专题01 相交线与平行线（6大考点经典基础练+优选提升练）（福建专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学下学期期末真题分类汇编

专题01 相交线与平行线 题型概览 题型01两条直线垂直 题型02“三线八角” 题型03平行线的判定 题型04利用平行线的性质和判定求角度 题型05根据平行线的性质探究角的关系 题型06平移 ( 题型01 ) 两条直线垂直 1．（23-24七年级下·福建厦门翔安区·期末）如图，直线BC，DE相交于点O，AO⊥BC，OM平分∠BOD，如果∠AOE＝50°，那么∠BOM的度数是 ． 2．（23-24七年级下·福建·期末）如图，在四边形中，，，连接，，．若P是边上一动点，则长的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（23-24七年级下·福建厦门·期末）如图，点A，E在直线上，点B，C，D在直线上，于点B，于点A，于点E，下列线段的长度是点A到直线的距离的是（  ） A． B． C． D． ( 题型02 ) “三线八角” 4．（23-24七年级下·福建南平·期末）如图，直线a，b被直线c所截，下列判断错误的是（   ） A． B． C． D．与是内错角 5．（23-24七年级下·福建·期末）如图，的同位角是（   ） A． B． C． D． 6．（22-23七年级下·福建厦门·期末）如图，下列推理中正确的是（    ） A．∵，∴ B．∵，∴ C．∵，∴ D．∵，∴ 7．（23-24七年级下·福建·期末）如图，直线a，b被直线c所截，与是（　　）    A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．对顶角 ( 题型03 ) 平行线的判定 8．（23-24七年级下·福建厦门·期末）如图，点在线段的延长线上，点在线段的延长线上，下列证明的推理中正确应用了“同位角相等，两直线平行”这一原理的是（   ）．    A．， B．， C．， D．， 9．（23-24七年级下·福建·期末）如图，点在的延长线上，下列条件能判断的是（   ） A． B． C． D． 10．（23-24七年级下·福建福州·期末）如图，由下列条件不能判定的是（    ）． A． B． C． D． 11．（23-24七年级下·福建·期末）已知：如图，，相交于点O，．求证：． 12．（23-24七年级下·福建福州·期末）如图，，，若，求证：． 13．（23-24七年级下·福建南平·期末）如图1，在数学活动课上，同学们探究过直线外一点P画的方法，其中王玲是通过折纸的方式完成： 第一步：如图2，过点P进行第一次折叠，使点B的对称点B´落在上，折痕与相交于点Q，打开纸张铺平； 第二步：如图3，过点P进行第二次折叠，使折痕，打开纸张铺平（如图4）； 王玲就说，你能用几何推理说说其中的道理吗？ （请完成下面的证明，并填上对应的推理根据） 证明：∵ ∴∠ ．理由是：（角平分线的定义）． ∵， ∴∠ ．理由是：（　 　 ）． ∴ ， ∴．理由是：（　 　 ）． ( 题型0 4 )利用平行线的性质和判定求角度 14．（24-25七年级上·福建泉州·期末）如图，在四边形中，是延长线的一点，连接交于点，若． (1)求证：； (2)若，求的度数． 15．（23-24七年级下·福建·期末）如图，已知，射线交于点，交于点，从点引一条射线，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 16．（24-25七年级上·福建泉州·期末）玩转三角板．在一副三角板与中，，．将这副三角板按图1的方式放置在两条平行线之间（点落在直线上，边与直线重合，点在同一条直线上，固定三角板）． (1)如图1，的度数为___________； (2)如图2，将三角板绕点逆时针方向旋转，边与三角板的边相交于点，试问：的值是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由； (3)在图1的基础上，将三角板绕点逆时针方向旋转，至边与直线首次重合时停止运动．设的度数为，试探究：在旋转的过程中，当为何值时，三角板的边与三角板的一条边平行？求出符合条件的的值． ( 题型0 5 )根据平行线的性质探究角的关系 17．（24-25七年级上·福建漳州·期末）如图，，平分交于点E，于点E，．下列结论：①；②与互余；③；④平分．其中结论正确的是（   ） A．①③ B．②④ C．①②④ D．①②③④ 18．（23-24七年级下·福建厦门·期末）如图，已知，点B在上，点C在上，点A在上方，，点E在的反向延长线上，且，设，则为度数用含的式子一定可以表示为（    ） A． B． C． D． 19．（23-24七年级上·福建泉州·期末）已知直线，点是直线上的一个动点（不与点重合），平分，交直线于点． (1)如图1，当点在点左侧时，若，求的度数； (2)若，平分，交直线于点． ①如图2，若点在点左侧运动时，的度数是否会发生变化？若不变，求出该度数；若变化，请说明理由； ②与之间存在怎样的数量关系？请直接写出结论，不必说明理由． 20．（23-24七年级下·福建福州·期末）已知，点分别是直线上的两点，点在之间，连接．    (1)如图（），若，，求证：； (2)若点是下方一点，平分，平分．请在图（）中补全图形，并探究，与之间的数量关系． ( 题型0 6 )平移 21．（23-24七年级下·福建·期末）甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（   ） A．比 B．立 C．秝 D．鼎 22．（23-24七年级下·福建福州·期末）如图，将线段平移得到线段，点在延长线上，点在射线上，、的角平分线所在直线相交于点，若，，则 ．（用，表示） 一、单选题 1．（24-25七年级上·福建厦门·期末）如图是一个可折叠衣架，是地平线，当，时，就可以确定点在同一直线上，这样判定的依据是（   ）    A．两点确定一条直线 B．同角的补角相等 C．平行于同一直线的两直线平行 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 2．（24-25七年级上·福建泉州·期末）泉州某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”（如图）可抽象为如图所示模型．已知垂直于水平地面．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的段将绕点B缓慢向上抬高，段则一直保持水平状态上升（即与始终平行），在该运动过程中的度数始终等于（  ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·福建福州·期末）如图，中，，，的平分线交于点，平分．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（    ） A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①② 二、填空题 4．（24-25七年级上·福建泉州·期末）如图，，E，F分别为直线上两点，且，射线绕点E以/秒的速度顺时针旋转至停止，射线绕点F以/秒的速度逆时针旋转至射线后立即返回，当与重合时，两条射线都停止运动．若射线先转动秒，射线才开始转动，在旋转过程中，当射线转动 秒时，． 三、解答题 5．（24-25七年级上·福建泉州·期末）如图，如果，，那么与平行吗？阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 解：∵（已知） （平角的定义） ∴①________（同角的补角相等） ∴②________（同位角相等，两直线平行） ∴（③________） ∵（已知） ∴（等量代换） ∴（④________） 6．（24-25七年级上·福建泉州·期末）已知直线，E为平面内一点，点P，Q分别在直线，上，连接，． (1)如图1，若点E在直线，之间，试探究之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，若点E在直线，之间，平分，平分，当时，求的度数． (3)如图3，若点E在直线的上方，平分，平分，的反向延长线交于点F，当时，求的度数． 7．（24-25七年级上·福建泉州·期末）小学阶段通过剪拼得到“三角形的内角和等于”，学了“平行线”后，小安用说理的方式说明该结论正确． 证明过程如下： 如图1：延长到点D，过点C作， 图1 ∵， ∴_______，_______， ∵③_______， ∴． (1)补全小安证明过程中①②③所缺的内容； (2)如图2，直线，点A，B分别在，上，C是上点A右侧的动点，点G在射线上，连接，平分，平分，交的延长线于E． ①若，求的度数； ②如图3，平分交于点M，且．在点C运动过程中，是否为定值？若是定值，求出定值；若不是定值，请说明理由． 8．（23-24七年级上·福建福州·期末）如图，点O在直线上，平分，平分，F是上一点，连结． (1)求证：； (2)若与互余，求证：． 9．（24-25七年级上·福建漳州·期末）在学习完《相交线和平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，蔡老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动：探究平行线的“等角转化”功能． (1)问题情景：如图1，已知． ①问题初探：求证：； ②拓展探究：试问与之间满足怎样的数量关系？并说明理由． (2)迁移应用：如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，求的度数．（直接写出答案） 10．（24-25七年级上·福建漳州·期末）如图，直线，相交于点O，于点O，，求的度数．阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 解：（已知）， （   ）（垂直的定义）． （已知）， （   ）（   ）． ∵直线，相交于点O（已知）， （   ）． （等量代换）． 11．（23-24七年级下·福建·期末）如图，直线与相交于点O，平分．    (1)当时，求的度数； (2)若，，求的度数． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 相交线与平行线 题型概览 题型01两条直线垂直 题型02“三线八角” 题型03平行线的判定 题型04利用平行线的性质和判定求角度 题型05根据平行线的性质探究角的关系 题型06平移 ( 题型01 ) 两条直线垂直 1．（23-24七年级下·福建厦门翔安区·期末）如图，直线BC，DE相交于点O，AO⊥BC，OM平分∠BOD，如果∠AOE＝50°，那么∠BOM的度数是 ． 【答案】20°/20度 【分析】由余角的定义求得∠EOC＝40°，然后结合对顶角相等和角平分线的性质得到∠BOM的度数． 【详解】解：如图， ∵AO⊥BC于点O ∴∠AOC＝90° ∵∠AOE＝50° ∴∠EOC＝90°－∠AOE＝ 90°－50°＝40° 又∵∠BOD＝∠EOC＝40°，OM平分∠BOD ∴∠BOM＝∠BOD＝20° 故答案为：20°． 【点睛】本题考查了利用角的平分线进行有关角的计算的问题，熟练掌握并灵活运用角平分线的定义及对顶角的性质是解题的关键． 2．（23-24七年级下·福建·期末）如图，在四边形中，，，连接，，．若P是边上一动点，则长的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】当时，最短，通过等角的余角相等，得出，即可得出平分，再根据角平分线的性质即可进行解答． 【详解】解：过点D作于点P，此时最短． ∵，， ∴， ∵， ∴，即平分， ∵，，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，解题的关键是熟练掌握“垂线段最短”，“等角的余角相等”，“角平分线上的点到两边距离相等”． 3．（23-24七年级下·福建厦门·期末）如图，点A，E在直线上，点B，C，D在直线上，于点B，于点A，于点E，下列线段的长度是点A到直线的距离的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据点到直线的距离的定义即可得出，本题主要考查点到直线的距离的定义． 【详解】根据点到直线的距离的定义得： 线段的长度是点A到直线的距离， 故选：B． ( 题型02 ) “三线八角” 4．（23-24七年级下·福建南平·期末）如图，直线a，b被直线c所截，下列判断错误的是（   ） A． B． C． D．与是内错角 【答案】C 【分析】本题主要考查了对顶角、邻补角、内错角，根据对顶角、邻补角、内错角的概念对选项进行判断． 【详解】解：A．与是对顶角，∴，故此选项不符合题意； B．与是邻补角，∴，故此选项不符合题意； C．∵直线a，b不一定平行，∴，故此选项符合题意； D．∵直线a，b被直线c所截，∴与是内错角，，故此选项不符合题意； 故选：C． 5．（23-24七年级下·福建·期末）如图，的同位角是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同位角，根据同位角的定义“两条直线被第三条所截，在截线的同旁，在被截线的同一方，我们把这种位置关系的角称为同位角”选择的同位角即可，熟练掌握同位角的定义判断是解题的关键． 【详解】解：根据同位角的定义可得的同位角是， 故选：C． 6．（22-23七年级下·福建厦门·期末）如图，下列推理中正确的是（    ） A．∵，∴ B．∵，∴ C．∵，∴ D．∵，∴ 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．结合图形分析相等或互补的两角之间的关系，根据平行线的判定方法判断． 【详解】解：A、∵， ∴，故选项错误，不符合题意； B、∵， ∴，故选项正确，符合题意； D、∵， ∴，故选项错误，不符合题意； C、∵， ∴，故选项错误，不符合题意． 故选：B． 7．（23-24七年级下·福建·期末）如图，直线a，b被直线c所截，与是（　　）    A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．对顶角 【答案】C 【分析】根据图中和的位置进行判断即可； 【详解】和位于直线a，b的内侧，且在直线c的同一侧，所以是同旁内角． 故选：C． 【点睛】本题主要考查相交线及所成角，掌握同旁内角角的位置是解题的关键． ( 题型03 ) 平行线的判定 8．（23-24七年级下·福建厦门·期末）如图，点在线段的延长线上，点在线段的延长线上，下列证明的推理中正确应用了“同位角相等，两直线平行”这一原理的是（   ）．    A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的判定，灵活运用平行线的判定定理成为解题的关键． 根据平行线的判定定理逐项判断即可解答． 【详解】解：A. 是对角，不能判定，不符合题意； B. ，的依据是“同位角相等，两直线平行”，符合题意； C. ，的依据是“内错角相等，两直线平行”，不符合题意； D. ，的依据是“同旁内角互补，两直线平行”，不符合题意． 故选B． 9．（23-24七年级下·福建·期末）如图，点在的延长线上，下列条件能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定．解题的关键在于对知识的熟练掌握．根据平行线的判定对各选项进行判断即可． 【详解】解：A中可判定，故此选项符合题意； B中可判定，不能判定，故此选项不符合题意； C中可判定，不能判定，故此选项不符合题意； D中可判定，不能判定，故此选项不符合题意； 故选：A． 10．（23-24七年级下·福建福州·期末）如图，由下列条件不能判定的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理判断求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故A不符合题意； ∵， ∴， 故B不符合题意； ∵， ∴， 故C不符合题意； ∵， ∴， 故D符合题意； 故选：D． 11．（23-24七年级下·福建·期末）已知：如图，，相交于点O，．求证：． 【答案】详见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定，根据对对顶角相等可得出，结合已知条件等量代换可得出，进而可得出． 【详解】证明（对顶角相等），（已知）， （等量代换）． （内错角相等，两直线平行） 12．（23-24七年级下·福建福州·期末）如图，，，若，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定，解题的关键是掌握同位角相等，两直线平行，内错角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行． 根据垂直的定义，得出，进而得出，即可求证． 【详解】证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 13．（23-24七年级下·福建南平·期末）如图1，在数学活动课上，同学们探究过直线外一点P画的方法，其中王玲是通过折纸的方式完成： 第一步：如图2，过点P进行第一次折叠，使点B的对称点B´落在上，折痕与相交于点Q，打开纸张铺平； 第二步：如图3，过点P进行第二次折叠，使折痕，打开纸张铺平（如图4）； 王玲就说，你能用几何推理说说其中的道理吗？ （请完成下面的证明，并填上对应的推理根据） 证明：∵ ∴∠ ．理由是：（角平分线的定义）． ∵， ∴∠ ．理由是：（　 　 ）． ∴ ， ∴．理由是：（　 　 ）． 【答案】；90；；垂直定义；；同旁内角互补，两直线平行 【分析】本题考查的是平行线的判定，角平分线的有关计算，根据题意利用平行线的判定等相关知识完成解答即可． 【详解】证明：∵ ∴．理由是：（角平分线的定义）． ∵， ∴．理由是：（垂直定义）． ∴， ∴．理由是：（同旁内角互补，两直线平行）． 故答案为：；90；；垂直定义；；同旁内角互补，两直线平行． ( 题型0 4 )利用平行线的性质和判定求角度 14．（24-25七年级上·福建泉州·期末）如图，在四边形中，是延长线的一点，连接交于点，若． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，补角的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据，，得出，再根据平行线的判定方法进行求解即可； （2）由平行线的性质可得，根据，得出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质求出结果即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 15．（23-24七年级下·福建·期末）如图，已知，射线交于点，交于点，从点引一条射线，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了平行线的性质和判定，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和判定及其应用． （1）根据补角的性质得出，根据平行线的判定即可得出结论； （2）根据平行线的性质得出，得出，根据，得出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 16．（24-25七年级上·福建泉州·期末）玩转三角板．在一副三角板与中，，．将这副三角板按图1的方式放置在两条平行线之间（点落在直线上，边与直线重合，点在同一条直线上，固定三角板）． (1)如图1，的度数为___________； (2)如图2，将三角板绕点逆时针方向旋转，边与三角板的边相交于点，试问：的值是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由； (3)在图1的基础上，将三角板绕点逆时针方向旋转，至边与直线首次重合时停止运动．设的度数为，试探究：在旋转的过程中，当为何值时，三角板的边与三角板的一条边平行？求出符合条件的的值． 【答案】(1) (2)为定值，这个定值为 (3)30或或 【分析】本题考查了平行线的性质、平行公理推论等知识，熟练掌握平行线的性质，并正确分情况讨论是解题关键． （1）先根据平行线的性质可得，再根据角的和差求解即可得； （2）过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质可得，最后根据即可得； （3）分三种情况：①，②和③，利用平行线的性质求解即可得． 【详解】（1）解：∵，，点在同一条直线上， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （2）解：为定值，求解如下： 如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：①如图，当时， ∴， ∵， ∴， ∴点在同一条直线上， ∴， 即此时； ②如图，当时， ∵，即， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 即此时； ③如图，当时， ∴， 即此时； 综上，在旋转的过程中，当或或时，三角板的边与三角板的一条边平行． ( 题型0 5 )根据平行线的性质探究角的关系 17．（24-25七年级上·福建漳州·期末）如图，，平分交于点E，于点E，．下列结论：①；②与互余；③；④平分．其中结论正确的是（   ） A．①③ B．②④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，垂直的定义，由平行得到，再根据余角的性质逐个判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即与互余， 故②正确； ∵， ∴， ∵平分交于点E， ∴，， ∵， ∴与不一定相等，即不一定成立， 故③错误； ∵，，， ∴，即平分， 故④正确， 综上所述，正确的有①②④， 故选：C． 18．（23-24七年级下·福建厦门·期末）如图，已知，点B在上，点C在上，点A在上方，，点E在的反向延长线上，且，设，则为度数用含的式子一定可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，正确添加辅助线是解决本题的关键．过点A作，过点E作，则，由题意可设，，则，，，，因此，，，则． 【详解】解：过点A作，过点E作， ∵， ∴， ∵， ∴设，， ∵， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴. 故选：B． 19．（23-24七年级上·福建泉州·期末）已知直线，点是直线上的一个动点（不与点重合），平分，交直线于点． (1)如图1，当点在点左侧时，若，求的度数； (2)若，平分，交直线于点． ①如图2，若点在点左侧运动时，的度数是否会发生变化？若不变，求出该度数；若变化，请说明理由； ②与之间存在怎样的数量关系？请直接写出结论，不必说明理由． 【答案】(1) (2)①点在点左侧运动时，的度数不会发生变化，，理由见解析；②与之间的关系为或 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）延长到，由平行线的性质可得，求出，由角平分线的定义得出，最后再由平行线的性质可得答案； （2）①延长到，设，由角平分线的定义得出，，由平行线的性质得出，从而得出，求出，由角平分线的定义得出，再由计算即可得出答案；②分两种情况：当点在点的左侧时，延长至；当点在点的右侧时，延长至，分别利用平行线的性质并结合角平分线的定义计算即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，延长到， ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：①点在点左侧运动时，的度数不会发生变化，，理由如下： 如图，延长到， 设， ∵平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ②与之间的关系为或， 当点在点的左侧时，延长至，如图， 设， ∵平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； 当点在点的右侧时，延长至，如图， 设， ∵平分， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； 综上所述，与之间的关系为或． 20．（23-24七年级下·福建福州·期末）已知，点分别是直线上的两点，点在之间，连接．    (1)如图（），若，，求证：； (2)若点是下方一点，平分，平分．请在图（）中补全图形，并探究，与之间的数量关系． 【答案】(1)证明见解析； (2)补全图形见解析，． 【分析】（）过作，可得，即得，，进而得，即可求证； （）过作，过作，可得，设，，则，即得，，由角平分线可得，，进而得，，得到，即可得，即可求证； 本题考查了平行线的性质，平行公理的推论，角平分线的定义，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：过作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即；    （2））如图，补图如下：    过作，过作， ∵， ∴， 设，，则， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴． ( 题型0 6 )平移 21．（23-24七年级下·福建·期末）甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（   ） A．比 B．立 C．秝 D．鼎 【答案】A 【分析】本题考查了平移的性质，平移，是指在同一平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，根据四个选项的甲骨文，比字的甲骨文是能用其中一部分平移得到的，即可作答． 【详解】解：结合平移的性质，观察四个选项， 唯有是能用其中一部分平移得到的， 故选：A． 22．（23-24七年级下·福建福州·期末）如图，将线段平移得到线段，点在延长线上，点在射线上，、的角平分线所在直线相交于点，若，，则 ．（用，表示） 【答案】或 【分析】本题主要考查了平移的性质，平行线的性质和对顶角的性质，三角形外角的性质；对点在点的左侧和右侧进行分类，再画出相应的示意图，结合所画图形即可解决问题，能根据题意画出示意图及熟知图形平移的性质是解题的关键． 【详解】解：当点在点的左侧时，如图所示， 由平移可知，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ∵平分， ∴， ∴， ∴， 当点在点的右侧时，如图所示， 同理可得，，， 由平移可知，， ∴， ∴， 综上所述，的度数为：或， 故答案为：或 ． 一、单选题 1．（24-25七年级上·福建厦门·期末）如图是一个可折叠衣架，是地平线，当，时，就可以确定点在同一直线上，这样判定的依据是（   ）    A．两点确定一条直线 B．同角的补角相等 C．平行于同一直线的两直线平行 D．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】D 【分析】本题考查了平行公理，根据平行公理即可求解，理解并熟记平行公理是解题的关键． 【详解】解：这样判定的依据是过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行， 故选：． 2．（24-25七年级上·福建泉州·期末）泉州某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”（如图）可抽象为如图所示模型．已知垂直于水平地面．当车牌被自动识别后，曲臂直杆道闸的段将绕点B缓慢向上抬高，段则一直保持水平状态上升（即与始终平行），在该运动过程中的度数始终等于（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，过点B作，则，由两直线平行，同旁内角互补推出，即，再由垂直的定义得到，则． 【详解】解：如图，过点B作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 故选：A． 3．（23-24七年级下·福建福州·期末）如图，中，，，的平分线交于点，平分．下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（    ） A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．①② 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、平行线的判定、线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题关键．根据直角三角形的性质可得，，再根据角平分线的定义可得，由此即可判断①正确；假设成立，可求出，根据已知条件即可判断②错误；先证出，是等腰三角形，再根据等腰三角形的三线合一即可判断③正确；先根据等腰三角形的性质可得，从而可得，再根据平行线的判定即可判断④正确． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 又∵， ∴，结论①正确； 假设成立， ∵，， ∴，但已知条件不能得出这个结论，则假设不成立，结论②错误； ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴，是等腰三角形， ∴，垂直平分（等腰三角形的三线合一），结论③正确； ∴， ∴， ∴， ∴，结论④正确； 综上，正确的结论是①③④， 故选：C． 二、填空题 4．（24-25七年级上·福建泉州·期末）如图，，E，F分别为直线上两点，且，射线绕点E以/秒的速度顺时针旋转至停止，射线绕点F以/秒的速度逆时针旋转至射线后立即返回，当与重合时，两条射线都停止运动．若射线先转动秒，射线才开始转动，在旋转过程中，当射线转动 秒时，． 【答案】或20 【分析】本题考查平行线的性质，分未到达和从返回两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 设当射线转动时，，则： ①当未到达时，，， ∴，解得：； ②当从返回时，则：，， ∴， 解得：； 故答案为：或20． 三、解答题 5．（24-25七年级上·福建泉州·期末）如图，如果，，那么与平行吗？阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 解：∵（已知） （平角的定义） ∴①________（同角的补角相等） ∴②________（同位角相等，两直线平行） ∴（③________） ∵（已知） ∴（等量代换） ∴（④________） 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线的判定和性质，根据同角的补角相等，平行线的判定方法和性质，进行作答即可． 【详解】解：∵（已知） （平角的定义） ∴（同角的补角相等） ∴（同位角相等，两直线平行） ∴（两直线平行，同位角相等） ∵（已知） ∴（等量代换） ∴（内错角相等，两直线平行）． 6．（24-25七年级上·福建泉州·期末）已知直线，E为平面内一点，点P，Q分别在直线，上，连接，． (1)如图1，若点E在直线，之间，试探究之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，若点E在直线，之间，平分，平分，当时，求的度数． (3)如图3，若点E在直线的上方，平分，平分，的反向延长线交于点F，当时，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了平行线的性质、平行公理推论、对顶角相等、角平分线等知识，熟练掌握平行线的性质是解题关键． （1）过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，根据平行线的性质可得，然后根据角的和差、等量代换即可得； （2）过点作，先根据（1）的结论可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据平行线的性质、平行公理推论可得，由此即可得； （3）过点作，先参考（1）的方法可得，再根据角平分线的定义可得，，从而可得，，然后根据代入计算即可得． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图1，过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：如图2，过点作， 由（1）可知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图3，过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ， ∴， 由对顶角相等得：， 由（2）可知， ， 所以的度数为． 7．（24-25七年级上·福建泉州·期末）小学阶段通过剪拼得到“三角形的内角和等于”，学了“平行线”后，小安用说理的方式说明该结论正确． 证明过程如下： 如图1：延长到点D，过点C作， 图1 ∵， ∴_______，_______， ∵③_______， ∴． (1)补全小安证明过程中①②③所缺的内容； (2)如图2，直线，点A，B分别在，上，C是上点A右侧的动点，点G在射线上，连接，平分，平分，交的延长线于E． ①若，求的度数； ②如图3，平分交于点M，且．在点C运动过程中，是否为定值？若是定值，求出定值；若不是定值，请说明理由． 【答案】(1)①A；②B；③180 (2)①；②是定值， 【分析】本题考查平行线的判定和性质，与角平分线有关的计算： （1）根据平行线的性质，平角的定义，进行作答即可； （2）①过点E作，进而得到，根据平行线的性质，结合角平分线的定义，推出，根据三角形的内角和定理求出的度数，即可得出结果； ②由①可知：，根据角平分线的定义，三角形的内角和求出，进行计算即可． 【详解】（1）如图：延长BC到点D，过点C作， ∵， ∴，， ∵， ∴． （2）①过点E作， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． ②为定值，理由如下： 由①可得， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； 即为定值． 8．（23-24七年级上·福建福州·期末）如图，点O在直线上，平分，平分，F是上一点，连结． (1)求证：； (2)若与互余，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，互余，平行线的判定： （1）根据角平分线的定义和平角的定义，即可得证； （2）根据同角的余角相等，得到，即可得证． 【详解】（1）证明：∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， 即：， ∴； （2）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 9．（24-25七年级上·福建漳州·期末）在学习完《相交线和平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，蔡老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动：探究平行线的“等角转化”功能． (1)问题情景：如图1，已知． ①问题初探：求证：； ②拓展探究：试问与之间满足怎样的数量关系？并说明理由． (2)迁移应用：如图2是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，求的度数．（直接写出答案） 【答案】(1)①见解析；② (2) 【分析】本题考查了平行线的性质与判定； （1）①根据同旁内角互补两直线平行，即可得，根据平行线的性质可得，结合已知条件得出，根据内错角相等两直线平行，即可得证； ②过点作，根据两直线平行内错角相等得出，，进而即可求解； （2）根据题意以及平行线的性质得出，，即可求解． 【详解】（1）①证明：∵， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴； ②，理由如下， 如图所示，过点作 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）解：如图所示，的顶点分别为， 依题意，，作， ∴ ∴， ∴． 10．（24-25七年级上·福建漳州·期末）如图，直线，相交于点O，于点O，，求的度数．阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）． 解：（已知）， （   ）（垂直的定义）． （已知）， （   ）（   ）． ∵直线，相交于点O（已知）， （   ）． （等量代换）． 【答案】，，等量代换，对顶角相等 【分析】本题主要考查垂线的定义、角平分线的定义、对顶角的性质、邻补角的性质．根据垂直的定义可得，根据角的和差关系可得，再根据对顶角的性质解答即可． 【详解】解：∵于点O（已知）， ∴（垂直的定义）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∵直线，相交于点O（已知）， ∴（对顶角相等）， （等量代换）． 11．（23-24七年级下·福建·期末）如图，直线与相交于点O，平分．    (1)当时，求的度数； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角的和差计算，对顶角，平角，补角，角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据角平分线定义以及对顶角即可求解； （2）由垂线得到，结合角平分线得到，则，化简得，由，得到方程，继而可求解． 【详解】（1）解：∵直线与相交于点O， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵若， ∴ ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴， ∵， ∴， 解得. ∴． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$