专题08 一次函数与方程、不等式（6大考点经典基础练+优选提升练）（湖南专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期末真题分类汇编

专题08 一次函数与方程、不等式 题型概览 题型01已知直线与坐标轴的交点求方程的解 题型02利用图像法解一元一次方程 题型03由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 题型04根据两条直线的交点求不等式的解集 题型05两直线的交点与二元一次方程组的解 题型06求直线围成的图形的面积 ( 题型01 ) 已知直线与坐标轴的交点求方程的解 1．（23-24八年级下·湖南长沙华益中学·期末）如图，已知一次函数的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若，，则关于x的方程的解为 ． 2．（23-24八年级下·湖南娄底·期末）如图，已知一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点，点，有下列结论：①图象经过点；②关于x的方程的解为；③关于x的方程的解为；④当时，．其是正确的是 ． ( 题型02 ) 利用图像法解一元一次方程 3．（23-24八年级下·湖南长沙望城区·期末）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于x的方程的解是 ． 4．（23-24八年级下·湖南桑植县·期末）如图，直线与直线相交于点，则关于x的方程的解为 ． 5．（23-24八年级下·湖南株洲荷塘区·期末）某班“数学兴趣小组”根据学习一次函数的经验，对函数的图象和性质进行了研究．探究过程如下，请补充完整． (1)自变量的取值范围是全体实数，表格是与的几组对应值： … 0 1 2 3 4 5 … … 5 4 2 1 0 1 2 3 … 其中，______； (2)如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表格中各对应值为坐标的点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分；    (3)①观察函数图象发现，该函数图象的最低点坐标是______； ②当时，随的增大而减小；当时，随的增大而______； (4)进一步探究，若关于的方程（）只有一个解，则的取值范围是______． ( 题型03 ) 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 6．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，一次函数的图象与轴交于点，则不等式的解为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24八年级下·湖南·期末）一次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A． B． C．随的增大而减小 D．当时， 8．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，直线（）经过点，且与直线相交于点．    (1)求m、k和b的值； (2)过点且垂直于x轴的直线与，分别交于C，D两点． ①当时，求的面积； ②当点C位于点D上方时，直接写出n的取值范围是______． 9．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，已知直线y1=﹣x+1与x轴交于点A，与直线y2=﹣x交于点B． （1）求△AOB的面积； （2）求y1＞y2时x的取值范围． ( 题型0 4 )根据两条直线的交点求不等式的解集 10．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）一次函数与的图象如图所示，其交点，则不等式的解集表示在数轴上正确的是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）为吸引顾客，某游乐场推出了甲、乙两种消费卡．设消费的次数为x时，所需的费用为y元，且y与x之间的函数关系如图所示．观察图象可知，当消费的次数x的取值范围满足 时，选择乙种消费卡更为划算． 12．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，一次函数与一次函数的图象交于点，则关于x 的不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 13．（23-24八年级下·湖南娄底·期末）已知：如图，一次函数与的图象相交于点． (1)求点的坐标； (2)结合图象，直接写出时的取值范围； (3)若一次函数与的图象与轴分别相交于点、，求的面积． 14．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，直线与过点的直线交于点，与轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)直接写出不等式的解集； (3)点在直线上，轴，交直线于点，若，求点的坐标． 15．（23-24八年级下·湖南·期末）如图直线：经过点，． (1)求直线的表达式； (2)若直线与直线相交于点M，求点M的坐标； (3)根据图象，直接写出关于x的不等式的解集． ( 题型0 5 )两直线的交点与二元一次方程组的解 16．（23-24八年级下·湖南·期末）如图一次函数与的图象交于点，则方程组的解 ． 17．（23-24八年级下·湖南衡阳·期末）已知一次函数与（k是常数）的图像的交点坐标是，则方程组的解是 ． 18．（23-24八年级下·湖南湘西·期末）如图，已知一次函数与正比例函数图像相交于点A，与x轴交于点B． (1)求点A的坐标； (2)求的面积． 19．（23-24八年级下·湖南·期末）在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，，且与直线交于点． (1)分别求出，，三点的坐标； (2)若是射线上的点，且的面积为12，求直线的函数解析式； (3)在（2）的条件下，在平面内是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 20．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，已知函数和的图象交于，这两个函数的图象与轴分别交于点、．    (1)根据图象直接写出方程组的解为____________； (2)根据图象直接写出不等式的解集为___________； (3)求的面积． 21．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，C点在x轴上A点的右边，，经过点C的直线与正比例函数的图象平行，直线与直线相交于点D，点P为直线上一动点． (1)求点D坐标； (2)若，请求出P点的坐标； (3)若，请直接写出点P坐标． ( 题型0 6 )求直线围成的图形的面积 22．（23-24八年级下·湖南邵阳·期末）已知直线与轴交于点，与轴交于点，则的面积为（为坐标原点）（    ） A． B． C． D． 23．（23-24八年级下·湖南岳阳·期末）如图，直线与坐标轴交于，两点，与直线交于点，直线交轴于点，交轴于点． (1)求，值； (2)求的面积. 24．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与y轴交于点A，直线与y轴，x轴交于点B，点C，与交于点，连接，已知的长为4． (1)求点D的坐标及直线的解析式； (2)求的面积； (3)若直线上有一点P使得的面积等于的面积，直接写出点P的坐标． 25．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）如图，已知函数的图象与y轴交于点A，一次函数的图象经过点，与x轴以及的图象分别交于点C、D，且点D的坐标为． (1)求n、k、b的值； (2)求C点坐标； (3)求四边形的面积． 26．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线相交于点A，且点A的横坐标为，直线与坐标轴交于点E、B；直线与坐标轴交于点C、D，且． (1)求出直线的解析式； (2)求的面积； (3)坐标轴上是否存在点P，使得，若存在，请直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由． 一、单选题 1．（23-24八年级下·湖南邵阳·期末）如图，直线与直线相交于点根据图象可知，关于x的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，直线与交于点，则关于的二元一次方程组的解为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 3．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，一次函数与的图象相交于点，则不等式的解集是 ．    4．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知正比例函数与一次函数的图象如图所示，则关于x的一元一次不等式组的解集是 ． 5．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，已知一次函数和的图象交于点P，则根据图象可得，关于x、y的二元一次方程组的解为 ．    三、解答题 6．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴，轴分别交于点，，且与直线：相交于点． (1)求和的值． (2)直线，与轴围成的三角形面积为___________． (3)的解集为___________． 7．（23-24八年级下·湖南益阳·期末）综合与实践：利用函数图象探究．的性质及函数与不等式的关系． 下面是创新组的探究过程，请补充完整： (1)列表：如下表是x与y的几组对应值，则_____，____． x … 0 n 2 3 4 … y 2 m 0 (2)在平面直角坐标系中，描出表中以各对x、y的值为坐标的点，并画出该函数的图象； (3)请根据画出的图象，探究一条该函数的性质： ______； (4)已知直线过点与，结合函数图象直接写出关于x的不等式的解集为______． 8．（23-24八年级下·湖南岳阳·期末）如图，直线与轴交于点，点关于轴的对称点为，经过点和轴上的点的直线设为． (1)求点的坐标； (2)确定直线对应的函数表达式； (3)根据图象，请直接写出关于x的不等式的解集． 9．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点A，与y轴交于点D，直线：与x轴交于点，与相交于点． (1)求直线的解析式； (2)求四边形的面积； (3)若点M为x轴上一动点，过点作垂直于x轴的直线，与直线交于点Q．若，请直接写出所有符合题意的点Q的坐标． 10．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，直线：与直线：相交于点，与x轴分别交于A，B两点．    (1)求直线的表达式，并结合图象直接写出关于x，y的方程组的解； (2)求的面积； (3)若垂直于x轴的直线与直线，分别交于点C，D，线段的长为2，求a的值． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 一次函数与方程、不等式 题型概览 题型01已知直线与坐标轴的交点求方程的解 题型02利用图像法解一元一次方程 题型03由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 题型04根据两条直线的交点求不等式的解集 题型05两直线的交点与二元一次方程组的解 题型06求直线围成的图形的面积 ( 题型01 ) 已知直线与坐标轴的交点求方程的解 1．（23-24八年级下·湖南长沙华益中学·期末）如图，已知一次函数的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若，，则关于x的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程之间的关系，难度不大，认真分析题意即可． 根据一次函数与轴交点坐标可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵一次函数的图象与轴交于点， ∴当时，，即时，， ∴关于的方程的解是． 故答案为：． 2．（23-24八年级下·湖南娄底·期末）如图，已知一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点，点，有下列结论：①图象经过点；②关于x的方程的解为；③关于x的方程的解为；④当时，．其是正确的是 ． 【答案】②③④ 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次方程的关系，利用待定系数法求出一次函数解析式，根据一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次方程的关系逐项判断即可得解． 【详解】解：把点，点代入得，， 解得：， 一次函数的解析式为， 当时，， 图象不经过点；故①不符合题意； 由图象得：关于x的方程的解为，故②符合题意； 关于x的方程的解为，故③符合题意； 当时，，故④符合题意； 故答案为：②③④． ( 题型02 ) 利用图像法解一元一次方程 3．（23-24八年级下·湖南长沙望城区·期末）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于x的方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，先利用求出交点的坐标，然后根据一次函数图象的交点坐标进行判断．数形结合是解题的关键． 【详解】解：把代入得，解得， ∴一次函数与的图象的交点为， ∴关于的方程的解是． 故答案为：． 4．（23-24八年级下·湖南桑植县·期末）如图，直线与直线相交于点，则关于x的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程，首先利用函数解析式求出m的值，然后再根据两函数图象的交点横坐标就是关于x的方程的解可得答案． 【详解】解：∵直线与直线相交于点， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， ∴关于x的方程的解是， 故答案为：． 5．（23-24八年级下·湖南株洲荷塘区·期末）某班“数学兴趣小组”根据学习一次函数的经验，对函数的图象和性质进行了研究．探究过程如下，请补充完整． (1)自变量的取值范围是全体实数，表格是与的几组对应值： … 0 1 2 3 4 5 … … 5 4 2 1 0 1 2 3 … 其中，______； (2)如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表格中各对应值为坐标的点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分；    (3)①观察函数图象发现，该函数图象的最低点坐标是______； ②当时，随的增大而减小；当时，随的增大而______； (4)进一步探究，若关于的方程（）只有一个解，则的取值范围是______． 【答案】(1) (2)见详解 (3)①；②增大 (4)或 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程、一次函数的图象和性质，解决本题的关键是根据图象回答问题． （1）根据函数，计算出当对应的函数值，从而可以求得的值； （2）根据（1）中表格的数据，可以画出相应的函数图象； （3）根据函数图象即可求得； （4）观察函数图象，可以得到满足题意的的取值范围； 【详解】（1）当时，， ∴， 故答案为：3； （2）画出该函数图象的另一部分如图；    （3）①观察函数图象发现，该函数图象的最低点坐标是； ②当时，随的增大而减小； 当时，随的增大而增大； 故答案为：①，②增大； （4）观察图象， 若关于的方程只有一个解， 则函数与函数的图象只有一个交点， 则的取值范围是或； 故答案为：或． ( 题型03 ) 由直线与坐标轴的交点求不等式的解集 6．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，一次函数的图象与轴交于点，则不等式的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，解题的关键是找出与轴的交点坐标．根据点A的坐标找出值，令一次函数解析式中求出值，从而找出与轴的交点坐标，观察函数图象，找出在轴上方的函数图象，由此即可得出结论． 【详解】解：一次函数的图象与轴交于点， ， 令中，则， 解得：， 的图象交轴于点． 观察函数图象，发现： 当时，一次函数图象在轴上方， 不等式的解集为． 故选：A． 7．（23-24八年级下·湖南·期末）一次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A． B． C．随的增大而减小 D．当时， 【答案】B 【分析】根据一次函数的图象与性质判断即可． 【详解】由图象知，k﹥0，且y随x的增大而增大，故A、C选项错误； 图象与y轴负半轴的交点坐标为（0，-1），所以b=﹣1，B选项正确； 当x﹥2时，图象位于x轴的上方，则有y﹥0即﹥0，D选项错误， 故选：B． 【点睛】本题考查一次函数的图象与性质，利用数形结合法熟练掌握一次函数的图象与性质是解答本题的关键． 8．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，直线（）经过点，且与直线相交于点．    (1)求m、k和b的值； (2)过点且垂直于x轴的直线与，分别交于C，D两点． ①当时，求的面积； ②当点C位于点D上方时，直接写出n的取值范围是______． 【答案】(1)，， (2)①  ② 【分析】本题考查了两个一次函数的交点问题，正确理解题意、熟练掌握一次函数的相关知识是关键； （1）先求出点B的坐标，然后根据待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）①先求出点C，D的纵坐标，得到线段的长，利用计算即可解题；②解不等式，得到n的取值值范围即可解题． 【详解】（1）解：把代入得，解得， ∴， 把和代入得： ， 解得， ∴； （2）①当时，，， ∴， ∴； ②解不等式得：， ∴n的取值范围是． 9．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，已知直线y1=﹣x+1与x轴交于点A，与直线y2=﹣x交于点B． （1）求△AOB的面积； （2）求y1＞y2时x的取值范围． 【答案】（1）1.5；（2）x＞﹣1． 【分析】（1）由函数的解析式可求出点A和点B的坐标，进而可求出△AOB的面积； （2）结合函数图象即可求出y1＞y2时x的取值范围． 【详解】解：（1）由y1=﹣x+1 可知当y=0时，x=2 ∴点A的坐标是（2，0） ∴AO=2 ∵y1=﹣x+1与x与直线y2=﹣x交于点B ∴B点的坐标是（﹣1，1.5） ∴△AOB的面积=×2×1.5=1.5； （2）由（1）可知交点B的坐标是（﹣1，1.5） 由函数图象可知y1＞y2时x＞﹣1． 考点：一次函数与一元一次不等式． ( 题型0 4 )根据两条直线的交点求不等式的解集 10．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）一次函数与的图象如图所示，其交点，则不等式的解集表示在数轴上正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式以及在数轴上表示不等式的解集，根据两函数图象的上下位置关系结合交点的横坐标，即可得出不等式的解集，再对照四个选项即可得出结论． 【详解】解：观察函数图象，可知：当时，直线在直线的上方， 不等式的解集为． 在数轴上表示为： ． 故选：C． 11．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）为吸引顾客，某游乐场推出了甲、乙两种消费卡．设消费的次数为x时，所需的费用为y元，且y与x之间的函数关系如图所示．观察图象可知，当消费的次数x的取值范围满足 时，选择乙种消费卡更为划算． 【答案】 【分析】本题考查了函数与不等式的关系．根据函数与不等式的关系求解． 【详解】解：由图象得：当时，甲乙费用一样，当时，乙的费用较少， 故答案为：． 12．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，一次函数与一次函数的图象交于点，则关于x 的不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：用函数图象，写出一次函数的图象在一次函数的图象上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：根据图象得，当时，， 即：关于x的不等式的解集为． 故选C． 13．（23-24八年级下·湖南娄底·期末）已知：如图，一次函数与的图象相交于点． (1)求点的坐标； (2)结合图象，直接写出时的取值范围； (3)若一次函数与的图象与轴分别相交于点、，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题主要考查了一次函数图象交点的求法，一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上的点满足函数解析式是解题的关键． （1）联立两个函数解析式，解方程组可求出点A的坐标； （2）根据函数图象可得答案； （3）分别求出B、C两点坐标，然后可得的面积． 【详解】（1）解：联立两函数解析式得， 解得：， ∴点A的坐标为； （2）解：由图象可得：当时，则； （3）解：当时，即，解得：， ∴， 当时，即，解得：， ∴， ∴， ∴的面积为：． 14．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，直线与过点的直线交于点，与轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)直接写出不等式的解集； (3)点在直线上，轴，交直线于点，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）把点C的坐标代入，求出m的值，然后利用待定系数法求出直线的解析式； （2）根据函数图象进行解答即可； （3）求出点的坐标为，得到，设，由轴，得，得到，解得或，即可得到M的坐标． 本题考查了一次函数的图象性质，待定系数法求解析式以及由一次函数的交点求不等式的解集，熟练掌握一次函数的相关知识是解题关键． 【详解】（1）解：把代入直线得到，解得， ∴点， 设直线的解析式为， 把A和C的坐标代入 ∴， 解得， ∴直线的解析式为； （2）由图象可知，当时，即， 当时，，即， ∴当时，， 即不等式的解集为； （3）当时，，解得， ∴点的坐标为 ， 设，由轴，得， ， 解得或， ∴或． 15．（23-24八年级下·湖南·期末）如图直线：经过点，． (1)求直线的表达式； (2)若直线与直线相交于点M，求点M的坐标； (3)根据图象，直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】(1)直线的表达式为 (2)点的坐标为 (3) 【分析】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，待定系数法求一次函数的解析式，两条直线的交点等有关知识，利用图象上点的坐标得出解析式、数形结合是解题关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）两解析式联立成方程组，解方程组即可求解； （3）根据图象即可求解； 【详解】（1）解：将点，代入得：， 解得：， ∴直线的表达式为； （2）解：联立，解得， ∴点的坐标为； （3）解：把代入得，，解得， 观察图象，关于的不等式的解集为． ( 题型0 5 )两直线的交点与二元一次方程组的解 16．（23-24八年级下·湖南·期末）如图一次函数与的图象交于点，则方程组的解 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象与二元一次方程组的解，从数与形两个方面来理解两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解关系是解题关键．由交点坐标，代入求出的值，再根据方程组的解就是两个对应的一次函数图象的交点坐标求出方程组的解即可． 【详解】解：∵一次函数与的图象相交于点， ∴， 解得：， ∴， ∴的解是． 故答案为：． 17．（23-24八年级下·湖南衡阳·期末）已知一次函数与（k是常数）的图像的交点坐标是，则方程组的解是 ． 【答案】 【分析】根据一次函数的交点坐标即可确定以两个一次函数解析式组成的二元一次方程组的解． 本题考查一次函数与二元一次方程组，熟练掌握一次函数的交点坐标与二元一次方程组的解的关系是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数与（k是常数）的图像的交点坐标是， ∴方程组的解是． 故答案为：． 18．（23-24八年级下·湖南湘西·期末）如图，已知一次函数与正比例函数图像相交于点A，与x轴交于点B． (1)求点A的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，两条直线相交与坐标轴围成的三角形面积，正确求出点A的坐标是关键； （1）解两个函数表达式组成的方程组即可得点A的坐标； （2）求出一次函数与x轴的交点B的坐标，则可求得长度，从而求得结果． 【详解】（1）解：解方程组，得， ∴． （2）解：把代入得：， ∴， ∴且点A到的距离为4， ∴． 19．（23-24八年级下·湖南·期末）在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，，且与直线交于点． (1)分别求出，，三点的坐标； (2)若是射线上的点，且的面积为12，求直线的函数解析式； (3)在（2）的条件下，在平面内是否存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或或 【分析】（1）把，分别代入直线，即可求出对应和的值，即得到、的坐标，解直线和直线的方程组即可求出坐标； （2）设，代入面积公式即可求出，即得到的坐标，设直线的函数表达式是，把，代入即可求出直线的函数表达式； （3）存在点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质分情况写出点的坐标即可． 【详解】（1）解：直线，当时，，当 时，， ，， 联立方程组，解得， ， 综上所述，，，； （2）解：设， 的面积为12， ，解得：， ， 设直线的函数表达式是，把，代入得， 解得， ，即直线的函数表达式是； （3）解：存在点，分以下三种情况： ①以为对角线时， ，， 点即为点向上平移6个单位， ； ②以为对角线时， ，， 点即为点向下平移6个单位， ； ③以为对角线时， ，，，四边形是平行四边形， 的中点坐标为的中点坐标， ； 综上所述，符合条件的点坐标有或或． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求一次函数的解析式，解二元一次方程组，平行四边形的性质，三角形的面积等知识点，解此题的关键是熟练地运用知识进行计算． 20．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，已知函数和的图象交于，这两个函数的图象与轴分别交于点、．    (1)根据图象直接写出方程组的解为____________； (2)根据图象直接写出不等式的解集为___________； (3)求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是一次函数与一元一次不等式之间的关系，一次函数与二元一次方程组之间的关系，待定系数法求解析式，求一次函数与坐标轴的交点问题． （1）根据两直线的交点横纵坐标即为两直线组成的二元一次方程组的解进行求解即可； （2）根据函数图象找到直线的函数图象在直线的函数图象上方时自变量的取值范围即可； （3）先求出两直线解析式进而求出A、B坐标，再由进行求解即可． 【详解】（1）解：∵函数和的图象交于， ∴方程组的解为， 故答案为：； （2）解：由函数图象可知不等式的解集为， 故答案为：； （3）解：把代入中得：， ∴， ∴ 把代入中得：， ∴， ∴， 在和中，当时，和， ∴， ∴， ∴． 21．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，C点在x轴上A点的右边，，经过点C的直线与正比例函数的图象平行，直线与直线相交于点D，点P为直线上一动点． (1)求点D坐标； (2)若，请求出P点的坐标； (3)若，请直接写出点P坐标． 【答案】(1)点D的坐标为 (2)点P的坐标为或 (3)点P的坐标为或 【分析】（1）由点A的坐标及，可求得点C的坐标；直线与正比例函数的图象平行，设直线解析式为，把点C坐标代入可求得直线解析式；把点A代入中，可求得其解析式；再解二元一次方程组即可求得点D的坐标； （2）由点D的坐标可求得，由已知则得；点P在点D的下方与上方两种情况计算即可； （3）当点P在点D上方时，过D作于F，过C作轴交于点H，过F作于E，过D作于G，设；易证明，则，，而，即可求得m、n的值，求得点F的坐标，进而求得的解析式，最后解方程组求出点P的坐标；当点P在点D下方时，同理可求得． 【详解】（1）解：点及， ， ， 故点C的坐标为； 直线与正比例函数的图象平行， 故设直线解析式为， 把点C坐标代入可求得直线解析式，得：， 解得：， 即直线解析式为； 过点A， 把点A代入中，得， 即， ； 解二元一次方程组，得， 即点D的坐标为； （2）解：点D的坐标为， ， ， ； 当点P在点D的下方时，如图； ， 点在线段上； ； ， ； 则，即， 此时； 当点P在点D的上方时， ； ， ； 则，即， 此时； 综上，点P的坐标为或； （3）解：如图，当点P在点D上方时，过D作于F，过C作轴交于点H，过F作于E，过D作于G； 设，则； ，， ，； ， ， ， ， ，， 而， ， 即，解得：， 点F的坐标为； 设的解析式为， 把C、F的坐标代入得，解得：， 即的解析式为； 解方程组得， 点P的坐标为； 当点P在点D下方时，同理可求得点P的坐标为； 综上，点P的坐标为或． 【点睛】本题是一次函数与几何的综合，考查了待定系数法求一次函数解析式，两直线的交点坐标，两直线与坐标轴围成的图形面积，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识，有一定的综合性，注意分类讨论． ( 题型0 6 )求直线围成的图形的面积 22．（23-24八年级下·湖南邵阳·期末）已知直线与轴交于点，与轴交于点，则的面积为（为坐标原点）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题，先确定点和点的坐标，继而得出，，再根据三角形的面积公式即可得出结论．确定一次函数与坐标轴的交点坐标是解题的关键． 【详解】解：∵直线与轴交于点，与轴交于点， 当时，，得：， 当时，得：， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴的面积为． 故选：A． 23．（23-24八年级下·湖南岳阳·期末）如图，直线与坐标轴交于，两点，与直线交于点，直线交轴于点，交轴于点． (1)求，值； (2)求的面积. 【答案】(1)； (2)10 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特点，待定系数法的应用，坐标与图形性质等知识，熟知函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式是解题的关键． （1）将点P坐标代入可求出n的值，得到，然后利用待定系数法求出，再把代入即可求出m的值； （2）求出点C坐标，可得，然后根据三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：把点代入得：， ∴， 把，代入得，， 解得：， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴，； （2）解：当时， 解得：， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 24．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与y轴交于点A，直线与y轴，x轴交于点B，点C，与交于点，连接，已知的长为4． (1)求点D的坐标及直线的解析式； (2)求的面积； (3)若直线上有一点P使得的面积等于的面积，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)，直线的解析式为 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数的性质及三角形面积的计算，解题的关键是数形结合． （1）把代入，即可求出坐标，再根据点和用待定系数法即可求出函数解析式； （2）先求出，再根据图象即可求解； （3）设，根据或即可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴将点代入得， ∴； ∵的长为4， ∴， 设直线的解析式为， 将点和代入得： ， 解得：， 故直线的解析式为； （2）解：令，得， ， ； （3）解：根据题意得：， 设， 令，得， ， 如图： ， 解得：， 或， 解得：， 故或． 25．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）如图，已知函数的图象与y轴交于点A，一次函数的图象经过点，与x轴以及的图象分别交于点C、D，且点D的坐标为． (1)求n、k、b的值； (2)求C点坐标； (3)求四边形的面积． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题主要考查了一次函数的综合应用： （1）把代入，可求出n，再把点，代入，求出k，b的值； （2）由（1）得：直线的解析式为，令，即可求解； （3）联立两函数解析式，可求出点D的坐标为，再求出点A的坐标为，然后根据四边形的面积，即可求解． 【详解】（1）解：把代入得：， ∴点D的坐标为， 把点，代入得： ，解得：； （2）解：由（1）得：直线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴点C的坐标为； （3）解：联立得：， 解得：， ∴点D的坐标为， 对于， 当时，， ∴点A的坐标为， ∵，点C的坐标为， ∴，， ∴四边形的面积 26．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线相交于点A，且点A的横坐标为，直线与坐标轴交于点E、B；直线与坐标轴交于点C、D，且． (1)求出直线的解析式； (2)求的面积； (3)坐标轴上是否存在点P，使得，若存在，请直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或或或 【分析】本题主要考查了求一次函数的解析式，坐标系中求三角形面积，已知三角形之间的面积关系求点的坐标，解题的关键是运用分类讨论思想． （1）先求得直线上的三点的坐标，再求得点C的坐标，于是可求得直线的解析式； （2）将的面积分割成x轴上下的两个三角形面积之和即可求解； （3）分点P在x轴与y轴两种情况讨论，并注意点P在每条坐标轴上所有可能的位置，得出点P坐标的四种情形． 【详解】（1）解：对于直线， 令，得，则； 令，得，则； 令，得，则． ∴，即， ∴．则． 设直线的解析式为：． 将点与点的坐标代入上式得： ，解得：． ∴直线的解析式为：． （2）由与可得：． 又知点A与点B纵坐标分别为， ∴． 即的面积为． （3）存在．分两种情况讨论： ①点P在x轴上时，设点P的横坐标是x． ∵，点 ∴，即， ∴． ∴或． ∴或． ②点P在y轴上时，设点P的纵坐标是y ∵，点 ∴，即， ∴． ∴或． ∴或． 综合①与②可知，或或或． 一、单选题 1．（23-24八年级下·湖南邵阳·期末）如图，直线与直线相交于点根据图象可知，关于x的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是能从图象中得到正确信息．先求出的值，根据直线在直线的上方时，即可得出结论． 【详解】解：点在直线上， ，解得， ， 根据图象可得：不等式的解集为：， 故选：A 2．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，直线与交于点，则关于的二元一次方程组的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）， 直接根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解得到答案，函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解是解题的关键． 【详解】解：∵直线与交于点， ∴关于的二元一次方程组的解为， 故选：A． 二、填空题 3．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，一次函数与的图象相交于点，则不等式的解集是 ．    【答案】 【分析】结合函数图象写出在上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：∵一次函数与的图象相交于点， ∴由图象可得，关于的不等式的解集为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于一次函数的值自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在直线上方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 4．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知正比例函数与一次函数的图象如图所示，则关于x的一元一次不等式组的解集是 ． 【答案】/ 【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式组，根据图象分别求得每个不等式的解集，即可求解，利用数形结合的数学思想是解题关键． 【详解】解：由图象可知正比例函数与一次函数交于点， 则由图象得的解集为，的解集为， ∴不等式组的解集是 故答案为：． 5．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，已知一次函数和的图象交于点P，则根据图象可得，关于x、y的二元一次方程组的解为 ．    【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解与两个函数图象交点坐标的关系，根据函数图象可以得到两个函数交点坐标，从而可以得到两个函数联立的二元一次方程组的解． 【详解】解：观察图象可知两个函数图象交于点， 即同时满足两个函数解析式， 所以关于x、y的二元一次方程组的解是， 故答案为：． 三、解答题 6．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴，轴分别交于点，，且与直线：相交于点． (1)求和的值． (2)直线，与轴围成的三角形面积为___________． (3)的解集为___________． 【答案】(1) (2)4 (3) 【分析】（1）先把C点坐标代入中可求得a的值，然后把C点坐标代入中可求得k的值； （2）先解方程可得到B点坐标，然后利用三角形面积公式计算直线，与轴围成的三角形面积； （3）结合图象，写出两函数图象在轴上方(含B点)且直线在直线上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】（1）解:把代入得 , 解得： 把代入得， 解得 （2）解：由（1）可得直线的解析式为，直线的解析式为 当时, 解得, 点坐标为 直线与与轴围成的三角形面积为： （3）解：结合图象, 的解集为 【点睛】此题考查了一次函数解析式，函数图像与坐标轴交点问题，直线围成的图形面积问题，解不等式问题，利用数形结合思想是解题关键． 7．（23-24八年级下·湖南益阳·期末）综合与实践：利用函数图象探究．的性质及函数与不等式的关系． 下面是创新组的探究过程，请补充完整： (1)列表：如下表是x与y的几组对应值，则_____，____． x … 0 n 2 3 4 … y 2 m 0 (2)在平面直角坐标系中，描出表中以各对x、y的值为坐标的点，并画出该函数的图象； (3)请根据画出的图象，探究一条该函数的性质： ______； (4)已知直线过点与，结合函数图象直接写出关于x的不等式的解集为______． 【答案】(1)0，1 (2)见解析 (3)①图象由两条有公共端点的射线组成；②当时，函数有最小值为－3；③当时，y随x的增大而增大；④当时，y随x的增大而减小；⑤函数图象关于直线对称，……（只需写一条） (4)或 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，一次函数与不等式的关系，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）根据已知函数式，求出对应函数值和自变量值即可； （2）根据表中各对x、y的值描出坐标的点，即可得到函数图象； （3）根据函数图象写出性质即可； （4）利用描点法画出函数的图象，再找出函数的图象在函数图象上方的部分，即可得到解集． 【详解】（1）解：当时，， 当时，，解得， ，， 故答案为：0，1； （2）解：函数图象如下图： （3）解：观察图象，得到该函数的性质：①图象由两条有公共端点的射线组成； ②当时，函数有最小值为－3； ③当时，y随x的增大而增大； ④当时，y随x的增大而减小； ⑤函数图象关于直线对称，…（只需写一条）； （4）解：由图象可知，函数与的交点坐标为和， 当或，函数的图象在函数图象的上方， 不等式的解集为或， 故答案为：或． 8．（23-24八年级下·湖南岳阳·期末）如图，直线与轴交于点，点关于轴的对称点为，经过点和轴上的点的直线设为． (1)求点的坐标； (2)确定直线对应的函数表达式； (3)根据图象，请直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】(1) (2)直线对应的函数表达式为； (3) 【分析】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象和性质，一次函数与一元一次不等式等知识点，能求得两直线交点的横坐标是解此题的关键． （1）利用直线解析式求得点坐标，利用关于轴的对称点的坐标的特征解答即可； （2）利用待定系数法解答即可； （3）先求得两直线交点的横坐标，结合函数的图象求出不等式的解集即可． 【详解】（1）解：令，则， ， ． 点关于轴的对称点为， ； （2）解：设直线的函数表达式为， ， 解得：， 直线对应的函数表达式为； （3）解：联立得，解得， 关于的不等式的解集为：． 9．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点A，与y轴交于点D，直线：与x轴交于点，与相交于点． (1)求直线的解析式； (2)求四边形的面积； (3)若点M为x轴上一动点，过点作垂直于x轴的直线，与直线交于点Q．若，请直接写出所有符合题意的点Q的坐标． 【答案】(1)直线的解析式为 (2) (3)点Q的坐标为或 【分析】（1）先求出点C的坐标，然后用待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出点A、B的坐标，得出，然后根据求出结果即可； （3）先求出点Q的坐标为：，得出，求出，分两种情况，当点Q在点C的上方时，当点Q在点C的下方时，分别求出点Q的坐标即可． 【详解】（1）解：∵直线：与相交于点， ∴， 解得， ∴，         设直线的表达式为， 把点，代入得： ∴， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：当时，， ∴直线与y轴的交点D的坐标为， ∴， 当时，，， ∴直线与x轴的交点A的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：∵过点作垂直于x轴的直线，与直线交于点Q， ∴点Q的坐标为：， ， ∴， 当点Q在点C的上方时，如图所示： ， 解得：， ∴此时点Q的坐标为； 当点Q在点C的下方时，如图所示： ， 解得：， ∴此时点Q的坐标为； 综上分析可知，点Q的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点问题，求直线所围成的图形面积，解题的关键是画出图形，数形结合，熟练掌握待定系数法． 10．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，直线：与直线：相交于点，与x轴分别交于A，B两点．    (1)求直线的表达式，并结合图象直接写出关于x，y的方程组的解； (2)求的面积； (3)若垂直于x轴的直线与直线，分别交于点C，D，线段的长为2，求a的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数的图像和性质，两条直线相交或平行问题以及三角形面积，熟练掌握一次函数的图像和性质是解题的关键． （1）将点代入，求出点的坐标，再将点代入直线，求出的值，即可得到答案； （2）根据解析式求出的坐标，然后根据三角形面积公式即可求出答案； （3）根据题意求出的坐标，结合的长为2，得到关于的含绝对值符号的一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：把点代入，得， ． 把点P坐标代入，得， ， 直线的表达式为， 则方程组的解为； （2）解：：，：， ，， ， ； （3）解：直线与直线的交点C为， 与直线的交点D为． ， ， 即， ∴或， 或． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$