1.4 线段垂直平分线与角平分线（2）角平分线的性质课件2025-2026学年苏科版八年级数学上册

执教： 张二平 苏科版八年级数学上册 1.4 线段垂直平分线与角平分线（2） ----角平分线的性质 学习目标 1、经历角的折叠过程，探索角的轴对称性，并发现 角平分线的性质定理及其逆定理。 2、会运用角平分线性质定理与角平分线性质定理的逆定理 解决生活中的相关问题。 3、在"操作---探究----归纳----证明"的过程中发展合情推理 和演绎推理的能力。 学习重点：角平分线的性质定理与角平分线性质定理的逆定理。 学习难点：角平分线的性质定理与角平分线性质定理的逆定理 的运用。 一、复习引入： 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的角平分线。 回忆一下角平分线的定义: 你知道： 角平分线有哪些性质呢？ 二、探索新知： 在△DOP和△COP中， 由∠PDO=∠PC0=90°， ∠DOP=∠COP，OP=OP， 通过“       ”， 可以证明△DOP≌△COP， 所以PC=PD。 如图，在∠AOB的平分线上任意取一点P， 分别画点P到OA和OB的垂线段PC和PD， 垂足分别为CD.PC与PD一定相等吗? 如何证明? AAS A O D E P C B 符号语言： ∴ ∵ OP是∠AOB的平分线 角平分线上的点到角两边的距离相等。 角平分线性质定理： 讨论： 如果一个点到一个角的两边的距离相等， 那么这个点在这个角的平分线上吗?如何证明? 如图，点Q在∠AOB内，QC⊥OA，QD⊥OB，垂足分别为C，D，且QC=QD. 在△OCQ 和△ODQ ，∠QC0=∠QD0=90°， 0Q=0Q，QC=QD，通过“    ”，可以证明 Rt△OCQ≌Rt△ODQ, 所以∠AOQ=∠BOQ， 所以点Q在∠AOB 的平分线上. 画射线0Q， 试一试： 1、到三角形三边距离相等的点是  （　　 ） A、三边上高线的交点　　 B、三边上中线的交点 C、三边的垂直平分线的交点　　　 D、三个内角平分线的交点 2、如图,直线AB,CD相交于点O,点M在OD上,在∠AOD的内部 有一点N,现要在∠AOD的内部找一个点P,使点P到AB,CD的 距离相等,且使PM=PN,用尺规作出点P的位置. (不写作法,保留作图痕迹) D 解:如图所示,点P即为所求. 这一点一定在∠AOD的平分线上, 还在点M,N连线的垂直平分线上. 例题精讲： 例1、已知：如图，△ABC的角平分线AD、BE 相交于点P，求证：点P在∠C的平分线上。 ∵AD平分∠BAC，点P在AD上 ∴PE=PN. 同理 PM=PN. ∴点P在ㄥC 的平分线上。 证明:过点P作PF⊥AB,PM⊥BC, PN⊥AC，垂足分别为F、M、N， 三、独立训练： 1、利用网格画图: 如图1， ①在BC上找一点P，使点P到AB和AC的距离相等； ②在射线AP上找一点Q，使QB=QC. 2、如图,AB∥CD,∠BAC,∠ACD的平分线相交于点P,过点P作PE⊥AB于点E,交CD于点F,EF=10,则点P到AC的距离为 。　　 Q P 3、如图，射线OC在∠AOB的内部，点D、E在射线OC上，DM⊥OA，DN⊥OB， EP⊥OA，EQ⊥OB，垂足分别为M、N、P、Q，且EP＝EQ.求证：DM＝DN。 10 4、如图所示,在△ABC中,BD=CD,∠ABD=∠ACD. 求证:AD平分∠BAC. 四、拓展延伸 画∠AOB＝90°，并画∠AOB的平分线OC. （1）把三角尺的直角顶点落在OC的任意一点P上， 使三角尺的两条直角边分别与OA、OB相交于点E、F （如图①），度量PE、PF的长度，则PE    PF； （2）把三角尺绕点P旋转（如图②），求证：PE＝PF。 五、总结反思： 角平分线 性质定理 角平分线上的点到角两边的距离相等 性质定理的逆定理 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。 角平分线是到角两边距离相等的点的集合. 应用 揭示了图形特殊的位置关系与特殊的数量关系有着内在的联系. 六、随堂检测 1、如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°， ∠ABC的平分线BD 交AC于点D，AD＝3，BC＝10， 则△BDC的面积是       。 2、已知：如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F， 且BC＝DC，求证：AD+AB＝2AE。 3、已知：如图，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F. 求证：BE＝CF. $$