和点，，，…分别在直线和x轴上，则点的坐标是 ，的纵坐标是 ． 【答案】 ， ， 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及规律型：点的坐标，根据点的坐标的变化找出变化规律“点的坐标为，为正整数）”是解题的关键．利用一次函数图象上点的坐标特征及正方形的性质可得出点，，，，的坐标，根据点的坐标的变化可找出变化规律“点的坐标为，为正整数）”，再代入，即可得出结论． 【详解】解：当时，， 点的坐标为． 四边形为正方形， 点的坐标为，点的坐标为． 当时，， 点的坐标为． 为正方形， 点的坐标为，点的坐标为． 同理，可知：点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，， 点的坐标为，为正整数）， 点的坐标为，，点的坐标为，， 故答案为：，；， 70．（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，直线分别与轴，轴交于点，该直线上一点的横坐标为1，过点的一条直线交轴的正半轴于点，的面积为18． (1)求点的坐标及直线的解析式； (2)设点为轴上点右侧一点，过点作轴，分别交直线于点，求点的坐标． 【答案】(1)点的坐标为，解析式为， (2) 【分析】（1）由直线的图象与性质求出、，利用待定系数法确定函数即可得到答案； （2）设点，则点，点，根据题意，分两种情况讨论：①当时；②当时；由，列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，即，解得， ∴， ∵点在直线上，且横坐标为1， ∴， ∴， ∵， ∴，解得， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为，由题意可得，解得， 直线的解析式为； （2）解：设点，则点，点． ∵点在轴上的点右侧，且， ∴分两种情况讨论： ①当时，， ∵， ∴，解得， ②当时，， ∵， ∴，则，此情况不符合实际，舍去， 综上所述，． 【点睛】本题考查一次函数综合，涉及一次函数图象与性质、待定系数法确定函数关系式、两点距离表示，数形结合是解决问题的关键． 71．（23-24八年级下·河北邢台·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点． (1)求直线的解析式和线段，的长． (2)在线段上有一动点（不与点，重合），过点作轴于点，于点，以，为邻边作． ①求的周长． ②当为菱形时，求点的坐标． 【答案】(1)直线，， (2)①6；② 【分析】（1）将代入得，，可求，即直线；当时，，即；当时，，可求，即；进而可求，； （2）①如图，连接，由，，可得，可求，进而可求的周长；②由①可知，，由为菱形，可得，，，则，，，设，则，可求，则，进而可求． 【详解】（1）解：将代入得，， 解得，， ∴直线； 当时，，即； 当时，， 解得，，即； ∴，， ∴直线，，； （2）①解：如图，连接， 由（1）知， ∴，， ∴， 解得，， ∵， ∴的周长为6． ②解：由①可知，， ∵为菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， 解得，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了一次函数解析式，勾股定理，平行四边形的性质，菱形的性质等知识．熟练掌握一次函数解析式，勾股定理，平行四边形的性质，菱形的性质是解题的关键． 72．（23-24八年级下·河北邯郸·期末） 如图，直角坐标系中， 过点的直线与直线：交于点， 直线与x轴交于点 B． (1)求k 的值及的函数表达式； (2)求 的值； (3)直线与直线和直线 分别交于点M，N．直接写出点 M，N 在y轴异侧时a 的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数关系式，直线与坐标轴的交点问题， （1）将点C的坐标代入关系式可得k，再根据待定系数法求出的关系式； （2）先求出点B的坐标，进而求出答案； （3）分别求出直线与y轴的交点坐标，即可得出答案． 【详解】（1）∵直线经过点， ∴， 解得； 设直线的关系式为，该直线经过点，， ∴， 解得， 所以的函数表达式为； （2）当时，， 解得， ∴点， ∴， ∴； （3）或． 当时，，， 所以当或时，点M，N在y轴异侧． 73．（2024·河北邯郸·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，与x轴交于点C，直线经过点A，B，已知，，直线与相交于点P．    (1)求直线的解析式； (2)求的面积； (3)直线与x轴交于点E，与直线，分别交于点M，N，若点M，N，E中有两点关于第三个点对称，直接写出m的值． 【答案】(1) (2)3 (3)或或 【分析】题目主要考查一次函数的性质及轴对称图形的性质，理解题意，进行分类讨论是解题关键． （1）利用待定系数法直接代入求解即可； （2）根据题意先确定点，然后联立两个函数求出交点，结合图形求面积即可； （3）根据题意得，当时，：，：，，然后分两种情况：当在点P左侧时，当在点P右侧时，根据轴对称的性质求解即可． 【详解】（1）解：设直线的函数解析式为，将点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为：； （2）∵与x轴交于点C， ∴当时，，解得， ∴， ∵， ∴， 联立直线与得：， 解得：， ∴， ∴； （3）根据题意得，当时，：，：， ∴， 分两种情况：当在点P左侧时， 点M，N关于点E对称时， ，解得：，符合题意； 点M，E关于点N对称时， ，解得，不符合题意； 点E、N关于点M对称时， ，解得，符合题意； 当在点P右侧时， 点M，N关于点E对称时， ，解得：，不符合题意； 点M，E关于点N对称时， ，解得，符合题意； 点E、N关于点M对称时， ，解得，不符合题意； 综上可得：或或． 74．（22-23八年级上·河北保定·期末）如图，在平面直角坐标系中，点在直线图象上，过点作 y 轴平行线，交直线 于点，以线段为边在右侧作第一个正方形 所在的直线交的图象于点，交 的图象于点 ，再以线段为边在右侧作第二个正方形…依此类推，按照图中反映的规律，第 3 个正方形的边长是 ；第 100 个正方形的边长是 ． 【答案】 18 【分析】根据题意求出点，，，……，由此发现规律，即可求解． 【详解】解：∵点，轴， ∴点的横坐标为1， 当时，， ∴点的坐标为， ∴， ∴正方形的边长为2， ∴， ∴点、的横坐标均为3， ∴， ∴， ∴正方形的边长为6， 同理：， ∴， ∴正方形的边长为18， ∴， ∴ ……， 由此发现，， ∴， ∴第100个正方形的边长为 故答案为：18；． 【点睛】本题考查一次函数图象上的点的特征，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型． 75．（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，…都在x轴上，点，，…都在直线上，，，，，…都是等腰直角三角形，且，则点的坐标是 ，点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，点的坐标规律，找到规律是解题的关键．由得到点B1的坐标，然后利用等腰直角三角形的性质得到点的坐标，进而得到点的坐标，然后再一次类推得到点Bn的坐标． 【详解】解：∵，点在直线上， ∴， ∴， 即， ∴或（舍去）， ∴， ∴点的坐标为， ∵是等腰直角三角形， ∴， ， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， 同理可得，，，…，． 故答案为：，． 76．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）如图，点，． （1）点A关于x轴的对称点的坐标为 ： （2）若点P为坐标轴上一点，当的周长最小时，点P的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的变换，轴对称的性质，待定系数法求解析式，掌握轴对称的性质及平面直角坐标系的特点，两点之间距离公式的计算方法，待定系数法求解析式是解题的关键． （1）点关于横轴对称点的特点是，横坐标不变，纵坐标变为相反数，由此即可求解； （2）分类讨论，当点P在横轴上时，当P在纵轴上时，根据两点之间距离公式分别计算出的值，再根据三角形周长公式计算出两种情况的值进行比较，确定了点P的位置，运用待定系数法求直线的解析式，令，即可求解． 【详解】解：（1）点，关于轴对称点的坐标为， （2）根据题意，作图如下，分别作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接交轴于点， ∵，， ∴， ∴，， 当点在轴点的位置时，， ∴的周长为：； 当点在轴点的位置时，， ∴的周长为：； ∵， ∴当周长最小时，点在轴的点的位置， 设过点的直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为：， 令，则， ∴， 故答案为：， ． 77．（22-23八年级下·河北唐山·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，直线与y轴相交于C点，与线段交于P点    (1)求的面积； (2)若点A和点B在直线的两侧，求k的取值范围； (3)若P点将线段分成两部分，直接写出k的值． 【答案】(1)6 (2) (3)或 【分析】（1）延长线段交y轴于点D，则轴，求出，利用三角形的面积公式求解即可； （2）先求出直线的斜率，即可求出的取值范围； （3）分两种情况：或求解. 【详解】（1）解：， ∴轴，延长线段交y轴于点D，轴， ∵，， ∴    （2）解：设直线的解析式为， ，解得， ∴直线的解析式为 设直线的解析式为， ，解得， ∴直线的解析式为 ∵点和点在直线的两侧， ∴； （3）解：当， ， 点的坐标为， 将点代入，得， 解得，， 当， ， 点的坐标为， 将点代入，得， 解得，， 综上所述，或 【点睛】此题考查了一次函数的性质，利用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数交点问题，正确理解一次函数的性质是解题的关键． 动点问题的函数图形题型09 78．（23-24九年级上·河北石家庄·期末）如图1，已知扇形，点从点出发，沿以的速度匀速运动，设点的运动时间为，，随变化的图象如图2所示，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，先根据图象确定半径，然后再求出弧长即可． 【详解】解：由图象可知：点P从点B运动到点O的时间为， ∴，即扇形的半径为， ∴点P从点O运动到点A的时间为3， 由图象可知，点P从点O运动到点B的时间为， ∴点P从点A运动到点B的时间为， ∴的长为． 故选：B． 79．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）如图，直线l（不经过点A，B，E）与五边形的边，相交，设，，则能够大致反映y与x函数关系的部分图像是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内角和定理与三角形外角的定义与性质，熟练掌握三角形外角的定义与性质是解题的关键． 根据三角形的外角的定义与性质进行表示即可． 【详解】解：设l与，相交于点G、F， 由图可得，，， ∵，， ∴， 故选：C． 80．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）如图甲，点G为边的中点，点H在上，动点P以每秒的速度沿路线运动，到点H停止，相应的的面积关于运动时间的函数图象如图乙所示，若，则下列结论正确为 ①图甲中长8； ②图甲中的长是6； ③图乙中点M表示时y值为； ④图乙中点N表示时y值为． 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查动点函数问题，根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件是解题的关键． 根据图象可得函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小逐个分析即可解答． 【详解】解：①根据函数图象可以知：从0到2，y随x的增大而增大，经过了2秒，P运动了，因而， ，故①正确； ② 根据函数图象可知：从经过了3秒，P运动了，因而故②正确； ③P在段时，底边不变，高不变，因而面积不变，由图象可知，面积，故③正确； ④图2中的N点表示第12秒时，表示点P到达H点， 的面积是，故④错误． 故答案为：①②③． 81．（23-24八年级下·河北唐山·期末）如图1，点为矩形中边的中点，点从点出发，沿以的速度运动到点，图2是点运动时，的面积随时间变化的函数图象，则点C到的距离是 ，的值为 ． 【答案】 6 4 【分析】（1）结合四边形为矩形，图象的三角形的面积可得结论； （2）利用矩形的性质和勾股定理列方程可求． 本题考查矩形的性质和勾股定理，动点问题函数图象，根据图象分析得出的值是解题关键． 【详解】解：（1）矩形中，， ，当点在边上运动时，的值不变， ， 点为矩形中边的中点， ， ， 解得， ， 即点到的距离是6． 故答案为：6； （2）当点在上运动时，逐渐减小， ， 在中， ， ， 解得． 故答案为：4． 82．（23-24七年级下·河北保定·期末）如图1，在直角中，，D是的中点，动点P从点C沿出发，沿运动到点B．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的关系图象如图2所示．    （1） ． （2）当点P运动到边的中点时， ． 【答案】 4 4 【分析】本题考查动点问题的函数图象，三角形中线的性质． 当点P在上运动时，由，得到，根据当时，，可求出的长，进而求出．当点P运动到点A，即时，有最大值，从而得到，进而求得的面积，根据三角形的中线的性质即可解答． 【详解】解：当点P在上运动时， ∵点P的运动路程为x，即， ∴，即， ∴由图象可知：当时，， ∴， ∴， ∵点D是的中点， ∴， 当点P运动到点A，即时，有最大值，即有最大值， ∴， ∴在中，， 当点P运动到边的中点时，， ∵点D是的中点， ∴，即． 故答案为：4，4 83．（23-24八年级下·河北唐山·期末）如图1，平行四边形中，， 两动点M， N同时从点A出发， 点M在边上以的速度匀速运动，到达点B时停止运动，点 N沿的路径匀速运动，到达点B时停止运动．的面积与点 N的运动时间的关系图象如图2所示， 已知． （1） N点的运动速度是 ； （2）c处的数值等于 ． 【答案】 1 10 【分析】本题主要考查动点问题的函数图象问题，涉及平行四边形的性质，含直角三角形的性质，由点M的速度和路程可知，时，点M和点B重合，过点N作于点E，求出的长，进而求出的长，得出N点的速度；由图2可得当时，点N和点D重合，进而可求出的长；即可求解． 【详解】解：∵，点M的速度为， ∴当点M从点A到点B，用时， 当时，过点N作于点E，    ∴， ∴， 在中，， ∴， ，， ∴， ∴， ∴N点的运动速度是； ∴点N从D到C，用时， 由图2可知，点N从A到D用时3s， ∴， ∴， 故答案为∶1；10． 84．（23-24八年级下·河北邢台·期末）如图1，点从菱形的顶点A出发，沿以的速度匀速运动到点，点运动时，的面积随时间的变化关系图象如图2， （1） . （2）的值是 ． 【答案】 5 【分析】本题综合考查了菱形性质，勾股定理，动点函数图象问题，通过分析图象，点F从点A到D用，此时，的面积为，依此可求菱形的高，再由图象可知，，应用两次勾股定理分别求和a． 【详解】解：过点D作交的延长线于点E， 由图象可知，点F从点A到D用，此时，的面积为， ∴， ∴， ∴， 当点F从D到B时，用时， ∴， 中，， ∵四边形是菱形， ∴， 在中，， 解得． 故答案为：；． 85．（23-24八年级下·河北衡水·期末）如图1，在正方形的边上有一点E，连接．点P从正方形的顶点A出发，沿以的速度匀速运动到点C．图2是点P运动时，的面积y（）随时间x（s）变化的函数图象． （1）正方形的边长为 ． （2）当时，y的值为 ． 【答案】 /4厘米 【分析】本题考查的是动点图象问题，解决此类问题关键是：弄清楚不同时间段，函数图象和图形的对应关系，进而求解． （1）抓住关键点，函数图象最高点的纵坐标为8，得的最大面积为8，此时P、D重合，，即可求解； （2）先抓住关键点，知道点P到终点时，的面积是6，此时P、C重合，，得，根据图象分析当时，点P在上，且，再求的面积． 【详解】解：（1）设正方形的边长为a， 由图象可知，当P、D重合时，的面积为8， ∴， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴正方形的边长为4， 故答案为：4； （2）当点P在点C时，， 解得：，即， 当时，点P在边上，如图， ， 故答案为：． 一次函数压轴问题题型10 86．（23-24八年级下·河北承德·期末）如图平面直角坐标系中，，，点是线段上一点，直线解析式为，当随增大而减小时，点坐标可以是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标与图形，一次函数性质，根据题意可知的纵坐标为1，设， 将，代入解析式，解出，根据直线解析式为，当随增大而减小，可得，求出m的取值范围，即可得出结论． 【详解】解：，，点是线段上一点， 的纵坐标为1， 设， 将，代入解析式， ，解得：， 直线解析式为，当随增大而减小， ， ， 解得：， 符合条件； 故选：D． 87．（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）在平面直角坐标系中，将点向左平移4个单位长度，得到点N，点N在直线上．如果一次函数的图象与线段有公共点，则n的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数图象及性质，点坐标平移，一元一次方程等．根据题意将点N表示出，再代入中即可求出和点N的坐标，再利用一次函数图象及性质即可得到本题答案． 【详解】解：∵点向左平移4个单位长度，得到点N， ∴点N的坐标为：， ∵点N在直线上， ∴，解得：， ∴，， ∵一次函数的图象与线段有公共点， ∴将点代入中得：， 将点代入中得：， ∴， 故选：A． 88．（22-23八年级上·河北张家口·期末）如图，已知是x轴上的点，且，分别过点作x轴的垂线交一次函数的图象于点，连接依次产生交点，则：的纵坐标是 ，的纵坐标是 ．    【答案】 【分析】由已知可以得到，，，点的坐标分别为：，，，，又得作轴的垂线交一次函数的图象于点，，，的坐标分别为，，，，由此可推出点，，，的坐标为，，，，．由函数图象和已知可知要求的的坐标是直线和直线的交点．在这里可以根据推出的四点求出两直线的方程，从而求出点，从而求得结果． 【详解】解：由已知得，，，的坐标为：，，，， 又得作轴的垂线交一次函数的图象于点，，，的坐标分别为，，，． 由此可推出，，，四点的坐标为，，，，． 所以得直线和的直线方程分别为： ， ， 即， 解得： ， ∴点，． 将代入得点的纵坐标是， 将代入得点的纵坐标是， 故答案为：， 【点睛】此题考查的知识点是一次函数的综合应用，同时也考查了学生对数字规律问题的分析归纳的能力．解答此题的关键是先确定相交于点的两直线的方程． 89．（23-24七年级下·河北保定·期末）如图1，在长方形中，，E为边中点．动点P从点B开始，以的速度沿路线运动，到点A停止．图2是点P出发t秒后，的面积随时间变化的图象．根据图中提供的信息，回答下列问题： (1)____________；点M表示的实际意义是________________________； (2)当点P在上运动时，求的面积为时t的值； (3)如图3，当点P从点B出发时，动点Q同时以的速度从C点出发，沿边运动，当点P运动到点C时，P、Q两点停止运动．当x为何值时，与全等，请直接写出x的值． 【答案】(1)9；点P运动到点D时，的面积为 (2) (3)或3 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，全等三角形的性质，三角形的面积公式． （1）根据图1和图2，结合点P运动时，面积的变化情况，进行解答即可； （2）根据，点P在上运动，的面积为，求出，得出，最后求出结果即可； （3）分和根据全等三角形的性质得出线段相等，进而建立方程组，解方程组，即可求解； 【详解】（1）解：∵，E为边中点， ∴， 根据图2可知，当点P运动时，的面积达到最大值，根据图1可知，当点P从点B开始运动，到达点C时，的面积达到最大值， ∴， 的最大面积为：， 点P从点B运动到点D所用时间为：， 即点P运动时，到达点D， 当点P在点上运动时，的面积保持不变，从点D向点A运动时，的面积逐渐减小， 图2中点M表示的坐标为， ∴点M表示的实际意义是：点P运动到点D时，的面积为． （2）解：∵，点P在上运动，的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴当与全等时，有两种情况， ①时，， ∴， 解得：； ②时，， ∴， 解得：； 综上分析可知：当或时，与全等． 90．（23-24八年级下·河北邢台·期末）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与一次函数的图象的交点为． (1)求m和k的值； (2)直接写出使函数的值小于函数的值的自变量x的取值范围； (3)设一次函数的图象与x轴交于点C，将一次函数的图象向右平移2个单位长度，交的图象于点E，交x轴于点D，求四边形的面积． 【答案】(1)， (2) (3)8 【分析】本题主要考查正比例函数，一次函数的解析式、图象、性质等知识； （1）先将点A坐标代入正比例函数解析式求出m，再将所得点的坐标代入一次函数解析式求出k即可． （2）利用数形结合的数学思想即可解决问题． （3）可将四边形的面积转化为与的面积之差． 【详解】（1）解：将点A坐标代入正比例函数解析式得， ， 所以点A的坐标为． 将点A的坐标代入一次函数解析式得， ， 解得， （2）由所给函数图象可知， 当时，函数的图象在函数图象的下方，即函数的值小于函数的值， 所以使函数的值小于函数的值的自变量的取值范围为： ． （3）由（1）知， 一次函数的解析式为， 所以将此函数向右平移2个单位长度所得函数解析式为 ． 由得， ， 所以点E的坐标为． 将代入得， ， 所以点D的坐标为． 将代入得， ， 所以点C的坐标为． 所以， 所以． 91．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）如图，一次函数的图象经过点，并与直线：交于点，设直线与轴交于点． (1)求直线的函数表达式并画出直线的图象； (2)连接，求的面积； (3)若第一象限上的点在正比例函数的图象上，且点在的内部（包括边界），设点的横坐标为．请直接写出的取值范围． 【答案】(1)；图象见解析 (2)21 (3) 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，待定系数法求解析式，以及铅锤法求三角形面积等知识，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求出直线的函数表达式，根据直线的解析式得出点在函数图象上，再根据经过点，即可画出函数图象； （2）求得直线与x轴交于点，再根据、、，即可求解； （3）先求出直线的解析式为：，再求得与直线的交点横坐标为，即可求解． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过点， ∴ 解得 ∴求直线的函数表达式为：， 当时，， 解得 ∴， ∴直线的图象经过点，， 则直线的图象如图所示． （2）解： 当时，， 解得 ∴直线与x轴交于点， ∴． （3）解：设直线的解析式为：， ∵直线经过点，， ∴ 解得 ∴直线的解析式为：， 当时， 解得， ∴直线与直线的交点横坐标为， 又∵第一象限上的点在正比例函数的图象上， ∴． 92．（22-23八年级下·河北保定·期末）经过点，的一次函数的图象（直线）在如图所示的平面直角坐标系中，某同学为观察对图象的影响，将上面函数中的减去2，不变得到另一个一次函数，设其图象为直线．    (1)求直线的函数解析式； (2)在图上画出直线（不要求列表计算），并求直线，和轴所围成的三角形的面积； (3)将直线向下平移个单位长度后，得到直线，若直线与的交点在第三象限，求的取值范围； (4)若是轴上的一个动点，过点作轴的平行线，该平行线分别与直线，及轴有三个不同的交点，且其中一个交点的纵坐标是另外两个交点的纵坐标的平均数，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)见解析， (3) (4)1或或 【分析】（1）待定系数法求一次函数解析式即可； （2）求出两直线与轴交点坐标，最后由三角形面积公式计算即可； （3）平移后的直线的解析式为，联立求得交点坐标，关键第三象限点坐标的特征列不等式组，求解即可； （4）先根据题意求得交点坐标，分情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：将，代入中，得：，解得， ∴直线的函数解析式为． （2）解：如图：    由题意可得直线的函数解析式为， 在直线上，当时，，解得， 在直线上，当时，，解得， ， ∴直线，和轴所围成的三角形的面积为． （3）解：由题意可得直线的函数解析式为， 联立， 解得， 交点在第三象限， ， 解得：． （4）解：的值为1或或； 将代入，得，将代入，得， ∴过点与轴平行的直线与直线，直线的交点分别为，， 根据图象，当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得，不符合题意． 综上所述，的值为1或或． 【点睛】本题考查了求一次函数解析式，一次函数图象的平移，求一次函数与坐标轴的交点坐标，坐标系中点坐标的特征等，分类讨论是解题的关键． 93．（22-23八年级上·河北保定·期中）如图，，，，已知点和点的坐标分别为和，过点、的直线关系式为. (1)点的坐标为：___________． (2)求直线的函数关系式． (3)在轴上有一个点，已知直线把的面积分为两部分，请直接写出点的坐标． (4)在线段上是否存在点，使的面积为4?若存在，请求出符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． (5)直线与有公共点，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)存在， (5) 【分析】（1）作轴于点H．利用“一线三等角”模型证明≌，推出，，再根据，即可求解； （2）将，代入，利用待定系数法求解； （3）直线把分成等高的两个三角形，两者的面积比等于底长的比，先求出N点的坐标，再分和两种情况讨论，即可求解； （4）设，根据列出等式即可求解； （5）分别计算直线经过，时的b值，结合图象即可得出的取值范围． 【详解】（1）解：如图，作轴于点H． ，， ，， ． 在和中， ， ≌， ，， ，， ，， 点的坐标为； （2）解：设直线的函数关系式为， 将，代入， 得：， 解得：， 直线的函数关系式为； （3）解：直线的函数关系式为， 当时，，解得， ， ． 由题意知，直线把分成等高的两个三角形，两者的面积比等于底长的比． 分两种情况： 当时，， ， ； 当时，， ， ， 点的坐标为或； （4）解：点P所在直线的函数关系式为， 设， ， ， 即， 解得， ， ， 故存在点使的面积为4，点的坐标是； （5）解：当直线经过时，将代入， 可得； 当直线经过时，将代入， 可得， 解得； 结合下图可知，直线与有公共点时，的取值范围为． 【点睛】本题属于一次函数综合题，考查利用待定系数法求一次函数解析式，求一次函数图象与坐标轴的交点，一次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定与性质，在坐标系中求三角形的面积，解题的关键是求出点B的坐标，以及熟练应用数形结合的思想． 94．（21-22八年级下·河北唐山·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线经过点和点，直线经过原点和点． (1)求直线和直线的表达式； (2)点是射线上一动点，点关于点的对称点为点，过点作轴，交直线于点．以、为邻边作矩形． ①当点落在直线上时，直接写出长； ②当为等腰三角形时，直接写出点的坐标．（写出一种情况即可） 【答案】(1)， (2)①；②或或 【分析】（1）将点和点代入，求得k，b，点代入求得，从而可求出表达式． （2）①设点，则，，根据点和的纵坐标相等列出等式，即可求出a；②当时根据对称性可求得点的坐标，当和，根据勾股定理列出方程求出的值，从而得出答案． 【详解】（1）解：由题意，将点和点代入中， 得， 解得， ， 将点代入， 得， 解得， ． （2）解：①设点，则，， 将代入得，， 即点F的纵坐标为， 点和的纵坐标相等， ， ， ， ②，， 当时， 由对称性得， ， ； 当时， 由勾股定理得， ， ； 当时， 由勾股定理得， ， ， 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了一次函数的图像及性质，等腰三角形的分类和判定，勾股定理等知识，第2问有一定难度，掌握分类讨论思想是解题的关键． 95．（21-22八年级下·河北石家庄·期末）直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，菱形ABCD如图放置在平面直角坐标系中，其中点D在x轴负半轴上，直线y＝x+m经过点C，交x轴于点E． (1)请直接写出点C，点D的坐标，并求出m的值； (2)点P（0，t）是线段OB上的一个动点（点P不与O、B重合），经过点P且平行于x轴的直线交AB于M，交CE于N．当四边形NEDM是平行四边形时，求点P的坐标； (3)点P（0，t）是y轴正半轴上的一个动点，Q是平面内任意一点，t为何值时，以点C、D、P、Q为顶点的四边形是菱形？ 【答案】(1)D（﹣2，0）；C（﹣5，4）；9 (2) (3)或4或 【分析】(1)首先求出点A、B的坐标,再利用勾股定理求出AB的长,再根据菱形的性质可得答案； （2）表示出设M、N得出MN的长度，根据列出方程即可解答； （3）点C、D、P、Q为顶点的四边形是菱形，则是等腰三角形，分、、三种情况进行讨论，即可求出t的值． 【详解】（1）解： ∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴当时， 当时，， ∴, ∴, 在菱形ABCD中，, ∴, ∴D（﹣2，0），C（﹣5，4）， 将C（﹣5，4）代入y＝x+m得， ﹣5+m＝4， ∴m＝9; （2）∵m＝9， ∴y＝x+9， ∴E（﹣9，0）， ∵点P（0，t）， ∴设 ∴， ∵四边形NEDM是平行四边形， ∴MN＝ED， ∴， 解得， ∴； （3）∵点C、D、P、Q为顶点的四边形是菱形， ∴△CDP是等腰三角形， 当CD＝DP时， ∵OD＝2， ∴OP＝， ∴t＝（负值舍去）， ∴t＝, 当CD＝CP时，则点B与P重合， ∴t＝4； 当PD＝PC时，则t2+22＝25+（t﹣4）2， 解得t＝， 综上：t＝或4或时，以点C、D、P、Q为顶点的四边形是菱形． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了直线上点的坐标的特征，平行四边形的性质,菱形的性质，等腰三角形的性质等知识，将菱形的存在性问题转化为等腰三角形的存在性问题是解题的关键． 试卷第4页，共93页 21 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$