精品解析：江苏省天一中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷

江苏省天一中学2024-2025学年第二学期期中考试 高一数学 命题人 徐盛馀 审阅人 吴利华 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分. 1. 下列命题正确的是（ ） A. 如果一条直线上有两个点在一个平面上，那么这条直线不一定在这个平面内 B. 若三条直线两两相交，则三条直线确定一个平面 C. 过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行 D. 如果一条直线平行于平面内的无数条直线，则该直线与平面平行 【答案】C 【解析】 【详解】对于A，一条直线上有两个点在一个平面上，那么这条直线一定在这个平面内，故A错； 对于B，若三条直线两两相交交于一点时，例如三棱锥的侧棱，则三条直线可以不共面，B错； 对于C，过直线外一点可以作一条直线与已知直线平行，且过一条直线可作无数个平面与已知直线平行，故C正确； 对于D，一条直线平行于平面内的无数条直线，则该直线与平面平行或在平面内，故D错. 故选：C 2. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 25 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，求得，得到，结合复数模的计算公式，即可求解. 【详解】由，可得， 所以，则. 故选：B. 3. 如图，表示水平放置的根据斜二测画法得到的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知求出直观图的面积，进而根据直观图与原图的关系，即可得出答案. 【详解】由已知可得，在中，有且，， 所以有， 所以， 所以，的面积为. 根据直观图与原图的关系可知， 的面积为. 故选：D. 4. 在中，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理和三角形成立的条件求解. 【详解】由正弦定理知， 所以， 根据三角形成立的条件可知，解得， 故选:D. 5. 在中，，为的中点，，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面向量基本定理由可得答案. 【详解】如图， ， 由，且，得. 故选：A. 6. 如图，在长方体中，，分别为的中点，点在平面内，若直线平面，则与满足题意的构成的平面截长方体的截面面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据面面平行得出满足题意的点构成的平面截长方体的截面为即可解决. 【详解】如图，连接， 因为E，F，G分别为的中点， 所以平面，则平面， 因为，所以同理得平面， 又，得平面平面， 所以点在直线上，则与满足题意的构成的平面截长方体的截面为， 在中，有，所以． 故选：D 7. 如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50 m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ等于（ ） A. B. C. －1 D. －1 【答案】C 【解析】 【分析】在ABC中，由正弦定理得，再在ADC中，由正弦定理得解. 【详解】在ABC中，由正弦定理得， ∴． 在ADC中，， ∴ 故选：C 8. 在中，，，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取中点为，根据已知可推得为等腰三角形，.进而化简得出，在中，求出的取值范围即可得出答案. 【详解】 如图，取中点为，连接， 则. 又， 即， 所以， 所以，为等腰三角形，. 又，所以. 又，， 所以，. 在中，有， 所以，. 又，， 所以，， 所以，，， 所以，的取值范围为. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对部分得分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B 若，则 C. 若，则 D. 若在上的投影向量为，则向量与的夹角为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量垂直坐标表示判断A；利用数量积的运算律及垂直关系的向量表示判断B；利用共线向量的坐标表示判断C；利用投影向量的定义及向量夹角求解判断D. 【详解】对于A，由，得，解得，A错误； 对于B，由，得，则， 又均为非零向量，因此，B正确； 对于C，由，得，则，C正确； 对于D，，，在上的投影向量，则， 因此，，又，于是，D正确. 故选：BCD. 10. 欧拉公式（其中为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位.依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ） A. 为纯虚数 B. 复数的模长等于 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】代入计算，即可判断A ；根据复数的除法运算化简，结合复数的模的运算，即可判断B；根据欧拉公式的定义化简，即可判断C；代入计算求解即可判断D. 【详解】对于A项，由已知可得为实数.故A错误； 对于B项，由已知可得， 所以.故B正确； 对于C项，由已知可得，，……，， 所以.故C正确； 对于D项，由已知可得，， 所以.故D正确. 故选：BCD. 11. 如图，在棱长为1的正方体中，点，分别是，的中点，在棱上满足，，为线段上的一个动点，平面平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 当时，平面 B. 当时，过点，，的平面截该正方体所得的截面为五边形 C. 当时，平面截该正方体所得截面面积的最大值为 D. 当时，最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】先证明所可得A正确，B，C作出截面图即可，D把立体几何展开形成平面的问题即可求解. 【详解】对A，当时，，为中点， ∵是中点，∴ ，又，所以， 即可得平面，故A正确； 对于B，如图延长交与H，连接交与I， 易知当时，I在线段上，截面如图为梯形， 当时，I在延长线上，截面如图为五边形， 所以当时，过点，，的平面截该正方体所得的截面为五边形， 故B正确； 对于C，当时，为中点， ∵平面平面，∴截面可以为如图正六边形， 正方体边长为1，故截面正六边形边长为， 面积， 故C错误； 对于D，当时， ，∴ 四点共面， 如图对平面和平面沿进行展开， 四边形为等腰梯形，， ∴高， 又三角形为等腰三角形，， ∴高， ∴，又，所以的最小值为，故D正确； 故选：A B D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知的内角的对边分别为，，，，，若有两解，则的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理和三角形的性质即可求解. 【详解】由正弦定理有：，所以， 又有两解，所以,即， 综上有， 故答案为：. 13. 矩形中，，，现将沿对角线向上翻折，得到四面体，则该四面体外接球的体积为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形的性质，结合已知条件，得出外接球的球心位置以及半径，根据球的体积公式，计算即可得出答案. 【详解】 设中点为， 根据矩形的性质，可知， 所以，点即为四面体外接球的球心. 又， 所以，四面体外接球的半径， 所以该四面体外接球的体积为. 故答案为：. 14. 在等边三角形的三边上各取一点，，，满足，，，则三角形的面积的最大值是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，设，利用正弦定理把表示成的函数，再利用正弦函数的性质及三角形面积公式求出最大值. 【详解】由，，，得， 设，，当时，重合，，； 当时，重合，，； 当时，，，， 在中由正弦定理，即，则， 在中由正弦定理，即，则， 于是 （其中锐角由确定）， 当且仅当时取等号，而， 因此，， 所以三角形的面积的最大值是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共计77分、解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，，其中为非零实数. （1）若是实数，求的值； （2）若，复数为纯虚数，求实数的值. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意，求得，结合是实数，得到，即可求解； （2）根据题意，得到，结合复数为纯虚数，列出方程，即可求解. 【小问1详解】 解：由复数，可得， 因为是实数，可得，即， ∵为非零实数.所以. 【小问2详解】 解：由，可得，所以， 则， 因为复数为纯虚数，可得， 解得或. 16. 已知向量与的夹角为，且，. （1）若与共线，求k； （2）求，； （3）求与的夹角的余弦值 【答案】（1）；（2），；（3）. 【解析】 【分析】（1）利用向量共线定理即可求解. （2）利用向量数量积的定义：可得数量积，再将平方可求模. （3）利用向量数量积即可夹角余弦值 【详解】（1）若与共线， 则存在，使得 即， 又因为向量与不共线， 所以，解得，所以. （2）， ， （3）. 17. 已知函数的部分图象如图所示. （1）求的解析式； （2）将函数的图象上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数，再将图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求函数在上的值域； （3）若函数在区间上恰好有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由图象即可求解周期，进而得，根据即可求； （2）根据图象的变换先求，令，最后利用单调性即可求解； （3）令，先求函数的值域，最后利用数形结合即可求解. 【小问1详解】 由题设，所以，则，故， 由，则，即， 又，当时，则，故； 【小问2详解】 将函数的图象上各点横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得到函数，再将图象向右平移个单位长度， 所以； ，则， 所以 所以函数在上的值域： 【小问3详解】 ，则， 由在上单调递增，对应值域为； 在上单调递减，对应值域为； 函数区间上有且仅有两个零点， 即在上只有两个解，有图可知. 18. 如图所示正四棱锥，为侧棱上的点，且. （1）记平面平面，证明：； （2）侧棱上是否存在一点，使得平面.若存在，求的值；若不存在，试说明理由. 【答案】（1）证明见解析； （2）存在，. 【解析】 【分析】（1）证明平面，再根据线面平行的性质即可得证. （2）连接交于，连接，取中点，过作的平行线交于，连接，证明平面平面，再根据面面平行的性质即可得出结论. 【小问1详解】 在正四棱锥中，，平面，平面， 则平面，而平面，平面平面， 所以. 【小问2详解】 在侧棱上存在一点，使平面，满足. 理由如下：连接交于，连接，则为中点， 取中点，又，则， 过作的平行线交于，连接，在中，有， 由平面PAC，平面PAC，得平面PAC，而，则， 又，平面，平面，则平面， 又，平面，因此平面平面， 又，得平面，所以存在，且. 19. 记的内角，，的对边分别为，，，已知. （1）若，求； （2）若为锐角三角形，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理、正弦的和差角公式和三角形的内角和定理化简得，联立求解即可； （2）根据正弦定理得，根据锐角三角形得，利用正弦定理把转化成三角函数，然后通过换元，利用函数的单调性求解即可 【小问1详解】 由， 所以， 由， 所以， 即， 所以，、 由正弦定理得，由， 所以=， ， 又，所以， 所以， 因为，所以或， 当时，，故不符合题意； 所以 【小问2详解】 由得 ， 即， 所以， 因为为锐角三角形，所以，所以， 又，所以，所以，， 所以， 又， 因为为锐角三角形， 所以， ， 令，因为，所以， 又在单调递增， 所以，即的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 江苏省天一中学2024-2025学年第二学期期中考试 高一数学 命题人 徐盛馀 审阅人 吴利华 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分. 1. 下列命题正确的是（ ） A. 如果一条直线上有两个点在一个平面上，那么这条直线不一定在这个平面内 B. 若三条直线两两相交，则三条直线确定一个平面 C. 过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行 D. 如果一条直线平行于平面内的无数条直线，则该直线与平面平行 2. 若复数满足，则（ ） A. B. C. D. 25 3. 如图，表示水平放置的根据斜二测画法得到的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 在中，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 在中，，为的中点，，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 6. 如图，在长方体中，，分别为的中点，点在平面内，若直线平面，则与满足题意的构成的平面截长方体的截面面积为（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，在坡度一定的山坡A处测得山顶上一建筑物CD的顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m到达B处，又测得C对于山坡的斜度为45°，若CD＝50 m，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ等于（ ） A. B. C. －1 D. －1 8. 在中，，，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对部分得分，有选错的得0分. 9. 已知向量，，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若在上的投影向量为，则向量与的夹角为 10. 欧拉公式（其中为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位.依据欧拉公式，下列选项正确的是（ ） A. 为纯虚数 B. 复数的模长等于 C. D 11. 如图，在棱长为1的正方体中，点，分别是，的中点，在棱上满足，，为线段上的一个动点，平面平面，则下列命题中正确的是（ ） A. 当时，平面 B. 当时，过点，，的平面截该正方体所得的截面为五边形 C. 当时，平面截该正方体所得截面面积的最大值为 D. 当时，最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 已知的内角的对边分别为，，，，，若有两解，则的取值范围是_____. 13. 矩形中，，，现将沿对角线向上翻折，得到四面体，则该四面体外接球的体积为________. 14. 在等边三角形的三边上各取一点，，，满足，，，则三角形的面积的最大值是________. 四、解答题：本题共5小题，共计77分、解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，，其中为非零实数. （1）若是实数，求的值； （2）若，复数为纯虚数，求实数的值. 16. 已知向量与的夹角为，且，. （1）若与共线，求k； （2）求，； （3）求与的夹角的余弦值 17. 已知函数部分图象如图所示. （1）求的解析式； （2）将函数图象上各点纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数，再将图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，求函数在上的值域； （3）若函数在区间上恰好有两个零点，求实数的取值范围. 18. 如图所示正四棱锥，为侧棱上的点，且. （1）记平面平面，证明：； （2）侧棱上是否存在一点，使得平面.若存在，求的值；若不存在，试说明理由. 19. 记的内角，，的对边分别为，，，已知. （1）若，求； （2）若为锐角三角形，求取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$