精品解析：黑龙江省哈尔滨市宾县第一中学2024-2025学年高一下学期第二次月考数学试题

宾县一中2024级高一下学期第二次月考 数学试卷 2025.05.09 一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在中，角所对边分别为，且，（ ） A. B. 或 C. D. 或 2. 已知边长为2的正三角形采用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积为（ ） A. B. C. D. 3. 设是空间中的一个平面，，，是三条不同的直线，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 4. 使复数为纯虚数的最小自然数是（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆台的上下底半径分别为，高为.光源点沿该圆台上底面圆周运动一周，其射出的光线始终经过圆台轴截面对角线的交点，则光线在圆台内部扫过的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，向量满足，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 复数（，是虚数单位）在复平面内对应点为，设，是以轴的非负半轴为始边，以所在的射线为终边的角，则，把叫做复数的三角形式，利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，，，例如：，，复数满足，则可能取值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将绘有函数部分图像的纸片沿轴折成直二面角，此时之间的距离为，则（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则（ ） A. 是纯虚数 B. 对应的点位于第二象限 C. D. 10. 已知，内角分别对应边则下列命题中正确的是（ ） A. 若，则为钝角三角形 B. 在锐角中，不等式恒成立 C. 若，则的面积为 D. 若，且有两解，则的取值范围是 11. 某圆锥的侧面展开图是圆心角为，面积为的扇形，则（ ） A. 该圆锥的母线与底面所成角的正弦值为 B. 若该圆锥内部有一个圆柱，且其一个底面落在圆锥的底面内，则当圆柱的侧面积最大时，圆柱的高为 C. 若该圆锥内部有一个球，则当球的半径最大时，球的内接正四面体的棱长为 D. 若该圆锥内部有一个正方体，且底面在圆锥的底面内，当正方体的棱长最大时，以为球心，半径为的球与正方体表面交线的长度为 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知一个圆台的上下底面半径分别为和，且它的侧面展开图扇环的面积为，则这个圆台的体积为______． 13. 某校学生利用解三角形有关知识进行数学实践活动.处有一栋大楼，某学生选两处作为测量点，测得的距离为，，在处测得大楼楼顶的仰角为.则大楼的高度为__________. 14. 已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，点D为AC边的中点，已知，则当角C取到最大值时等于___________. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，. （1）求A； （2）若，求的面积. 16. 如图，已知等腰梯形中，，，是的中点，，将沿着翻折成，使平面. （1）求与平面所成的角； （2）在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 17. 如图所示，某海域在A，B两处分别设有停靠码头，B在A北偏东30°相距海里处，现由甲，乙两艘货船分别从A，B两处向C处航行．甲货船从A处以海里/小时的速度沿着正东方向行驶，乙货船从B处以3海里/小时的速度向沿东偏南45°的方向行驶，当航行至1小时，甲货船到达E处，乙货船到达F处，此时乙货船因故障停止航行并发出求救信号，甲接到信号后立即掉转方向并以海里/小时的速度行至F处施展抢修工作． （1）求码头B和甲船位置E处相距多少海里． （2）若抢修工作共经历1小时，抢修结束后乙船仍以原速度驶向C处，则自乙船从B处出发到乙船行至C处为止，共经过了多长时间， 18. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，在棱上且侧面，，垂足为． （1）求证：平面； （2）若平面与直线交于点，证明：； （3）侧面为等边三角形时，求二面角的平面角的正切值． 19. 在锐角中，记的内角的对边分别为，，点为的所在平面内一点，且满足． （1）若，求的值； （2）在（1）条件下，求的最小值； （3）若，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宾县一中2024级高一下学期第二次月考 数学试卷 2025.05.09 一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在中，角所对边分别为，且，（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理求得，结合边的大小关系即可得解. 【详解】由正弦定理有，即，解得， 注意到，由大边对大角有，所以. 故选：A. 2. 已知边长为2的正三角形采用斜二测画法作出其直观图，则其直观图的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依题意画出图形，结合图形利用斜二测画法规则可得结果. 【详解】如图，是边长为2的正的直观图，则，，则高，故的面积. 故选：C. 3. 设是空间中的一个平面，，，是三条不同的直线，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间中线线、线面的位置关系判断即可. 【详解】对于A中，由，只有当与相交时才能得到，所以A错误； 对于B中，由，，可得，又由，所以，所以B错误； 对于C中，若，，所以，又，所以，所以C正确； 对于D中，由，，则或， 当时，由，则或与异面； 当时，由，则或与相交，所以D错误． 故选：C 4. 使复数为纯虚数的最小自然数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简、，结合复数的概念可得出结论. 【详解】因为，， 因此使得复数为纯虚数的最小自然数是. 故选：C. 5. 已知圆台的上下底半径分别为，高为.光源点沿该圆台上底面圆周运动一周，其射出的光线始终经过圆台轴截面对角线的交点，则光线在圆台内部扫过的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】圆台的上下底面半径和圆台的高，结合题意得出圆锥的高及母线，最后利用圆锥侧面积公式计算求解. 【详解】 光线在圆台内部扫过的面积为圆锥的侧面积， 圆台的上、下底面，令，，设，，则 ∴，∴， 则， 所以圆锥的侧面积和为. 故选：A. 6. 已知向量，向量满足，则的最小值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得：，，根据向量减法的运算性质即可得结果. 【详解】由题意可得：， 因为，则， 当且仅当反向时，等号成立， 所以的最小值为1. 故选：A. 7. 复数（，是虚数单位）在复平面内对应点为，设，是以轴的非负半轴为始边，以所在的射线为终边的角，则，把叫做复数的三角形式，利用复数的三角形式可以进行复数的指数运算，，，例如：，，复数满足，则可能取值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的三角形式及运算，利用复数相等可得，即可得解. 【详解】设， 则， 所以，，即， 所以 故时，，故可取， 故选：D 8. 如图，将绘有函数部分图像的纸片沿轴折成直二面角，此时之间的距离为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数的图象与性质结合函数图象求解即可. 【详解】如图，因为的最小正周期，所以， 又，， 所以折成直二面角时，因为轴，平面，所以平面， 又平面，所以， 所以，解得（负值已舍去）， 所以，又， 因为，所以或， 又因为函数在轴右侧附近单调递减，所以． 故选：C. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，则（ ） A. 是纯虚数 B. 对应的点位于第二象限 C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据复数的运算规则和几何意义逐项分析. 【详解】对于A，，实部为0，是纯虚数，正确； 对于B，，在复平面上对应点，在第四象限，错误； 对C，，错误； 对于D，，正确； 故选：AD. 10. 已知，内角分别对应边则下列命题中正确的是（ ） A. 若，则为钝角三角形 B. 在锐角中，不等式恒成立 C. 若，则的面积为 D. 若，且有两解，则的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正弦定理和余弦定理边角互化判断A，利用锐角三角形角的关系结合诱导公式判断B，利用正弦定理求，结合内角和公式求，根据三角形面积公式求则的面积判断C，结合图象，根据边角的关系与解的数量判断D. 【详解】选项A：中，若， 即，所以由正弦定理得， 又由余弦定理得，所以，为钝角三角形，A正确； 选项B：因为是锐角三角形，所以，所以， 又，所以，， 又因为在单调递增，所以，B正确； 选项C：中，若，则由正弦定理得，解得， 所以或， 若，则，的面积， 若，则，的面积，C错误； 选项D：如图所示， 若有两解，则， 所以，故，D正确； 故选：ABD 11. 某圆锥的侧面展开图是圆心角为，面积为的扇形，则（ ） A. 该圆锥的母线与底面所成角的正弦值为 B. 若该圆锥内部有一个圆柱，且其一个底面落在圆锥的底面内，则当圆柱的侧面积最大时，圆柱的高为 C. 若该圆锥内部有一个球，则当球的半径最大时，球的内接正四面体的棱长为 D. 若该圆锥内部有一个正方体，且底面在圆锥的底面内，当正方体的棱长最大时，以为球心，半径为的球与正方体表面交线的长度为 【答案】CD 【解析】 【分析】先根据圆锥侧面积公式和扇形弧长公式得出圆锥的母线长、底面半径和高即可求出圆锥的母线与底面所成角正弦值，进而判断A；根据三角形相似比得出圆柱高与其底面半径比的关系，再代入圆柱侧面积公式，再利用二次函数求出最值即可突破求解进而判断B；CD属于简单几何体的接切和相交问题，要结合相应几何体的结构特征和关系进行分析判断，具体看详解. 【详解】对于A，由圆锥侧面积公式和扇形弧长公式得， ，所以圆锥的高， 设圆锥的母线与底面所成角，则，故A错误； 对于B，设圆锥内切圆柱底面半径为，高为， 则有， 所以圆柱侧面积为， 则当时，有， 此时，故B错误； 对于C，当球的半径最大时，球为圆锥的内切球，设球的半径设为R，此时圆锥与球的轴截面如图， 因为, 又，所以， 正四面体可由正方体面的对角线切割得到，如图，正四面体外接球与相对应正方体外接球为同一个球， 当正四面体的棱长为时，其相对应的正方体棱长为， 所以外接球直径为，所以外接球半径为， 所以该圆锥内部有一个球，则当球的半径最大时，球的内接正四面体的棱长为，故C正确； 对于D，设圆锥内接最大正方体棱长为a，则沿着正方体体对角面作圆锥轴截面得到截面图如下， 则有， 所以正方体面的对角线长为， 所以以正方体顶点A为球心，半径为的球与正方体表面交线情况如下图所示， 所以交线有两组各有三条长度相等的曲线，第一组曲线如图（1），第二组曲线如图（2）， 由上，， 所以， 所以，， 所以交线的总长度为. ，故D正确. 故选：CD. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知一个圆台的上下底面半径分别为和，且它的侧面展开图扇环的面积为，则这个圆台的体积为______． 【答案】 【解析】 【分析】计算出圆台的母线长，求出圆台的高，利用台体的体积公式可求得该圆台的体积. 【详解】设圆台的母线长为，则该圆台的侧面积为，解得， 取该圆台的轴截面等腰梯形，如下图所示： 分别过点、作、， 因为，，， 所以，，所以，， 因为，，， 所以，四边形为矩形，则，， 所以，， 所以，该圆台的高为，故该圆台的体积为. 故答案为：. 13. 某校学生利用解三角形有关知识进行数学实践活动.处有一栋大楼，某学生选两处作为测量点，测得的距离为，，在处测得大楼楼顶的仰角为.则大楼的高度为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，先求出，然后利用正弦定理计算直接求出，然后利用两角和的正切公式计算即可. 【详解】由已知得， 在中， 因为， 即，所以， 所以两点间的距离为m. 在中， 因为， 所以， 又因为， ， 所以. 故答案为： 14. 已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，点D为AC边的中点，已知，则当角C取到最大值时等于___________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用向量的数量积求解得到，用余弦定理和基本不等式得到的最小值，此时角C取到最大值，求解得出结果. 【详解】点D为AC边的中点，， 则，即， 因为，所以， 由知，角C为锐角，故， 因为，所以由基本不等式得：， 当且仅当，即时等号成立，此时角C取到最大值， 所以， 故答案为：. 四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，. （1）求A； （2）若，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）整理可得，结合余弦定理运算求解即可； （2）利用正弦定理可得，即可得，进而可得面积. 【小问1详解】 因为，则即为， 整理可得， 由余弦定理可得， 且，所以. 【小问2详解】 由正弦定理可得，则， 可得，即， 由（1）可得，则， 即，可得， 所以的面积. 16. 如图，已知等腰梯形中，，，是的中点，，将沿着翻折成，使平面. （1）求与平面所成的角； （2）在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）先证明，根据线面垂直判定定理证明平面，结合线面角的概念确定所求角，解三角形求结论； （2）提出猜测，再结合线面平行判定定理证明猜测，由此确定结论. 【小问1详解】 如图，在梯形中，连接，因为是的中点， 所以，又因为，且， 故四边形是菱形，从而， 所以沿着翻折成后，平面，因为平面， 则有，又平面， 所以平面， 所以与平面所成的角为， 由已知条件，可知， 所以是正三角形，所以平分，所以， 所以与平面所成的角为. 【小问2详解】 猜测当点为的中点时， 平面， 证明如下： 取的中点，连接， 在中，分别为的中点， 所以且，又，， 所以，， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面， 所以平面. 所以当点为的中点时，平面，此时. 17. 如图所示，某海域在A，B两处分别设有停靠码头，B在A北偏东30°相距海里处，现由甲，乙两艘货船分别从A，B两处向C处航行．甲货船从A处以海里/小时的速度沿着正东方向行驶，乙货船从B处以3海里/小时的速度向沿东偏南45°的方向行驶，当航行至1小时，甲货船到达E处，乙货船到达F处，此时乙货船因故障停止航行并发出求救信号，甲接到信号后立即掉转方向并以海里/小时的速度行至F处施展抢修工作． （1）求码头B和甲船位置E处相距多少海里． （2）若抢修工作共经历1小时，抢修结束后乙船仍以原速度驶向C处，则自乙船从B处出发到乙船行至C处为止，共经过了多长时间， 【答案】（1） （2）小时 【解析】 【分析】（1）在中，由余弦定理解三角形得. （2）在中，解三角形得，得到，在中，由余弦定理解三角形得，在中由正弦定理求得，结合已知即可求得结果. 【小问1详解】 由题意知 在中， 由余弦定理得 所以 【小问2详解】 由题意， 在中， 由正弦定理得，即 所以（舍去） 所在 又 在中， 由余弦定理得 ， ∴甲接到信号后行至F，用时为小时， 在中， , 由正弦定理得，即,解得： ， 则抢修结束后乙船仍以原速度驶向C处，用时为小时， ∴自乙船从B处出发到乙船行至C处为止，共用时为小时. 18. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，在棱上且侧面，，垂足为． （1）求证：平面； （2）若平面与直线交于点，证明：； （3）侧面为等边三角形时，求二面角的平面角的正切值． 【答案】（1） 如图： 因为侧面，平面，所以， 又因为四边形为正方形，所以， 又，平面， 所以平面. 因为侧面，所以， 因为，且，平面， 所以平面. （2） 因为底面为正方形，所以, 又因为平面，平面, 所以平面. 又平面，平面平面, 所以. （3） 【解析】 【分析】（1）先证平面，得到，再根据，可证平面. （2）先证平面，再根据线面平行的性质定理证明线线平行. （3）先确定二面角的平面角，再解直角三角形，求出二面角的正切值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图： 由题为等边三角形，， 故为中点， 在线段上取点，使得， 因为是正方形，所以， 又， 所以， 又因为底面，底面，所以， 又，平面，，所以平面， 又平面，所以， 所以即为二面角的平面角， 设， 不妨设等边的边长为2， 则，， 所以在中，. 19. 在锐角中，记的内角的对边分别为，，点为的所在平面内一点，且满足． （1）若，求的值； （2）在（1）条件下，求的最小值； （3）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理、可得，再由求出，利用向量平行四边形法则解得，得为的外心，再由正弦定理对称答案； （2）由向量的数量积公式可得，求出的范围可得的范围，从而求出最小值； （3）取的中点，由向量的加法运算可得，，再由平面向量数量积的定义可得，代入、得、，联立两式求出，再由正弦定理、基本不等式可得答案. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得， 因为，可得，所以， 又因为，可得，所以，即， 因为，所以， 又由， 可得， 解得，即，所以为的外心， 由正弦定理有，所以； 【小问2详解】 因为，所以，且， ， 因为，解得， 则，则，所以， 所以， 所以； 【小问3详解】 如图所示：取的中点，连接，则， 所以， 同理可得， 由平面向量数量积的定义可得， 因为，所以，， 即，所以，① ，即， 所以，② 联立①②可得， 所以，， 又因为， 因为，所以，可得， 可得，当且仅当等号成立， 令，， 函数，令， ， 因为，所以， 可得，所以在上单调递增， 所以， 所以． 【点睛】方法点睛：解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”；二是利用余弦定理实现“角化边”. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $