专题04 矩形的性质与判定（6大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期末真题分类汇编（河北专用）

专题04 矩形的性质与判定 题型概览 题型01矩形的判定 题型02矩形的性质 题型03矩形性质与判定的综合 题型04斜边上的中线的应用 题型05矩形的折叠问题 题型06与矩形有个的压轴问题 题型07勾股定理逆定理的应用 题型08勾股定理与最值问题 题型09勾股定理在几何问题中的应用 矩形的判定题型01 1．（22-23八年级下·河北承德·期末）如图为小明在家找到的一块木板，他想检验这块木板的表面是不是矩形，但仅有一根足够长的细绳，现提供了如下两种检验方法： 方法一： 第一步：先测量两组对边是否相等； 第二步：再测量对角线是否相等． 方法二：直接测量对角线是否相等． 下列说法正确的是（    ） A．方法一可行，方法二不可行 B．方法一不可行，方法二可行 C．方法一、二都可行 D．方法一、二都不可行 【答案】A 【分析】根据矩形的判定方法“对角线相等的平行四边是矩形”，即可求证． 【详解】解：方法一： 第一步：先测量两组对边是否相等，可判定是否是平行四边形； 第二步：再测量对角线是否相等，对角线相等的平行四边形是矩形． 方法二：直接测量对角线是否相等，不能确定四边形是否是矩形． 故选：． 【点睛】本题主要考查矩形的判定方法，掌握矩形的判定方法是解题的关键． 2．（22-23八年级下·河北沧州·期末）依据所标数据，下列一定为矩形的是（   ）    A．只有③ B．只有①② C．只有②③ D．①②③ 【答案】C 【分析】根据矩形的判定定理进行求解即可. 【详解】解：图②可根据有三个角是直角的四边形是平行四边形证明该四边形是矩形，符合题意； 图③可由对角线互相平分且相等的四边形是矩形证明该四边形是矩形，符合题意； 根据现有条件无法证明图①中的四边形是矩形，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定，熟知矩形的判定定理是解题的关键． 3．（23-24八年级下·河北唐山·期末）如图，四边形的对角线，交于点，根据图中所标数据，再添加一个条件，使四边形为矩形，添加的条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】该题主要考查了直角三角形的性质和矩形的判定，解题的关键是掌握以上知识点． 添加，根据对角线互相平分且相等的四边形是矩形即可判断； 【详解】解：根据题意可得， ∴， 添加， 则， 即可得四边形为矩形， 故选：B． 4．（22-23八年级下·河北廊坊·期末）在平面直角坐标系中，已知点，点，点，在平面直角坐标系中找一点，使以点为顶点的四边形为矩形，则的长为 ，点的坐标为 ． 【答案】 4 【分析】由的纵坐标相同，的横坐标相同可得，轴，轴，，，根据题意画出图，得到使以点为顶点的四边形为矩形的情况，根据图即可得到答案． 【详解】解：的纵坐标相同，的横坐标相同， 轴，轴，， ，是锐角， 使以点为顶点的四边形为矩形只能是如图所示这种情况，   ， ，点的坐标为， 故答案为：4，． 【点睛】主要考查了矩形的判定，坐标与图形，熟练掌握矩形的判定定理，采用数形结合的思想解题，是解题的关键． 5．（23-24八年级下·河北秦皇岛·期末）请阅读下列材料，完成相应的任务： 工人师傅在做门窗或矩形零件时，他是这样做的：首先利用卷尺（有刻度）测量两组对边的长度是否分别相等，其次利用卷尺测量该门窗的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形． 我有如下思考：工人师傅的做法究竟是依据什么原理得到四边形是矩形？．已知在四边形中，，，．求证：四边形是矩形． 证明：…… 任务： (1)上述做法是依据了矩形的一个判定定理： (2)补全材料中的证明过程； (3)利用卷尺（有刻度）能否用另外一种方法判定四边形是矩形？（简要写出测量方法）． 【答案】(1)对角线相等的平行四边形是矩形 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查矩形的判定，掌握矩形的判定方法，是解题的关键： （1）根据对角线相等的平行四边形是矩形，进行作答即可； （2）先证明四边形是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形是矩形，即可； （3）根据勾股定理定理逆定理，得到四边形的一个内角是直角，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可。 【详解】（1）解：判定定理为：对角线相等的平行四边形是矩形；理由见（2） （2）证明：∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． （3）首先利用卷尺测量两组对边长度是否相等，确保形状是平行四边形；然后再量一条对角线的长度，如果一组邻边长度的平方和等于对角线长度的平方时，就确保了它是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）． 6．（22-23八年级下·河北石家庄·期末）如图，在中，延长到，使，连接，，．    (1)求证：； (2)直接写出一个使四边形为矩形的条件． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，，因为点在的延长线上，，所以，，即可根据平行四边形的定义证明四边形为平行四边形，则； （2）因为四边形为平行四边形，所以当，则，可根据矩形的定义证明四边形为矩形；此外，当时，可由“对角线相等的平行四边形是矩形”证明四边形为矩形． 【详解】（1）解：证明：四边形是平行四边形， ，， 点在的延长线上，， ，， 四边形为平行四边形， ． （2）当时，四边形为矩形， 理由：由（1）得，四边形为平行四边形， ， ， 四边形为矩形． 或： 当时，四边形为矩形， 理由：由（1）得，四边形为平行四边形， ， 四边形为矩形． 【点睛】此题重点考查平行四边形的判定与性质、矩形的判定等知识，证明，是解题的关键． 矩形的性质题型02 7．（21-22八年级下·河北邯郸·期末）如图，在矩形中，，，为的中点，点，分别在，上，为等腰直角三角形，且，则四边形的面积为（    ）    A．18 B．14 C．16 D．12 【答案】C 【分析】首先根据等腰直角三角形的性质证得，从而得到，，然后根据梯形面积公式求得结论即可． 【详解】解：为等腰直角三角形，，， ， 四边形是矩形， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，，为的中点， ，， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质及等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是能够利用等腰三角形的性质证得两三角形全等． 8．（23-24八年级下·河北唐山·期末）如图，在矩形中，对角线相交于点是的中点，的度数为 ，的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、三角形中位线的性质等知识点，掌握矩形的对角线互相平分且相等是解题的关键． 由矩形的性质可得，可得，然后根据三角形外角的性质即可求得；再根据三角形中位线的性质可得,根据平行线的性质即可求得,最后根据角的和差即可解答． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴ 故答案为：，． 9．（23-24八年级下·河北保定·期末）如图，点E是矩形边上任意一点，点F，G，H分别是的中点，若，则的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，直角三角形的性质．根据三角形中位线定理，可得，再由直角三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵点G，H分别是的中点，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵点F是的中点， ∴． 故选：A 10．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）在矩形中，，，点是边上一点（不与点，重合），连接．若平分，则 °， cm． 【答案】 45 1 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的判定，根据矩形的性质得出，根据角平分线定义得出，求出，根据，得出，最后求出结果即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：45；1． 11．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）如图，矩形中，，延长交于点M，延长交于点F，过点E作，交的延长线于点N，，，则 ． 【答案】/ 【分析】设交于点K，通过四边形是矩形以及，得到是等边三角形，根据含直角三角形的性质以及勾股定理得到，，的值，进而得到的值，再利用直角三角形的性质及勾股定理得到，即可． 【详解】解：如图，设交于点K， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形，等边三角形的性质，以及含直角三角形的性质与勾股定理的应用，解题的关键是灵活运用直角三角形的性质． 12．（23-24八年级下·河北承德·期末）如图，在矩形中，，，为上一动点，于，于，的面积为 ；则的值为 ． 【答案】 12 【分析】此题考查了矩形的性质以及勾股定理、三角形面积．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与整体思想的应用．首先连接，在矩形中，，，可求得以及的面积，继而可得，则可求得答案． 【详解】解：连接，    ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∵ ∴． 故答案为12；． 13．（23-24九年级上·河北保定·期末）如图，四边形是矩形，对角线，相交于点O，交的延长线于点E． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明四边形为平行四边形， 则，进而可证． （2）由四边形为平行四边形，四边形是矩形，可得，，证明是等边三角形，则，根据，计算求解即可． 【详解】（1）证明：四边形为矩形， ∴，． ∵， 四边形为平行四边形， ， ∴． （2）解：∵四边形为平行四边形，四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，平行线的性质．熟练掌握矩形的性质，平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，平行线的性质是解题的关键． 矩形性质与判定的综合题型03 14．（22-23八年级下·河北沧州·期末）如图，在中，，，，为边上一动点不与，重合，于，于，为中点，则的取值范围是(    )    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理求得，连接，证明四边形是矩形，可得，进而根据等面积法求得的最小值，根据点与点重合时取得最大值，进而即可求解． 【详解】解：在中，，，， ∴， 连接，如图所示，    ∵于，于，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵为中点， ∴， 当时，取得最小值， 此时，则， 当与点重合时，取得最大值，最大值为，则， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理，矩形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 15．（23-24八年级下·河北沧州·期末）如图，在四边形中，，，，点从点出发，以的速度向点运动，点从点同时出发，以相同的速度向点运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点的运动时间为（单位：），下列结论正确的是（    ） A．当时，四边形为矩形 B．当时，四边形为平行四边形 C．当时， D．当时，或 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质、矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识，对于选项A、B，分别计算当与时相应线段的长度结合平行四边形的判定方法判断即可；对于C、D选项，作，垂足分别为E、F，如图，证明，得出，进而得出关于t的方程，解方程判定即可. 【详解】解：当时，，cm，， ∴， ∴四边形不为矩形，故选项A结论错误； 当时，，，cm， ∴， ∴四边形不为平行四边形，故选项B结论错误； 当时，作，垂足分别为E、F，如图， ∵， ∴， ∴四边形都是矩形， ∴， ∴当时，，， ∴， ∵， ∴， 解得：或，故选项C错误、选项D正确； 故选：D. 16．（2022·河北石家庄·二模）正方形的边长为4，点为边上一动点，以为边作矩形，且边过点． ①当点移动到中点时，矩形的面积是 ． ②在点从点移动到点的过程中，矩形的面积 ．（填序号） ①先变大后变小             ②先变小后变大     ③一直变大                  ④保持不变 【答案】 ④ 【分析】连接，则的面积是矩形的面积的一半，故矩形的面积保持不变，由此进行计算分析． 【详解】连接，则． 矩形的面积保持不变，面积为． 故答案为：，④． 【点睛】本题考查了矩形的性质，解决本题的关键是将矩形的面积转化为与的面积的关系． 17．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送（即为），到达的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态． (1)求秋千的长度． (2)如果想要踏板离地的垂直高度为时，需要将秋千往前推送_______m． 【答案】(1)5 (2)3 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，矩形的性质和判定， 对于（1），由题意得，再证明四边形是矩形，可得，则，然后设秋千的长度为，则，在，根据勾股定理得出方程，求出解即可； 对于（2），当时，可知，，进而的得，在中，根据勾股定理求出答案即可． 【详解】（1）解：由题意得， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，则． 设秋千的长度为，则． 在，根据勾股定理，得， 即， 解得． 所以秋千得长度为5m； （2）解：当时，，则，得， 在中，根据勾股定理，得， 即， 解得． 所以将秋千往前推送3m． 故答案为：3． 18．（23-24八年级下·河北张家口·期末）已知：如图1，中，，点D为中点．求证：．下面是两位同学两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明． 嘉嘉：如图2，取AC中点E，连接． 琪琪：如图3，延长CD至点E，使，连接、． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查矩形的性质、中位线的性质及线段垂直平分线的性质，熟练掌握矩形的性质、中位线的性质及线段垂直平分线的性质是解题的关键． 方法一：由题意易得，然后根据垂直平分线可求得，问题可求证；方法二：由题意易证四边形是矩形，然后根据矩形的性质可进行求证． 【详解】方法一， 证明：如图，取中点E，连接， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴直角三角形斜边的中线等于斜边的一半． 证明：方法二， 如图，延长至点E，使，连接、， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． ∴直角三角形斜边的中线等于斜边的一半． 19．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）如图，四边形为平行四边形，为直线上两点，．    (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，求四边形的对角线的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理及其逆定理的运用，掌握平行四边形，矩形的判定和性质是解题的关键． （1）连接，交于点，根据四边形是平行四边形，可得，，结合，运用对角线相互平分的四边形是平行四边形即可求证； （2）根据平行四边形的性质，，，，可证平行四边形是矩形，由此即可求解． 【详解】（1）证明：连接，交于点，   四边形是平行四边形， ，， ， ，即， 是平行四边形． （2）解：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 平行四边形是矩形， ． 20．（22-23八年级下·河北承德·期末）如图，在矩形中，，，，是对角线上的两个动点，分别从，同时出发相向而行，速度均为每秒个单位长度，设运动时间为秒．    (1)_______，_______；（用含的代数式表示） (2)若，分别是，的中点， ①当点，不重合时，求证：四边形是平行四边形； ②当为何值时，四边形为矩形? 【答案】(1)，或； (2)①见解析；②当或4.5时，四边形为矩形． 【分析】（1）根据题意即可求出答案； （2）先根据矩形的性质证出，从而可以证明四边形是平行四边形，最后根据举行的判定即可求出答案． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， 在中，由勾股定理得：， 由题意可知：， 当和运动如图时，    则有：， 当和运动如图时，    则有：， 故答案为： ，或， （2）①证明：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，． ∵，分别是，的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在与中， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形． ②解：如图所示，连接．   ， 由（2）①可知四边形是平行四边形． ∵点，分别是矩形的边，的中点， ∴， ∴当时，四边形是矩形，分两种情况： ①，解得； ，     ②，解得．   ，   即当或时，四边形为矩形． 【点睛】此题考查了勾股定理、矩形和平行四边形的判定和性质，熟练掌握矩形和平行四边形的判定和性质、勾股定理及其运用是解题的关键． 21．（23-24八年级下·河北唐山·期末）如图1，在矩形中，，，点在边上，且，动点从点出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度运动．作，交边或边于点，连接．当点与点重合时，点停止运动．设点的运动时间为秒 (1)当点和点重合时，求线段的长； (2)如图2，当点在边上时，猜想的形状，并说明理由； (3)作点关于直线的对称点，当点恰好落在边上时，直接写出的值 【答案】(1) (2)等腰直角三角形，见解析 (3)或． 【分析】（1）当点P和点B重合时，运动路程为的长；证明四边形是矩形，求出的长，进而在中，根据勾股定理即可求解； （2）过P作于点F，利用矩形的性质及角之间的互余关系可证明得出，即可得出结论； （3）分两种情况讨论，①如图所示，当点P在上时，②当P点在上时，当F，A重合时符合题意根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，连接， ∵四边形是矩形， ， ， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中， 由勾股定理得， 故答案为：； （2）是等腰直角三角形，理由如下： 过P作于点F，则有， ，矩形， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， （3）①如图所示，当点P在上时， 由题意得：，， 在中，， 则 ， ∵，点关于直线的对称点， ∴，， 在中，， ∴， 解得：， 当P点在上时，当F，A重合时符合题意，此时如图， ，， ， 在中，， ， 解得：， 综上所述：或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，轴对称的性质，分类讨论，分别画出图形，数形结合是解题的关键． 斜边上的中线的应用题型04 22．点是矩形的对角线的中点，是边的中点，，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的性质可知，，根据三角形中位线的性质可知，利用勾股定理可求，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求的长度． 【详解】解：在矩形中，， ，， 又点是矩形的对角线的中点，是边的中点，， ， ， 点为的中点，， ． 故选：A． 【点睛】本题考查矩形的性质、三角形中位线的性质、勾股定理、三角形的性质，解决本题的关键是根据图形的性质求出相关线段之间的关系． 23．（24-25八年级上·河北唐山·期末）如图，梯子斜靠在墙面上，点是梯子的中点，梯子滑动时，点沿滑向墙角点，点水平远离墙角点，点和点的距离（   ） A．始终不变 B．不断变小 C．不断变大 D．先变小后变大 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟知“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是解题的关键．根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”即可解决问题． 【详解】解：∵，且点P为的中点， ∴为斜边上的中线， ∴， ∵梯子的长度不变， ∴P点和C点的距离始终不变． 故选：A． 24．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）如图，某施工队在道路施工时在地面上设置了安全防护板，每间隔一段用一根长5米的钢筋焊接在防护板上起到加固支撑作用，钢筋和防护板的焊接点A到地面上点O的距离为4米，钢筋与地面的固定点B到点O的距离为3米，已知P为的中点，在固定时需调整钢筋达到最佳固定效果，当钢筋的一端A沿板面向下移动，另一端B沿向右移动时，的长（   ） A．不变 B．逐渐减小 C．逐渐增大 D．先增大，后减小 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质；先说明是直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，从而得出答案． 【详解】解：依题意， ∴ ∴是直角三角形，且， ∵点是的中点， ∴米， ∴在滑动的过程中的长度不变． 故选A． 25．（23-24八年级下·河北保定·期末）已知A，B，C三地的位置及两两之间的距离如图所示．若D地位于A，C两地的中点处，则B，D两地之间的距离是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理得出是直角三角形是解题的关键．根据勾股定理得出是直角三角形，再利用直角三角形的性质解答即可． 【详解】解：，， ， 是直角三角形， 地位于、两地的中点处， ， 故选：C 26．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，，于点D，，E是斜边的中点，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 先根据垂直定义可得：，再利用直角三角形的两个锐角互余可得：，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得，从而可得，最后利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】 解：∵，， ， ， ∵，E是斜边的中点， ， ， ， 故答案为： 27．（23-24八年级下·河北承德·期末）如图，在中，，，，为的中点，为边上一动点，于，于，连接，当点与点重合时，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，中位线的性质，勾股定理，根据勾股定理求出的长，先证明四边形为矩形，结合题意得出为的中位线，求出长，利用勾股定理求出结果即可． 【详解】解：，，， 四边形为矩形， 点与点重合，为的中点， ， ∵四边形为矩形， ∴， 故答案为：4． 28．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期末）如图，和均为直角三角形，且，，点从点向点运动，在运动过程中，线段长的最大值为 ，最小值为 ，当点为边中点时，则长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了含的直角三角形的性质、直角三角形的斜边中线定理和勾股定理，熟练掌握直角三角形的相关定理是解题关键． 由和均为直角三角形和可知，通过“在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半”可得，，，再根据直角三角形的斜边中线定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得即可求解． 【详解】解：和均为直角三角形， ， ， ， ， ，， ， ， ，． 当与重合时，的值最大，此时，， 当时，的值最小，此时，． 当点为边中点时，， 故答案为：6，3，． 29．（24-25八年级上·河北沧州·期末）如图，某社区有一块四边形空地，，，．从点修了一条垂直的小路（垂足为），恰好是的中点，且． (1)求边的长； (2)连接，判断的形状，并说明理由； (3)在的中点处修建饮水设备，求点与点之间的距离． 【答案】(1) (2)是直角三角形，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、垂直平分线的性质、直角三角形斜边上的中线，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）在中利用勾股定理求出的长，即可求出的长； （2）由垂直平分线的性质可得，再利用勾股定理的逆定理证出，即可得出结论； （3）由（2）得，，结合点是的中点，再利用直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，即可得到点与点之间的距离． 【详解】（1）解：， ， 在中，， ，， ， 恰好是的中点， ， ． 边的长为． （2）解：是直角三角形，理由如下： 如图， ，恰好是的中点， 是的垂直平分线， ， 又，， ， ， 是直角三角形． （3）解：如图，连接， 由（2）得，， 又点是的中点， ， 点与点之间的距离为． 30．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）如图，已知中，，，直角的顶点P是中点，两边、分别交、的延长线于点E、F．求证：； 【答案】见详解 【分析】本题考查了三角形全等的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，中线的性质，掌握以上知识是解题的关键． 先证明，得，再由已知条件即可求证； 【详解】证明：如图，连接， ，点P是中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中： ， ， ， ， ， 即． 31．（23-24八年级下·河北秦皇岛·期末）如图，在中，分别为的中点，连接，点在上且．若，，求线段的长． 【答案】 【分析】根据三角形中位线定理求出，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出，即可得出答案． 【详解】解：点是，的中点 ， ， ， 【点睛】本题考查三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 矩形的折叠问题题型05 32．（23-24八年级下·河北保定·期末）如果将长为，宽为的矩形折叠一次，则这条折痕的长不可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠问题，勾股定理，矩形的性质．根据题意得：最长折痕为矩形对角线的长，再根据勾股定理计算出最长折痕即可作出判断． 【详解】解：根据题意得：最长折痕为矩形对角线的长， 根据勾股定理得：矩形的对角线长为：， ∵， ，，， 故折痕长不可能为． 故选：C． 33．（17-18八年级上·甘肃武威·期末）如图，把长方形纸片沿对角线折叠，设重叠部分为，下列说法不正确的是（　　） A．是等腰三角形， B．折叠后和一定全等 C．折叠后得到的图形是轴对称图形 D．和一定是全等三角形 【答案】B 【分析】本题主要考查了翻折变换及其应用问题；解题的关键是灵活运用翻折变换的性质，找出图中隐含的等量关系；借助矩形的性质、全等三角形的判定等几何知识来分析、判断、推理或解答，根据题意结合图形可以证明，进而证明；此时可以判断选项A、B、D是成立的，问题即可解决． 【详解】解：由题意得：， ∴；； 又∵四边形为矩形， ∴； ∴； ∴， ∴为等腰三角形； 在与中， ， ∴； 又∵为等腰三角形， ∴折叠后得到的图形是轴对称图形； 综上所述，选项A、C、D成立， ∴下列说法错误的是B， 故选：B． 34．（22-23八年级下·河北承德·期末）把一张长方形纸片按如图方式折叠，使点与点重合，点与点重合、两点均在上），折痕分别为、．若，，则线段的长为 ．    【答案】3 【分析】先由折叠性质得出，再通过线段和差求出对应线段的长，最后由勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，，， 由折叠性质可知：， ∴，， 在中，由勾股定理得： ， 设， 则，， 在中，由勾股定理得：，即：， 解得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查的是图形翻折变换的性质及矩形的性质，全等三角形的判定，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键． 35．（23-24八年级下·河北承德·期末）如图，矩形两条对角线相较于点O中，． (1)求矩形对角线的长； (2)求矩形的面积； (3)把沿着折叠，得交于点E，求的长． 【答案】(1)对角线的长为8 (2)矩形的面积为 (3) 【分析】（1） 证明为等边三角形，可得，再进一步解答即可； （2） 求解，再利用矩形的面积公式计算即可； （3）先画图，证明，，，在中，设，，再进一步解答即可； 【详解】（1）解：矩形中，，， ∵， ∴， ∴为等边三角形 ∴， ∴对角线； （2）解：在中，，， 根据勾股定理得， ∴ ， ∴矩形的面积为； （3）解：如图， ∵，， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， 在中，设，， ∴， 解得：； ∴； 【点睛】本题考查的是等边三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理的应用，含30度角的直角三角形的性质，轴对称的性质，化为最简二次根式，熟记矩形的性质与轴对称的性质是解本题的关键. 36．（2024·贵州贵阳·模拟预测）如图，在矩形中，，将矩形沿折叠，使点与点重合． (1)若，求的度数； (2)求证：； (3)若，，求的长． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)． 【分析】（）根据矩形和翻折的性质即可解决问题； （）根据矩形和翻折的性质可得，，即可解决问题； （）设，则，根据勾股定理列出方程求解即可； 本题考查了翻折变换的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟记各性质并作利用勾股定理列方程是解题的关键． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， 由翻折可知: ， ∴， ∴度数为； （2）证明：∵四边形是矩形, ∴， 由翻折可知: ，， ∴，， 在和中， ， ∴； （3）解：设，则， ∵沿翻折后点与点重合， ∴， 在中，由勾股定理得，即 ， 解得， ∴． 37．（22-23八年级上·河北石家庄·期末）如图，沿折痕折叠矩形的一边，使点D落在边上一点F处．若，且的面积为24，则： (1)的长为_______________； (2)的长为________________； (3)求的长． 【答案】(1)8 (2)10 (3) 【分析】此题考查了矩形的折叠问题，勾股定理， （1）根据，求解即可； （2）由折叠的性质可得：，根据求解即可； （3）由（1）（2）可得，设，则利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）由矩形的性质可得：，，的面积为24， ∴， ∴， 故答案为：8； （2）在（1）中已得， 由矩形的性质可得：，， ， 由折叠的性质可得：， 由勾股定理可得：， 故答案为：10； （3）由（1）（2）可得， 根据折叠的性质有：， 设，则， 在中，， 即 解得， 即． 38．（12-13八年级上·湖南长沙·期中）折叠矩形的一边，使点D落在边的F点处，若，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查矩形的性质，折叠的性质和勾股定理，可以根据折叠的图形全等得到对应的边角相等，结合勾股定理进行解答； 根据折叠的性质，结合折叠的图形可以得到，； 根据勾股定理可以求出的长度，从而可以得到的长度，在直角三角形中，结合，可知，若设为，可得，结合勾股定理求出的长度． 【详解】解：在矩形中，， 由折叠的性质可知，． ∵， ∴， ∴． 设为，则． 在直角中，由勾股定理得， 解得：． 即． 39．（23-24九年级上·河北保定·期末）在平面直角坐标系中，线段，，以为边作长方形． (1)求的长； (2)将沿对折，使得点的对应点落在上，折痕交于点，求点坐标； (3)在平面内，是否还存在点（点除外），使得与全等？若存在，请直接写出所有符合题意的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，点的坐标为或或． 【分析】（）由勾股定理即可求解； （）设，则，由折叠的性质可得，，，进而再由勾股定理可得，解方程可求出答案； （）将点在不同象限进行分类，根据全等三角形的判定方法画出图形，由勾股定理求出答案即可； 本题考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的性质，勾股定理，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）设，则， 由折叠得，，，， ∴，， ∵， ∴， 解得． ∴； （3）解：存在点，使得与全等． ①当点与点重合时，如图，，此时； ②当点在第一象限时，如图，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， 解得， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ③当点在第四象限时，如图，， 过点作于点，交于点， 同理可得，，， ∴，， ∴， ∴； 综上，点的坐标为或或． 与矩形有个的压轴问题题型06 40．（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，在矩形中，，，E是射线上的一动点，连接，将沿翻折，得到，连接，当是直角三角形时，的长为（    ） A．18 B．2 C．3或4 D．2或18 【答案】D 【分析】本题考查矩形性质，翻折定义，勾股定理等．根据题意分两种情况讨论，是直角三角形，且点E在边上和是直角三角形，且点E在边的延长线上时，利用矩形性质和翻折性质，继而利用勾股定理即可得到本题答案． 【详解】解析：如图1，是直角三角形，且点E在边上，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 由翻折得， ∴， ∵， ∴D、、E三点在同一条直线上， ∴， ∴， ∴； 如图2，是直角三角形，且点E在边的延长线上，， 由翻折得， ∵， ∴点D在上， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上所述，的长为2或18， 故选：D． 41．（23-24八年级下·河北唐山·期末）如图，已知，，，点为射线上一个动点，连接，将沿折叠，点落在点处，过点作的垂线，分别交于两点．（   ） 甲： 当时， ； 乙： 当时，．    A．只有甲正确 B．只有乙正确 C．甲、乙都正确 D．甲、乙都不正确 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，折叠的性质，直角三角形的性质，勾股定理，由题意易得四边形为矩形，即可得，，，又由折叠可得，，当，可得，设，则，利用勾股定理可得，，即可得，得到甲错误；当时，同理可得到乙正确；据此即可求解，掌握矩形和折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，，， 又由折叠可得，， 当，可得， 在中，设，则， ∴， 解得， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴，故甲错误； 当时，如图，可得， 又由折叠可得，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，故乙正确；    ∴只有乙正确， 故选：． 42．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，，，D为边上一动点，连接．以为底边，在的左侧作等腰直角三角形，点F是边上的定点，连接，当取最小值时，若，则为（    ）（用含的式子表示） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，取的中点H，连接，交于，作直线，交于，设，取的中点，连接，，证明，则在直线上运动，且，当，，三点共线时，，此时最短，从而可得结论． 【详解】解：如图，取的中点H，连接，交于，作直线，交于， ∵，， ∴，，， ∵等腰直角三角形，， ∴， 设， 取的中点，连接，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在直线上运动，且， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴，， 当，，三点共线时， ，此时最短， ∵， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理的应用，证明在直线上运动是解本题的关键． 43．（21-22八年级下·河北沧州·期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，，点E在边AD上，，点F在边BC上，将四边形CDEF沿EF所在的直线翻折，点D恰好落在点O处，点C落在点处．下列结论中，正确的有（    ） ①；②过点O作于点P，是等腰直角三角形；③AB的长为 A．3个 B．2个 C．0个 D．1个 【答案】D 【分析】根据矩形对角线相等且互相平分，可知是等腰三角形，再由，求出进而求出，根据翻折的性质及三角形外角可得，再根据，可判断是等腰直角三角形．根据是等腰直角三角形，且，求出的长，再进一步求出的长． 【详解】解：①四边形是矩形， ，， ， ， ， 四边形沿所在的直线翻折，点恰好落在点处， ， ， 是的外角， ， ①错误，不符合题意； ②过点作于点，如图所示： ， ， 由①得，， ， 是等腰直角三角形．故②正确，符合题意； ③在中，设，则由②得， 是等腰直角三角形， 即，解得， ， 过点作，如图所示： ， ， ， ，， ， 四边形是矩形， ， ，故③错误，不符合题意； 正确的结论只有②．即一个正确的结论， 故选：D． 【点睛】本题主要考查矩形的性质与翻折的性质，熟练运用矩形的性质与判定和翻折中不变的量是解题的关键． 44．（24-25八年级上·河北邢台·期末）已知，且，，，点、分别在、上滑动． （1） ； （2）点是的中点，点是的中点，则的最小值是 ． 【答案】 6 2 【分析】本题考查了全等三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理，熟记各性质并判断出最小时的位置是解题的关键． （1）根据勾股定理计算即可； （2）连接、，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，判断出C、N、M三点共线时的值最小，再根据勾股定理列式计算即可得解． 【详解】解：（1）∵ ∴， 故答案为：6； （2）连接 ， ∵， ∴， ∵点是的中点，点是的中点， ∴ 由三角形三边关系得，， ∴当C、N、M三点共线时的值最小， 此时，， 故答案为：2． 45．（21-22八年级下·河北邯郸·期末）如图，是等腰直角三角形，，，点是上的一个动点（点与点、不重合），过点分别作于点，于点，连接． （1）四边形的形状是 ； （2）线段的最小值为 ． 【答案】 矩形/长方形 【分析】（1）先证，再由即可解答； （2）如图：连接，由勾股定理可求得，再由矩形的性质可得，然后根据垂线段最短可得时，线段的值最小，最后由三角形的等面积求解即可解答． 【详解】解：（1）∵于点，于点， ∴ 又∵， ∴四边形是矩形； （2）如图，连接， ∵，， ∴， 由（1）知：， 由垂线段最短可得时，线段的值最小， 此时，， 即， ∴， ∴长的最小值为， 故答案为：矩形，． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、垂线段最短的性质、勾股定理等知识点；判断出当时，线段的值最小是解题的关键． 46．（23-24八年级下·河北保定·期末）如图，在中，是的平分线，点O为的中点，延长交的外角平分线于点F． (1)求证：； (2)求证：四边形为平行四边形． (3)连接，判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)四边形是矩形，证明见解析 【分析】此题考查了平行四边形的判定和性质、矩形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键． （1）利用等腰三角形的性质得到，则是直角三角形，，由直角三角形斜边上中线的性质得到； （2）由是等腰三角形，，进一步得到，则，证明，则，得到，又因为，即可证明四边形为平行四边形； （3）由得到，又由，即可证明四边形是平行四边形，由，即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴是等腰三角形， ∵是的平分线， ∴， ∴是直角三角形，， ∵点O为的中点， ∴； （2）∵， ∴是等腰三角形， ∵，平分， ∴， ∴， ∴ ∵点O为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴四边形为平行四边形． （3）四边形是矩形 证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． 47．（23-24九年级上·河北承德·期末）如图1，在矩形中，，，把绕点顺时针旋转得到，连接，过点作于点，交矩形边于点，连接． (1)求证：； (2)①当、、共线时，则 ； ②当、、共线时，则 ； (3)若点到直线的距离为，求点所经过的路径长． 【答案】(1)见解析 (2)①；② (3) 【分析】（1）由旋转得，由，根据等腰三角形的“三线合一”得，而，即可根据“”证明． （2）①当、、共线时，由勾股定理得，由旋转得，可求得，，于是得，求得，于是得到问题的答案． ②当、、共线时，由，得，由全等三角形的性质得，所以，则，于是得到问题的答案． （3）取的中点，作交于点，则，，所以当点落在上时，点到直线的距离为，此时，则，可知点在以点为圆心，以长为半径的圆上从点运动到点，由弧长公式求得，则点所经过的路径长为． 【详解】（1）证明：由旋转得， 于点，交矩形的边于点， ， 在和中， ， ； （2）解：①当、、共线时，如图1， 四边形是矩形，，， ， ， 由旋转得， ， ，， ，， ， ， 解得， 故答案为：； ②当、、共线时，如图2， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （3）解：如图3，取的中点，作交于点，则， ， ， ，且， 两条平行线与之间的距离为， 直线上的点到直线的距离为， 当点落在上时，点到直线的距离为， 垂直平分， ， ， 是等边三角形， ， 点在以点为圆心，以长为半径的圆上从点运动到点， ， 点所经过的路径长为． 【点睛】此题重点考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质、勾股定理、两条平行线之间的距离处处相等、等边三角形的判定与性质、弧长公式等知识，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 48．（22-23八年级下·河北承德·期末）如图，四边形中，，，，，，于点．将与该四边形按如图方式放在同一平面内，使点与重合，其中，，．绕点旋转，且在旋转过程中，分别交边于点．      (1)求证：四边形为矩形； (2)求的长； (3)若，求的长； (4)恰好为等腰三角形，求． 【答案】(1)见解析 (2)6 (3) (4)16或 【分析】（1）根据矩形的证明方法即可得证； （2）根据四边形为矩形，可得的长度，根据含有角的直角三角形的性质和勾股定理进行计算即可得到答案； （3）根据四边形为矩形，可得的长，从而可求出的长，在中，由勾股定理进行计算即可得到答案； （4）根据等腰三角形的性质，分类讨论：①当时；②当时；③当时；根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， 即， 四边形是矩形； （2）解：四边形是矩形， ， 在中，， ， ； （3）解：四边形是矩形， ， ， ， 在中，； （4）解：①当时，，，， ， ②当时，此种情况不存在， ③当时，如图所示，   ，， 在中，， 解得：， ， 综上所述，恰好为等腰三角形，的值为或16． 【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，含有角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，等腰三角形的性质，含有角的直角三角形的性质，是解题的关键． 49．（21-22八年级上·河北唐山·期末）如图，在中，AD是中线，于点E，交AD于点O，F是AC的中点，连接EF，DE，DF． (1)若，求的度数； (2)求证：直线DF垂直平分CE； (3)若，用含有a，b的代数式表示的周长． 【答案】(1)23° (2)见解析 (3) 【分析】⑴利用等腰三角形“三线合一”的性质，证明，再通过三角形内角和的关系求得答案． ⑵先通过直角三角形斜边上的中线定理证明CD=DE，CF=EF，再由定理“到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上”，问题得证． ⑶通过证和全等，求得DE的长，再通过直角三角形斜边上的中线定理求得EF、DF的长，进而求得的周长． 【详解】（1）解：∵， ∴AB=AC，即为等腰三角形； ∵AD是的中线， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴和是直角三角形； ∵AD是的中线，F是AC的中点， ∴DE和EF分别是和的中线， ∴BD=CD=DE，AF=CF=EF， ∴直线DF垂直平分CE． （3）解：∵，， ∴， ∴AE=CE， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵AB=AC=b，和是直角三角形， ∴EF=DF=AC=b， ∴的周长为a+b． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线定理、等腰三角形的“三线合一”、全等形证明，线段垂直平分线判定等知识，熟练掌握和应用相关定理是解题的关键． 50．（22-23八年级下·河北唐山·期末）如图，在中，是对角线，，，．点P、Q分别是线段，射线上的一点，，点E是线段上的点，且，设．          (1)________，________；（用含m的代数式表示） (2)①若，求m的值； ②在①条件下，判断四边形的形状，并说明理由； (3)当点P关于直线的对称点恰好落在直线上时，直接写出m的值． 【答案】(1)， (2)①m的值为4；②四边形为矩形，证明见解析 (3)m的值为 【分析】（1）根据和即可表示出的长度，然后根据和线段的和差即可表示出的长度； （2）①过点A作于点M，首先得到为等腰直角三角形，然后利用平行线四边形的性质和判定得到四边形为平行四边形，进而得到，代入列出方程求解即可； ②首先根据平行四边形的判定证明出四边形为平行四边形，进而结合即可证明出平行四边形为矩形； （3）根据题意分两种情况①点P关于的对称点F在线段和②点P关于的对称点F在线段的延长线上，分别根据对称性得到，然后代入列方程求解即可． 【详解】（1）∵设， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，； （2）①过点A作于点M，如图2．      ， 为等腰直角三角形， ， ， 四边形为平行四边形， ． ，， ， 四边形为平行四边形， ， ． 即， 解得：， m的值为4． ②四边形为矩形． 证明：由①得，， ． ， ． 四边形为平行四边形， ． 平行四边形为矩形． （3）①点P关于的对称点F在线段上，如图3．    点P与点F关于对称， ． ， ， ， ，即． 解得：； ②点P关于的对称点F在线段的延长线上时，如图4．    点P与点F关于对称， ， ， ． ， ， ，即， 解得，． 综上，． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质和判定，矩形的判定，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 51．（2023·山东烟台·中考真题）【问题背景】 如图1，数学实践课上，学习小组进行探究活动，老师要求大家对矩形进行如下操作：①分别以点为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点，，作直线交于点，连接；②将沿翻折，点的对应点落在点处，作射线交于点．    【问题提出】 在矩形中，，求线段的长． 【问题解决】 经过小组合作、探究、展示，其中的两个方案如下： 方案一：连接，如图2．经过推理、计算可求出线段的长； 方案二：将绕点旋转至处，如图3．经过推理、计算可求出线段的长． 请你任选其中一种方案求线段的长． 【答案】线段的长为． 【分析】方案一：连接，由翻折的不变性，知，，证明，推出，设，在中，利用勾股定理列式计算求解即可； 方案二：将绕点旋转至处，证明，推出，设，同方案一即可求解． 【详解】解：方案一：连接，如图2．    ∵四边形是矩形， ∴，， 由作图知， 由翻折的不变性，知，，， ∴，，又， ∴， ∴， 设，则，， 在中，，即， 解得， ∴线段的长为； 方案二：将绕点旋转至处，如图3．    ∵四边形是矩形， ∴，， 由作图知， 由旋转的不变性，知，，， 则， ∴共线， 由翻折的不变性，知， ∴， ∴， 设，则，， 在中，，即， 解得， ∴线段的长为． 【点睛】本题考查了作线段的垂直平分线，翻折的性质，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 试卷第64页，共67页 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 矩形的性质与判定 题型概览 题型01矩形的判定 题型02矩形的性质 题型03矩形性质与判定的综合 题型04斜边上的中线的应用 题型05矩形的折叠问题 题型06与矩形有个的压轴问题 矩形的判定题型01 1．（22-23八年级下·河北承德·期末）如图为小明在家找到的一块木板，他想检验这块木板的表面是不是矩形，但仅有一根足够长的细绳，现提供了如下两种检验方法： 方法一： 第一步：先测量两组对边是否相等； 第二步：再测量对角线是否相等． 方法二：直接测量对角线是否相等． 下列说法正确的是（    ） A．方法一可行，方法二不可行 B．方法一不可行，方法二可行 C．方法一、二都可行 D．方法一、二都不可行 2．（22-23八年级下·河北沧州·期末）依据所标数据，下列一定为矩形的是（   ）    A．只有③ B．只有①② C．只有②③ D．①②③ 3．（23-24八年级下·河北唐山·期末）如图，四边形的对角线，交于点，根据图中所标数据，再添加一个条件，使四边形为矩形，添加的条件可以是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23八年级下·河北廊坊·期末）在平面直角坐标系中，已知点，点，点，在平面直角坐标系中找一点，使以点为顶点的四边形为矩形，则的长为 ，点的坐标为 ． 5．（23-24八年级下·河北秦皇岛·期末）请阅读下列材料，完成相应的任务： 工人师傅在做门窗或矩形零件时，他是这样做的：首先利用卷尺（有刻度）测量两组对边的长度是否分别相等，其次利用卷尺测量该门窗的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形． 我有如下思考：工人师傅的做法究竟是依据什么原理得到四边形是矩形？．已知在四边形中，，，．求证：四边形是矩形． 证明：…… 任务： (1)上述做法是依据了矩形的一个判定定理： (2)补全材料中的证明过程； (3)利用卷尺（有刻度）能否用另外一种方法判定四边形是矩形？（简要写出测量方法）． 6．（22-23八年级下·河北石家庄·期末）如图，在中，延长到，使，连接，，．    (1)求证：； (2)直接写出一个使四边形为矩形的条件． 矩形的性质题型02 7．（21-22八年级下·河北邯郸·期末）如图，在矩形中，，，为的中点，点，分别在，上，为等腰直角三角形，且，则四边形的面积为（    ）    A．18 B．14 C．16 D．12 8．（23-24八年级下·河北唐山·期末）如图，在矩形中，对角线相交于点是的中点，的度数为 ，的度数为 ． 9．（23-24八年级下·河北保定·期末）如图，点E是矩形边上任意一点，点F，G，H分别是的中点，若，则的长为（　　） A．4 B．6 C．8 D．5 10．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）在矩形中，，，点是边上一点（不与点，重合），连接．若平分，则 °， cm． 11．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）如图，矩形中，，延长交于点M，延长交于点F，过点E作，交的延长线于点N，，，则 ． 12．（23-24八年级下·河北承德·期末）如图，在矩形中，，，为上一动点，于，于，的面积为 ；则的值为 ． 13．（23-24九年级上·河北保定·期末）如图，四边形是矩形，对角线，相交于点O，交的延长线于点E． (1)求证：． (2)若，求的度数． 矩形性质与判定的综合题型03 14．（22-23八年级下·河北沧州·期末）如图，在中，，，，为边上一动点不与，重合，于，于，为中点，则的取值范围是(    )    A． B． C． D． 15．（23-24八年级下·河北沧州·期末）如图，在四边形中，，，，点从点出发，以的速度向点运动，点从点同时出发，以相同的速度向点运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点的运动时间为（单位：），下列结论正确的是（    ） A．当时，四边形为矩形 B．当时，四边形为平行四边形 C．当时， D．当时，或 16．（2022·河北石家庄·二模）正方形的边长为4，点为边上一动点，以为边作矩形，且边过点． ①当点移动到中点时，矩形的面积是 ． ②在点从点移动到点的过程中，矩形的面积 ．（填序号） ①先变大后变小             ②先变小后变大     ③一直变大                  ④保持不变 17．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为，将秋千往前推送（即为），到达的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为，秋千的绳索始终保持拉直的状态． (1)求秋千的长度． (2)如果想要踏板离地的垂直高度为时，需要将秋千往前推送_______m． 18．（23-24八年级下·河北张家口·期末）已知：如图1，中，，点D为中点．求证：．下面是两位同学两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明． 嘉嘉：如图2，取AC中点E，连接． 琪琪：如图3，延长CD至点E，使，连接、． 19．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）如图，四边形为平行四边形，为直线上两点，．    (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，求四边形的对角线的长． 20．（22-23八年级下·河北承德·期末）如图，在矩形中，，，，是对角线上的两个动点，分别从，同时出发相向而行，速度均为每秒个单位长度，设运动时间为秒．    (1)_______，_______；（用含的代数式表示） (2)若，分别是，的中点， ①当点，不重合时，求证：四边形是平行四边形； ②当为何值时，四边形为矩形? 21．（23-24八年级下·河北唐山·期末）如图1，在矩形中，，，点在边上，且，动点从点出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度运动．作，交边或边于点，连接．当点与点重合时，点停止运动．设点的运动时间为秒 (1)当点和点重合时，求线段的长； (2)如图2，当点在边上时，猜想的形状，并说明理由； (3)作点关于直线的对称点，当点恰好落在边上时，直接写出的值 斜边上的中线的应用题型04 22．点是矩形的对角线的中点，是边的中点，，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 23．（24-25八年级上·河北唐山·期末）如图，梯子斜靠在墙面上，点是梯子的中点，梯子滑动时，点沿滑向墙角点，点水平远离墙角点，点和点的距离（   ） A．始终不变 B．不断变小 C．不断变大 D．先变小后变大 24．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）如图，某施工队在道路施工时在地面上设置了安全防护板，每间隔一段用一根长5米的钢筋焊接在防护板上起到加固支撑作用，钢筋和防护板的焊接点A到地面上点O的距离为4米，钢筋与地面的固定点B到点O的距离为3米，已知P为的中点，在固定时需调整钢筋达到最佳固定效果，当钢筋的一端A沿板面向下移动，另一端B沿向右移动时，的长（   ） A．不变 B．逐渐减小 C．逐渐增大 D．先增大，后减小 25．（23-24八年级下·河北保定·期末）已知A，B，C三地的位置及两两之间的距离如图所示．若D地位于A，C两地的中点处，则B，D两地之间的距离是（   ）    A． B． C． D． 26．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，，于点D，，E是斜边的中点，则的度数为 ． 27．（23-24八年级下·河北承德·期末）如图，在中，，，，为的中点，为边上一动点，于，于，连接，当点与点重合时，则的长为 ． 28．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期末）如图，和均为直角三角形，且，，点从点向点运动，在运动过程中，线段长的最大值为 ，最小值为 ，当点为边中点时，则长为 ． 29．（24-25八年级上·河北沧州·期末）如图，某社区有一块四边形空地，，，．从点修了一条垂直的小路（垂足为），恰好是的中点，且． (1)求边的长； (2)连接，判断的形状，并说明理由； (3)在的中点处修建饮水设备，求点与点之间的距离． 30．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）如图，已知中，，，直角的顶点P是中点，两边、分别交、的延长线于点E、F．求证：； 31．（23-24八年级下·河北秦皇岛·期末）如图，在中，分别为的中点，连接，点在上且．若，，求线段的长． 矩形的折叠问题题型05 32．（23-24八年级下·河北保定·期末）如果将长为，宽为的矩形折叠一次，则这条折痕的长不可能是（　　） A． B． C． D． 33．（17-18八年级上·甘肃武威·期末）如图，把长方形纸片沿对角线折叠，设重叠部分为，下列说法不正确的是（　　） A．是等腰三角形， B．折叠后和一定全等 C．折叠后得到的图形是轴对称图形 D．和一定是全等三角形 34．（22-23八年级下·河北承德·期末）把一张长方形纸片按如图方式折叠，使点与点重合，点与点重合、两点均在上），折痕分别为、．若，，则线段的长为 ．    35．（23-24八年级下·河北承德·期末）如图，矩形两条对角线相较于点O中，． (1)求矩形对角线的长； (2)求矩形的面积； (3)把沿着折叠，得交于点E，求的长． 36．（2024·贵州贵阳·模拟预测）如图，在矩形中，，将矩形沿折叠，使点与点重合． (1)若，求的度数； (2)求证：； (3)若，，求的长． 37．（22-23八年级上·河北石家庄·期末）如图，沿折痕折叠矩形的一边，使点D落在边上一点F处．若，且的面积为24，则： (1)的长为_______________； (2)的长为________________； (3)求的长． 38．（12-13八年级上·湖南长沙·期中）折叠矩形的一边，使点D落在边的F点处，若，求的长． 39．（23-24九年级上·河北保定·期末）在平面直角坐标系中，线段，，以为边作长方形． (1)求的长； (2)将沿对折，使得点的对应点落在上，折痕交于点，求点坐标； (3)在平面内，是否还存在点（点除外），使得与全等？若存在，请直接写出所有符合题意的点的坐标；若不存在，请说明理由． 与矩形有个的压轴问题题型06 40．（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）如图，在矩形中，，，E是射线上的一动点，连接，将沿翻折，得到，连接，当是直角三角形时，的长为（    ） A．18 B．2 C．3或4 D．2或18 41．（23-24八年级下·河北唐山·期末）如图，已知，，，点为射线上一个动点，连接，将沿折叠，点落在点处，过点作的垂线，分别交于两点．（   ） 甲： 当时， ； 乙： 当时，．    A．只有甲正确 B．只有乙正确 C．甲、乙都正确 D．甲、乙都不正确 42．（22-23八年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，，，D为边上一动点，连接．以为底边，在的左侧作等腰直角三角形，点F是边上的定点，连接，当取最小值时，若，则为（    ）（用含的式子表示） A． B． C． D． 43．（21-22八年级下·河北沧州·期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，，点E在边AD上，，点F在边BC上，将四边形CDEF沿EF所在的直线翻折，点D恰好落在点O处，点C落在点处．下列结论中，正确的有（    ） ①；②过点O作于点P，是等腰直角三角形；③AB的长为 A．3个 B．2个 C．0个 D．1个 44．（24-25八年级上·河北邢台·期末）已知，且，，，点、分别在、上滑动． （1） ； （2）点是的中点，点是的中点，则的最小值是 ． 45．（21-22八年级下·河北邯郸·期末）如图，是等腰直角三角形，，，点是上的一个动点（点与点、不重合），过点分别作于点，于点，连接． （1）四边形的形状是 ； （2）线段的最小值为 ． 46．（23-24八年级下·河北保定·期末）如图，在中，是的平分线，点O为的中点，延长交的外角平分线于点F． (1)求证：； (2)求证：四边形为平行四边形． (3)连接，判断四边形的形状，并证明你的结论． 47．（23-24九年级上·河北承德·期末）如图1，在矩形中，，，把绕点顺时针旋转得到，连接，过点作于点，交矩形边于点，连接． (1)求证：； (2)①当、、共线时，则 ； ②当、、共线时，则 ； (3)若点到直线的距离为，求点所经过的路径长． 48．（22-23八年级下·河北承德·期末）如图，四边形中，，，，，，于点．将与该四边形按如图方式放在同一平面内，使点与重合，其中，，．绕点旋转，且在旋转过程中，分别交边于点．      (1)求证：四边形为矩形； (2)求的长； (3)若，求的长； (4)恰好为等腰三角形，求． 49．（21-22八年级上·河北唐山·期末）如图，在中，AD是中线，于点E，交AD于点O，F是AC的中点，连接EF，DE，DF． (1)若，求的度数； (2)求证：直线DF垂直平分CE； (3)若，用含有a，b的代数式表示的周长． 50．（22-23八年级下·河北唐山·期末）如图，在中，是对角线，，，．点P、Q分别是线段，射线上的一点，，点E是线段上的点，且，设．          (1)________，________；（用含m的代数式表示） (2)①若，求m的值； ②在①条件下，判断四边形的形状，并说明理由； (3)当点P关于直线的对称点恰好落在直线上时，直接写出m的值． 51．（2023·山东烟台·中考真题）【问题背景】 如图1，数学实践课上，学习小组进行探究活动，老师要求大家对矩形进行如下操作：①分别以点为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧相交于点，，作直线交于点，连接；②将沿翻折，点的对应点落在点处，作射线交于点．    【问题提出】 在矩形中，，求线段的长． 【问题解决】 经过小组合作、探究、展示，其中的两个方案如下： 方案一：连接，如图2．经过推理、计算可求出线段的长； 方案二：将绕点旋转至处，如图3．经过推理、计算可求出线段的长． 请你任选其中一种方案求线段的长． 试卷第64页，共67页 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$