精品解析：2025年浙江省舟山市定海区金衢山五校联考中考三模数学试题

2025年舟山市金衢山五校联考初中毕业生学业水平考试 第三次模拟数学试题卷 考生须知： 1．全卷满分120分，考试时间120分钟．试题卷共5页，有三大题，共24小题． 2．全卷答案必须做在答题纸的相应位置上，做在试题卷上无效． 温馨提示：请仔细审题，答题前仔细阅读答题纸上“注意事项”． 卷I（选择题） 一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分） 1. 在下列四个实数中，是无理数的是（ ） A. B. 0 C. D. 2. 如图所示的几何体是由个相同的小立方块搭成的，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 年政府工作报告提到：年，高技术制造业、装备制造业增加值分别增长、，新能源汽车年产量突破万辆．其中数据“万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算中，正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 关于x的一元二次方程x2－mx－1=0的根的情况是（） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 6. 如图，是外接圆，是的直径，连接，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 已知点，和都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 为贯彻落实全国教育大会以及《教育强国建设规划纲要（2024-2035年）》精神，切实保障学生每天综合体育活动时间不低于2小时，学校鼓励学生积极参加体育锻炼．已知某天五位同学体育锻炼的时间分别为（单位：小时）：1.7，2.2，2.1，2.7，2.2，则这组数据的中位数和众数分别是 A. 2.2，2.2 B. 2.1，2.2 C. 2．15，2.2 D. 1.7，2.7 9. 如图，在正方形中，，E，F分别为边的中点，连接，点G，H分别为的中点，连接，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 2 10. 为了参加2025“奔跑江淮”和美乡村健康跑（庐江冶父山站），大龙和小磊赛前每周六同时从甲地到相距6000米的乙地匀速往返跑（中途不休息），已知大龙的速度比小磊的速度快．如图中的折线表示前两次相遇，两人的距离y（米）与跑步时间x（分）之间的函数关系的图象，下列结论错误的是（　　） A. B. C. D. 卷II（非选择题） 二、填空题（本题有6小题，每题3分，共18分） 11. 将多项式因式分解得________． 12. 一个不透明的口袋中装有红色、黄色、蓝色玻璃球共200个，这些球除颜色外都相同，小明通过大量随机摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.2左右，则可估计红球的个数约为_________. 13. 当时，则________． 14. 如图，在中，，于点，若，则______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点为轴上的一点，将绕点按顺时针旋转至，反比例函数的图象经过点，过作交反比例函数图象于点，若的面积为，则的值为________ 16. 如图，的半径为2，现将含的直角三角板中的角的顶点在圆弧上进行滑动，并始终保持斜边和长直角边与圆弧相交于点和点，并作交的延长线于点，则的最大面积是________ 三、解答题（本题有8小题，第17~21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分） 17. 计算：． 18. 解方程组： 19. 丰富的社会实践活动不仅能让同学们理解生活服务社会，更能帮助同学们树立正确的劳动态度与价值观．为迎接“五一劳动节”，学校将开展以下四项实践活动：A．博物馆小小解说员，B．汽车南站送祝福，C．地铁小义工，D．警营岗位体验，并让同学们自主选择其中一项参加．以下是从全校学生中随机抽取部分学生进行调查的相关统计图（缺少部分信息）． 由图中给出的信息解答下列问题： （1）求抽取的学生中选择参加“汽车南站送祝福”活动的人数，并补全条形统计图． （2）求扇形统计图中“地铁小义工”活动所对应的扇形圆心角的度数． （3）若该校共有2000名学生，请根据抽样调查的结果，估计该校选择参加“博物馆小小解说员”活动的学生约有多少人？ 20. 数学兴趣小组利用无人机测量旗杆的高度，在距离旗杆水平距离处，无人机垂直上升到处，此时测得点的俯角为点的仰角为，求旗杆的高度约为多少米？（结果保留整数）参考数据： 21. 如图的网格中，的顶点都在格点上，每个小正方形的边长均为1．仅用无刻度的直尺在给定的网格图中分别按下列要求画图．（保留画图痕迹，画图过程中辅助线用虚线，画图结果用实线、实心点表示） （1）请在图1中画出的高，计算得__________． （2）请在图2中在线段上找一点E，使． 22. 如图，在锐角三角形中，．以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，连结，点是延长线上的一点，连结，若平分． （1）求证：； （2）当，求的值． 23. 在平面直角坐标系中，点，点在抛物线上．设抛物线的对称轴为直线． （1）当时， ①直接写出与满足的等量关系； ②比较，的大小，并说明理由； （2）已知点在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围． 24. 如图1，是的直径，是左半圆上的任意一点（不与，重合），是劣弧上一动点．连结，，在右半圆上取一点，使得，连接并交于点． （1）求证： （2）如图2，当为左半圆上的中点时，求证：在点运动过程中，始终存在． （3）如图3，在（2）的条件下，连结，取右半圆中点，连结，，求证：与面积相等 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年舟山市金衢山五校联考初中毕业生学业水平考试 第三次模拟数学试题卷 考生须知： 1．全卷满分120分，考试时间120分钟．试题卷共5页，有三大题，共24小题． 2．全卷答案必须做在答题纸的相应位置上，做在试题卷上无效． 温馨提示：请仔细审题，答题前仔细阅读答题纸上“注意事项”． 卷I（选择题） 一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分） 1. 在下列四个实数中，是无理数的是（ ） A. B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①π类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③具有特殊结构的数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）． 【详解】解：A．是整数，属于有理数，故不符合题意； B．0是整数，属于有理数，故不符合题意； C．是无理数，故符合题意； D．是分数，属于有理数，故不符合题意． 故选：C． 2. 如图所示的几何体是由个相同的小立方块搭成的，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三视图，三视图是从一个几何体的正面、侧面、上面看到的平面图形，俯视图是从几何体的上面看到的平面图形，解决本题的关键是根据几何体中小立方块的位置和个数画出俯视图即可． 【详解】解：从几何体的上面看到的平面图形是由三个小正方形组成的，上面有两个横向摆放的小正方形，其中右侧小正方形的下方有一个小正方形， 俯视图的形状如下图所示， 故选：B． 3. 年政府工作报告提到：年，高技术制造业、装备制造业增加值分别增长、，新能源汽车年产量突破万辆．其中数据“万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法表示绝对值较大的数，解题关键是熟练掌握科学记数法的表示方法． 根据科学记数法的表示方法即可得解． 【详解】解：根据科学记数法可得：万． 故答案为：． 4. 下列计算中，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项、幂的乘方、单项式的乘法、同底数幂的乘法．利用合并同类项、幂的乘方、单项式的乘法、同底数幂的乘法运算法则进行运算，并逐项判断即可． 【详解】解：A、与，不是同类项，不能合并，本选项不符合题意； B、，本选项不符合题意； C、，本选项不符合题意； D、，本选项符合题意； 故选：D． 5. 关于x的一元二次方程x2－mx－1=0的根的情况是（） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题以考查一元二次方程根的判别式知识点，解题的关键是通过计算判别式的值来判断根的情况． 根据一元二次方程根的判别式公式，确定方程中a，b，的值，代入公式计算，再根据与0的大小关系判断根的情况． 【详解】对于一元二次方程，其根的判别式， 在方程中，， 将a，b，的值代入判别式中，可得： 因为任何数的平方都大于等于0，即，所以，也就是． 当时，一元二次方程有两个不相等的实数根．所以方程有两个不相等的实数根， 故答案选：A． 6. 如图，是外接圆，是的直径，连接，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形外接圆，同弧所对圆周角相等，直径所对圆周角为直角等知识，掌握以上知识是关键． 根据直径所对圆周角为直角得到，根据同弧所对圆周角相等得到，结合直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D ． 7. 已知点，和都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数，图象在每个象限内，随的增大而增大，双曲线在第二、四象限，据此分析即可，熟练地应用反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴函数的图像位于第二、四象限，在每个象限内，的值随的增大而增大， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 故选：． 8. 为贯彻落实全国教育大会以及《教育强国建设规划纲要（2024-2035年）》精神，切实保障学生每天综合体育活动时间不低于2小时，学校鼓励学生积极参加体育锻炼．已知某天五位同学体育锻炼的时间分别为（单位：小时）：1.7，2.2，2.1，2.7，2.2，则这组数据的中位数和众数分别是 A. 2.2，2.2 B. 2.1，2.2 C. 2．15，2.2 D. 1.7，2.7 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了众数和中位数，理解众数和中位数的概念是解题的关键． 根据众数和中位数的概念求解． 【详解】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：，，，，， 则中位数是，众数是．   故选：A ． 9. 如图，在正方形中，，E，F分别为边的中点，连接，点G，H分别为的中点，连接，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】连接AG，延长AG交CD于M，连接FM，由正方形ABCD推出AB＝CD＝BC＝AD＝4，ABCD，∠C＝90°，证明△AEG≌△MDG，得到AG＝MG，AE＝DM＝AB＝CD，根据三角形中位线定理得到GH＝FM，由勾股定理求出FM即可得到GH． 【详解】解：连接AG，延长AG交CD于M，连接FM， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝CD＝BC＝AD＝4，ABCD，∠C＝90°， ∴∠AEG＝∠GDM，∠EAG＝∠DMG， ∵G为DE的中点， ∴GE＝GD， ∴△AEG≌△MDG（AAS）， ∴AG＝MG，AE＝DM＝AB＝CD， ∴CM＝CD＝2， ∵点H为AF的中点， ∴GH＝FM， ∵F为BC的中点， ∴CF＝BC＝2， ∴FM＝， ∴GH＝FM＝， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的中位线定理等知识，正确作出辅助线，证出AG＝MG是解决问题的关键． 10. 为了参加2025“奔跑江淮”和美乡村健康跑（庐江冶父山站），大龙和小磊赛前每周六同时从甲地到相距6000米的乙地匀速往返跑（中途不休息），已知大龙的速度比小磊的速度快．如图中的折线表示前两次相遇，两人的距离y（米）与跑步时间x（分）之间的函数关系的图象，下列结论错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】A．分别根据速度路程时间求出两人的速度，当时，计算两人的路程之差即可； B．当时，小磊刚好到达乙地，此时大龙已在返回的途中，求出此时大龙离开乙地的距离即可； C．二人第一次相遇时路程之和等于甲、乙两地之间距离的2倍，据此列关于c的一元一次方程并求解即可； D．当时，小磊在返回甲地途中与大龙相遇，此时大龙第二次从甲地出发前往乙地途中，此时二人的路程之和等于甲、乙两地之间距离的4倍，据此列关于d的一元一次方程并求解即可． 本题考查一次函数的应用，弄清二人跑步的过程，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键． 【详解】解：大龙的速度为（米/分），小磊的速度为（米/分）， （米）， ∴， ∴A正确，不符合题意； （米）， ∴， ∴B正确，不符合题意； 根据题意，得， 解得， ∴C错误，符合题意； 根据题意，得， 解得， ∴D正确，不符合题意． 故选：C． 卷II（非选择题） 二、填空题（本题有6小题，每题3分，共18分） 11. 将多项式因式分解得________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． 利用提公因式法分解因式即可． 【详解】． 故答案为：． 12. 一个不透明的口袋中装有红色、黄色、蓝色玻璃球共200个，这些球除颜色外都相同，小明通过大量随机摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定在0.2左右，则可估计红球的个数约为_________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查频率与概率、已知概率求数量，大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值，据此计算即可． 【详解】解：由题意知，摸到红球的频率稳定在0.2左右， 可估计红球的数量为：（个）， 故答案为：． 13. 当时，则________． 【答案】  【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，设，再把代入所求式子中计算求解即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴可设， ∴, 故答案为： ． 14. 如图，在中，，于点，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等边对等角，直角三角形两个锐角互余，根据平行四边形的性质得出，进而根据等边对等角可得，根据直角三角形两个锐角互余，得出，进而根据，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点为轴上的一点，将绕点按顺时针旋转至，反比例函数的图象经过点，过作交反比例函数图象于点，若的面积为，则的值为________ 【答案】 【解析】 【分析】根据，得到，是解答本题的关键．过B点作于E点，根据旋转的性质可得：，，即有是等边三角形，则有，，根据，可得，即可得，解方程可得（负值舍去），则有，问题随之得解． 【详解】解：过B点作于E点，如图， 根据旋转的性质可得：，， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象经过点B， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质，反比例函数的性质，二次根式的运算等知识，作出合适的辅助线是解本题的关键． 16. 如图，的半径为2，现将含的直角三角板中的角的顶点在圆弧上进行滑动，并始终保持斜边和长直角边与圆弧相交于点和点，并作交的延长线于点，则的最大面积是________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质等知识，连接，根据圆周角定理得到，证明为等边三角形，得到，求出，根据，要使的面积最大，则点到的距离最大，因为，点在上，得到，当点在优弧的中点时，点到的距离最大，此时为等边三角形，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：连接，如图： 由题意可知，， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，要使的面积最大，则点到的距离最大， ∵，点在上， ∴，如图： 当点在优弧的中点时，点到的距离最大， 此时为等边三角形， 过点作于点，如图： ∵为等边三角形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴的最大面积为， 故答案为：． 三、解答题（本题有8小题，第17~21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，熟知开立方，零次幂、负整数指数幂及二次根式的性质及实数的运算法则是正确解决本题的关键． 先计算零次幂、负整数指数幂、求立方根及化简二次根式再合并即可． 【详解】解：原式． 18. 解方程组： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，直接利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解： 得，解得， 把代入①得，解得 ∴原方程组的解为 ． 19. 丰富的社会实践活动不仅能让同学们理解生活服务社会，更能帮助同学们树立正确的劳动态度与价值观．为迎接“五一劳动节”，学校将开展以下四项实践活动：A．博物馆小小解说员，B．汽车南站送祝福，C．地铁小义工，D．警营岗位体验，并让同学们自主选择其中一项参加．以下是从全校学生中随机抽取部分学生进行调查的相关统计图（缺少部分信息）． 由图中给出的信息解答下列问题： （1）求抽取的学生中选择参加“汽车南站送祝福”活动的人数，并补全条形统计图． （2）求扇形统计图中“地铁小义工”活动所对应的扇形圆心角的度数． （3）若该校共有2000名学生，请根据抽样调查的结果，估计该校选择参加“博物馆小小解说员”活动的学生约有多少人？ 【答案】（1）80人， 如图， （2） （3）680人 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图，用样本估计总体，扇形统计图，能从统计图中获取有用信息是解题的关键． （1）先计算出总抽取人数，即可计算出选择参加“汽车南站送祝福”活动的人数，补全条形统计图即可； （2）“地铁小义工”活动所对应的扇形圆心角的度数：，计算即可； （3）该校选择参加“博物馆小小解说员”活动的学生约有：，计算即可． 【小问1详解】 由统计图可知抽取的学生人数为（人） 所以选B活动的人数为（人） 【小问2详解】 ． 【小问3详解】 （人）． 20. 数学兴趣小组利用无人机测量旗杆的高度，在距离旗杆水平距离处，无人机垂直上升到处，此时测得点的俯角为点的仰角为，求旗杆的高度约为多少米？（结果保留整数）参考数据： 【答案】旗杆的高度约为米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，过点作，垂足为，分别解，，得出，，根据，即可求解． 【详解】解：过点作，垂足为 由题意得：，在中， 在中， 旗杆的高度约为16米． 21. 如图的网格中，的顶点都在格点上，每个小正方形的边长均为1．仅用无刻度的直尺在给定的网格图中分别按下列要求画图．（保留画图痕迹，画图过程中辅助线用虚线，画图结果用实线、实心点表示） （1）请在图1中画出的高，计算得__________． （2）请在图2中在线段上找一点E，使． 【答案】（1）如图所示，就是所求作的高， （2） 如图所示，点E就是求作的点， 【解析】 【分析】本题考查了作图-格点作图，平移的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，解题的关键是掌握网格的特征，作出符合条件的图形． （1）格点向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，到点P，连接，交于点； （2）线段向左平移2个单位长度，得到线段，线段交于点． 【小问1详解】 ∵，，， ∴， ∴ 故答案为： 【小问2详解】 略 22. 如图，在锐角三角形中，．以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，连结，点是延长线上的一点，连结，若平分． （1）求证：； （2）当，求的值． 【答案】（1） 解：证明：， ， ， 平分， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟知相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）由作图可知，得，由邻补角性质得，由平分，可得，即可得证； （2）由（1）可得，由相似性质得，再因为，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ， ， ， ， ， ． 23. 在平面直角坐标系中，点，点在抛物线上．设抛物线的对称轴为直线． （1）当时， ①直接写出与满足的等量关系； ②比较，的大小，并说明理由； （2）已知点在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围． 【答案】（1）①； ②，理由如下： ∵抛物线中， ， ∴抛物线开口向上， ∴离对称轴越远函数值越大， ∵点，点在抛物线上，且， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的性质． （1）①利用对称轴公式求得即可；②利用二次函数的性质判断即可； （2）由题意可知点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧，点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，据此即可得到 ，解不等式组即可得到答案． 【小问1详解】 解：①∵抛物线的对称轴为直线，， ∴， ∴； ②略 【小问2详解】 ∵抛物线中， ， ∴函数开口向上，在对称轴右侧，y随x增大而增大，在对称轴左侧，y随x增大而减小， ∵时，都有， 由题意可知，点在对称轴的左侧, 点在对称轴的右侧， ，解得 ， ∴的取值范围是 ． 24. 如图1，是的直径，是左半圆上的任意一点（不与，重合），是劣弧上一动点．连结，，在右半圆上取一点，使得，连接并交于点． （1）求证： （2）如图2，当为左半圆上的中点时，求证：在点运动过程中，始终存在． （3）如图3，在（2）的条件下，连结，取右半圆中点，连结，，求证：与面积相等 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴ （2） 证明：∵为左半圆上的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3） 证明：如图所示，设交于Q，连接， ∵M、N分别为左半圆和右半圆的中点， ∴， ∴， ∴为的直径， ∴， 由（1）可得， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴与面积相等． 【解析】 【分析】本题主要考查了弧与弦以及圆周角之间的关系，相似三角形的性质与判定，等角对等边等等，熟知圆的相关知识是解题的关键． （1）根据同弧所对的圆周角相等得到，再根据已知条件和相似三角形的判定定理即可证明结论； （2）由题意可得，再证明，得到，则有，据此可证明； （3）设交于Q，连接， 根据题意可得，，则可证明为的直径，得到，再证明，得到；导角可证明；再证明，得到，则可推出，据此可证明与面积相等． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $