专题01 二次根式（7大考点经典基础练+优选提升练）（福建专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期末真题分类汇编

专题01 二次根式 题型概览 题型01二次根式有意义的条件 题型02利用二次根式性质化简 题型03最简二次根式、同类二次根式 题型04二次根式的混合运算 题型05分母有理化 题型06已知字母的值化简求值 题型07二次根式的应用 ( 题型01 ) 二次根式有意义的条件 1．（23-24八年级下·福建福州·期末）若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·福建·期末）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·福建·期末）下列x的取值，能使得二次根式有意义的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·福建·期末）使二次根式有意义的a的取值范围是 ． 5．（23-24八年级下·福建·期末）要使二次根式有意义，则的取值范围是 ． 6．（23-24八年级下·福建·期末）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． ( 题型02 ) 利用二次根式性质化简 7．（23-24八年级下·福建·期末）化简： ． 8．（23-24八年级下·福建·期末）已知是整数，则正整数n的最小值为 ． 9．（23-24八年级下·福建福州·期末）计算的结果是 ． 10．（23-24八年级下·福建厦门·期末）计算：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ． 11．（23-24八年级下·福建·期末）若实数在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果是 ． 12．（23-24八年级下·福建·期末）先观察等式，再解答问题： ①；②； ③． (1)请你根据以上三个等式提供的信息，猜想的结果，并验证； (2)请你按照以上各等式反映的规律，试写出用含n的式子表示的等式（n为正整数）． (3)应用上述结论，请计算的值． ( 题型03 ) 最简二次根式、同类二次根式 13．（23-24八年级下·福建厦门·期末）下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 14．（23-24八年级下·福建·期末）在下列二次根式中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 15．（23-24八年级下·福建福州·期末）下列二次根式化简后与能合并的是（    ） A． B． C． D． 16．（23-24八年级下·福建福州·期末）若能和进行合并，则正整数的值可以是 （只需写出一个符合条件的正整数）． 17．（23-24八年级下·福建·期末）若最简二次根式与是同类二次根式，则的值是 ． 18．（23-24八年级下·福建·期末）下列根式中，能与合并的是（    ） A． B． C． D． ( 题型0 4 )二次根式的混合运算 19．（23-24八年级下·福建厦门·期末）计算： (1)； (2)． 20．（23-24八年级下·福建龙岩·期末）计算： (1)； (2)． 21．（23-24八年级下·福建福州·期末）计算：． 22．（23-24八年级下·福建厦门·期末）计算： (1)． (2)． 23．（23-24八年级下·福建福州·期末）计算： (1) (2) 24．（23-24八年级下·福建福州·期末）计算： (1)； (2)． ( 题型0 5 )分母有理化 25．（24-25八年级上·福建福州·期末）先化简，再求值：，其中． 26．（23-24八年级下·福建·期末）先化简，再求值：，其中． 27．（23-24八年级上·福建福州·期末）先化简再求值：，其中． 28．（23-24八年级下·福建·期末）先化简，再求值：，其中． 29．（23-24八年级下·福建·期末）先化简，再求值：，其中． 30．（23-24八年级下·福建·期末）先化简，再求值：，其中． ( 题型0 6 )已知字母的值化简求值 31．（23-24八年级下·福建·期末）先化简，再求值：，其中． 32．（23-24八年级下·福建·期末）已知，，求代数式的值． 33．（23-24八年级下·福建·期末）已知：，，求： (1) ， (2)的值． 34．（23-24八年级下·福建·期末）先化简，再求值： ，其中x=+1． ( 题型0 7 )二次根式的应用 35．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，长方形内有两个相邻的正方形：正方形和正方形，面积分别为1和2，那么图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 36．（23-24八年级下·福建南平·期末）李老师家装修，矩形电视背景墙的长为，宽为，中间要镶一个长为，宽为的矩形大理石图案（图中阴影部分） (1)背景墙的周长是多少？（结果化为最简二次根式） (2)除去大理石图案部分，其它部分贴壁纸，若壁纸造价为22元，大理石造价为200元，则整个电视背景墙需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 37．（23-24八年级上·福建福州·期末）阅读理解：由 得，；如果两个正数 ，，即，，则有下面的不等式：，当且仅当 时，取到等号． 例如：已知，求式子 的最小值． 解：令 ，，则由 ，得 ， 当且仅当 时，即正数 时，式子有最小值，最小值为4． 请根据上面材料回答下列问题： (1)当，式子 的最小值为 ； (2)如图1，用篱笆围一个面积为50平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米，篱笆周长指不靠墙的三边），这个长方形的长、宽各为多少米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少米？    (3)如图2，四边形 的对角线 相交于点 ，的面积分别是6和12，求四边形 面积的最小值．    一、单选题 1．（23-24八年级上·福建宁德·期末）下列根式化简后不能与合并的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·福建漳州·期末）下列根式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·福建福州·期末）若是整数，则正整数n的最小值是（   ） A．2 B．4 C．6 D．24 4．（23-24八年级下·福建莆田·期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 5．（23-24八年级上·福建福州·期末）若二次根式有意义，则的取值范围为 ． 6．（23-24八年级上·福建福州·期末）已知，则的值为 ． 7．（23-24八年级上·福建福州·期末）据研究，高空地物下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响）．从高空地物到落地的时间为 s．（结果保留根号） 8．（24-25八年级上·福建三明·期末）计算结果是 ． 三、解答题 9．（23-24八年级上·福建泉州·期末）先化简，再求值：，其中，． 10．（23-24八年级下·福建厦门·期末）（1）计算： （2）解不等式组： 11．（23-24八年级上·福建福州·期末）小明在解决问题：已知 ，求 的值. 他是这样分析与解的： ， . 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)观察上面解答过程，请写出 ； (2)化简； (3)若，请按照小明的方法求出 的值． 12．（23-24八年级下·福建·期末）阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，例如，，求证：．证明：左边右边． 阅读材料二：第24届国际数学家大会会标，设两条直角边的边长为a，b，则面积为，四个直角三角形面积和小于正方形的面积得：，当且仅当时取等号．在中，若，用代替a，b得，，即，我们把(*)式称为基本不等式．例如：在的条件下，，，当且仅当，即时，有最小值，最小值为 2． 阅读材料三：正实数a，b满足，求的最小值? 其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号． 请同学们根据以上所学的知识解决下列问题． (1)若，求的最小值________；若，求的最小值________． (2)已知且，求的最小值是? (3)，且，不等式恒成立，求的范围? (4)已知且，求的最小值? 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 二次根式 题型概览 题型01二次根式有意义的条件 题型02利用二次根式性质化简 题型03最简二次根式、同类二次根式 题型04二次根式的混合运算 题型05分母有理化 题型06已知字母的值化简求值 题型07二次根式的应用 ( 题型01 ) 二次根式有意义的条件 1．（23-24八年级下·福建福州·期末）若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案． 【详解】解：∵， ， 故选：C． 2．（23-24八年级下·福建·期末）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件，列出不等式，即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴， 故选：A． 3．（23-24八年级下·福建·期末）下列x的取值，能使得二次根式有意义的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，求得的x的取值范围，然后逐项判断即可． 【详解】二次根式有意义， ， 解得：， A．，故该选项不符合题意； B． ，故该选项不符合题意； C． ，故该选项不符合题意； D． ，故该选项符合题意； 故选：D． 4．（23-24八年级下·福建·期末）使二次根式有意义的a的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 由题意得，，计算求解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得，， 故答案为：． 5．（23-24八年级下·福建·期末）要使二次根式有意义，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据题中二次根式列出不等式求解即可得到答案，熟记二次根式有意义的条件是解决问题的关键． 【详解】解：要使二次根式有意义， ，解得， 故答案为：． 6．（23-24八年级下·福建·期末）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，熟练掌握二次根式被开方数大于等于零、分式的分母不能为零是解题关键． 根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件列不等式组求解即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴，解得：且． 故答案为：且． ( 题型02 ) 利用二次根式性质化简 7．（23-24八年级下·福建·期末）化简： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了化简绝对值，二次根式的性质，根据化简，再结合负数的绝对值等于它的相反数，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为： 8．（23-24八年级下·福建·期末）已知是整数，则正整数n的最小值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了性质．二次根式有意义的条件是被开方数是非负数．解题关键是分解成一个完全平方数和一个代数式的积的形式．因为是整数，且，则是完全平方数，满足条件的最小正整数n为3． 【详解】解：∵，且是整数； ∴是整数，即是完全平方数； ∴n的最小正整数值为3． 故答案为：3． 9．（23-24八年级下·福建福州·期末）计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键； 根据二次根式的性质即可解答． 【详解】 故答案为：2024． 10．（23-24八年级下·福建厦门·期末）计算：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ． 【答案】 2 3 【分析】本题主要考查了化简二次根式和负整数指数幂，熟知化简二次根式的计算法则和负整数指数幂的计算法则是解题的关键． 【详解】解：（1）， 故答案为：2； （2）， 故答案为：3； （3）， 故答案为：； （4）， 故答案为：． 11．（23-24八年级下·福建·期末）若实数在数轴上对应点的位置如图所示，则化简的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了数轴上数的大小比较，二次根式的化简，根据数轴得，化简计算即可． 【详解】根据题意，得， ∴ ． 故答案为：． 12．（23-24八年级下·福建·期末）先观察等式，再解答问题： ①；②； ③． (1)请你根据以上三个等式提供的信息，猜想的结果，并验证； (2)请你按照以上各等式反映的规律，试写出用含n的式子表示的等式（n为正整数）． (3)应用上述结论，请计算的值． 【答案】(1)，见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的加减法，观察式子找规律，根据规律解题即可． （1）利用题中等式的计算规律得出结果，并验证． （2）找出第n个等式的左边为，右边为1与的和，列出等式即可． （3）按照（2）得出的等式关系，代入即可求得结果． 【详解】（1）解：的结果为； 验证： （2）第n个等式的左边为，等式右边为1与的和， 故等式如下： （3） ( 题型03 ) 最简二次根式、同类二次根式 13．（23-24八年级下·福建厦门·期末）下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查最简二次根式，二次根式的化简，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 根据最简二次根式可进行求解． 【详解】解：A、，不是最简二次根式； B、，不是最简二次根式； C、是最简二次根式； D、，不是最简二次根式． 故选：C． 14．（23-24八年级下·福建·期末）在下列二次根式中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式的知识，熟练掌握最简二次根式的定义是解答本题的关键．最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：A．，故不是最简二次根式； B．是最简二次根式； C．，故不是最简二次根式； D．，故不是最简二次根式． 故选B． 15．（23-24八年级下·福建福州·期末）下列二次根式化简后与能合并的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式． 根据二次根式的性质化简，然后根据能合并的二次根式为同类二次根式作出判断． 【详解】解：A．，能与合并，故本选项正确； B．，不能与合并，故本选项错误；     C．，不能与合并，故本选项错误；     D．，不能与合并，故本选项错误；     故选：A． 16．（23-24八年级下·福建福州·期末）若能和进行合并，则正整数的值可以是 （只需写出一个符合条件的正整数）． 【答案】20（，n为大于1的正整数） 【分析】本题考查同类二次根式，理解并掌握同类二次根式的定义是解决问题的关键． 【详解】解：∵能和进行合并， ∴与是同类二次根式， ∴，n为正整数， ∴，n为正整数， ∵，则， ∴为大于1的正整数， 当时，， 故答案为：20． 17．（23-24八年级下·福建·期末）若最简二次根式与是同类二次根式，则的值是 ． 【答案】8 【分析】本题考查的是同类二次根式的含义，掌握“利用同类二次根式的定义求解字母参数的值”是解本题的关键．由同类二次根式的定义可得，再解方程即可． 【详解】解：最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得：． 故答案为：8． 18．（23-24八年级下·福建·期末）下列根式中，能与合并的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将A、B、C、D四个选项分别化简为最简二次根式，被开方数为2的即为正确答案． 【详解】解：A．∵，∴不可以与合并； B．∵，∴不可以与合并； C．∵∴可以与合并； D．∵2，∴不可以与合并； 故选：C． 【点睛】本题考查了同类二次根式，知道同类二次根式的定义及懂得化简同类二次根式是解题的关键． ( 题型0 4 )二次根式的混合运算 19．（23-24八年级下·福建厦门·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式性质化简，利用完全平方公式运算，化简绝对值等知识，熟练掌握相关运算方法是解题关键． （1）先利用二次根式的乘法运算，再利用二次根式性质化简，化简绝对值，最后合并同类项即可； （2）利用完全平方公式运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：． 20．（23-24八年级下·福建龙岩·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）先计算二次根式乘法，再化简二次根式，再进行加减计算即可． （2根据平方差公式计算即可． 本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 21．（23-24八年级下·福建福州·期末）计算：． 【答案】． 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．先根据完全平方公式计算，然后把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并即可． 【详解】解： ． 22．（23-24八年级下·福建厦门·期末）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的性质化简，二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的乘除法，加减法运算即可求解． （2）根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的乘除法，加减法运算即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： 23．（23-24八年级下·福建福州·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并及二次根式的乘除法则． （1）先进行二次根式的除法运算，将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可； （2）运用完全平方公式进行计算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 24．（23-24八年级下·福建福州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，二次根式的加减和乘法乘方的混合计算； （1）根据二次根式的混合计算法则求解即可； （2）根据平方差公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： ． ( 题型0 5 )分母有理化 25．（24-25八年级上·福建福州·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的化简求值，根据分式的除法法则、加法法则把原式化简，把x的值代入计算得到答案． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 26．（23-24八年级下·福建·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，先把括号内的式子通分，再算括号外的除法，然后将x的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】．解：原式 当时， 原式 27．（23-24八年级上·福建福州·期末）先化简再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，二次根式的运算，掌握分式和二次根式运算的运算法则是解题关键．先算括号里面的，然后算括号外面的，最后代入求值． 【详解】解： ＝ ＝ ＝ ＝， 当时， 原式＝ 28．（23-24八年级下·福建·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解． 【详解】解： ； 当时，原式． 【点睛】本题考查了分式化简求值，分母有理化，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解． 29．（23-24八年级下·福建·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先按照分式混合运算的顺序和方法化简，再代入数值计算即可． 【详解】解： = = ， 当时，原式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值和二次根式运算，解题关键是熟练掌握分式运算，准确进行二次根式计算． 30．（23-24八年级下·福建·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先根据分式的四则混合运算法则化简，然后将代入计算即可． 【详解】解： 当时． 原式． 【点睛】本题主要考查了分式的四则混合运算、二次根式的除法运算等知识点，灵活运用相关运算法则是解答本题的关键． ( 题型0 6 )已知字母的值化简求值 31．（23-24八年级下·福建·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查的是分式的化简求值，分母有理化，先计算括号内分式的减法运算，再计算除法运算，最后把代入计算即可． 【详解】解： 当时， 原式 32．（23-24八年级下·福建·期末）已知，，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值．原式提公因式，再利用，，求代数式的值． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ． 33．（23-24八年级下·福建·期末）已知：，，求： (1) ， (2)的值． 【答案】(1)4 (2)13 【分析】本题考查二次根式相关的化简求值，解题的关键是观察所求式子的特点，用整体代入法求值． （1）将变形为，整体代入即可求值； （2）将变形为，整体代入即可求值． 【详解】（1） （2） 34．（23-24八年级下·福建·期末）先化简，再求值： ，其中x=+1． 【答案】， 【详解】试题分析：根据分式混合运算的法则先算括号里面的，再算除法，最后把x的值代入进行计算即可． 试题解析：原式===， 当x=+1时，原式=． ( 题型0 7 )二次根式的应用 35．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，长方形内有两个相邻的正方形：正方形和正方形，面积分别为1和2，那么图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求阴影部分的面积，二次根式的混合运算．正确的识图，确定长方形的长和宽，是解题的关键． 分别求出两个正方形的边长，进而得到长方形的长和宽，利用长方形的面积减去两个正方形的面积即可得解． 【详解】解：∵两个正方形的面积分别为1和2， ∴它们的边长分别为：和， 由图可知，长方形的长为两个正方形的边长之和，即为，宽为大正方形的边长，即为， ∴阴影部分的面积为； 故选：B． 36．（23-24八年级下·福建南平·期末）李老师家装修，矩形电视背景墙的长为，宽为，中间要镶一个长为，宽为的矩形大理石图案（图中阴影部分） (1)背景墙的周长是多少？（结果化为最简二次根式） (2)除去大理石图案部分，其它部分贴壁纸，若壁纸造价为22元，大理石造价为200元，则整个电视背景墙需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 【答案】(1)背景墙的周长为 (2)整个电视背景墙需要花费元 【分析】本题主要考查二次根式的应用： （1）背景墙长方形的周长，根据最简二次根式的定义化简即可； （2）分别求出大理石的面积和壁纸的面积即可，求解面积需要根据二次根式的乘法和加减运算法则计算． 【详解】（1）背景墙长方形的周长． 答：背景墙的周长为． （2）长方形的面积： ． 大理石的面积：． 壁纸的面积：． 整个电视墙的总费用：(元)． 答：整个电视背景墙需要花费元． 37．（23-24八年级上·福建福州·期末）阅读理解：由 得，；如果两个正数 ，，即，，则有下面的不等式：，当且仅当 时，取到等号． 例如：已知，求式子 的最小值． 解：令 ，，则由 ，得 ， 当且仅当 时，即正数 时，式子有最小值，最小值为4． 请根据上面材料回答下列问题： (1)当，式子 的最小值为 ； (2)如图1，用篱笆围一个面积为50平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米，篱笆周长指不靠墙的三边），这个长方形的长、宽各为多少米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少米？    (3)如图2，四边形 的对角线 相交于点 ，的面积分别是6和12，求四边形 面积的最小值．    【答案】(1)6 (2)20米 (3) 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用，二次根式的应用，阅读材料，材料阅读题是中学阶段所学习的重要内容，体会材料中的数学思想与方法，学会用新方法去解决数学中的问题，对学生的要求较高，是一道拔高型的综合题目． （1）根据材料提供的信息解答即可． （2）设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边为米，则，，所以所用篱笆的长为米，再根据材料提供的信息求出的最小值即可． （3）设点B到的距离为，点D到的距离为，又、的面积分别是6和12，则，，，从而求得，然后根据材料提供的信息求出最小值即可． 【详解】（1）解：令 ，，则由 ，得 ， 当且仅当 时，即正数 时，式子有最小值，最小值为6． （2）解：设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边为米， 则， ∴， ∴所用篱笆的长为米， ∵当且仅当时，的值最小，最小值为20， ∴或（舍去）． ∴这个长方形的长、宽分别为10米，5米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是20米． （3）解：设点B到的距离为，点D到的距离为， 又∵、的面积分别是6和12， ∴，， ∴， ∴ ∵． ∴当且仅当时，取等号，即的最小值为， ∴四边形面积的最小值为． 一、单选题 1．（23-24八年级上·福建宁德·期末）下列根式化简后不能与合并的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了最简二次根式，同类二次根式，先将各选项化简，再判断是否是和是同类二次根式可得答案． 【详解】因为和是同类二次根式，所以A能与合并，所以A不符合题意； 因为和是同类二次根式，所以B能与合并，所以B不符合题意； 因为和不是同类二次根式，所以C不能与合并，所以C符合题意； 因为和是同类二次根式，所以D能与合并，所以D不符合题意． 故选：C． 2．（23-24八年级上·福建漳州·期末）下列根式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了对最简二次根式的理解，被开方数不含有能开的尽方的因式或因数，被开方数不含有分数的二次根式叫做最简二次根式，据此求解即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，是最简二次根式，符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 3．（23-24八年级下·福建福州·期末）若是整数，则正整数n的最小值是（   ） A．2 B．4 C．6 D．24 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，能正确根据24分解质因数是解此题的关键． 先分解质因数，再根据为整数和为正整数得出答案即可． 【详解】解：， 是整数， 正整数的最小值是6． 故选：C． 4．（23-24八年级下·福建莆田·期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的运算以及二次根式的性质，根据二次根式的除法，加减法的运算逐一计算各项作出判断即可． 【详解】解：A、，不是同类项，不能合并，故计算错误，不符合题意； B、，故计算错误，不符合题意； C、，计算正确，符合题意； D、，计算错误，不符合题意， 故选：C． 二、填空题 5．（23-24八年级上·福建福州·期末）若二次根式有意义，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．根据二次根式有意义的条件进行求解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：， 故答案为：． 6．（23-24八年级上·福建福州·期末）已知，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了求代数式的值，因式分解的应用，以及二次根式的性质．把变形为 ，然后把代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：． 7．（23-24八年级上·福建福州·期末）据研究，高空地物下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足公式（不考虑风速的影响）．从高空地物到落地的时间为 s．（结果保留根号） 【答案】 【分析】此题考查了二次根式化简的应用能力，关键是能准确地将二次根式化简为最简二次根式． 将，代入公式进行求解． 【详解】解：当时， 故答案为：． 8．（24-25八年级上·福建三明·期末）计算结果是 ． 【答案】5 【分析】本题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握二次根式的乘除运算法则是解题关键．先计算二次根式的乘法，再计算二次根式的除法即可得． 【详解】解： ， 故答案为：5． 三、解答题 9．（23-24八年级上·福建泉州·期末）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，2 【分析】本题考查的知识点是整式的混合运算化简求值以及分式的分母有理化，掌握整式的混合运算的运算法则是解此题的关键．先利用完全平方公式，平方差公式，以及单项式乘多项式的运算法则计算化简中括号中的内容，再进行除法运算，最后再代入求值即可． 【详解】解：原式 ． 当，时， 原式 10．（23-24八年级下·福建厦门·期末）（1）计算： （2）解不等式组： 【答案】（1）2（2） 【分析】本题考查的是实数的运算及一元一次不等式组解法， （1）在计算时，针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果； （2）先求出每个不等式的解集，再得到它们的公共部分即为不等式组的解集． 【详解】解：（1） ； （2）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组解集是． 11．（23-24八年级上·福建福州·期末）小明在解决问题：已知 ，求 的值. 他是这样分析与解的： ， . 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)观察上面解答过程，请写出 ； (2)化简； (3)若，请按照小明的方法求出 的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分母有理化． （1）根据例题可得：对式子的分子和分母中同时乘以与分母中的式子相乘符合平方差公式的根式，去掉分母，然后合并同类二次根式即可求解； （2）将式子中的每一个分式进行分母有理化，问题随之得解； （3）根据小明的分析过程，得得，，再整体代入，即可求出代数式的值． 【详解】（1）解： ； 故答案为：； （2）解： ； （3）解：， ， ，即， ，， ． 12．（23-24八年级下·福建·期末）阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，例如，，求证：．证明：左边右边． 阅读材料二：第24届国际数学家大会会标，设两条直角边的边长为a，b，则面积为，四个直角三角形面积和小于正方形的面积得：，当且仅当时取等号．在中，若，用代替a，b得，，即，我们把(*)式称为基本不等式．例如：在的条件下，，，当且仅当，即时，有最小值，最小值为 2． 阅读材料三：正实数a，b满足，求的最小值? 其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号． 请同学们根据以上所学的知识解决下列问题． (1)若，求的最小值________；若，求的最小值________． (2)已知且，求的最小值是? (3)，且，不等式恒成立，求的范围? (4)已知且，求的最小值? 【答案】(1)4，6 (2) (3) (4)4 【分析】本题考查了不等式的性质，完全平方公式的应用，利用二次根式的性质进行化简．理解题意，熟练掌握不等式的性质，完全平方公式的应用，利用二次根式的性质进行化简是解题的关键． （1）时，，根据，计算求解，然后作答即可；当时，，根据，计算求解，然后作答即可； （2）同理（1），根据 ，计算求解，然后作答即可； （3）同理（1），根据 ，计算求解即可； （4）由，可得，根据求解，进而可得，然后作答即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴， 当且仅当，即时，有最小值，最小值为4； 当时，， ∴， 当且仅当，即时，有最小值，最小值为6； 故答案为：4，6； （2）解：∵且， ∴，， ∴， 当且仅当，即时，有最小值，最小值为； （3）解：∵，且，则，， ∴， 当且仅当，即时，有最小值，最小值为， ∵恒成立， ∴的最小值，即； （4）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当且仅当，即时，有最小值，最小值为4． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$