14.2024年北京市初中学业水平考试-【一战成名新中考】2025广西中考数学·真题与拓展训练

27-1 27-2 27-3 27-4 班级:　 　 　 　 　 　 　 姓名:　 　 　 　 　 　 　 学号:　 　 　 　 　 　 版权归 所有,盗版盗印举报电话:029-85424032 27　 14 2024 年北京市初中学业水平考试 (全卷满分 100 分,考试时间 120 分钟) 一、选择题(共 16 分,每题 2 分) 第 1-8 题均有四个选项,符合题意的选项只有一个. 1. 下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ( 　 B　 ) A 　 　 B 　 　 C 　 　 D 2. 如图,直线 AB 和 CD 相交于点 O,OE⊥OC. 若∠AOC = 58°,则∠EOB 的大小 为 ( 　 B　 ) A. 29°　 　 　 　 　 　 B. 32°　 　 　 　 　 　 C. 45°　 　 　 　 　 　 D. 58° 第 2 题图 　 　 　 第 3 题图 3. 实数 a,b 在数轴上的对应点的位置如图所示,下列结论中正确的是 ( 　 C　 ) A. b>-1 B. | b | >2 C. a+b>0 D. ab>0 4. 若关于 x 的一元二次方程 x2 -4x+c= 0 有两个相等的实数根,则实数 c 的值为 ( 　 C　 ) A. -16 B. -4 C. 4 D. 16 5. 不透明袋子中仅有红、黄小球各一个,两个小球除颜色外无其他差别. 从中随 机摸出一个小球,放回并摇匀,再从中随机摸出一个小球,则两次摸出的都是 红球的概率是 ( 　 A　 ) A. 1 4 B. 1 3 C. 1 2 D. 3 4 6. 为助力数字经济发展,北京积极推进多个公共算力中心的建设. 北京数字经 济算力中心日前已部署上架和调试的设备的算力为 4×1017 Flops (Flops 是计 算机系统算力的一种度量单位),整体投产后,累计实现的算力将是日前已部 署上架和调试的设备的算力的 5 倍,达到 m Flops,则 m 的值为 ( 　 D　 ) A. 8×1016 B. 2×1017 C. 5×1017 D. 2×1018 7. 下面是“作一个角使其等于∠AOB”的尺规作图方法. 第 7 题图 (1)如图,以点 O 为圆心,任意长为半径 画弧,分别交 OA,OB 于点 C,D; (2)作射线 O′A′. 以点 O′为圆心,OC 长 为半径画弧,交 O′A′于点 C′;以点 C′ 为圆心,CD 长为半径画弧,两弧交于 点 D′; (3)过点 D′作射线 O′B′. 则∠A′O′B′= ∠AOB. 上述方法通过判定△C′O′D′≌△COD得到∠A′O′B′=∠AOB,其中判定△C′O′D′≌ △COD的依据是 ( 　 A　 ) A. 三边分别相等的两个三角形全等 B. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 第 8 题图 8. 如图,在菱形 ABCD 中,∠BAD= 60°,O 为对角线的交点. 将菱形 ABCD 绕点 O 逆时针旋转 90°得到菱形 A′B′C′D′. 两个菱形的公共点为 E,F,G,H. 对八边形 BFB′GDHD′E 给出下面四个结论: ①该八边形各边长都相等; ②该八边形各内角都相等; ③点 O 到该八边形各顶点的距离都相等; ④点 O 到该八边形各边所在直线的距离都相等. 上述结论中,所有正确结论的序号是 ( 　 B　 ) A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 二、填空题(共 16 分,每题 2 分) 9. 若 x-9在实数范围内有意义,则实数 x 的取值范围是　 　 　 　 . 10. 分解因式:x3 -25x= 　 　 　 　 . 11. 方程 1 2x+3 + 1 x = 0 的解为　 　 　 　 . 12. 在平面直角坐标系 xOy 中,若函数 y= k x (k≠0)的图象经过点(3,y1 )和( -3, y2),则 y1 +y2 的值是　 　 　 　 . 13. 某厂加工了 200 个工件,质检员从中随机抽取 10 个工件检测了它们的质量 (单位: g),得到的数据如下: 50. 03　 　 　 49. 98　 　 　 50. 00　 　 　 49. 99　 　 　 50. 02 49. 99　 　 　 50. 01　 　 　 49. 97　 　 　 50. 00　 　 　 50. 02 当一个工件的质量 x(单位:g)满足 49. 98≤x≤50. 02 时,评定该工件为一等 品. 根据以上数据,估计这 200 个工件中一等品的个数是　 　 　 　 . 14. 如图,☉O的直径 AB 平分弦 CD(不是直径).若∠D=35°,则∠C= 　 　 　 　 °. 第 14 题图 　 　 　 第 15 题图 15. 如图,在正方形 ABCD 中,点 E 在 AB 上,AF⊥DE 于点 F. CG⊥DE 于点 G. 若 AD= 5,CG= 4,则△AEF 的面积为　 　 　 　 . 16. 联欢会有 A,B,C,D 四个节目需要彩排. 所有演员到场后节目彩排开始. 一 个节目彩排完毕,下一个节目彩排立即开始,每个节目的演员人数和彩排时 长(单位:min)如下: 节目 A B C D 演员人数 10 2 10 1 彩排时长 30 10 20 10 已知每位演员只参演一个节目. 一位演员的候场时间是指从第一个彩排的 节目彩排开始到这位演员参演的节目彩排开始的时间间隔(不考虑换场时 间等其他因素) . 若节目按“A-B-C-D”的先后顺序彩排,则节目 D 的演员的候场时间为　 　 　 　 min; 若使这 23 位演员的候场时间之和最小,则节目应按 　 　 　 　 的先后顺序 彩排. 三、解答题(共 68 分,第 17-19 题每题 5 分,第 20-21 题每题 6 分,第 22-23 题 每题 5 分,第 24 题 6 分,第 25 题 5 分,第 26 题 6 分,第 27-28 题每题 7 分) 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17. 计算:(π-5) 0 + 8 -2sin30°+ | - 2 | . 解:原式=1+2 2 -2× 1 2 + 2 =3 2 . 18. 解不等式组: 3(x-1) <4+2x, x-9 5 <2x. ì î í ï ï ïï 解: 3(x-1)<4+2x,① x-9 5 <2x,② ì î í ïï ïï 解不等式①,得 x<7, 解不等式②,得 x>-1, ∴不等式组的解集为-1<x<7. 19. 已知 a-b-1 = 0,求代数式3(a -2b) +3b a2 -2ab+b2 的值. 解:原式=3a -6b+3b (a-b) 2 ∵ a-b-1=0, ∴ a-b=1, ∴原式= 3 1 =3. 20. 如图,在四边形 ABCD 中,E 是 AB 的中点,DB,CE 交于点 F,DF = FB, AF∥DC. (1)求证:四边形 AFCD 为平行四边形; (2)若∠EFB= 90°,tan∠FEB= 3,EF= 1,求 BC 的长. 第 20 题图 ∵AF∥DC,∴四边形 AFCD 为平行四边形; (2)解:∵∠EFB=90°,∴∠CFB=180°-90° =90°, ∵在 Rt△EFB 中,tan∠FEB=FB FE =3,EF=1,∴FB=3, ∵由(1)知 EF 是△ABD 的中位线,∴AD=2EF=2, ∵四边形 AFCD 为平行四边形,∴CF=AD=2, ∴在 Rt△CFB中,由勾股定理得 CB= CF2+FB2 = 13 . 21. 为防治污染,保护和改善生态环境,自 2023 年 7 月 1 日起,我国全面实施汽 车国六排放标准 6b 阶段(以下简称“标准”) . 对某型号汽车,“标准”要求 A 类物质排放量不超过 35 mg / km, A, B 两类物质排放量之和不超过 50 mg / km. 已知该型号某汽车的 A,B 两类物质排放量之和原为 92 mg / km. 经过一次技 术改进,该汽车的 A 类物质排放量降低了 50%,B 类物质排放量降低了 75%,A,B 两类物质排放量之和为 40 mg / km. 判断这次技术改进后该汽车的 A 类物质排放量是否符合“标准”,并说明理由. 解:符合.理由如下: 设技术改进后该汽车的 A 类物质排放量为 x mg / km,则技术改进后 B 类物质排放量 为(40-x)mg / km, 由题意得 x 1-50% + 40-x 1-75% =92,解得 x=34, ∵34<35,∴这次技术改进后该汽车的 A类物质排放量符合“标准” . 22. 在平面直角坐标系 xOy 中,函数 y = kx+b(k≠0)与 y = -kx+3 的图象交于点 (2,1) . (1)求 k,b 的值; (2)当 x>2 时,对于 x 的每一个值,函数 y=mx(m≠0)的值既大于函数 y = kx +b 的值,也大于函数 y= -kx+3 的值,直接写出 m 的取值范围. 解:(1)将(2,1)代入 y=-kx+3,得-2k+3=1,解得 k=1, 将 k=1,(2,1)代入函数 y=kx+b(k≠0),得 2k+b=1, k=1,{ 解得 k=1, b=-1;{ (2)m 的取值范围为 m≥1. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 28-1 28-2 28-3 28-4 　28　 23. 某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段. (1)初赛由 10 名教师评委和 45 名学生评委给每位选手打分(百分制),对评 委给某位选手的打分进行整理、描述和分析. 下面给出了部分信息. a. 教师评委打分: 86　 　 88　 　 90　 　 91　 　 91　 　 91　 　 91　 　 92　 　 92　 　 98 b. 学生评委打分的频数分布直方图如下(数据分 6 组:第 1 组 82≤x<85, 第 2 组 85≤x<88,第 3 组 88≤x<91,第 4 组 91≤x<94,第 5 组 94≤x< 97,第 6 组 97≤x≤100): 第 23 题图 c. 评委打分的平均数、中位数、众数如下: 平均数 中位数 众数 教师评委 91 91 m 学生评委 90. 8 n 93 根据以上信息,回答下列问题: ①m的值为　 　 　 　 ,n 的值位于学生评委打分数据分组的第　 　 　 　 组; ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分. 记其余 8 名教师评委打分 的平均数为 x,则 x　 　 　 　 91(填“>”“ =”或“<”); (2)决赛由 5 名专业评委给每位选手打分(百分制),对每位选手,计算 5 名 专业评委给其打分的平均数和方差. 平均数较大的选手排序靠前,若平 均数相同,则方差较小的选手排序靠前. 5 名专业评委给进入决赛的甲、 乙、丙三位选手的打分如下: 评委 1 评委 2 评委 3 评委 4 评委 5 甲 93 90 92 93 92 乙 91 92 92 92 92 丙 90 94 90 94 k 若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中,则这三位选手中排序最靠前的 是　 　 　 　 ,表中 k(k 为整数)的值为　 　 　 　 . 解:(1)①91,4;②<; (2)甲,92. 24. 如图,AB 是☉O 的直径,点 C,D 在☉O 上,OD 平分∠AOC. (1)求证:OD∥BC; (2)延长 DO 交☉O 于点 E,连接 CE 交 OB 于点 F. 过点 B 作☉O 的切线交 DE 的延长线于点 P. 若OF BF = 5 6 ,PE= 1. 求☉O 半径的长. 第 24 题图 (1)证明:由题意得∠AOC=∠B+∠C,∵OB=OC,∴∠B=∠C,∴∠AOC=2∠B, ∵OD 平分∠AOC,∴∠AOC=2∠AOD,∴∠B=∠AOD,∴OD∥BC; (2)解:∵OF BF = 5 6 , ∴不妨设 OF=5x,BF=6x,∴OC=OE=OB=OF+BF=11x, ∵OD∥BC,∴△OFE∽△BFC,∠OBC=∠POB, ∴OE BC =OF BF = 5 6 ,即11x BC = 5 6 ,解得 BC=66x 5 , 如解图,取 BC 的中点 M,连接 OM,则 BM=CM= 1 2 BC=33x 5 , ∵OB=OC,∴OM⊥BC, ∴cos∠OBM=BM OB = 3 5 ,∴cos∠POB= 3 5 , ∵PB 是☉O 的切线,∴OB⊥PB, ∴cos∠POB= 3 5 =OB OP = OB OE+PE = OB OB+1 , 解得 OB= 3 2 ,即☉O 半径的长为 3 2 . 25. 小云有一个圆柱形水杯(记为 1 号杯) . 在科技活动中,小云用所学数学知识 和人工智能软件设计了一个新水杯,并将其制作出来. 新水杯(记为 2 号杯) 示意图如图①. 当 1 号杯和 2 号杯中都有 V mL 水时,小云分别记录了 1 号杯的水面高度 h1(单位:cm)和 2 号杯的水面高度 h2(单位:cm),部分数据如下: V / mL 0 40 100 200 300 400 500 h1 / cm 0 2. 5 5. 0 7. 5 10. 0 12. 5 h2 / cm 0 2. 8 4. 8 7. 2 8. 9 10. 5 11. 8 　 　 第 25 题图① (1)补全表格(结果保留小数点后一位); (2)通过分析数据,发现可以用函数刻画 h1 与 V,h2 与 V 之间的关系. 在图 ②给出的平面直角坐标系中,画出这两个函数的图象; (3)根据以上数据与函数图象,解决下列问题: ①当 1 号杯和 2 号杯中都有 320 mL 水时,2 号杯的水面高度与 1 号杯的 水面高度的差约为　 　 　 　 cm(结果保留小数点后一位); ②在①的条件下,将 2 号杯中的一部分水倒入 1 号杯中,当两个水杯的水面 高度相同时,其水面高度约为　 　 　 　 cm(结果保留小数点后一位). 第 25 题图② 26. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线 y=ax2 -2a2x(a≠0) . (1)当 a= 1 时,求抛物线的顶点坐标; (2)已知M(x1,y1)和 N(x2,y2)是抛物线上的两点. 若对于 x1 = 3a,3≤x2≤4, 都有 y1 <y2,求 a 的取值范围. 解:(1)把 a=1 代入 y=ax2-2a2x,得 y=x2-2x=(x-1) 2-1, ∴抛物线的顶点坐标为(1,-1); (2)分两种情况:设点 M 关于对称轴直线 x=a 的对称点为 M′, ①当 a>0 时,如解图①,此时 3a<3,∴ a<1,又∵ a>0,∴0<a<1; 第 26 题解图 ②当 a<0 时,如解图②,此时-a>4,解得 a<-4,又∵ a<0,∴ a<-4; 综上,当 0<a<1 或 a<-4,都有 y1<y2 . 27. 已知∠MAN=α(0°<α<45°),点 B,C 分别在射线 AN,AM 上. 将线段 BC 绕点 B 顺时针旋转 180°- 2α 得到线段 BD. 过点 D 作 AN 的垂线交射线 AM 于 点 E. (1)如图①,当点 D 在射线 AN 上时,求证:C 是 AE 的中点; (2)如图②,当点 D 在∠MAN 内部时,作 DF∥AN,交射线 AM 于点 F. 用等式 表示线段 EF 与 AC 的数量关系,并证明. 图① 　 　 图② 第 27 题图 (1)证明:如解图①,连接 CD, 由题意得 BC=BD,∠CBD=180°-2α,∴∠BDC=∠BCD, ∵∠BDC+∠BCD+∠CBD=180°, ∴∠BDC=180° -(180°-2α) 2 =α,∴∠BDC=∠A,∴CA=CD, ∵DE⊥AN,∴∠ADE=90°, ∴∠1+∠A=∠2+∠BDC=90°,∴∠1=∠2,∴CD=CE,∴CA=CE, ∴C 是 AE 的中点; (2)解:EF=2AC,证明略. 【详解见答案册 Px】 28. 在平面直角坐标系 xOy 中,☉O 的半径为 1. 对于☉O 的弦 AB 和不在直线 AB 上的点 C,给出如下定义:若点 C 关于直线 AB 的对称点 C′在☉O 上或其 内部,且∠ACB=α,则称点 C 是弦 AB 的“α 可及点” . (1)如图,点 A(0,1),B(1,0) . ①在点 C1(2,0),C2(1,2),C3( 1 2 ,0)中,点 　 　 　 　 是弦 AB 的“α 可及 点”,其中 α= 　 　 　 　 °; ②若点 D是弦 AB 的“90°可及点”,则点 D的横坐标的最大值为　 　 　 　 ; (2)已知 P 是直线 y= 3 x- 3 上一点,且存在☉O 的弦 MN,使得点 P 是弦 MN 的“60°可及点” . 记点 P 的横坐标为 t,直接写出 t 的取值范围. 第 28 题图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 参考答案及重难题解析·广西数学 真 题 模 拟 　 (2)样本中不含“诗词圣手”组的其他四组学生的平均成 绩为 1 30 ×(3×55+12×65+9×85+6×95)= 76(分); (3)大约有 165 名学生获奖. 23.解:(1)按照这样的生产方式,工厂每天能配套组成 64 套 GH 型电子产品; (2)至少需要补充 40 名新工人. 24.解:(1)相等,不相等; (2)(71x-x2 )平方米; (3)两条小路的宽度是 1 米; (4)如解图①,连接 FH,PH,PQ,FQ,过点 F 作 FM∥AD, 交 KH 于点 M,则四边形 EFMK 是平行四边形, 第 24 题解图① ∴ FM=EK= 1,∠FMH= ∠EKM= ∠AEF= θ, ∵ FH∥PQ,FQ∥PH,∴ 四边形 FHPQ 是平行四边形, ∵ ∠BGF= ∠AEF,∠BGF+∠AGF= 180°, ∴ ∠AEF+∠AGF= 180°,∴ ∠GAE+∠GFE= 180°, 又∵ ∠GAE= 90°,∴ ∠GFE= 90°,∴ ∠QFH= 90°, ∴ 平行四边形 FHPQ 是矩形,∴ ∠FHM= ∠FHP= 90°, 在 Rt△FMH 中,FH=FM·sinθ= sinθ, 同理可得 FQ= sinθ, ∴ FH=FQ,∴ 矩形 FHPQ 是正方形, ∴ 两条路重叠部分四边形 FHPQ 的面积为 sin2θ 平方米; 如解图②,当点 G 与点 A 重合时, 第 24 题解图② ∵ ∠DAR+∠ARD= 90°,∠DAR+∠AEF= 90°, ∴ ∠ARD= ∠AEF= θ,此时 θ 最小,即 sinθ 的值最小, ∵ CR= 1,∴ DR= 31-1 = 30, 在 Rt △ADR 中,AR = AD2 +DR2 = 402 +302 = 50, ∴ sinθ= AD AR = 40 50 = 4 5 ,∴ 4 5 ≤sinθ≤1. ∴ sinθ 最小值为 4 5 . 25. (1)证明:如解图,连接 OG, ∵ ∠BAC 的平分线 AF 交☉O 于点 G, ∴ ∠BAG= ∠CAG,∴ BG ( =CG ( ,∴ OG⊥BC, ∵ DE∥BC∴ OG⊥DE, ∵ OG 是☉O 的半径,∴ DE 是☉O 的切线; 第 25 题解图 (2)解:如解图,连接 BI,BG, ∵ 点 I 为△ABC 的内心, ∴ BI 平分∠ABC, ∴ ∠ABI= ∠CBI, ∵ AG 平分∠BAC, ∴ ∠BAI= ∠CAI, ∵ ∠GBC= ∠GAC,∴ ∠BAI= ∠GBC, ∵ ∠BIG= ∠BAI+∠ABI,∠GBI= ∠GBC+∠CBI, ∴ ∠BIG= ∠GBI,∴ BG= IG, ∵ BC∥DE,∴ △AFC∽△AGE,∴ AF AG =FC GE = 2 3 , ∵ AG= 6,∴ AF= 4,∴ FG= 2, ∵ ∠BGF= ∠AGB,∠GBF= ∠BAG, ∴ △BGF∽△AGB,∴ BG FG = AG BG ,∴ BG 2 = 6 BG , ∴ BG= 2 3 (负值已舍去),∴ GI 的长为 2 3 . 26.解:(1)当 b= 2,c= -3 时,y= x2 +bx+c= x2 +2x-3 = (x+1) 2 -4, ∴ 顶点 C 的坐标为( -1,-4); 当 y= 0 时,x2 +2x-3 = 0,即(x+3)(x-1)= 0, 解得 x1 = -3,x2 = 1,∴ A( -3,0),B(1,0); (2)①当抛物线恰好经过 P,Q 两点时, 1-b+c= 10, 16+4b+c= 0,{ 解得 b= -5, c= 4;{ ②当 c= -1 时,y= x2 +bx-1, 当 x= 0 时,y= -1,∴ 抛物线过点(0,-1), 当 x= -1 时,y= 1-b-1 = -b, 当点( -1,-b)在点 P 上方,或与点 P 重合时,抛物线与线 段 PQ 有公共点,即-b≥10,解得 b≤-10. 当 x= 4 时,y= 16+4b-1 = 4b+15, 当点(4,15+4b)在点 Q 上方,或与点 Q 重合时,抛物线与 线段 PQ 有公共点,即 15+4b≥0,解得 b≥- 15 4 ; 综上,淇淇输入 b 的取值范围为 b≤-10 或 b≥- 15 4 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 第三部分　 2024 年精选全国中考真题 14. 2024 年北京市初中学业水平考试 快速对答案 一、选择题(共 16 分,每题 2 分) 1. B　 2. B　 3. C　 4. C　 5. A　 6. D　 7. A　 8. B 二、填空题(共 16 分,每题 2 分) 9. x≥9　 10. x(x+5)(x-5)　 11. x= -1　 12. 0　 13. 160　 14. 55　 15. 27 8 　 16. 60;C-A-B-D 三、解答题(共 68 分) 17. (5 分)原式= 3 2 . 18. (5 分)原不等式组的解集为-1<x<7. 52 参考答案及重难题解析·广西数学 真 题 模 拟 19. (5 分)原式= 3. 20. (6 分)(1)证明略;(2)BC 的长是 13 . 21. (6 分)符合“标准”,理由略. 22. (5 分)(1)k= 1,b= -1;(2)m 的取值范围为 m≥1. 23. (5 分)(1)①91,4;②<;(2)甲,92. 24. (6 分)(1)证明略;(2)☉O 半径的长为 3 2 . 25. (5 分)(1)1. 0;(2)作图略;(3)①1. 2;②8. 6. 26. (6 分)(1)抛物线的顶点坐标为(1,-1);(2)0<a<1 或 a<-4. 27. (7 分)(1)证明略;(2)EF= 2AC,证明略. 28. (7 分)(1)①C2 ,45;② 1+ 2 2 ;(2) 3- 13 4 ≤t< 1 2 或 1<t≤ 3+ 13 4 . 详解详析 8. B　 【解析】如解图,向两边分别延长 BD,连接 OH,根据菱 形ABCD,∠BAD = 60°,则∠BAO = ∠DAO = 30°,∠AOD = ∠AOB= 90°,∵ 菱形 ABCD 绕点 O 逆时针旋转 90°得到菱 形 A′B′C′D′,∴ 点 B′,D′,A′,C′一定在对角线 AC,BD 所在 直线上,且 OD=OD′=OB=OB′,OA=OA′=OC =OC′,∴ AD′ =C′D, ∠D′AH = ∠DC′H = 30°, ∵ ∠D′HA = ∠DHC′, ∴ △AD′H≌△C′DH,∴ D′H =DH,C′H = AH,同理可证 D′E = BE,BF=B′F,B′G = DG,∵ ∠EA′B = ∠HC′D = 30°,A′B = C′D,∠A′BE= ∠C′DH= 120°,∴ △A′BE≌△C′DH,∴ DH = BE,∴ DH=BE=D′H=D′E=BF =FB′=B′G =DG,∴ 该八边 形各边长都相等,∴ ①正确;根据角平分线的性质定理,得 点 O 到该八边形各边所在直线的距离都相等,∴ ④正确;根 据题意得∠ED′H = 120°,∵ ∠D′OD = 90°,∠OD′H = ∠ODH = 60°,∴ ∠D′HD=150°,∴ 该八边形各内角不相等,∴ ②错误, 根据 OD =OD′,D′H =DH,OH =OH,∴ △D′OH≌△DOH,∴ ∠D′OH=∠DOH=45°,∠D′HO=∠DHO= 75°,∴ OD≠OH,∴ 点 O 到该八边形各顶点的距离都相等错误,∴ ③错误. 第 8 题解图 15. 27 8 　 【解析】由正方形的性质得 AD = DC = 5,CD∥AB,∴ ∠CDG = ∠AEF, ∵ CG = 4, ∴ DG = DC2 -CG2 = 3, sin∠CDG= sin∠AEF= CG CD =AF AE = 4 5 ,tan∠CDG= tan∠AEF =CG DG =AD AE = AF EF = 4 3 ,∴ AE= 15 4 ,∴ AF= 4 5 × 15 4 = 3,∴ EF = 9 4 ,∴ △AEF 的面积为 1 2 EF·AF= 27 8 . 16. 60;C-A-B-D　 【解析】节目 D 的演员的候场时间为 30+ 10+20 = 60 (min);由题意得节目 A 和 C 演员人数一样, 彩排时长不一样,那么时长长的节目应该放在后面,那么 C 在 A 的前面,B 和 D 彩排时长一样,人数不一样,那么 人数少的应该往后排,这样等待时长会短一些,那么 B 在 D 前面,∴ ①按照 C-B-A-D 顺序,则候场时间为(10+2+ 1) ×20+(10+1) ×10+1×30 = 400 (min);②按照 C-B-D- A 顺序,则候场时间为(10+2+ 1) × 20+(10+ 1) × 10+ 10× 10 = 470 (min);③按照 C-A-B-D 顺序,则候场时间为 (10+2+1) ×20+(2+1) ×30+1×10 = 360 (min);④按照 B- C-A-D 顺序,则候场时间为(10+10+1) ×10+(10+1) ×20 +1×30 = 460 (min);⑤按照 B-C-D-A 顺序,则候场时间 为(10+10+1) ×10+(10+1) ×20+10×10 = 530 ( min);⑥ 按照 B-D-C-A 顺序,则候场时间为(10+10+1) ×10+(10 +10) ×10+10×20 = 610 (min) . ∴ 按照 C-A-B-D 顺序彩 排,这 23 位演员的候场时间之和最小. 17.解:原式= 3 2 . 18.解:原不等式组的解集为-1<x<7. 19.解:原式= 3 a-b , ∵ a-b-1 = 0,∴ a-b= 1,∴ 原式= 3 1 = 3. 20. (1)证明略; (2)解:BC 的长为 13 . 21.解:符合. 理由略. 22.解:(1) k= 1, b= -1;{ (2)m 的取值范围为 m≥1. 23.解:(1)①91,4;②<; (2)甲,92. 24. (1)证明略; (2)解:∵ OF BF = 5 6 ,∴ 不妨设 OF= 5x,BF= 6x, ∴ OC=OE=OB=OF+BF= 11x, ∵ OD∥BC, ∴ △OFE∽△BFC,∠OBC= ∠POB, 第 24 题解图 ∴ OE BC =OF BF = 5 6 ,即 11x BC = 5 6 , 解得 BC= 66x 5 , 如解图,取 BC 的中点 M,连接 OM, 则 BM=CM= 1 2 BC= 33x 5 , ∵ OB=OC,∴ OM⊥BC, ∴ cos∠OBM= BM OB = 3 5 , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 62 参考答案及重难题解析·广西数学 真 题 模 拟 　 ∴ cos∠POB= 3 5 , ∵ PB 是☉O 的切线,∴ OB⊥PB, ∴ cos∠POB= 3 5 =OB OP = OB OE+PE = OB OB+1 , 解得 OB= 3 2 ,即☉O 半径的长为 3 2 . 25.解:(1)1. 0; (2)如解图,即为所画函数图象. 第 25 题解图 (3)①1. 2;②8. 6. 26.解:(1)把 a= 1 代入 y=ax2 -2a2x, 得 y= x2 -2x= (x-1) 2 -1, ∴ 抛物线的顶点坐标为(1,-1); (2)分两种情况:设点 M 关于对称轴直线 x = a 的对称点 为 M′, ①当 a>0 时,如解图①,此时 3a<3,∴ a<1, 又∵ a>0,∴ 0<a<1; 第 26 题解图① 　 　 第 26 题解图② ②当 a<0 时,如解图②,此时-a>4,解得 a<-4, 又∵ a<0,∴ a<-4; 综上,当 0<a<1 或 a<-4,都有 y1 <y2 . 27. (1)证明:如解图①,连接 CD, 第 27 题解图① 由题意得 BC=BD,∠CBD= 180°-2α,∴ ∠BDC= ∠BCD, ∵ ∠BDC+∠BCD+∠CBD= 180°, ∴ ∠BDC= 180°-(180°-2α) 2 =α, ∴ ∠BDC= ∠A,∴ CA=CD, ∵ DE⊥AN,∴ ∠ADE= 90°, ∴ ∠1+∠A= ∠2+∠BDC= 90°,∴ ∠1 = ∠2, ∴ CD=CE,∴ CA=CE,∴ C 是 AE 的中点; (2)解:EF= 2AC,证明如下: 如解图②,在射线 AM 上取点 H,使得 BH = BA,取 EF 的 中点 G,连接 DG,BH,DH, 第 27 题解图② ∵ BH=BA, ∴ ∠BAH= ∠BHA=α, ∴ ∠ABH= 180°-2α= ∠CBD, ∴ ∠ABC= ∠HBD, 又∵ BC=BD, ∴ △ABC≌△HBD, ∴ AC=DH,∠BHD= ∠A=α, ∴ ∠FHD= ∠BHA+∠BHD= 2α, ∵ DF∥AN,∴ ∠EFD= ∠A=α,∠EDF= ∠3 = 90°, ∵ G 是 EF 的中点,∴ GF=GD,EF= 2GD, ∴ ∠GFD= ∠GDF=α,∴ ∠HGD= 2α, ∴ ∠HGD= ∠FHD,∴ DG=DH, ∵ AC=DH,∴ DG=AC,∴ EF= 2AC. 28.解:(1)①C2 ,45; ② 1+ 2 2 ; (2) 3- 13 4 ≤t< 1 2 或 1<t≤ 3+ 13 4 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 15. 2024 年山西省初中学业水平考试 快速对答案 一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 3 分,共 30 分. ) 1. B　 2. A　 3. D　 4. C　 5. C　 6. B　 7. D　 8. B　 9. A　 10. A 二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 3 分,共 15 分. ) 11. >　 12. ( 5 -1)　 13. 4　 14. ( π 4 - 1 8 )　 15. 20 5 19 三、解答题(本大题共 8 小题,共 75 分. ) 16. (10 分)(1)原式= -10;(2)原式= 2x x+2 . 17. (7 分)最多可购买这种型号的水基灭火器 12 个. 18. (10 分)(1)7. 5,7,25%;(2)理由略. 19. (7 分)从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金 240 克,白银 1 000 克. 72