精品解析：河南省信阳市固始县永和高级中学、信合外国语高级中学2024-2025学年高三下学期二模联考数学试题

2025届固始县永和高中、外国语高中二模联考 高三数学试题卷 注意事项: 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.考试时间120分钟，满分150分.考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效.交卷时只交答题卡. 第I卷（选择题，共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.） 1. 已知集合，则A的子集个数为（ ） A. 4 B. 7 C. 8 D. 16 2. 在复数集中，我们把实部与实部相等，虚部与虚部互为相反数的一对具有孪生关系的复数记为和，他们也是实系数一元二次方程（）在判别式小于0时的两个复数根，我们将这种关系定义为共（ ） A. 额 B. 呃 C. 扼 D. 轭 3. 记等差数列的前项和为，已知，则（ ） A. 33 B. 44 C. 55 D. 66 4. 在中，角、、所对的边分别为、、，则“”是“”的（    ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知公比不为1的等比数列的前项和为，若数列是首项为1的等差数列，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线的焦点为，准线为是上一点，是直线与的一个交点，若，则（ ） A. B. 3 C. D. 2 7. 若，且与存在且唯一，则（ ） A. 2 B. 4 C. D. 8. 已知是奇函数，则在处的切线方程是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 星等是衡量天体光度的量.为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯（又名依巴谷）在公元前二世纪首先提出了星等这个概念，例如，1等星的星等值为1，等星的星等值为.已知两个天体的星等值，和它们对应的亮度，满足关系式，关于星等下列结论正确的是（ ） A. 星等值越小，星星就越亮 B. 1等星的亮度恰好是6等星的100倍 C. 若星体甲与星体乙的星等值的差小于2.5，则星体甲与星体乙的亮度的比值小于 D. 若星体甲与星体乙的星等值的差大于10，则星体甲与星体乙的亮度的比值小于 10. 如图是一块高尔顿板示意图，在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为0，1，2，3，…，10，用X表示小球落入格子的号码，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知复数满足，（为虚数单位），是方程在复数范围内的两根，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为4 C. 当时，则 D. 当时，则 第II卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共计15分） 12. 经过椭圆的右顶点与上顶点的直线斜率为，则的离心率为______. 13. 如图，圆柱的轴截面为矩形，点，分别在上、下底面圆上，，，，，则异面直线AM与CN所成角的余弦值为______. 14. 若直线与曲线相切，则的取值范围为___________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图，在多面体中，，，，平面，，，. （1）求证：直线平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离. 16. 某高新技术企业新研发出了一种产品， 该产品由三个电子元件构成， 这三个电子元件在 生产过程中的次品率分别为 ，组装过程中不会造成电子元件的损坏，若有 一个电子元件是次品， 则该产品为次品. 现安排质检员对这批产品一一检查， 确保无任 何一件次品流入市场. （1）若质检员检测出一件次品， 求该产品仅有一个电子元件是次品的概率; （2）现有两种方案， 方案一: 安排三个质检员先行检测这三个元件， 次品不进入组装生 产线; 方案二: 安排一个质检员检测成品， 一旦发现次品， 则取出重新更换次品的 电子元件， 更换电子元件的费用为 20 元/个. 已知每个质检员每月的工资约为 3000 元，该企业每月生产该产品 件 ，请从企业获益的角度选择最优方案. 17. 已知椭圆的离心率为，以C的短轴为直径的圆与直线相切. （1）求C的方程； （2）直线：与C相交于A，B两点，过C上的点P作x轴的平行线交线段AB于点Q，直线OP的斜率为（O为坐标原点），△APQ的面积为.的面积为，若，判断是否为定值？并说明理由. 18. 已知双曲线的左､右焦点分别为，焦距为4，虚半轴长为1.如图，直线与双曲线的右支交于两点，其中点在第一象限.与关于原点对称，连接与，其中垂直于的平分线，垂足为. （1）求双曲线的标准方程； （2）求证：直线与直线的斜率之积为定值； （3）求的最小值. 19. 英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，．注：表示的2阶导数，即为的导数，表示的阶导数，该公式也称麦克劳林公式. （1）根据该公式估算的值，精确到小数点后两位； （2）由该公式可得：．当时，试比较与的大小，并给出证明（不使用泰勒公式）； （3）设，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届固始县永和高中、外国语高中二模联考 高三数学试题卷 注意事项: 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.考试时间120分钟，满分150分.考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效.交卷时只交答题卡. 第I卷（选择题，共58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.） 1. 已知集合，则A的子集个数为（ ） A. 4 B. 7 C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意求集合A，结合集合的元素个数与子集个数之间的关系分析求解. 【详解】由题意可得：， 可知A有3个元素，所以A的子集个数为. 故选：C. 2. 在复数集中，我们把实部与实部相等，虚部与虚部互为相反数的一对具有孪生关系的复数记为和，他们也是实系数一元二次方程（）在判别式小于0时的两个复数根，我们将这种关系定义为共（ ） A. 额 B. 呃 C. 扼 D. 轭 【答案】D 【解析】 【分析】由共轭复数的概念得解. 【详解】题目所描述的是共轭复数的概念， 故选：D. 3. 记等差数列的前项和为，已知，则（ ） A. 33 B. 44 C. 55 D. 66 【答案】D 【解析】 【分析】设等差数列的首项为，公差为，由已知可得，可求得，利用可求值. 【详解】设等差数列的首项为，公差为， 由，得， 即， 则，解得， 故. 故选：D. 4. 在中，角、、所对的边分别为、、，则“”是“”的（    ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理结合两角差的正弦公式可得出，结合的取值范围可得出，再结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】因为，由正弦定理可得，即， 因为、，则，故，则，故. 故“”是“”的充分必要条件. 故选：C. 5. 已知公比不为1的等比数列的前项和为，若数列是首项为1的等差数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设的公比为q,求出通项和求和公式，利用等差数列得的q方程即可求解. 【详解】设的公比为q,由题知，则，， 故，，则,, 即，解得,(舍去),此时,满足题意，则. 故选：D. 6. 已知抛物线的焦点为，准线为是上一点，是直线与的一个交点，若，则（ ） A. B. 3 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】由题意解出点横坐标，由抛物线的定义求解. 【详解】由题意可知：抛物线的焦点为，准线为， 设，，则， 因为，则，得， 由抛物线定义得. 故选：D. 7. 若，且与存在且唯一，则（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，得，由，得，，则有，与存在且唯一，得，解得，即，再由，可求出，计算的值即可. 【详解】，由，得，即， 所以，有， 所以，， 所以， 因为，所以， 因为满足条件的与存在且唯一，所以唯一， 若，有两解，其中一解中有钝角，此情况不存在. 所以，解得，经检验符合题意，所以， 因为，所以，所以， 则，解得， 所以． 故选：B． 8. 已知是奇函数，则在处的切线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据奇函数定义求出，再由导数的几何意义求出切线斜率，即可得解. 【详解】因为为奇函数，则， 可得， 注意到，可知不恒成立， 则，即，可得， 所以， 则，故， 可知切点坐标为，切线斜率为2， 所以切线方程为. 故选：C. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 星等是衡量天体光度的量.为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯（又名依巴谷）在公元前二世纪首先提出了星等这个概念，例如，1等星的星等值为1，等星的星等值为.已知两个天体的星等值，和它们对应的亮度，满足关系式，关于星等下列结论正确的是（ ） A. 星等值越小，星星就越亮 B. 1等星的亮度恰好是6等星的100倍 C. 若星体甲与星体乙的星等值的差小于2.5，则星体甲与星体乙的亮度的比值小于 D. 若星体甲与星体乙的星等值的差大于10，则星体甲与星体乙的亮度的比值小于 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据各选项条件，由对数关系式，进行对数不等式或方程的运算求解即可. 【详解】对选项A，若，则， 即，，， ， 所以星等值越小，星星就越亮， 故A正确； 对选项B，当，时，，则，B正确； 对选项C，若，则，即，C错误； 对选项D，若，则，即，D正确. 故选：ABD. 10. 如图是一块高尔顿板示意图，在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球在下落过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中，格子从左到右分别编号为0，1，2，3，…，10，用X表示小球落入格子的号码，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据题意，小球在下落过程中共碰撞小木钉次数，结合独立重复试验的概率公式和方差的公式，即可求解. 【详解】设事件A表示小球向右下落，设X等于事件A发生的次数，则X等于落入格子的号码， 而小球在下落过程中共碰撞小木钉10次，所以， 则， 所以，所以A正确，B不正确； 又由，所以C不正确，D正确. 故选：AD. 11. 已知复数满足，（为虚数单位），是方程在复数范围内的两根，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为4 C. 当时，则 D. 当时，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用复数的几何意义，在复平面内画出点，的轨迹方程，可判断AB选项；复数范围解一元二次方程，讨论判别式，分别求解，用根与系数的关系化简求值，在去掉绝对值号时又需进一步对a的取值进行分类讨论，进而可判断CD选项. 【详解】设在复平面内的对应点分别为， 由得，所以在直线上. 由得，所以在圆上. 如图所示： 对于A：表示复平面内圆上的点到直线上点的距离， 所以的最小值为，故A正确； 对于B：表示复平面内圆上的点到直线上点的距离， 所以的最小值为，故B错误； 对于CD：因为是方程在复数范围内的两根， 所以. 若，即或，此时， 由得或， ∴当或时，； 当时，，故C正确； 若，即，此时，为一对共轭虚根， ，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】思路点睛： （1）在遇到此类问题是利用复数的几何意义，在复平面内画出点，的轨迹方程，进而转化为直线与圆的位置关系，即转化为圆上的点到定直线（图形）上的最值问题. （2）复数范围解一元二次方程，讨论判别式，分别求解，用根与系数的关系化简求值. 第II卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共计15分） 12. 经过椭圆的右顶点与上顶点的直线斜率为，则的离心率为______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用斜率计算公式、离心率计算公式即可得出结论. 【详解】椭圆的右顶点与上顶点的直线斜率为， 则,即，可知其焦点在轴上， 则的离心率为 . 故答案为： 13. 如图，圆柱的轴截面为矩形，点，分别在上、下底面圆上，，，，，则异面直线AM与CN所成角的余弦值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】作出异面直线与所成角，然后通过解三角形求得所成角的余弦值. 【详解】连接，由题设及图易知是圆柱的母线， 所以为矩形，设，则是的中点， 设是的中点，连接，则， 则是异面直线与所成角或其补角. 由于，， 所以，由于， 而是圆柱底面圆的直径，则， 所以，则， ，而， 在三角形中，由余弦定理得. 故答案为： 14. 若直线与曲线相切，则的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数求切点坐标，再由切点在直线上可得，则，构造并研究单调性，进而求值域即可. 【详解】函数的导数为， 设切点为，所以，则，即 又因为在上，所以， 所以，即，所以， 所以， 令，， 令，可得，令，可得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以. 当趋近正无穷时，趋近正无穷. 所以的取值范围为：. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 如图，在多面体中，，，，平面，，，. （1）求证：直线平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1） 因为，平面，平面， 所以， 所以，，两两垂直， 则以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 设平面的法向量，则， 令，得， 所以，则， 又因为平面 所以直线平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据，即可得证 （2）分别求出平面与平面的法向量，利用向量夹角公式即可求解值； （3）设点到平面的距离为，利用点到平面的向量公式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由，得，， 设平面的法向量为，则， 令，得， 所以， 则平面与平面夹角的余弦值为. 【小问3详解】 由于，平面的法向量， 设点到平面的距离为， 则， 所以点到平面的距离为. 16. 某高新技术企业新研发出了一种产品， 该产品由三个电子元件构成， 这三个电子元件在 生产过程中的次品率分别为 ，组装过程中不会造成电子元件的损坏，若有 一个电子元件是次品， 则该产品为次品. 现安排质检员对这批产品一一检查， 确保无任 何一件次品流入市场. （1）若质检员检测出一件次品， 求该产品仅有一个电子元件是次品的概率; （2）现有两种方案， 方案一: 安排三个质检员先行检测这三个元件， 次品不进入组装生 产线; 方案二: 安排一个质检员检测成品， 一旦发现次品， 则取出重新更换次品的 电子元件， 更换电子元件的费用为 20 元/个. 已知每个质检员每月的工资约为 3000 元，该企业每月生产该产品 件 ，请从企业获益的角度选择最优方案. 【答案】（1） （2）当 且 时，选方案一; 当 且 时，选方案二 【解析】 【分析】（1）根据条件概率的计算公式直接求解即可. （2）根据已知条件求出一件产品所含电子元件为次品的个数的数学期望，从而求出方案二每月所需费用的期望，与方案一进行比较，进而选择最优的方案. 【小问1详解】 记“质检员检测出一件次品”为事件 ， “该产品仅有一个电子元件是次品”为 . ， ， 所以 . 【小问2详解】 设一件产品中所含电子元件为次品的个数为 ， 则 可取，，，， 所以， ， ， ， 则 的分布列为 0 1 2 3 所以 . 若选方案一， 则企业每月支出质检员工资共元. 若选方案二， 则企业每月支出质检员工资和更换电子元件费用共计 . 若 ，则 . 所以当且 时，选方案一; 当 且 时，选方案二. 17. 已知椭圆的离心率为，以C的短轴为直径的圆与直线相切. （1）求C的方程； （2）直线：与C相交于A，B两点，过C上的点P作x轴的平行线交线段AB于点Q，直线OP的斜率为（O为坐标原点），△APQ的面积为.的面积为，若，判断是否为定值？并说明理由. 【答案】（1）； （2）是定值，. 【解析】 【分析】（1）利用椭圆离心率及圆的切线性质，建立关于的方程组，解方程组作答. （2）由给定的面积关系可得直线PQ平分，进而可得直线的斜率互为相反数，再联立直线与椭圆方程，利用韦达定理结合斜率坐标公式计算判断作答. 【小问1详解】 由椭圆的离心率为得：，即有， 由以C的短轴为直径的圆与直线相切得：，联立解得， 所以C的方程是. 【小问2详解】 为定值，且， 因为，则， 因此，而，有， 于是平分，直线的斜率互为相反数，即， 设， 由得，，即有， 而，则， 即 于是 ， 化简得：， 且又因为在椭圆上，即，即，， 从而，， 又因为不在直线上，则有，即， 所以为定值，且. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 18. 已知双曲线的左､右焦点分别为，焦距为4，虚半轴长为1.如图，直线与双曲线的右支交于两点，其中点在第一象限.与关于原点对称，连接与，其中垂直于的平分线，垂足为. （1）求双曲线的标准方程； （2）求证：直线与直线的斜率之积为定值； （3）求的最小值. 【答案】（1） （2） 不妨设，因为点与点关于原点对称，所以， 易知直线的斜率存在，不妨设直线的斜率为， 记，因为直线为的平分线，所以， 因为两点均在双曲线上，所以， 此时，则， 同理得， 因为，又， 所以，整理得，则， 故直线与直线的斜率之积为定值； （3）3 【解析】 【分析】（1）根据虚半轴、焦距求出，即可得出双曲线方程； （2）由角平线转化为向量夹角相等可得，化简可得，据此即可得证； （3）由题意三角形面积比可转化为，由点到直线的距离求出，再由直线联立双曲线方程，结合根与系数的关系，利用弦长公式可得，得出后利用均值不等式求最值. 【小问1详解】 由题设，故，所以，则双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）知，因为，所以， 联立，又，解得， 所以， 不妨设直线的方程为，因为点在直线上，解得， 所以直线的方程为，易知， 因为直线的斜率为，不妨设直线的方程为， 因为点在直线上，解得， 所以直线的方程为， 联立，消去并整理得， 由韦达定理得， 因为，所以，此时， 所以，当且仅当，即时，等号成立， 故当时，取得最小值，最小值为3. 【点睛】关键点点睛：首先根据两三角形的有公共边的特点，转化面积比为，再分别根据题目条件，利用点到直线的距离，弦长公式，求出，求最值的关键在于发现分母使用均值不等式即可. 19. 英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，．注：表示的2阶导数，即为的导数，表示的阶导数，该公式也称麦克劳林公式. （1）根据该公式估算的值，精确到小数点后两位； （2）由该公式可得：．当时，试比较与的大小，并给出证明（不使用泰勒公式）； （3）设，证明：. 【答案】（1）0.48； （2） ，证明如下： 令，，则 令，则， 故在上单调递增，，则 故在上单调递增，， 即证得，故． （3） 由（2）可得当时，， 且由得，当且仅当时取等号， 故当时，，， ， 而 ， 即有 故 而， 即证得． 【解析】 【分析】（1）利用泰勒公式即可估算的值； （2）构造函数，，并利用导数求得最小值，进而得到与的大小关系； （3）利用（2）中结论得到不等式结合裂项相消法对进行放缩变化，进而证得题给不等式成立. 【小问1详解】 令，则，， ，， 故，，，，， 由麦克劳林公式可得， 故． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $