专题02 勾股定理（9大考点经典基础练+优选提升练）（福建专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期末真题分类汇编

专题02 勾股定理 题型概览 题型01用勾股定理解三角形 题型02勾股数问题 题型03勾股定理与网格问题 题型04勾股定理与折叠问题 题型05以弦图为背景的计算 题型06勾股定理与无理数 题型07勾股定理的应用 题型08勾股定理的逆定理 题型09勾股定理的逆定理的应用 ( 题型01 ) 用勾股定理解三角形 1．（24-25八年级上·福建三明·期末）若中一条直角边和斜边的长分别为6和10，则另一条直角边的长是（   ） A．4 B．6 C．8 D． 2．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，在中、的垂直平分线分别交于点E，F．若是等边三角形，．则 ． 3．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图，中，，是的平分线，交于点，若，，则的长为（　　） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·福建厦门·期末）在中，，，，点分别在上，则的最小值是（   ） A．2 B． C．4 D． 5．（23-24八年级下·福建南平·期末）如图，在正方形中， 点E 在边上（与C、D均不重合）． (1)尺规作图：过点C作的垂线，垂足为点H，交于点F（要求：保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）所作的图形中，已知， 求的长度． 6．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，中，，点在的边上，，以为直角边在同侧作等腰，使，过作于点，连接． (1)求证：； (2)当时，则为多少； (3)若，求的值． 7．（23-24八年级下·福建·期末）在四边形中，，，点E是边上一点，连接，将沿直线翻折得到，射线交边于点G． (1)如图1，求证：； (2)当时． （i）如图2，若四边形的面积为24，且当点G与D重合时，，求的长； （ⅱ）在边上取一点H，连接，使得，若的面积是的面积的2倍，求的长． ( 题型02 ) 勾股数问题 8．（23-24八年级下·福建福州·期末）下列各组数据为勾股数的是（   ） A．1，， B．2，3，4 C．，， D．3，4，5 9．（23-24八年级上·福建漳州·期末）在下列四组数中，属于勾股数的是（    ） A．1，2，3 B．1，， C．3，4，5 D．4，5，6 10．（23-24八年级下·福建厦门·期末）已知下列4个等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； (1)观察上述等式，请写出第5个等式； (2)写出第个等式，并证明； (3)我们还发现：第1个等式中可以写成，第2个等式中可以写成，…，依此类推．形如“3，4，5”或“5，12，13”这样能够成为直角三角形三条边的三个正整数称为“勾股数”，请写出其中一个数为85的“勾股数”． ( 题型03 ) 勾股定理与网格问题 11．（23-24八年级下·福建·期末）如图，在4×4的正方形网格中，每一格长度为1，小正方形的顶点称为格点，A，B，C，D，E，F都在格点上，以AB，CD，EF为边能构成一个直角三角形，则点F的位置有（    ） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 12．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图，在正方形网格图中，每个网格小正方形的边长都为1，的三个顶点均在网格点上，则的周长等于 ． 13．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，正方形网格的每个小正方形的边长为1，的三个顶点均在格点上． (1)画出关于直线对称的； (2)求点到直线的距离． 14．（23-24八年级下·福建龙岩·期末）综合与实践：构图法求三角形的面积． 【问题提出】 中，、、三边的长分别为、、，求 的面积． 【素材1】某数学兴趣小组发现，若运用三角形面积公式 （为底边，为对应的高）求解，则高 的计算较为复杂． 进一步观察发现，， ，若把 放到图1的正方形网格中（每个小正方形的边长为1），且 的三个顶点恰好都在小正方形的顶点处，这样无需求三角形的高，直接借助网格就能计算出 的面积． 这种借助网格计算面积的方法称为“构图法”． 【素材2】某园艺公司对一块三角形花圃 进行改造，如图3所示，分别以原花圃的，为边向外扩建正方形花圃 ，正方形花圃 ，并增加三角形花圃 ，将原花圃改造为六边形 ． 【任务1】（1）请直接写出图1中 的面积________． 【任务2】（2）已知 三边、、的长分别为、、，请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为1）画出相应的 ，并求出它的面积． 【任务3】（3）若三角形花圃的边、、，求改造后的六边形花圃的面积． ( 题型0 4 )勾股定理与折叠问题 15．（23-24八年级下·福建·期末）如图，在中，，，，将它的锐角翻折，使得点落在边的中点处，折痕交边于点，交边于点，则的长为（    ） A．3 B．4 C． D． 16．（23-24八年级上·福建泉州·期末）在长方形中，，，点是边上的一个动点，把沿折叠，点落在处，当为直角三角形时，的长为（    ）    A．7 B． C．7或 D．以上答案均不对 17．（23-24八年级下·福建·期末）如图，有一块Rt△ABC的纸片，∠ABC=900,AB＝6，BC＝8，将△ABC沿AD折叠，使点B落在AC上的E处，则BD的长为(     ) A．3 B．4 C．5 D．6 18．（23-24八年级上·福建泉州·期末）在长方形中，，是对角线上不与点、重合的一点，过点作于，将沿翻折得到，点在射线上，连接. (1)如图，若点的对称点落在线段上，的延长线交于点. 求证：； 若，，求证：； (2)如图，当点的对称点落在的延长线上，此时. 当，时，试通过计算三角形的边长，判断与是否全等，并说明理由； 若将绕点逆时针旋转角度得，射线与相交于点，射线与直线相交于点，试直接写出线段、、、之间的数量关系. ( 题型0 5 )以弦图为背景的计算 19．（23-24八年级下·福建厦门·期末）如图是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形．三角形的两直角边长分别为，，斜边长为．若一个直角三角形面积为24，大正方形面积为100，则的值为 ． 20．（23-24八年级下·福建莆田·期末）汉代数学家赵爽为了证明勾股定理如图，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”，图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为、、，若，则正方形的边长为 ． 21．（23-24八年级下·福建福州·期末）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是，小正方形的面积是，设直角三角形中较长直角边为，较短直角边为，则的值是 ． 22．（23-24八年级上·福建泉州·期末）2002年国际数学家大会在北京召开，大会的会标是由我国古代数学家赵爽的“弦图”演变而来，体现了数学研究中的继承和发展．如图是用八个全等的直角三角形拼接而成的“弦图”．记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为、、．若正方形的边长为，则 ．    ( 题型0 6 )勾股定理与无理数 23．（23-24八年级下·福建厦门·期末）阅读下列材料： 如图1，在数轴上找出表示3的点A，则，过点A作直线l垂直，在l上取点B，使，以点O为圆心，以为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示的点． 如图2，在图1的基础上，重复上述步骤，在数轴上画出点E，若，，其中m，n都是有理数，且，写出一组符合题意的值： ， ． 24．（23-24八年级下·福建·期末）如图，数轴上点A表示的实数是 ． 25．（23-24八年级下·福建·期末）如图，在中，在数轴上，以点B为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数是（　　） A． B． C． D． 26．（23-24八年级下·福建·期末）如图，点是以为圆心，为半径的圆弧与数轴的交点，则数轴上点表示的实数是 ． 27．（23-24八年级下·福建·期末）如图，正方形的边落在数轴上，，以为圆心，长为半径作圆弧与数轴交于点，则点表示的数是（    ） A． B． C． D． ( 题型0 7 )勾股定理的应用 28．（23-24八年级下·福建厦门·期末）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题目：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”大意是：如图，木柱，绳索比木柱长3尺，长为8尺，求绳索长为多少？设绳索长为x尺，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 29．（23-24八年级下·福建·期末）如图，琪琪在离水面高度的岸边C处，用绳子拉停在B处的小船靠岸，开始时绳子的长为．    (1)开始时，小船距岸A的距离为_______； (2)若琪琪收绳后，船到达D处，求小船向岸A移动的距离的长． 30．（23-24八年级下·福建·期末）《九章算术》中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高九尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高9尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为3尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺，则 尺． 31．（23-24八年级下·福建·期末）如图，有一个水池，水面是一个边长为丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则水池里水的深度是 尺． 32．（23-24八年级下·福建南平·期末）如图，、是两条公路，，沿公路方向离点O为160米的点A处有一所学校，当重型运输卡车沿道路方向行驶时，在以重型运输卡车所在的点P为圆心，长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且点P与点A的距离越近噪声影响越大．假设重型运输卡车沿着道路方向行驶的速度为18千米/小时．    (1)求对学校的噪声影响最大时，卡车与学校之间的距离； (2)求卡车沿道路方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间． 33．（23-24八年级下·福建·期末）如图，圆柱形容器高为12cm，底面周长为10cm．在容器内壁距离容器底部3cm 的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，距离容器上沿3cm与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子需爬行的最短距离为 （不计壁厚）． ( 题型0 8 )勾股定理的逆定理 34．（23-24八年级下·福建厦门·期末）以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（    ） A．1，1，1 B．2，3，4 C．3，4，5 D．3，4，10 35．（23-24八年级下·福建福州·期末）以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（    ） A．2，4，6 B．4，6，8 C．6，8，10 D．3，4，6 36．（23-24八年级下·福建·期末）如图，边长为1的正方形组成的方格网中，A、B、C都在格点上，则的度数为 ． 37．（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长都为．已知的三个顶点均在格点上，且点，的位置如图所示．若，，请判断并说明的形状，再画出． 38．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，在中，，，，点在边上，将沿着折叠得，连接，． (1)用尺规作出（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，，连接，求的度数． 39．（23-24八年级下·福建·期末）如图，，，，，求的度数． 40．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，在四边形中，，求的度数． ( 题型0 9 )勾股定理的逆定理的应用 41．（24-25八年级上·福建福州·期末）“三农”问题是关系国计民生的根本问题，实施乡村振兴战略是建设美丽中国的关键举措．如图，某村有一块三角形空地，现计划将这块三角形空地进行新的规划，点是边上的一点，过点作垂直于的小路．经测量，米，米，米，米． (1)求的长； (2)求小路的长． 42．（23-24八年级上·福建泉州·期末）为进一步落实立德树人的根本任务，培养德智体美劳全面发展的社会主义接班人，某校开展劳动教育课程，并取得了丰硕成果.如图，这是该校开垦的一块作为学生劳动实践基地的四边形荒地.经测量，，，，且． (1)试说明：． (2)该校计划在此空地（阴影部分）上种植花卉，若每种植花卉需要花费100元，则此块空地全部种植花卉共需花费多少元？ 43．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图是某区域仓储配送中心的部分平面图，A区为商品入库区，B区，C区是配送中心区．已知B，C两个配送中心区相距250m，A，B区相距200m，A，C区相距150m，为了方便商品从库区分拣传送至配送中心，现有两种搭建传送带的方案． 甲方案：从A区直接搭建两条传送带分别到B区，C区； 乙方案：在B区，C区之间搭建一条传送带，再从A区搭建一条垂直于BC的传送带，两条传送带的连接处为中转站D区（接缝忽略不计）． (1)请判断此平面图形的形状（要求写出推理过程） (2)甲，乙两种方案中，哪一种方案所搭建的传送带较短？请通过计算说明． 44．（21-22八年级下·福建莆田·期末）如图，把一块直角三角形ABC（其中）土地划出一个三角形ADC后，测得米，米，米，米． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求图中阴影部分土地的面积． 45．（23-24八年级下·福建·期末）我市遗爱湖公园内有一块四边形空地，如图所示，景区管理人员想在这块空地上铺满观赏草坪，需要测量其面积.经技术人员测量，，米，米，米，米. （1）请你帮助管理人员计算出这个四边形对角线的长度； （2）请用你学过的知识帮助管理员计算出这块空地的面积. 一、单选题 1．（23-24八年级下·福建·期末）如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连接BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC′，DC'与AB交于点E，连接AC′，若AD＝AC′＝2，BD＝3，则点D到BC的距离为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，每个四边形都是正方形，字母所代表的正方形的边长为（   ）    A．4 B．8 C．16 D．64 3．（23-24八年级下·福建·期末）满足下列条件时，不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·福建·期末）的三边长分别为，下列条件：①；②；③；④，其中能判断是直角三角形的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 5．（24-25八年级上·福建三明·期末）我国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补证明了勾股定理，如图，设直角三角形的边长分别是，，斜边的长为，作三个边长分别为，，的正方形，把它们拼成如图所示形状，使，，三点在一条直线上．若，四边形与面积之和为37，则正方形的面积为 ． 6．（23-24八年级下·福建福州·期末）在平面直角坐标系中，点，则线段长的最小值为 ． 7．（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，以的三边向外作正方形，其面积依次为4，9，13，则这个三角形的面积 ． 8．（23-24八年级下·福建·期末）《九章算术》中的“引葭赴岸”问题：今有池方一丈，葭（一种芦苇类植物）生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐，水深几何？其大意是：有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在它的正中央，高出水面1尺．如果把该芦苇拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边，则水深 尺． 9．（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，连接交边于点；②以点为圆心，以的长为半径作弧交边于点.若，，则的长为 . 三、解答题 10．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，于点，，． (1)求的长； (2)若点是射线上的一个动点，过点作于点． ①当点在线段上时，若，求的长； ②设直线交射线于点，连接，若，求的长． 11．（23-24八年级下·福建·期末）如图，在四边形中，，，，．求的度数． 12．（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，从电线杆离地面5米的点处向地面拉一条7米长的钢缆，求地面钢缆固定点到电线杆底部的距离．（，结果精确到米） 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 勾股定理 题型概览 题型01用勾股定理解三角形 题型02勾股数问题 题型03勾股定理与网格问题 题型04勾股定理与折叠问题 题型05以弦图为背景的计算 题型06勾股定理与无理数 题型07勾股定理的应用 题型08勾股定理的逆定理 题型09勾股定理的逆定理的应用 ( 题型01 ) 用勾股定理解三角形 1．（24-25八年级上·福建三明·期末）若中一条直角边和斜边的长分别为6和10，则另一条直角边的长是（   ） A．4 B．6 C．8 D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理即可求解． 【详解】解：由题意得，另一条直角边的长是． 故选：C． 2．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，在中、的垂直平分线分别交于点E，F．若是等边三角形，．则 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等边三角形的性质，三角形外角的性质，含的直角三角形的性质，勾股定理．根据垂直平分线的性质得到，再利用等边三角形的性质得到，从而可得，从而可得答案． 【详解】解：∵垂直平分， ∴，， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图，中，，是的平分线，交于点，若，，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质和勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键； 过点作交于点，先证明，然后求出，接着设，在中利用勾股定理即可求解； 【详解】解：如图，过点作交于点， ，平分交于点，， ，， ，， ， 在中，， 在中，， 设，则， 解得： 即； 故选：A 4．（23-24八年级下·福建厦门·期末）在中，，，，点分别在上，则的最小值是（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题关键．作点关于的对称点，连接，，，由轴对称的性质，可得，，，易得，并证明为等边三角形，过点作，交于点， 此时取最小值，即取最小值，为的长度，然后计算的值，即可获得答案． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，，，如下图， 由轴对称的性质，可得，，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， 过点作，交于点，如下图， 此时取最小值，即取最小值，为的长度， ∵为等边三角形，， ∴， ∴， ∴的最小值是． 故选：B． 5．（23-24八年级下·福建南平·期末）如图，在正方形中， 点E 在边上（与C、D均不重合）． (1)尺规作图：过点C作的垂线，垂足为点H，交于点F（要求：保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）所作的图形中，已知， 求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查尺规作垂线，勾股定理： （1）根据尺规作垂线的方法，作图即可； （2）勾股定理求出的长，等积法求出的长度即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）由（1）得， ∵，     在中，由勾股定理得：   ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，中，，点在的边上，，以为直角边在同侧作等腰，使，过作于点，连接． (1)求证：； (2)当时，则为多少； (3)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)2 (3) 【分析】（1）首先证得，利用全等三角形的判定定理即可得解； （2）利用全等三角形的性质可得，可得，由勾股定理可得，进一步计算可得结果； （3）由（1）得，可得，利用勾股定理得到，可得，进一步计算可得结果； 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵是等腰直角三角形， ∴， 在和中， ∴； （2）解：由（1）得， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∵， ∴， 解得； （3）解：由（1）得，， ， 整理得，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ， ∴， ∴， ∴， ，解得， 即． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理和全等三角形的性质与判定，结合勾股定理计算是解题的关键． 7．（23-24八年级下·福建·期末）在四边形中，，，点E是边上一点，连接，将沿直线翻折得到，射线交边于点G． (1)如图1，求证：； (2)当时． （i）如图2，若四边形的面积为24，且当点G与D重合时，，求的长； （ⅱ）在边上取一点H，连接，使得，若的面积是的面积的2倍，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)（i）；（ⅱ） 或 【分析】（1）根据折叠得出，根据平行线的性质得出，证明，根据等腰三角形的判定得出； （2）（i）根据四边形的面积为24得出，求出，设，则，，根据勾股定理得出，即，求出即可得出答案． （ⅱ）证明，得出，根据的面积是的面积的2倍，，，得出，设，则，分两种情况：当点H在点E的左侧时，当点H在点E的右侧时，画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）证明：根据折叠可知，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：（i）∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 设，则， ∴， 根据折叠可知，，， ∴， 在中，根据勾股定理得： ， 即， 解得：， ∴． （ⅱ）根据题意得：，，， 由（1）得：， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵的面积是的面积的2倍，，， ∴， 设，则， 当点H在点E的左侧时，如图所示： ∴， ∴， 根据折叠可知，， ∴， ∵， ∴， 解得：，负值舍去， ∴； 当点H在点E的右侧时，如图所示： ∴， ∴， 根据折叠可知，， ∴， ∵， ∴， 解得：，负值舍去， ∴； 综上分析可知，当的面积是的面积的2倍时，或． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，平行线的性质，折叠的性质，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，注意分类讨论． ( 题型02 ) 勾股数问题 8．（23-24八年级下·福建福州·期末）下列各组数据为勾股数的是（   ） A．1，， B．2，3，4 C．，， D．3，4，5 【答案】D 【分析】本题考查勾股数．根据股勾股数的定义：可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，进行判断即可． 【详解】解：A、不是正整数，不是勾股数，故该选项不正确，不符合题意； B、不是勾股数，故该选项不正确，不符合题意； C、，，不是正整数，不是勾股数，故该选项不正确，不符合题意； D、，3，4，5是勾股数，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 9．（23-24八年级上·福建漳州·期末）在下列四组数中，属于勾股数的是（    ） A．1，2，3 B．1，， C．3，4，5 D．4，5，6 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股数的定义，理解定义：“能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数，称为勾股数．”是解题的关键． 【详解】解：A.，不是勾股数，不符合题意； B.，不是整数，不符合题意； C.，是勾股数，符合题意； D.，不是勾股数，不符合题意； 故选：C． 10．（23-24八年级下·福建厦门·期末）已知下列4个等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； (1)观察上述等式，请写出第5个等式； (2)写出第个等式，并证明； (3)我们还发现：第1个等式中可以写成，第2个等式中可以写成，…，依此类推．形如“3，4，5”或“5，12，13”这样能够成为直角三角形三条边的三个正整数称为“勾股数”，请写出其中一个数为85的“勾股数”． 【答案】(1) (2)；证明见解析 (3)，3612，3613或13，84，85 【分析】本题主要考查了规律型：数字的变化类，解题关键是根据所给已知条件，找出规律． （1）观察给出的等式得出规律，写出第5个等式即可； （2）根据已知等式得出规律，根据整式混合运算法则进行证明即可； （3）先根据题意找出规律，得出第n组：第一个数为：，第二个数为：，第三个数为；分三种情况：当时，当时，当时，分别求出结果即可． 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； （2）解：解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； …… 第n个等式：； 证明：左边， 右边； ∴左边右边． （3）解：∵第一组：，，， 第二组：，，， 第三组：，，， 第四组：，，， …… 则第n组：第一个数为：，第二个数为：，第三个数为； ∴当时，解得：， 此时第二个数为：， 第三个数为：； 当时，整理得：， 开平方得：， 解得：， ∵为整数， ∴此时不符合题意舍去； 当时，整理得：， 开平方得：， 解得：或（舍去）， 此时第一个数为，第二个数为，第三个数为； 综上分析可知，其中一个数为85的“勾股数”为：，3612，3613或13，84，85． ( 题型03 ) 勾股定理与网格问题 11．（23-24八年级下·福建·期末）如图，在4×4的正方形网格中，每一格长度为1，小正方形的顶点称为格点，A，B，C，D，E，F都在格点上，以AB，CD，EF为边能构成一个直角三角形，则点F的位置有（    ） A．1处 B．2处 C．3处 D．4处 【答案】D 【分析】根据题意分当AB，CD为直角边时以及当EF，CD为直角边时，并运用勾股定理进行分析讨论求解. 【详解】解：由题意可得, 当AB，CD为直角边时，有, , 此时F如图: 当EF，CD为直角边时，有, , 此时F如图: 所以综上点F的位置有4处. 故选：D. 【点睛】本题考查勾股定理的网格问题，熟练掌握勾股定理与分类讨论思想进行分析是解题的关键. 12．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图，在正方形网格图中，每个网格小正方形的边长都为1，的三个顶点均在网格点上，则的周长等于 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理在网格的运用，根据勾股定理求出、、的长，即可解题． 【详解】解：根据勾股定理可得，， ， ， 则的周长， 故答案为：． 13．（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，正方形网格的每个小正方形的边长为1，的三个顶点均在格点上． (1)画出关于直线对称的； (2)求点到直线的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了作轴对称图形，勾股定理，三角形面积的计算，解题的关键是作出对应点的位置． （1）先作出点A、B、C关于的对称点、、，然后顺次连接即可； （2）连接，过点C作于点D，求出，，在求出． 【详解】（1）解：如图，即为所求作的三角形． （2）解：连接，过点C作于点D，如图所示： ∵，， ∴， 即点到直线的距离为． 14．（23-24八年级下·福建龙岩·期末）综合与实践：构图法求三角形的面积． 【问题提出】 中，、、三边的长分别为、、，求 的面积． 【素材1】某数学兴趣小组发现，若运用三角形面积公式 （为底边，为对应的高）求解，则高 的计算较为复杂． 进一步观察发现，， ，若把 放到图1的正方形网格中（每个小正方形的边长为1），且 的三个顶点恰好都在小正方形的顶点处，这样无需求三角形的高，直接借助网格就能计算出 的面积． 这种借助网格计算面积的方法称为“构图法”． 【素材2】某园艺公司对一块三角形花圃 进行改造，如图3所示，分别以原花圃的，为边向外扩建正方形花圃 ，正方形花圃 ，并增加三角形花圃 ，将原花圃改造为六边形 ． 【任务1】（1）请直接写出图1中 的面积________． 【任务2】（2）已知 三边、、的长分别为、、，请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为1）画出相应的 ，并求出它的面积． 【任务3】（3）若三角形花圃的边、、，求改造后的六边形花圃的面积． 【答案】（1）；（2）5；（3）19 【分析】（1）利用割补法求的面积即可； （2）根据够勾股定理，利用构图法，将画在网格中，再用割补法求的面积即可； （3）根据够勾股定理，利用构图法，将画在网格中，再构造六边形，再用割补法求六边形的面积即可； 本题主要考查了在网格中利用勾股定理构造边长为无理数的三角形，并且用割补法求三角形及不规则多边形的面积．读懂题意，并构造出三角形是解题的关键． 【详解】（1）， 故答案为：． （2）观察发现，，，由此可在正方形网格中构造出如图所示的， 则． （3）观察发现，，由此可在正方形网格中构造出如图所示的六边形， 则． ( 题型0 4 )勾股定理与折叠问题 15．（23-24八年级下·福建·期末）如图，在中，，，，将它的锐角翻折，使得点落在边的中点处，折痕交边于点，交边于点，则的长为（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理，由题意得出，由折叠的性质可得，则，再勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：点为的中点， ， 由折叠的性质可得：， 设，则， 由勾股定理可得：， ， 解得：， ， 故选：D． 16．（23-24八年级上·福建泉州·期末）在长方形中，，，点是边上的一个动点，把沿折叠，点落在处，当为直角三角形时，的长为（    ）    A．7 B． C．7或 D．以上答案均不对 【答案】C 【分析】本题考查了翻折变换，勾股定理等知识．注意分类讨论．由勾股定理求得，当在上时，是直角三角形，设，由翻折的性质和勾股定理求得；当在上时，是直角三角形，此时四边形是正方形，易得． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ， ， 当在上时，是直角三角形，如图1所示：    设， 由翻折的性质得：， ， ， 在中， ， 解得：，即， ； 当在上时，是直角三角形，如图2所示： 则， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴．    综上，的长为或7． 故选：C． 17．（23-24八年级下·福建·期末）如图，有一块Rt△ABC的纸片，∠ABC=900,AB＝6，BC＝8，将△ABC沿AD折叠，使点B落在AC上的E处，则BD的长为(     ) A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】由题意可得∠AED=∠ABC =90°，AE=AB=3，由勾股定理即可求得AC的长，则可得EC的长，然后设BD=ED=x，则CD=BC−BD=4−x，由勾股定理CD =EC+ED，即可得方程，解方程即可求得答案． 【详解】∵点E是沿AD折叠，点B的对应点，连接ED， ∴∠AED=∠ABC=90°，AE=AB=6， ∵在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8， ∴AC= =10， ∴EC=AC−AE=10−6=4， 设BD=ED=x，则CD=BC−BD=8−x， 在Rt△CDE中，CD=EC+ED， 即：(8−x) =x+16， 解得：x=3， ∴BD=3． 故选A． 【点睛】此题考查勾股定理，折叠的性质,解题关键在于求得AC的长. 18．（23-24八年级上·福建泉州·期末）在长方形中，，是对角线上不与点、重合的一点，过点作于，将沿翻折得到，点在射线上，连接. (1)如图，若点的对称点落在线段上，的延长线交于点. 求证：； 若，，求证：； (2)如图，当点的对称点落在的延长线上，此时. 当，时，试通过计算三角形的边长，判断与是否全等，并说明理由； 若将绕点逆时针旋转角度得，射线与相交于点，射线与直线相交于点，试直接写出线段、、、之间的数量关系. 【答案】(1)证明见解析；证明见解析； (2)不全等，理由见解析；，理由见解析． 【分析】（）根据长方形的性质和等角的余角相等，在根据等角对等边即可求证；利用等角的余角相等得出，由折叠性质可知，然后证明全等即可； （）由折叠性质可知：，，由勾股定理求出三边即可；连接，过作于点，过作于点，由勾股定理即可求解； 此题考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理得应用，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）∵四边形是长方形， ∴，即， ∴， 由折叠性质可知：， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， 由折叠性质可知：， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）与不全等，理由： 由折叠性质可知：，， ∵， ∴在中，由勾股定理得：， 设，则， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：， ∴， ∵， ∴， 三边为：，，， 三边为：，，， 显然与不全等， ，理由： 如图，连接，过作于点，过作于点， ∴，， 又∵， ∴由勾股定理得：， ，，，， ∴． ( 题型0 5 )以弦图为背景的计算 19．（23-24八年级下·福建厦门·期末）如图是我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形．三角形的两直角边长分别为，，斜边长为．若一个直角三角形面积为24，大正方形面积为100，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明、正方形面积的计算、三角形面积的计算等知识，熟练掌握正方形面积和三角形面积的计算公式是解题的关键．由完全平方公式变形求值，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ， ， 故答案为：2． 20．（23-24八年级下·福建莆田·期末）汉代数学家赵爽为了证明勾股定理如图，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”，图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为、、，若，则正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的证明，设出八个全等的直角三角形的两直角边长是解题的关键． 设八个全等的直角三角形的两直角边长分别为a，b，由图形可得出，，再由即可得出结果． 【详解】解：设八个全等的直角三角形的两直角边长分别为a，b，则 ，，， ， ， ， ， 即正方形的面积为12， 正方形的边长为， 故答案为：． 21．（23-24八年级下·福建福州·期末）我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是，小正方形的面积是，设直角三角形中较长直角边为，较短直角边为，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了以弦图为背景的计算题，根据图形分析可得小正方形的边长为两条直角边长的差，根据题意得出，进而根据完全平方公式变形即可求解． 【详解】解：依题意， ∵ ∴ ∴， 故答案为：． 22．（23-24八年级上·福建泉州·期末）2002年国际数学家大会在北京召开，大会的会标是由我国古代数学家赵爽的“弦图”演变而来，体现了数学研究中的继承和发展．如图是用八个全等的直角三角形拼接而成的“弦图”．记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为、、．若正方形的边长为，则 ．    【答案】30 【分析】本题考查了正方形面积的求解，解题的关键是对三角形的面积设而不求，借用三角形的面积寻找三个正方形面积的关系． 【详解】解：设八个全等的直角三角形每个面积为S， 由图形可得知，，， ， ∵正方形的边长为， ∴ ∴． 故答案为：30． ( 题型0 6 )勾股定理与无理数 23．（23-24八年级下·福建厦门·期末）阅读下列材料： 如图1，在数轴上找出表示3的点A，则，过点A作直线l垂直，在l上取点B，使，以点O为圆心，以为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示的点． 如图2，在图1的基础上，重复上述步骤，在数轴上画出点E，若，，其中m，n都是有理数，且，写出一组符合题意的值： ， ． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理得，从而可得，即，再根据m，n都是有理数，且，即可求解． 【详解】解：在中，由勾股定理，得 ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵m，n都是有理数，且， ∴，． 故答案为：；（答案不唯一）． 24．（23-24八年级下·福建·期末）如图，数轴上点A表示的实数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理与无理数；理解任意实数都可以用数轴上的点表示；由图知直角三角形的斜边长为，则点A表示的数可确定． 【详解】解：由勾股定理得直角三角形的斜边长为， 所以点A表示的数为； 故答案为：． 25．（23-24八年级下·福建·期末）如图，在中，在数轴上，以点B为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点D，则点D表示的数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理、数轴．根据勾股定理求出，进而求出，根据数轴解答即可． 【详解】解：在中，， ∴， 由题意得， ∴， ∵点C表示的数是0， ∴点D表示的数是， 故选：A． 26．（23-24八年级下·福建·期末）如图，点是以为圆心，为半径的圆弧与数轴的交点，则数轴上点表示的实数是 ． 【答案】 【分析】在AOB中，利用勾股定理求出AB的长，即可确定出AP的长，得到P表示的实数． 【详解】 解：如图，在Rt△AOB中，OA=1，OB=3， 根据勾股定理得：AB==， ∴AP=AB=， ∴OP=AP-OA=-1， 则P表示的实数为1-． 故答案为：1-． 【点睛】此题考查了勾股定理，以及实数与数轴，解题的关键是熟练掌握勾股定理． 27．（23-24八年级下·福建·期末）如图，正方形的边落在数轴上，，以为圆心，长为半径作圆弧与数轴交于点，则点表示的数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据勾股定理求出的长，即的长，由此即可求出点对应的数． 【详解】解：根据题意可得：，， ∴， ， 又∵点D在原点O的左侧， 点表示的数为， 故选：． 【点睛】此题考查了勾股定理的应用以及实数与数轴的关系，得出的长是解题的关键． ( 题型0 7 )勾股定理的应用 28．（23-24八年级下·福建厦门·期末）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题目：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽．问索长几何？”大意是：如图，木柱，绳索比木柱长3尺，长为8尺，求绳索长为多少？设绳索长为x尺，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用．设绳索长为尺，根据勾股定理列出方程解答即可． 【详解】解：设绳索长为尺，则， 根据题意得：， 故选：D． 29．（23-24八年级下·福建·期末）如图，琪琪在离水面高度的岸边C处，用绳子拉停在B处的小船靠岸，开始时绳子的长为．    (1)开始时，小船距岸A的距离为_______； (2)若琪琪收绳后，船到达D处，求小船向岸A移动的距离的长． 【答案】(1)12 (2) 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是学握从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． （1）在中，利用勾股定理计算出长； （2）根据题意可得长，然后再次利用勾股定理计算出长，再利用可得长． 【详解】（1）解：在中，， ， 故答案为：12； （2）∵琪琪收绳后，船到达处， ， ， ． 30．（23-24八年级下·福建·期末）《九章算术》中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高九尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高9尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为3尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺，则 尺． 【答案】4 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是掌握直角三角形两直角边平方和等于斜边平方．设尺，则尺，根据勾股定理可得：，列出方程求解即可． 【详解】解：设尺，则尺， 根据勾股定理可得：， 即， 解得：， ∴尺， 故答案为：4． 31．（23-24八年级下·福建·期末）如图，有一个水池，水面是一个边长为丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则水池里水的深度是 尺． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设水池里水的深度为尺，根据题意，可得方程，解方程即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：设水池里水的深度为尺，则芦苇的长度为尺， 由题意可得，， 解得， ∴水池里水的深度为尺， 故答案为：． 32．（23-24八年级下·福建南平·期末）如图，、是两条公路，，沿公路方向离点O为160米的点A处有一所学校，当重型运输卡车沿道路方向行驶时，在以重型运输卡车所在的点P为圆心，长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且点P与点A的距离越近噪声影响越大．假设重型运输卡车沿着道路方向行驶的速度为18千米/小时．    (1)求对学校的噪声影响最大时，卡车与学校之间的距离； (2)求卡车沿道路方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间． 【答案】(1)卡车P对学校A的噪声影响最大时，卡车P与学校A的距离为． (2)卡车沿道路方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间为． 【分析】本题主要考查了勾股定理得实际应用，三线合一定理，含30度角的直角三角形的性质： （1）过点作于，可知点到射线的最短距离为线段的长度；的长度为对学校的噪声影响最大时，卡车与学校之间的距离； （2）如详解图形所示，当时，则卡车在段对学校有影响，根据勾股定理可求得的长度． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于，可知点到射线的最短距离为线段的长度． ∴的长度为对学校的噪声影响最大时，卡车与学校之间的距离．    ∵，， ∴． 答：卡车对学校的噪声影响最大时，卡车与学校的距离为． （2）解：如图所示，在上取两点C、D，连接，当时，则卡车在段对学校有影响． ∵，， ∴． 由（1）知， ∴． ∴． ∴影响时间为：． 答：卡车沿道路方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间为．    33．（23-24八年级下·福建·期末）如图，圆柱形容器高为12cm，底面周长为10cm．在容器内壁距离容器底部3cm 的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，距离容器上沿3cm与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子需爬行的最短距离为 （不计壁厚）． 【答案】13 【分析】将容器侧面展开，建立A关于EF的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求． 【详解】解：如图，将容器侧面展开，作A关于EF的对称点， 连接，则即为最短距离， ∴=5cm，=3cm， ∴BD=12cm， =13（cm）． 故壁虎捕捉蚊子的最短距离为13cm． 故答案为：13． 【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． ( 题型0 8 )勾股定理的逆定理 34．（23-24八年级下·福建厦门·期末）以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（    ） A．1，1，1 B．2，3，4 C．3，4，5 D．3，4，10 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理逆定理；根据勾股定理的逆定理逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. 1，1，1； ∵，， ∴，不能组成直角三角形；本选项不合题意； B. 2，3，4； ∵，， ∴，不能组成直角三角形；本选项不合题意； C. 3，4，5； ∵，， ∴，能组成直角三角形；本选项符合题意； D.3，4，10； ∵，即此时不能构成三角形， ∴也不能组成直角三角形；本选项不合题意； 故选：C． 35．（23-24八年级下·福建福州·期末）以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是（    ） A．2，4，6 B．4，6，8 C．6，8，10 D．3，4，6 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，判断两短边的平方和是否等于最长边的平方即可． 【详解】解：A．，因此长度为2，4，6的三条线段为边不能组成直角三角形，不合题意； B．，因此长度为4，6，8的三条线段为边不能组成直角三角形，不合题意； C．，因此长度为6，8，10的三条线段为边能组成直角三角形，符合题意； D．，因此长度为3，4，6的三条线段为边不能组成直角三角形，不合题意； 故选C． 36．（23-24八年级下·福建·期末）如图，边长为1的正方形组成的方格网中，A、B、C都在格点上，则的度数为 ． 【答案】/45度 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，解题的关键是掌握勾股定理和勾股定理的逆定理的运用．根据勾股定理，求出，，，再根据勾股定理的逆定理，即可求出是等腰直角三角形，从而可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵在边长为的小正方形组成的网格中， ∴，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴，． 故答案为： 37．（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长都为．已知的三个顶点均在格点上，且点，的位置如图所示．若，，请判断并说明的形状，再画出． 【答案】是直角三角形，见解析 【分析】本题考查了勾股定理以及逆定理等知识，根据勾股定理求得，进而根据勾股定理的逆定理证明，是直角三角形，其中，根据网格画出即可求解． 【详解】解：是直角三角形．   理由如下：在网格中，根据勾股定理得 ．     ，， ，．    ， 即，     根据勾股定理的逆定理得是直角三角形，其中． ∴是满足题意的三角形． 38．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，在中，，，，点在边上，将沿着折叠得，连接，． (1)用尺规作出（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，，连接，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据折叠的对称性，即可作折叠后的； （2）根据折叠的性质，求证是等边三角形，由勾股定理逆定理得是直角三角形，得到即可求； 【详解】（1）解：以点D为圆心，分别以为半径，画弧，二弧交于点E， 连接， 则即为所求． （2）解：根据折叠的性质，得， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，，且， ∴是直角三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查轴对称的基本作图，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理，掌握折叠的尺规作图实质，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理的应用是解题关键． 39．（23-24八年级下·福建·期末）如图，，，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理，连接，先根据勾股定理求出的值，再由勾股定理的逆定理判断出的形状即可． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴． 40．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，在四边形中，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理、勾股定理逆定理等知识点，灵活运用勾股定理相关知识成为解题的关键． 先根据等腰三角形的性质及已知条件可得，再根据勾股定理可得，然后根据勾股定理逆定理可知，最后根据角的和差即可解答． 【详解】解：∵， ∴,， ∵， ∴， ∴，即， ∴． ( 题型0 9 )勾股定理的逆定理的应用 41．（24-25八年级上·福建福州·期末）“三农”问题是关系国计民生的根本问题，实施乡村振兴战略是建设美丽中国的关键举措．如图，某村有一块三角形空地，现计划将这块三角形空地进行新的规划，点是边上的一点，过点作垂直于的小路．经测量，米，米，米，米． (1)求的长； (2)求小路的长． 【答案】(1)9米 (2)米． 【分析】本题考查了勾股定理与逆定理，解题的关键是∶ （1）利用勾股定理的逆定理判定，然后在中，利用勾股定理求解即可； （2）利用等面积法求解即可． 【详解】（1）解：∵米，米，米， ∴， ∴， ∴， ∵米， ∴， 故的长9米； （2）解：∵， ∴， ∴（米）， 故小路的长为米． 42．（23-24八年级上·福建泉州·期末）为进一步落实立德树人的根本任务，培养德智体美劳全面发展的社会主义接班人，某校开展劳动教育课程，并取得了丰硕成果.如图，这是该校开垦的一块作为学生劳动实践基地的四边形荒地.经测量，，，，且． (1)试说明：． (2)该校计划在此空地（阴影部分）上种植花卉，若每种植花卉需要花费100元，则此块空地全部种植花卉共需花费多少元？ 【答案】(1)见解析 (2)3600 【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）由勾股定理可证是直角三角形，且即可； （2）过A作于点E，由等腰三角形的性质得，再由勾股定理得，然后求出阴影部分的面积，即可解决问题． 【详解】（1）证明：在中，，，， ，， ， 是直角三角形， ； （2）解：如图，过点作于点， ， ， ， 在中，，， ， . ， ， 共需花费（元）． 43．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图是某区域仓储配送中心的部分平面图，A区为商品入库区，B区，C区是配送中心区．已知B，C两个配送中心区相距250m，A，B区相距200m，A，C区相距150m，为了方便商品从库区分拣传送至配送中心，现有两种搭建传送带的方案． 甲方案：从A区直接搭建两条传送带分别到B区，C区； 乙方案：在B区，C区之间搭建一条传送带，再从A区搭建一条垂直于BC的传送带，两条传送带的连接处为中转站D区（接缝忽略不计）． (1)请判断此平面图形的形状（要求写出推理过程） (2)甲，乙两种方案中，哪一种方案所搭建的传送带较短？请通过计算说明． 【答案】(1)是直角三角形； (2)甲方案所搭建的传送带较短． 【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、三角形面积的计算；熟练掌握勾股定理，由勾股定理的逆定理证出是直角三角形是解决问题的关键． （1）由勾股定理的逆定理即可得出是直角三角形； （2）由的面积求出，得出，即可得出结果． 【详解】（1）解：是直角三角形； 理由如下： ∴，， ∴， ∴是直角三角形，； （2）解：甲方案所搭建的传送带较短； 理由如下： ∵是直角三角形， ∴的面积， ∴（m）， ∵，， ∴， ∴甲方案所搭建的传送带较短． 44．（21-22八年级下·福建莆田·期末）如图，把一块直角三角形ABC（其中）土地划出一个三角形ADC后，测得米，米，米，米． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求图中阴影部分土地的面积． 【答案】(1)见解析 (2)24平方米 【分析】（1）直角三角形ABC中，利用勾股定理解出AC=5，再利用勾股定理的逆定理判断是直角三角形； （2）由，结合三角形面积公式解答． 【详解】（1）解：直角三角形ABC中， ，， ， ， ， ， 是直角三角形； （2） （平方米）． 【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理的实际应用，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 45．（23-24八年级下·福建·期末）我市遗爱湖公园内有一块四边形空地，如图所示，景区管理人员想在这块空地上铺满观赏草坪，需要测量其面积.经技术人员测量，，米，米，米，米. （1）请你帮助管理人员计算出这个四边形对角线的长度； （2）请用你学过的知识帮助管理员计算出这块空地的面积. 【答案】（1）25米；（2）234米2 【分析】（1）连接，利用勾股定理求出AC即可； （2）利用勾股定理的逆定理证明∠ADC＝90°，计算两个直角三角形面积即可解决问题 【详解】（1）连接．在中，由勾股定理得： （米）.　　 （2）在中，∵， ∴.   ∴  （米2）． 【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理的应用，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 一、单选题 1．（23-24八年级下·福建·期末）如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连接BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC′，DC'与AB交于点E，连接AC′，若AD＝AC′＝2，BD＝3，则点D到BC的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接CC'，交BD于点M，过点D作DH⊥BC'于点H，由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'，证△ADC'为等边三角形，利用解直角三角形求出DM＝1，C'M＝DM＝，BM＝2，在Rt△BMC'中，利用勾股定理求出BC'的长，在△BDC'中利用面积法求出DH的长，则可得出答案． 【详解】解：如图，连接CC'，交BD于点M，过点D作DH⊥BC'于点H， ∵AD＝AC′＝2，D是AC边上的中点， ∴DC＝AD＝2， 由翻折知，△BDC≌△BDC'，BD垂直平分CC'， ∴DC＝DC'＝2，BC＝BC'，CM＝C'M， ∴AD＝AC′＝DC'＝2， ∴△ADC'为等边三角形， ∴∠ADC'＝∠AC'D＝∠C'AC＝60°， ∵DC＝DC'， ∴∠DCC'＝∠DC'C＝×60°＝30°， 在Rt△C'DM中， ∠DC'C＝30°，DC'＝2， ∴DM＝1，C'M＝DM＝， ∴BM＝BD−DM＝3−1＝2， 在Rt△BMC'中， BC'＝， ∵S△BDC'＝BC'•DH＝BD•CM， ∴DH＝3×， ∴DH＝， ∵∠DCB＝∠DBC'， ∴点D到BC的距离为． 故答案为：C． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，解直角三角形，勾股定理等，解题关键是会通过面积法求线段的长度． 2．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，每个四边形都是正方形，字母所代表的正方形的边长为（   ）    A．4 B．8 C．16 D．64 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．根据勾股定理，先得出字母A所代表的正方形的面积，再求出其边长即可． 【详解】解：由图可知，以长直角边为边长的正方形面积为225，则边长为15， 以斜边为边长的正方形面积为289，则斜边长为17， ∴字母A所代表的正方形的边长， 故选：B． 3．（23-24八年级下·福建·期末）满足下列条件时，不是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键．根据勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理依次判断即可． 【详解】解：，，故是直角三角形，故选项A不符合题意； 设， ，故是直角三角形，故选项B不符合题意； ， ，故是直角三角形，故选项C不符合题意； ，故不是直角三角形，故选项D符合题意； 故选D． 4．（23-24八年级下·福建·期末）的三边长分别为，下列条件：①；②；③；④，其中能判断是直角三角形的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理逆定理、三角形内角和定理，根据勾股定理逆定理即可判断③④；根据三角形内角和定理即可判断①②，从而得出答案． 【详解】解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，故①符合题意； ②∵， ∴， ∴不是直角三角形，故②不符合题意； ③∵， ∴， ∴是直角三角形，故③符合题意； ④∵， ∴设，，， ∴， ∴∴是直角三角形，故④符合题意； 综上所述，其中能判断是直角三角形的个数有个， 故选：C． 二、填空题 5．（24-25八年级上·福建三明·期末）我国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补证明了勾股定理，如图，设直角三角形的边长分别是，，斜边的长为，作三个边长分别为，，的正方形，把它们拼成如图所示形状，使，，三点在一条直线上．若，四边形与面积之和为37，则正方形的面积为 ． 【答案】58 【分析】作于点，根据四边形、四边形、四边形都是正方形，得，，，证明，由题意得，，证明，再证明，得出，根据，，通过计算可得，． 【详解】解：如图，作于点，则， 四边形、四边形、四边形都是正方形， ，，， ， ， ，， ，，， ， ，， ，     ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ①， ， ②， 由①②得， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查勾股定理的证明、全等三角形的判定与性质、等角的余角相等、乘法公式等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 6．（23-24八年级下·福建福州·期末）在平面直角坐标系中，点，则线段长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点到原点的距离，根据勾股定理即可得出线段长，在由完全平方公式求出最小值即可． 【详解】解：∵点， ∴， ∴ ∵， ∴， 即线段长的最小值为． 故答案为． 7．（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，以的三边向外作正方形，其面积依次为4，9，13，则这个三角形的面积 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理．根据正方形面积为4，9，13，可得这个三角形边长之间的关系，依据勾股定理的逆定理可得这个三角形形状，进而得出其面积． 【详解】解：由题可得，， ， 是直角三角形，且， 又，， 的面积． 故答案为：3． 8．（23-24八年级下·福建·期末）《九章算术》中的“引葭赴岸”问题：今有池方一丈，葭（一种芦苇类植物）生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐，水深几何？其大意是：有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在它的正中央，高出水面1尺．如果把该芦苇拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边，则水深 尺． 【答案】12 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，可以将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知的长为10尺，则尺，设尺，表示出水深，根据勾股定理建立方程，求出方程的解即可得到水深． 【详解】依题意画出图形，设芦苇长尺，则水深尺， ∵尺，芦苇生长在它的正中央， ∴尺， 在中，， 解得：， 即水深12尺， 故答案为：12． 9．（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点和为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，连接交边于点；②以点为圆心，以的长为半径作弧交边于点.若，，则的长为 . 【答案】 【分析】本题考查作图基本作图，线段的垂直平分线，三角形的面积等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．利用勾股定理求出，再利用面积法求出，再利用勾股定理求出，最后求出即可． 【详解】解：如图，分别连接， 由作图可知垂直平分线段， ，， ， 由作图可知， ， ， ． ． 故答案为：． 三、解答题 10．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，于点，，． (1)求的长； (2)若点是射线上的一个动点，过点作于点． ①当点在线段上时，若，求的长； ②设直线交射线于点，连接，若，求的长． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的性质和平行线的性质，解题的关键是分类讨论和熟练全等三角形的相关知识． （1）结合已知条件，利用勾股定理即可求得； （2）①由勾股定理得，并利用证得，有，即可求得； ②分两种情况：当点在线段上时，由面积比得，求得，并得到和，可得，利用等角对等边即可求得；当在线段的延长线上时．由面积比得，可求得，同理，即可求得． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：； （2）解：①在中，由勾股定理得：． ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； ②分两种情况： 如图，当点在线段上时． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当在线段的延长线上时． ∵， ∴， ∵， ∴， 同理可得： ∴， ∴， 综上所述，的长为或． 11．（23-24八年级下·福建·期末）如图，在四边形中，，，，．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查的是等边三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理的应用，连接，根据等边三角形的性质求出，根据勾股定理的逆定理判断，计算即可 【详解】解：如图，连接． ∵，， ∴是等边三角形，    ∴，，   在中，，， ∴． ∴是直角三角形，且， ∴． ∴的度数为． 12．（23-24八年级下·福建福州·期末）如图，从电线杆离地面5米的点处向地面拉一条7米长的钢缆，求地面钢缆固定点到电线杆底部的距离．（，结果精确到米） 【答案】地面钢缆固定点到电线杆底部的距离约为米 【分析】本题考查勾股定理的应用，关键是找到钢缆，电杆和线段AB构成的直角三角形，根据勾股定理可求出解． 根据电线杆与地面垂直得，由题意得米、米，利用勾股定理求得的长即可． 【详解】解：， ， 在中，由勾股定理得：， （米）． 答：地面钢缆固定点到电线杆底部的距离约为米． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$