3.2024年广西初中学业水平考试变式卷(二)-【一战成名新中考】2025广西中考数学·真题与拓展训练

参考答案及重难题解析·广西数学 真 题 模 拟 　 时,即 0 = - 1 18 x2 + 2 3 x+ 14,解得 x = 6+ 12 2 (负值已舍 去),∴ 若小王不去接,则洗手液落在台面的位置距 DH 的水平距离是 12 2 cm. 19.解:原式= 3. 20.解:第 1 步是错误的; 正确的解题过程略,原分式方程无解. 21.解:(1)2,85,80; (2)七年级成绩较好,理由略; (3)估计需要准备 140 张奖状. 22.解:(1)如解图,即为所求; 第 22 题解图 (2)∠EAO 的度数为 15°. 23.解:任务一:该收纳盒的底面 ABCD 的边 BC 的长为 30 cm,AB 的长为 35 cm; 任务二:该收纳盒的高为 10 cm. 24. (1)证明略; 第 24 题解图 (2)证明:如解图,连 接 AC, ∵ OF⊥BC,∴ BE ( =CE ( , ∴ ∠CAE= ∠ECB, ∵ ∠CEA= ∠HEC, ∴ △CEH∽△AEC, ∴ CE HE = AE CE , ∴ CE2 = HE·AE; (3)解:如解图,连接 BE, ∵ AB 是☉O 的直径,∴ ∠AEB= 90°, ∵ ☉O 的半径为 4,sin∠BAE= 3 4 , ∴ AB= 8,BE=AB·sin∠BAE= 8× 3 4 = 6, ∴ EA= AB2 -BE2 = 2 7 , ∵ BE ( =CE ( ,∴ BE=CE= 6, ∵ CE2 =EH·EA,∴ EH= 18 7 7 , ∴ 在 Rt△BEH 中,BH= BE2 +EH2 = 24 7 7 . 25.解:(1)①0,-4,-1,-3; ②根据函数的对称性画图如解图; 第 25 题解图 ③-3;④0≤x≤1 或 x≥2; (2)①-3m2 ; ②设抛物线 L 的顶点为点 C,点 C 关于直线 x =m 的对称 点为 C′, ∵ 抛物线 L:y= x2 -4mx, ∴ 顶点 C 的横坐标为 2m,对称点 C′的横坐标为 0, ∴ 当 m>0 时,若双抛图形 L′的函数值随着 x 的增大而增 大,则 x 的取值范围为 0≤x≤m 或 x≥2m, 当 m<0 时,若双抛图形 L′的函数值随着 x 的增大而增 大,则 x 的取值范围为 2m≤x≤m 或 x≥0. 26. ( 1) 证明:由三角形外角的性质可得∠DPB = ∠DPC + ∠CPB= ∠A+∠ADP, ∵ ∠A= ∠DPC, ∴ ∠CPB= ∠ADP, 又∵ ∠A= ∠B, ∴ △DAP∽△PBC; (2)解:设 AP= x, 由(1)得△PBC∽△DAP,则 PB DA =BC AP ,即 10-x 2 = 8 x , 解得 x1 = 2,x2 = 8, ∴ AP= 2 或 AP= 8; (3)解:AP 的长为 20 3 或 4. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 3. 2024 年广西初中学业水平考试变式卷(二) 快速对答案 一、单项选择题(本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分. ) 1. C　 2. B　 3. B　 4. C　 5. B　 6. A　 7. B　 8. B　 9. C　 10. B　 11. A　 12. D 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 2 分,共 12 分. ) 13. ∠5　 14. 6　 15. >　 16. x>2　 17. 1 2 　 18. 7 4 三、解答题(本大题共 8 小题,共 72 分. ) 19. (6 分)原式= 16. 20. (6 分)原式= 1 a-1 ,当 a= 1+ 3时,原式= 3 3 . 5 参考答案及重难题解析·广西数学 真 题 模 拟 21. (10 分)(1)①16. 4,是;②3;(2)10. 5;(3)m<n,理由略. 22. (10 分)(1)作图略;(2)证明略. 23. (10 分)(1)3;(2)m+n 的值为 6;(3)这个小球的质量为 20 g. 24. (10 分)(1)小明的判断正确,理由略; (2)滑块 Q 在平直滑道 l 上可以左右滑动的最大距离为 40 6 cm. 25. (10 分)(1)y= - 1 12 (x-2) 2 +3;(2)球不能射进球门,计算略;(3)n 的取值范围为 1≤n≤4. 26. (10 分)(1)此时△ADE 的面积为 15 4 ;(2)①此时 BP 的长为 1;②CM 的长为 25 12 或 25 16 . 详解详析 12. D　 【解析】如解图,过点 E 分别作 AD,AB 的垂线,垂足 为 H,I,过点 G 作直线 AB 的垂线,垂足为 J,则∠EHD = ∠EIF = 90°, ∵ 四边形 ABCD 是正方形, ∴ AC 平分 ∠DAB,∠DAB= 90°,AD=AB = 6,∴ EH =EI,四边形 AIEH 为矩形,∴ ∠HEI= 90°,AH=EI,∵ 四边形 DEFG 是矩形, ∴ ∠DEF= 90°,∴ ∠1+∠HEF = ∠2+∠HEF = 90°,∴ ∠1 = ∠2,∴ △EHD≌△EIF,∴ DH = FI,同理可得△EIF≌ △FJG,∴ GJ = FI,∵ AC 平分∠DAB,∴ ∠EAB = 45°, ∴ △AEI 为等腰直角三角形,∴ 设 EI = AI = x,则 EI = AI = AH =JF= x,∵ 点 F 为 AB 中点,AB = 6,∴ AF = 3,∴ FI =DH = GJ = x-3,∴ AJ =FJ-AF = x-3,∴ GJ = IF = JA,∴ △GJA 为 等腰直角三角形,由勾股定理得 AG = 2 AJ,∵ AD = AH+ HD,∴ x+x-3 = 6,解得 x= 9 2 ,∴ AJ= 3 2 ,∴ AG= 3 2 2 . 第 12 题解图 18. 7 4 　 【解析】∵ y1 = y2 ,∴ 点 M,N 关于直线 x = 2 对称,∴ x1 +x2 2 = 2, ∵ x2 - x1 = 3, ∴ 联 立, 得 x1 +x2 2 = 2, x2 -x1 = 3, { 解 得 x1 = 1 2 , x2 = 7 2 , ì î í ï ï ïï ∴ x1x2 = 7 4 . 19.解:原式= 16. 20.解:原式= 1 a-1 ,当 a= 1+ 3时,原式= 1 1+ 3 -1 = 3 3 . 21.解:(1)①16. 4,是;②3; (2)10. 5; (3)m<n. 理由略. 22. (1)解:如解图,直线 EF 即为所求; 第 22 题解图 (2)证明略. 23.解:(1)3; (2)m+n= 6; (3)这个小球的质量为 20 g. 24.解:(1)小明的判断正确,理由略; (2)由题意知当 Q,P,O 三点共线时,点 Q 离点 H 的距离 最远, 如解图,当点 Q 在点 H 右边时,OQ=OP+PQ=70 cm, 第 24 题解图 ∴ HQ= OQ2 -OH2 = 702 -502 = 20 6 (cm), 故当点 Q 在点 H 右边时,点 Q 离点 H 的最大距离为 20 6 cm, 同理可得当点 Q 在点 H 左边时,点 Q 离点 H 的最大距离 也为 20 6 cm, ∴ 滑块 Q 在平直滑道 l 上可以左右滑动的最大距离为 20 6 ×2 = 40 6 (cm) . 25.解:(1)∵ 8-6 = 2,∴ 抛物线的顶点坐标为(2,3), 设该抛物线的解析式为 y=a(x-2) 2 +3, 把点 A(8,0)代入,得 36a+3 = 0,解得 a= - 1 12 , ∴ 该抛物线的解析式为 y= - 1 12 (x-2) 2 +3; (2)当 x= 0 时,y= - 1 12 ×4+3 = 8 3 >2. 44, ∴ 球不能射进球门; (3)由题意得移动后的抛物线的解析式为 y= - 1 12 (x-2-n) 2 +3,其中 n>0, 把点(0,2. 25)代入,得 2. 25 = - 1 12 ×(0-2-n) 2 +3, 解得 n1 = -5(舍去),n2 = 1, 把点(0,0)代入,得 0 = - 1 12 ×(0-2-n) 2 +3, 解得 n3 = -8(舍去),n4 = 4, ∴ n 的取值范围为 1≤n≤4. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 6 参考答案及重难题解析·广西数学 真 题 模 拟 　 26.解:(1)如解图①,过点 E 作 EF⊥AD 于点 F, 第 26 题解图① 在 Rt△ABP 中,AB= 3,BP= 3 , ∴ tan∠BAP= 3 3 , ∴ ∠BAP= 30°. 由折叠知∠PAE= ∠PAB= 30°, ∴ ∠DAE= 30°, ∴ EF= 1 2 AE= 3 2 , ∴ S△ADE = 1 2 AD·EF= 1 2 ×5× 3 2 = 15 4 ; (2)①如解图②,由折叠知 AE=AB= 3, 第 26 题解图② ∴ DE= AD2 -AE2 = 52 -32 = 4. ∵ AD∥BC, ∴ ∠ADP= ∠DPC. 又∵ ∠AED= ∠C= 90°,AE=CD, ∴ △AED≌△DCP(AAS), ∴ AD=DP= 5, ∴ PE= 5-4 = 1, ∴ BP=PE= 1; ②由题意知 EM=CM,AE=AB,如解图③,当点 M 在边 CD 上时, 第 26 题解图③ 设 CM=a,则 AM= 3+a,DM= 3-a, ∴ (3+a) 2 = (3-a) 2 +52 , ∴ a= 25 12 . 如解图④,当点 M 在边 BC 上时, 第 26 题解图④ 设 CM= b,则 AM= 3+b,BM= 5-b, ∴ 32 +(5-b) 2 = (3+b) 2 , ∴ b= 25 16 . 综上所述,CM 的长为 25 12 或 25 16 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 4. 2023 年广西初中学业水平考试 快速对答案 一、单项选择题(本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分. ) 1. C　 2. A　 3. A　 4. D　 5. C　 6. D　 7. D　 8. B　 9. A　 10. B　 11. B　 12. C 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 2 分,共 12 分. ) 13. 3　 14. a(a+5)　 15. 1　 16. 2 5 　 17. 21　 18. 2 三、解答题(本大题共 8 小题,共 72 分. ) 19. (6 分)原式= 6. 20. (6 分)原分式方程的解是 x= -1. 21. (10 分)(1)作图略;(2)AB 的长是 2 3 . 22. (10 分)(1)a= 8,b= 80%,c= 7. 5;(2)估计该校八年级学生成绩合格的人数为 510; (3)根据中位数可知七年级学生成绩好于八年级学生成绩(答案不唯一) . 23. (10 分)(1)证明略;(2)PA 的长是 12. 24. (10 分)(1)证明略;(2)y 关于 x 的函数解析式为 y= 3 3 4 x2 -3 3 x+4 3 (0≤x≤4); (3)当 0≤x≤2 时,△DEF 的面积随 AD 的增大而减小;当 2<x≤4 时,△DEF 的面积随 AD 的增大而增大. 25. (10 分)(1) l= 5a;(2)101l-5a= 250;(3) l= 2. 5,a= 0. 5;(4)y= 1 20 m;(5)相邻刻线间的距离为 5 厘米. 26. (10 分)(1)∠1 = ∠2 = ∠3;(2)证明略;(3)证明略. 详解详析 1. C　 2. A　 3. A　 4. D　 5. C　 6. D　 7. D　 8. B　 9. A 10. B　 11. B 12. C　 【解析】设 A(m, k m ),在 y = - 1 x 中,令 y = k m 得 x = 􀪋 􀪋 􀪋 7 5-1 5-2 5-3 5-4 班级:　 　 　 　 　 　 　 姓名:　 　 　 　 　 　 　 学号:　 　 　 　 　 　 版权归 所有,盗版盗印举报电话:029-85424032 5　 3 2024 年广西初中学业水平考试变式卷(二) (全卷满分 120 分,考试时间 120 分钟) 一、单项选择题(本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分. 在每小题给出的四个 选项中只有一项是符合要求的. ) 1. 已知冰箱的冷冻要求为-18 ℃ ~ -4 ℃ ,则下列温度符合要求的是 ( 　 C　 ) A. 15 ℃ 　 　 　 　 　 B. 0 ℃ 　 　 　 　 　 C. -4. 1 ℃ 　 　 　 　 　 D. 5 ℃ 2. 小欣同学用纸(如图)折成了个正方体的盒子,里面放了一瓶墨水,混放在下 面的盒子里,只凭观察,选出墨水在哪个盒子中 ( 　 B　 ) 第 2 题图 　 　 　 　 3. 《康熙字典》是中国古代汉字字数最多的字典,共收录汉字 47 000 余个. 将 47 000 用科学记数法表示应为 ( 　 B　 ) A. 0. 47×105 B. 4. 7×104 C. 4. 7×103 D. 47×103 4. 某几何体的三视图如图所示,这个几何体是 ( 　 C　 ) 　 　 　 5. 中国象棋文化历史久远,在如图所示的部分棋盒中,“馬”的位置在“ ---”(图 中虚线)的下方,“馬”移动一次能够到达的所有位置已用“ ·”标记,则“馬” 随机移动一次,到达的位置在“ ---”上方的概率是 ( 　 B　 ) A. 1 3 B. 1 4 C. 2 3 D. 3 4 第 5 题图 　 　 　 第 6 题图 6. 如图,∠AOB 的度数可能是 ( 　 A　 ) A. 45° B. 60° C. 65° D. 70° 7. 如图,在平面直角坐标系中,有 A,B,C,D 四点,若有一条直线 l 过点(2,-2) 且与 y 轴垂直,则 l 也会经过 ( 　 B　 ) A. 点 A B. 点 B C. 点 C D. 点 D 第 7 题图 　 　 第 9 题图 　 　 第 12 题图 8. 若一次函数 y= kx+b(k≠0)的图象经过 A(1,0),B(0,3),则不等式 y<0 的解 集为 ( 　 B　 ) A. x<1 B. x>1 C. x>3 D. x<3 9. 某市煤气公司要在地下修建一个圆柱形煤气储存室. 储存室的底面积 S(m2 ) 与其深度 H(m)成反比例,S 关于 H 的函数图象如图所示. 公司原计划把储存 室的底面积 S 定为 400 m2,当施工队按计划掘进到地下 5 m 时,公司临时改 变计划,把储存室的深度在原计划的基础上增加 10 m,相应地,储存室的底面 积应 ( 　 C　 ) A. 减少 100 m2 B. 增加 100 m2 C. 减少 200 m2 D. 增加 200 m2 10. 当 x= 1 时,整式 ax3 +bx+1 的值为 2 024,则当 x = -1 时,整式 ax3 +bx-2 的值 是 ( 　 B　 ) A. 2 025 B. -2 025 C. 2 021 D. -2 021 11. 中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》有这么一道题:“直田积八百六 十四步,只云长阔共六十步,问长多阔几何?”意思是一块矩形田地的面积为 864 平方步,只知道它的长与宽共 60 步,问它的长比宽多多少步? 设矩形田 地的长为 x(x>30)步,依题意可列方程 ( 　 A　 ) A. x(60-x)= 864 B. x(30-x)= 864 C. 2x(60-x)= 864 D. 2x(60-2x)= 864 12. 如图,在正方形 ABCD 中,AB= 6,点 E 是对角线 AC 上的一点,连接 DE,过点 E 作 EF⊥ED,交 AB 于点 F,以 DE,EF 为邻边作矩形 DEFG,连接 AG,若 F 恰为 AB 的中点,则 AG 的长为 ( 　 D　 ) A. 3 2 B. 3 4 C. 9 4 D. 3 2 2 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 2 分,共 12 分. ) 13. 如图,图中标示的五个角中,与∠1 是同位角的是　 　 　 　 . 第 13 题图 　 　 第 15 题图 14. 一个面积为 40 的正方形,它的边长为 a,则 a 的整数部分为　 　 　 　 . 15. 小丽进行投掷标枪训练,总共投掷 10 次,前 9 次标枪的落点如图所示,记录 成绩(单位:m),此时这组成绩的平均数是 20 m,方差是 s21 m2 . 若第 10 次投 掷标枪的落点恰好在 20 m 线上,且投掷结束后这组成绩的方差是 s22 m2,则 s21 　 　 　 　 s22(填“>”“ =”或“<”) . 16. 关于 x 的不等式组 x-2>0,① x-a>0,②{ 不等式②的解集如图所示,则该不等式组的解 集为　 　 　 　 . 第 16 题图 　 　 第 17 题图 17. 如图,若将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形 ABCD,并使其最小 内角为 30°,则这个四边形周长不变,面积变为原来的　 　 　 　 . 18. 已知点 M(x1,y1),N(x2,y2 )都在抛物线 y = 1 a (x-2) 2 -1 上,且 x2 -x1 = 3. 若 y1 = y2,则 x1x2 = 　 　 　 　 . 三、解答题(本大题共 8 小题,共 72 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤. ) 19. (本题满分 6 分)计算:8-22 ×( -3+1) . 解:原式=8-4×(-2) =8+8 =16. 20. (本题满分 6 分)先化简,再求值:(1- 2 a+1 ) ÷a 2 -2a+1 a+1 ,其中 a= 1+ 3 . 解:原式=(a +1 a+1 - 2 a+1 )· a +1 a2-2a+1 =a-1 a+1 · a +1 (a-1) 2 = 1 a-1 , 当 a=1+ 3时,原式= 1 1+ 3 -1 = 3 3 . 21. (本题满分 10 分)某校计划更换校服款式,为调研学生对 A,B 两款校服的满 意度,随机抽取了 20 名同学试穿两款校服,对舒适性、性价比和时尚性进行 评分(满分均为 20 分),并按照 1 ∶1 ∶1的比计算综合评分. 将数据(评分)进 行整理、描述和分析. 下面给出了部分信息. a. A,B 两款校服各项评分的平均数(精确到 0. 1)如下: 款式 舒适性评分 平均数 性价比评分 平均数 时尚性评分 平均数 综合评分 平均数 A 19. 5 19. 6 10. 2 t B 19. 2 18. 5 10. 4 16. 0 b. 不同评分对应的满意度如下表: 评分 0≤x<5 5≤x<10 10≤x<15 15≤x≤20 满意度 不满意 基本满意 满意 非常满意 c. A,B 两款校服时尚性满意度人数分布统计图如图: 　 　 第 21 题图 d. B 款校服时尚性评分在 10≤x<15 这一组的数据是 10,11,12,12,14. 根据以上信息,回答下列问题: (1)在此次调研中, ①A 款校服的综合评分平均数 t = 　 　 　 　 (保留 1 位小数),是否达到 “非常满意”:　 　 　 　 (填“是”或“否”); ②A 款校服时尚性满意度达到“非常满意”的有　 　 　 　 人; (2)在此次调研中,B 款校服时尚性评分的中位数为　 　 　 　 ; (3)在此次调研中,记 A 款校服时尚性评分高于其平均数的人数为 m,B 款校服 时尚性评分高于其平均数的人数为 n.比较m,n 的大小,并说明理由. 解:(1)①16. 4,是;【解法提示】A 款校服的综合评分平均数 t = 19. 5 +19. 6+10. 2 3 ≈ 16. 4,∵ “非常满意”评分是 15≤x≤20,∴达到“非常满意” . ②3;【解法提示】A 款校服时尚性满意度达到“非常满意”的有 20×15% =3(人) . (2)10. 5;【解法提示】由题意得,B 款校服时尚性评分中,“不满意”人数:20×35% = 7, “基本满意”人数:20×10% =2,“满意”人数:20×25% = 5,“非常满意”人数:20×30% = 6,中位数是第 10 和 11 位的平均数,即 10≤x<15 中的前两位的平均数,∴中位数是 10+11 2 =10. 5. (3)m<n.理由如下:∵A 款校服时尚性评分的平均数为 10. 2,达到“满意”水平,由扇 形统计图可知,20 人中对 A 款校服时尚性评分达到“满意”和“非 常满意”的人数共有 20×(30%+15%)= 9, ∴m≤9, ∵B 款校服时尚性评分的平均数为 10. 4,20 人中对 B 款校服时尚 性评分达到“非常满意”的人数是 20×30% = 6,评分达到“满意”且 大于 10. 4 的人数为 4,∴n=6+4=10,∴m<n. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 6-1 6-2 6-3 6-4 　 6　 22. (本题满分 10 分)如图,在△ABC 中,∠C = 90°,D,P 分别是 AB,AC 上的点, 且 AP=DP. (1)用尺规作 BD 的垂直平分线 EF,交 BC 于点 E,交 BD 于点 F(不写作法, 保留作图痕迹); (2)在(1)的条件下,连接 DE,求证:DE⊥DP. 第 22 题图 (1)解:如解图,直线 EF 即为所求; (2)证明:如解图,∵PA=PD,∴∠A=∠ADP, ∵EF 是 BD 的垂直平分线,∴ED=EB,∴∠B=∠EDB, ∵∠C=90°,∴∠A+∠B=90°,∴∠ADP+∠EDB=90°, ∵∠ADP+∠PDE+∠EDB=180°,∴∠PDE=90°,∴DE⊥DP. 23. (本题满分 10 分)综合与实践:如图①是一架自制天平,支点 O 固定不变,右侧托 盘固定在点 B 处,左侧托盘的点 P 可以在横梁 AC 段滑动.已知 OB=OC= 15 cm, AO=50 cm,m,n 分别表示 1 个M物体和 1 个 N物体的质量.已知平衡时,左盘物 体质量×OP=右盘物体质量×OB. (不计托盘与横梁质量) (1)若左侧托盘固定在点 C 处,如图②所示天平平衡,m=5 g,则 n= 　 　 　 　 g; (2)若右侧托盘放置 1 个 100 g 的砝码,左侧托盘放 9 个M 物体和 30 个 N 物 体,滑动点 P 到 PC= 5 cm 时,天平平衡,已知 m,n 为整数,求 m+n 的值; (3)测量小球的质量:如图①,右侧托盘放置 2 个 100 g 砝码,左侧托盘放入 一个小球和若干个物体 N,滑动点 P 至点 A 天平恰好平衡,若再次向左 侧托盘中加入相同数量的物体 N,发现点 P 移动到 PC =OC 时,天平平 衡. 求这个小球的质量. 图① 　 图② 第 23 题图 解:(1)3;【解法提示】根据题意可得 5n=3m,∵m=5,∴5n=15,解得 n=3. (2)根据题意得 20×(9m+30n)= 100×15, ∴3m+10n=25, ∵m,n 为整数,∴m=5,n=1,∴m+n=6; (3)设一个小球的质量为 x g,若干个物体 N 的质量为 y g, 根据题意得 50(x+y)= 2×100×15, 30(x+2y)= 2×100×15,{ 整理得 x+y=60, x+2y=100,{ 解得 x=20, y=40.{ 答:这个小球的质量为 20 g. 24. (本题满分 10 分)某种在同一平面进行传动的机械装置如图①,图②是它的 示意图. 其工作原理是滑块 Q 在平直滑道 l 上可以左右滑动,在 Q 滑动的过 程中,连杆 PQ 也随之运动,并且 PQ 带动连杆 OP 绕固定点 O 摆动. 在摆动 过程中,两连杆的接点 P 在以 OP 为半径的☉O 上运动. 数学兴趣小组为进 一步研究其中所蕴含的数学知识,过点 O 作 OH⊥ l 于点 H,并测得 OH = 50 cm,PQ= 40 cm,OP= 30 cm. (1)如图③,小明同学说:“当点 Q 滑动到点 H 的位置时,PQ 与☉O 是相切 的. ”你认为他的判断对吗? 并说明理由; (2)求滑块 Q 在平直滑道 l 上可以左右滑动的最大距离. 图① 　 图② 　 图③ 第 24 题图 解:(1)小明的判断正确,理由如下: ∵OH=50,PH=PQ=40,OP=30, ∴OP2+PH2 =302+402 =2 500,OH2 =502 =2 500, ∴OP2+PH2 =OH2, ∴∠OPH=90°,即 OP⊥PH, ∵OP 为☉O 的半径, ∴PH 与☉O 相切, ∵点 H 与点 Q 重合, ∴PQ 与☉O 是相切的; (2)由题意知当 Q,P,O 三点共线时,点 Q 离点 H 的距离最远, 如解图,当点 Q 在点 H 右边时,OQ=OP+PQ=70 cm, ∴HQ= OQ2-OH2 = 702-502 =20 6 (cm), 故当点 Q 在点 H 右边时,点 Q 离点 H 的最大距离为 20 6 cm, 同理可得当点 Q 在点 H 左边时,点 Q 离点 H 的最大距离也为 20 6 cm, ∴滑块 Q 在平直滑道 l 上可以左右滑动的最大距离为 20 6 ×2=40 6 (cm) . 25. (本题满分 10 分)一位足球运动员在一次训练中,从球门正前方 8 m 的 A 处 射门,已知球门高 OB 为 2. 44 m,球射向球门的路线可以看作是抛物线的一 部分,当球飞行的水平距离为 6 m 时,球达到最高点,此时球的竖直高度为 3 m. 现以 O 为原点,建立平面直角坐标系如图所示. (1)求该抛物线的解析式; (2)通过计算判断球能否射进球门(忽略其他因素); (3)已知点 C 在点 O 的正上方,且 OC= 2. 25 m. 运动员带球向点 A 的正后方 移动了 n(n>0)米射门,若运动员射门路线的形状、最大高度均保持不 变,且恰好在点 O 与点 C 之间进球(包括端点),求 n 的取值范围. 第 25 题图 解:(1)∵8-6=2,∴抛物线的顶点坐标为(2,3), 设该抛物线的解析式为 y=a(x-2) 2+3, 把点 A(8,0)代入,得 36a+3=0,解得 a=- 1 12 , ∴该抛物线的解析式为 y=- 1 12 (x-2) 2+3; (2)当 x=0 时,y=- 1 12 ×4+3= 8 3 >2. 44,∴球不能射进球门; (3)由题意得移动后的抛物线的解析式为 y=- 1 12 (x-2-n) 2+3,其中 n>0, 把点(0,2. 25)代入,得 2. 25=- 1 12 ×(0-2-n) 2+3,解得 n1 =-5(舍去),n2 =1, 把点(0,0)代入,得 0=- 1 12 ×(0-2-n) 2+3,解得 n3 =-8(舍去),n4 =4, ∴n 的取值范围为 1≤n≤4. 26. (本题满分 10 分)如图,在矩形 ABCD 中,AB = 3,AD = 5,P 是边 BC 上一动 点,将△APB 沿 AP 折叠得到△APE. (1)连接 DE,若 BP= 3 ,求此时△ADE 的面积; (2)①若 P,E,D 三点在同一直线上,求此时 BP 的长; ②若射线 AE 与矩形的边交于点 M,当 EM=CM 时,求 CM 的长. 第 26 题图 　 　 备用图 解:(1)如解图①,过点 E 作 EF⊥AD 于点 F, 在 Rt△ABP 中,AB=3,BP= 3 , ∴tan∠BAP= 3 3 , 由折叠知∠PAE=∠PAB=30°, ∴∠DAE=30°, ∴EF= 1 2 AE= 3 2 , ∴S△ADE = 1 2 AD·EF= 1 2 ×5× 3 2 = 15 4 ; (2)①如解图②,由折叠知 AE=AB=3, ∴DE= AD2-AE2 = 52-32 =4. ∵AD∥BC, ∴∠ADP=∠DPC. 又∵∠AED=∠C=90°,AE=CD, ∴△AED≌△DCP(AAS), ∴AD=DP=5, ∴PE=5-4=1, ∴BP=PE=1; ②如解图③,当点 M 在边 CD 上时, 设 CM=a,则 AM=3+a,DM=3-a, ∴ (3+a) 2 =(3-a) 2+52, ∴ a=25 12 . 如解图④,当点 M 在边 BC 上时, 设 CM=b,则 AM=3+b,BM=5-b, ∴32+(5-b) 2 =(3+b) 2, ∴ b=25 16 . 综上所述,CM 的长为25 12 或 25 16 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋