专题01 直角三角形（考点清单，知识导图+4个考点清单&题型解读）-2024-2025学年八年级数学下学期期末考点大串讲（湘教版）

清单01 直角三角形（4个考点梳理+题型解读+提升训练） 清单01 直角三角形的性质和判定（Ⅰ） 1.直角三角形的两个锐角互余。 2.有两个角互余的三角形是直角三角形。 3.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 逆定理：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的角等于30° 4.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 清单02 直角三角形的性质和判定（II） 1.勾股定理:直角三角形两直角边a,b的平方和,等于斜边c的平方,即 方法技巧：勾股定理的证明方法很多，可通过对图形的割补、拼接等方法,利用图形面积之间的关系进行证明，也可把直角三角形放在方格中,通过数格子、计算或用求面积的方法证明. 2.运用勾股定理求解线段长度问题的“三步法” (1)找直角:找出图中的直角三角形,或作辅助线构造直角三角形. (2)定关系:找出所求线段与直角三角形三边的关系. (3)求值:根据勾股定理计算相关线段的长度. 3.如果三角形的三条边长a,b.c满足关系,那么这个三角形是直角三角形, 清单03 直角三角形全等的判定 斜边、直角边定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”).清单04 角平分线的性质 1.角的平分线上的点到角的两边的距离相等 2.角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 【考点题型一】利用直角三角形的性质（Ⅰ）计算（） 【例1】如图，已知直线，，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余，平行线的性质，由直角三角形两锐角互余可得，再根据两直线平行，同位角相等求解即可，掌握以上知识点是解题关键． 【详解】解：，， ， ∴， ， 故答案为：． 【变式1-1】如图，在中，是高，是角平分线，，，求的度数．    【答案】 【分析】根据三角形内角和和角平分线求出，根据三角形的内角和等于求出的度数，然后根据角的关系求出即可． 本题考查了三角形的角平分线，主要利用了直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，熟记各性质并准确识图是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是角平分线， ∴ ∵是高， ∴ ∴ ∴． 【变式1-2】如图，在中，于点F，于点E，M为的中点，若，，求的周长． 【答案】14 【分析】本题考查了直角三角形的性质，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，然后根据三角形的周长的定义解答． 【详解】解：∵，M为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴的周长． 【变式1-3】.如图，在中，，边的垂直平分线交于点D，垂足为E，平分． (1)求的度数； (2)求证：； (3)若，点P是直线上的动点，求的最大值． 【答案】(1)30° (2)见解析 (3)2 【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到，进而得到．由角平分线的概念得到，进而利用三角形内角和定理求解即可； （2）根据含角直角三角形的性质得到，进而求解即可； （3）作C点关于直线的对称点，根据角平分线的定义可判断在直线上，连接的直线就是，则当P点和A点重合时，最大，即可求解． 【详解】（1）解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）证明∶ ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解∶ 作C点关于直线的对称点， ∵平分． ∴在直线上， ∴连接的直线就是， ∴当P点和A点重合时，最大， 此时的最大值为， ∵， ∴的最大值为2． 【点睛】本题考查垂直平分线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质和含角直角三角形的性质，轴对称的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 【考点题型二】利用直角三角形的性质（Ⅰ）证明（） 【例2】如图：在中，、分别是、两边上的高． (1)求证：； (2)当时，与的位置关系如何，请说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见详解 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，三角形的高线，全等三角形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由三角形的高线，得出，再结合直角三角形的两个锐角互余，即可作答． （2）先由得出，根据三角形的高线，得出，再结合直角三角形的两个锐角互余，以及角的等量代换，即可作答． 【详解】（1）解：∵、分别是、两边上的高． ∴， ∵， ∴ ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵是两边上的高． ∴， ∴， 即， ∴， ∴． 【变式2-1】已知：在中，，点D是边上一点，． (1)求证：； (2)过点B作于点E，试说明． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质是解决问题的关键． （1）设，根据等腰三角形的性质得，进而得，再根据三角形外角性质得，则，由此即可得出结论； （2）根据得，再根据即可得出结论． 【详解】（1）证明：设， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：由（1）可知，，， ∵ ∴， ∴， ∴ 【变式2-2】如图，在中，，点在边上，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，． (1)求证：； (2)若时，求的长； (3)点在上运动时，试探究的值是否存在最小值，如果存在，求出这个最小值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)的值存在最小值，这个最小值为18 【分析】（1）先根据旋转的性质可得，从而可得，再利用定理即可得证； （2）先根据等腰三角形的性质和勾股定理可得，，从而可得，再根据全等三角形的性质可得，，然后利用勾股定理可得的长，最后在中，利用勾股定理求解即可得； （3）先求出，，再根据垂线段最短可得当时，的值最小，根据等腰三角形的性质和直角三角形斜边上的中线可得的最小值为，由此即可得． 【详解】（1）证明：∵将绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：∵在中，， ∴，，， ∵， ∴， 由（1）已证：， ∴，， ∴， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∴． （3）解：由上已得：，，， ∴， ∵将绕点逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∴， ∴当的值最小时，的最小， 由垂线段最短可知，当时，的值最小，最小值为， ∴的最小值为， 所以的值存在最小值，这个最小值为18． 【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线、二次根式的应用等知识，熟练掌握等腰三角形和旋转的性质是解题关键． 【变式2-3】如图所示，和都是等腰直角三角形，是的中点，．    (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质 根据，可以得到，又由是的中点,所以，即可证得； 由和可以得到，于是可求得，即可求得答案. 【详解】（1）解：证明：和都是等腰直角三角形，， ． ． 又是的中点， ． ． ． （2）解：，见答图，    ． ， ． ，， ． ． 在中，是的中点， ． 【变式2-4】如图，中，． (1)试说明是的高； (2)如果 ，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）由等量代换可得到，故是直角三角形，即； （2）由面积法可求得的长． 【详解】（1）∵ ∴ ∵ ∴ ∴是直角三角形，即， ∴是的高； （2）∵ ∴， ∵， ∴． 【点睛】此题考查了同角的余角相等，三角形的面积，直角三角形的判定，正确理解直角三角形的判定是解题的关键． 【考点题型三】用勾股定理解三角形（） 【例3】如图，在中，，，为的中点，，则的长是 【答案】 【分析】首先延长到，使，连接，构造，利用全等三角形的性质可求、，从而可得，从而可得：，利用勾股定理可求，从而可得的长度． 【详解】解：如下图所示，延长到，使，连接， 为的中点， ， 在和中，， ， ，， ， ， ， 又 ， ， 在中，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理，解决本题的关键是利用倍长中线法构造直角三角形，利用直角三角形的性质求出的长度． 【变式3-1】如图，在中，，于点，点为的中点，连接，已知，，求的长． 【答案】 【分析】此题考查了直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的性质，熟记三角形斜边中线的性质、等腰三角形的性质是解题的关键．先根据等腰三角形三线合一性质求出的长，再根据勾股定理求得的长，进而可求得的长． 【详解】解，，于点， ． ， ． 于点， ， 在中，． ， ， 为的中点， ． 【变式3-2】如图，在四边形中，，相交于点为边上一点，且． (1)求证：； (2)求的度数（用含的代数式表示）； (3)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）首先得到垂直平分线段，然后结合，即可得到； （2）首先得到，然后利用三角形内角和定理求解即可； （3）如图，连接、过点作于点，首先证明出，然后利用勾股定理求出，得到，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：， 垂直平分线段， ， 又， ； （2）解：垂直平分线段， ∴， 又， ∴， ， ， ， ∵， ∴， ，， ∴， ∵， ， ， ； （3）解：如图，连接、过点作于点， 垂直平分线段， ， 又， ∴， ∴， ∴ 设，则， ， ∴， 又， ， ， ， 又， ∵， ， ， 在和中，由勾股定理得， ， ， ∵， ， 解得：，（舍去）， ， ， 又， 在中，． 【点睛】此题考查了垂直平分线的性质，等角对等边，勾股定理，三角形内角和定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【变式3-3】如图，在中，，，，直线垂直平分线段交于点D，求的长． 【答案】4 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，连接，由线段垂直平分线的性质得出，再根据勾股定理求出即可． 【详解】解：连接 ∵垂直平分 ∴ 在中 ． 【考点题型四】勾股定理与网格问题（） 【例4】如图，边长为1的正方形网格图中，点都在格点上，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，二次根式的减法； 根据勾股定理求得的长度，然后根据线段的和差即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：C． 【变式4-1】如图，在6×6方格中，点A，B，C均在格点上，的对称轴经过格点（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设小正方形的边长为1，根据勾股定理，得，根据线段的垂直平分线性质解答即可． 本题考查了勾股定理，线段的垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：设小正方形的边长为1，根据勾股定理，得， ， 故是的垂直平分线，也是等腰三角形的对称轴， ，不在的垂直平分线上， 同理可证，，都不在的垂直平分线上， 故选：C． 【变式4-2】如图，在边长为1的小正方形网格中，的顶点均在格点上，则点到线段的距离为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形面积，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 过点作于点，得到，，得出，求出，即可得到答案． 【详解】解：如图，过点作于点， 根据题意得：，， ， ， ， 点到线段的距离为， 故答案为：C． 【变式4-3】在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查勾股定理，三角形全等的判定和性质，先根据勾股定理求出，，，，然后证明，即可得出结论． 【详解】证明：由题图可得，， ， ， ， ， ∴，， 在和中 ∴， ∴． 【考点题型五】勾股定理与折叠问题（） 【例5】如图，在中，，，，是的中点，是上一点，连接、．将沿翻折，点落在上的点处，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，勾股定理求出的长，折叠得到，，设，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵，，，D是边的中点， ∴， ∴， ∵将沿翻折，点C落在上的点F处， ∴，， ∴， 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：； ∴； 故选：A． 【变式5-1】如图，将长方形纸片对折，折痕为，然后展开，点为上一点，再将沿折叠，使点落到上的点处，若，则的长为（    ）    A． B．4 C． D．3 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理的运用，理解折叠的性质，掌握勾股定理的运用是关键． 根据折叠得到，，，由勾股定理得到，如图所示，过点作，则，设，则，在中，，由此列式求解即可． 【详解】解：将长方形纸片对折，折痕为， ∴，， ∵将沿折叠，使点落到上的点处， ∴， ∴， 如图所示，过点作，则，    ∴四边形是矩形， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，， ∴， 故选：C ． 【变式5-2】如图，在中，，D、E分别是斜边和直角边上的点．把沿着直线折叠，顶点B的对应点是点．若点落在直角边的中点上，则的长是（   ） A． B．4 C．5 D． 【答案】D 【分析】根据题意，得，，则， 根据勾股定理，得，解答即可． 本题考查了折叠的性质，勾股定理，熟练掌握定理和性质是解题的关键． 【详解】解：∵，沿着直线折叠，顶点B的对应点是点．且点落在直角边的中点上， ∴，， 则， 根据勾股定理，得， 解得， 则， 故选：D． 【变式5-3】已知，如图长方形中，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理的运用，理解折叠的性质，掌握勾股定理是解题的关键． 根据题意，设，则，在中由勾股定理得到，则，结合三角形面积的计算公式即可求解． 【详解】解：根据折叠可得，， ∴设，则， 在中，， ∴， 整理得，， 解得，， ∴， ∴， ∴的面积为， 故选：D ． 【变式5-4】.如图，在中，已知，D为上一点，沿将折叠，C点刚好落在边上的点E处，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠和勾股定理，先求得，再设，则，利用勾股定理列方程即可，熟练利用方程思想是解题的关键． 【详解】解：， ， 由折叠得到， ，， ， 设，则， 根据勾股定理可得， 即， 解得， ， 故答案为：． 【变式5-5】如图所示，有一块直角三角形纸片，，将斜边翻折，使点B落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，正确利用勾股定理结合方程的思想求解是解题的关键． 先利用勾股定理求出，根据折叠的性质可知：，，进一步求出，设，则，由勾股定理得，解方程即可求解． 【详解】解：， ， 根据翻折可得， ， 设，则． 在直角三角形中，由勾股定理得： 解得：， ∴． 【考点题型六】勾股定理的证明方法（） 【例6】下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（   ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是掌握勾股定理的证明方法．根据各个图象，利用面积的不同表示方法，列式证明结论，找出不能证明的那个选项． 【详解】解：A．∵，整理，得，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； B．根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意． C．∵．∴整理，得，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； D．∵，整理，得，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意； 故选：B． 【变式6-1】现有4个全等的直角三角形（阴影部分），直角边长分别为a、b，斜边长为c，将它们拼合为如图的形状．用两种不同的方法计算整个组合图形的面积，可以证明勾股定理， (1)请将证明过程补充完整：方法一：以c为边的正方形的面积+两个直角三角形的面积，即最后化简为__________；方法二：以a和b为边的两个小正方形的面积+两个直角三角形的面积，即最后化简为__________；根据面积相等，直接得等式__________，化简最后结果是__________． (2)当时，求空白部分的面积． 【答案】(1) (2)13 【分析】本题考查了勾股定理的几何背景，代数式求值，正确识图是解题的关键． （1）根据题意和图形即可求解； （2）根据空白部分的面积等于以c为边的正方形的面积减去2个直角三角形的面积可得空白部分的面积为，再把代入计算即可求解． 【详解】（1）解：方法一：以c为边的正方形的面积+两个直角三角形的面积为：， 即最后化简为； 方法二：以a和b为边的两个小正方形的面积+两个直角三角形的面积，即最后化简为； 根据面积相等，得：， 化简最后结果是， 故答案为：； （2）解：根据题意得：空白部分的面积为：， 当时，原式． 【变式6-2】【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得出结论．这里用两种求法表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】 千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜．某数学爱好者构造发现了以下证法：把两个全等的直角三角形和直角三角形按如图2所示放置，其三边长分别为，，显然． ①请用分别表示出梯形的面积________，的面积________；并求出四边形的面积（用含c的式子表示，要写过程） ②请利用①中这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理； 【方法迁移】 （1）如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得到，则边上的高为________； （2）如图4，在中，是边上的高，，，，设，求x的值． 【答案】方法应用：①；；；②见解析；方法迁移：（1）；（2） 【分析】此题主要考查了梯形，证明勾股定理，勾股定理的应用，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，是解本题的关键．构造出直角三角形是解本题的难点． 方法应用：①根据题意表示出三个图形的面即可；②根据可证； 方法迁移： （1）计算出的面积，再根据三角形的面积公式即可求得边上的高； （2）运用勾股定理在和中求出，列出方程求解即可； 【详解】解：【方法运用】： ①由题意得，，，； 故答案为：①；；； ②∵， ∴， ∴， ∴； 【方法迁移】： （1）设边上的高为h， ， ， ， ∴， 即边上的高是； 故答案为：； （2）在中，由勾股定理得 ， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ， ∴， ∴． 【变式6-3】现有4个全等的直角三角形（阴影部分），直角边长分别为，，斜边长为，将它们拼成如图的形状．根据该图，可以用两种不同的方法计算整个图形的面积，通过面积相等来证明勾股定理，请你将下面的证明过程补充完整． 证明：添加辅助线，如图， 整个图形的面积有两种表示方法： 方法一：以为边的正方形的面积+两个直角三角形的面积，列式后化简，得________； 方法二：以和为边的两个小正方形的面积＋两个直角三角形的面积，列式后化简，得________； 根据面积相等，得到等式________， 化简这个等式，得________， 从而证明了勾股定理． 【答案】，，， 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，正确理解题意是解题关键．利用两种方法表示出整个图形的面积，根据面积相等得到等式并化简，即可获得答案． 【详解】证明：添加辅助线，如图， 整个图形的面积有两种表示方法： 方法一：以为边的正方形的面积两个直角三角形的面积，列式后化简，得； 方法二：以和为边的两个小正方形的面积两个直角三角形的面积，列式后化简，得； 根据面积相等，得到等式， 化简这个等式，得，从而证明了勾股定理． 故答案为：，，，． 【考点题型七】勾股定理的应用（） 【例7】数学兴趣小组为测量学校与河对岸的科技馆之间的距离，在的同岸选取点，测得，，，如图，据此可求得之间的距离为（    ） A． B． C． D．30 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形，勾股定理，利用勾股定理求解线段长度是解此题的关键． 根据等腰直角三角形的性质，利用勾股定理计算即可求解． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴， ∴AB＝， 故选：B． 【变式7-1】《九章算术》有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？这道题的意思是：有一个正方形的池塘，边长为1丈（1丈尺），有一棵芦苇生长在池塘的正中央，并且芦苇高出水面部分有1尺，如果把芦苇拉向岸边则恰好碰到岸沿，则芦苇的高度为（    ） A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理进行计算即可．设水深尺，则芦苇长尺，根据勾股定理列式进行计算即可． 【详解】解：丈尺， 设水深尺，则芦苇长尺， 根据勾股定理得：， 解得， 芦苇的长度为， 故选D． 【变式7-2】如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． 当地毯铺满楼梯时，其长度是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，根据勾股定理求得水平宽度，然后求得地毯的长度即可． 【详解】解：由勾股定理得： 楼梯的水平宽度， ∵地毯铺满楼梯所需长度是楼梯的水平宽度与垂直高度的和， ∴地毯的长度至少是． 故选：C． 【变式7-3】《九章算术》“勾股”章节中记载了一个“折竹抵地”的问题：“今有竹高1丈8尺，末折抵地、去木6尺、向折者高几何？”译文：如图，今有竹垂直于地面，折断前竹高为1丈8尺.折断后竹梢触地、触地点离根部6尺，问折断处的高是 尺.（1丈尺） 【答案】8 【分析】本题考查勾股定理的实际应用．由竹子的原高可得出竹梢到折断处的长度为尺，利用勾股定理，即可得出关于x的方程，此题得解． 【详解】解：∵一根竹子原来高尺，设折断处离地面的高度为x尺， ∴竹梢到折断处的长度为尺， 依题意得：， 解得：， ∴折断处离地面8尺． 故答案为：8． 【变式7-4】如图所示，小明上学途中要经过，两地，由于，两地之间有一片草坪，所以需要走路线，．小明想知道，两地间的距离，测得，，，两地间距离为 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，含角直角三角形的性质，解题的关键是掌握勾股定理． 过作于，利用勾股定理求出，在中可得，，进而求解即可． 【详解】解：过作于，如图：    在中，，， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 两地间距离的长为． 故答案为：． 【变式7-5】如图，一架长的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子的底部到墙底端的距离为． (1)这个梯子的顶端距地面有多高？ (2)梯子的底部在水平方向滑动了至点，求梯子的顶端沿墙垂直下滑了多少米． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求出即可； （2）根据勾股定理求出，得到即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，，， ∴在中， 答：这个梯子的顶端距离地面． （2）解：由题意得，，， ∴在中， ∴ 答：梯子的顶端沿墙垂直下滑了． 【变式7-6】随着中小学双休制度的全面落实，各学校提倡学生利用周末走进大自然，调动五官，提高感知力，解放身心，放松自我，缓解学习压力．某周周末，小明和小亮相约去母鸡山公园放风筝，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为12米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为20米； ③牵线放风筝的小明的身高为1.65米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想风筝沿方向下降11米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】(1)风筝的垂直高度为17.65米 (2)他应该往回收线7米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意可知：米，米，米， 在中，由勾股定理得，， ∴（负值已舍去）， ∴（米）， 答：风筝的垂直高度为17.65米； （2）解：∵风筝沿方向下降11米，保持不变，如图， ∴此时的（米）， 即此时在中，米，有（米）， 相比下降之前，缩短长度为（米）， ∴他应该往回收线7米． 【变式7-7】综合与实践 小明同学在延时课上进行了项目式学习实践探究，并绘制了如下记录表格： 课题 在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度 模型 抽象 测绘数据 ①测得水平距离的长为15米 ②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线的长为17米 ③牵线放风筝的手到地面的距离为米 说明 点A，B，E，D在同一平面内 请根据表格信息，解答下列问题． (1)求线段的长； (2)若想要风筝沿方向再上升12米，则在长度不变的前提下，小明同学应该再放出多少米线？ 【答案】(1)米 (2)小明同学应该再放出8米线 【分析】本题考查的是勾股定理的应用； （1）如图，过点作于点，利用勾股定理求解，再进一步解答即可； （2）如图，设风筝沿方向再上升12米后到达点处，连接，利用勾股定理求解，进一步可得答案． 【详解】（1）解：如图，过点作于点． 在中，米，米， 由勾股定理，得（米）， 则（米）． （2）解：如图，设风筝沿方向再上升12米后到达点处，连接， 则（米）． 由勾股定理，得（米）， 故（米）． 答：小明同学应该再放出8米线． 【变式7-8】如图，在离水面高度为米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为17米，此人以每秒1米的速度收绳．（假设绳子一直是绷直的状态） (1)若，4秒后，船移动到点的位置，问船向岸边移动了多少米？（结果保留根号） (2)若7秒后船移动到点的位置，船向岸边移动了9米，求的值． 【答案】(1)船向岸边移动了米 (2)的值是8 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先算出（米），结合速度和时间，得出米，运用（米），故米，即可作答． （2）结合题意得米，结合勾股定理得，，整理得，解得，最后运用勾股定理列式计算（米），即可作答． 【详解】（1）解：在中，（米）． ∵此人以每秒1米的速度收绳，4秒后船移动到点的位置， ∴（米）， 在中，（米）， ∴米， 答：船向岸边移动了米； （2）解：∵此人以每秒1米的速度收绳，7秒后船移动到点的位置， ∴（米）. 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 即， 解得（米）， ∴（米）， ∴的值是8． 【变式7-9】已知某高速路段限速（即）．如图，汽车在车速检测仪A正前方30米的处，过了后到处，测得．请通过计算判断汽车是否超速． 【答案】没有超速 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，将实际问题转化为数学问题成为解题的关键． 由勾股定理可得，再根据小汽车用行驶的路程为，那么可求出小汽车的速度，然后再判断即可解答． 【详解】解：汽车没有超速，理由如下： 依题意，由勾股定理可得：，，， ． ∴， ∴． ∴汽车没有超速． 【变式7-10】由于过度采伐森林和破坏植物，使我国许多地区频频遭受沙尘暴的侵袭．近日市气象局测得沙尘中心在市正西方向千米的处，以千米/时的速度向东偏南的方向移动，距离沙尘中心千米的范围是受沙尘暴严重影响的区域． (1)问市会不会受到沙尘暴的严重影响？请通过计算说明理由； (2)若受影响请计算市受影响的时间． 【答案】(1)市会受到沙尘暴的严重影响，见解析； (2)小时． 【分析】本题主要考查勾股定理，理解题意，掌握勾股定理的计算方法是关键． （1）过点作于，根据含角的直角三角形的性质得到，由此即可求解； （2）设沙尘中心距点千米处，刚好处在上的两点，由勾股定理得到千米，则千米，由行程问题的数量关系即可求解． 【详解】（1）解：过点作于，由题意得千米，， ∴（千米）, ∵， ∴市会受到沙尘暴的严重影响； （2）解：设沙尘中心距点千米处，刚好处在上的两点， 在中，千米，千米， ∴千米， ∴千米， ∴市受影响的时间为（小时）， 故市受影响的时间为小时． 【变式7-11】如图，某小区的两个喷泉，位于小路的同侧，两个喷泉之间的距离为，喷泉的供水点在小路上．现要为喷泉铺设两条互相垂直的供水管道和，已铺管道长为，长为，供水点到的距离是． (1)请判断供水管道与是否符合铺设要求； (2)求的长及的长． 【答案】(1)符号要求，理由见解析； (2)，． 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据勾股定理的逆定理判定与是否垂直即可； （2）根据等面积法求出，再利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：符号要求，理由如下： 在中，，，， ，， ， 是直角三角形，， ，符合要求； （2）， ， ， ， ， ，，， ， ， 在中，， 由勾股定理得：． 【考点题型八】利用勾股定理的逆定理求解（） 【例8】如图，是等边三角形内的一点，连接、、，且，将绕点顺时针旋转到的位置．连接，则以下结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质和判定，勾股定理的逆定理的应用，三角形的三边关系，熟练掌握是解答本题的关键． 根据等边三角形性质以及勾股定理的逆定理，即可判断B；依据是等边三角形，即可得到，即可判断A；进而得出，即可判断C；根据三角形三边关系即可判断D选项． 【详解】解： 是等边三角形， ， 将绕点顺时针旋转到的位置， ， ，，，， ， 是等边三角形， ， ，， ， ，即是直角三角形，故B正确； 是等边三角形， ，故A正确； ，故C正确； 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， 在中，， 即，故选项D错误． 故选：D． 【变式8-1】.如图，在四边形中，，，，，且，则四边形的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查勾股定理和勾股定理的逆定理，牢记勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． 先由勾股定理求出，则，再通过勾股定理逆定理得，最后由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴ ∴， ∴， ∴ ， 故选：． 【变式8-2】如图，在中，，D，E两点分别在直线和直线上运动（点E不与点C重合）．若与全等，则线段的长为 ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，先利用勾股定理的逆定理证明，再分，，三种情况根据全等三角形的性质求出的长，进而求出的长，再利用勾股定理即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 如答图1所示，当时，， ∴， ∴； 如答图2所示，当且E在B的右边时，， ∴， ∴． 如答图3所示，当且E在B的左边时，． ∴． ∴． 综上所述，的长为或或． 故答案为：或或． 【变式8-3】如图，四边形中，，且．求四边形的面积． 【答案】36 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，先利用勾股定理求出的长，再利用勾股定理的逆定理证明，最后根据进行求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， 在中，由勾股定理得， ∵，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴． 【考点题型九】勾股定理逆定理的拓展问题（） 【例9】根据勾股定理，任意直角三角形的两条直角边长 ， ，和斜边长都是含三个未知数的方程 的一组解，而每一组勾股数（例如3，4，5；5，12，13；等）都是这个方程的正整数解．高于二次的方程，，，…是否也有正整数解呢？法国数学家费马经过研究得出结论：当自然数 时，方程没有正整数解．这个命题的证明引起了世界各国数学家的关注，最终由英国数学家怀尔斯于1995年完成了证明．困扰了数学家300多年历史的数学难题终于得到解决，在解决这一数学难题的过程中，反映了一代代数学家艰苦探索、不屈不挠的科学精神和聪明智慧．这个定理的证明被称为“世纪性的成就”．这个定理指的是（    ） A．费马大定理 B．怀尔斯大定理 C．勾股定理 D．勾股定理的逆定理 【答案】A 【分析】根据“法国数学家费马经过研究得出结论：当自然数时，方程没有正整数解，”即可得到答案． 【详解】法国数学家费马经过研究得出结论：当自然数时，方程没有正整数解． ∴这个定理指的是费马大定理 故选：A． 【点睛】本题主要考查了学生对于数学课外阅读的认知程度，解题的关键是要多了解有关数学的课外知识． 【变式9-1】阅读下列内容，并解决问题． 一道习题引发的思考 小明在学习《勾股定理》一章内容时，遇到了一个习题，并对有关内容进行了研究： 【习题再现】古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a=2m，b= m²-1，c= m²+1，那么a，b，c为勾股数．你认为对吗?如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗? 【资料搜集】定义：勾股数是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数．一般地，若三角形三边长a，b，c都是正整数，且满足a2+b2=c²，那么a，b，c称为一组勾股数． 关于勾股数的研究；我国西周初数学家商高在公元前1000年发现了"勾三，股四，弦五"，这组数（3、4、5）是世界上最早发现的一组勾股数．毕达哥拉斯学派、柏拉图学派、我国数学家刘徽、古希腊数学家丢番图都进行过勾股数的研究，习题中的表达式是柏拉图给出的勾股数公式，这个表达式未给出全部勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是《九章算术》． 【问题解答】 （1）根据柏拉图的研究，当m=6时，请直接写出一组勾股数； （2）若m表示大于1的整数，试证明（m²-1，2m，m²+1）是一组勾股数； （3）请举出一个反例（即写出一组勾股数），说明柏拉图给出的勾股数公式不能构造出所有的勾股数． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）答案不唯一，例如，等 【分析】（1）把直接代入，，即可求解； （2）利用勾股定理的逆定理即可证明结论； （3）根据勾股数解答即可． 【详解】（1）把代入，，得： ，，， 这组勾股数为； （2）表示大于1的整数， ，，都是正整数，且是最大边， ， 是一组勾股数； （3），等，它们是勾股数，但柏拉图给出的勾股数公式不能够造出． 【点睛】本题考查了勾股数以及勾股定理的逆定理，弄清题意，理解勾股数的意义是解题的关键． 【变式9-2】我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． （1）写出你所知道的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称　 　，　 　． （2）如图（1），请你在图中画出以格点为顶点，OA、OB为勾股边，且对角线相同的所有勾股四边形OAMB． （3）如图（2），以边AB作如图正三角形ABD，∠CBE＝60°，且BE＝BC，连接DE、DC，∠DCB＝30°．求证：DC2+BC2＝AC2，即四边形ABCD是勾股四边形． 【答案】（1）直角梯形，长方形；（2）图见解析；（3）证明见解析 【分析】（1）利用含有直角的四边形找出特殊四边形中是勾股四边形的两种图形即可； （2）利用勾股定理计算画出即可； （3）首先证明△ABC≌△BDC，得出AC＝DE，BC＝BE，连接CE，进一步得出△BCE为等边三角形；利用等边三角形的性质，进一步得出△DCE是直角三角形，问题得解． 【详解】解：（1）填直角梯形，长方形； （2）如图， （3）证明：∵△ABD为等边三角形， ∴AB＝AD，∠ABD＝60°， ∵∠CBE＝60°， ∴∠ABD+∠DBC＝∠CBE+∠DBC， 即∠ABC＝∠DBE， 又∵BE＝BC， ∴△ABC≌△DBE， ∴BE＝BC，AC＝ED； 连接EC，连接AC．则△BCE为等边三角形， ∴BC＝CE，∠BCE＝60°， ∵∠DCB＝30°， ∴∠DCE＝90°， 在Rt△DCE中， DC2+CE2＝DE2， ∴DC2+BC2＝AC2． 【点睛】此题主要考查勾股定理，三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，是一道综合性很强的题目． 【变式9-3】课间，小明拿着王老师的等腰直角三角板玩，三角板不小心掉到墙缝中．我们知道两堵墙都是与地面垂直的，如图．王老师没有批评他，但要求他完成如下两个问题： （1）试说明； （2）从三角板的刻度知AC＝25cm，算算一块砖的厚度．（每块砖的厚度均相等）小明先将问题所给条件做了如下整理：如图，中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AD⊥DE于D，BE⊥DE于E．请你帮他完成上述问题． 【答案】（1）证明见解析；（2）5cm 【分析】（1）根据题意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，进而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根据等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再证明△ADC≌△CEB即可． （2）利用（1）中全等三角形的性质进行解答． 【详解】证明：（1）如图： ∵AD⊥DE，BE⊥DE， ∴∠ADC＝∠BEC＝90°， ∴∠1+∠2＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠2+∠3＝180°﹣90°＝90°， ∵∠ADC＝∠BEC＝90°， ∴∠1＝∠3， 由∠ADC＝∠BEC＝90°，∠1＝∠3，CA＝CB， ∴△ADC≌△CEB； （2）设每块砖厚度为xcm，由①得，DC＝BE＝3xcm，AD＝4xcm， ∵∠ADC＝90°， ∴AD2+CD2＝AC2， 即（4x）2+（3x）2＝252，解得x＝5，（x=﹣5舍去）， ∴每块砖厚度为5cm． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的应用，关键是正确找出证明三角形全等的条件． 【变式9-4】先观察下列各组数，然后回答问题： 第一组：，，； 第二组：，，； 第三组：，，； 第四组：，，； （1）根据各组数反映的规律，用含的代数式表示第组的三个数； （2）如果各组数的三个数分别是三角形的三边长，那么这个三角形是什么三角形？请说明理由； （3）如图，，，，若，，为上列按已知方式排列顺序的某一组数，且，，求的长． 【答案】（1），，；（2）直角三角形，见解析；（3） 【分析】（1）根据已知数据即可得到结果； （2）根据勾股定理判断即可； （3）根据题意可得出，，，在根据勾股定理计算即可； 【详解】（1）∵第一组：，，； 第二组：，，； 第三组：，，； 第四组：，，； ， ∴第组：，，． （2）直角三角形； 证明：为正整数， ． 以，，为三边的三角形是直角三角形． （3），，为上列按已知方式排列顺序的某一组数， 这组数为第九列：，，， 即，，． ， ． ，， ． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用和找规律，准确分析计算是解题的关键． 【考点题型十】求最短路径（） 【例10】如图，在一张边长为的正方形纸板上，放着一根长方体木块，已知木块的较长边与平行且相等，横截面是一个边长为的正方形，一只蚂蚁从点A出发，翻过木块到达点C处，需要走的最短路程为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理在最短路径中的应用，将长方体侧面展开得蚂蚁的爬行的最短路径为的长，用勾股定理即可求解；能找出最短路径是解题的关键． 【详解】解：如图，将长方体侧面展开得， 蚂蚁的爬行的最短路径为的长， （）， ， 蚂蚁的爬行的最短路径为 ， 故选：C． 【变式10-1】如图，一个圆柱形玻璃杯的高为，底面周长为，在杯内壁底部的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的爬行最短路线的长为 ．（杯壁厚度不计） 【答案】13 【分析】本题考查了圆柱的侧面展开，轴对称距离最短，勾股定理．将杯子侧面展开，作点A关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即最短，利用勾股定理即可解答． 【详解】解：如图：将杯子侧面展开，作A关于的对称点， ∴为矩形， 根据题意得，，， ∴， 连接，则即为最短距离， ． 故答案为：13． 【变式10-2】如图，圆柱形玻璃容器的高为，底面周长为，在外侧距下底的点S处有一壁虎，与壁虎相对的圆柱形容器的上口内侧距开口处的点F处有一蚊子，急于捕获蚊子充饥的壁虎，所走的最短路线的长度为 ． 【答案】25 【分析】本题考查平面展开-最短路径问题，解题的关键是计算出圆柱展开后所得长方形的长和宽的值，然后用勾股定理进行计算． 如图所示，作点F关于的对称点，连接，则蚂蚁到凝固蜂蜜所走的最短路径的长度的长度，根据勾股定理求出的长即可． 【详解】解：把圆柱侧面展开成一个矩形，如图所示，作点F关于的对称点，连接，则蚂蚁到凝固蜂蜜所走的最短路径的长度的长度， 过S作于E，由题意得， 在中， ∵， ∴． 故答案为：25． 【变式10-3】如图，一圆柱高，底面半径是，一只蚂蚁绕着圆柱向上螺旋式爬行，假设蚂蚁绕圆柱外壁从点爬到点，圆周率取近似值3，则蚂蚁爬行路线的最短路径长为 ． 【答案】/厘米 【分析】本题考查了勾股定理与最短路径问题，将圆柱展开为长方形，利用勾股定理求对角线的长即为最短路径的长．先画出圆柱展开图形，最短路程是的长，是底面圆周长的一半，据此根据勾股定理计算求解即可． 【详解】解：如图所示，将圆柱沿着高展开， 由题意得，， ∴由勾股定理得：， ∴蚂蚁爬行路线的最短路径长为， 故答案为：． 【变式10-4】如图，一个没有上盖的圆柱形食品盒，它的高等于，底面周长为，在盒外下底面的点A处有一只蚂蚁，蚂蚁爬行的速度为．想沿盒壁爬行吃到盒内正对面中部点B处的食物，那么它至少需要 秒（盒的厚度和蚂蚁的大小忽略不计） 【答案】 【分析】要求圆柱体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将正方体展开，作出B关于边的对称点D，然后利用勾股定理求出的长，再算出时间． 本题考查的是平面展开-最短路径问题，解答此题的关键是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． 【详解】解：如图所示： 作B关于边的对称点D，连接，蚂蚁走的最短路径是， ∵底面周长为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵蚂蚁爬行的速度为， ∴它至少需要s. 故答案为：. 【考点题型十一】直角三角形全等的判定（） 【例11】如图所示，在和中，已知，，则的理由是（   ） A．SAS B．AAS C．HL D．ASA 【答案】C 【分析】此题主要考查了直角三角形全等的判定．观察图形，根据已知条件在图形上的位置，题目给出了斜边及一角对应相等，又因为是公共边，符合，答案可得． 【详解】 解：在和中， ， ， 故选：C． 【变式11-1】如图，在和中，，，，则能直接判断的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法即可解答，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴在和中， ， ∴， 故选：A． 【变式11-2】如图，在中，为延长线上一点，点在上，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）运用“”定理直接证明，即可得解； （2）求出，证出，即可得解． 【详解】（1）证明：， 与为直角三角形， 在与中， ， ； （2）解：， ， ，， ， ． 【变式11-3】求证：如果一个三角形一边上的中点到另外两边的距离相等，则该三角形为等腰三角形．请结合下边图形，用数学符号语言补全“已知”、“求证”，并写出证明过程． 已知：如图，在中，D是的中点，__________，__________，__________． 求证：__________． 证明： 【答案】见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定；先写好已知，求证，再证明，可得，从而可得结论． 【详解】已知：如图，在中，D是的中点，于，于，， 求证：为等腰三角形． 证明：∵于，于， ∴， ∵D是的中点， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 【考点题型十二】直角三角形全等的综合运用（） 【例12】如图所示，中，，直线经过点A，，，垂足分别是点D，E，且． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查全等三角形的应用，等腰直角三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形判定定理． （1）由，，可得，再由 “”即可证明； （2）由可知，进而求得，结合，即可得解． 【详解】（1）解：证明： ，， ， 在和中 ； （2）解：， ∴， ， ， ∴， ， ∴， ， ． 【变式12-1】如图，，，，、相交于点．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，证得是解题的关键． 先根据证明，再根据证明，即可证明结论． 【详解】证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 【变式12-2】如图，在四边形中，已知，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键．连接，证明，即可得证． 【详解】证明：连接， ∵， ∴与是直角三角形， 在与中， ， ∴； ∴． 【变式12-3】如图，在中，D是的中点，，，垂足分别是E、F，且．求证： (1) (2)连接 ， 垂直平分 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定等知识；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先由中点定义得，由垂直定义得，然后用证得，得出，则AB=AC， （2）根据等腰三角形三线合一即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵D是的中点， ∴， ∵，， ∴ 在与中， ∴， ∴， ∴； （2）证明：连接， 由（1）可知， ∵D是的中点， ∴， ∴垂直平分． 【变式12-4】如图，四边形中，，，，，与相交于点．判断线段与的位置关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定， 先根据“斜边直角边”证明，可得，进而得出，即可得出答案. 【详解】解：． 理由如下： ∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【考点题型十三】利用角平分线的性质求解（） 【例13】如图，中，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点M、N，再分别以点M、N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点P，射线交于点D，过D作DE⊥AC于点E，若，那么的面积是（   ） A．10 B．30 C．24 D．32 【答案】B 【分析】本题考查了尺规基本作图-作角平分线，三角形的面积，角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键． 由作图可知是的平分线，根据角平分线的性质定理得出，再根据的面积是和的面积之和计算即可． 【详解】解：如图，过点D作于点F， 由作图可知是的平分线， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ． 故选：B． 【变式13-1】如图，在中，以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交、于点、；再分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，连接并延长，交于点，若点到的距离为4，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的作法、角平分线的性质等知识点，掌握角平分线的尺规作图方法成为解题的关键． 根据作图过程可得，平分，如图：过F作，根据角平分线的性质定理可得，据此即可解答． 【详解】解：根据作图过程可知：平分， 如图：过F作， ∵点到的距离为4， ∴， ∵，，平分， ∴． 故选：B． 【变式13-2】如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线交于点．已知，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了基本作图—作角平分线、角平分线的性质定理、勾股定理及全等三角形的判定与性质等知识．过作于，根据基本作图可判断平分，再利用角平分线的性质得到，根据勾股定理求出，证明，得出，设，则，根据勾股定理得出，然后在中由勾股定理求解即可． 【详解】解：如下图，过作于， 由作图得，平分， ∵，，， ∴，， 在中，根据勾股定理得， ∵，，， ∴， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理得， 即，解得，即， 在中，根据勾股定理得． 故答案为：． 【变式13-3】如图所示，已知的周长是21，分别平分和，于D，且，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质，角平分线的点到角两边的距离相等．连接，过作，，根据角平分线的性质，利用进行计算即可． 【详解】解：如图，连接，过作，， 则：， ∴， 即：， ∵的周长是21， ∴； 故答案为：． 【变式13-4】如图，在中，，是的平分线，于点，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质定理、勾股定理．先根据角平分线的性质定理得到，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，是的平分线，， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理，得． 【考点题型十四】 角平分线的性质定理及其逆定理的综合运用（） 【例14】如图，中，点在边延长线上，的平分线交于点，过点作，垂足为，且． (1)的度数是 ； (2)求证：平分； (3)若，且，求的面积． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质，三角形内角和定理的应用； （1）先求出，再根据直角三角形的两个锐角互余可得，然后根据即可得； （2）过点作于点，作于点，先根据角平分线的性质可得，从而可得，再根据角平分线的判定即可得证； （3）过点作于点，作于点，则，设，再根据和三角形的面积公式可得的值，从而可得的值，然后利用三角形的面积公式即可得． 【详解】（1）解：， ， ， ， ． （2）证明：如图，过点作于点，作于点，   平分，， ， 由（1）可知，，即平分， ， ， 又点在的内部， 平分． （3）解：如图，过点作于点，作于点，    由（2）已得：， 设， ， ， ，即， 又， ， ， ， 的面积为． 【变式14-1】.如图，中，，点D在边延长线上，的平分线交于点E，过点E作，垂足为H，且. (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，且，求的面积. 【答案】(1) (2)见解析 (3)的面积为15 【分析】本题考查了角的平分线判定定理和性质定理，三角形内角和定理，一元一次方程的应用，熟练掌握角的平分线的判定和性质是解题的关键． （1）利用平角的定义和三角形内角和定理分别求出的度数即可得到答案； （2）过点作于点，作于点，利用角平分线的性质定理，推出，再利用角的平分线的判定证明即可． （3）设，利用，求出，从而求出的面积即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）证明：如图，过点作于点，作于点， ∵平分，， ， 由（1）可知，，即平分， ，， ， ， 又点在的内部， 平分； （3）解：如上图，过点作于点，作于点， 由（2）已得：， 设， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 又∵， ∴， ， ∵， ∴的面积为． 【变式14-2】如图，在中，，，是上的一点，且． (1)尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：过点作的垂线，交于点，连接； (2)求证：是的角平分线． 猜想平分，完成下列证明： ，， ① ， ， ② ， ③ ， ，， ④ ， ，， ⑤ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查尺规作图——作垂线，勾股定理，等腰直角三角形的判定及性质，角平分线的判定等知识点，理解并掌握相关图形的性质是解决问题的关键． （1）以点为圆心，线段的长度为半径交于点，分别以，为圆心，大于的长度为半径作圆，交于一点，连接和该交点的直线，交于，则直线为所求； （2）根据题意可知，，可知，结合勾股定理可知，可得，即可证明平分． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）证明：，， ， ， ， ， ，， ， ，， 平分； 故答案为：①；②；③；④；⑤平分． 【变式14-3】如图，在和中，，，若，连接交于点； (1)求证：． (2)求的度数． (3)连接，求证：平分． (4)如图2，是等腰直角三角形，，，，点是射线上的一点，连接，在直线上方作以点C为直角顶点的等腰直角三角形，连接，若，请直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 (4)或 【分析】本题考查全等三角形判定及性质，等边三角形判定及性质，角平分线判定定理． （1）利用即可证明出； （2）先得到是等边三角形，利用全等性质可得，后利用即可计算出； （3）过点作于点，于点，利用全等性质可得 再证明出，继而得到； （4）分两种情况讨论：当在线段上时，证明，继而得到，当在的延长线上时，证明，继而得到，后即可得到本题答案． 【详解】（1）解：证明：， ， 又，， 在和中， ， ； （2）解：，， 是等边三角形， ， ， ， ， ； （3）解：过点作于点，于点， ，， ， ， ， ， ， 又， 平分． （4）解：如图所示，当在线段上时， ，是以点为直角顶点的等腰直角三角形， ，， 又，， ， ， ， ，， ， 如图所示，当在的延长线上时， ， 同理， ， ，， ， 综上所述，或． 【变式14-4】如图，四边形中，，，交于M．    (1)求证：平分； (2)若，，求． 【答案】(1)证明见解答 (2) 【分析】（1）作于点，交的延长线于点，可证明，得，则点在的平分线上，所以平分； （2）先证明，得，由，求得，则，所以． 【详解】（1）证明：作于点，交的延长线于点，则，   ， ， ， 在和中， ， ， ， 点在的平分线上， 平分； （2）解：，， ， ， ， 由（1）得， ， ，， ， ， ， ． 【点睛】此题重点考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形的面积公式等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 【考点题型十五】与直角三角形有关的新定义问题（） 【例15】学校的数学思维节活动中，既爱思考，又勤于动手的小青同学借助电脑技术创造出了如图所示的非常又创意的几何图案，他在和同学们分享的时候介绍了其中的数学原理：在的两条对角线上分别取两个动点E、F，始终保持，然后让这两个动点在各自的对角线上运动，将线段EF的轨迹呈现出来，就得到了如图所示的图形．小青同学在探索的过程中发现，两个动点的运动范围都是受限的，称各点运动范围的两个端点为“极限位置”，分别记为、和、，若F点的“极限位置”恰好是A、C，当，且与的夹角为，则当点E处于“极限位置”时，的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查含30度的直角三角形，勾股定理，解题的关键是理解极限位置为此时点到另一个动点所在直线的最短距离，是解题的关键．设交于点，根据题意，易得当点为极限位置时，，当为极限位置时，，根据含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理进行求解即可． 【详解】解：设交于点，由题意，得：， ∵F点的“极限位置”恰好是A、C， 当点为极限位置时，此时，即， ∴， 在中，， 在中， ∵， ∴， ∴，， ∴， 当点为极限位置时，则：， 同理：，， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：2． 【变式15-1】定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形． (1)如图1，已知四边形是筝形，则其对角线与满足的关系是_________； (2)如图2，中，，，，为线段上一点，将沿向外翻折得，将沿向右翻折得，连接，若，判断四边形是否为筝形，请说明理由，并求出的长； (3)如图3，四边形中，，，，点在上，，当时，请直接写出的最大值． 【答案】(1)垂直平分 (2) (3) 【分析】（1）由筝形可得，，即垂直平分； （2）由折叠的性质可得，，，，，由等腰三角形的性质可得垂直平分，即，可证四边形是筝形，由面积法可求的长； （3）由折叠的性质可得，，，，，，可证，由勾股定理可求的长，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是筝形， ∴，， ∴垂直平分； 故答案为：垂直平分； （2）解：四边形是筝形，理由如下： 如图2，设与交于点H， 由折叠的性质得，垂直平分，垂直平分， ∴，，，， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴四边形是筝形， ∵，，， ∴， ∵，，， ∴ ∵ ∴， ∴； （3）解：如图3，将沿翻折得，将沿翻折得，在截取，连接，， ∵，， ∴， 由折叠得，，，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴当点A，点G，点H，点D共线时，有最大值， ∴的最大值． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了新定义，折叠的性质，垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等性质，添加恰当辅助线是解题的关键． 【变式15-2】若两个等腰三角形有公共底边，且满足两个顶角和是，则称这两个顶点关于这条底边互为“唯美点”． 【概念理解】 （1）点在线段的垂直平分线上（点在直线上方），且．若点与点关于互为“唯美点”，则___________． 【性质探究】 （2）如图，在矩形中，为边上一点，且平分，交于点，连接，．求证：点与点关于互为“唯美点”． 【拓展应用】 （3）如图，在矩形中，为线段上一动点（不与端点重合），为平面内一点，点与点关于互为“唯美点”，直线交直线于点，在点运动过程中，当时，请直接写出的长． 【答案】（1）或 （2）见解析 （3）或 【分析】（1）分两种情况讨论：情况一：点与点在同侧；情况二：点与点在异侧；计算即可解答； （2）证明得，，再结合均为等腰三角形，其中 ，即可得证； （3）分两种情况讨论：当点在线段上时，如解图所示，连接；当点在线段的延长线上时，如解图所示，连接；综上即可解答． 【详解】． 解：（1）情况一：点与点在同侧， 点、 关于互为“唯美点”，且， ， 又点在线段的垂直平分线上， ，， ，， 则； 情况二：点与点在异侧， 点、 关于互为“唯美点”，且， ， 又点在线段的垂直平分线上， ，， ，， 由于、在异侧， ； 综上所述，或， 故答案为：或； （2）证明：平分， ， 在和中， ， ， ， ， 又均为等腰三角形，其中 ， 点与点关于互为“唯美点”； （3）当点在线段上时，如解图所示，连接， 点与点关于互为“唯美点”， ， ， 又， ， 设， ，， ， ， 在中，， 即， 解得， ； 当点在线段的延长线上时，如解图所示，连接， 同理，可得， 设，则， ， 在中， ， 即， 解得， ， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 【变式15-3】如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，直线经过原点，与轴正半轴的夹角为，为直线上一动点，为平面内一点，连接，，．若为等边三角形（点，，按逆时针排列），则称为点的“伴随点”．        (1)若，则点的“伴随点”的坐标为 ； (2)若，求点的“伴随点”的坐标； (3)连接，延长交轴于点．若为直角三角形，求出线段的长． 【答案】(1) (2)，点的“伴随点”的坐标为或 (3)线段的长为 【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质可得点共线，，由此即可求解； （2）根据题意，分类讨论：第一种情况，如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点，在中，，可证，得到；第二种情况，如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点，同法可解； （3）根据题意，分类讨论：第一种情况，如图所示，点在轴上方，时，是直角三角形，即，过点作轴于点，过点作轴于点，可证是等腰直角三角形，，则，则，，所以；第二种情况，如图所示，点在轴下方，时，是直角三角形，即，过点作轴于点，过点作轴于点，同法可解． 【详解】（1）解：直线经过原点，与轴正半轴的夹角为，，如图所示， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点共线， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵是等边三角形， ∴， 第一种情况，如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点， 根据（1）的计算得到，，， 在中，， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴； 第二种情况，如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点， 同理，，，，，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，，点的“伴随点”的坐标为或； （3）解：第一种情况，如图所示，点在轴上方，时，是直角三角形，即，过点作轴于点，过点作轴于点， 由（2）可得，， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 第二种情况，如图所示，点在轴下方，时，是直角三角形，即，过点作轴于点，过点作轴于点， 同理，垂直平分，是等腰直角三角形，，，， ∴； 综上所述，线段的长为． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中图形的变换，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是关键． 【变式15-4】我们定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点． 【特例感知】 （1）如图1，已知为勾股高三角形，其中C为勾股顶点，是边上的高．若，，试求线段的长度． 【深入探究】 （2）如图2，已知为勾股高三角形，其中为勾股顶点且，是边上的高．试探究线段与的数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）如图3，等腰为勾股高三角形，其中，为边上的高，过点向边引平行线与边交于点．若，试求线段的长度． 【答案】（1） ；（2），见解析；（3） 【分析】本题是三角形综合题，考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，勾股高三角形的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据勾股定理得到，，根据勾股高三角形的定义得到，计算即可得到答案； （2）由可得：，根据勾股高三角形的定义得：，即可推出； （3）过点向引垂线，垂足为，只要证明，即可解决问题． 【详解】解：（1）由勾股定理可得：，， 为勾股高三角形，为勾股顶点，是边上的高， ， ， 解得：（负数舍去）； （2），证明如下： 为勾股高三角形，为勾股顶点且，是边上的高， ， ， 由勾股定理得：， ，由于为正数， ； （3）如图3，过点作，垂足为， 勾股高三角形为等腰三角形，且， 只能是， 由（2）可知：， 又， ，， ， ， ， ， 而， ， ， 为等腰三角形，， ， 又，， ． 提升训练 一、单选题 1．三条公路将A，B，C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（    ）． A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的应用．根据“角平分线上的点到角两边的距离相等”，即可获得答案． 【详解】解：要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是三条角平分线的交点． 故选：C． 2．△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，若按如图的尺规作图方法作出线段BD，则下列结论错误的是（　　） A．AD＝BD B．∠BDC＝72° C．S△ABD：S△BCD＝BC：AC D．△BCD的周长＝AB+BC 【答案】C 【分析】根据作图痕迹发现BD平分，然后根据等腰三角形的性质进行依次判断即可． 【详解】解：∵等腰中，，， ∴， 由作图痕迹发现BD平分， ∴， ∴，，故A、B正确； ∵， ∴， 结合图形可得：与的高相同， ∴，故C错误； 的周长为：，故D正确； 故选：C． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质及角平分线的作法，三角形内角和定理等，熟练掌握运用等腰三角形的性质是解题关键． 3．如图，在中，，是高，能直接判断的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直角三角形的全等证明即可判断． 【详解】证明：∵AD⊥BC ∴和是直角三角形， ∵，AD=AD（公共边）， 所以 ≌（HL） 故选C 【点睛】本题主要考查直角三角形的全等证明，掌握直角三角形的全等证明方法是解题的关键． 4．△ABC中，∠A=30°，∠B=90°，则∠C为（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 【答案】D 【分析】根据三角形的内角和定理即可得到结论． 【详解】解：∵∠A=30°，∠B=90°， ∴∠C=90°﹣30°=60°， 故选：D． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质，直角三角形的两锐角互余，熟练掌握三角形的内角和定理是解题的关键． 5．如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为的半圆，其边缘．小明要在AB上选取一点E，能够使他从点D滑到点E再滑到点C的滑行距离最短，则他滑行的最短距离约为（ ）m．（取3） A．30 B．28 C．25 D．22 【答案】C 【分析】根据题意画出侧面展开图，作点C关于AB的对称点F，连接DF，根据半圆的周长求得，根据对称求得，在Rt△CDF中，勾股定理求得． 【详解】其侧面展开图如图：作点C关于AB的对称点F，连接DF， ∵中间可供滑行的部分的截面是半径为2.5cm的半圆， ∴BC=πR=2.5π=7.5cm，AB=CD=20cm， ∴CF=2BC=15cm， 在Rt△CDF中，DF=cm， 故他滑行的最短距离约为cm． 故选C． 【点睛】本题考查了勾股定理最短路径问题，作出侧面展开图是解题的关键． 6．如图，中，是边的高线，平分，，，则的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点E作于点F，根据角平分线的性质，得出，根据三角形面积公式进行计算即可． 【详解】解：过点E作于点F，如图所示： ∵是边的高线， ∴， ∵平分， ∴， ∴，故B正确． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握角平分线上的点到角的两边距离相等． 7．如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，∠B=∠E =90°，AB=DE，若添加一个条件后，能用“HL”的方法判定Rt△ABC≌Rt△DEF，添加的条件可以是（　　）    A．BC=EF B．∠BCA=∠F C．AB∥DE D．AD=CF 【答案】D 【分析】根据题目给的条件可知道直角边和直角，因为需用“HL”的方法判定≌，故只能添上斜边这一条件，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴添加条件，根据“HL”即可判定≌；或添加条件，也可得出，根据“HL”即可判定≌，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了利用“HL”判定三角形全等，掌握三角形全等的判定是解题的关键． 8．如图，有一块直角三角形纸片，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则BD的长为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】B 【分析】根据勾股定理求出AB的长，利用翻折得到AE=AB=10，DE=BD，求出CE，由勾股定理得到，列得，求出BD． 【详解】解：∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝6， ∴， 由翻折得AE=AB=10，DE=BD， ∴CE=AE-AC=10-8=2， 在Rt△CED中，， ∴， 解得BD=， 故选：B． 【点睛】此题考查了勾股定理的应用，翻折的性质，熟记勾股定理的计算公式是解题的关键． 9．如图所示，在△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，并且CD、BE交于点P，若∠A=60°，则 ∠BPC等于（    ） A．90° B．120° C．150° D．160° 【答案】B 【分析】由∠A=60°，高线CD，即可推出∠ACD=30°，然后由∠BPC为△CPE的外角，根据外角的性质即可推出结果． 【详解】解：∵CD⊥AB，∠A=60°， ∴∠ACD=30°， ∵BE⊥AC， ∴∠CEP=90°， ∴∠BPC=∠ACD+∠CEP=120°． 故选：B 【点睛】本题主要考查垂线的性质，余角的性质，三角形内角和定理，三角形的外角的性质的知识点，关键在于根据相关的定理推出∠ACD和∠CEP的度数． 10．如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，点E在上．若，，，当最小时，的面积是（　　） A．2 B．1 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题主要考查了基本作图——作角平分线，全等三角形．熟练掌握角平分线性质，直角三角形全等的判定和性质，是解决问题的关键． 当时，最短，由作图可知，是的角平分线，利用角平分线的性质得出，由直角三角形全等的判定和性质可得出，利用线段间的数量关系及三角形面积公式即可求解． 【详解】如图，由角平分线的作法可知，是的角平分线， ∵点E为线段上的一个动点，最短， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 11．如图，中，，，，点D是的中点，将沿翻折得到，连接，，则线段的长等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】延长交于点，作，垂足为．首先证明垂直平分线段，是直角三角形，求出的长，在中，利用勾股定理即可解决问题． 【详解】解：如图，延长交于点，作，垂足为． 在中，，， ． 为的中点， ． ， ， 解得． 由翻折的性质可知，， ， ．   ，， ． ． 根据折叠的性质有：， ， ，， 又，， ， 为直角三角形． ． 故选：D． 【点睛】本题考查翻折变换、直角三角形的斜边中线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用面积法求高，属于中考常考题型． 12．如图，在中，和的平分线，相交于点O，交于E，交于F，过点O作于D，下列三个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①③ 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形全等的性质和判定，正确作出辅助线证得，得到，是解决问题的关键．由角平分线的定义结合三角形的内角和的可求解与的关系，进而判断①；在上取一点N，使，证得，得到，再证得，得到，进而判断②正确；作于H，于M，根据三角形的面积可证得③错误． 【详解】解：∵和的平分线相交于点O， ∴，， ∴， ， 故①正确． ∵， ∴， ∵，分别是和的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，在上取一点N，使， ∵是的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， 故②正确． 作于H，于M， ∵和的平分线，相交于点O， ∴点O在的平分线上， ∴， ∵， ∴． 故③错误． 故选：A． 13．如图，中，，，．则为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可过C作于E，因为，则可得，可过C作于E，依据题意可得，进而得到，得到，再利用等腰三角形的判定可得，即可求得． 【详解】如图，可过C作于E，可过D作于F．    ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，，且 ∴， ∴，且 ∴，且， ∴， ∴， ∴ ∴ 故选：B． 【点睛】本题主要考查了全等直角三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，能够熟练运用其性质进行解题是关键． 14．如图，中，，M是斜边的中点，将绕点F按顺时针方向旋转，点E落在延长线上的处，点D落在处，若， ．则的长为（　　） A． B．6 C． D． 【答案】C 【分析】如图所示，过F作于H，利用勾股定理求出，根据直角三角形斜边上的中线的性质得到，利用面积法求出，进而利用勾股定理求出，由旋转的性质得到，则由三线合一定理得到． 【详解】解：如图所示，过F作于H， ∵，， ， ∴， ∵M是斜边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，旋转的性质，等腰三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线的性质，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 15．如图，等腰中，，，于点，的平分线分别交、于、两点，为的中点，的延长线交于点，连接，下列结论：①；②为等腰三角形；③；④；⑤，其中正确结论有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】先根据等腰直角三角形的性质得出，进而证得，故①正确； 连接，证明是的垂直平分线，可得，再由直角三角形的性质可得，可得到为等腰三角形，故②正确； 先证得，可得，可证得，可得到，故③正确； 由①知：，可得，故④正确； 由③知：，可得到，从而得到为等腰直角三角形，进而得到，可得到，故⑤正确，即可． 【详解】解：，，， ，，， ， 平分， ， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ，故①正确； 连接，如图， ， ， ， ． ， 是的垂直平分线， ， ， 为斜边上的中线， ， 为等腰三角形，故②正确； 连接，如图， ， ， ， ． 在和中 ， ， ， ，故③正确； 由①知：， ， ，故④正确； 由③知：， ， ，， 为等腰直角三角形， ， ，故⑤正确， 综上，正确的结论有：①②③④⑤， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，根据题意得到全等三角形是解题的关键． 二、填空题 16．如图，和都是等腰直角三角形，若，，，则 ． 【答案】26 【分析】利用手拉手模型证明，根据八字形证明角相等，进而可证明，再利用勾股定理解答即可． 【详解】解： 和为等腰直角三角形 在和中 在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ， ， 在中，， 在中，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，证，得到直角三角形，再结合勾股定理的运用是解题关键． 17．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，以顶点C为圆心、适当长为半径画弧，分别交AC、BC于点E、F，再分别以点E、F为圆心，以大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线CP交AB于点D．若BD=4，AC=16，则△ACD的面积是 ． 【答案】32 【分析】过点D作DQ⊥AC，由作法可知CP是角平分线，根据角平分线的性质知DB=DQ=3，再由三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，过点D作DQ⊥AC于点Q， 由作图知CP是∠ACB的平分线， ∵∠B=90°，BD=4， ∴DB=DQ=4， ∵AC=16， ∴S△ACD=•AC•DQ=， 故答案为32． 【点睛】本题主要考查作图-基本作图，三角形面积，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图及角平分线的性质． 18．如图，，，，则 ． 【答案】25 【分析】首先利用“”证明，可得，再根据直角三角形两锐角互余，进而可得的值． 【详解】解：∵，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：25． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、直角三角形两个锐角互余的性质等知识，求解本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质． 19．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，如图所示. 如果将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，其中点A、B的对应点分别为点D、E，联结BD，那么BD的长等于 . 【答案】； 【分析】过D作DH⊥BC交BC延长线于H，根据旋转的性质，可得CD=AC，并可求出∠DCH=30°，再在Rt△CDH中求出CH、DH，则可得BH，利用勾股定理即可求得BD． 【详解】解：如图，过D作DH⊥BC交BC延长线于H， 依题可知∠BCE=60°，∠ACB=90°=∠DCE， ∴∠ACE=∠ACB-∠BCE=30°， ∵∠ACH=∠ACB=90°=∠DCE， ∴∠ACD＝∠DCE-∠ACE=60°， ∴∠DCH＝∠ACH-∠ACD=30°， ∵根据旋转的性质，CD=AC=， ∴在Rt△DCH中，DH=CD=， 则CH=DH=6， ∴BH=BC+CH=3+6=9， ∴BD=＝． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质、勾股定理、含30°角的直角三角形的性质等知识，充分利用勾股定理是解答本题的关键． 20．如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，O为AB的中点，点E在BC上，且CE=AC，∠BAE=15°，则∠COE= 度． 【答案】75 【分析】根据等腰直角三角形的性质得到∠CAE=∠AEC=45°，求得∠CAB=60°，得到∠B=30°，根据直角三角形的性质得到CO=BO=AO=AB，得到△AOC是等边三角形，∠OCB=∠B=30°，于是得到结论． 【详解】解：∵∠ACB=90°，CE=AC， ∴∠CAE=∠AEC=45°， ∵∠BAE=15°， ∴∠CAB=60°， ∴∠B=30°， ∵∠ACB=90°，O为AB的中点， ∴CO=BO=AO=AB， ∴△AOC是等边三角形，∠OCB=∠B=30°， ∴AC=OC=CE， ∴∠COE=∠CEO=×（180°-30°）=75°， 故答案为：75． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确地识别图形是解题的关键． 三、解答题 21．如图，，，，∠DAB的角平分线与∠CBA的角平分线相交于点P，且，，，在同一条直线上．    (1)求∠PAD的度数； (2)求证：P是线段CD的中点． 【答案】(1)； (2)证明见解析 【分析】根据平行线的性质得到，再计算出，则利用角平分线的定义得到，所以，然后利用角平分线的定义得到的度数； 过点作于点，如图，根据角平分线的性质得到，从而得到． 【详解】（1）解：， ， ， 平分， ， ， ， ， 平分， ； （2）证明：过点作于点，如图，    平分， ， 平分， ， ， 是线段的中点． 【点睛】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了平行线的性质。 22．如图，∠CBF，∠ACG是△ABC的外角，∠ACG的平分线所在的直线分别与∠ABC，∠CBF的平分线BD，BE交于点D，E． （1）若∠A=70°，求∠D的度数； （2）若∠A=a，求∠E； （3）连接AD，若∠ACB=，则∠ADB= ． 【答案】（1）35°；（2）90°-α；（3）β 【分析】（1）由角平分线的定义得到∠DCG=∠ACG，∠DBC=∠ABC，然后根据三角形外角的性质即可得到结论； （2））根据角平分线的定义得到∠DBC=∠ABC，∠CBE=∠CBF，于是得到∠DBE=90°，由（1）知∠D=∠A，根据三角形的内角和得到∠E=90°-α； （3）根据角平分线的定义可得，∠ABD=∠ABC，∠DAM=∠MAC，再利用三角形外角的性质可求解． 【详解】解：（1）∵CD平分∠ACG，BD平分∠ABC， ∴∠DCG=∠ACG，∠DBC=∠ABC， ∵∠ACG=∠A+∠ABC， ∴2∠DCG=∠ACG=∠A+∠ABC=∠A+2∠DBC， ∵∠DCG=∠D+∠DBC， ∴2∠DCG=2∠D+2∠DBC， ∴∠A+2∠DBC=2∠D+2∠DBC， ∴∠D=∠A=35°； （2）∵BD平分∠ABC，BE平分∠CBF， ∴∠DBC=∠ABC，∠CBE=∠CBF， ∴∠DBC+∠CBE=（∠ABC+∠CBF）=90°， ∴∠DBE=90°， ∵∠D=∠A，∠A=α， ∴∠D=α， ∵∠DBE=90°， ∴∠E=90°-α； （3）如图， ∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACG， ∴AD平分∠MAC，∠ABD=∠ABC， ∴∠DAM=∠MAC， ∵∠DAM=∠ABD+∠ADB，∠MAC=∠ABC+∠ACB，∠ACB=β， ∴∠ADB=∠ACB=β． 故答案为：β． 【点睛】本题主要考查三角形的角平分线，三角形外角的性质，灵活运用三角形外角的性质是解题的关键． 23．已知，线段AC、BD交于点O，，于点F，于点E，，则 （1）如图，若为钝角，求证：； （2）若为锐角，其他条件不变，请画图判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）成立，见解析 【分析】（1）先证Rt△ABF≌Rt△CDF，再证△AOB≌△COD即可证明BO=DO （2）证法和（1）相同，不过注意AE+EF=EF+CF变成AE-EF=EF-CF． 【详解】（1）∵AE=CF ∴AE+EF=EF+CF ∴AF=EC ∴在Rt△ABF和Rt△CDF中 ∴Rt△ABF≌Rt△CDF（HL） ∴∠A=∠C ∴在△AOB和△DOC中 ∴△AOB≌△COD（AAS） ∴BO=DO （2） ∵AE=CF ∴AE-EF=EF-CF ∴AF=EC ∴在Rt△ABF和Rt△CDF中 ∴Rt△ABF≌Rt△CDF（HL） ∴∠A=∠C ∴在△AOB和△DOC中 ∴△AOB≌△COD（AAS） ∴BO=DO 【点睛】本题考查直角三角形HL定理的判定、全等三角形的判定（AAS），在通过全等确定其对应边相等，掌握全等判定方法是本题解题关键． 24．某地一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人如图（1），如图（2），已知云梯最多只能伸长到（即），消防车高，救人时云梯伸长至最长，在完成从（即）高的处救人后，还要从（即）高的处救人，这时消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？（延长交于点，，点在上，的长即为消防车的高） 【答案】消防车从原处向着火的楼房靠近的距离为 【分析】在Rt中，根据勾股定理得到和，于是得到结论． 【详解】解：在Rt中, ，，（m）， （m）， 在Rt中， ，，（m）， （m）， （m）， 答：消防车从原处向着火的楼房靠近的距离为． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 25．、都是等边三角形． 　 (1)如图1，求证：； (2)如图2，点P在内，为的中点，连、、，若，且． ①求证：； ②判断与的数量关系并证明． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②，证明见解析 【分析】（1）证明，可得结论； （2）①如图2中，延长到，使得，连接．证明，推出，，，再证明，可得结论；②根据得到，设，根据列出方程，求出，可得结论． 【详解】（1）解：证明：如图1中， ，都是等边三角形， ，，， ， 在和中， ， ， ； （2）①证明：如图2中，延长到，使得，连接．   ， ， 在和中， ， ， ，，， 同法可证， ， ， ， ， ， ， ． ②结论：． ， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ，， ． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，关注全等三角形解决问题． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单01 直角三角形（4个考点梳理+题型解读+提升训练） 清单01 直角三角形的性质和判定（Ⅰ） 1.直角三角形的两个锐角互余。 2.有两个角互余的三角形是直角三角形。 3.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 逆定理：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直角边所对的角等于30° 4.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 清单02 直角三角形的性质和判定（II） 1.勾股定理:直角三角形两直角边a,b的平方和,等于斜边c的平方,即 方法技巧：勾股定理的证明方法很多，可通过对图形的割补、拼接等方法,利用图形面积之间的关系进行证明，也可把直角三角形放在方格中,通过数格子、计算或用求面积的方法证明. 2.运用勾股定理求解线段长度问题的“三步法” (1)找直角:找出图中的直角三角形,或作辅助线构造直角三角形. (2)定关系:找出所求线段与直角三角形三边的关系. (3)求值:根据勾股定理计算相关线段的长度. 3.如果三角形的三条边长a,b.c满足关系,那么这个三角形是直角三角形, 清单03 直角三角形全等的判定 斜边、直角边定理:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”).清单04 角平分线的性质 1.角的平分线上的点到角的两边的距离相等 2.角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 【考点题型一】利用直角三角形的性质（Ⅰ）计算（） 【例1】如图，已知直线，，，则 ． 【变式1-1】如图，在中，是高，是角平分线，，，求的度数．    【变式1-2】如图，在中，于点F，于点E，M为的中点，若，，求的周长． 【变式1-3】.如图，在中，，边的垂直平分线交于点D，垂足为E，平分． (1)求的度数； (2)求证：； (3)若，点P是直线上的动点，求的最大值． 【考点题型二】利用直角三角形的性质（Ⅰ）证明（） 【例2】如图：在中，、分别是、两边上的高． (1)求证：； (2)当时，与的位置关系如何，请说明理由． 【变式2-1】已知：在中，，点D是边上一点，． (1)求证：； (2)过点B作于点E，试说明． 【变式2-2】如图，在中，，点在边上，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，． (1)求证：； (2)若时，求的长； (3)点在上运动时，试探究的值是否存在最小值，如果存在，求出这个最小值；如果不存在，请说明理由． 【变式2-3】如图所示，和都是等腰直角三角形，是的中点，．    (1)求证：； (2)求的长． 【变式2-4】如图，中，． (1)试说明是的高； (2)如果 ，求的长． 【考点题型三】用勾股定理解三角形（） 【例3】如图，在中，，，为的中点，，则的长是 【变式3-1】如图，在中，，于点，点为的中点，连接，已知，，求的长． 【变式3-2】如图，在四边形中，，相交于点为边上一点，且． (1)求证：； (2)求的度数（用含的代数式表示）； (3)若，，求的长． 【变式3-3】如图，在中，，，，直线垂直平分线段交于点D，求的长． 【考点题型四】勾股定理与网格问题（） 【例4】如图，边长为1的正方形网格图中，点都在格点上，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，在6×6方格中，点A，B，C均在格点上，的对称轴经过格点（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，在边长为1的小正方形网格中，的顶点均在格点上，则点到线段的距离为（   ） A． B．2 C． D． 【变式4-3】在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，求证：． 【考点题型五】勾股定理与折叠问题（） 【例5】如图，在中，，，，是的中点，是上一点，连接、．将沿翻折，点落在上的点处，则的长是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，将长方形纸片对折，折痕为，然后展开，点为上一点，再将沿折叠，使点落到上的点处，若，则的长为（    ）    A． B．4 C． D．3 【变式5-2】如图，在中，，D、E分别是斜边和直角边上的点．把沿着直线折叠，顶点B的对应点是点．若点落在直角边的中点上，则的长是（   ） A． B．4 C．5 D． 【变式5-3】已知，如图长方形中，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为（　　） A． B． C． D． 【变式5-4】.如图，在中，已知，D为上一点，沿将折叠，C点刚好落在边上的点E处，则的长为 ． 【变式5-5】如图所示，有一块直角三角形纸片，，将斜边翻折，使点B落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则的长． 【考点题型六】勾股定理的证明方法（） 【例6】下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（   ） A．B． C． D． 【变式6-1】现有4个全等的直角三角形（阴影部分），直角边长分别为a、b，斜边长为c，将它们拼合为如图的形状．用两种不同的方法计算整个组合图形的面积，可以证明勾股定理， (1)请将证明过程补充完整：方法一：以c为边的正方形的面积+两个直角三角形的面积，即最后化简为__________；方法二：以a和b为边的两个小正方形的面积+两个直角三角形的面积，即最后化简为__________；根据面积相等，直接得等式__________，化简最后结果是__________． (2)当时，求空白部分的面积． 【变式6-2】【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得出结论．这里用两种求法表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】 千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜．某数学爱好者构造发现了以下证法：把两个全等的直角三角形和直角三角形按如图2所示放置，其三边长分别为，，显然． ①请用分别表示出梯形的面积________，的面积________；并求出四边形的面积（用含c的式子表示，要写过程） ②请利用①中这三个图形面积之间的关系，证明勾股定理； 【方法迁移】 （1）如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得到，则边上的高为________； （2）如图4，在中，是边上的高，，，，设，求x的值． 【变式6-3】现有4个全等的直角三角形（阴影部分），直角边长分别为，，斜边长为，将它们拼成如图的形状．根据该图，可以用两种不同的方法计算整个图形的面积，通过面积相等来证明勾股定理，请你将下面的证明过程补充完整． 证明：添加辅助线，如图， 整个图形的面积有两种表示方法： 方法一：以为边的正方形的面积+两个直角三角形的面积，列式后化简，得________； 方法二：以和为边的两个小正方形的面积＋两个直角三角形的面积，列式后化简，得________； 根据面积相等，得到等式________， 化简这个等式，得________， 从而证明了勾股定理． 【考点题型七】勾股定理的应用（） 【例7】数学兴趣小组为测量学校与河对岸的科技馆之间的距离，在的同岸选取点，测得，，，如图，据此可求得之间的距离为（    ） A． B． C． D．30 【变式7-1】《九章算术》有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？这道题的意思是：有一个正方形的池塘，边长为1丈（1丈尺），有一棵芦苇生长在池塘的正中央，并且芦苇高出水面部分有1尺，如果把芦苇拉向岸边则恰好碰到岸沿，则芦苇的高度为（    ） A．10尺 B．11尺 C．12尺 D．13尺 【变式7-2】如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】《九章算术》“勾股”章节中记载了一个“折竹抵地”的问题：“今有竹高1丈8尺，末折抵地、去木6尺、向折者高几何？”译文：如图，今有竹垂直于地面，折断前竹高为1丈8尺.折断后竹梢触地、触地点离根部6尺，问折断处的高是 尺.（1丈尺） 【变式7-4】如图所示，小明上学途中要经过，两地，由于，两地之间有一片草坪，所以需要走路线，．小明想知道，两地间的距离，测得，，，两地间距离为 【变式7-5】如图，一架长的梯子，斜靠在竖直的墙上，这时梯子的底部到墙底端的距离为． (1)这个梯子的顶端距地面有多高？ (2)梯子的底部在水平方向滑动了至点，求梯子的顶端沿墙垂直下滑了多少米． 【变式7-6】随着中小学双休制度的全面落实，各学校提倡学生利用周末走进大自然，调动五官，提高感知力，解放身心，放松自我，缓解学习压力．某周周末，小明和小亮相约去母鸡山公园放风筝，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为12米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为20米； ③牵线放风筝的小明的身高为1.65米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想风筝沿方向下降11米，则他应该往回收线多少米？ 【变式7-7】综合与实践 小明同学在延时课上进行了项目式学习实践探究，并绘制了如下记录表格： 课题 在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度 模型 抽象 测绘数据 ①测得水平距离的长为15米 ②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线的长为17米 ③牵线放风筝的手到地面的距离为米 说明 点A，B，E，D在同一平面内 请根据表格信息，解答下列问题． (1)求线段的长； (2)若想要风筝沿方向再上升12米，则在长度不变的前提下，小明同学应该再放出多少米线？ 【变式7-8】如图，在离水面高度为米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为17米，此人以每秒1米的速度收绳．（假设绳子一直是绷直的状态） (1)若，4秒后，船移动到点的位置，问船向岸边移动了多少米？（结果保留根号） (2)若7秒后船移动到点的位置，船向岸边移动了9米，求的值． 【变式7-9】已知某高速路段限速（即）．如图，汽车在车速检测仪A正前方30米的处，过了后到处，测得．请通过计算判断汽车是否超速． 【变式7-10】由于过度采伐森林和破坏植物，使我国许多地区频频遭受沙尘暴的侵袭．近日市气象局测得沙尘中心在市正西方向千米的处，以千米/时的速度向东偏南的方向移动，距离沙尘中心千米的范围是受沙尘暴严重影响的区域． (1)问市会不会受到沙尘暴的严重影响？请通过计算说明理由； (2)若受影响请计算市受影响的时间． 【变式7-11】如图，某小区的两个喷泉，位于小路的同侧，两个喷泉之间的距离为，喷泉的供水点在小路上．现要为喷泉铺设两条互相垂直的供水管道和，已铺管道长为，长为，供水点到的距离是． (1)请判断供水管道与是否符合铺设要求； (2)求的长及的长． 【考点题型八】利用勾股定理的逆定理求解（） 【例8】如图，是等边三角形内的一点，连接、、，且，将绕点顺时针旋转到的位置．连接，则以下结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】.如图，在四边形中，，，，，且，则四边形的面积为（ ） A． B． C． D． 【变式8-2】如图，在中，，D，E两点分别在直线和直线上运动（点E不与点C重合）．若与全等，则线段的长为 ． 【变式8-3】如图，四边形中，，且．求四边形的面积． 【考点题型九】勾股定理逆定理的拓展问题（） 【例9】根据勾股定理，任意直角三角形的两条直角边长 ， ，和斜边长都是含三个未知数的方程 的一组解，而每一组勾股数（例如3，4，5；5，12，13；等）都是这个方程的正整数解．高于二次的方程，，，…是否也有正整数解呢？法国数学家费马经过研究得出结论：当自然数 时，方程没有正整数解．这个命题的证明引起了世界各国数学家的关注，最终由英国数学家怀尔斯于1995年完成了证明．困扰了数学家300多年历史的数学难题终于得到解决，在解决这一数学难题的过程中，反映了一代代数学家艰苦探索、不屈不挠的科学精神和聪明智慧．这个定理的证明被称为“世纪性的成就”．这个定理指的是（    ） A．费马大定理 B．怀尔斯大定理 C．勾股定理 D．勾股定理的逆定理 【变式9-1】阅读下列内容，并解决问题． 一道习题引发的思考 小明在学习《勾股定理》一章内容时，遇到了一个习题，并对有关内容进行了研究： 【习题再现】古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a=2m，b= m²-1，c= m²+1，那么a，b，c为勾股数．你认为对吗?如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗? 【资料搜集】定义：勾股数是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数．一般地，若三角形三边长a，b，c都是正整数，且满足a2+b2=c²，那么a，b，c称为一组勾股数． 关于勾股数的研究；我国西周初数学家商高在公元前1000年发现了"勾三，股四，弦五"，这组数（3、4、5）是世界上最早发现的一组勾股数．毕达哥拉斯学派、柏拉图学派、我国数学家刘徽、古希腊数学家丢番图都进行过勾股数的研究，习题中的表达式是柏拉图给出的勾股数公式，这个表达式未给出全部勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是《九章算术》． 【问题解答】 （1）根据柏拉图的研究，当m=6时，请直接写出一组勾股数； （2）若m表示大于1的整数，试证明（m²-1，2m，m²+1）是一组勾股数； （3）请举出一个反例（即写出一组勾股数），说明柏拉图给出的勾股数公式不能构造出所有的勾股数． 【变式9-2】我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边． （1）写出你所知道的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称　 　，　 　． （2）如图（1），请你在图中画出以格点为顶点，OA、OB为勾股边，且对角线相同的所有勾股四边形OAMB． （3）如图（2），以边AB作如图正三角形ABD，∠CBE＝60°，且BE＝BC，连接DE、DC，∠DCB＝30°．求证：DC2+BC2＝AC2，即四边形ABCD是勾股四边形． 【变式9-3】课间，小明拿着王老师的等腰直角三角板玩，三角板不小心掉到墙缝中．我们知道两堵墙都是与地面垂直的，如图．王老师没有批评他，但要求他完成如下两个问题： （1）试说明； （2）从三角板的刻度知AC＝25cm，算算一块砖的厚度．（每块砖的厚度均相等）小明先将问题所给条件做了如下整理：如图，中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AD⊥DE于D，BE⊥DE于E．请你帮他完成上述问题． 【变式9-4】先观察下列各组数，然后回答问题： 第一组：，，； 第二组：，，； 第三组：，，； 第四组：，，； （1）根据各组数反映的规律，用含的代数式表示第组的三个数； （2）如果各组数的三个数分别是三角形的三边长，那么这个三角形是什么三角形？请说明理由； （3）如图，，，，若，，为上列按已知方式排列顺序的某一组数，且，，求的长． 【考点题型十】求最短路径（） 【例10】如图，在一张边长为的正方形纸板上，放着一根长方体木块，已知木块的较长边与平行且相等，横截面是一个边长为的正方形，一只蚂蚁从点A出发，翻过木块到达点C处，需要走的最短路程为（   ）． A． B． C． D． 【变式10-1】如图，一个圆柱形玻璃杯的高为，底面周长为，在杯内壁底部的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的爬行最短路线的长为 ．（杯壁厚度不计） 【变式10-2】如图，圆柱形玻璃容器的高为，底面周长为，在外侧距下底的点S处有一壁虎，与壁虎相对的圆柱形容器的上口内侧距开口处的点F处有一蚊子，急于捕获蚊子充饥的壁虎，所走的最短路线的长度为 ． 【变式10-3】如图，一圆柱高，底面半径是，一只蚂蚁绕着圆柱向上螺旋式爬行，假设蚂蚁绕圆柱外壁从点爬到点，圆周率取近似值3，则蚂蚁爬行路线的最短路径长为 ． 【变式10-4】如图，一个没有上盖的圆柱形食品盒，它的高等于，底面周长为，在盒外下底面的点A处有一只蚂蚁，蚂蚁爬行的速度为．想沿盒壁爬行吃到盒内正对面中部点B处的食物，那么它至少需要 秒（盒的厚度和蚂蚁的大小忽略不计） 【考点题型十一】直角三角形全等的判定（） 【例11】如图所示，在和中，已知，，则的理由是（   ） A．SAS B．AAS C．HL D．ASA 【变式11-1】如图，在和中，，，，则能直接判断的依据是（   ） A． B． C． D． 【变式11-2】如图，在中，为延长线上一点，点在上，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【变式11-3】求证：如果一个三角形一边上的中点到另外两边的距离相等，则该三角形为等腰三角形．请结合下边图形，用数学符号语言补全“已知”、“求证”，并写出证明过程． 已知：如图，在中，D是的中点，__________，__________，__________． 求证：__________． 证明： 【考点题型十二】直角三角形全等的综合运用（） 【例12】如图所示，中，，直线经过点A，，，垂足分别是点D，E，且． (1)求证：； (2)求的度数． 【变式12-1】如图，，，，、相交于点．求证：． 【变式12-2】如图，在四边形中，已知，．求证：． 【变式12-3】如图，在中，D是的中点，，，垂足分别是E、F，且．求证： (1) (2)连接 ， 垂直平分 【变式12-4】如图，四边形中，，，，，与相交于点．判断线段与的位置关系，并说明理由． 【考点题型十三】利用角平分线的性质求解（） 【例13】如图，中，，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点M、N，再分别以点M、N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点P，射线交于点D，过D作DE⊥AC于点E，若，那么的面积是（   ） A．10 B．30 C．24 D．32 【变式13-1】如图，在中，以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交、于点、；再分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，连接并延长，交于点，若点到的距离为4，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式13-2】如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，作射线交于点．已知，则的长为 ． 【变式13-3】如图所示，已知的周长是21，分别平分和，于D，且，则的面积是 ． 【变式13-4】如图，在中，，是的平分线，于点，，，求的长． 【考点题型十四】 角平分线的性质定理及其逆定理的综合运用（） 【例14】如图，中，点在边延长线上，的平分线交于点，过点作，垂足为，且． (1)的度数是 ； (2)求证：平分； (3)若，且，求的面积． 【变式14-1】.如图，中，，点D在边延长线上，的平分线交于点E，过点E作，垂足为H，且. (1)求的度数； (2)求证：平分； (3)若，，且，求的面积. 【变式14-2】如图，在中，，，是上的一点，且． (1)尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）：过点作的垂线，交于点，连接； (2)求证：是的角平分线． 猜想平分，完成下列证明： ，， ① ， ， ② ， ③ ， ，， ④ ， ，， ⑤ 【变式14-3】如图，在和中，，，若，连接交于点； (1)求证：． (2)求的度数． (3)连接，求证：平分． (4)如图2，是等腰直角三角形，，，，点是射线上的一点，连接，在直线上方作以点C为直角顶点的等腰直角三角形，连接，若，请直接写出的值． 【变式14-4】如图，四边形中，，，交于M．    (1)求证：平分； (2)若，，求． 【考点题型十五】与直角三角形有关的新定义问题（） 【例15】学校的数学思维节活动中，既爱思考，又勤于动手的小青同学借助电脑技术创造出了如图所示的非常又创意的几何图案，他在和同学们分享的时候介绍了其中的数学原理：在的两条对角线上分别取两个动点E、F，始终保持，然后让这两个动点在各自的对角线上运动，将线段EF的轨迹呈现出来，就得到了如图所示的图形．小青同学在探索的过程中发现，两个动点的运动范围都是受限的，称各点运动范围的两个端点为“极限位置”，分别记为、和、，若F点的“极限位置”恰好是A、C，当，且与的夹角为，则当点E处于“极限位置”时，的长为 ． 【变式15-1】定义：两组邻边分别相等的四边形叫做筝形． (1)如图1，已知四边形是筝形，则其对角线与满足的关系是_________； (2)如图2，中，，，，为线段上一点，将沿向外翻折得，将沿向右翻折得，连接，若，判断四边形是否为筝形，请说明理由，并求出的长； (3)如图3，四边形中，，，，点在上，，当时，请直接写出的最大值． 【变式15-2】若两个等腰三角形有公共底边，且满足两个顶角和是，则称这两个顶点关于这条底边互为“唯美点”． 【概念理解】 （1）点在线段的垂直平分线上（点在直线上方），且．若点与点关于互为“唯美点”，则___________． 【性质探究】 （2）如图，在矩形中，为边上一点，且平分，交于点，连接，．求证：点与点关于互为“唯美点”． 【拓展应用】 （3）如图，在矩形中，为线段上一动点（不与端点重合），为平面内一点，点与点关于互为“唯美点”，直线交直线于点，在点运动过程中，当时，请直接写出的长． 【变式15-3】如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，直线经过原点，与轴正半轴的夹角为，为直线上一动点，为平面内一点，连接，，．若为等边三角形（点，，按逆时针排列），则称为点的“伴随点”．        (1)若，则点的“伴随点”的坐标为 ； (2)若，求点的“伴随点”的坐标； (3)连接，延长交轴于点．若为直角三角形，求出线段的长． 【变式15-4】我们定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，两边交点为勾股顶点． 【特例感知】 （1）如图1，已知为勾股高三角形，其中C为勾股顶点，是边上的高．若，，试求线段的长度． 【深入探究】 （2）如图2，已知为勾股高三角形，其中为勾股顶点且，是边上的高．试探究线段与的数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）如图3，等腰为勾股高三角形，其中，为边上的高，过点向边引平行线与边交于点．若，试求线段的长度． 提升训练 一、单选题 1．三条公路将A，B，C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（    ）． A．三条高线的交点 B．三条中线的交点 C．三条角平分线的交点 D．三边垂直平分线的交点 2．△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，若按如图的尺规作图方法作出线段BD，则下列结论错误的是（　　） A．AD＝BD B．∠BDC＝72° C．S△ABD：S△BCD＝BC：AC D．△BCD的周长＝AB+BC 3．如图，在中，，是高，能直接判断的依据是（    ） A． B． C． D． 4．△ABC中，∠A=30°，∠B=90°，则∠C为（　　） A．30° B．40° C．50° D．60° 5．如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为的半圆，其边缘．小明要在AB上选取一点E，能够使他从点D滑到点E再滑到点C的滑行距离最短，则他滑行的最短距离约为（ ）m．（取3） A．30 B．28 C．25 D．22 6．如图，中，是边的高线，平分，，，则的面积是（　　） A． B． C． D． 7．如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，∠B=∠E =90°，AB=DE，若添加一个条件后，能用“HL”的方法判定Rt△ABC≌Rt△DEF，添加的条件可以是（　　）    A．BC=EF B．∠BCA=∠F C．AB∥DE D．AD=CF 8．如图，有一块直角三角形纸片，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则BD的长为（    ） A．2 B． C． D．4 9．如图所示，在△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，并且CD、BE交于点P，若∠A=60°，则 ∠BPC等于（    ） A．90° B．120° C．150° D．160° 10．如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，点E在上．若，，，当最小时，的面积是（　　） A．2 B．1 C．6 D．7 11．如图，中，，，，点D是的中点，将沿翻折得到，连接，，则线段的长等于（    ） A． B． C． D． 12．如图，在中，和的平分线，相交于点O，交于E，交于F，过点O作于D，下列三个结论：①；②当时，；③若，，则．其中正确的是（    ） A．①② B．②③ C．①②③ D．①③ 13．如图，中，，，．则为（    ）    A． B． C． D． 14．如图，中，，M是斜边的中点，将绕点F按顺时针方向旋转，点E落在延长线上的处，点D落在处，若， ．则的长为（　　） A． B．6 C． D． 15．如图，等腰中，，，于点，的平分线分别交、于、两点，为的中点，的延长线交于点，连接，下列结论：①；②为等腰三角形；③；④；⑤，其中正确结论有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 二、填空题 16．如图，和都是等腰直角三角形，若，，，则 ． 17．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，以顶点C为圆心、适当长为半径画弧，分别交AC、BC于点E、F，再分别以点E、F为圆心，以大于EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线CP交AB于点D．若BD=4，AC=16，则△ACD的面积是 ． 18．如图，，，，则 ． 19．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，如图所示. 如果将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，其中点A、B的对应点分别为点D、E，联结BD，那么BD的长等于 . 20．如图，已知△ABC中，∠ACB=90°，O为AB的中点，点E在BC上，且CE=AC，∠BAE=15°，则∠COE= 度． 三、解答题 21．如图，，，，∠DAB的角平分线与∠CBA的角平分线相交于点P，且，，，在同一条直线上．    (1)求∠PAD的度数； (2)求证：P是线段CD的中点． 22．如图，∠CBF，∠ACG是△ABC的外角，∠ACG的平分线所在的直线分别与∠ABC，∠CBF的平分线BD，BE交于点D，E． （1）若∠A=70°，求∠D的度数； （2）若∠A=a，求∠E； （3）连接AD，若∠ACB=，则∠ADB= ． 23．已知，线段AC、BD交于点O，，于点F，于点E，，则 （1）如图，若为钝角，求证：； （2）若为锐角，其他条件不变，请画图判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由． 24．某地一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人如图（1），如图（2），已知云梯最多只能伸长到（即），消防车高，救人时云梯伸长至最长，在完成从（即）高的处救人后，还要从（即）高的处救人，这时消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？（延长交于点，，点在上，的长即为消防车的高） 25．、都是等边三角形． 　 (1)如图1，求证：； (2)如图2，点P在内，为的中点，连、、，若，且． ①求证：； ②判断与的数量关系并证明． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$