专题02 直角三角形（2）（5大考点经典基础练+优选提升练）（湖南专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期末真题分类汇编

专题02 直角三角形（2） 题型概览 题型01判断三边能否构成直角三角形 题型02利用勾股定理的逆定理求解 题型03用HL证全等 题型04全等的性质和HL综合 题型05角平分线的性质定理 ( 题型01 ) 判断三边能否构成直角三角形 1．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（   ） A．2，3，4 B．1，1， C．1，，2 D．8，15，17 2．（23-24八年级下·湖南娄底·期末）若三角形的三边长分别等于下列各组数，则能构成直角三角形的是（   ） A．1，2，3 B．3，4，5 C．2，3，5 D．6，8，12 3．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）已知的三边a，b，c满足，则一定是 三角形． 4．（23-24八年级下·湖南娄底·期末）勾股定理，中国周朝的商高在毕达哥拉斯提出前1000年就已使用，但毕达哥拉斯证明了它的普遍性．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（    ） A．1、2、3 B．4、5、6 C．1、、 D．9、12、15 5．（23-24八年级下·湖南永州·期末）以下不能构成直角三角形三边的数组是（   ） A．（1，，2） B．（2，3，） C．（5，12，13） D．（7，15，17） 6．（23-24八年级下·湖南·期末）在中， 的对边分别为a，b，c，下列条件中可以判断的是（   ） A． B． C． D． ( 题型02 ) 利用勾股定理的逆定理求解 7．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）一个三角形的三边长的比为，且其周长为，则其面积为 . 8．（23-24八年级下·湖南湘西·期末）如图所示，四边形中，，，，，． (1)求证：是直角三角形； (2)求四边形的面积． 9．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，在中，是边上一点，，，． (1)求证：； (2)若，求的长． 10．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，点在中，，，求图中阴影部分的面积． 11．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，在四边形中，，，，，且． (1)求证：是直角三角形； (2)求四边形的面积． ( 题型03 ) 用HL证全等 12．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，在和中，，，若要用“斜边、直角边”直接证明，则还需补充条件： ． 13．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，点是内一点，且点到、的距离相等．则的理由是（   ） A． B． C． D． 14．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，点E，F在线段BC上，，，，求证：． 15．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，，，垂足分别为、，且，则与全等的理由是（    ）    A．SAS B．AAS C．SSS D．HL 16．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，，，求证：． ( 题型0 4 )全等的性质和HL综合 17．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）如图，是的高，E是上一点，连接． (1)求证：； (2)若，求线段和的长． 18．（23-24八年级下·湖南永州·期末）如图，点，，，在同一直线上，，，． 求证：． 19．（23-24八年级下·湖南永州·期末）已知：如图，，且，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 20．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，中，，于E．． (1)求证：平分． (2)若, ．求的长． 21．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，在中，，点位于上，过点作，为垂足，且． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 22．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，点C、E、B、F在一条直线上，于B，于E，，． 求证：． ( 题型0 5 )角平分线的性质定理 23．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，在中，，平分，交于点D，已知，则的面积为（    ）    A．80 B．60 C．20 D．10 24．（23-24八年级下·湖南娄底·期末）如图，在的外角的平分线上任取一点P，作于E，于F，则 ． 25．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，已知，平分，点P在上，于点D，，点E是射线上的动点，则的最小值为（　　） A．4 B．2 C．5 D．3 26．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，在中，，平分，于点E，点F在上，且． (1)求证：； (2)请你判断与之间的数量关系，并说明理由． 27．（23-24八年级下·湖南株洲·期末）如图，平分，点为垂足，． (1)求证：； (2)若，四边形的面积为，求的长． 28．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，平分，于E，若． (1)求证：； (2)求与之间的等量关系． 一、单选题 1．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，于点D，于点F，．证明不是利用“”的条件是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·湖南张家界·期末）如图，点是的三个内角平分线的交点，若的周长为，面积为，则点P到边的距离是（ ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，于点 C，于点D，要根据“”直接证明 与全等， 则还需要添加一个条件是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·湖南·期末）下列数据中不能作为直角三角形的三边长是（    ） A．1、1、 B．5、12、13 C．3、4、5 D．4、6、10 二、填空题 5．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，在中，于点，为上一点，且，，连接，若为的中点，则 ． 三、解答题 6．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，已知，E、F在线段上，与交于点O，且．求证：． 7．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，在中，，点在上，点在的延长线上，连接、，且，．求证：是等腰直角三角形． 8．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，点C在线段上，点A、D在的同侧，，，且，，求证：． 9．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，于于和交于D，且，求证：平分．      10．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，一块四边形的土地，其中，，，，． （1）试说明； （2）求这块土地的面积． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 直角三角形（2） 题型概览 题型01判断三边能否构成直角三角形 题型02利用勾股定理的逆定理求解 题型03用HL证全等 题型04全等的性质和HL综合 题型05角平分线的性质定理 ( 题型01 ) 判断三边能否构成直角三角形 1．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（   ） A．2，3，4 B．1，1， C．1，，2 D．8，15，17 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理逆定理，根据勾股定理逆定理进行判断即可． 【详解】解：A、，不能作为直角三角形的三边长，符合题意； B、，能作为直角三角形的三边长，不符合题意； C、，能作为直角三角形的三边长，不符合题意； D、，能作为直角三角形的三边长，不符合题意； 故选A． 2．（23-24八年级下·湖南娄底·期末）若三角形的三边长分别等于下列各组数，则能构成直角三角形的是（   ） A．1，2，3 B．3，4，5 C．2，3，5 D．6，8，12 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形的判定，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理．根据勾股定理的逆定理，逐个验证两短边长的平方和是否等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、，不能构成直角三角形，不符合题意； B、，能构成直角三角形，符合题意； C、，不能构成直角三角形，不符合题意； D、，不能构成直角三角形，不符合题意； 故选：B． 3．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）已知的三边a，b，c满足，则一定是 三角形． 【答案】直角 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，将变形可得，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴一定是直角三角形， 故答案为：直角． 4．（23-24八年级下·湖南娄底·期末）勾股定理，中国周朝的商高在毕达哥拉斯提出前1000年就已使用，但毕达哥拉斯证明了它的普遍性．下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（    ） A．1、2、3 B．4、5、6 C．1、、 D．9、12、15 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，掌握“如果三角形三边满足：两条较短边的平方之和等于最长边的平方，则这个三角形是直角三角形”是解题的关键． 【详解】解：A、，不可以构成三角形，故不符合题意； B、，不可以构成直角三角形，故不符合题意； C、，不可以构成直角三角形，故不符合题意； D、，可以构成直角三角形，故符合题意． 故选：D． 5．（23-24八年级下·湖南永州·期末）以下不能构成直角三角形三边的数组是（   ） A．（1，，2） B．（2，3，） C．（5，12，13） D．（7，15，17） 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】A、因为，故能构成直角三角形； B、因为，故能构成直角三角形； C、因为，故能构成直角三角形； D、因为，故不能构成直角三角形； 故选：D． 6．（23-24八年级下·湖南·期末）在中， 的对边分别为a，b，c，下列条件中可以判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，据此先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴，即，故A不符合题意； B、∵， ∴， ∴，故B不符合题意； C、∵， ∴， ∴，故C不符合题意； D、∵， ∴， ∴，即，故D不符合题意； 故选：C。 ( 题型02 ) 利用勾股定理的逆定理求解 7．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）一个三角形的三边长的比为，且其周长为，则其面积为 . 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理；先设三角形的三边长分别为，，，再由其周长为求出的值，根据勾股定理的逆定理判断出三角形的形状，由其面积公式即可求解． 【详解】解：三角形的三边长的比为， ∴设三角形的三边长分别为，，， 其周长为， ，解得， ∴三角形的三边长分别是，，， ∵， 此三角形是直角三角形， ， 故答案为：． 8．（23-24八年级下·湖南湘西·期末）如图所示，四边形中，，，，，． (1)求证：是直角三角形； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，掌握这两个定理是关键； （1）由勾股定理求得的长，由勾股定理逆定理可判断即可； （2）由即可求解． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴． ∵，， ∴， ∴是直角三角形． （2）解：∵， ∴． 9．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，在中，是边上一点，，，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)14 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，即可解答； （2）利用（1）的结论可得：，然后在中，利用勾股定理求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】（1）证明：，，， ，， ， 是直角三角形， ， ； （2）解：， ， ，， ， ， ， 的长为14． 10．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，点在中，，，求图中阴影部分的面积． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的面积公式，勾股定理及其逆定理，利用所给条件准确运算是解决本题的关键． 【详解】解：在中，，， , 在中，， ， 即, , 的面积为, 的面积为, 阴影部分面积为， 故阴影部分面积为24． 11．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，在四边形中，，，，，且． (1)求证：是直角三角形； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)见解析； (2)6． 【分析】（1）在中，利用勾股定理求得的长，再在中，利用勾股定理的逆定理证明，即可证明结论； （2）根据，代入数据计算即可求解． 【详解】（1）证明：在中， ∵，，， 由勾股定理得，， ∴． 在中，，，． ∵ ∴． 由勾股逆定理可得，， ∴是直角三角形； （2）解： ． 【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理逆定理．关键是掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方；如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形． ( 题型03 ) 用HL证全等 12．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，在和中，，，若要用“斜边、直角边”直接证明，则还需补充条件： ． 【答案】 【分析】由，，即可推出，于是得到答案．本题考查直角三角形全等的判定，关键是掌握直角三角形全等的判定方法． 【详解】证明：在和中， ， ∴． 故答案为：． 13．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，点是内一点，且点到、的距离相等．则的理由是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，根据，，即可利用证明，据此可得答案． 【详解】解：∵点到、的距离相等， ∴， 又∵， ∴， 故选：A． 14．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，点E，F在线段BC上，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查全等三角性的判定及性质，注意先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件是解答此题的关键． 首先得到，然后利用证明． 【详解】证明：∵， ∴，即， 在和中 ∴． 15．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，，，垂足分别为、，且，则与全等的理由是（    ）    A．SAS B．AAS C．SSS D．HL 【答案】D 【分析】根据题中的条件可得和是直角三角形，再根据条件，可根据定理判定． 【详解】解：，， ， 在和中 ， ． 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、，解题的关键是结合已知条件在图形上的位置选择恰当的判定方法． 16．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据直角三角形定理，即可求解， 本题考查了，直角三角形定理，解题的关键是：熟练掌握应用定理证明三角形全等． 【详解】证明：， 和都是直角三角形． 在和中， ， ． ( 题型0 4 )全等的性质和HL综合 17．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）如图，是的高，E是上一点，连接． (1)求证：； (2)若，求线段和的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、根据面积等式求线段的长度等知识， （1）由是的高，得，进而即可根据“”证明； （2）由全等三角形的性质得，再由，即可得，的长； 熟练掌握其性质并能灵活选择全等三角形的判定定理证明是解决此题的关键． 【详解】（1）证明：是的高， ， 在和中， ， ； （2）， ，                ， ， ∵， ， ，． 18．（23-24八年级下·湖南永州·期末）如图，点，，，在同一直线上，，，． 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考考查了利用“”证明两直角三角形全等的知识，熟练掌握直角三角形全等的判定方法是解决问题的关键．利用“”证明，即可作答． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴、是直角三角形， 在和中，， ∴， ∴． 19．（23-24八年级下·湖南永州·期末）已知：如图，，且，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． （1）利用“”证明，即可得出结论； （2）由三角形内角和定理，得到，再根据全等三角形的性质，即可求出的度数． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 即， 又， 在与中： ， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 20．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，中，，于E．． (1)求证：平分． (2)若, ．求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，勾股定理，证明三角形全等是解题的关键． （1）由“”可证，即可证得结果； （2）由全等三角形的性质可得，，由勾股定理可求解． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ， ， 平分； （2），， ， ， ，， ， 在中，， ， ． 21．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，在中，，点位于上，过点作，为垂足，且． (1)求证：； (2)如果，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）利用即可证明； （）由勾股定理得，由全等三角形的性质得，进而得，设，则，在中，由勾股定理得，解方程即可求解； 本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， 在中， ， 即， 解得， ∴的长． 22．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，点C、E、B、F在一条直线上，于B，于E，，． 求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，利用证得，再根据全等三角形的性质可得是解题的关键． 【详解】证明：证明：∵，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴即． ( 题型0 5 )角平分线的性质定理 23．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，在中，，平分，交于点D，已知，则的面积为（    ）    A．80 B．60 C．20 D．10 【答案】B 【分析】解：本题考查了角平分线性质，作辅助线灵活运用角平分线性质；过点D作，垂足为E，根据角平分线性质得到，再用三角形面积即可求出答案． 【详解】解：过点D作，垂足为E，    ∵平分，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 24．（23-24八年级下·湖南娄底·期末）如图，在的外角的平分线上任取一点P，作于E，于F，则 ． 【答案】/大于 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形三边关系的应用，先根据角平分线的性质得出，再根据三角形三边关系得出，即可得出结果． 【详解】解：∵平分，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 25．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，已知，平分，点P在上，于点D，，点E是射线上的动点，则的最小值为（　　） A．4 B．2 C．5 D．3 【答案】D 【分析】题考查了垂线段最短以及角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质及垂线段最短的实际应用．过作，根据垂线段最短即可求出最小值． 【详解】解∶∵，平分， ∴， ∵，， ∴， 过作于点，      ∵，平分， ∴， ∵点是射线上的动点， ∴的最小值为3， 故选：C． 26．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，在中，，平分，于点E，点F在上，且． (1)求证：； (2)请你判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查的是角平分线的性质，全等三角形的性质与判定： （1）根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质证明即可； （2）证明，根据全等三角形的性质证明，再根据线段的和差关系即可得到结论． 【详解】（1）证明：是的平分线，，， ， 在和中， ， ， ； （2）解：，理由如下： 在和中， ， ， ， ∵， ∴． 27．（23-24八年级下·湖南株洲·期末）如图，平分，点为垂足，． (1)求证：； (2)若，四边形的面积为，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理求线段长度的综合，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据角平分线的性质可得，根据全等三角形的判定和性质即可求解； （2）根据角平分的性质可得，结合（1）中，可得，由此可得的值，在中，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， 又， ∴， ∴； （2）解：， ∴， 又， ∴，且， ∴， ∴， ∵， ∴． 28．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，平分，于E，若． (1)求证：； (2)求与之间的等量关系． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，角平分线的性质． （1）过点P作于F，由角平分线定理求得，利用证明，推出，据此即可证明； （2）利用证明，推出，进一步计算即可得到． 【详解】（1）证明：过点P作于F， ∵平分，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：， 证明：∵平分，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 一、单选题 1．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，于点D，于点F，．证明不是利用“”的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了直角三角形全等的判定，掌握斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等是解答本题的关键．根据直角三角形全等的判定方法进行判断即可． 【详解】解：∵于点D，于点F，． ∴， ∵， ∴补充：或， 可得：，故A，C不符合题意； 补充， ∴， ∴，故D不符合题意； 补充， ∴， ∴，故B符合题意； 故选B 2．（23-24八年级下·湖南张家界·期末）如图，点是的三个内角平分线的交点，若的周长为，面积为，则点P到边的距离是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．过点P作于D，于E，于F，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【详解】解：过点P作于D，于E，于F，如图， ∵点P是的内角平分线的交点， ∴， 又的周长为，面积为， ∴， ∴ ∴ ∴点P到边的距离是3cm 故选：A． 3．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，于点 C，于点D，要根据“”直接证明 与全等， 则还需要添加一个条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了添加一个条件使得三角形全等，根据HL定理的条件进行判断即可； 【详解】解：∵，， ∴当时，． 当时，． 故选D． 4．（23-24八年级下·湖南·期末）下列数据中不能作为直角三角形的三边长是（    ） A．1、1、 B．5、12、13 C．3、4、5 D．4、6、10 【答案】D 【分析】根据勾股定理的逆定理进行计算分析，从而得到答案． 【详解】A、12+12=（）2，能构成直角三角形，故选项错误； B、52+122=132，能构成直角三角形，故选项错误； C、32+42=52，能构成直角三角形，故选项错误； D、42+62≠102，不能构成直角三角形，故选项正确． 故选：D． 【点睛】此题考查了勾股定理的逆定理，解题关键在于掌握已知三角形ABC的三边满足a2+b2=c2，则三角形ABC是直角三角形． 二、填空题 5．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，在中，于点，为上一点，且，，连接，若为的中点，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，角平分线的性质，等腰直角三角形的性质等知识．证明，由全等三角形的性质得出，证出，过点作于点，作于点，由全等三角形的性质得出，，得出，由角平分线的性质，再根据，求出的长，最后利用等腰直角三角形的性质得出结论． 【详解】解：， ， ，， ， ， ， ， ， ， 如图，过点作于点，作于点， ， ，， ，， ， 平分； ， ， ，为的中点， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题 6．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，已知，E、F在线段上，与交于点O，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，由，得，即可用证明，即可证明． 【详解】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 7．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，在中，，点在上，点在的延长线上，连接、，且，．求证：是等腰直角三角形． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和全等三角形的性质和判定，求出，根据全等三角形的判定定理推出，根据全等三角形的性质得出，再根据等腰三角形的判定推出即可． 【详解】解：， ， 在和中 ， ， ， 又 是等腰直角三角形． 8．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，点C在线段上，点A、D在的同侧，，，且，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理．熟练掌握全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理是解题的关键． 证明，则．由，可得，则，进而结论得证． 【详解】证明：∵，， ∴． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 9．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，于于和交于D，且，求证：平分．      【答案】见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的判定和全等三角形的性质和判定，解题的关键是根据“角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上”证得结论． 先根据定理得出，故可得出，由此可得出结论． 【详解】证明：∵于于E， ∴． 在与中， ， ∴， ∴， ∴平分． 10．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，一块四边形的土地，其中，，，，． （1）试说明； （2）求这块土地的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【分析】（1）先根据勾股定理求出BD的长度，然后根据勾股定理的逆定理，即可证明BD⊥BC； （2）根据两个直角三角形的面积即可求解． 【详解】（1）如图，在Rt△ABD中，∠BAD=90°，AB=4m，AD=3m，由勾股定理得：BD=5m， ∵BC=13m，CD=12m，BD=5m. ∴BD2+DC2=BC2， ∴∠BDC=90°， 即BD⊥DC； （2）如图，四边形ABCD的面积是 S△ABD+S△BDC=×3×4+×5×12=36． 【点睛】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理、三角形面积公式等知识，解题的关键是用勾股定理逆定理推出直角三角形，再求三角形面积． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$