1.4 线段垂直平分线与角平分线（1）线段垂直平分线的性质 课件 2025-2026学年苏科版八年级数学上册

执教： 张二平 苏科版八年级数学上册 1.4 线段垂直平分线与角平分线（1） ---线段垂直平分线的性质 学习目标 1、经历探索线段的轴对称性的过程，进一步体验轴对称 的性质，发展空间观念； 2、探索并证明线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理； 3、在"操作---探究----归纳----证明"的过程中发展合情推理 和演绎推理的能力。 学习重点：线段垂直平分线性质定理及其逆定理的探索和运用。 学习难点：线段垂直平分线性质定理及其逆定理的探索和运用。 一、情境创设： 如图，MN是AB垂直平分线，点C在MN上， 连接AC，BC，那么AC与BC之间有何数量关系？ 你认为线段垂直平分线 有哪些性质？ AC=BC 下面我们用全等三角形知识来研究它的性质。 二、探索新知： 如图，线段AB的垂直平分线与AB相交于点O， 在上任意取一点P，连接PA，PB. 线段PA与PB一定相等吗?如何证明? 因为OP是线段AB的垂直平分线， 所以AO=     ，∠POA=∠POB=90°.通过“     ”， 可证△POA≌△POB，所以PA=     。 BO SAS PB 线段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． ∵点P在线段AB的垂直平分线上 ∴PA=PB 符号语言： 或（PO⊥AB，AO=BO) 讨论： 如果一个点到一条线段两端的距离相等， 那么这个点一定在这条线段的垂直平分线上吗? 如何证明? ①若点Q在线段AB上，且QA=QB，结论成立吗？ ②若点Q在线段AB外，且QA=QB，结论成立吗？ A B Q A B Q M 如图，当点Q在线段AB上时，如果QA=QB，那么Q是线段AB的     ，所以线段AB的垂直平分线一定经过点Q. 中点 如图，当点Q在线段AB外时，作QM⊥AB，垂足为M，∠QMA=∠QMB=90°， 如果QA=QB,那么通过“     ”， 可以证明 Rt△QAM≌Rt△QBM, 所以AM=BM，即M是线段AB的中点，所以QM是线段AB的垂直平分线， 即点Q一定在线段AB的垂直平分线上. HL 平哥 (平) - 到线段两端距离相等的点 在线段的垂直平分线上。 线段垂直平分线性质定理的逆定理： ∵ PA=PB.   ∴ 点P为线段垂直平分线上。 线段垂直平分线性质定理及逆定理可以不要经过 证明三角形全等，直接得到相等的线段或线段间特殊的位置。 符号语言： 思考：如图,AB=AD,CB=CD，AC，BD相交于点E， 你能在图中找到哪些相等的角?如何证明? ∠BAC=∠DAC 图中相等的角有： ∠ACB=∠ACD ∠ABE=∠ADE ∠CBE=∠CDE ∠ABC=∠ADC ∠AEB=∠AED=∠BEC=∠DEC=90° 我们把两组邻边分别相等的四边形 叫作“筝形”. 试一试： 1、利用网格线在图中找一点O，使OA＝OB＝OC. 2、如图，一辆汽车在直线形的公路上由A到B行驶，M、N是位于公路AB两侧的村庄，在公路上， 是否存在这样一点P，使汽车行驶到该点时，与村庄M、N的距离相等，请在图中画出这一点。 O P 9 例题精讲： 例1、已知：如图，在△ABC中，AB、AC的 垂直平分线l1、l2相交于点O. 求证：点O在BC的垂直平分线上 证明：连接OA、OB、OC. ∵点O在AB的垂直平分线l1上, ∴OA=OB (线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等). 同理OA=OC. ∴OB=OC. ∴点O在BC的垂直平分线上 (到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上). 三、独立训练： 1、如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线交BC 于D，连接AD，已知BC＝6，AC＝4， 则△ADC的周长为         . 2、如图，若AC是BD的垂直平分线， AB＝7cm，BC＝3cm， 则四边形ABCD周长为          . 3、已知：如图4，AB＝AC，DB＝DC，点E在AD上，求证：EB＝EC.（不用三角形全等的知识来证明） 4、如图,OM垂直平分AB,ON垂直平分AC, BC与OM,ON分别交于点D,E,连接AD,AE. 若BC=10,求△ADE的周长 四、拓展延伸 在△ABC中,BC=10,AB与AC的垂直平分线分别交 BC于点 D,E,且DE=4,求△ADE的周长。 解：∵AB、AC的垂直平分线分别 交BC于点D、E， ∴AD=BD，AE=CE， ∴AD+AE=BD+CE， ∵BC=10，DE=4， ∴如图1， AD+AE=BD+CE=BC-DE=10-4=6， 如图2，AD+AE=BD+CE=BC+DE=10+4=14， 综上所述，AD+AE=6或14． 故答案为：6或14． 五、总结反思： 线段垂直平分线 性质定理 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 性质定理的逆定理 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。 应用 两组邻边分别相等的 四边形叫作“筝形”. 六、随堂检测 2、在△ABC中,AB=AC,OB=OC,点A到BC的距离是6, 点O到BC的距离是4,则AO的长为     。 1.三角形纸片上有一点P,量得PA=3cm,PB=3cm, 则点P一定 (　　) A.是边AB的中点 B.在边AB的中线上 C.在边AB的高上 D.在边AB的垂直平分线上 ∵OB=OC，∴点O在BC的垂直平分线上， 而AB=AC，∴点A在BC的垂直平分线上， 当点O在△ABC的内部时，AO=6cm-4cm=2cm； 当点O在△ABC的外部时，AO=6cm+4cm=10cm． 故答案为2cm或10． D $$