专题03 平行四边形的性质与判定（5大题型）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期末真题分类汇编（河北专用）

专题03 平行四边形的性质与判定 题型概览 题型01平行四边形的判定 题型02利用平行四边形的性质求解 题型03平行四边形的性质与判定的综合 题型04三角形中位线的性质与判定 题型05与平行四边形有关的压轴问题 平行四边形的判定题型01 1．（23-24八年级下·河北石家庄·期中）依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级下·河北邯郸·期中）根据所标数据，下列不一定是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）综合实践课上，嘉嘉画出，利用尺规作图找一点，使得四边形为平行四边形．（1）～（3）是其作图过程．在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形为平行四边形的条件是（   ） A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等 4．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）如图，平行四边形中，要在对角线上找点E、F，使四边形为平行四边形，现有甲、乙、丙三种方案，则正确的方案的个数是（    ） 甲：只需要满足 乙：只需要满足 丙：只需要满足 A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 5．（22-23八年级下·河北邢台·期末）如图是嘉淇不完整的推理过程，为了使嘉淇的推理成立，需在四边形中添加条件，下列添加的条件正确的是（    ） ∵， ∴， 又∵（      ）， ∴四边形是平行四边形．    A． B． C． D． 6．（23-24八年级下·河北衡水·阶段练习）如图是不完整的推理过程，为保证推理成立，需在四边形中添加条件．对于嘉嘉和淇淇添加的条件判断正确的是（    ） 嘉嘉：；淇淇： A．只有嘉嘉的正确 B．只有淇淇的正确 C．两人的都正确 D．两人的都不正确 7．（22-23八年级下·河北保定·期末）如图，的对角线、相交于点O， E、F是上的两点． (1)添加一个条件 ，使四边形是平行四边形； (2)在（1）添加的条件下，写出证明过程． 利用平行四边形的性质求解题型02 8．（23-24八年级下·河北唐山·期末）在平行四边形中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24八年级下·河北保定·期末）如图，将沿对角线折叠，使点B落在点处．若，则为（　　） A． B． C． D． 10．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）如图，在平行四边形中，E是边延长线上一点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 11．（23-24八年级下·河北张家口·期末）如图，平行四边形中，，若，，则的长是（    ） A．4 B．5 C． D．6 12．（23-24八年级下·河北秦皇岛·期末）如图，平行四边形的周长为，平分交于点E，则线段的长为（  ） A． B． C． D． 13．（23-24八年级下·河北秦皇岛·期末）如图，在中，于点B，于点F．若，则（    ） A． B． C． D． 14．（23-24八年级下·河北张家口·期末）如图，平行四边形的对角线、相交于点O，过点O与、分别相交于E、F．若，，，那么四边形的周长为（    ） A．16 B．14 C．12 D．10 15．（23-24八年级下·河北保定·期末）如图，平移图形，与图形可以拼成一个平行四边形，则图中 ． 16．（23-24八年级下·河北保定·期末）如图1是我们生活中的一种遮阳伞，如图2是它的骨架示意图，点在伞柄上下滑动时，骨架可以伸缩，关闭遮阳伞后三点重合（即），点B与点重合，四边形和四边形都是平行四边形，．    （1） ； （2）若，则 ． 17．（23-24八年级下·河北承德·期末）如图，在四边形中，，，，．点从点出发，以的速度向点运动；同时点从点出发以的速度向点运动．规定运动时间为秒，当其中一点到达终点时另一点也同时停止运动． (1) ____，____（分别用含有的式子表示）； (2)四边形可能是平行四边形吗？说明理由． (3)当四边形的面积是四边形面积的2倍时，求出的值． (4)当点与四边形的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形时，直接写出的值． 18．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，分别过点，作，，垂足分别为，．平分． (1)若，求的度数； (2)求证：． 19．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）如图，点是平行四边形对角线上一点，点在延长线上，且，与交于点． (1)求证：； (2)若垂直平分，，求的长． 20．（22-23八年级下·河北唐山·期末）如图，在中，对角线和交于点O，点E、F分别为的中点，连接． (1)求证： (2)若，，，求的长． 平行四边形的性质与判定的综合题型03 21．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）如图，是的边上的点，是中点，连接并延长交于点，连接与相交于点，若，则阴影部分的面积为 ． 22．（23-24七年级下·河北张家口·期末）如图所示，四边形中，，，A、C两点的坐标分别为、，A、B两点间的距离等于O、C两点间的距离． (1)点的坐标为________； (2)将这个四边形向下平移个单位长度后得到四边形，请你写出平移后四边形四个顶点的坐标． 23．（23-24八年级下·河北廊坊·期末）如图，在中，G，H分别是的三等分点，交于点E，交于点F． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 24．（22-23八年级下·河北邢台·期末）如图，在中，分别为的中点，延长至点，使，连接交于点．    (1)求证：四边形为平行四边形． (2)若，求的长． 25．（23-24八年级下·河北邢台·期末）如图，在中，，是上的点，连接，，，，且． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，求的长． 26．（23-24八年级下·河北衡水·期末）如图，点，是平行四边形对角线上的两点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，． ①线段长为 ． ②四边形的面积为 ． 27．（23-24八年级下·河北沧州·期末）如图，点A，C是平行四边形对角线所在直线上两点，且．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，. ①线段的长为______； ②求平行四边形的面积． 28．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，M，N分别为射线，上的两个动点（点M，N始终在平行四边形的外面），连接，，，． (1)若，，求证：四边形为平行四边形； (2)若，， ①四边形为平行四边形吗？请说明理由； ②当时，，直接写出四边形的面积． 29．（23-24八年级下·河北保定·期末）在探索命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”时，嘉琪按照以下步骤用尺规作出了如图所示的四边形．步骤如下： 已知直线l及线段，点B在直线l上，点A在直线l外．如图， ①在直线l上取一点C（不与点B重合），连接； ②以点A为圆心，长为半径作弧，以点B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点D（与点C位于直线异侧）； ③连接交于点O，连接． (1)根据以上作图过程及所作图形，写出已知和求证．（完成填空） 已知： ， ．求证：四边形是 ． (2)请你替嘉琪写出完整的证明过程． (3)在下列结论①；②；③中，一定正确的结论为 ．（填序号） 三角形中位线的性质与判定题型04 30．（23-24八年级下·河北沧州·期末）如图，为估计池塘两岸边A，B两点间的距离，在池塘的一侧选取点C，分别取、的中点D，E，测得，则A，B两点间的距离是（    ） A． B． C． D． 31．（23-24八年级下·河北邢台·期末）如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，E为的中点，，则的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 32．（23-24八年级下·河北张家口·期末）如图，在四边形中，E、F分别是，的中点，若，，则等于（    ） A． B． C． D． 33．（23-24八年级下·河北秦皇岛·期末）用两个图钉将－一个橡皮筋的两个端点，固定在桌面上，拉动橡皮筋构成，点、点分别为，的中点，拉动点至的过程中，的长度（    ）    A．增长 B．缩短 C．不变 D．先增长后缩短 34．（23-24八年级下·河北承德·期末）如图，平行四边形的对角线交于点．分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于，两点；作直线，交于点，连接．若，则（    ） A． B．2 C．3 D．3 35．（23-24八年级下·河北保定·期末）如图，中，平分，点E是BC的中点，，，，则的值为（    ）    A． B．2 C．1 D． 36．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）如图， 四边形 中，，，，点 M，N 分别为线段， 上的动点（含端点， 但点 M不与点B 重合）， 点 E， F 分别为， 的中点，则长度的最大值为（     ） A．3 B． C．4 D．2 37．（23-24八年级下·河北秦皇岛·期末）如图，是的中线，分别是的中点，连接若，则的长为 ． 38．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）如图所示，在中，点D、E分别为的中点，点在线段上，连接，点G、F分别为的中点． (1)求证：四边形为平行四边形 (2)若，求线段的长度． 39．（23-24八年级下·河北保定·期末）如图，在四边形中，对角线和相交于点O，，点M、P、N分别是边的中点，连接，交于点E，交于点F，Q是的中点，连接．    (1)求证：； (2)判断的形状，并说明理由． 40．（22-23八年级下·河北唐山·期末）数学课上大家一起研究三角形中位线性质定理：三角形两边中点的连线平行于第三边且等于第三边的一半． 已知，如图，在中，分别是的中点．求证：且．    【定理探究】某数学小组有甲、乙、丙、丁四位同学． 甲同学思考后说出了添加的辅助线： 甲：延长至点，使，连接． 【定理证明】请把甲同学说的辅助线补充到图上，并根据他的思路证明三角形中位线性质定理； 【合作交流】通过交流乙、丙、丁三位同学又给出了三种不同的辅助线方法乙：延长到点使，连接． 丙：作，延长使，延长，使． 丁：过点作，交于点，过点作的平行线交于点．   　  　　   则三位同学所作的辅助线能证明三角形中位线性质定理的是__________； A．乙、丁    B．丙、丁    C．乙、丙    D．全正确 【定理应用】如图，两地被池塘隔开，不能直接测量它们之间的距离．测量员在地面上选了点和点，使，连接．并分别找到和的中点，．若测得，则两地间的距离__________    与平行四边形有关的压轴问题题型05 41．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）如图，中．若动点P从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒，设出发的时间为t秒． （1）若为直角三角形，则t的取值是 ； （2）若为等腰三角形．则t的值是 ． 42．（22-23八年级下·河北保定·期末）如图，在平面直角坐标系中，，为轴上一动点，连接并延长至点，使，取轴负半轴上一点，使得，以，为边作． （）点的坐标为 ． （）设点坐标为，则点的坐标为 （用含的代数式表示），连接，则长度的取值范围为 ． 43．（21-22八年级下·河北石家庄·期末）问题：如图1，在▱ABCD中，AB＝8，AD＝5，∠DAB，∠ABC的平分线AE，BF分别与直线CD交于点E，F，则EF＝　 　． （1）把“问题”中的条件“AB＝8”去掉，其余条件不变； ①如图2，当点E与点F重合时，求AB的长； ②当点E与点C重合时，则EF＝　 　． （2）把“问题”中的条件“AB＝8，AD＝5”去掉，其余条件不变，当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，请画出图形并直接写出相应图形下的值． 44．（20-21八年级下·河北保定·期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝a，BC＝b，a＞b，点P是边AB上一点，连接CP，将△ACP沿CP翻折得到△QCP． （1）若PQ⊥AB，由折叠性质可得∠BPC＝　 　°； （2）若a＝8，b＝6，且PQ⊥AB，求C到AB的距离及BP的长； （3）连接BQ，若四边形BCPQ是平行四边形，直接写出a与b之间的关系式． 试卷第74页，共74页 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 平行四边形的性质与判定 题型概览 题型01平行四边形的判定 题型02利用平行四边形的性质求解 题型03平行四边形的性质与判定的综合 题型04三角形中位线的性质与判定 题型05与平行四边形有关的压轴问题 平行四边形的判定题型01 1．（23-24八年级下·河北石家庄·期中）依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．根据平行四边形的判定定理判断即可． 【详解】解：A．∵，， ∴一组对边平行，另一组对边不平行， ∴图中的四边形不可能是平行四边形，故A不符合题意； B．由图中数据只能得到一组对边平行，不能判断四边形是平行四边形，故B不符合题意； C．由图中数据可得两组对边分别相等，能判断四边形是平行四边形，故C符合题意； D．由图中数据只能得到一组对边相等，不能判断四边形是平行四边形，故D不符合题意． 故选：C． 2．（23-24九年级下·河北邯郸·期中）根据所标数据，下列不一定是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的判定．熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．根据平行四边形的判定方法逐一进行判断即可． 【详解】解：A、根据两组对边分别相等，可得到四边形为平行四边形，不符合题意； B、根据内错角相等，两直线平行，只得到一组对边平行，不能得到四边形为平行四边形，符合题意； C、根据对角线互相平分，可得到四边形为平行四边形，不符合题意； D、根据同旁内角互补，两直线平行，得到四边形的两组对边分别平行，可得到四边形为平行四边形，不符合题意； 故选：B． 3．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）综合实践课上，嘉嘉画出，利用尺规作图找一点，使得四边形为平行四边形．（1）～（3）是其作图过程．在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形为平行四边形的条件是（   ） A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线，平行四边形的判定，解题的关键是读懂图象， 根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可解答． 【详解】根据嘉嘉作图过程中的作法可知，， 根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可判定四边形是平行四边形． 故选：C． 4．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）如图，平行四边形中，要在对角线上找点E、F，使四边形为平行四边形，现有甲、乙、丙三种方案，则正确的方案的个数是（    ） 甲：只需要满足 乙：只需要满足 丙：只需要满足 A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟记相关定理内容是解题关键．证即可求证. 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴且 ∴ 若，则 ∴ ∴ 即： ∴ ∴四边形为平行四边形，故甲的方案正确； 当或，不能推出四边形为平行四边形，故乙、丙的方案错误； 故选：A 5．（22-23八年级下·河北邢台·期末）如图是嘉淇不完整的推理过程，为了使嘉淇的推理成立，需在四边形中添加条件，下列添加的条件正确的是（    ） ∵， ∴， 又∵（      ）， ∴四边形是平行四边形．    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：添加后可得，仅一组对边平行，无法证明四边形是平行四边形．故A选项不合题意； 添加后可得，，满足一组对边平行且相等，可证四边形是平行四边形．故B选项符合题意； 添加后，，四边形为等腰梯形，不是平行四边形．故C选项不合题意； 添加后，满足一组对边平行，另一组对边相等，不能证明四边形是平行四边形．故D选项不合题意； 故选B． 【点睛】本题考查添加一个条件构造平行四边形，解题的关键是掌握平行四边形的判定定理． 6．（23-24八年级下·河北衡水·阶段练习）如图是不完整的推理过程，为保证推理成立，需在四边形中添加条件．对于嘉嘉和淇淇添加的条件判断正确的是（    ） 嘉嘉：；淇淇： A．只有嘉嘉的正确 B．只有淇淇的正确 C．两人的都正确 D．两人的都不正确 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形以及两组对边分别平行的四边形是平行四边形，进行判断即可． 【详解】解：根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以添加； 根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可以添加； 故两人的都正确； 故选C． 7．（22-23八年级下·河北保定·期末）如图，的对角线、相交于点O， E、F是上的两点． (1)添加一个条件 ，使四边形是平行四边形； (2)在（1）添加的条件下，写出证明过程． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)见详解 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟记对角线互相平分的四边形为平行四边形是解题的关键． （1）添加一个条件使四边形是平行四边形即可． （2）由平行四边形的性质得，再由，即可得出结论． 【详解】（1）解：添加条件：．使四边形是平行四边形， 故答案为：（答案不唯一） （2）证明∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 利用平行四边形的性质求解题型02 8．（23-24八年级下·河北唐山·期末）在平行四边形中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形对角相等进行解答即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴（平行四边形对角相等）． 故选：C 9．（23-24八年级下·河北保定·期末）如图，将沿对角线折叠，使点B落在点处．若，则为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，图形的折叠问题，平行线的性质．根据平行四边形的性质，可得，从而得到，，，再由折叠的性质，可得，，从而得到，然后根据三角形外角的性质可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，，， 由折叠的性质得：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C 10．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）如图，在平行四边形中，E是边延长线上一点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形对角相等． 根据平行四边的性质得出，即可解答． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴， 故选：A． 11．（23-24八年级下·河北张家口·期末）如图，平行四边形中，，若，，则的长是（    ） A．4 B．5 C． D．6 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形内角和定理，含的直角三角形等知识．熟练掌握平行四边形的性质，三角形内角和定理，含的直角三角形是解题的关键． 由平行四边形，可得，由，可得，进而可得，根据，求解作答即可． 【详解】解：∵平行四边形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：D． 12．（23-24八年级下·河北秦皇岛·期末）如图，平行四边形的周长为，平分交于点E，则线段的长为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，等角对等边，先由平行四边形的性质结合平行线的性质得到，，再由角平分线的定义推出，则，结合图形即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，周长为， ∴，， ∴， ∵平分交边于点E， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 13．（23-24八年级下·河北秦皇岛·期末）如图，在中，于点B，于点F．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了四边形的内角和定理，平行四边形的性质； 先根据四边形的内角和定理求出，再根据平行四边形的性质计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴在中，， 故选：C． 14．（23-24八年级下·河北张家口·期末）如图，平行四边形的对角线、相交于点O，过点O与、分别相交于E、F．若，，，那么四边形的周长为（    ） A．16 B．14 C．12 D．10 【答案】C 【分析】此题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定， 根据平行四边形的对边相等得，，再根据平行四边形的性质和对顶角相等可以证明．根据全等三角形的性质得，，，故四边形的周长为． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， 故四边形的周长为． 故选：C． 15．（23-24八年级下·河北保定·期末）如图，平移图形，与图形可以拼成一个平行四边形，则图中 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，四边形的内角和，如图，把拼在一起，得到平行四边形，则，由平行四边形的性质得，进而四边形的内角和为得到，据此解答即可求解，掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，把拼在一起，得到平行四边形，则， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵四边形的内角和为， ∴， ∴， 故答案为：． 16．（23-24八年级下·河北保定·期末）如图1是我们生活中的一种遮阳伞，如图2是它的骨架示意图，点在伞柄上下滑动时，骨架可以伸缩，关闭遮阳伞后三点重合（即），点B与点重合，四边形和四边形都是平行四边形，．    （1） ； （2）若，则 ． 【答案】 3 【分析】本题考查了平行四边形的性质的应用，等腰三角形的三线合一定理的应用是解题关键． 根据平行四边形的性质得出，则，即可解答；根据平行四边的性质得出，则，连接，过点G作于点P，易得，根据平行四边形的性质得出，则，进而得出，则，，根据勾股定理可得：，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 连接，过点G作于点P， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵四边形和四边形都是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， 根据勾股定理可得：， ∴． 故答案为：3，．    17．（23-24八年级下·河北承德·期末）如图，在四边形中，，，，．点从点出发，以的速度向点运动；同时点从点出发以的速度向点运动．规定运动时间为秒，当其中一点到达终点时另一点也同时停止运动． (1) ____，____（分别用含有的式子表示）； (2)四边形可能是平行四边形吗？说明理由． (3)当四边形的面积是四边形面积的2倍时，求出的值． (4)当点与四边形的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形时，直接写出的值． 【答案】(1)，． (2)四边形不可能是平行四边形，理由见解析 (3)； (4)或3或5 【分析】本题考查了列代数式、一元一次方程的应用、平行四边形的判定和性质，利用分类讨论思想是解决问题的关键． （1）根据路程等于速度乘以时间，即可求解； （2）根据平行四边形的性质进行判断即可； （3）设点到距离为，根据四边形的面积是四边形面积的2倍，可列方程，解方程即可得到答案； （4）分四种情况讨论，根据平行四边形对边相等，列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵点以的速度由向运动，点以的速度由向运动， ∴，， ∴， 故答案为：，． （2）四边形不可能是平行四边形， 由题意可得，，若四边形是平行四边形，则， 但是， ∴四边形不可能是平行四边形 （3）解：设点到的距离为， ∵四边形的面积是四边形面积的2倍， ∴可得：， 解得：； （4）解：若四边形是平行四边形， ∴， ∴可得：， 解得：， 若四边形是平行四边形， ∴， ∴可得：， 解得：， 若四边形是平行四边形， ∴， ∴可得：， 解得：（不合题意，舍去）， 若四边形是平行四边形， ∴， ∴可得：， 解得：， 综上可得：当或3或5时，点、与四边形的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形． 18．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，分别过点，作，，垂足分别为，．平分． (1)若，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识； （1）利用三角形内角和定理求出，利用角平分线的定义求出，再利用平行线的性质解决问题即可． （2）证明可得结论． 【详解】（1）解：， ， ， ， 平分， ， 四边形是平行四边形， ， ， （2）证明：四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， ． 19．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）如图，点是平行四边形对角线上一点，点在延长线上，且，与交于点． (1)求证：； (2)若垂直平分，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线定理、勾股定理、含角的直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质和三角形中位线定理是解题的关键． （1）连接，交于点，证出是的中位线，得，即； （2）求出，，则，，得，，再求出的长，然后由勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：连接，交于点，如图所示： 四边形是平行四边形， ， ， 是的中位线， ， 即； （2）解：，， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 垂直平分， ，，， ， ，， ，， ，， ， ， ． 20．（22-23八年级下·河北唐山·期末）如图，在中，对角线和交于点O，点E、F分别为的中点，连接． (1)求证： (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由平行四边形的性质可得、、，进而得到，再说明，然后根据即可证明结论； （2）先说明，再运用勾股定理可得，进而得到，然后再根据勾股定理可得，最后根据即可解答． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，对角线交于点， ∴，，， ∴， 点E、F分别为的中点， ∴，， ∴ 在和中， ， ∴． （2）解：∵， ∴ ∵，， ∴， ∴ ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定、勾股定理等知识点，灵活运用相关性质是解答本题的关键． 平行四边形的性质与判定的综合题型03 21．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）如图，是的边上的点，是中点，连接并延长交于点，连接与相交于点，若，则阴影部分的面积为 ． 【答案】17 【分析】本题考查平行四边形，三角形的知识，解题的关键是掌握平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，连接，根据平行四边形的性质，则，，根据点是的中点，则，根据全等三角形的判定和性质，则，，再根据平行四边形的判定和性质，则四边形是平行四边形，得到，再根据平行四边形的判定和性质，则四边形是平行四边形，，根据阴影部分的面积为：，即可． 【详解】解：连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴阴影部分的面积为：． 故答案为：． 22．（23-24七年级下·河北张家口·期末）如图所示，四边形中，，，A、C两点的坐标分别为、，A、B两点间的距离等于O、C两点间的距离． (1)点的坐标为________； (2)将这个四边形向下平移个单位长度后得到四边形，请你写出平移后四边形四个顶点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了坐标与图形变化—平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． （1）先由点的坐标得出，根据可知点向左平移个单位得到点的坐标，再利用向左平移，横坐标相减，纵坐标不变，即可得出点的坐标． （2）根据向下平移，横坐标不变，纵坐标相减即可求出各点的坐标． 【详解】（1）解：点的坐标为， ， ，， 四边形是平行四边形， 将点向左平移个单位得到点的坐标， 点的坐标为， 点的坐标为， 即， 故答案为：． （2）将四边形向下平移个单位长度后得到四边形， 四边形各顶点的横坐标分别是四边形顶点的横坐标，纵坐标分别是四边形各定点的纵坐标减去， ， ， 即． 23．（23-24八年级下·河北廊坊·期末）如图，在中，G，H分别是的三等分点，交于点E，交于点F． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，含30度角直角三角形的性质等． （1）根据三等分点可得，依据平行线的性质可得，，即可证明全等； （2）证明四边形为平行四边形，得到，过点E作于点M，根据含30度角直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵G，H分别是的三等分点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，，且， ∴， ∴， ∴， ∴ （2）由（1）知，且， 四边形为平行四边形， ， ， 过点E作于点M， ， ， ， ， 又G，H分别是的三等分点， 24．（22-23八年级下·河北邢台·期末）如图，在中，分别为的中点，延长至点，使，连接交于点．    (1)求证：四边形为平行四边形． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由三角形中位线定理推知，结合可得，，利用一组对边平行且相等得到四边形为平行四边形； （2）根据平行四边形的性质定理推知，进而得出，利用勾股定理计算出，所以． 【详解】（1）证明：分别为的中点， ． ， ． ， 四边形为平行四边形． （2）四边形为平行四边形， ． ， ． 在中，， ， ． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，勾股定理的应用等，熟练掌握性质定理是解题的关键． 25．（23-24八年级下·河北邢台·期末）如图，在中，，是上的点，连接，，，，且． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． （1）先根据平行四边形的性质得到，然后根据．得到，即可证明结论； （2）根据，得出，结合，证明，得出，在中，根据勾股定理求出，在中，根据勾股定理求出，即可求解； 【详解】（1）证明：如图，连结，交于点O． ∵是平行四边形， ∴， 又∵， ， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∵是平行四边形， ∴． 26．（23-24八年级下·河北衡水·期末）如图，点，是平行四边形对角线上的两点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，． ①线段长为 ． ②四边形的面积为 ． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】（1）连接交于．根据平行四边形的性质得，，再根据，得，根据平行四边形的判定即可的证； （2）①在中，由勾股定理得，进而得，从而即可得解；②过点作于，根据面积公式得，再证明（），得，从而利用面积公式即可得解． 【详解】（1）证明：连接交于． ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：①在中，， ∵， ∵， ∴， 故答案为：； ②过点作于， ∵，，，， ∴， ∴， 解得， ∵四边形是平行四边形， ∴，， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定及性质，勾股定理，全等三角形的判定及性质，熟练掌握勾股定理，全等三角形的判定及性质是解题的关键． 27．（23-24八年级下·河北沧州·期末）如图，点A，C是平行四边形对角线所在直线上两点，且．    (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，. ①线段的长为______； ②求平行四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)①16；② 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理的应用． （1）连接交于，然后根据平行四边形的判定和性质可以得到解答； （2）①由题意可得三角形是直角三角形，由勾股定理求出的值后可以得到的长度； ②过点B作于H，利用等积法求得的长，然后根据平行四边形的面积公式可以得到解答． 【详解】（1）证明：如图，连接交于，     四边形是平行四边形， ，， ， ， ，， 四边形是平行四边形； （2）解：①∵，，， ∴， ∴ ∴ 故答案为：； ②如图，过点B作于H，    ∵，，，， ∴， ∴， 解得， ∵四边形是平行四边形，， ∴． 故答案为：． 28．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，M，N分别为射线，上的两个动点（点M，N始终在平行四边形的外面），连接，，，． (1)若，，求证：四边形为平行四边形； (2)若，， ①四边形为平行四边形吗？请说明理由； ②当时，，直接写出四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)①四边形为平行四边形，理由见解析 ②16 【分析】本题是平行四边形综合题，考查了平行四边形的判定和性质，三角形的面积，全等三角形的判定和性质等知识，掌握平行四边形的对角线互相平分是解题的关键． （1）由平行四边形的性质可知、，再证，即可得出结论；（2）①证，再根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”即可得出结论； ②当时，，，进而可得，根据等底等高的三角形面积相等可得，即，再由平行四边形性质可得，，证得，即，即可求得答案． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，． ，， ， ，即， 四边形为平行四边形． （2）解：①若，，四边形为平行四边形， 理由如下： ，，． ， ， 即， ， 四边形为平行四边形； ②当时，，， ， ， ∴， ∴， 四边形为平行四边形， ，， ， ∴， ∴， ． 29．（23-24八年级下·河北保定·期末）在探索命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”时，嘉琪按照以下步骤用尺规作出了如图所示的四边形．步骤如下： 已知直线l及线段，点B在直线l上，点A在直线l外．如图， ①在直线l上取一点C（不与点B重合），连接； ②以点A为圆心，长为半径作弧，以点B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点D（与点C位于直线异侧）； ③连接交于点O，连接． (1)根据以上作图过程及所作图形，写出已知和求证．（完成填空） 已知： ， ．求证：四边形是 ． (2)请你替嘉琪写出完整的证明过程． (3)在下列结论①；②；③中，一定正确的结论为 ．（填序号） 【答案】(1)；；平行四边形 (2)见解析 (3)①② 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，尺规作图： （1）由作法可得：，，即可解答； （2）证明，可得，从而得到，即可； （3）根据平行四边形的性质即可解答． 【详解】（1）解：已知：，．求证：四边形是平行四边形． 故答案为：；；平行四边形 （2）证明：在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． （3）解：∵四边形是平行四边形， ∴；，故①②正确； 但无法确定的大小关系， ∴无法确定和的大小关系，故③错误； 故答案为：①② 三角形中位线的性质与判定题型04 30．（23-24八年级下·河北沧州·期末）如图，为估计池塘两岸边A，B两点间的距离，在池塘的一侧选取点C，分别取、的中点D，E，测得，则A，B两点间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的中位线定理应用，根据D，E是的中点，即是的中位线，根据三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，即可求解． 【详解】解：∵D，E是的中点，即是的中位线， ∴ ∵， ∴． 故选：D． 31．（23-24八年级下·河北邢台·期末）如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，E为的中点，，则的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查平行四边形，三角形中位线的知识，根据四边形是平行四边形，得到；再根据点E是的中点，得出是的中位线，即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵点E是的中点， ∴是的中位线， ∴根据三角形的中位线定理可得：， 则． 故选：B． 32．（23-24八年级下·河北张家口·期末）如图，在四边形中，E、F分别是，的中点，若，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，证明出是的中位线，得到，然后证明出是等腰直角三角形，进而求解即可． 此题考查了三角形中位线的性质和判定， 勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【详解】连接， ∵E、F分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴． 故选：B． 33．（23-24八年级下·河北秦皇岛·期末）用两个图钉将－一个橡皮筋的两个端点，固定在桌面上，拉动橡皮筋构成，点、点分别为，的中点，拉动点至的过程中，的长度（    ）    A．增长 B．缩短 C．不变 D．先增长后缩短 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，掌握三角形的中位线定理是解题的关键．根据题意可得是的中位线，得到，即可求解． 【详解】解：点、点分别为，的中点，， 是的中位线， ， 拉动点至的过程中，的长度不变， 故选：C． 34．（23-24八年级下·河北承德·期末）如图，平行四边形的对角线交于点．分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于，两点；作直线，交于点，连接．若，则（    ） A． B．2 C．3 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了垂直平分线的作图 ，平行四边形的性质，中位线性质，利用基本作图可判断垂直平分，则，再根据平行四边形的性质得到，然后根据三角形中位线性质求解． 【详解】解：由作法得垂直平分， ， 四边形为平行四边形， ， 为的中位线， ， 故选：A． 35．（23-24八年级下·河北保定·期末）如图，中，平分，点E是BC的中点，，，，则的值为（    ）    A． B．2 C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，中位线定理，合理作出辅助线是解题的关键． 延长交于点，利用全等三角形的判定方法证出，即可得到，，从而得到，点为中点，再根据中位线求解即可． 【详解】解：延长交于点，如图所示：    ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴在和中： ， ∴， ∴，， ∴，点为中点， ∵点E是的中点， ∴为的中位线， ∴， 故选：B． 36．（23-24八年级下·河北邯郸·期末）如图， 四边形 中，，，，点 M，N 分别为线段， 上的动点（含端点， 但点 M不与点B 重合）， 点 E， F 分别为， 的中点，则长度的最大值为（     ） A．3 B． C．4 D．2 【答案】A 【分析】本题考查三角形中位线定理、勾股定理，连接，根据三角形中位线定理可得，再根据当点N与点B重合时，的值最大，即的值最大，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接， ∵点 E， F 分别为， 的中点， ∴是的中位线， ∴， 当点N与点B重合时，的值最大，即的值最大， ∵，，， ∴， ∴， 故选：A． 37．（23-24八年级下·河北秦皇岛·期末）如图，是的中线，分别是的中点，连接若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，根据三角形的中线的概念求出，即可求解． 【详解】解：∵，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵是的中线， ∴， 故答案为：． 38．（23-24八年级下·河北石家庄·期末）如图所示，在中，点D、E分别为的中点，点在线段上，连接，点G、F分别为的中点． (1)求证：四边形为平行四边形 (2)若，求线段的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理， 三角形中位线定理： （1）由三角形中位线定理得到，，得到，即可证明四边形为平行四边形； （2）由四边形为平行四边形得到，由得到，由勾股定理即可得到线段的长度． 【详解】（1）证明：∵点D、E分别为的中点， ∴， ∵点G、F分别为、的中点． ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形； （2）解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴． 39．（23-24八年级下·河北保定·期末）如图，在四边形中，对角线和相交于点O，，点M、P、N分别是边的中点，连接，交于点E，交于点F，Q是的中点，连接．    (1)求证：； (2)判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是等腰三角形．理由见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形中位线定理： （1）根据三角形中位线定理得到，则由三线合一定理可得； （2）根据三角形中位线定理得到，，则，．再由，得到，则．即可得到，即是等腰三角形． 【详解】（1）证明：连接． ∵点M，P分别是边的中点， ∴为的中位线， ∴． 同理可知． 又∵， ∴． ∵Q是的中点， ∴．    （2）解：是等腰三角形．理由如下： ∵点M，P分别是边的中点， ∴为的中位线， ∴， 同理可得， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∴，即是等腰三角形． 40．（22-23八年级下·河北唐山·期末）数学课上大家一起研究三角形中位线性质定理：三角形两边中点的连线平行于第三边且等于第三边的一半． 已知，如图，在中，分别是的中点．求证：且．    【定理探究】某数学小组有甲、乙、丙、丁四位同学． 甲同学思考后说出了添加的辅助线： 甲：延长至点，使，连接． 【定理证明】请把甲同学说的辅助线补充到图上，并根据他的思路证明三角形中位线性质定理； 【合作交流】通过交流乙、丙、丁三位同学又给出了三种不同的辅助线方法乙：延长到点使，连接． 丙：作，延长使，延长，使． 丁：过点作，交于点，过点作的平行线交于点．   　  　　   则三位同学所作的辅助线能证明三角形中位线性质定理的是__________； A．乙、丁    B．丙、丁    C．乙、丙    D．全正确 【定理应用】如图，两地被池塘隔开，不能直接测量它们之间的距离．测量员在地面上选了点和点，使，连接．并分别找到和的中点，．若测得，则两地间的距离__________    【答案】定理证明：见解析；合作交流：D；定理应用： 【分析】对于定理证明，先证明≌，再说明四边形是平行四边形，即可得出答案； 对于合作交流，分别根据不同辅助线的作法，仿照定理证明说明，再判断答案即可； 对于定理应用，先连接，并延长，交的延长线于点E，再证明≌，可知是的中位线，即可得出答案． 【详解】解：定理证明： 如图，    在和中， ∴≌， ∴，， ∴， 即． 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，且， ∴，且． 合作交流：D． 乙同学的作法证明：∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∴，， 即． ∵点D是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 即． 丙同学的作法证明： ∵，， ∴． ∵，，， ∴≌， ∴，． 同理：≌， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 即，； 丁同学的作法证明： ∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∴，． ∵，， ∴≌， ∴，， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， 即． 所以全正确． 故选：D； 定理应用：． 连接，并延长，交的延长线于点E． ∵， ∴． ∵，， ∴≌， ∴，， ∴是的中位线， ∴， 即， 解得． 故答案为：．    【点睛】本题主要考查了三角形中位线性质的证明及应用，全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定等，灵活选择定理是解题的关键． 与平行四边形有关的压轴问题题型05 41．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）如图，中．若动点P从点C开始，按的路径运动，且速度为每秒，设出发的时间为t秒． （1）若为直角三角形，则t的取值是 ； （2）若为等腰三角形．则t的值是 ． 【答案】 或 3或5.4或6或 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、勾股定理、三角形面积的计算等知识的综合应用，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，进行分类讨论是解决问题的关键；解题时注意，需要作辅助线构造直角三角形； （1）求出的长，当点在线段上，或时，满足条件； （2）分四种情形：如图2，当时，为等腰三角形，如图3，当时，为等腰三角形，如图4，若点在上，，如图5，当时，分别求解即可； 【详解】（1）∵， ∴，动点从点开始，按的路径运动，速度为每秒， ∴当点在线段上时，． ∵，动点从点开始，按的路径运动，且速度为每秒， ∴在上运动时，为直角三角形， ∴， 当在上时，时，为直角三角形(如图1中)， 解得：， ∵速度为每秒， 综上所述：当或为直角三角形； 故答案为：或； （2）如图2，当时，为等腰三角形， 若点在上，则． 如图3，当时，为等腰三角形， 如图4，若点在上，，作于， 则根据面积法求得， 在中，由勾股定理得，， 此时． 如图5，当时，为等腰三角形，作于，则， ∴为的中位线， ∴， ∴． 综上所述，为3或5.4或6或时，为等腰三角形； 故答案为：3或5.4或6或． 42．（22-23八年级下·河北保定·期末）如图，在平面直角坐标系中，，为轴上一动点，连接并延长至点，使，取轴负半轴上一点，使得，以，为边作． （）点的坐标为 ． （）设点坐标为，则点的坐标为 （用含的代数式表示），连接，则长度的取值范围为 ． 【答案】 【分析】（）由点的坐标得到的长，再根据即可求解； （）过点作轴的平行线交轴于点，过点作轴的平行线交于点，易证明，得到，，即可求得点的坐标；由四边形为平行四边形可证明到，得到，，根据点始终在平行于轴的直线上运动，并且这条直线与轴的距离为，即可得到的取值范围； 本题考查了坐标与图形，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，判断出点始终在平行于轴的直线上运动是解题的关键． 【详解】（）∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为； （）如图，过点作轴的平行线交轴于点，过点作轴的平行线交于点， 则， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：； ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴, ∴， ∴， ∵，轴， ∴点始终在平行于轴的直线上运动，并且这条直线与轴的距离为， ∴点到这条直线的距离为， ∴长度的取值范围为， 故答案为：． 43．（21-22八年级下·河北石家庄·期末）问题：如图1，在▱ABCD中，AB＝8，AD＝5，∠DAB，∠ABC的平分线AE，BF分别与直线CD交于点E，F，则EF＝　 　． （1）把“问题”中的条件“AB＝8”去掉，其余条件不变； ①如图2，当点E与点F重合时，求AB的长； ②当点E与点C重合时，则EF＝　 　． （2）把“问题”中的条件“AB＝8，AD＝5”去掉，其余条件不变，当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，请画出图形并直接写出相应图形下的值． 【答案】问题：2；（1）①AB=10；②5；（2）的值为或或2． 【分析】问题：由平行四边形的性质得CD=AB=8，BC=AD=5，ABCD，再证∠DEA=∠DAE，得DE=AD=5，同理BC=CF=5，即可解决问题； 探究：（1）①证∠DEA=∠DAE，得DE=AD=5，同理BC=CF=5，即可求解；②由题意得DE=AD=5，再由CF=BC=5，即可求解； （2）分三种情况，由（1）的结果结合点C，D，E，F相邻两点间的距离相等，分别求解即可． 【详解】问题： 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD=AB=8，BC=AD=5，ABCD， ∴∠DEA=∠BAE， ∵AE平分∠DAB， ∴∠DAE=∠BAE， ∴∠DEA=∠DAE， ∴DE=AD=5， 同理：BC=CF=5， ∵DE+CF=DE+CE+EF=CD+EF， ∴EF=DE+CF-CD=5+5-8=2， 故答案为：2； 探究： 解：（1）①∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD=AB，BC=AD=5，ABCD， ∴∠DEA=∠BAE， ∵AE平分∠DAB， ∴∠DAE=∠BAE， ∴∠DEA=∠DAE， ∴DE=AD=5， 同理：BC=CF=5， ∵点E与点F重合， ∴AB=CD=DE+CF=10； ②如图3所示： ∵点E与点C重合， ∴DE=AD=5， ∵CF=BC=5， ∴点F与点D重合， ∴EF=DC=5， 故答案为：5； （2）分三种情况： ①如图4所示： 同（1）得：AD=DE， ∵点C，D，E，F相邻两点间的距离相等， ∴AD=DE=EF=CF， ∴； ②如图5所示： 同（1）得：AD=DE=CF， ∵DF=FE=CE， ∴； ③如图6所示： 同（1）得：AD=DE=CF， ∵DF=DC=CE， ∴； 综上所述，的值为或或2． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定、平行线的性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的判定是解题的关键． 44．（20-21八年级下·河北保定·期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝a，BC＝b，a＞b，点P是边AB上一点，连接CP，将△ACP沿CP翻折得到△QCP． （1）若PQ⊥AB，由折叠性质可得∠BPC＝　 　°； （2）若a＝8，b＝6，且PQ⊥AB，求C到AB的距离及BP的长； （3）连接BQ，若四边形BCPQ是平行四边形，直接写出a与b之间的关系式． 【答案】（1）45°；（2）CH=;（3）a=． 【分析】（1）先由翻折的性质可得，再由题意可得=90°，进而得到∠APC=135°，最后根据邻补角的性质即可解答； （2）如图，作CH⊥AB于H，先说明CH=PH，再求出AB，最后根据等面积法列方程解答即可； （3）如图:连接BQ，由翻折的性质可得：PA=PQ、∠QPC=∠APC，再利用平行四边形的性质得到∠QPC+∠PCB=180°进而得到∠PCB=∠BPC，即PB=BC=AP=b、AB=2b，最后运用勾股定理即可解答． 【详解】（1）证明：由翻折的性质可得 ∵PQ⊥AB ∴=90° ∵180°， ∴ ∴∠APC=135° ∴∠BPC=180°-∠APC=45°； （2）如图，作CH⊥AB于H 由翻折的性质可知：∠APC=∠QPC ∵CH⊥AB，∠BPC=45° ∴CH=PH 在Rt△ABC中， ∵，即 ∴CH=； （3）如图:连接BQ 由翻折的性质可得：PA=PQ，∠QPC=∠APC ∵四边形BCPQ是平行四边形 ∴PQ=BC=PA=b，PQ//BC， ∴∠QPC+∠PCB=180° ∵∠BPC+∠APC=180° ∴∠PCB=∠BPC ∴PB=BC=b ∴AP=PB=b，AB=2b， 在Rt△ABC中，则有（2b）2=a2+b2 ∴a2=3b2 ∵a>0.b>0， ∴a=． 【点睛】本题主要考查了翻折变换、勾股定理、平行四边形的性质等知识，解正确辅助线、构造直角三角形成为解答本题的关键． 试卷第74页，共74页 1 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$