精品解析：四川省乐山市2025届第三次调查研究考试数学试题

机密★启用前〔考试时间：2025年5月6日下午15：00-17：00〕 乐山市高中2025届第三次调查研究考试 数学 （本试卷满分150分，考试用时120分钟.） 注意事项： 1.答题前先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，认真核准准考证号条形码上的以上信息，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出集合，再由交集的定义求解即可. 【详解】因为，所以，则， 故选：A. 2. 已知在复平面内，，复数，对应的点为，，则（ ） A. 5 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先得到，的坐标，得到的坐标，再求其模或直接利用两点之间的距离计算即得. 【详解】法一：因为，，所以，， 所以，则，即. 法二：如图，在坐标系内做出复数，对应的点为，， 由勾股定理易得. 故选：B. 3. 已知数列的通项公式为，则下列不是数列的项的是（ ） A. 2 B. 13 C. 39 D. 49 【答案】C 【解析】 【分析】特值法可判断ABD；分为偶数和偶数，令，求出可判断C. 【详解】对于A，令，，故A错误； 对于B，令，，故B错误； 对于C，当为偶数，令，解得：， 当为奇数，令，解得：， 故39不是数列的项，故C正确； 对于D，令，，故D错误. 故选：C. 4. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数式与对数式的互化以及指数幂的运算性质计算即可. 【详解】由可得，又因为， 所以， 故选：B. 5. 与双曲线有公共焦点，且离心率为的椭圆方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出双曲线的焦点，即得c的值，可设出椭圆的标准方程，根据离心率以及，求出的值. 【详解】设椭圆的方程为：， 双曲线的焦点为， 所以，又因为离心率为，所以， 所以，又因为， 所以圆的方程为. 故选：C. 6. 已知等腰三角形中，，，，，，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解法一：由余弦定理求出，再由数量积的定义求解即可；解法二：由余弦定理求出，再由可得，代入求解即可得出答案. 【详解】解法一：由余弦定理可知：， 所以，； 解法二：由余弦定理可知， 因为，则， 所以， 即， 故选：B. 7. 在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称.若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解法一：由题意，，由诱导公式和二倍角的余弦公式代入化简得出答案；解法二：由两角差的正弦公式可得，对其两边平方可求出，再结合，即可得出答案. 【详解】解法一：由题意可得：，，从而 ； 解法二：由得，平方可得， 所以，又，， 从而. 故选：D. 8. 已知函数，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求得，得到函数在单调递增，在上单调递减，且， 画出以的大致图像，转化为与的图像有两个不同的交点，即可求解. 【详解】由函数，可得其定义域为，且， 当时，；当时，， 所以在单调递增，在上单调递减，且， 当时，，且， 所以的大致图像，如图所示. 由，可知与的图像有两个不同的交点， 可得，即实数的取值范围为. 故选：C. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 有一组样本数据按从小到大排列为，，，是不为0的常数，则（ ） A. 的极差等于的极差 B. 的第50百分位数等于的第50百分位数 C. 的平均数等于的平均数 D. 的方差等于的方差 【答案】AD 【解析】 【分析】由极差的定义可判断A；由百分位数的定义可判断B；由平均数和方差的性质可判断CD. 【详解】对于选项A，极差为一组数据中最大值与最小值的差， 原来的极差是的极差为 的极差等于的极差，A选项正确； 对于选项B，记样本数据的第50百分位数为， 则数据的第50百分位数为， 是不为0的常数，当时，； 当时，；故B选项错误； 对于选项C，不妨设的平均数为， 是不为0的常数，则的平均数为，故C选项错误； 对于选项D，由方差的定义可知与的离散程度相同， 两组数据方差相等，故选项D正确. 故选：AD 10. 抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.已知抛物线的焦点为，一束平行于轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 若直线倾斜角为，则 C. D. 与之间的距离为3 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定条件，求出点的坐标，再逐项分析判断. 【详解】抛物线的焦点为，由轴，，得， 直线斜率，直线方程为，由，得， 对于A，，，A正确； 对于B，，由，，得，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，与之间的距离为，D错误. 故选：AC 11. 已知函数，当且仅当时，导函数成立，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】A先求，再将问题转化为的解集为，利用韦达定理即可；先研究的单调性，得出即可判断BC选项；D先求证，再利用倒序相加法即可求得. 【详解】由得，，则的定义域为， 又当且仅当时，导函数成立， 则的解集为， 即的解集为， 则，，，则，故A正确； ， 令， 则， 则得；得， 则在上单调递增，在上单调递减， 则， 则，故B正确；C错误； 因，则， 则， 记， 则， 两式相加得， 则，记，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 曲线与在点处的切线方程为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意求得，得到，结合导数的几何意义，即可求解. 【详解】由，可得，可得 所以曲线在点处的切线方程. 故答案为：. 13. 如图，在矩形中，，，分别为边，的中点，在以，，，，，为起点和终点的所有有向线段表示的向量中，相反的向量共有________对. 【答案】39 【解析】 【分析】由相反向量的定义求解即可. 【详解】当取两个点时，比如与，这样的相反向量有对； 当不是上述情况时：①斜着时，有4对； ②竖着时，有对； ③横着时，短横有对；长横有对； 相反的向量共有对. 故答案为：39. 14. 三棱锥中，，，，，，向量与向量的夹角为，则三棱锥外接球的表面积为________. 【答案】 【解析】 【分析】过作，过作，证得平面，得到平面平面，证得平面，直角 中，求得，利用余弦定理，求得，取中点，过作交于，设，三棱锥外接球的半径为，结合球的截面圆的性质，列出方程组求得，结合表面积公式，即可求解. 【详解】过作，过作，交于， 因为向量与向量的夹角为，所以， 又因为，所以， 因为，且，平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面， 且平面平面， 过作于，且平面，所以平面， 在直角中，因为，所以，， 在直角中，因为，，可得， 所以， 取中点，则为直角的外心，且， 在中，由余弦定理可得， 则三棱锥外接球的球心在过且垂直于平面的直线上， 由于平面，平面，故， 如图所示，过作交于，则四边形为矩形，所以， 设，三棱锥外接球的半径为，则， 可得，即，解得， 所以三棱锥外接球的表面积为. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤. 15. 已知数列是等差数列，前项和为，前三项分别是，，，且. （1）求和的值； （2）若（为常数），使得，，成等比数列，求数列的前项和的最小值，及其取最小值时的值. 【答案】（1）， （2）或， 【解析】 【分析】（1）利用等差中项即可求解，进而可求解公差，根据等差数列的通项公式，以及求和公式即可求解， （2）根据等比中项的关系可求解，即可根据的正负，求解或时，有最小值，由等差求和公式即可求解最小值. 【小问1详解】 由题意知等差数列的前三项分别是，，， 则，解得. 当时，，， 故. 又， 即，则或（舍去）， 故. 【小问2详解】 由（1）可得，，， ，，成等比数列，即 即，解得. 故，且为等差数列， 时，，且，当时，， 故或时，有最小值. 且. 16. 在中，角的对边分别为，，，已知. （1）求； （2）若，，的角平分线交于，求. 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）利用和差角的余弦公式将变形，再结合角的范围即可求出角； （2）解法一：等面积法. 根据，利用三角形面积公式列出等式，即可求出；解法二，在中，先由余弦定理求出，再由正弦定理求出角及角，进而得到，从而推出是等腰三角形，即可求出. 【小问1详解】 由，得， 所以， 因为，所以， 所以，即. 【小问2详解】 解法一：等面积法. 因为，，由（1）知， 所以， ， ， 因为， 即， 所以解得. 解法二： 在中，因为，，由（1）知， 由余弦定理，解得， 由正弦定理可得， 所以，即或（舍），所以. 又，所以是等腰三角形， 所以. 17. 如图，直五棱柱中，四边形为正方形，，二面角的平面角为，为中点. （1）当时，证明：平面； （2）当直线与平面所成的角为时，求的值. 【答案】（1）证明：因为为直五棱柱，所以平面， 又平面，所以，， 由，得，所以. 因为为的中点，在中，由勾股定理得. 因为，，， 所以，故， 又，，平面， 所以平面. （2）. 【解析】 【分析】（1）先由题设求出和，进而由勾股定理求出，再由线面垂直的判定定理即可求证平面； （2）建立适当空间直角坐标系，求出向量和平面的一个法向量，利用线面角的向量法公式即可计算求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，易知，，两两垂直，以为原点，，，为，，轴建立空间直角坐标系， 因为平面，平面，所以，， 所以为二面角的平面角，所以， 则，，，， 故，. 设平面的法向量为， 由得 取，得，故. 又， ， 即， 化简可得. 解得得（舍去）. 18. 电影《哪吒2》上映以来引起了全社会甚至全世界的关注，全球票房突破百亿.“跟着吒儿去旅游”成为热门出游方式，某景点宣传投入金额（单位：万元）与游客满意度评分（满分：100分）之间可能存在一定的关系，以下是随机抽取的6个不同线上宣传投入金额和游客满意度评分的数据： 线上宣传投入金额（万元） 20 30 40 50 60 70 游客满意度评分（分） 60 65 70 78 80 85 （1）根据表中所给数据，用相关系数加以判断，是否可用线性回归模型拟合与的关系？若可以，求出关于之间的线性回归方程；若不可以，请说明理由（精确到小数点后两位）； （2）《哪吒2》中更是蕴含着丰富的中国传统文化，某校举办中国传统文化比赛，甲、乙两人进入决赛，决赛采用“五局三胜制”，已知在每局比赛中，甲获胜的概率为，. ①若甲以获胜的概率为，求的最大值； ②在①中，若，以作为的值，设甲、乙比赛的局数为，求的分布列和期望. 参考公式：相关系数，， 参考数据：. 【答案】（1）可以， （2）①； ② 3 4 5 . 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用公式求得，得到用线性回归模型拟合与的关系，求得回归系数，进而得到回归直线方程； （2）①根据题意，求得， 求得，得到函数得到单调性和最大值，即可求解； ②由①得到，随机变量，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，求得期望值. 【小问1详解】 解：由已知得，， 可得， ， ， 所以， 因为，可以推断与正两个变量正线性相关，且相关程度很强， 可用线性回归模型拟合与的关系， 则，所以， 所以关于的线性回归方程为：. 【小问2详解】 解：①若甲以获胜，则前四局中甲、乙各胜两局，且第五局甲获胜， 所以， 所以， 令，可得，当时，； 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减； 所以当时，取得最大值， ②由①知，，随机变量， 可得；； ， 所以随机变量的分布列为 3 4 5 所以. 19. 已知动点与两个定点，的距离的比为. （1）求动点的轨迹的方程； （2）过上的动点作的切线交轴于点，以为圆心，为半径的圆与轴交于，.已知，，连接，交于点. ①求动点的轨迹方程； ②过点的直线与点的轨迹交于，两点，过作轴的垂线，记与直线0的交点为，若，证明：直线过定点. 【答案】（1） （2）①； ②证法一：设直线：，，， 联立，可得.于是，. 由可得， ，. 记直线与轴交于点， 由，，共线得. 可得. ， ， 则. 于是直线过点. 证法二：设，， 、、三点共线，有. ，. 则. 即. 两式作差可得 于是， 另由，可知. 综上，，即直线过点. 【解析】 【分析】（1）设点，列方程，化简即可； （2）①解法一：设，根据求解； 解法二：设，则点处的切线方程为，则：，：，进而得解； 解法三：设点，，，，由，可得，即，再根据斜率关系得解； ②解法一：设直线：，，，联立方程组，由可得，由，，共线得，进一步化简可得定点； 解法二：设，，、、三点共线，有，再根据斜率关系化简可得解. 【小问1详解】 设点，由， 即， 化简得. 【小问2详解】 ①解法一：设， 则：，. ：，. ， ，即. . . 解法二：设，则点处的切线方程为. ，， 圆的方程为. 令，得，. ：，：. 由，两式乘得，即， 所以点的轨迹为. 解法三：设点，，，， 由，可得，即. 则. 另一方面，. 解得点的轨迹为. ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 机密★启用前〔考试时间：2025年5月6日下午15：00-17：00〕 乐山市高中2025届第三次调查研究考试 数学 （本试卷满分150分，考试用时120分钟.） 注意事项： 1.答题前先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，认真核准准考证号条形码上的以上信息，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知在复平面内，，复数，对应的点为，，则（ ） A. 5 B. C. 2 D. 3. 已知数列的通项公式为，则下列不是数列的项的是（ ） A. 2 B. 13 C. 39 D. 49 4. 已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 与双曲线有公共焦点，且离心率为的椭圆方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知等腰三角形中，，，，，，那么（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称.若，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 有一组样本数据按从小到大排列为，，，是不为0的常数，则（ ） A. 的极差等于的极差 B. 的第50百分位数等于的第50百分位数 C. 的平均数等于的平均数 D. 的方差等于的方差 10. 抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.已知抛物线的焦点为，一束平行于轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则下列结论中正确的是（ ） A. B. 若直线倾斜角为，则 C. D. 与之间的距离为3 11. 已知函数，当且仅当时，导函数成立，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 曲线与在点处的切线方程为________. 13. 如图，在矩形中，，，分别为边，的中点，在以，，，，，为起点和终点的所有有向线段表示的向量中，相反的向量共有________对. 14. 三棱锥中，，，，，，向量与向量的夹角为，则三棱锥外接球的表面积为________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤. 15. 已知数列是等差数列，前项和为，前三项分别是，，，且. （1）求和的值； （2）若（为常数），使得，，成等比数列，求数列的前项和的最小值，及其取最小值时的值. 16. 在中，角的对边分别为，，，已知. （1）求； （2）若，，的角平分线交于，求. 17. 如图，直五棱柱中，四边形为正方形，，二面角的平面角为，为中点. （1）当时，证明：平面； （2）当直线与平面所成的角为时，求的值. 18. 电影《哪吒2》上映以来引起了全社会甚至全世界的关注，全球票房突破百亿.“跟着吒儿去旅游”成为热门出游方式，某景点宣传投入金额（单位：万元）与游客满意度评分（满分：100分）之间可能存在一定的关系，以下是随机抽取的6个不同线上宣传投入金额和游客满意度评分的数据： 线上宣传投入金额（万元） 20 30 40 50 60 70 游客满意度评分（分） 60 65 70 78 80 85 （1）根据表中所给数据，用相关系数加以判断，是否可用线性回归模型拟合与的关系？若可以，求出关于之间的线性回归方程；若不可以，请说明理由（精确到小数点后两位）； （2）《哪吒2》中更是蕴含着丰富的中国传统文化，某校举办中国传统文化比赛，甲、乙两人进入决赛，决赛采用“五局三胜制”，已知在每局比赛中，甲获胜的概率为，. ①若甲以获胜的概率为，求的最大值； ②在①中，若，以作为的值，设甲、乙比赛的局数为，求的分布列和期望. 参考公式：相关系数，， 参考数据：. 19. 已知动点与两个定点，的距离的比为. （1）求动点的轨迹的方程； （2）过上的动点作的切线交轴于点，以为圆心，为半径的圆与轴交于，.已知，，连接，交于点. ①求动点的轨迹方程； ②过点的直线与点的轨迹交于，两点，过作轴的垂线，记与直线0的交点为，若，证明：直线过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $