专题01 直角三角形（1）（9大考点经典基础练+优选提升练）（湖南专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期末真题分类汇编

专题01 直角三角形（1） 题型概览 题型01直角三角形两锐角互余 题型02含有30°的直角三角形 题型03斜边的中线等于斜边的一半 题型04用勾股定理解三角形 题型05勾股数问题 题型06勾股定理解决面积问题 题型07勾股定理与折叠问题 题型08以弦图为背景的计算 题型09勾股定理的应用 ( 题型01 ) 直角三角形两锐角互余 1．（23-24八年级下·湖南永州·期末）在中，，若，则等于（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·湖南益阳·期末）如图，在中，，D是的中点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·湖南永州·期末）在中，，则两个锐角的度数为（    ） A．和 B．和 C．和或和 D．以上说法都不对 4．（23-24八年级下·湖南岳阳·期末）如图，在中，，于点D，且，则 °． 5．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，，，若，则 °．    6．（23-24八年级下·湖南·期末）在中，．若，则∠B的度数为 ． ( 题型02 ) 含有30°的直角三角形 7．（23-24八年级下·湖南邵阳·期末）如图，已知，，，则的长等于 ． 8．（23-24八年级下·湖南郴州·期末）如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中，分别表示一楼、二楼地面的水平线，，的长是，则乘电梯从点到点上升的高度是 ．    9．（23-24八年级下·湖南怀化·期末）如图，在中，，，，则的长度为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，一个地铁站入口的双翼闸机的双翼展开时，双翼边缘的端点P与Q之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面的夹角，闸机的通道宽度为（    ）    A． B． C． D． 11．（23-24八年级下·湖南·期末）在中，，，，则 ． 12．（23-24八年级下·湖南·期末）已知：如图，中，，是高，，．求的长． ( 题型03 ) 斜边的中线等于斜边的一半 13．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）如图（1），云梯斜靠在墙上，墙垂直于地面．如图（2），记云梯为，点P是的中点，表示云梯在沿墙下滑过程中的某个位置，点A，B，P的对应点分别为点，，，在云梯的下滑过程中，下列关于与的长度关系判断正确的是（    ） A． B． C． D．无法确定 14．（23-24八年级下·湖南邵阳·期末）如图，在中，，，点D为的中点，则（    ） A． B． C． D． 15．（23-24八年级下·湖南株洲·期末）如图，在中，点M是斜边的中点，以为边作正方形．若，则 ． 16．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，在中，，是的中点，若，则的长为 ． 17．（23-24八年级下·湖南怀化·期末）在中，，点D是的中点，则 ． 18．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，在中，是斜边上的中线，若，则（    ） A．10 B．6 C．8 D．5 ( 题型0 4 )用勾股定理解三角形 19．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，在中，，，点为的中点，于点，则的长为 ． 20．（23-24八年级下·湖南株洲·期末）已知直角梯形上底长，下底长，另一个底角为．建立如图所示的平面直角坐标系，写出梯形四个顶点的坐标，并求出梯形的面积． 21．（23-24八年级下·湖南株洲·期末）如图， 线段， 过点 作且，连结；过点作 且，连结； 过点作且，连结，依照此法继续作图，则（为大于的自然数）的长为（    ） A． B． C． D． 22．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）已知等边的边长为2，则其面积为（    ） A．2 B． C．2 D．4 23．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为8米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想风筝沿方向下降9米，则他应该往回收线多少米？ 24．（23-24八年级下·湖南郴州·期末）如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（   ）    A．4 B．6 C．16 D．18 ( 题型0 5 )勾股数问题 25．（23-24八年级下·湖南·期末）下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．1，2， B．0.6，0.8，1 C．，， D．9，40，41 26．（23-24八年级下·湖南株洲·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，属于“勾股数”的是（    ） A．1，2，3 B．3，4，5 C．4，5，6 D．5，6，7 27．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，则正方形的面积之和为 ．    28．（23-24八年级下·湖南·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（    ） A． B． C． D． ( 题型0 6 )勾股定理解决面积问题 29．（23-24八年级下·湖南岳阳·期末）如图，，，，则阴影部分的面积是 ． 30．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，在中，，分别以的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用，，表示．若，，则的值是 ． 31．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，在中，，分别以，为边向外作正方形，面积分别为，，若，，则的长为（   ） A．4 B．2 C． D．3 32．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，网格中每个小正方形的面积为单位1，则图形C的面积是（    ） A．6 B． C． D．13 33．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，在中，，以为边的正方形的面积分别为、．若，，则的长为 ． ( 题型0 7 )勾股定理与折叠问题 34．（23-24八年级下·湖南岳阳·期末）如图，在中，．点D是边上的一动点（不与点B、C重合），过点D作交于点E，将沿直线翻折，点B落在射线上的点F处．当为直角三角形时，的长为 ． 35．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，有一块的纸片，，，，将沿折叠，使点落在上的处，连接，则的长为（    ） A． B． C． D． 36．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，在直角坐标系中，C点在线段上，D点在线段上，将沿直线折叠后，B点与A重合，则点C坐标是 ． 37．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）如图，在中，，把沿直线折叠，使与重合． (1)若，则的度数为________； (2)若，，求的长； (3)当的面积为时，求的周长．（用含的代数式表示） ( 题型0 8 )以弦图为背景的计算 38．（23-24八年级下·湖南株洲·期末）第24届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形拼成的大正方形中，，连接．若正方形与正方形的面积之比为，且有，则n的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 39．（23-24八年级下·湖南·期末）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．直角三角形的两直角边分别为和（），若小正方形面积为，则大正方形的面积为 ． 40．（23-24八年级下·湖南·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三、股四、弦五”这一结论． 勾股定理与图形的面积存在密切的关系， 如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，若的面积为6，，，则阴影部分的周长为 ． 41．（23-24八年级下·湖南·期末）“赵爽弦图”通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，它表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智．如图所示的“赵爽弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是29，小正方形的面积是9；设直角三角形较长直角边的长为，较短直角边的长为，则的值是 ． 42．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接四条线段得到如图2的新的图案．如果图1中的直角三角形的长直角边为10，短直角边为6，图2中的阴影部分的面积为S，那么S的值为（　　） A．48 B．64 C．96 D．112 ( 题型0 9 )勾股定理的应用 43．（23-24八年级下·湖南·期末）如图,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙的距离为0.7米,顶端距离地面2.4米．若保持梯子底端位置不动,将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面1.5米,则小巷的宽度为（    ） A．1.8米 B．2米 C．2.5米 D．2.7米 44．（23-24八年级下·湖南·期末）明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺，于E），此时踏板升高离地五尺（尺），求秋千绳索（或）的长度． 45．（23-24八年级下·湖南·期末）如图有两棵树，一棵高14，一堁高2，两树之间相距5，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了（    ）米？ A．11 B．12 C．13 D．14 46．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去高六尺，折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），一阵风将竹子折断，竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺，根据题意，可列方程为（　　）    A． B． C． D． 47．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，一支铅笔放在圆柱形的笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高为12cm．若铅笔的长为20cm，则这只铅笔露在笔筒外面的长度最小是 cm．    48．（23-24八年级下·湖南·期末）在海平面上有A，B，C三个标记点，C为灯塔，港口A在灯塔C的北偏西方向上，港口A与灯塔C的距离是40海里；港口B在灯塔C的南偏西方向上，港口B与灯塔C的距离是30海里，一艘货船将从A港口沿直线向港口B运输货物，货船的航行速度为20海里/小时． (1)货船从A港口航行到B港口需要多少时间； (2)为了保障航行的安全，C处灯塔将向航船发送安全信号，信号有效覆盖半径为25海里，这艘货船在由A港口向B港口运输货物过程中，为保证安全航行，货船接收灯塔的安全信号时间不低于小时才符合航行安全标准．问：这艘货船在本次运输中是否符合航行安全标准，并说明理由？ 49．（23-24八年级下·湖南·期末）交通安全是社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速、超载、不按规定行驶．某中学八年级数学活动小组的同学进行了测试汽车速度的实验．如图，先在笔直的公路l旁选取一点P，在公路l上确定点，使得，米，．这时，一辆轿车在公路l上由B向A匀速驶来，测得此车从B处行驶到A处所用的时间为3秒，并测得．此路段限速每小时80千米，试判断此车是否超速？请说明理由（参考数据：）． 50．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，A市气象站测得台风中心在A市正东方向的B处，以的速度向北偏西的方向移动，距台风中心范围内是受台风影响的区域． (1)请通过计算说明A市是否会受到台风的影响? (2)如果A市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长? 一、单选题 1．（23-24八年级下·湖南永州·期末）如图，公路互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则两点间的距离为（    ） A．0.3km B．0.6km C．1km D．2.4km 2．（23-24八年级下·湖南·期末）如图所示的网格是正方形网格，点是网格线交点，且点在的边上，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，点在等边的边上，，射线，垂足为点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当取最小值时，若，则此时的长为 ．    4．（23-24八年级下·湖南·期末）如图：是边长为的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿、方向匀速移动，它们的速度都是，当点P到达B时，P、Q两点停止运动，当点P到达B时，P、Q两点停止运动．设点P运动的时间为．当t为 时，是直角三角形． 三、解答题 5．（23-24八年级下·湖南岳阳·期末）在中，，，点是的中点，，垂足为E，连接． (1)如图1，与的数量关系是__________． (2)如图2，若P是线段上一动点（点P不与点B、C重合），连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接，请猜想三者之间的数量关系，并证明你的结论； 6．（23-24八年级下·湖南·期末）已知在中，的平分线交于点D，． (1)如图1，求证：是等腰三角形； (2)如图2，若平分交于E，，在边上取点F使，若，求的长． 7．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）如图，在中，过点A作，交于点D． (1)若，求的长； (2)在（1）的条件下，，求的面积； (3)若，求的面积． 8．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）如图，点，，分别在等边的各边上，且于点，于点，于点．    (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长． 9．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积． 10．（23-24八年级下·湖南·期末）如图在四边形中，，，，且，求的度数．    2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 直角三角形（1） 题型概览 题型01直角三角形两锐角互余 题型02含有30°的直角三角形 题型03斜边的中线等于斜边的一半 题型04用勾股定理解三角形 题型05勾股数问题 题型06勾股定理解决面积问题 题型07勾股定理与折叠问题 题型08以弦图为背景的计算 题型09勾股定理的应用 ( 题型01 ) 直角三角形两锐角互余 1．（23-24八年级下·湖南永州·期末）在中，，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形两锐角互余是解题的关键．根据直角三角形的两个锐角互余即可求出结果． 【详解】解：在中，，， ， ， 故选：． 2．（23-24八年级下·湖南益阳·期末）如图，在中，，D是的中点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．先利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后再利用直角三角形斜边上的中线性质可得，从而利用等边对等角，即可解答． 【详解】解：，， ， 为的中点， ， ， 故选：D 3．（23-24八年级下·湖南永州·期末）在中，，则两个锐角的度数为（    ） A．和 B．和 C．和或和 D．以上说法都不对 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理以及直角三角形中两锐角互余等知识，分类计算，当时，，则，当时，，结合已知条件可得出和． 【详解】解：当时，， 则， 当时，， 则，， 故选：C． 4．（23-24八年级下·湖南岳阳·期末）如图，在中，，于点D，且，则 °． 【答案】30 【分析】本题考查了等边三角形性质和判定，直角三角形性质．取的中点为，连接，证明为等边三角形，得到，进而得到，再结合直角三角形两锐角互余，以及角的运算，即可解题． 【详解】解：取的中点为，连接， 中，，， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， 故答案为：30． 5．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，，，若，则 °．    【答案】30 【分析】本题考查了垂直的定义，直角三角形的两锐角互余，解题的关键是熟练掌握垂直的定义， 根据垂直的定义和直角三角形的性质 即可求解 【详解】解： 故答案为：30 6．（23-24八年级下·湖南·期末）在中，．若，则∠B的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查直角三角形的两锐角互余，根据直角三角形的性质即可求解，掌握直角三角形中两锐角互余是解题的关键． 【详解】解：根据题意，， 故答案为：． ( 题型02 ) 含有30°的直角三角形 7．（23-24八年级下·湖南邵阳·期末）如图，已知，，，则的长等于 ． 【答案】4 【分析】本题考查含角的直角三角形的性质，角所对的直角边等于斜边的一半；熟记性质是解题关键． 根据角所对的直角边等于斜边的一半的性质即可得答案． 【详解】解：∵， ， 故答案为：4． 8．（23-24八年级下·湖南郴州·期末）如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中，分别表示一楼、二楼地面的水平线，，的长是，则乘电梯从点到点上升的高度是 ．    【答案】 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，作交的延长线于，则，求出，再由含角的直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，作交的延长线于，则，   ， ∵， ∴， ∵的长是， ∴，即， 故答案为：． 9．（23-24八年级下·湖南怀化·期末）如图，在中，，，，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内角和性质以及30度所对的直角边是斜边的一半，先根据，，算出，结合30度所对的直角边是斜边的一半，进行作答即可． 【详解】解：∵在中，， ∴ ∵， ∴ 故选：C 10．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，一个地铁站入口的双翼闸机的双翼展开时，双翼边缘的端点P与Q之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面的夹角，闸机的通道宽度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质．过作于，过作于，则可得和的长，依据端点与之间的距离为，即可得到闸机的通道宽度． 【详解】解：如图所示过作于，过作于，    则中，，， ， 同理可得，， 又点与之间的距离为， 闸机的通道宽度为， 故选：B． 11．（23-24八年级下·湖南·期末）在中，，，，则 ． 【答案】/厘米 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，比较容易解答，要求熟记30°角所对的直角边是斜边的一半．根据含30度角的直角三角形的性质直接求解即可． 【详解】解：在中， ∵，，， ∴． 故答案为：． 12．（23-24八年级下·湖南·期末）已知：如图，中，，是高，，．求的长． 【答案】8 【分析】由，得到，结合，求得，根据直角三角形的性质有一个角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半得到，由中，，于是得到，根据直角三角形的性质有一个角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半即可得到．本题考查了含30度角的直角三角形性质的应用，注意：在直角三角形中，如果有一个角等于30度，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 在中，，， ， ． ( 题型03 ) 斜边的中线等于斜边的一半 13．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）如图（1），云梯斜靠在墙上，墙垂直于地面．如图（2），记云梯为，点P是的中点，表示云梯在沿墙下滑过程中的某个位置，点A，B，P的对应点分别为点，，，在云梯的下滑过程中，下列关于与的长度关系判断正确的是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，即可解答． 【详解】解：，点P是的中点，点是的中点， ， 在滑动的过程中的长度不变． 故选：B． 14．（23-24八年级下·湖南邵阳·期末）如图，在中，，，点D为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 【详解】解：∵，点D为的中点， ∴， 故选A． 15．（23-24八年级下·湖南株洲·期末）如图，在中，点M是斜边的中点，以为边作正方形．若，则 ． 【答案】20 【分析】本题主要考查了正方形的面积计算公式，直角三角形斜边上的中线性质．先根据正方形的面积求出，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴， ∵， ∴， ∵在中，点M是斜边的中点， ∴， 故答案为：20． 16．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，在中，，是的中点，若，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了直角三角形的性质，解题关键是掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ，进而可得答案． 【详解】解：∵，是的中点， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 17．（23-24八年级下·湖南怀化·期末）在中，，点D是的中点，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查了三角形内角和性质以及斜边上的中线等于斜边的一半，根据证明是直角三角形，再结合点D是的中点，斜边上的中线等于斜边的一半，即可作答． 【详解】解：∵ ∴设 则 解得 ∴ 则是直角三角形，是斜边 ∵点D是的中点 ∴ 故答案为：5 18．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，在中，是斜边上的中线，若，则（    ） A．10 B．6 C．8 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线定理，熟悉掌握斜边上的中线与斜边的数量关系是解题的关键． 【详解】解：∵在中，是斜边上的中线，且， ∴， 故选：D． ( 题型0 4 )用勾股定理解三角形 19．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，在中，，，点为的中点，于点，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查求线段长，涉及等腰三角形的性质、勾股定理、三角形面积等知识，连接，如图所示，由等腰三角形性质得到，在中由勾股定理得到长，再由等面积法列方程求解即可得到答案，熟练掌握等腰三角形性质是解决问题的关键． 【详解】解：连接，如图所示： 在中，，点为的中点， 由等腰三角形三线合一性质可得，且， 则由勾股定理可得 ，， ，解得， 故答案为：． 20．（23-24八年级下·湖南株洲·期末）已知直角梯形上底长，下底长，另一个底角为．建立如图所示的平面直角坐标系，写出梯形四个顶点的坐标，并求出梯形的面积． 【答案】， 【分析】本题考查坐标与图形、含30度角的直角三角形的性质、梯形的性质和面积公式，过B作轴于H，根据坐标与图形性质和含30度角的直角三角形的性质可写出各点坐标，再根据梯形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，过B作轴于H，则， 根据题意，， ，轴，， ∴，，， ∴， 在中，，则， ∴，． 21．（23-24八年级下·湖南株洲·期末）如图， 线段， 过点 作且，连结；过点作 且，连结； 过点作且，连结，依照此法继续作图，则（为大于的自然数）的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的应用，先根据勾股定理分别计算出、、的长，依此即可找出规律．利用勾股定理正确计算是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵且， ∴， ∵且， ∴， ∵且， ∴， …… ∴（为大于的自然数）． 故选：C． 22．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）已知等边的边长为2，则其面积为（    ） A．2 B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】本题利用了等边三角形的性质和三角形的面积公式，根据等边三角形性质得到等边三角形的面积公式为：． 【详解】如图1：过A点作于H点， ∵等边的边长为2， ∴，， ∴ ∴． 故选：B． 23．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．又到了放风筝的最佳时节．某校八年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为8米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为17米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想风筝沿方向下降9米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】(1)风筝的高度CE为16.6米 (2)他应该往回收线7米 【分析】本题考查了勾股定理的应用； （1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：在中， 由勾股定理得，， 所以，（负值舍去）， 所以，（米， 答：风筝的高度为16.6米； （2）解：由题意得，， ， （米， （米， 他应该往回收线7米． 24．（23-24八年级下·湖南郴州·期末）如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（   ）    A．4 B．6 C．16 D．18 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理．如图，证明，得到，根据勾股定理得到，即可．解题的关键是证明． 【详解】解：如图，由题意，得：，    ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴b的面积为16； 故选：C． ( 题型0 5 )勾股数问题 25．（23-24八年级下·湖南·期末）下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．1，2， B．0.6，0.8，1 C．，， D．9，40，41 【答案】D 【分析】本题考查勾股数定义，能构成直角三角形三条边（最大的数的平方等于较小的两个数的平方和）的三个正整数叫勾股数，由勾股数定义逐项验证即可得到答案，熟记勾股数定义是解决问题的关键． 【详解】解：A、三个数不都是整数，不是勾股数，不符合题意； B、三个数不都是整数，不是勾股数，不符合题意； C、三个数都不是整数，不是勾股数，不符合题意； D、，是勾股数，符合题意； 故选：D． 26．（23-24八年级下·湖南株洲·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，属于“勾股数”的是（    ） A．1，2，3 B．3，4，5 C．4，5，6 D．5，6，7 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股数，熟练掌握勾股数的定义是解题的关键： 若三个正整数a、b、c满足，则称a、b、c为勾股数．根据“勾股数”的定义，逐项判断，即可求解． 【详解】A．， 不是“勾股数”，故本选项不符合题意； B．， 是“勾股数”，故本选项符合题意； C．， 不是“勾股数”，故本选项不符合题意； D．， 不是“勾股数”，故本选项不符合题意； 故选：B． 27．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，则正方形的面积之和为 ．    【答案】25 【分析】根据勾股定理的几何意义可直接解答． 【详解】解：如图，    由勾股定理可得：正方形的面积之和等于正方形E的面积，正方形的面积之和等于正方形F的面积，正方形的面积之和等于正方形G的面积， 因此正方形的面积之和， 故答案为：25． 【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是掌握：以直角三角形的两条直角边为边长的两个正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积． 28．（23-24八年级下·湖南·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据“勾股数”的定义，逐项判断，即可求解． 【详解】解：A、，不是“勾股数”，故本选项不符合题意； B、，不是“勾股数”，故本选项不符合题意； C、，不是“勾股数”，故本选项不符合题意； D、，是“勾股数”，故本选项符合题意； 故选：D 【点睛】此题主要考查了勾股数，关键是掌握勾股数的定义：若满足的三个正整数，称为勾股数． ( 题型0 6 )勾股定理解决面积问题 29．（23-24八年级下·湖南岳阳·期末）如图，，，，则阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，扇形面积的计算；由勾股定理求得的长度，由扇形面积公式即可计算． 【详解】解：，，， ， 即半圆的半径为； 则阴影部分面积为：． 故答案为：． 30．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，在中，，分别以的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用，，表示．若，，则的值是 ． 【答案】5 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的面积公式，根据勾股定理，结合正方形的面积公式即可求解． 【详解】解：在中，由勾股定理得，， ∵分别以的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用， ∴， ∴， 即的值是5， 故答案为：5． 31．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，在中，，分别以，为边向外作正方形，面积分别为，，若，，则的长为（   ） A．4 B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理，正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．利用正方形的性质和勾股定理解答即可． 【详解】解：分别以，为边向外作正方形，面积分别为，， ，． ，， ，． ， ． 故选：B 32．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，网格中每个小正方形的面积为单位1，则图形C的面积是（    ） A．6 B． C． D．13 【答案】D 【分析】此题考查了勾股定理，以及正方形的面积公式．勾股定理最大的贡献就是沟通“数”与“形”的关系，它的验证和利用都体现了数形结合的思想，即把图形的性质问题转化为数量关系的问题来解决．能否由实际的问题，联想到用勾股定理的知识来求解是本题的关键． 【详解】解：根据勾股定理以及正方形的面积公式知： 以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积， 所以图形C的面积． 故选：D． 33．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，在中，，以为边的正方形的面积分别为、．若，，则的长为 ． 【答案】2 【分析】根据勾股定理求出，则可得出答案．本题考查的是勾股定理的应用，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 【详解】解：在中，， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：2． ( 题型0 7 )勾股定理与折叠问题 34．（23-24八年级下·湖南岳阳·期末）如图，在中，．点D是边上的一动点（不与点B、C重合），过点D作交于点E，将沿直线翻折，点B落在射线上的点F处．当为直角三角形时，的长为 ． 【答案】1或2 【分析】此题主要考查了直角三角形折叠，熟练掌握折叠性质，含的直角三角形性质，勾股定理解直角三角形，分类讨论，是解决问题的关键． 由折叠性质得到，，，由三角形外角性质得到，分和，两种情况，进行求解即可． 【详解】解：由折叠知，，，， ∴， ∵在中，，，， ∴，， ∴， ∴， 如图1，若， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵； 如图2，若， 则， ∴， ∴ ∴为直角三角形时，的长为：1或2． 故答案为：1或2． 35．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，有一块的纸片，，，，将沿折叠，使点落在上的处，连接，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理，折叠的性质，解题关键在于求得的长. 由题意可得，，由勾股定理即可求得的长，则可得的长，然后设，则，由勾股定理，即可得方程，解方程即可求得答案． 【详解】解：点是沿折叠，点的对应点，连接， ，， 在中，，，， ， ， 设，则， 在中，， 即：， 解得：， ． 故选：A． 36．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，在直角坐标系中，C点在线段上，D点在线段上，将沿直线折叠后，B点与A重合，则点C坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的折叠问题，设，由折叠可知，，在中，根据列出方程求解是解决问题的关键． 【详解】解：设，则， 由折叠可知，， 在中，，即：， 解得：，即， ∴点坐标是， 故答案为：． 37．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）如图，在中，，把沿直线折叠，使与重合． (1)若，则的度数为________； (2)若，，求的长； (3)当的面积为时，求的周长．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2)； (3)的周长为． 【分析】此题主要考查了图形的翻折变换，以及勾股定理，完全平方公式，关键是掌握勾股定理，以及折叠后哪些是对应角和对应线段． （1）根据折叠可得，根据三角形内角和定理可以计算出，进而得到； （2）根据折叠可得，设，则，再在中利用勾股定理可得，再解方程可得的值，进而得到的长； （3）根据三角形的面积可得，进而得到，再在中，，再把左边配成完全平方可得的长，进而得到的周长． 【详解】（1）解：把沿直线折叠，使与重合， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：把沿直线折叠，使与重合， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， 则； （3）解：的面积为， ， ， 在中，， ， ， ， ， ． 即的周长为． ( 题型0 8 )以弦图为背景的计算 38．（23-24八年级下·湖南株洲·期末）第24届国际数学家大会会徽的设计基础是1700多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”．如图，在由四个全等的直角三角形（，，，）和中间一个小正方形拼成的大正方形中，，连接．若正方形与正方形的面积之比为，且有，则n的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】此题考查了勾股定理，赵爽“弦图”等知识，设，，首先根据题意得到，然后表示出正方形的面积为，正方形的面积为，最后利用正方形与正方形的面积之比为求解即可． 【详解】解：设，， ∵， ∴，整理得， ∴， ∵， ∴， ∴正方形的面积为， ∵正方形的面积为， ∵正方形与正方形的面积之比为， ∴， ∴解得． 故选：B． 39．（23-24八年级下·湖南·期末）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．直角三角形的两直角边分别为和（），若小正方形面积为，则大正方形的面积为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了勾股定理的运用，解题的关键是注意观察图形：发现各个图形的面积和的关系． 根据所求问题，利用小正方形的面积为4，，算出b的值，根据大正方形的面积为即可求解． 【详解】解：小正方形的面积为4，得到它的边长为2， 即得， ， ∴， 所以，， 故答案为：10． 40．（23-24八年级下·湖南·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三、股四、弦五”这一结论． 勾股定理与图形的面积存在密切的关系， 如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，若的面积为6，，，则阴影部分的周长为 ． 【答案】28 【分析】本题主要考查了勾股定理的运用、正方形的性质等知识点，掌握勾股定理的内容是解题的关键． 先根据勾股定理和正方形的性质可得，再根据勾股弦图可得，再结合的面积为6可得，再运用完全平方公式可得，最后再求周长即可． 【详解】解：根据勾股定理得：， ， 正方形的面积是25， ， 的面积为6，即， ， ， 即， 阴影部分的周长为． 故答案为：28． 41．（23-24八年级下·湖南·期末）“赵爽弦图”通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，它表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智．如图所示的“赵爽弦图”是由4个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是29，小正方形的面积是9；设直角三角形较长直角边的长为，较短直角边的长为，则的值是 ． 【答案】7 【分析】本题主要考查勾股定理、完全平方公式等知识点，熟练运用勾股定理以及完全平方公式是解题的关键． 由题意可知，中间小正方形的边长为，根据勾股定理以及题目给出的已知数据可知大正方形的面积为，然后求得，最后求其算术平方根即可． 【详解】解：由题意可知，中间小正方形的边长为， ∴，即①， 根据勾股定理可知：大正方形的面积为②， 由①②可得， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：7． 42．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．连接四条线段得到如图2的新的图案．如果图1中的直角三角形的长直角边为10，短直角边为6，图2中的阴影部分的面积为S，那么S的值为（　　） A．48 B．64 C．96 D．112 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理中的赵爽弦图模型、三角形和正方形面积公式．阴影部分由四个全等的三角形和一个小正方形组成，分别求三角形和小正方形面积即可． 【详解】解：由题意得，阴影部分四个直角三角形是全等的，且小正方形边长为， ∴， 故选：B． ( 题型0 9 )勾股定理的应用 43．（23-24八年级下·湖南·期末）如图,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙的距离为0.7米,顶端距离地面2.4米．若保持梯子底端位置不动,将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面1.5米,则小巷的宽度为（    ） A．1.8米 B．2米 C．2.5米 D．2.7米 【答案】D 【分析】此题考查的是勾股定理的应用，掌握勾股定理的内容是解决此题的关键．先根据题意求得，再求得，，，从而利用勾股定理求得的长；然后再利用勾股定理求得的长，进而利用线段的和差关系，求得即可． 【详解】解：如图，，，，， 在中， ∵， ∴， ∴ ∴，即小巷的宽度为2.7米． 故选：D． 44．（23-24八年级下·湖南·期末）明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步恰竿齐，五尺板高离地…”翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺，于E），此时踏板升高离地五尺（尺），求秋千绳索（或）的长度． 【答案】秋千绳索长为尺 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．设秋千绳索长为尺，用表示出的长，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解即可得到结果． 【详解】解∶ 设秋千绳索长为尺， 则尺， 在中，，即， 解得：， ∴秋千绳索长为尺． 45．（23-24八年级下·湖南·期末）如图有两棵树，一棵高14，一堁高2，两树之间相距5，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了（    ）米？ A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，平行线的应用，设树，过点C作于E，由平行线间间距相等得到，，进而求出，则由勾股定理可得，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，设树， 过点C作于E， 由题意得，， ∴， ∴（平行线间间距相等）， 同理得， ∴， ∴， ∴一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了13米． 故选C 46．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去高六尺，折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），一阵风将竹子折断，竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺，根据题意，可列方程为（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题目设出的未知数，将直角三角形的斜边的长度表示为，再利用勾股定理建立方程． 【详解】解：∵竹子原高十尺，竹子折断处离地面x尺 ∴图中直角三角形的斜边长尺 根据勾股定理建立方程得： 故选：D． 【点睛】本题考查了利用勾股定理建立方程解决实际问题，熟记勾股定理，理清题目中的条件和数量关系是解决本题的关键． 47．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，一支铅笔放在圆柱形的笔筒中，笔筒的内部底面直径是9cm，内壁高为12cm．若铅笔的长为20cm，则这只铅笔露在笔筒外面的长度最小是 cm．    【答案】5 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，关键是把实际问题抽象成数学问题，当铅笔不垂直于底面放置时，利用勾股定理可求得铅笔露出笔筒部分的最小长度． 【详解】解：当铅笔不垂直于底面放置时，由勾股定理得：， 则铅笔在笔筒外部分的最小长度为； 故答案为：5． 48．（23-24八年级下·湖南·期末）在海平面上有A，B，C三个标记点，C为灯塔，港口A在灯塔C的北偏西方向上，港口A与灯塔C的距离是40海里；港口B在灯塔C的南偏西方向上，港口B与灯塔C的距离是30海里，一艘货船将从A港口沿直线向港口B运输货物，货船的航行速度为20海里/小时． (1)货船从A港口航行到B港口需要多少时间； (2)为了保障航行的安全，C处灯塔将向航船发送安全信号，信号有效覆盖半径为25海里，这艘货船在由A港口向B港口运输货物过程中，为保证安全航行，货船接收灯塔的安全信号时间不低于小时才符合航行安全标准．问：这艘货船在本次运输中是否符合航行安全标准，并说明理由？ 【答案】(1)2.5小时 (2)符合航行安全标准，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用以及方位角的应用，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先得出，结合勾股定理列式（海里），因为货船的航行速度为20海里/小时，则（小时），即可作答． （2）先在上取两点M，N使得海里，结合，分别算出的长度，然后结合等腰三角形的三线合一，得出海里，因为货船的航行速度为20海里/小时，则（小时），即可作答． 【详解】（1）解：∵港口A在灯塔C的北偏西方向上，港口A与灯塔C的距离是40海里；港口B在灯塔C的南偏西方向上 ∴， ∵港口A与灯塔C的距离是40海里，港口B与灯塔C的距离是30海里 （海里）， ∵货船的航行速度为20海里/小时 （小时）， 答：货船从A港口到B港口需要2.5小时； （2）答：这艘船在本次运输中符合航行安全标准，理由如下： 如图：过C作交于D， 在上取两点M，N使得海里 ∵， ∴（海里）， ∴（海里）， ∵， ∴是等腰三角形 ∵ ∴海里， ∴（小时） ∵， ∴这艘货船在本次运输中符合航行安全标准． 49．（23-24八年级下·湖南·期末）交通安全是社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速、超载、不按规定行驶．某中学八年级数学活动小组的同学进行了测试汽车速度的实验．如图，先在笔直的公路l旁选取一点P，在公路l上确定点，使得，米，．这时，一辆轿车在公路l上由B向A匀速驶来，测得此车从B处行驶到A处所用的时间为3秒，并测得．此路段限速每小时80千米，试判断此车是否超速？请说明理由（参考数据：）． 【答案】此车超速，理由见解析. 【分析】本题主要考查勾股定理与实际问题；根据，米，，可知的长，，在中，可求出的长，从而确定的长度，根据速度等于路程除以时间可以算出汽车的速度，再与此路段限速每小时千米比较，由此即可求解． 【详解】此车超速． 理由：，， 是等腰直角三角形． 米． 在中，， ． 米． 由勾股定理得米， 米． 汽车的速度（米/秒）千米/小时千米/小时． 答：此车超速． 50．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，A市气象站测得台风中心在A市正东方向的B处，以的速度向北偏西的方向移动，距台风中心范围内是受台风影响的区域． (1)请通过计算说明A市是否会受到台风的影响? (2)如果A市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长? 【答案】(1)会受到台风的影响 (2)5小时 【分析】（1）根据题意得出的长，进而得出答案； （2）首先求出的长，进而得出的长，进而求出市受这次台风影响的时间． 此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意正确构造直角三角形是解题关键． 【详解】（1）解： 市会受到台风的影响． 理由：过点作于 中，， ， 市会受到台风的影响； （2）解：以为圆心，为半径画弧交于点、 在中，， ∵以的速度向北偏西的方向移动， ∴（小时）． 市受这次台风影响的时间为5小时． 一、单选题 1．（23-24八年级下·湖南永州·期末）如图，公路互相垂直，公路的中点与点被湖隔开，若测得的长为，则两点间的距离为（    ） A．0.3km B．0.6km C．1km D．2.4km 【答案】B 【分析】本题考查的是直角三角形的性质．根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半解答． 【详解】解：∵、互相垂直， ∴是直角三角形， ∵点是的中点，的长为， ∴， ∴，两点间的距离为． 故选：B． 2．（23-24八年级下·湖南·期末）如图所示的网格是正方形网格，点是网格线交点，且点在的边上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据全等三角形的判定与性质，，再根据直角三角形的判定及性质可知，最后利用三角形外角的性质即可解答．本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的判定与性质，三角形的外角的性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键， 【详解】解：∵ ，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故选：． 二、填空题 3．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，点在等边的边上，，射线，垂足为点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当取最小值时，若，则此时的长为 ．    【答案】 【分析】作点关于的对称点，连接，则当，，三点共线，且时，此时的值最小，由题意可得，则，再由，，可得，解得，然后根据即可求出的长． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，   ， ， 当，，三点共线，且时，此时的值最小，即的值最小， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ，， ， 解得：， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了轴对称中的光线反射问题（最短路线问题），根据成轴对称图形的特征进行求解，垂线段最短，等边三角形的性质，直角三角形的两个锐角互余，含度角的直角三角形的性质，线段的和与差，解一元一次方程等知识点，熟练掌握轴对称中的光线反射问题（最短路线问题）是解题的关键． 4．（23-24八年级下·湖南·期末）如图：是边长为的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿、方向匀速移动，它们的速度都是，当点P到达B时，P、Q两点停止运动，当点P到达B时，P、Q两点停止运动．设点P运动的时间为．当t为 时，是直角三角形． 【答案】1或2/2或1 【分析】本题考查的是等边三角形的性质、直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解答此题的关键；分两种情况：；．然后在直角三角形中根据的表达式和的度数进行求解即可． 【详解】解：在， 根据题意得：，， 若是直角三角形，则或， 当时，， 即， ∴， 当时，， ∴， ∴． ∴当或时，是直角三角形． 故答案为：1或2． 三、解答题 5．（23-24八年级下·湖南岳阳·期末）在中，，，点是的中点，，垂足为E，连接． (1)如图1，与的数量关系是__________． (2)如图2，若P是线段上一动点（点P不与点B、C重合），连接，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，连接，请猜想三者之间的数量关系，并证明你的结论； 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）由，得到，根据直角三角形斜边上中线性质得到，则可判断为等边三角形，由于，可得； （2）根据旋转的性质得到，易得，则可根据“”判断，则，利用，，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． （2）．理由如下： ∵线段绕点D逆时针旋转，得到线段， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的判定与性质以及勾股定理，以及斜边上的中线． 6．（23-24八年级下·湖南·期末）已知在中，的平分线交于点D，． (1)如图1，求证：是等腰三角形； (2)如图2，若平分交于E，，在边上取点F使，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查角平分线、平行线的性质以及直角三角形的边角关系，掌握角平分线的定义，平行线的性质是解决问题的关键． （1）根据角平分线的定义，平行线的性质以及等腰三角形的判定进行推论即可； （2）利用角平分线的定义、平行线性质，以及直角三角形的边角关系进行计算即可． 【详解】（1）证明：∵是的平分线， ， ， ， ， ； 即是等腰三角形； （2）解：∵， ， 又平分， ， 由（1）可知，， ， ， ， 在中，， ， 又∵， ． 7．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）如图，在中，过点A作，交于点D． (1)若，求的长； (2)在（1）的条件下，，求的面积； (3)若，求的面积． 【答案】(1)4 (2) (3) 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，角所对的直角边等于斜边的一半及等腰直角三角形的性质、勾股定理，考查了计算能力和转化思想，数形结合思想的应用，属于中档题． （1）角所对的直角边等于斜边的一半及勾股定理即可求解； （2）作于E，求出的底和高即可求出面积； （3）作于E，利用勾股定理求出的高即可求出面积． 【详解】（1）解：，， ， ，即， ， ． （2）解：作于E， ， ， ， ， ． （3）解：作于E， 在中， 在中, ， , ， 即， , , 8．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）如图，点，，分别在等边的各边上，且于点，于点，于点．    (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，平角的意义，三角形全等的判定与性质，含角的直角三角形的特征． （1）根据等边三角形的性质得出进而得出，再根据平角的意义即可得出，即可得出结论； （2）易证得，得出，，从而求得，根据直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半得出，即可求得的长，进而得出的长． 【详解】（1）证明：为等边三角形， ， ，，， ， ，，， ， ，，， ， 是等边三角形； （2）， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 9．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积． 【答案】36 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理逆定理，连接， 由勾股定理求得的值，再证明为直角三角形，得到，最后根据代入数据进行计算即可求解． 【详解】解：连接， ∵， ∴为直角三角形， ∵，，， 根据勾股定理得：， 又∵，， ∴，， ， 为直角三角形， ， ∴． 10．（23-24八年级下·湖南·期末）如图在四边形中，，，，且，求的度数．    【答案】 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股逆定理，先由，，得出，再结合，，证明是直角三角形，即可作答． 【详解】解：如图所示，连接，   ，， ． 又，， ，， ， 是直角三角形， ， ． 故的度数为． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$