1.2024年广西初中学业水平考试-【一战成名新中考】2025广西中考数学·真题与拓展训练

参考答案及重难题解析·广西数学 真 题 模 拟 　 真题模拟 第一部分　 2023-2024 年广西真题及真题变式卷 1. 2024 年广西初中学业水平考试 快速对答案 一、单项选择题(本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分. ) 1. A　 2. B　 3. B　 4. A 　 5. D 　 6. C　 7. C　 8. A 　 9. A　 10. D　 11. B 　 12. C 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 2 分,共 12 分. ) 13. 35　 14. 2(答案不唯一)　 15. 80　 16. x<-2　 17. 8 3 　 18. 35 3 三、解答题(本大题共 8 小题,共 72 分. ) 19. (6 分)原式= -8. 20. (6 分)原方程组的解是 x= 2, y= 1 2 .{ 21. (10 分)(1)被抽取的 20 名女同学进球数的众数是 1,中位数是 2,平均数是 1. 9; (2)估计七年级女同学中定点投篮水平为“优秀”的人数为 50. 22. (10 分)(1)作图略;(2)BE 的长为 4 2 . 23. (10 分)(1)需要 9. 5 kg 清水;(2)能达到洗衣目标; (3)在水资源有限的情况下,为达到更好的洗衣效果,我会分次进行漂洗. 24. (10 分)(1)证明略;(2)证明略;(3)☉O 的半径为 10. 25. (10 分)(1)①y= x2 -8x-7;②当 x= 4 时,函数 y 有最小值,此时的 y 值为-23;(2)甲同学的说法是合理的,理由略; (3)乙同学的猜想是正确的,此最大值为- 11 4 . 26. (10 分)(1)证明略; (2)①△A′MC′面积的最大值为 8 3 ,此时旋转角 α 的度数为 180°;②旋转角 α 的度数为 120°或 240°. 详解详析 12. C　 【解析】解法一:∵ 四边形 ABCD 是正方形,∴ AB =BC =CD = DA,AB∥CD,AD∥BC,∠DAB = ∠ABC = ∠BCD = ∠CDA= 90°,∵ E,F,G,H 分别为各边中点,∴ CG = DG = 1 2 CD=AH= 1 2 AD=AE= 1 2 AB,∴ 四边形 AECG 是平行四 边形,∴ AG∥CE,同理 DF∥BH,∴ 四边形 MNPQ 是平行 四边形,∵ AG∥CE,∴ DQ PQ =DG CG = 1,∴ DQ =PQ,同理 AM = QM,∵ DG = AH,∠ADG = ∠BAH = 90°,AD = BA,∴ △ADG ≌△BAH( SAS),∴ ∠DAG = ∠ABH,∵ ∠DAG+ ∠GAB = 90°,∴ ∠ABH+∠GAB = 90°,∴ ∠QMN = ∠AMB = 90°,∴ 平行四边形 MNPQ 是矩形,∴ ∠AQD = 90°,∵ ∠AQD = ∠AMB= 90°,∠DAG= ∠ABH,AD=BA,∴ △ADQ≌△BAM (AAS),∴ DQ=AM,又∵ DQ =PQ,AM =QM,∴ DQ = AM = PQ=QM,∴ 矩形 MNPQ 是正方形,在 Rt△ADQ 中,AD2 = DQ2 +AQ2 ,即 52 = QM2 + (2QM) 2 , ∴ QM2 = 5, ∴ 正方形 MNPQ 的面积为 5. 解法二:∵ 正方形 ABCD 的边长为 5,E,F,G,H 分别为各 边中点,∴ CD= 5,DG=CF= 5 2 ,由勾股定理得 DF = 5 5 2 , 易得∠DQG= 90°,DQ =PQ,△DGQ∽△DFC,∴ DQ ∶QG = DC ∶CF= 2 ∶1,∴ DQ= 2QG,在 Rt△DQG 中,由勾股定理得 DQ2 +QG2 = DG2 ,即 DQ2 +( 1 2 DQ) 2 = ( 5 2 ) 2 ,∴ DQ2 = 5, ∴ PQ2 = 5,同理可得∠PQM = ∠QMN = ∠MNP = 90°,QM2 =MN2 =PN2 ,即四边形MNPQ 为正方形,∴ 四边形MNPQ 的面积为 5. 解法三:如解图,延长 QG 至点 L,使得 GL = QG,延长 PF 至点 K,使得 FK=PF,延长 NE 至点 J,使得 EJ=NE,延长 MH 至点 I,使得 HI=MH,连接 CL、BK、AJ、DI,易得△DQG ≌ △CLG, △CPF ≌ △BKF, △BNE ≌ △AJE, △AMH ≌ △DIH,四边形 LQPC≌四边形 KPNB≌四边形 JNMA≌四 边形 IMQD ≌ 四边形 MNPQ, ∵ S正方形ABCD = S四边形LQPC + S四边形KPNB+S四边形JNMA+S四边形IMQD +S四边形MNPQ,∴ S四边形MNPQ = 1 5 S正方形ABCD = 1 5 ×52 = 5. 第 12 题解图 　 　 第 17 题解图 13. 35　 14. 2(答案不唯一)　 15. 80　 16. x<-2 17. 8 3 　 【解析】解法一:如解图,过点 A 分别作 AM⊥BC 于 点 M,AN⊥CD 于点 N,∴ ∠AMB= ∠AND= 90°,∵ 两张纸 条的对边平行,∴ AB∥CD,AD∥BC,∴ 四边形 ABCD 为平 行四边形,∴ ∠ADN= ∠ABM= 60°,∵ 两张纸条宽度均为 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 1 参考答案及重难题解析·广西数学 真 题 模 拟 3 cm,∴ AM=AN= 3 cm,∴ △ADN≌△ABM( AAS),∴ AD =AB,∴ 四边形 ABCD 为菱形,在 Rt△ADN 中,∠ADN = 60°,AN= 3 cm,∴ AD= AN sin60° = 2 3 (cm),∴ 四边形 ABCD 的周长为 2 3 ×4 = 8 3 (cm) . 解法二:如解图,过点 A 分别作 AM⊥BC 于点 M,AN⊥CD 于点 N,则∠AND = 90°,∵ 两张纸条的对边平行,∴ AB∥ CD,AD∥BC,∴ 四边形 ABCD 是平行四边形,∵ 两张纸条 宽度均为 3 cm,∴ AM = AN = 3 cm,∵ S▱ABCD = BC·AM = CD·AN,∴ BC=CD,∴ 四边形 ABCD 是菱形,在Rt△ADN 中,∠ADN= 60°,AN= 3 cm,∴ AD = AN sin60° = 2 3 ( cm),∴ 四边形 ABCD 的周长为 2 3 ×4 = 8 3 (cm) . 18. 35 3 　 【解析】如解图,以点 O 为坐标原点,射线 OM 方向 为 x 轴正半轴,射线 OP 方向为 y 轴正半轴,建立平面直 角坐标系,∵ 出手后实心球沿一段抛物线运行,到达最高 点时,水平距离是 5 m,高度是 4 m,∴ 设抛物线的解析式 为 y=a(x-5) 2 +4(a≠0),∵ 出手(点 P 处)的高度 OP 是 7 4 m,∴ P(0, 7 4 ),把点(0, 7 4 )代入,得 25a+ 4 = 7 4 ,解 得 a= - 9 100 ,∴ 抛物线的解析式为 y = - 9 100 (x-5) 2 +4. 当 y= 0 时,- 9 100 (x-5) 2 + 4 = 0,解得 x1 = - 5 3 (舍去),x2 = 35 3 ,即壮壮投掷实心球的水平距离 OM 是 35 3 m. 第 18 题解图 19.解:原式= -12+4 4 分…………………………………… = -8. 6 分……………………………………… 20.解: x+2y= 3,① x-2y= 1. ②{ ①+②,得 2x= 4,解得 x= 2. 3 分………………………… 将 x= 2 代入①,得 2+2y= 3, 解得 y= 1 2 . 5 分………………………………………… ∴ 原方程组的解是 x= 2, y= 1 2 .{ 6 分………………………… 21.解:(1)这 20 名女同学进球数的众数是 1,中位数是 2, 4 分……………………………………………………… 平均数为 x= 0×1+1×8+2×6+3×3+4×1+5×1 20 = 1. 9; 7 分 …… …………………………………………………… (2)样本中“优秀”比例为 3+1+1 20 = 1 4 , 故可估计七年级女同学中定点投篮水平为“优秀” 的人 数为 1 4 ×200 = 50. 10 分………………………………… 22.解:(1)如解图①,直线 l 即为所求; 5 分……………… (2)如解图②,∵ DE 是 AB 的垂直平分线, ∴ AD= 1 2 AB= 1 2 ×8 = 4,DE⊥AB,且 BE=AE. 8 分…… 在 Rt△ADE 中,AE= AD cos45° = 4 2 2 = 4 2 , ∴ BE= 4 2 . 10 分………………………………………… 图① 　 图② 第 22 题解图 23.解:(1) ∵ d后 = 0. 5d前 0. 5+w ,∴ 0. 01% = 0. 5×0. 2% 0. 5+w , ∴ w= 9. 5 kg. ∴ 如果只经过一次漂洗,使校服上残留洗衣液浓度降为 0. 01%,需要 9. 5 kg 清水; 3 分………………………… (2)把 4 kg 清水均分,每次使用清水 4÷2 = 2(kg) . 第 1 次漂洗后的洗衣液浓度为 0. 5×0. 2% 0. 5+2 = 0. 1% 2. 5 = 0. 04%. 第 2 次漂洗后的洗衣液浓度为 0. 5×0. 04% 0. 5+2 = 0. 02% 2. 5 = 0. 008%<0. 01%. ∴ 可以达到洗衣目标; 8 分……………………………… (3)对于(1)需要 9. 5 kg 清水,才能达标;对于(2)只需 要 4 kg 清水,就能达标. 在水资源有限的情况下,为达到更好的洗衣效果,我会分 次进行漂洗. 10 分……………………………………… 24. (1)证明:∵ 点 D,E 分别是 BC,AC 的中点, ∴ DE 是△ABC 的中位线, ∴ DE∥AB,且 DE= 1 2 AB. 又∵ DE=EF, ∴ DF=AB, ∴ 四边形 ABDF 是平行四边形; 3 分…………………… (2)证明:如解图①,连接 AD, ∵ AB=AC,BD=DC, ∴ AD⊥BC,AD 是 BC 的中垂线, 又∵ O 是△ABC 的外心, ∴ 点 O 在 AD 上. 5 分…………………………………… 由(1)可知,四边形 ABDF 为平行四边形,则 CB∥AF, ∴ AO⊥AF. ∵ AO 为☉O 的半径, ∴ AF 与☉O 相切; 7 分…………………………………… 第 24 题解图① 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 2 参考答案及重难题解析·广西数学 真 题 模 拟 　 (3)解:解法一:如解图①,连接 OC, 由(2)可知,∠BAD= ∠CAD. 又∵ AO=CO,∴ ∠CAO= ∠OCA. 又∵ ∠COD= ∠CAO+∠OCA, ∴ ∠COD= 2∠CAD= ∠BAC. ∴ tan∠COD= tan∠BAC= 3 4 . 在 Rt△CDO 中,CD= 1 2 BC= 6, ∴ OD= CD tan∠COD = 6 3 4 = 8. ∴ ☉O 的半径 r=OC= OD2 +DC2 = 82 +62 = 10. 10 分 …… ………………………………………………… 解法二:如解图②,过点 B 作 BQ⊥AC 于点 Q,连接 OB, ∵ tan∠BAC= 3 4 ,∴ BQ AQ = 3 4 , 设 BQ= 3x(x>0),则 AQ= 4x, ∴ AC=AB= AQ2 +BQ2 = 5x, ∴ CQ=AC-AQ= x, ∴ BC= BQ2 +CQ2 = 10 x= 12, 解得 x= 6 10 5 ,∴ AB= 5x= 6 10 , ∵ AB=AC,BC= 12,AD⊥BC,∴ BD=CD= 6, ∴ 在 Rt△ABD 中,AD= AB2 -BD2 = 18, 设☉O 的半径为 r,则 OD= 18-r, 在 Rt△OBD 中,OB2 =OD2 +BD2 ,即 r2 = (18-r) 2 +62 , 解得 r= 10, ∴ ☉O 的半径为 10. 10 分……………………………… 第 24 题解图② 25.解:(1)①y= x2 -8x-7; 1 分……………………………… ②y= x2 -8x-7 = (x-4) 2 -23, ∴ 当 x= 4 时,y 的最小值为-23; 4 分…………………… (2)甲同学的说法是合理的. 理由如下:老师给 a 值后,由 y= x2 +2ax+a-3 可知, 关于 x 的二次函数图象开口向上,对称轴为直线 x= -a, 当 x= -a 时,y 取最小值. ∴ 甲同学的说法是合理的. 6 分………………………… (3)乙同学的猜想是正确的. 由(2)可知,当 x= -a 时, y 的最小值为( -a) 2 + 2a( -a) +a- 3 = -a2 +a- 3 = - ( a- 1 2 ) 2 - 11 4 . ∵ -(a- 1 2 ) 2 ≤0,∴ -(a- 1 2 ) 2 - 11 4 ≤- 11 4 . ∴ 所求的最大值为- 11 4 . 10 分…………………………… 26. (1)证明:∵ MO 垂直平分 AC, ∴ OA=OC. ∴ ∠A= ∠ACO. 又∵ CO 平分∠ACB,∴ ∠ACO= ∠BCO, ∴ ∠A= ∠BCO, 2 分……………………………………… 又∵ ∠ABC= ∠CBO= 90°, ∴ △ABC∽△CBO; 3 分………………………………… (2)解:① ∵ ∠ACB = 2 ∠ACO, ∠CAB = ∠ACO, ∠CAB + ∠ACB= 90°, ∴ ∠CAB= ∠BCO= 30°. 在 Rt△OBC 中,OC= 2OB, 又∵ OC=OA,OA+OB= 6, ∴ OB= 2,OA=OC= 4,BC= 2 3 . ∴ 在 Rt△OMA 中,OM= 2,MA= 2 3 , ∴ AC= 4 3 . 4 分………………………………………… 如解图①,过点 M 作 MH⊥C′A′,垂足为 H,过点 O 作 ON ⊥C′A′,垂足为点 N,连接 MN. ∴ MH≤MN. 由旋转的性质,ON=OM=2,∠MON=α,A′C′= AC=4 3 . 当 M,O,N 三点不共线时,有 MN<MO+ON= 4, 当 M,O,N 三点共线时,MH=MN=MO+ON= 4, ∴ MH 的最大值为 4,此时 α= 180°, 7 分……………… S△A′MC′ = 1 2 A′C′·MH = 1 2 ×4 3 ×4 = 8 3 . 综上,△A′MC′的面积最大值为 8 3 ,旋转角 α= 180°; 8 分 … …………………………………………………… 第 26 题解图① ②解:当 α= 120°或 240°时,△A′MC′是直角三角形. 10 分 … ………………………………………………… 【解法提示】如解图②,③,过点 O 作 ON⊥C′A′,垂足为 N,连接 MN,则 N 为 A′C′的中点,由①知 A′C′= 4 3 ,MO = 2,OA′=OC′= 4,∴ A′C′>OM+OA′≥MA′,A′C′>OM+OC′ ≥MC′. ∴ A′C′是△A′MC′的最大边. ∴ 若△A′MC′是直角 三角形,则∠C′MA′ = 90°. ∴ MN = 1 2 A′C′ = 1 2 AC. 又∵ MO=NO = 1 2 CO. ∴ △MON∽△COA,∴ ∠MON = ∠COA = 120°. ∴ α= 120°或 α= 240°. 图② 　 　 图③ 第 26 题解图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 3 1-1 1-2 1-3 1-4 班级:　 　 　 　 　 　 　 姓名:　 　 　 　 　 　 　 学号:　 　 　 　 　 　 版权归 所有,盗版盗印举报电话:029-85424032 1　 1 2024 年广西初中学业水平考试 (全卷满分 120 分,考试时间 120 分钟) 一、单项选择题(本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分. 在每小题给出的四个 选项中只有一项是符合要求的. ) 1. 下列选项记录了我国四个直辖市某年一月份的平均气温,其中气温最低的是 ( 　 A　 ) A 　 　 　 　 　 　 B 　 　 　 　 　 　 C 　 　 　 　 　 　 D 2. 端午节是中国传统节日,下列与端午节有关的文创图案中,成轴对称的是 ( 　 B　 ) A B C D 3. 广西壮族自治区统计局发布的数据显示,2023 年全区累计接待国内游客 8. 49 亿人次,将 849 000 000 用科学记数法表示为 ( 　 B　 ) A. 0. 849×109 B. 8. 49×108 C. 84. 9×107 D. 849×106 4. 榫卯是我国传统建筑及家具的基本构件. 燕尾榫是“万榫之母”,为了防止受 拉力时脱开,榫头成梯台形,形似燕尾. 如图是燕尾榫的带榫头部分,它的主 视图是 ( 　 A　 ) A B C D 第 4 题图 　 　 第 6 题图 　 　 第 7 题图 　 　 第 12 题图 5. 不透明袋子中装有白球 2 个,红球 1 个,这些球除了颜色外无其他差别. 从袋 子中随机取出 1 个球,取出白球的概率是 ( 　 D　 ) A. 1 B. 1 3 C. 1 2 D. 2 3 6. 如图,2 时整,钟表的时针和分针所成的锐角为 ( 　 C　 ) A. 20° B. 40° C. 60° D. 80° 7. 如图,在平面直角坐标系中,点 O 为坐标原点,点 P 的坐标为(2,1),则点 Q 的坐标为 ( 　 C　 ) A. (3,0) B. (0,2) C. (3,2) D. (1,2) 8. 激光测距仪 L 发出的激光束以 3×105 km / s 的速度射向目标 M,t s 后测距仪 L 收到 M 反射回的激光束. 则 L 到 M 的距离 d km 与时间 t s 的关系式为 ( 　 A　 ) A. d= 3 ×105 2 t B. d= 3×105 t C. d= 2×3×105 t D. d= 3×106 t 9. 已知点 M(x1,y1),N(x2,y2)在反比例函数 y= 2 x 的图象上,若 x1 <0<x2,则有 ( 　 A　 ) A. y1 <0<y2 B. y2 <0<y1 C. y1 <y2 <0 D. 0<y1 <y2 10. 如果 a+b= 3,ab= 1,那么 a3b+2a2b2 +ab3 的值为 ( 　 D　 ) A. 0 B. 1 C. 4 D. 9 11. 《九章算术》是我国古代重要的数学著作,其中记载了一个问题,大致意思为:现 有田出租,第一年 3 亩 1 钱,第二年 4 亩 1 钱,第三年 5 亩 1 钱. 三年共得 100 钱. 问:出租的田有多少亩? 设出租的田有 x 亩,可列方程为 ( 　 B　 ) A. x 3 + x 4 + x 5 = 1 B. x 3 + x 4 + x 5 = 100 C. 3x+4x+5x= 1 D. 3x+4x+5x= 100 12. 如图,边长为 5 的正方形 ABCD,E,F,G,H 分别为各边中点. 连接 AG,BH, CE,DF,交点分别为 M,N,P,Q,那么四边形 MNPQ 的面积为 ( 　 C　 ) A. 1 B. 2 C. 5 D. 10 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 2 分,共 12 分. ) 13. 已知∠1 与∠2 为对顶角,∠1 = 35°,则∠2 = 　 　 　 　 °. 14. 写出一个比 3大的整数,可以是　 　 　 　 . 15. 八桂大地孕育了丰富的药用植物. 某县药材站把当地药市交易的 400 种药 用植物按“草本、藤本、灌木、乔木”分为四类,绘制成如图所示的统计图,则 藤本类有　 　 　 　 种. 第 15 题图 　 　 第 17 题图 　 　 第 18 题图 16. 不等式 7x+5<5x+1 的解集为　 　 　 　 . 17. 如图,两张宽度均为 3 cm 的纸条交叉叠放在一起,交叉形成的锐角为 60°, 则重合部分构成的四边形 ABCD 的周长为　 　 　 　 cm. 18. 如图,壮壮同学投掷实心球,出手(点 P 处)的高度 OP 是 7 4 m,出手后实心球 沿一段抛物线运行,到达最高点时,水平距离是 5 m,高度是 4 m. 若实心球 落地点为 M,则壮壮投掷实心球的水平距离 OM 是　 　 　 　 m. 三、解答题(本大题共 8 小题,共 72 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤. ) 19. (本题满分 6 分)计算:( -3) ×4+( -2) 2 . 解:原式=-12+4 4 分…………………………………………………………………… =-8. 6 分……………………………………………………………… 20. (本题满分 6 分)解方程组: x+2y= 3, x-2y= 1.{ 解: x+2y=3,① x-2y=1. ②{ ①+②,得 2x=4, 解得 x=2. 3 分…………………………………………………………………………… 将 x=2 代入①,得 2+2y=3, 解得 y= 1 2 . 5 分…………………………………………………………………………… ∴原方程组的解是 x=2, y= 1 2 . ì î í ï ï ïï 6 分…………………………………………………… 21. (本题满分 10 分)某中学为了解七年级女同学定点投篮水平,从中随机抽取 20 名女同学进行测试,每人定点投篮 5 次,进球数统计如下表: 进球数 0 1 2 3 4 5 人数 1 8 6 3 1 1 (1)求被抽取的 20 名女同学进球数的众数、中位数、平均数; (2)若进球数为 3 以上(含 3)为“优秀”,七年级共有 200 名女同学,请估计 七年级女同学中定点投篮水平为“优秀”的人数. 平均数为 􀭵x=0 ×1+1×8+2×6+3×3+4×1+5×1 20 = 38 20 =1. 9; 7 分………………………… 故可估计七年级女同学中定点投篮水平为“优秀”的人数为 1 4 ×200=50. 10 分…… 22. (本题满分 10 分)如图,在△ABC 中,∠A= 45°,AC>BC. (1)尺规作图:作线段 AB 的垂直平分线 l,分别交 AB,AC 于点 D,E;(要求: 保留作图痕迹,不写作法,标明字母) (2)在(1)所作的图中,连接 BE,若 AB= 8,求 BE 的长. 第 22 题图 (1)解:如解图①,直线 l 即为所求; 5 分………………………………………………… ∴AD= 1 2 AB= 1 2 ×8=4,DE⊥AB,且 BE=AE, 8 分…………………………………… 在 Rt△ADE 中,AE= AD cos45° = 4 2 2 =4 2 , ∴BE=4 2 . 10 分……………………………………………………………… 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 2-1 2-2 2-3 2-4 　 2　 23. (本题满分 10 分)综合与实践 　 　 在综合与实践课上,数学兴趣小组通过洗一套夏季校服,探索清洗衣物 的节约用水策略. 【洗衣过程】 步骤一:将校服放进清水中,加入洗衣液,充分浸泡揉搓后拧干; 步骤二:将拧干后的校服放进清水中,充分漂洗后拧干. 重复操作步骤二,直 至校服上残留洗衣液浓度达到洗衣目标. 　 　 假设第一次漂洗前校服上残留洗衣液浓度为 0. 2%,每次拧干后校服上 都残留 0. 5 kg 水. 浓度关系式:d后 = 0. 5d前 0. 5+w . 其中 d前、d后 分别为单次漂洗前、后校服上残留洗 衣液浓度;w 为单次漂洗所加清水量(单位:kg) . 【洗衣目标】经过漂洗使校服上残留洗衣液浓度不高于 0. 01%. 【动手操作】请按要求完成下列任务: (1)如果只经过一次漂洗,使校服上残留洗衣液浓度降为 0. 01%,需要多少 清水? (2)如果把 4 kg 清水均分,进行两次漂洗,是否能达到洗衣目标? (3)比较(1)和(2)的漂洗结果,从洗衣用水策略方面,说说你的想法. 解:(1)∵ d后 = 0. 5d前 0. 5+w ,∴0. 01% =0. 5 ×0. 2% 0. 5+w , ∴w=9. 5 kg. ∴如果只经过一次漂洗,使校服上残留洗衣液浓度降为 0. 01%,需要9. 5 kg 清水; 3 分 … …………………………………………………………………………………… (2)把 4kg 清水均分,每次使用清水 4÷2=2(kg) . 第 1 次漂洗后的洗衣液浓度:0. 5 ×0. 2% 0. 5+2 = 0. 1% 2. 5 =0. 04%, 第 2 次漂洗后的洗衣液浓度:0. 5 ×0. 04% 0. 5+2 = 0. 02% 2. 5 =0. 008%<0. 01%. ∴可以达到洗衣目标; 8 分……………………………………………………………… (3)对于(1)需要 9. 5 kg 清水,才能达标;对于(2)只需要 4 kg 清水,就能达标. 在水资源有限的情况下,为达到更好的洗衣效果,我会分次进行漂洗. 10 分……… 24. (本题满分 10 分)如图,已知☉O 是△ABC 的外接圆,AB = AC. 点 D,E 分别 是 BC,AC 的中点,连接 DE 并延长至点 F,使 DE=EF,连接 AF. (1)求证:四边形 ABDF 是平行四边形; (2)求证:AF 与☉O 相切; (3)多解法 ∙∙∙ 若 tan∠BAC= 3 4 ,BC= 12,求☉O 的半径. 第 24 题图 (1)证明:∵点 D,E 分别是 BC,AC 的中点, ∴DE 是△ABC 的中位线, ∴DE∥AB,且 DE= 1 2 AB, 又∵O 是△ABC 的外心, ∴点 O 在 AD 上. 5 分…………………………………………………………………… 由(1)可知,四边形 ABDF 为平行四边形,则 CB∥AF, ∴AO⊥AF. ∵AO 为☉O 的半径, ∴AF 与☉O 相切; (3)解:解法一:如解图①,连接 OC, 由(2)可知,∠BAD=∠CAD, 又∵AO=CO, ∴∠CAO=∠OCA, 又∵∠COD=∠CAO+∠OCA, ∴∠COD=2∠CAD=∠BAC, ∴tan∠COD=tan∠BAC= 3 4 . 在 Rt△CDO 中,CD= 1 2 BC=6,∴OD= CD tan∠COD = 6 3 4 =8, ∴☉O 的半径 F=OC= OD2+DC2 = 82+62 =10. 10 分……………………………… 【更多解法见答案册 Px】 25. (本题满分 10 分)课堂上,数学老师组织同学们围绕关于 x 的二次函数 y= x2 +2ax+a-3 的最值问题展开探究. 【经典回顾】二次函数求最值的方法. (1)老师给出 a= -4,求二次函数 y= x2 +2ax+a-3 的最小值. ①请你写出对应的函数解析式; ②求当 x 取何值时,函数 y 有最小值,并写出此时的 y 值; 【举一反三】老师给出更多 a 的值,同学们即求出对应的函数在 x 取何值时, y 的最小值. 记录结果,并整理成下表: a … -4 -2 0 2 4 … x … ∗ 2 0 -2 -4 … y 的最小值 … ∗ -9 -3 -5 -15 … 注:∗为②的计算结果. 【探究发现】老师:“请同学们结合学过的函数知识,观察表格,谈谈你的 发现. ” 甲同学:“我发现,老师给了 a 值后,我们只要取 x = -a,就能得到 y 的最 小值. ” 乙同学:“我发现,y 的最小值随 a 值的变化而变化,当 a 由小变大时,y 的最 小值先增大后减小,所以我猜想 y 的最小值中存在最大值. ” (2)请结合函数解析式 y= x2 +2ax+a-3,解释甲同学的说法是否合理? (3)你认为乙同学的猜想是否正确? 若正确,请求出此最大值;若不正确,说 明理由. 解:(1)①y=x2-8x-7; 1 分……………………………………………………………… ②y=x2-8x-7=(x-4) 2-23, ∴当 x=4 时,y 的最小值为-23; 4 分…………………………………………………… (2)答:甲同学的说法是合理的. 理由:老师给 a 值后,由 y=x2+2ax+a-3 可知, 关于 x 的二次函数图象开口向上,对称轴为直线 x=-a, ∴当 x=-a 时,y 得到最小值. ∴甲同学的说法是合理的; 6 分………………………………………………………… (3)乙同学的猜想是正确的. 由(2)可知,当 x=-a 时, y 的最小值为(-a) 2+2a(-a)+a-3=-a2+a-3=-(a- 1 2 ) 2-11 4 . ∵-(a- 1 2 ) 2≤0,∴-(a- 1 2 ) 2-11 4 ≤-11 4 . ∴所求的最大值为-11 4 . 10 分…………………………………………………… 26. (本题满分 10 分)如图①,△ABC 中,∠B = 90°,AB = 6. AC 的垂直平分线分 别交 AC,AB 于点 M,O,CO 平分∠ACB. (1)求证:△ABC∽△CBO; (2)如图②,将△AOC 绕点 O 逆时针旋转得到△A′OC′,旋转角为 α(0°<α< 360°) . 连接 A′M,C′M. ①求△A′MC′面积的最大值及此时旋转角 α 的度数,并说明理由; ②分类讨论 ∙∙∙∙ 当△A′MC′是直角三角形时,请直接写出旋转角 α 的度数. 图① 　 　 　 图② 第 26 题图 (1)证明:∵MO 垂直平分 AC, ∴OA=OC. ∴∠A=∠ACO, 又∵CO 平分∠ACB,∴∠ACO=∠BCO, ∴∠A=∠BCO, 2 分……………………………………………………………………… 又∵∠ABC=∠CBO=90°, ∴△ABC∽△CBO; 3 分………………………………………………………………… (2)解:①∵∠ACB=2∠ACO,∠CAB=∠ACO,∠CAB+∠ACB=90°, ∴∠CAB=∠BCO=30°, 在 Rt△OBC 中,OC=2OB, 又∵OC=OA,OA+OB=6, ∴OB=2,OA=OC=4,BC=2 3 , ∴在 Rt△OMA 中,OM=2,MA=2 3 , ∴AC=4 3 . 4 分………………………………………………………………………… 如解图①,过点 M 作 MH⊥C′A′,垂足为 H,过点 O 作 ON⊥C′A′,垂足为 N,连 接 MN. ∴MH≤MN. 由旋转的性质,ON=OM=2,∠MON=α,A′C′=AC=4 3 . 当 M,O,N 三点不共线时,有 MN<MO+ON=4, 当 M,O,N 三点共线时,MH=MN=MO+ON=4, ∴MH 的最大值为 4,此时 α=180°, 7 分………………………………………………… S△A′MC′ = 1 2 A′C′·MH= 1 2 ×4 3 ×4=8 3 . 综上,△A′MC′面积的最大值为 8 3 ,旋转角 α=180°; 8 分…………………………… ②解:当 α=120°或 240°时,△A′MC′是直角三角形. 10 分………………………… 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋