10.2024年广西南宁市第十四中学二模-【一战成名新中考】2025广西中考数学·真题与拓展训练

19-1 19-2 19-3 19-4 班级:　 　 　 　 　 　 　 姓名:　 　 　 　 　 　 　 学号:　 　 　 　 　 　 版权归 所有,盗版盗印举报电话:029-85424032 19　 10 2024 年南宁市第十四中学二模 (全卷满分 120 分,考试时间 120 分钟) 一、单项选择题(本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分. 在每小题给出的四个 选项中只有一项是符合要求的. ) 1. 若向北走 5 步记作+5 步,则向南走 7 步记作 ( 　 C　 ) A. +7 步　 　 　 　 　 B. +12 步　 　 　 　 　 C. -7 步　 　 　 　 　 D. -2 步 2. 下列图标中,是中心对称图形的是 ( 　 B　 ) A B C D 3. 二次根式 9的化简结果正确的是 ( 　 A　 ) A. 3 B. 2 C. 3 2 D. 2 3 4. 如图所示的几何体,它的主视图正确的是 ( 　 D　 ) 第 4 题图 　 　 A 　 　 　 B 　 　 　 C 　 　 　 D 5. 如图,AB∥CD,EF 分别交 AB,CD 于点 G,H,若∠1 = 39°,则∠2 的度数为 ( 　 A　 ) A. 39° B. 49° C. 51° D. 129° 第 5 题图 　 　 　 第 10 题图 　 　 　 第 12 题图 6. 正五边形的外角和为 ( 　 B　 ) A. 540° B. 360° C. 108° D. 72° 7. 下列各式中,计算正确的是 ( 　 C　 ) A. x3 +x4 = x7 B. x3·x2 = x6 C. ( -x3) 4 = x12 D. x9 ÷x3 = x3 8. 已知 x= -2 是方程 x-3a = 1 的解,那么 a 的值是 ( 　 C　 ) A. 1 B. 0 C. -1 D. 2 9. 某空气质量监测点记载的今年三月份某五天的空气质量指数( AQI)为:35, 27,34,40,26,则这组数据的中位数是 ( 　 D　 ) A. 26 B. 27 C. 33 D. 34 10. 如图,在平面直角坐标系中,将点 P(2,3)绕原点 O 顺时针旋转 90°得到点 P′,则 P′的坐标为 ( 　 B　 ) A. (3,2) B. (3,-2) C. (2,-3) D. ( -3,2) 11. 为鼓励学生积极参加阳光体育健身活动,某学校计划购买一批篮球和足球. 若购买 30 个篮球,20 个足球,需花费 2 350 元;若购买 20 个篮球,40 个足 球,需花费 2 500 元. 则篮球、足球的单价各是多少元? 设篮球的单价为 x 元,足球的单价为 y 元,则下列方程组正确的是 ( 　 B　 ) A. 30x+20y= 2 500 20x+40y = 2 350{ B. 30x+20y= 2 350 20x+40y= 2 500{ C. 20x+30y= 2 500 40x+20y= 2 350{ D. 20x+30y= 2 350 40x+20y= 2 500{ 12. 如图,在平面直角坐标系中,点 A 在 x 轴的正半轴上,点 B 在 y 轴正半轴上, OA= 2,C 为 AB 的中点,将△ACO 沿 CO 翻折,使点 A 落在反比例函数 y = k x 图象上的点 A′处,且 A′C∥AO,则 k 的值是 ( 　 A　 ) A. - 3 B. -2 3 C. -3 D. -2 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 2 分,共 12 分. ) 13. 若分式 6 a-1 有意义,则 a 的取值范围是　 　 　 　 . 14. 计算 cos60°= 　 　 　 　 . 15. 在某校举行的数学竞赛中,某班 10 名学生的成绩统计如图所示,则这 10 名 学生成绩的众数是　 　 　 　 . 第 15 题图 　 　 　 第 17 题图 　 　 　 第 18 题图 16. 在半径为 6 的圆中,100°的圆心角所对的扇形面积等于　 　 　 　 (结果保留 π). 17. 如图,OA=AB,∠BAO= 90° ,OB= 2,抛物线过 O、A、B 三点,则该抛物线的解 析式为 y= 　 　 　 　 . 18. 如图,在矩形 ABCD 中,AB= 3,BC= 4,点 E,F 将对角线 BD 三等分,点 P 是矩 形 ABCD 边上的动点. 则 PE+PF 的最小值为　 　 　 　 . 三、解答题(本大题共 8 小题,共 72 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤. ) 19. (本题满分 6 分)计算: 6÷3+( -3) 2 ×(1-4) . 解:原式=2+9×(-3) =2+(-27) =-25. 20. (本题满分 6 分)解不等式组 2x≤6, 3x+1 2 >x, ì î í ï ï ï ï 并把它的解集在数轴上表示出来. 第 20 题图 解: 2x≤6,① 3x+1 2 >x,② ì î í ïï ïï 解不等式①,得 x≤3, 解不等式②,得 x>-1, ∴原不等式组的解集为-1<x≤3, 把其在数轴上表示如解图. 21. (本题满分 10 分)在平面直角坐标系中,△ABC 的位置如图所示,每个小正 方形边长为单位 1,△ABC 的三个顶点分别在正方形格点上. (1)请画出△ABC 关于 x 轴对称的图形△A′B′C′,点 A,B,C 的对应点分别是 点 A′,B′,C′,并写出点 C′的坐标; (2)AC 的中点坐标为　 　 　 　 ,BC 与 B′C′的交点坐标为　 　 　 　 . 第 21 题图 (1)如解图,△A′B′C′即为所求,C′(1,-1); (2)(0, 5 2 ),(- 3 2 ,0) . 22. (本题满分 10 分)随着汉服文化、李子柒的短视频及游戏“原神”等在全球的 流行,激发了公众对传统文化的兴趣. 基于这股文化热潮,学校开展了一项 调查,以下是两幅不完整的调查结果统计: 是否应该将“保护和继承传统文 化”引入校园 百分比 累积百分比 非常有 必要 34. 4 34. 4 有必要 50. 9 85. 3 无所谓 3. 3 没必要 94. 6 非常没必要 100. 0 合计 100. 0 “保护和继承传统文化”引入校园 条形统计图 第 22 题图 (1)请补全条形统计图; (2)根据调查结果,学校举办了一场名为《国韵华章———文化自信》的诗词大 赛,第一轮为经典诵读,参赛者均从《短歌行》 《将进酒》 《观沧海》 《木兰 辞》(分别用 A,B,C,D 表示)中随机抽取一首进行朗诵;第二轮为诗词 讲解,参赛者均从《蒹葭》 《沁园春·雪》 《念奴娇·赤壁怀古》 (分别用 E,F,G 表示)中随机抽取一首进行讲解,晓慧参加了诗词大赛. 利用画树 状图或列表法,求晓慧第一轮抽中《木兰辞》且第二轮抽中《沁园春· 雪》的概率. 解:(1)“没必要”占比为 94. 6%-34. 4%-50. 9%-3. 3% =6%, 补全条形统计图如解图①; (2)画树状图如解图②: 共有 12 种等可能的结果,其中晓慧第一轮抽中 D《木兰辞》且第二 轮抽中 F《沁园春·雪》的结果有 1 种, ∴晓慧第一轮抽中《木兰辞》且第二轮抽中《沁园春·雪》的概率为 1 12 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 20-1 20-2 20-3 20-4 　20　 23. (本题满分 10 分)如图,AB∥CD,以点 A 为圆心,小于 AC 长为半径作弧,分别 交 AB,AC 于 E,F 两点,再分别以 E,F 为圆心,大于 1 2 EF 长为半径作弧,两 弧相交于点 P,作射线 AP,交 CD 于点 M. (1)若∠ACD= 124°,求∠MAB 的度数; (2)若 CN⊥AM,垂足为 N,延长 CN 交 AB 于点 O,连接 OM,求证:OA=OM. 第 23 题图 ∴∠MAB= 1 2 ∠CAB =28°; (2)证明:由作法知,AM 是∠CAB 的平分线, ∴∠MAB=∠MAC, 又∵AB∥CD, ∴∠MAB=∠CMA, ∴∠MAC=∠CMA,∴AC=MC. 又∵CN⊥AM, ∴OC 垂直平分线段 AM,∴OA=OM. 24. (本题满分 10 分) 共享电动车是一种新理念下的交通工具:主要面向 3~ 10 km 的出行市场,现有 A,B 两种品牌的共享电动车,收费 y(元)与骑行 时间 x(min)之间的函数关系如图所示,其中 A 品牌收费方式对应 y1,B 品牌 的收费方式对应 y2 . (1)骑行 B 品牌 10 分钟后,每分钟收费　 　 　 　 元; (2)如果小明每天早上需要骑行 A 品牌或 B 品牌的共享电动车去工厂上班, 已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为 20 km / h,小明家到工厂 的距离为6 km,那么小明选择哪个品牌的共享电动车更省钱呢? (3)若 A 品牌与 B 品牌的收费相差 1. 4 元,求 x 的值. 第 24 题图 (3)∵当 x=20 min 时两种收费相同, ∴两种收费相差 1. 4 元时,分 20 min 前和 20 min 后两种情况, ①当 x<20 时,离 20 min 越近收费相差的越少, 当 x=10 时,y1 =0. 2×10=2,y2 =3,y2-y1 =3-2=1, ∴要使两种收费相差 1. 4 元,x 应小于 10, ∴ y2-y1 =3-0. 2x=1. 4,解得 x=8; ②设 B品牌在 x>10的函数关系式为 y2 =kx+b,代入点(10,3)和点(20,4), ∴ 3=10k+b, 4=20k+b,{ 解得 k=0. 1, b=2,{ ∴ y2 =0. 1x+2 (x>10), 当 x>20 时,0. 2x- (0. 1x+2)= 1. 4,解得 x=34. ∴当 x=8 或 34 时,两种收费相差 1. 4 元. 25. (本题满分 10 分)在中国古代,“方”象征稳定秩序,“圆”代表无限循环. 设 计中结合“外方内圆”或“外圆内方”以体现天地阴阳和谐. 这些设计彰显古 人智慧、审美与哲学,传递对和谐、秩序的尊重,如古铜钱、良渚玉琮、中式窗 棂. 从古代的方圆象征到数学中的正方形与圆,我们探讨它们之间的一些数 学问题. (1)如图①,在正方形 ABCD 中,O 为对角线的交点,☉O 的半径为正方形边 长的一半,求证:☉O 与 AD 相切; ( 2)如图②,在正方形 ABCD 中,AB= 4,DN,BM,BD 分别与☉O 相切于点 N, M,E,且 DN=BM= 2 2 ,OC= 2 2 -1,求☉O 的半径; (3)如图③,半径为 1 的☉O 在边长为 4 的正方形 ABCD 内任意移动,在其任 意移动的过程中,☉O 所移动过的最大区域面积为　 　 　 　 . 　 图① 　 图② 　 图③ 第 25 题图 (1)证明:如解图①,过点 O 作 OE⊥AD 于点 E, ∵四边形 ABCD 为正方形, ∴OD=OA,OD⊥OA, ∴OE 平分 AD,即 DE=EA, ∴OE=DE=EA= 1 2 AD,即 OE 等于☉O 的半径, ∴☉O 与 AD 相切; (2)解:如解图②,连接 OE, ∵BD 与☉O 切于点 E, ∴OE⊥BD. 由切线长定理可得 DN=DE,BE=BM, ∵DN=BM=2 2 , ∴DE=BE, ∴OE 为 BD 的垂直平分线. 在正方形 ABCD 中,∵AB=AD=4,CD=BC, 由勾股定理可得 BD= AB2+AD2 = 42+42 = 4 2 , 且点 C 也在 BD 的垂直平分线上, ∴CE=2 2 ,且 C,O,E 三点共线. ∵OC=CE-OE=2 2 -1, ∴OE=1, ∴☉O 的半径为 1; (3)解:12+π. 【详解见答案册 Px】 26. (本题满分 10 分)综合与实践 【问题初探】数学小组先以抛物线 y= 1 2 x2 为例,对函数图象的平移变换做了 以下研究: y= 1 2 x2 向左平移 1 个单位 向下平移 2 个单位 y1 = 1 2 (x+1) 2 +k (1)k 的值为　 　 　 　 ,若点 A( -2,2)在抛物线 y= 1 2 x2 上,则平移后对应的点 A′的坐标为　 　 　 　 ; 【探究归纳】同学们对函数图象向左平移 1 个单位,解析式中的 x 反而变为 x+1 产生了疑惑,这与点的坐标平移规律不一样,从而展开深入研究,以下是 他们的部分相关研究笔记: 定义:函数图象按(h,k)平移是指沿 x 轴方向向右平移 h(h>0)个单位或向 左平移 | h | (h<0)个单位;再沿 y 轴向上平移 k(k>0)个单位或向下平移 | k | (k<0)个单位. 设抛物线 y= 1 2 x2 上的任意一点为M(x,y),将抛物线按( -1,3)平移后,M 的 对应点为 N(x1,y1) . 【拓展应用】同学们发现,这种方法同样适用于一次函数以及反比例函数等 函数图象的平移前后解析式的研究. (2)若反比例函数 y= 1 x 的图象按(1,4)平移,求平移后的函数解析式; (3)若抛物线按(m,n)平移,规定平移路径长为 m2+n2 .将抛物线 y= 1 2 x2 平移 后交直线 y=x-1 于 A,B 两点,AB=4,当平移路径最短时,求m,n 的值. (3)解法一:由已知可知,抛物线 y= 1 2 x2 的顶点(0,0)按(m,n)平移后的抛物线顶点 坐标为(m,n),设平移后的解析式为 y = 1 2 (x-m) 2+n ①,其与直线 y =x-1②的两个 交点分别为 A(x1,y1),B(x2,y2) . 将③代入,得(2+2m) 2-4(m2-2m+2)= 8, 整理得 m= 3 4 , 此时 n=-m=- 3 4 , ∴当平移路径最短时,m= 3 4 ,n=- 3 4 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 参考答案及重难题解析·广西数学 真 题 模 拟 ∴ ∠CAE+∠AFC= 90°, ∵ AD 平分∠BAC,∴ ∠CAE= ∠BAE, ∴ ∠AEB= ∠AFC, ∵ ∠BFE= ∠AFC,∴ ∠BFE= ∠AEB,∴ BE=BF; 第 24 题解图 (2)解:如解图,连接 BD, ∵ AB 是☉O 的直径, ∴ ∠ADB= 90°, ∴ ∠BDE= 90°, ∵ BE 是☉O 的切线,AB 是☉O 的直 径, ∴ ∠ABE= 90°,∴ ∠ABE= ∠BDE= 90°, 又∵ ∠E 为公共角, ∴ △BDE∽△ABE,∴ BE AE =DE BE , ∵ ☉O 的半径是 2,∴ AB= 2×2 = 4, 在 Rt△ABE 中,BE= 3, 由勾股定理得 AE= AB2 +BE2 = 42 +32 = 5, ∴ 3 5 =DE 3 ,∴ DE= 9 5 , 由(1)知 BE=BF, 又∵ BD⊥EF,∴ EF= 2DE= 18 5 , ∴ AF=AE-EF= 5- 18 5 = 7 5 . 25. (1)解:15-5 5 ; (2)证明:如解图,连接 GF, 第 25 题解图 ∵ 正方形 ABCD 的边长为 1,∴ CF=DF= 1 2 , 在 Rt△BCF 中,BF= BC2 +CF2 = 5 2 , ∴ A′F=BF-A′B= 5 2 -1, 设 AG=A′G= x,则 GD= 1-x, 在 Rt△A′GF 和 Rt△DGF 中,有 A′F2 +A′G2 =DF2 +DG2 , 即( 5 2 -1) 2 +x2 = ( 1 2 ) 2 +(1-x) 2 ,解得 x= 5 -1 2 , ∴ 点 G 是 AD 的黄金分割点(AG>GD) . (3)解:正五边形的每个内角为 (5-2) ×180° 5 = 108°, ∴ ∠PEA= ∠PAE= 180°-108° = 72°, ∴ cos72° = 1 2 AE PE = AE 2PE , ∵ 点 E 是线段 PD 的黄金分割点,∴ DE PE = 5 -1 2 , 又∵ AE=ED, AE PE = 5 -1 2 , ∴ cos72° = AE 2PE = 1 2 · 5 -1 2 = 5 -1 4 . 26.解:(1)抛物线的解析式为 y= 1 8 x2 +1; (2)∵ 酒面下降了 1 cm, ∴ 此时酒面距碗底距离为 7-1 = 6(cm),即 y= 6, 当 y= 6 时, 1 8 x2 +1 = 6, 解得 x1 = -2 10 <0(舍去),x2 = 2 10 , ∴ 此时酒面 MN 的宽度为 4 10 cm; (3)以 F 为原点,直线 AB 为 x 轴,直线 EF 为 y 轴,建立 平面直角坐标系,设 CH 与 y 轴交于点 O,如解图, 将酒碗绕点 B 缓缓倾斜倒出部分酒,当∠ABK = 30°时停 止, ∴ 旋转前 CH 与水平方向的夹角为 30°,即∠DCH= 30°, 设直线 CH 的解析式为 y= kx+b(k≠0), 由题意知 C(4 3 ,7), ∵ ∠DCH= 30°,CG= 4 3 , ∴ GO= 4 3 tan30° = 4,即 O(0,3), 由点 C,O 的坐标,易得直线 CH 的解析式为 y= 3 3 x+3, 联立上式和抛物线的表达式,得 1 8 x2 +1 = 3 3 x+3, 解得 x= - 4 3 3 或 x= 4 3 (舍去),∴ H( - 4 3 3 , 5 3 ), ∴ CH= (4 3 + 4 3 3 ) 2 +(7- 5 3 ) 2 = 32 3 . 即此时的酒面 CH 的值为 32 3 cm. 第 26 题解图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 10. 2024 年南宁市第十四中学二模 快速对答案 一、单项选择题(本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分. ) 1. C　 2. B　 3. A　 4. D　 5. A　 6. B　 7. C　 8. C　 9. D　 10. B　 11. B　 12. A 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 2 分,共 12 分. ) 13. a≠1　 14. 1 2 　 15. 90　 16. 10π　 17. x2 +2x 　 18. 97 3 81 参考答案及重难题解析·广西数学 真 题 模 拟 　 三、解答题(本大题共 8 小题,共 72 分. ) 19. (6 分)原式= -25. 20. (6 分)原不等式组的解集为-1<x≤3,在数轴上表示略. 21. (10 分)(1)作图略,C′(1,-1);(2)(0, 5 2 ),( - 3 2 ,0) . 22. (10 分)(1)补全条形统计图略;(2)晓慧第一轮抽中《木兰辞》且第二轮抽中《沁园春·雪》的概率为 1 12 . 23. (10 分)(1)∠MAB 的度数为 28°;(2)证明略. 24. (10 分)(1)0. 1;(2)小明选择 A 品牌的共享电动车更省钱;(3)x 的值为 8 或 34. 25. (10 分)(1)证明略;(2)☉O 的半径为 1;(3)12+π. 26. (10 分)(1) -2,( -3,0);(2)y= 1 x-1 +4;(3)m= 3 4 ,n= - 3 4 . 详解详析 12. A　 【解析】如解图,设 A′C 与 y 轴交于点 D,由翻折的性 质可知 ∠AOC = ∠A′ OC, OA = OA′ = 2, ∵ A′ C∥OA, ∴ ∠A′CO= ∠AOC,∴ ∠A′OC = ∠A′CO,∴ A′C = OA′ = 2, ∵ C 为 AB 的中点,A′C∥OA,∴ BD = OD,∴ CD 是△AOB 的中位线,∴ CD= 1 2 OA= 1,∴ A′D= 2-1 = 1,在 Rt△A′OD 中,OA′2 =OD2 +A′D2 ,∴ 22 =OD2 + 12 ,∴ OD = 3 (负值已 舍去),∴ A′( - 1, 3 ),∵ 反比例函数 y = k x 的图象过点 A′,∴ k= -1× 3 = - 3 . 第 12 题解图 18. 97 3 　 【解析】∵ 在矩形 ABCD 中,AB = 3,BC = 4,∴ CD = AB= 3,∠BCD = 90°,由勾股定理得 BD = CD2 +BC2 = 32 +42 = 5,分两种情况讨论:①当点 P 在 BC(或 AD) 上时,如解图①,作点 F 关于 BC 的对称点 M,连接 EM 交 BC 于点 H,连接 FH,则 HF = HM,∴ HE+HF = HE+HM = EM,即当点 P 在 BC 边上位于点 H 时,PE+PF =HE+HM 最小,此时 PE+PF 的最小值为 EM,如解图①,过点 E 作 EN∥BC 交 MF 的延长线于点 N,∵ 点 E,F 将对角线 BD 三等分,∴ EF= 1 3 BD= 5 3 ,∴ EN = 1 3 BC = 4 3 ,FN = 1 3 AB = 1,FM= 2FN= 2,∴ MN =FN+FM = 1+2 = 3,由勾股定理 得 EM= EN2 +MN2 = ( 4 3 ) 2 +32 = 97 3 ,∴ 此时 PE+ PF 的最小值为 97 3 ;②当点 P 在 AB(或 CD)上时,如解 图②,作点 F 关于 AB 的对称点 M,连接 EM 交 AB 于点 H,连接 FH,则 HF =HM,∴ HE+HF = HE+HM = EM,即当 点 P 在 AB 边位于点 H 时,PE+PF = HE+HM 最小,此时 PE+PF 的最小值为 EM,如解图②,过点 E 作 EN∥AB 交 MF 的延长线于点 N,∵ 点 E,F 将对角线 BD 三等分,∴ EF= 1 3 BD= 5 3 ,∴ EN = 1 3 AB = 1,FN = 1 3 BC = 4 3 ,FM = 2FN= 8 3 ,∴ MN=FN+FM= 4 3 + 8 3 = 4,由勾股定理得 EM = EN2 +MN2 = 12 +42 = 17 ,∴ 此时 PE+PF 的最小 值为 17 . ∵ 17 > 97 3 ,∴ PE+PF 的最小值为 97 3 . 图① 　 　 图② 第 18 题解图 19.解:原式= -25. 20.解:原不等式组的解集为-1<x≤3, 把其在数轴上表示如解图. 第 20 题解图 21. (1)如解图,△A′B′C′即为所求,C′(1,-1); 第 21 题解图 (2)(0, 5 2 ),( - 3 2 ,0) . 22.解:(1)“没必要”占比为 94. 6%-34. 4%-50. 9%-3. 3% = 6%, 补全条形统计图如解图; “保护和继承传统文化”引入校园条形统计图 第 22 题解图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 91 参考答案及重难题解析·广西数学 真 题 模 拟 (2)晓慧第一轮抽中《木兰辞》且第二轮抽中《沁园春· 雪》的概率为 1 12 . 23. (1)解:∠MAB= 28°; (2)证明略. 24.解:(1)0. 1; (2)∵ 6÷20 = 0. 3 (h),0. 3 h = 18 min, 又∵ 18<20,由图象可知,当骑行时间不足 20 min 时,y1 < y2 ,即骑行 A 品牌的共享电动车更省钱, ∴ 小明选择 A 品牌的共享电动车更省钱; (3)∵ 当 x= 20 min 时两种收费相同, ∴ 两种收费相差 1. 4 元时,分 20 min 前和 20 min 后两种 情况, ①当 x<20 时,离 20 min 越近收费相差的越少, 当 x= 10 时,y1 = 0. 2×10 = 2,y2 = 3,y2 -y1 = 3-2 = 1, ∴ 要使两种收费相差 1. 4 元,x 应小于 10, ∴ y2 -y1 = 3-0. 2x= 1. 4,解得 x= 8; ②设 B 品牌在 x> 10 的函数关系式为 y2 = kx+b,代入点 (10,3)和点(20,4), ∴ 3 = 10k+b, 4 = 20k+b,{ 解得 k= 0. 1, b= 2,{ ∴ y2 = 0. 1x+2 (x>10), 当 x>20 时,0. 2x- (0. 1x+2)= 1. 4,解得 x= 34. ∴ x 的值为 8 或 34. 第 25 题解图① 25. ( 1)证明:如解图①,过点 O 作 OE⊥ AD 于点 E, ∵ 四边形 ABCD 为正方形, ∴ OD=OA,OD⊥OA, ∴ OE 平分 AD,即 DE=EA, ∴ OE=DE=EA= 1 2 AD,即 OE 等于☉O 的半径. 第 25 题解图② ∴ ☉O 与 AD 相切; (2)解:如解图②,连接 OE, ∵ BD 与☉O 切于点 E, ∴ OE⊥BD. 由切线长定理可得 DN = DE, BE = BM, ∵ DN=BM= 2 2 ,∴ DE=BE, ∴ OE 为 BD 的垂直平分线. 在正方形 ABCD 中,∵ AB=AD= 4,CD=BC, 由勾股定理可得 BD= AB2 +AD2 = 42 +42 = 4 2 , 且点 C 也在 BD 的垂直平分线上, ∴ CE= 2 2 ,且 C,O,E 三点共线. ∵ OC=CE-OE= 2 2 -1,∴ OE= 1,∴ ☉O 的半径为 1; (3)解:12+π. 26.解:(1) -2,( -3,0); (2)设反比例函数 y = 1 x 图象上的任意一点为 M( x,y), 将函数图象按(1,4)平移后,M 的对应点为 N(x1 ,y1 ), 则 x1 = x+1,y1 = y+4,∴ x= x1 -1,y= y1 -4. ∵ 点 M 在反比例函数 y= 1 x 的图象上,将其坐标代入,得 y1 -4 = 1 x1 -1 ,即点 N 在函数 y= 1 x-1 +4 的图象上, ∴ 平移后的函数解析式为 y= 1 x-1 +4; (3)解法一:由已知可知,抛物线 y= 1 2 x2 的顶点(0,0)按 (m,n)平移后的抛物线顶点坐标为(m,n),设平移后的 解析式为 y= 1 2 (x-m) 2 +n ①,其与直线 y= x-1②的两个 交点分别为 A(x1 ,y1 ),B(x2 ,y2 ) . 联立①②,得 1 2 (x-m) 2 +n= x-1, 整理得 x2 -2(m+1)x+m2 +2n+2 = 0, 则 x1 +x2 = 2+2m,x1x2 =m2 +2n+2,③ 由勾股定理得 AB= (x1 -x2 ) 2 +(y1 -y2 ) 2 = 4, 将 y1 = x1 -1,y2 = x2 -1 代入上式,再两边平方,整理得( x1 -x2 ) 2 = 8, ∴ (x1 +x2 ) 2 -4x1x2 = 8, 将③代入,整理得 n-m= - 3 2 ,即 n= - 3 2 +m. 设平移路径长为 l,由已知可得 l2 =m2 +n2 , 将 n= - 3 2 +m 代入上式,得 l2 = m2 +( - 3 2 +m) 2 = 2(m- 3 4 ) 2 + 9 8 , ∵ 2>0, ∴ 当 m= 3 4 时,l2 最小,即 l 最小,此时 n= - 3 2 +m= - 3 4 , ∴ 当平移路径最短时,m= 3 4 ,n= - 3 4 . 第 26 题解图 解法二:不妨设抛物线 y = 1 2 x2 的顶点 O(0,0)按(m,n)平移后的抛物线顶点 坐标为 O1(m,n), 如解图,过点 O1 作 O1E⊥y 轴于点 E, 连接 OO1 ,则 n<0,l=OO1 , ∴ OE= | n | = -n,O1E=m, 要使 l 最小,则 OO1 ⊥AB, 设直线 AB 分别交 y 轴,x 轴于 C,D 两点, 分别令 x= 0,y= 0 代入解析式 y= x-1,得 OC=OD= 1, ∴ 当 l 最小时,OO1 垂直平分 CD, ∴ OO1 平分∠COD,∴ ∠EOO1 = 45°, ∴ OE=O1E,∴ -n=m,即 n= -m,∴ O1(m,-m) . 设平移后的解析式为 y= 1 2 (x-m) 2 -m ①,其与直线 y = x-1②的两个交点分别为 A(x1 ,y1 ),B(x2 ,y2 ) . 联立①②,得 1 2 (x-m) 2 -m= x-1, 整理得 x2 -2(m+1)x+m2 -2m+2 = 0, 则 x1 +x2 = 2+2m,x1x2 =m2 -2m+2③, 由勾股定理得 AB= (x1 -x2 ) 2 +(y1 -y2 ) 2 = 4, 将 y1 = x1 -1,y2 = x2 -1 代入上式,再两边平方,整理得( x1 -x2 ) 2 = 8, ∴ (x1 +x2 ) 2 -4x1x2 = 8, 将③代入,得(2+2m) 2 -4(m2 -2m+2)= 8, 整理得 m= 3 4 ,此时 n= -m= - 3 4 , ∴ 当平移路径最短时,m= 3 4 ,n= - 3 4 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 02