精品解析：辽宁省大连市第二十四中学2024-2025学年高一下学期期中数学试题

2024—2025学年下学期期中考试高一年级数学科试卷 注意事项： 1．请在答题纸上作答，在试卷上作答无效． 2．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟 第Ⅰ卷 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用诱导公式可求得结果. 【详解】由诱导公式可得. 故选：C. 2. 已知向量，若，则（ ） A. B. 25 C. 5 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】先根据向量垂直的性质求出的值，再求出的坐标，最后根据向量模的计算公式求出. 【详解】已知，，且，可得. 由，解得.所以. 则. 可得. 故选：C. 3. 已知设，求：的值（用表示）．针对这一问题，有两位同学给出了不同的解答．小张同学的答案：；小姚同学的答案：；则（ ） A. 小张对，小姚错 B. 小张错，小姚对 C. 两人都错 D. 两人都对 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用差角的正切化简即得. 【详解】依题意，，小张同学正确； 由，即， 则， 则小姚同学正确. 故选：D 4. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用之间关系求解即可. 【详解】因为，所以， 因为,又， 所以，所以， 所以， 又，所以， 所以. 故选：C. 5. 将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，以，图象相邻的三个交点为顶点的三角形面积为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数平移规则得出解析式，再由对称性及面积公式即可求解. 【详解】由题可得，其最小正周期为，的最小正周期也为， 如图设，图象相邻的三个交点为，则， 因为，所以，假设， 将代入，可得，所以， 将点代入，可得或， 即或，又，所以. 故选：C 6. 已知单位向量，，若对任意的，恒成立，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用模的平方就是向量的平方，再借助向量数量积的运算，从而转化为一元二次不等式恒成立，则利用判别式就可以求解. 【详解】因为单位向量，，所以由平方得： ， 又因为对任意的，上式关于的一元二次不等式恒成立， 则满足， 此时只能满足，即， 因为，所以， 故选：B. 7. 已知向量，且，的夹角为钝角，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量夹角公式及向量共线的坐标表示，列式求解. 【详解】向量，由，的夹角为钝角，得且不共线， 则，解得且， 所以的取值范围为. 故选：D 8. 已知函数在上单调，是函数的一条对称轴，若先将图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的一半，再将图象向右平移个单位长度，图象关于轴对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合单调性计算出的取值，逐个验证后确定和的值，即得到函数的解析式，再求得变换后的函数解析式，并结合函数图象的对称性质解得的最小值. 【详解】由函数在上单调，得的最小正周期， 则，解得，又，于是， 若，则，，又，则无解； 若，则，，又，则； 若，则，，又，则无解， 因此，将图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的一半， 得的图象，再将图象向右平移个单位长度，得的图象， 由函数的图象关于轴对称，得， 解得，所以当时，m取最小值为. 故选：B 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对得部分分． 9. 若扇形周长为12，当这个扇形的面积最大时，下列结论正确的是（ ） A. 扇形的圆心角为2 B. 扇形的弧长为6 C. 扇形的半径为6 D. 扇形圆心角所对弦长为 【答案】ABD 【解析】 【分析】设出扇形半径，表示弧长及扇形面积，求出最大值的条件，再逐项判断即得. 【详解】对于C，设扇形半径为，则弧长，扇形面积， 当且仅当时取等号，C错误 对于B，扇形的弧长，B正确； 对于A，扇形的圆心角为，A正确； 对于D，扇形圆心角所对弦长为，D正确. 故选：ABD 10. 如图所示，线段是的弦，其中，点为上任意一点，则以下结论正确的有（ ） A. B. C. 当时， D. 的最大值是36 【答案】AB 【解析】 【分析】利用向量的三角形不等式判断A；利用向量数量积的几何意义、性质求解判断BCD. 【详解】对于A，，当且仅当共线时取等号，A正确； 对于B，过作于，交于，则是中点，， ，B正确； 对于C，当时，，解得， 由选项B知，，此时点与之一重合， 当点与重合时，，， 当点与重合时，，，C错误； 对于D，， 当且仅当与同向共线时取等号，D错误. 故选：AB 11. 已知函数，在上单调，且，若在上恰有2个零点，可能得取值为（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由结合函数单调性，即可确定的一个对称中心为，利用函数的对称中心和单调区间，结合周期可得，求出，再结合函数零点个数，列出不等式求得，综合，即可求得的取值范围. 【详解】因为函数在区间上单调， 且满足，而，， 即的一个对称中心为，，且在区间上单调， 设函数的最小正周期为T，则，即，解得， 又函数在区间上恰有2个零点，恰为第一个零点， 相邻两个零点之间相距半个周期，则，即， 解得，而，因此， 所以可能得取值为，. 故选：BC 第Ⅱ卷 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用同角公式、和角的余弦公式计算即得. 【详解】由，得， 所以. 故答案为： 13. 已知向量满足，，且，，则______． 【答案】#### 【解析】 【分析】利用向量移项，两边向量的平方，结合数量积的运算律，即可得数量积，最后可求得结果. 【详解】由得：，两边平方得：； 由得：，两边平方得：； 由得：，两边平方得：； 所以 故答案为： 14. 函数，若函数在至少有4个零点，至多有8个零点，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，求出函数的最小正周期，再由正弦函数的零点个数及区间的任意性列出不等式求解. 【详解】函数的最小正周期， 由正弦函数的图象性质知，在长为一个周期的区间内恰有2个零点， 则由函数在至少有4个零点，至多有8个零点，得， 即，因此，解得或， 当时，由，得， 存在，使得，则， 即是的零点时，也一定是的零点，此时在内有9个零点， 不符合题意，则，同理， 所以的取值范围为. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）化简：； （2）已知，求的值． 【答案】（1）1；（2） 【解析】 【分析】（1）先将正切化为正弦与余弦的形式，再利用三角函数公式进行化简； （2）根据三角函数的二倍角公式将式子化简，然后将正切值代入求解. 【详解】（1）化简 （2）已知，根据三角函数二倍角公式，对原式进行化简： 16. 已知向量满足，与的夹角为． （1）求的值； （2）已知，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据向量夹角公式，求出、和，进而求得的值； （2）根据向量运算的分配律展开，再结合已知条件得到关于的不等式，最后求解不等式得到的取值范围. 【小问1详解】 计算，可得. 已知，则. 可得. 所以. 又. 根据向量夹角公式，可得. 【小问2详解】 根据向量运算的分配律展开： 可得： 将，，代入上式可得： 求解不等式. 移项可得，即. 解得. 即的取值范围为. 17. 已知． （1）当时，求的值域； （2）若时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）令，则，得到，结合二次函数的性质，求得的最值，得到函数的值域； （2）令，得到，根据题意，转化为在上恒成立，令，结合函数的单调性，求得，进而求得的取值范围. 【小问1详解】 当时，函数， 令，则， 又由，可得， 则函数， 则函数的图象开口向上，且对称轴为， 可得函数在单调递减，在单调递增， 所以，当时，；当时，， 即当时，即或时， 即或时，函数； 当时，即，即时， 即时，函数， 所以函数的值域为. 【小问2详解】 令，则， 当，则，可得， 则， 由恒成立，即恒成立， 可得，即在上恒成立， 即在上恒成立， 令，可得在上单调递增，所以， 所以，解得，即实数的取值范围为. 18. 已知向量，，函数． （1）求函数的最小正周期及对称中心； （2）若，且，求的值； （3）在锐角中，若，求的取值范围． 【答案】（1），； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用数量积的坐标表示列式，再利用二倍角、辅助角公式化简，进而利用正弦函数性质求解. （2）由（1）的信息，利用同角公式及差角的余弦求解. （3）由（1）的信息求出，利用利用和差角的正弦，结合余弦函数性质求出范围. 【小问1详解】 依题意，， 所以函数的最小正周期； 由，解得， 所以函数的对称中心为. 【小问2详解】 由（1）得，解得，而， 当时，，则，矛盾， 所以， ，所以 . 【小问3详解】 由（1）得，解得，又为锐角三角形， 则，令，则， ， 所以的取值范围是. 19. 已知函数图象的相邻两对称轴间的距离为，且为偶函数． （1）求函数的解析式； （2）令，记函数在上的零点从小到大依次为，求及的值； （3）设函数，若对于定义域内的任意实数，给定的非零常数，总存在非零常数，使得成立，则称函数是上的级周期函数，周期为．是否存在非零实数，使函数是上的周期为的级周期函数？请证明你的结论． 【答案】（1）； （2），； （3）存在，且，证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用三角函数的周期性求得，再根据奇偶性与已知条件解得，即可求得函数的解析式. （2）结合（1）的结论，把求零点个数转化为函数交点问题，根据三角函数的图象与对称性计算即可. （3）根据定义得出恒成立，利用三角函数的有界性得出，分类讨论时，构造，根据零点存在性定理判定其零点唯一，再讨论时，通过指数函数与一次函数的性质与图象排除即可. 【小问1详解】 依题意，函数的最小正周期为，则，， 由函数为偶函数，得，，， 所以函数的解析式为. 【小问2详解】 由（1）得，则， 由，得， 令，则，函数在上的零点 与函数在上的零点满足设，如图： 由图知，直线与函数在上的图象有5个交点， 点关于直线对称，点关于直线对称， 点关于直线对称，点关于直线对称， 因此，即， 则，解得， 所以，. 【小问3详解】 函数，则. 假设存在非零实数，使得函数是上的周期为的级周期函数， 即，则成立， 则成立，当时，，则， 即，要使得恒成立，则有， 当时，则，即，令，其中， 而，且函数在上单调递增， 函数在上有唯一的零点，此时恒成立， 则，且，即，且； 当时，则，即，作出函数的图象如下图所示： 由图知，函数的图象没有公共点，即方程无实数解， 所以存在，且满足题意，其中满足. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年下学期期中考试高一年级数学科试卷 注意事项： 1．请在答题纸上作答，在试卷上作答无效． 2．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟 第Ⅰ卷 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的值为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，若，则（ ） A. B. 25 C. 5 D. 2 3. 已知设，求：的值（用表示）．针对这一问题，有两位同学给出了不同的解答．小张同学的答案：；小姚同学的答案：；则（ ） A. 小张对，小姚错 B. 小张错，小姚对 C. 两人都错 D. 两人都对 4. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，以，图象相邻的三个交点为顶点的三角形面积为，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知单位向量，，若对任意的，恒成立，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知向量，且，的夹角为钝角，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数 在 上单调，是函数的一条对称轴，若先将图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的一半，再将图象向右平移个单位长度，图象关于轴对称，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对得部分分． 9. 若扇形周长为12，当这个扇形的面积最大时，下列结论正确的是（ ） A. 扇形的圆心角为2 B. 扇形的弧长为6 C. 扇形的半径为6 D. 扇形圆心角所对弦长为 10. 如图所示，线段是的弦，其中，点为上任意一点，则以下结论正确的有（ ） A. B. C. 当时， D. 的最大值是36 11. 已知函数，在上单调，且，若在上恰有2个零点，可能得取值为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则______． 13. 已知向量满足，，且，，则______． 14. 函数，若函数在至少有4个零点，至多有8个零点，则的取值范围为______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）化简：； （2）已知，求的值． 16. 已知向量满足，与的夹角为． （1）求的值； （2）已知，求实数的取值范围． 17. 已知． （1）当时，求的值域； （2）若时，恒成立，求实数的取值范围． 18. 已知向量，，函数． （1）求函数的最小正周期及对称中心； （2）若，且，求的值； （3）在锐角中，若，求的取值范围． 19. 已知函数图象的相邻两对称轴间的距离为，且为偶函数． （1）求函数的解析式； （2）令，记函数在上的零点从小到大依次为，求及的值； （3）设函数，若对于定义域内的任意实数，给定的非零常数，总存在非零常数，使得成立，则称函数是上的级周期函数，周期为．是否存在非零实数，使函数是上的周期为的级周期函数？请证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $