专题02 平行线的判定与性质专题训练-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学下册同步学与练（人教版2024）

专题2 平行线的判定与性质专题训练 1．完成下面推理过程．如图：已知∠1＝∠2，∠A＝∠D，求证：∠B＝∠C． 证明：∵∠1＝∠2（已知） ∵∠1＝∠3（ 　对顶角相等　） ∴∠2＝∠（ 　3　）（等量代换） ∴AE∥FD（同位角相等，两直线平行） ∴∠A＝∠（ 　BFD　）（ 　两直线平行，同位角相等　） ∴∠A＝∠D（已知） ∴∠D＝∠BFD（等量代换） ∴（ 　AB　）∥CD（ 　内错角相等，两直线平行　） ∴∠B＝∠C（两直线平行，内错角相等） 【分析】先根据已知条件，判定AE∥FD，进而得出∠D＝∠BFD，再判定AB∥CD，最后根据平行线的性质，即可得出∠B＝∠C． 【解答】证明：∵∠1＝∠2（已知），∠1＝∠3（对顶角相等）， ∴∠2＝∠3（等量代换）， ∴AE∥FD（同位角相等，两直线平行）， ∴∠A＝∠BFD（两直线平行，同位角相等）， ∵∠A＝∠D（已知）， ∴∠D＝∠BFD（等量代换）， ∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）， ∴∠B＝∠C（两直线平行，内错角相等）． 故答案为：对顶角相等；3；BFD；两直线平行，同位角相等；AB；内错角相等，两直线平行． 2．如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分别为D、F，∠2+∠3＝180°，试说明：∠GDC＝∠B．请补充说明过程，并在括号内填上相应的理由． 解：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知） ∴∠ADB＝∠EFB＝90° （　垂直的定义　）， ∴EF∥AD（　同位角相等两直线平行　）， ∴　∠1　+∠2＝180°（　两直线平行同旁内角互补　）． 又∵∠2+∠3＝180°（已知）， ∴∠1＝∠3（　同角的补角相等　）， ∴AB∥　DG　（　内错角相等两直线平行　）， ∴∠GDC＝∠B（　两直线平行同位角相等　）． 【分析】根据平行线的判定和性质，垂直的定义，同角的补角相等知识一一判断即可． 【解答】解：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知） ∴∠ADB＝∠EFB＝90°（垂直的定义）， ∴EF∥AD （同位角相等两直线平行）， ∴∠1+∠2＝180°（两直线平行同旁内角互补）， 又∵∠2+∠3＝180°（已知）， ∴∠1＝∠3 （同角的补角相等）， ∴AB∥DG（内错角相等两直线平行）， ∴∠GDC＝∠B （两直线平行同位角相等）． 故答案为：垂直的定义，同位角相等两直线平行，∠1，两直线平行同旁内角互补，同角的补角相等，DG，内错角相等两直线平行，两直线平行同位角相等． 3．完成下面的推理填空： 已知：如图，E、F分别在AB和CD上，∠1＝∠D，∠2与∠C互余，AF⊥CE于G． 求证：AB∥CD． 证明：∵AF⊥CE，（已知） ∴∠CGF＝90°．（垂直的定义） ∵∠1＝∠D，（已知） ∴　AF　∥　DE　．（ 　同位角相等，两直线平行　） ∴∠4＝∠CGF＝90°．（ 　两直线平行，同位角相等　） 又∵∠2+∠3+∠4＝180°， ∴∠2+∠3＝　90　°． 又∵∠2与∠C互余，（已知） ∴∠C＝　∠3　．（ 　同角的余角相等　） ∴AB∥CD．（ 　内错角相等，两直线平行　） 【分析】根据平行线的性质与判定即可完成填空． 【解答】证明：∵AF⊥CE， ∴∠CGF＝90°（垂直的定义）， ∵∠1＝∠D， ∴AF∥DE（同位角相等，两直线平行）， ∴∠4＝∠CGF＝90°（两直线平行，同位角相等）， ∴∠2+∠3+∠4＝180°（平角的定义）， ∴∠2+∠3＝90°， ∵∠2与∠C互余（已知）， ∴∠2+∠C＝90°， ∴∠C＝∠3（同角的余角相等）， ∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：AF；DE；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；90；∠3；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行． 4．在下列解答中，填空（理由或数学式）． 如图，已知直线b∥c，∠1＝116°，∠3＝∠4． （1）求∠AOB的度数． （2）求证：直线a∥c． 解：（1）∵∠1＝116° （已知），且∠1＝∠2 （ 　对顶角相等　）， ∴∠2＝116° （ 　等量代换　）． ∵b∥c（已知）， ∴∠AOB＝∠2 （ 　两直线平行，同位角相等　）． ∴∠AOB＝　116°　（等量代换）． 证明：（2）∵∠3＝∠4 （ 　已知　）， ∴a∥b （ 　内错角相等，两直线平行　）． 又∵b∥c（已知）， ∴a∥c （ 　如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行　）． 【分析】（1）根据对顶角相等求出∠2＝116°，再根据“两直线平行，同位角相等”求解即可； （2）根据“内错角相等，两直线平行”推出a∥b，再根据“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”即可得解． 【解答】（1）解：∵∠1＝116° （已知），且∠1＝∠2（对顶角相等）， ∴∠2＝116° （等量代换）， ∵b∥c（已知）， ∴∠AOB＝∠2（两直线平行，同位角相等）， ∴∠AOB＝116°（等量代换）． 故答案为：对顶角相等；等量代换；两直线平行，同位角相等；116°； （2）证明：∵∠3＝∠4（已知）， ∴a∥b（内错角相等，两直线平行）． 又∵b∥c（已知）， ∴a∥c（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． 故答案为：已知；内错角相等，两直线平行；如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 5．【问题】如图，AB∥CD，点P在直线CD的下方，试说明∠BPD＝∠B﹣∠D． 【解决】请帮助榕榕完善下面的解题过程，在括号内填上相应的理由或数学式． 如图，作PE∥AB， 则∠BPE＝∠B．（ 　两直线平行，内错角相等　） ∵PE∥AB，AB∥CD， ∴PE∥CD．（ 　平行于同一直线的两直线平行　） ∴∠DPE＝∠D．（ 　两直线平行，内错角相等　） ∵∠BPD＝ 　∠BPE　﹣∠DPE， ∴∠BPD＝∠B﹣∠D．（等量代换） 【分析】根据平行线的判定与性质求解即可． 【解答】解：作PE∥AB， 则∠BPE＝∠B．（两直线平行，内错角相等） ∵PE∥AB，AB∥CD， ∴PE∥CD．（平行于同一直线的两直线平行） ∴∠DPE＝∠D．（两直线平行，内错角相等） ∵∠BPD＝∠BPE﹣∠DPE， ∴∠BPD＝∠B﹣∠D．（等量代换） 故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一直线的两直线平行；∠BPE． 6．如图，在△ABC中，点D、E在边AB上，点F、G分别在边BC、AC上，∠ACB＝∠BEC＝∠BDF＝90°，∠GEC+∠CFD＝180°，试说明EG⊥AC．请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论依据． 解：∠BEC＝∠BDF＝90°，（已知） ∴CE∥　FD　，（ 　同位角相等，两直线平行　） ∴∠ECB+∠CFD＝180°．（ 　两直线平行，同旁内角互补　） ∵∠GEC+∠CFD＝180°，（已知） ∴∠GEC＝∠ECB．（ 　同角的补角相等　） ∴GE∥BC．（ 　内错角相等，两直线平行　） ∴∠AGE＝∠ACB＝90°．（ 　两直线平行，同位角相等　） ∴EG⊥AC．（ 　垂直的定义　） 【分析】先证明CE∥FD，则∠ECB+∠CFD＝180°，再证明∠GEC＝∠ECB，则GE∥BC，然后证明∠AGE＝∠ACB＝90°，即可得出结论． 【解答】解：∠BEC＝∠BDF＝90°（已知）， ∴CE∥FD（同位角相等，两直线平行 ）， ∴∠ECB+∠CFD＝180°（两直线平行，同旁内角互补 ）． ∵∠GEC+∠CFD＝180°（已知）， ∴∠GEC＝∠ECB（同角的补角相等）， ∴GE∥BC（内错角相等，两直线平行）， ∴∠AGE＝∠ACB＝90°（两直线平行，同位角相等）， ∴EG⊥AC（垂直的定义）． 故答案为：FD，同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；垂直的定义． 7．补全推理过程： 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E在AB上，EF⊥BC于点F，过点D作直线DG交AC于点G，交EF的延长线于点H，∠B＝50°，∠1+∠2＝180°．求∠H的度数． 解：∵AD⊥BC，EF⊥BC，（已知） ∴AD∥EF．（ 　在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行　） ∴∠2+∠EAD＝180°．（ 　两直线平行，同旁内角互补　） ∵∠1+∠2＝180°，（已知） ∴∠1＝∠　EAD　．（同角的补角相等） ∴AE∥HG．（ 　内错角相等，两直线平行　） ∴∠B＝∠BDH．（ 　两直线平行，内错角相等　） ∵∠B＝50°，（已知） ∴∠BDH＝50°．（等量代换） ∵AD⊥BC，（已知） ∴∠ADB＝90°．（ 　垂直的定义　） ∵∠1+∠BDH+∠ADB＝180°，（平角定义） ∴∠1＝180°﹣∠BDH﹣∠ADB＝40°．（等式性质） ∵AD∥EF，（已证） ∴∠H＝∠1＝ 　40　°．（ 　两直线平行，同位角相等　） 【分析】先证明AD∥EF，得∠2+∠EAD＝180°，进而证明∠1＝∠EAD，得AE∥HG，则∠B＝∠BDH，再求出∠1＝40°，然后由平行线的性质即可得出结论． 【解答】解：∵AD⊥BC，EF⊥BC，（已知） ∴AD∥EF．（在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行） ∴∠2+∠EAD＝180°．（两直线平行，同旁内角互补） ∵∠1+∠2＝180°，（已知） ∴∠1＝∠EAD．（同角的补角相等） ∴AE∥HG．（内错角相等，两直线平行） ∴∠B＝∠BDH．（两直线平行，内错角相等） ∵∠B＝50°，（已知） ∴∠BDH＝50°．（等量代换） ∵AD⊥BC，（已知） ∴∠ADB＝90°．（垂直的定义） ∵∠1+∠BDH+∠ADB＝180°，（平角定义） ∴∠1＝180°﹣∠BDH﹣∠ADB＝40°．（等式性质） ∵AD∥EF，（已证） ∴∠H＝∠1＝40°．（两直线平行，同位角相等） 故答案为：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行；两直线平行，同旁内角互补；EAD；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；垂直的定义；40，两直线平行，同位角相等． 8．如图，在△ABC中，BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分别为D，F，DM∥BC，∠1＝∠2．试说明：DM∥FG．请将说明过程补充完整，并在括号内填写说理的依据． 理由如下：因为BD⊥AC（已知）， 所以∠BDC＝90°（ 　垂直定义　）． 同理，得∠EFC＝90°， 所以∠BDC＝∠EFC（等量代换）． 所以BD∥EF（同位角相等，两直线平行）． 所以 　∠1＝∠GFE　（ 　两直线平行，同位角相等　）． 又∠1＝∠2（已知）． 所以 　∠2＝∠GFE　（等量代换）． 所以BC∥FG （ 　内错角相等，两直线平行　）． 所以∠ABC＝∠AGF（两直线平行，同位角相等）． 又 　DM∥BC　（已知）， 所以∠AMD＝∠ABC（两直线平行，同位角相等）． 即∠AMD＝∠AGF（等量代质）． 所以DM∥FG（ 　同位角相等，两直线平行　）． 【分析】根据垂直定义可得∠BDC＝∠EFC＝90°，从而可得BD∥EF，再利用平行线的性质可得∠1＝∠GFE，从而可得∠2＝∠GFE，然后利用内错角相等，两直线平行可得BC∥FG，再利用平行线的性质可得∠ABC＝∠AGF，∠AMD＝∠ABC，从而可得∠AMD＝∠AGF，最后利用同位角相等，两直线平行可得DM∥FG，即可解答． 【解答】解：因为BD⊥AC（已知）， 所以∠BDC＝90°（垂直定义）． 同理，得∠EFC＝90°， 所以∠BDC＝∠EFC（等量代换）． 所以BD∥EF（同位角相等，两直线平行）． 所以∠1＝∠GFE（两直线平行，同位角相等）． 又∠1＝∠2（已知）． 所以∠2＝∠GFE（等量代换）． 所以BC∥FG （内错角相等，两直线平行）． 所以∠ABC＝∠AGF（两直线平行，同位角相等）． 又DM∥BC（已知）， 所以∠AMD＝∠ABC（两直线平行，同位角相等）． 即∠AMD＝∠AGF（等量代质）． 所以DM∥FG（同位角相等，两直线平行）， 故答案为：垂直定义；∠1＝∠GFE；两直线平行，同位角相等；∠2＝∠GFE；内错角相等，两直线平行；DM∥BC；同位角相等，两直线平行． 9．如图，DG⊥BC，AC⊥BC，EF⊥AB，∠AFE＝∠CDG，求证：CD⊥AB． 根据下面的证明过程在括号内写出理由或数学式． 证明：∵DG⊥BC，AC⊥BC， ∴∠DGB＝∠ACB＝90°（ 　垂直的定义　）． ∴DG∥AC（ 　同位角相等，两直线平行　）． ∴∠CDG＝∠ACD （ 　两直线平行，内错角相等　）． ∵∠AFE＝∠CDG， ∴∠AFE＝ 　∠ACD　（ 　等量代换　）． ∴EF∥CD（ 　同位角相等，两直线平行　）． ∴∠AEF＝ 　∠ADC　（ 　两直线平行，同位角相等　）． ∵EF⊥AB， ∴∠AEF＝90°． ∴∠ADC＝∠AEF＝90°（ 　等量代换　）． ∴CD⊥AB． 【分析】根据平行线的判定与性质求解即可． 【解答】证明：∵DG⊥BC，AC⊥BC， ∴∠DGB＝∠ACB＝90°（垂直的定义）． ∴DG∥AC（同位角相等，两直线平行）， ∴∠CDG＝∠ACD （两直线平行，内错角相等）． ∵∠AFE＝∠CDG， ∴∠AFE＝∠ACD（等量代换）． ∴EF∥CD（同位角相等，两直线平行）． ∴∠AEF＝∠ADC（两直线平行，同位角相等）． ∵EF⊥AB， ∴∠AEF＝90°． ∴∠ADC＝∠AEF＝90°（等量代换）． ∴CD⊥AB． 故答案为：垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；∠ACD；等量代换；同位角相等，两直线平行；∠ADC；两直线平行，同位角相等；等量代换． 10．如图，已知∠1＝∠2，∠4＝∠B，∠ADF＝90°，求证：GF⊥BC． 阅读下面的解答过程，填空并填写理由． 证明：∵∠4＝∠B（已知）， ∴AB∥　DE　（ 　同位角相等，两直线平行　）． ∴∠2＝∠3（ 　两直线平行，内错角相等　）． ∵∠1＝∠2（已知）， ∴∠1＝∠3（等量代换）． ∴AD∥　GF　（ 　同位角相等，两直线平行　）． ∴∠ADF+∠GFD＝　180°　（ 　两直线平行，同旁内角互补　）． 又∵∠ADF＝90°（已知）， ∴∠GFD＝90°． ∴GF⊥BC． 【分析】根据平行线的判定与性质求解即可． 【解答】证明：∵∠4＝∠B（已知）， ∴AB∥DE（同位角相等，两直线平行）． ∴∠2＝∠3（两直线平行，内错角相等）． ∵∠1＝∠2（已知）， ∴∠1＝∠3（等量代换）． ∴AD∥GF（同位角相等，两直线平行）． ∴∠ADF+∠GFD＝180°（两直线平行，同旁内角互补）． 又∵∠ADF＝90°（已知）， ∴∠GFD＝90°． ∴GF⊥BC． 故答案为：DE；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；GF；同位角相等，两直线平行；180°；两直线平行，同旁内角互补． 11．如图，已知DC∥AB，E、F分别在DC、AB的延长线上，∠DCB＝∠DAB，∠AGB＝30°，∠AFE＝60°，AE平分∠DAB； （1）AD是否平行于BC？并说明理由； （2）试说明AE⊥EF． 【分析】（1）根据平行线的性质结合已知条件推出∠DAB+∠ABC＝180°，即可得出结论； （2）根据角平分线的定义，结合三角形的内角和定理得到，结合∠DAB+∠ABC＝180°，求出∠EAF的度数，进一步求出∠AEF的度数，即可得出结论． 【解答】解：（1）AD∥BC，理由如下： ∵DC∥AB， ∴∠DCB+∠ABC＝180°， ∵∠DCB＝∠DAB， ∴∠DAB+∠ABC＝180°， ∴AD∥BC； （2）∵AE平分∠DAB， ∴， ∵∠AGB＝30°， ∴， 又∵∠DAB+∠ABC＝180°， ∴， 即：∠EAF＝30°， ∴∠AEF＝180°﹣∠EAF﹣∠AFE＝90°， 即：AE⊥EF． 12．已知：如图，EF∥CD，∠1+∠2＝180°． （1）判断GD与CA的位置关系，并说明理由． （2）若DG平分∠CDB，若∠ACD＝40°，求∠A的度数． 【分析】（1）根据平行线的性质即可得出∠1+∠ACD＝180°，再根据条件∠1+∠2＝180°，即可得到∠ACD＝∠2，进而判定GD∥CA． （2）根据平行线的性质，得到∠2＝∠ACD＝40°，根据角平分线的定义，可得到∠BDG＝∠2＝40°，即再根据平行线的性质即可得出∠A的度数． 【解答】解：（1）GD∥CA． 理由：∵EF∥CD， ∴∠1+∠ACD＝180°， 又∵∠1+∠2＝180°， ∴∠ACD＝∠2， ∴GD∥CA； （2）∵GD∥CA， ∴∠2＝∠ACD＝40°， ∵DG平分∠CDB， ∴∠BDG＝∠2＝40°， ∵GD∥CA， ∴∠A＝∠BDG＝40°． 13．已知：如图，C、D是直线AB上两点，∠1+∠2＝180°，DE平分∠CDF，FE∥DC （1）求证：CE∥DF； （2）若∠DCE＝130°，求∠DEF的度数． 【分析】（1）由∠1+∠DCE＝180°，∠1+∠2＝180°，可得∠2＝∠DCE，即可证明CE∥DF； （2）由平行线的性质，可得∠CDF＝50°，又∵DE平分∠CDF，则∠CDE＝∠CDF＝25°，根据平行线的性质，即可得到∠DEF的度数． 【解答】证明：（1）∵∠1+∠2＝180°，C，D是直线AB上两点， ∵∠1+∠DCE＝180°， ∴∠2＝∠DCE， ∴CE∥DF； （2）∵CE∥DF，∠DCE＝130°， ∴∠CDF＝180°﹣∠DCE＝180°﹣130°＝50°， ∵DE平分∠CDF， ∴， ∵EF∥AB， ∴∠DEF＝∠CDE＝25°． 14．如图，已知点E、F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，∠C＝∠EFG，∠CED＝∠GHD． （1）求证：AB∥CD； （2）若∠GHD＝80°，∠D＝45°，求∠AEM的度数． 【分析】（1）先由∠CED＝∠GHD证明CE∥FG，进而证明∠FGD＝∠EFG，即可证明AB∥CD； （2）由平行线的性质得到∠BED＝∠D＝45°，再由∠CED＝∠GHD＝80°，即可得到∠AEM＝∠BEC＝∠CED+∠BED＝125°． 【解答】（1）证明：∵∠CED＝∠GHD， ∴CE∥FG， ∴∠C＝∠FGD， ∵∠C＝∠EFG， ∴∠FGD＝∠EFG， ∴AB∥CD； （2）∵AB∥CD， ∴∠BED＝∠D＝45°， ∵∠CED＝∠GHD＝80°， ∴∠AEM＝∠BEC＝∠CED+∠BED＝125°． 15．在物理学中，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图1，MN是平面镜，若入射光线AO与水平镜面夹角为∠1，反射光线OB与水平镜面夹角为∠2，则∠1＝∠2． （1）如图2，入射光线AB经过2次反射后与反射光线CD交于点E．若∠MON＝65°，求∠CEB的度数： （2）如图2，图3，若∠MON＝α，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD，光线AB与CD所在的直线相交于点E，∠BEC＝β，分别写出α与β之间满足的等量关系是 　2α+β＝180°，β＝2α　（直接写出两个结果）． 【分析】（1）由∠MON＝65°，根据三角形的内角和定理得∠2+∠3＝115°，又∠1＝∠2，∠3＝∠4，则有∠ECB+∠EBC＝130°，最后根据三角形的内角和定理即可求解； （2）图2同（1）理可得2α+β＝180°，图3中∠ABC＝180°﹣2∠2，∠BCD＝180°﹣2∠3，由内角和定理得∠BED＝∠ABC﹣∠BCD＝β，再由三角形外角性质∠BOC＝∠3﹣∠2＝α，从而求解． 【解答】解：（1）∵∠MON＝65°， ∴∠2+∠3＝180°﹣∠MON＝180°﹣65°＝115°， ∵∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴∠ECB+∠EBC＝360°﹣2（∠2+∠3）＝360°﹣115°×2＝130°， ∴∠BEC＝180°﹣∠ECB﹣∠EBC＝180°﹣130°＝50°； （2）如图2， ∵∠MON＝α， ∴∠2+∠3＝180°﹣∠MON＝180°﹣α， ∵∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴∠ECB+∠EBC＝360°﹣2（∠2+∠3）＝360°﹣2（180°﹣α）＝2α， ∴∠BEC＝180°﹣（∠ECB+∠EBC）＝180°﹣2α＝β， ∴2α+β＝180°； 如图3， ∵∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴∠ABC＝180°﹣2∠2，∠BCD＝180°﹣2∠3， ∴∠BED＝∠ABC﹣∠BCD＝（180°﹣2∠2）﹣（180°﹣2∠3）＝2（∠3﹣∠2）＝β， ∵∠BOC＝∠3﹣∠2＝α， ∴β＝2α， 故答案为：2α+β＝180°，β＝2α． 16．【探究】（1）如图1，AB∥CD，点E在直线AB与CD之间，连接AE，CE，试说明：∠BAE+∠DCE＝∠AEC．请完成下面的解题过程． 解：过点E作EF∥AB， ∴∠1＝∠　A　（ 　两直线平行，内错角相等　）． ∵AB∥CD，EF∥AB， ∴CD∥EF（ 　平行于同一条直线的两条直线平行　）， ∴∠2＝∠　C　， ∴∠BAE+∠DCE＝∠1+∠2， ∴∠BAE+∠DCE＝∠AEC； 【应用】（2）如图2，AB∥CD，点F在AB，CD之间，FE与AB交于点M，FG与CD交于点N．若∠EFG＝115°，∠EMB＝55°，求∠DNG的度数； 【拓展】（3）如图3，直线CD在直线AB，FE之间，且AB∥CD∥EF，点G，H分别在AB，FE上，Q是直线CD上的一个动点，且不在直线GH上，连接QG，QH．若∠GQH＝70°，直接写出∠AGQ+∠EHQ的度数． 【分析】（1）证明出AB∥CD∥EF，得到∠1＝∠A，∠2＝∠C，则∠BAE+∠DCE＝∠AEC； （2）利用（1）中的结论可知，∠MFN＝∠AMF+∠CNF，则可得∠CNF的度数为60°，由对顶角相等可得∠DNG＝60°； （3）结合（1）中的结论可得，需要讨论∠AGQ是钝角或∠AGQ是锐角时两种情况，分别根据平行线的性质求解即可． 【解答】解：（1）过点E作EF∥AB， ∴∠1＝∠A（两直线平行，内错角相等）． ∵AB∥CD，EF∥AB， ∴CD∥EF（平行于同一条直线的两条直线平行）， ∴∠2＝∠C， ∴∠BAE+∠DCE＝∠1+∠2， ∴∠BAE+∠DCE＝∠AEC； （2）由（1）中探究可知，∠MFN＝∠AMF+∠CNF， ∵∠AMF＝∠MFN＝55°，且∠MFN＝115°， ∴∠CNF＝115°﹣55°＝60°， ∴∠DNG＝∠CNF＝60°； （3）如图，当∠AGQ为钝角时， 由（1）中结论可知，∠GQH＝∠BGQ+∠FHQ＝70°， ∴∠AGQ+∠EHQ＝360°﹣（∠BGQ+∠FHQ）＝290°； 当∠AGQ为锐角时，如图， 由（1）中结论可知，∠GQH＝∠AGQ+∠EHQ， 即∠AGQ+∠EHQ＝70°， 综上，∠AGQ+∠EHQ＝70°或290°． 17．【问题提出】如图①，∠ABE和∠DCE的边AB与CD互相平行，边BE与CE交于点E．若∠ABE＝140°，∠DCE＝120°，求∠BEC的度数． 【问题解决】请你完成下面的求解过程． 解：如图②，过点E作EF∥AB． ∴∠BEF+∠ABE＝180°（ 　两直线平行，同旁内角互补　）． ∵∠ABE＝140°， ∴∠BEF＝180°﹣∠ABE＝180°﹣140°＝40°． ∵AB∥CD， ∴EF∥CD（ 　如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行　）． ∴∠CEF+（ 　∠DCE　）＝180°． ∵∠DCE＝120°， ∴∠CEF＝180°﹣∠DCE＝180°﹣120°＝60°． ∴∠BEC ＝∠BEF+∠CEF＝（ 　100　）°． 【迁移应用】如图③，D、E分别是∠ABC边AB、BC上的点，在直线DE的右侧作DE的平行线分别交边BC、AB于点F、G．P是线段DG上一点，连结PE、PF．若∠DEP＝40°，∠GFP＝30°，求∠EPF的度数． 【分析】【问题解决】根据两直线平行，同旁内角互补得出∠BEF+∠ABE＝180°，即可求出∠BEF的度数，再根据平行公理的推论得出EF∥CD，即可推出∠CEF+∠DCE＝180°，从而求出∠CEF的度数，再根据∠BEC ＝∠BEF+∠CEF即可得解； 【迁移应用】如图③，过点P作作PQ∥DE交BC于点Q，根据两直线平行，内错角相等得出∠QPE＝∠DEP＝40°，再根据平行公理的推论得出PQ∥FG，于是得出∠QPF＝∠GFP＝30°，再根据∠EPF＝∠QPE+∠QPF即可得解． 【解答】解：【问题解决】 如图②，过点E作EF∥AB． ∴∠BEF+∠ABE＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∵∠ABE＝140°， ∴∠BEF＝180°﹣∠ABE＝180°﹣140°＝40°． ∵AB∥CD， ∴EF∥CD（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 ）， ∴∠CEF+∠DCE＝180°， ∵∠DCE＝120°， ∴∠CEF＝180°﹣∠DCE＝180°﹣120°＝60°． ∴∠BEC ＝∠BEF+∠CEF＝100°； 故答案为：两直线平行，同旁内角互补；如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；∠DCE；100； 【迁移应用】如图③，过点P作作PQ∥DE交BC于点Q， ∴∠QPE＝∠DEP＝40°， ∵DE∥FG， ∴PQ∥FG， ∴∠QPF＝∠GFP＝30°， ∴∠EPF＝∠QPE+∠QPF＝40°+30°＝70°． 18．如图1，直线AB、CD与直线GH交于点M、N，∠GMB＝∠CNH． （1）求证：AB∥CD； （2）如图2，点E在直线AB、CD之间，在直线HG右侧，连接ME、NE，作EF∥AB，∠MEF+∠END＝90°，求证：ME⊥NE； （3）如图3，在（2）的条件下，MK平分∠AME，NK平分∠END，过点K作KP⊥NK，求∠MKP的大小． 【分析】（1）通过对顶角相等及等量代换可知∠GMB＝∠MND，即可证得平行； （2）根据平行线性质得到∠END＝∠NEF，再通过等量代换即可得证； （3）先通过平分线性质，平行线中同旁内角互补得到∠EMK与∠KNE的关系，再通过三角形内角和计算得到∠NKJ，再通过圆周角计算即可． 【解答】（1）证明：∵∠CNH＝∠MND，∠GMB＝∠CNH ∴∠GMB＝∠MND， ∴AB∥CD． （2）证明：∵EF∥AB，AB∥CD， ∴EF∥AB∥CD， ∴∠END＝∠NEF， 又∵∠MEF+∠END＝90°， ∴∠MEF+∠NEF＝90°， ∴∠MEN＝90°， ∴ME⊥NE． （3）解：由条件可知：∠AME＝2∠AMK＝2∠EMK，∠END＝2∠KNE＝2∠DNK， 又∵AB∥EF∥CD， ∴∠AME+∠MEF＝180°，∠DNE＝∠FEN， ∴∠MEF＝180°﹣2∠EMK，∠FEN＝2∠KNE， 又由（2）可知，∠MEN＝∠MEF+∠NEF＝90°， ∴180°﹣2∠EMK+2∠KNE＝90°， ∴∠EMK﹣∠KNE＝45°， 在△NKJ中，∠KNE+∠KJN+∠NKJ＝180°， 在△MEJ中，∠EMK+∠EJM+90°＝180°， 又∵∠KJN＝∠EJM， ∴∠KNE+∠NKJ＝∠EMK+90°， ∴∠NKJ＝135°， 又∵KP⊥NK， ∴∠NKP＝90°， ∴∠NKJ+∠MKP+∠90°＝360°， ∴∠MKP＝∠MKP＝135°． 19．已知直线l1∥l2，直线l3和直线l1，l2交于点C和D，点P是直线l3上一动点． （1）猜想论证：如图1，当点P在线段CD上运动时，∠PAC，∠APB，∠PBD之间存在什么数量关系？并说明理由． 请把下列过程补充完整： 猜想：∠APB＝∠PAC+∠PBD． 证明：过点P作PM∥l1． ∵l1∥l2， ∴　PM∥l2　（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． 又∵PM∥l1，PM∥l2， ∴∠APM＝∠PAC，　∠BPM　＝∠PBD（　两直线平行，内错角相等　）． ∵∠APB＝∠APM+∠BPM， ∴∠APB＝∠PAC+∠PBD（　等量代换　）． （2）类比探究： ①如图2，当点P在线段CD的延长线上运动时，上述（1）中的结论是否成立？若不成立，请写出∠PAC，∠APB，∠PBD之间的数量关系，并说明理由； ②如图3，当点P在线段DC的延长线上运动时，请直接写出∠PAC，∠APB，∠PBD之间的数量关系，不必写理由． 【分析】（1）过点P作PM∥l1，根据平行线的性质可得∠APM＝∠PAC，∠BPM＝∠PBD，利用等量代换可得：∠APB＝∠PAC+∠PBD； （2）仿照（1）的证明过程添加辅助线，然后利用平行线的性质证明即可． 【解答】解：（1）∵l1∥l2， ∴PM∥l2（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）， 又∵PM∥l1∥l2， ∴∠APM＝∠PAC，∠BPM＝∠PBD（两直线平行内错角相等）， ∵∠APB＝∠APM+∠BPM， ∴∠APB＝∠PAC+∠PBD（等量代换）， 故答案为：PM∥l2，∠BPM，两直线平行，内错角相等，等量代换； （2）①（1）中的结论不成立，∠APB＝∠PAC﹣∠PBD， 理由如下： 如图，过点P作PE∥l1， 由条件可知PE∥l2， 又∵PE∥l1∥l2， ∴∠APE＝∠PAC，∠BPE＝∠PBD， ∴∠APB＝∠PAC﹣∠PBD； ②∠APB＝∠PBD﹣∠PAC， 如下图所示， 过点P作PE∥l1， 由条件可知PE∥l2∥l1， ∴∠APE＝∠PAC，∠BPE＝∠PBD， ∴∠APB＝∠BPE﹣∠APE＝∠PBD﹣∠PAC． 20．【阅读理解】：两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化． 例如：如图1，MN∥PQ，点C、B分别在直线MN、PQ上，点A在直线MN、PQ之间．问∠CAB，∠MCA，∠PBA之间有何数量关系？请说明理由． 小铭同学发现∠CAB＝∠MCA+∠PBA，并给出了部分理由． 如图1，过点A作AD∥MN， 因为MN∥PQ，AD∥MN， 所以AD∥MN∥PQ， …； （1）请将上面的说理过程补充完整； （2）如图2，若AB∥CD，∠BEP＝160°，∠PFD＝129°．则∠EPF＝ 　71　°； 【方法运用】 （3）如图3，AB∥CD，点P在AB的上方，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？请说明理由； 【联想拓展】 （4）如图4，已知∠EPF＝α，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，请你用含有α的式子表示∠G的度数，直接写出结果． 【分析】（1）根据平行线的判定与性质求解即可； （2）根据平行线的判定与性质求解即可； （3）根据平行线的判定与性质求解即可； （4）根据平行线的性质及角平分线定义求解即可． 【解答】解：（1）如图1，过点A作AD∥MN， ∵MN∥PQ，AD∥MN， ∴AD∥MN∥PQ， ∴∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠BAD， ∴∠CAB＝∠DAC+∠BAD＝∠MCA+∠PBA； （2）如图2，过点P作PM∥AB， ∵AB∥CD， ∴AB∥CD∥PM， ∴∠BEP+∠MPE＝180°，∠PFD+∠FPM＝180°， ∵∠BEP＝160°，∠PFD＝129°， ∴∠MPE+∠FPM＝71°， ∴∠EPF＝71°， 故答案为：71； （3）∠PFC＝∠PEA+∠FPE，理由如下： 如图3，过P点作PN∥AB， ∴PN∥CD∥AB， ∴∠PEA＝∠NPE，∠FPN＝∠PFC， ∵∠FPN＝∠NPE+∠EPF， ∴∠FPN＝∠PEA+∠EPF， ∴∠PFC＝∠PEA+∠EPF； （4）如图4， 由（2）知，∠PEA+∠PFC+∠EPF＝360°， ∵∠EPF＝α， ∴∠PEA+∠PFC＝360°﹣α， ∵∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G， ∴∠PEG＝∠PEA，∠PFG＝∠PFC， ∴∠PEG+∠PFG＝（∠PEA+∠PFC）＝180°﹣α， 在四边形EGFP中，∠PEG+∠G+∠PFG+∠EPF＝360°， ∴∠G＝180°﹣α． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2 平行线的判定与性质专题训练 1．完成下面推理过程．如图：已知∠1＝∠2，∠A＝∠D，求证：∠B＝∠C． 证明：∵∠1＝∠2（已知） ∵∠1＝∠3（ 　 　） ∴∠2＝∠（ 　 　）（等量代换） ∴AE∥FD（同位角相等，两直线平行） ∴∠A＝∠（ 　 　）（ 　 　） ∴∠A＝∠D（已知） ∴∠D＝∠BFD（等量代换） ∴（ 　 　）∥CD（ 　 　） ∴∠B＝∠C（两直线平行，内错角相等） 2．如图，已知AD⊥BC，EF⊥BC，垂足分别为D、F，∠2+∠3＝180°，试说明：∠GDC＝∠B．请补充说明过程，并在括号内填上相应的理由． 解：∵AD⊥BC，EF⊥BC（已知） ∴∠ADB＝∠EFB＝90° （　 　）， ∴EF∥AD（　 　）， ∴　 　+∠2＝180°（　 　）． 又∵∠2+∠3＝180°（已知）， ∴∠1＝∠3（　 　）， ∴AB∥　 　（　 　）， ∴∠GDC＝∠B（　 　）． 3．完成下面的推理填空： 已知：如图，E、F分别在AB和CD上，∠1＝∠D，∠2与∠C互余，AF⊥CE于G． 求证：AB∥CD． 证明：∵AF⊥CE，（已知） ∴∠CGF＝90°．（垂直的定义） ∵∠1＝∠D，（已知） ∴　 　∥　 　．（ 　 　） ∴∠4＝∠CGF＝90°．（ 　 　） 又∵∠2+∠3+∠4＝180°， ∴∠2+∠3＝　 　°． 又∵∠2与∠C互余，（已知） ∴∠C＝　 　．（ 　 　） ∴AB∥CD．（ 　 　） 4．在下列解答中，填空（理由或数学式）． 如图，已知直线b∥c，∠1＝116°，∠3＝∠4． （1）求∠AOB的度数． （2）求证：直线a∥c． 解：（1）∵∠1＝116° （已知），且∠1＝∠2 （ 　 　）， ∴∠2＝116° （ 　 　）． ∵b∥c（已知）， ∴∠AOB＝∠2 （ 　 　）． ∴∠AOB＝　 　（等量代换）． 证明：（2）∵∠3＝∠4 （ 　 　）， ∴a∥b （ 　 　）． 又∵b∥c（已知）， ∴a∥c （ 　 　）． 5．【问题】如图，AB∥CD，点P在直线CD的下方，试说明∠BPD＝∠B﹣∠D． 【解决】请帮助榕榕完善下面的解题过程，在括号内填上相应的理由或数学式． 如图，作PE∥AB， 则∠BPE＝∠B．（ 　 　） ∵PE∥AB，AB∥CD， ∴PE∥CD．（ 　 　） ∴∠DPE＝∠D．（ 　 　） ∵∠BPD＝ 　 　﹣∠DPE， ∴∠BPD＝∠B﹣∠D．（等量代换） 6．如图，在△ABC中，点D、E在边AB上，点F、G分别在边BC、AC上，∠ACB＝∠BEC＝∠BDF＝90°，∠GEC+∠CFD＝180°，试说明EG⊥AC．请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论依据． 解：∠BEC＝∠BDF＝90°，（已知） ∴CE∥　 　，（ 　 　） ∴∠ECB+∠CFD＝180°．（ 　 　） ∵∠GEC+∠CFD＝180°，（已知） ∴∠GEC＝∠ECB．（ 　 　） ∴GE∥BC．（ 　 　） ∴∠AGE＝∠ACB＝90°．（ 　 　） ∴EG⊥AC．（ 　 　） 7．补全推理过程： 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E在AB上，EF⊥BC于点F，过点D作直线DG交AC于点G，交EF的延长线于点H，∠B＝50°，∠1+∠2＝180°．求∠H的度数． 解：∵AD⊥BC，EF⊥BC，（已知） ∴AD∥EF．（ 　 　） ∴∠2+∠EAD＝180°．（ 　 　） ∵∠1+∠2＝180°，（已知） ∴∠1＝∠　 　．（同角的补角相等） ∴AE∥HG．（ 　 　） ∴∠B＝∠BDH．（ 　 　） ∵∠B＝50°，（已知） ∴∠BDH＝50°．（等量代换） ∵AD⊥BC，（已知） ∴∠ADB＝90°．（ 　 　） ∵∠1+∠BDH+∠ADB＝180°，（平角定义） ∴∠1＝180°﹣∠BDH﹣∠ADB＝40°．（等式性质） ∵AD∥EF，（已证） ∴∠H＝∠1＝ 　 　°．（ 　 　） 8．如图，在△ABC中，BD⊥AC，EF⊥AC，垂足分别为D，F，DM∥BC，∠1＝∠2．试说明：DM∥FG．请将说明过程补充完整，并在括号内填写说理的依据． 理由如下：因为BD⊥AC（已知）， 所以∠BDC＝90°（ 　 　）． 同理，得∠EFC＝90°， 所以∠BDC＝∠EFC（等量代换）． 所以BD∥EF（同位角相等，两直线平行）． 所以 　 　（ 　 　）． 又∠1＝∠2（已知）． 所以 　 　（等量代换）． 所以BC∥FG （ 　 　）． 所以∠ABC＝∠AGF（两直线平行，同位角相等）． 又 　 　（已知）， 所以∠AMD＝∠ABC（两直线平行，同位角相等）． 即∠AMD＝∠AGF（等量代质）． 所以DM∥FG（ 　 　）． 9．如图，DG⊥BC，AC⊥BC，EF⊥AB，∠AFE＝∠CDG，求证：CD⊥AB． 根据下面的证明过程在括号内写出理由或数学式． 证明：∵DG⊥BC，AC⊥BC， ∴∠DGB＝∠ACB＝90°（ 　 　）． ∴DG∥AC（ 　 　）． ∴∠CDG＝∠ACD （ 　 　）． ∵∠AFE＝∠CDG， ∴∠AFE＝ 　 　（ 　 　）． ∴EF∥CD（ 　 　）． ∴∠AEF＝ 　 　（ 　 　）． ∵EF⊥AB， ∴∠AEF＝90°． ∴∠ADC＝∠AEF＝90°（ 　 　）． ∴CD⊥AB． 10．如图，已知∠1＝∠2，∠4＝∠B，∠ADF＝90°，求证：GF⊥BC． 阅读下面的解答过程，填空并填写理由． 证明：∵∠4＝∠B（已知）， ∴AB∥　 　（ 　 　）． ∴∠2＝∠3（ 　 　）． ∵∠1＝∠2（已知）， ∴∠1＝∠3（等量代换）． ∴AD∥　 　（ 　 　）． ∴∠ADF+∠GFD＝　 　（ 　 　）． 又∵∠ADF＝90°（已知）， ∴∠GFD＝90°． ∴GF⊥BC． 11．如图，已知DC∥AB，E、F分别在DC、AB的延长线上，∠DCB＝∠DAB，∠AGB＝30°，∠AFE＝60°，AE平分∠DAB； （1）AD是否平行于BC？并说明理由； （2）试说明AE⊥EF． 12．已知：如图，EF∥CD，∠1+∠2＝180°． （1）判断GD与CA的位置关系，并说明理由． （2）若DG平分∠CDB，若∠ACD＝40°，求∠A的度数． 13．已知：如图，C、D是直线AB上两点，∠1+∠2＝180°，DE平分∠CDF，FE∥DC （1）求证：CE∥DF； （2）若∠DCE＝130°，求∠DEF的度数． 14．如图，已知点E、F在直线AB上，点G在线段CD上，ED与FG交于点H，∠C＝∠EFG，∠CED＝∠GHD． （1）求证：AB∥CD； （2）若∠GHD＝80°，∠D＝45°，求∠AEM的度数． 15．在物理学中，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图1，MN是平面镜，若入射光线AO与水平镜面夹角为∠1，反射光线OB与水平镜面夹角为∠2，则∠1＝∠2． （1）如图2，入射光线AB经过2次反射后与反射光线CD交于点E．若∠MON＝65°，求∠CEB的度数： （2）如图2，图3，若∠MON＝α，入射光线AB经过两次反射，得到反射光线CD，光线AB与CD所在的直线相交于点E，∠BEC＝β，分别写出α与β之间满足的等量关系是 　 　（直接写出两个结果）． 16．【探究】（1）如图1，AB∥CD，点E在直线AB与CD之间，连接AE，CE，试说明：∠BAE+∠DCE＝∠AEC．请完成下面的解题过程． 解：过点E作EF∥AB， ∴∠1＝∠　 　（ 　 　）． ∵AB∥CD，EF∥AB， ∴CD∥EF（ 　 　）， ∴∠2＝∠　 　， ∴∠BAE+∠DCE＝∠1+∠2， ∴∠BAE+∠DCE＝∠AEC； 【应用】（2）如图2，AB∥CD，点F在AB，CD之间，FE与AB交于点M，FG与CD交于点N．若∠EFG＝115°，∠EMB＝55°，求∠DNG的度数； 【拓展】（3）如图3，直线CD在直线AB，FE之间，且AB∥CD∥EF，点G，H分别在AB，FE上，Q是直线CD上的一个动点，且不在直线GH上，连接QG，QH．若∠GQH＝70°，直接写出∠AGQ+∠EHQ的度数． 17．【问题提出】如图①，∠ABE和∠DCE的边AB与CD互相平行，边BE与CE交于点E．若∠ABE＝140°，∠DCE＝120°，求∠BEC的度数． 【问题解决】请你完成下面的求解过程． 解：如图②，过点E作EF∥AB． ∴∠BEF+∠ABE＝180°（ 　 　）． ∵∠ABE＝140°， ∴∠BEF＝180°﹣∠ABE＝180°﹣140°＝40°． ∵AB∥CD， ∴EF∥CD（ 　 　）． ∴∠CEF+（ 　 　）＝180°． ∵∠DCE＝120°， ∴∠CEF＝180°﹣∠DCE＝180°﹣120°＝60°． ∴∠BEC ＝∠BEF+∠CEF＝（ 　 　）°． 【迁移应用】如图③，D、E分别是∠ABC边AB、BC上的点，在直线DE的右侧作DE的平行线分别交边BC、AB于点F、G．P是线段DG上一点，连结PE、PF．若∠DEP＝40°，∠GFP＝30°，求∠EPF的度数． 18．如图1，直线AB、CD与直线GH交于点M、N，∠GMB＝∠CNH． （1）求证：AB∥CD； （2）如图2，点E在直线AB、CD之间，在直线HG右侧，连接ME、NE，作EF∥AB，∠MEF+∠END＝90°，求证：ME⊥NE； （3）如图3，在（2）的条件下，MK平分∠AME，NK平分∠END，过点K作KP⊥NK，求∠MKP的大小． 19．已知直线l1∥l2，直线l3和直线l1，l2交于点C和D，点P是直线l3上一动点． （1）猜想论证：如图1，当点P在线段CD上运动时，∠PAC，∠APB，∠PBD之间存在什么数量关系？并说明理由． 请把下列过程补充完整： 猜想：∠APB＝∠PAC+∠PBD． 证明：过点P作PM∥l1． ∵l1∥l2， ∴　 　（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． 又∵PM∥l1，PM∥l2， ∴∠APM＝∠PAC，　 　＝∠PBD（　 　）． ∵∠APB＝∠APM+∠BPM， ∴∠APB＝∠PAC+∠PBD（　 　）． （2）类比探究： ①如图2，当点P在线段CD的延长线上运动时，上述（1）中的结论是否成立？若不成立，请写出∠PAC，∠APB，∠PBD之间的数量关系，并说明理由； ②如图3，当点P在线段DC的延长线上运动时，请直接写出∠PAC，∠APB，∠PBD之间的数量关系，不必写理由． 20．【阅读理解】：两条平行线间的拐点问题经常可以通过作一条直线的平行线进行转化． 例如：如图1，MN∥PQ，点C、B分别在直线MN、PQ上，点A在直线MN、PQ之间．问∠CAB，∠MCA，∠PBA之间有何数量关系？请说明理由． 小铭同学发现∠CAB＝∠MCA+∠PBA，并给出了部分理由． 如图1，过点A作AD∥MN， 因为MN∥PQ，AD∥MN， 所以AD∥MN∥PQ， …； （1）请将上面的说理过程补充完整； （2）如图2，若AB∥CD，∠BEP＝160°，∠PFD＝129°．则∠EPF＝ 　 　°； 【方法运用】 （3）如图3，AB∥CD，点P在AB的上方，问∠PEA，∠PFC，∠EPF之间有何数量关系？请说明理由； 【联想拓展】 （4）如图4，已知∠EPF＝α，∠PEA的平分线和∠PFC的平分线交于点G，请你用含有α的式子表示∠G的度数，直接写出结果． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$