专题09 一次函数的应用（5大考点经典基础练+优选提升练）（湖南专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年八年级数学下学期期末真题分类汇编

专题09 一次函数的应用 题型概览 题型01分配方案问题 题型02最大利润问题 题型03行程问题 题型04几何问题 题型05其他问题 ( 题型01 ) 分配方案问题 1．（23-24八年级下·湖南慈利县·期末）某通讯公司手机话费收费有A套餐（月租费15元，通话费每分钟0.1元）和B套餐（月租费0元，通话费每分钟0.15元）两种．设A套餐每月话费为y1元，B套餐每月话费为y2元，月通话时间为x分钟． （1）分别表示出y1、y2与x的函数关系式； （2）什么情况下A套餐更省钱？ 2．（23-24八年级下·湖南·期末）甲、乙两家蓝莓采摘园的草莓品质相同，销售价格都是每千克30元，“五一”假期，两家均推出了优惠方案，甲采摘园的优惠方案是：游客进园购买60元的门票，采摘的蓝莓六折优惠；乙采摘园的优惠方案是：游客进园不需购买门票，采摘的蓝莓超过10千克后，超过部分五折优惠，优惠期间，设某游客的蓝莓采摘量为（千克），在甲采摘园所需总费用为（元），在乙采摘园所需总费用为（元）． （1）当采摘量超过10千克时，求与的关系式； （2）若要采摘40千克蓝莓，去哪家比较合算？请计算说明． 3．（23-24八年级下·湖南·期末）某学校计划在总费用2300元的限额内，租用汽车送234名学生和6名教师集体外出活动、每辆汽车上至少要有1名教师． 现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示． 甲种客车 乙种客车 载客量（人/辆） 45 30 租金（元/辆） 400 280 （1）共需租多少辆汽车？ （2）给出最节省费用的租车方案 分析：（1）可以从乘车人数的角度考虑租多少辆汽车，要注意到以下要求： ①要保证210名师生都有车坐； ②要使每辆汽车上至少要有1名教师． 根据①可知，汽车总数不能小于______；根据②可知，汽车总数不能大于______．综合起来可知汽车总数为______． （2）租车费用与所租车的种类有关．可以看出，当汽车总数a确定后，在满足各项要求的前提下．尽可能少地租用甲种客车可以节省费用． 设租用x辆甲种客车，则租车费用y（单位：元）是x的函数，即 ． 将（1）中确定的a的值代入上式，化简这个函数，得 _________． 为使240名师生有车坐，x不能小于________；为使租车费用不超过2300元，x不能超过________．综合起来可知x的取值为________． 在考虑上述问题的基础上，你能得出几种不同的租车方案？为节省费用应选择其中哪个方案？试说明理由． ( 题型02 ) 最大利润问题 4．（23-24八年级下·湖南·期末）某商店销售10台型和20台型电脑的利润为4000元，销售20台型和10台型电脑的利润为3500元． (1)求每台型电脑和型电脑的销售利润； (2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中型电脑的进货量不超过型电脑的3倍，预期进型电脑台，这100台电脑的销售总利润为元． ①求关于的函数关系式： ②该商店购进型、型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？ 5．（23-24八年级下·湖南岳阳·期末）汉服是中国古老而美好的生活方式的一个缩影，近年来，“汉服热”席卷中国各大景区，尤其是在节假日期间，“汉服+景区”已然成为当下年轻人的创新玩法.某景区一汉服专卖店计划购进甲、乙两种汉服共120件（2种服装都要），其进价与售价如表所示： 价格类型 进价（元/件） 售价（元/件） 甲 80 100 乙 100 200 若设甲汉服的数量为件，销售完甲、乙两种汉服的利润为元. (1)求与之间的函数关系式，写出自变量范围； (2)若乙汉服的数量不能超过甲汉服数量的2倍，请问当甲汉服购选多少件时，该店在销售完这两种汉服后获利最多？并求出最大利润。 6．（23-24八年级下·湖南湘西·期末）湘西自治州为加快义务教育城乡一体化建设，办好乡镇寄宿制学校，加强县域高中建设，实施教育数字化战略行动，统筹推进乡村教育振兴和教育振兴乡村工作，大力促进教育公平．在教育数字化进程中，多媒体的作用不可小觑．某教育科技公司销售A，B两种多媒体教学设备，这两种多媒体设备的进价与售价如表所示： A B 进价（万元/套） 3 2.4 售价（万元/套） 3.3 2.8 该教育科技公司计划购进A，B两种多媒体设备共50套， 设购进A种多媒体设备x套，利润为y万元． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若公司要求购进B种多媒体设备的数量不超过A种多媒体设备的4倍，当该公司把购进的两种多媒体设备全部售出，求购进A种多媒体设备多少套时，能获得最大利润，最大利润是多少万元？ 7．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）为增强国防意识，长沙某校于近日开展了国防教育竞技活动，提升了国防技能，培育了竞技精神．该校为比赛购买了甲、乙两种奖品．已知甲种奖品的单价是每件30元，乙种奖品的单价是每件15元，该活动一共需要购买甲、乙两种奖品共30件，设购买甲种奖品x件，购买奖品的总费用为w元． (1)求w与x之间的函数关系式； (2)若甲种奖品的数量不少于乙种奖品的，请设计出最省钱的购买方案，并求出购买费用的最小值． 8．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）每年5月的第二个星期日为母亲节，很多同学会买鲜花送给妈妈．在某花店，小敏买的3束百合和2束康乃馨共花了145元；小明买的2束百合和3 束康乃馨共花了130元． (1)求每束百合和每束康乃馨的售价； (2)某社团打算在该花店购买两种花一共90束，且购买百合的数量不少于康乃馨数量的一半．请设计一种购买方案，使购买花束的总费用最少，并求总费用最少为多少元． 9．（23-24八年级下·湖南·期末）2024年4月25日，神舟十八号载人飞船发射取得圆满成功．某航天模型销售店看准商机，推出“神舟”和“天宫”模型．已知销售店老板购进1个“神舟”模型和2个“天宫”模型一共需要100元；购进2个“神舟”模型和3个“天宫”模型一共需要170元． (1)求每个“神舟”模型和“天宫”模型的进货价格； (2)该航天模型销售店计划购进两种模型共100个，且“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的一半．若每个“神舟”模型的售价为50元，每个“天宫”模型的售价为35元，则购进多少个“神舟”模型时，销售这批模型的利润最大？最大利润是多少元？ ( 题型03 ) 行程问题 10．（23-24八年级下·湖南常德·期末）通信员跟随队伍沿直线行军，出发后，发现一份文件遗忘在了营地．通信员返回拿到后再追队伍，在此过程中，通信员的速度保持不变．队伍出发时间为，通信员到营地的距离与队伍到营地的距离之和为，y与x的函数图象如图所示，则通讯员追上队伍时， ． 11．（23-24八年级下·湖南·期末）在一条笔直的道路上依次有A，B，C三地，小明从A地跑步到达B地，休息后按原速跑步到达C地．小明距B 地的距离与时间之间的函数图象如图所示．下列说法错误的是（    ） A．从 A 地到C 地的距离为； B．小明从 B 地到 C 地的速度是； C．小明出发后到达 C 地； D．小明距 B 地时所用的时间是． 12．（23-24八年级下·湖南·期末）在“生活中的函数”活动中，某学习小组设计了一个问题情境：小明从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店买圆规，然后散步回家．小明离家的距离与他所用的时间的关系如图所示．当小明离家时，他离开家所用的时间是 分． 13．（23-24八年级下·湖南·期末）蓄电池发展水平是制约新能源汽车发展的关键要素．小明爸爸根据自家电动汽车仪表显示，感觉蓄电池充满电后，用前半部分电量所行驶的路程，总要比用后半部分电量行驶的路程更远一些．于是小明细心观察了充满电后汽车的行驶情况，并将蓄电池剩余电量（千瓦时）和已行驶路程（千米）的相关数据，用函数图象表示如下． (1)电池充满电时的电量为______千瓦时； (2)求所对应的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)在电量允许的情况下，如果在某段连续行驶时间里，汽车消耗了10千瓦时的电量，直接写出这段时间连续行驶路程的取值范围． 14．（23-24八年级下·湖南·期末）小明和小强两同学分别从甲地出发，沿同一条道路骑自行车到乙地参加社会实践活动，小明同学先从甲地出发，1小时后小强出发，小明则放慢速度继续前行，小明和小强距甲地的距离y（千米）与小明出发的时间x（小时）之间的函数图象如图所示． (1)小强同学骑自行车的速度为___________千米/小时； (2)求小明距甲地的距离y与x之间的函数关系式； (3)当小强到达乙地时，求小明距乙地的距离． 15．（23-24八年级下·湖南·期末）在一条笔直的公路上有A，B，C三地，C地在A，B两地之间．甲车从A地出发匀速驶往B地，同时乙车从C地出发匀速驶往A地，到达A地因故停留1小时后按原路原速驶往B地．结果乙车比甲车早1小时到达B地，如图是甲、乙两车距B地的距离y（单位：千米）与甲车行驶时间x（单位：小时）之间的函数图象，请结合图象解决下列问题： (1)乙车的速度为________千米/时，A、C两地的距离为________千米； (2)求图象中线段对应的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (3)请直接写出在两车行驶的过程中，两车出发多长时间距C地的距离相同． 16．（23-24八年级下·湖南邵阳·期末）小刚和小强在一条由西向东的公路上行走，小强从A地出发，小刚从小强东边处同时出发，如图所示是小刚，小强离A地的距离与行走的时间之间的图象，根据图象完成以下问题： (1)分别求出小刚、小强离A地的距离与行走时间之间的函数表达式． (2)小强在出发后几分钟可以追上小刚？ ( 题型0 4 )几何问题 17．（23-24八年级下·湖南郴州·期末）如图，将直线：向上平移个单位后得到直线，直线与直线：和轴分别相交于点、点． (1)求直线l2的函数表达式； (2)点P是x轴上任意一点，若以点A、B、P为顶点的三角形为直角三角形，请求出点P的坐标． 18．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中为常数，且），则称点为点的“属派生点”．例如：的“2属派生点”为，即． (1)点的“2属派生点”的坐标为 　　； (2)若点在x轴的正半轴上，点的“属派生点”为点，且，求值； (3)如图，点的坐标为，点A在函数的图象上，且点A是点B的“属派生点”，当线段最短时，求B点坐标． 19．（23-24八年级下·湖南邵阳·期末）我们约定：若关于x的一次函数和同时满足，，则称函数和互为“真诚函数”．根据该约定，解答下列问题： (1)若关于x的一次函数和互为“真诚函数”，求m，n的值； (2)若关于x的一次函数的“真诚函数”经过点，且与的交点P在第三象限，求k的取值范围； (3)在平面直角坐标系中，点，点，若关于x的一次函数与它的“真诚函数”交于点N，在平面内是否存在点M，使得以A、B、M、N为顶点，且为一边的四边形为菱形．若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由． 20．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）如图1，平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，点是的中点，直线过定点，交轴于点． (1)求点的坐标； (2)如图2，当时， 过点C作，交于点F，在直线上是否存在点，使得是等腰直角三角形，若存在，请求出所有满足条件的点P；若不存在，请说明理由． (3)点N在直线上，且，连接，点M为的中点，连接．求线段的长度的最大值，并直接写出此时点N的坐标． 21．（23-24八年级下·湖南邵阳·期末）如图，已知直线与坐标轴交于A，B两点，点A是x轴负半轴上一点，并且，点E是线段上一动点（不与端点重合），过点E作轴，交于F． (1)求所在直线的解析式； (2)若轴于点D，点D的坐标为，请用含m的代数式表示与的长； (3)在x轴上是否存在一点P，使得为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 22．（22-23八年级下·湖南长沙·期末）在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象与轴、轴分别交于两点．以为边在第二象限内作正方形．    (1)求点，的坐标； (2)在轴上是否存在点，使的周长最小？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． ( 题型0 5 )其他问题 23．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）某医院研究所开发了一种新药，在实验药效时发现：如果成人按规定剂量服用，那么服药后每毫升血液中含药量y（微克）随时间x（小时）的变化情况如图所示，如果每毫升血液中的含药量3微克或3微克以上时，治疗疾病最有效，那么这个最有效的时间共有 小时． 24．（23-24八年级下·湖南衡阳·期末）为贯彻落实国家教育方针，培养体格健康的新一代少年，祁东县某中学每年冬季都会举办全体师生冬季长跑活动．为激励学生积极参与，学校用元购买，两种体育器材共件作为奖品．已知一件种器材价格是一件种器材价格的倍，且购买种器材与购买种器材的费用相同． (1)求购买一件 种器材和一件种器材各需多少元 (2)若学校还需购买， 两种器材共件，且种器材的数量不多于种器材数量的倍，问至少要花多少元? 25．（23-24八年级下·湖南邵阳·期末）某城市为了让居民节约用电，决定实行阶梯收费标准：每户居民每月用电量在100度以内，每度电0.8元；每月用电量超过100度，则超出部分每度电加0.7元．电力公司为了建立收费系统，必须创建两个收费公式． (1)请你用所学的函数知识为电力公司创建两个收费公式． (2)某户居民6月份电费为110元，请用创建的公式计算这户居民6月份的用电量． 26．（23-24八年级下·湖南永州·期末）春分是二十四个节气中的第四个节气．这天以后太阳直射位置便向北移，北半球昼长夜短，所以春分是北半球春季的开始，也是农民播种疏菜的好时机．我国农谚有云：“春分有雨家家忙，先种瓜豆后插秧”．种植户农民刘大伯开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗．据了解，市场上每捆A种菜苗的价格比菜苗基地贵10元，用600元在市场上购买的A种菜苗捆数和用400元在菜苗基地购买的捆数一样多． (1)求菜苗基地每捆A种菜苗的价格； (2)菜苗基地每捆B种菜苗的价格是40元．刘大伯决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，且A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数的3倍，菜苗基地为支持刘大伯，对A，B两种菜苗均提供九折优惠．设刘大伯购买A种菜苗的捆数为x，共花费w元． ①求w关于x的函数关系式； ②求刘大伯购买菜苗最少花费多少钱． 27．（23-24八年级下·湖南岳阳·期末）【综合实践】新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的． 【实验操作】为了解汽车电池需要多久能充满，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验． 实验Ⅰ：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量与时间t（分钟）的关系，数据记录如表1： 电池充电状态 时间t（分钟） 0 10 30 60 增加的电量 0 10 30 60 实验Ⅱ：探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示剩余电量与行驶里程s（千米）的关系，数据记录如表2： 汽车行驶过程 已行驶里程s（千米） 0 160 200 280 显示剩余电量 100 60 50 30 【建立模型】（1）观察表1、表2发现都是一次函数模型，请结合表1、表2的数据，直接写出函数关系式（不写自变量的取值范围）． y关于t的函数表达式为____________，e关于s的函数表达式为_____________； 【解决问题】（2）某电动汽车在充满电量的状态下，从A地出发前往距出发点480千米的B地，在途中服务区进行一次充电后继续行驶，其已行驶里程数（s）和显示剩余电量（e）的函数关系如下图所示： ①该车到达B地时，显示剩余电量e的值为____________；该车进入服务区充电前显示剩余电量e的值为_____________． ②该车中途充电用了多少分钟？ ③当汽车显示剩余电量e的值为60时，该车距出发点A地多少千米？ 1．（23-24八年级下·湖南·期末）某礼品店为迎接农历新年的到来，准备购进一批适合学生的礼品.已知购进4件A礼品和12件B礼品共需360元，购进8件A礼品和6件B礼品共需270元. (1)（列二元一次方程组）求A，B两种礼品每件的进价. (2)该店计划将5000元全部用于购进A，B这两种礼品，设购进A礼品m件，B礼品n件. ①求n与m之间的关系式； ②该店进货时，厂家要求A礼品的购进数量不少于100件.已知A礼品每件售价为20元，B礼品每件售价为35元.设该店全部售出这两种礼品可获利W元，求W与m之间的关系式和该店所获利润的最大值. 2．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）定义：形如（，，、为常数）的函数称为正比例函数的“分移函数”，其中叫“分移值”．例如，函数的“分移函数”为其中“分移值”为1． (1)已知点在的“分移函数”的图象上，则的值为　　　； (2)已知点，在函数的“分移函数”的图象上，求的值； (3)已知矩形顶点坐标为，，，．函数的“分移函数”的“分移值”为3，且其图象与矩形有两个交点，求的取值范围． 3．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，分别交坐标轴于点A，B，C，D． (1)求a和k的值； (2)如图，点P是直线上的一个动点，设点P的横坐标为m，当成立时，求点P的坐标； (3)直线上有一点F，在平面直角坐标系内找一点N，使得以为一边，以点B，D，F，N为顶点的四边形是菱形，请直接写出符合条件的点N的坐标． 4．（23-24八年级下·湖南湘西·期末）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，将点称为“芙蓉点”，经过点的函数，称为“芙蓉函数” (1)函数①；②；③，其中函数__________（填序号）是“芙蓉函数”； (2)已知“芙蓉函数”的图像经过点，求该“芙蓉函数”的解析式； (3)若直线与x轴、y轴分别交于点，M是y轴上一点，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴上的点C处．试问经过C，M两点的一次函数是否可以为“芙蓉函数”？若可以，请直接写出所有函数解析式；若不可以，请说明理由． 5．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴的负半轴、y轴的正半轴交于A、B两点，其中OA＝2，S△ABC＝12，点C在x轴的正半轴上，且OC＝OB． (1)求直线AB的解析式； (2)将直线AB向下平移6个单位长度得到直线l1，直线l1与y轴交于点E，与直线CB交于点D，过点E作y轴的垂线l2，若点P为y轴上一个动点，Q为直线l2上一个动点，求PD+PQ+DQ的最小值； (3)若点M为直线AB上的一点，在y轴上是否存在点N，使以点A、D、M、N为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 一次函数的应用 题型概览 题型01分配方案问题 题型02最大利润问题 题型03行程问题 题型04几何问题 题型05其他问题 ( 题型01 ) 分配方案问题 1．（23-24八年级下·湖南慈利县·期末）某通讯公司手机话费收费有A套餐（月租费15元，通话费每分钟0.1元）和B套餐（月租费0元，通话费每分钟0.15元）两种．设A套餐每月话费为y1元，B套餐每月话费为y2元，月通话时间为x分钟． （1）分别表示出y1、y2与x的函数关系式； （2）什么情况下A套餐更省钱？ 【答案】（1）y1=0.1x+15；y2=0.15x；（2）当月通话时间多于300分钟时，A套餐更省钱． 【分析】（1）根据A套餐的收费为月租加上话费，B套餐的收费为话费列式即可； （2）利用方程或不等式即可解决问题 【详解】解：（1）A套餐的收费方式：y1=0.1x+15； B套餐的收费方式：y2=0.15x； （2）由0.1x+15=0.15x，得到x=300， 由0.1x+15＜0.15x，得到x＞300， 由0.1x+15＞0.15x，得到x＜300， 答：当月通话时间是300分钟时，A、B两种套餐收费一样； 当月通话时间多于300分钟时，A套餐更省钱． 当月通话时间小于300分钟时，B套餐更省钱． 故，当月通话时间多于300分钟时，A套餐更省钱． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，是典型的电话收费问题，求出两种收费相同的时间是确定选择不同的缴费方式的关键． 2．（23-24八年级下·湖南·期末）甲、乙两家蓝莓采摘园的草莓品质相同，销售价格都是每千克30元，“五一”假期，两家均推出了优惠方案，甲采摘园的优惠方案是：游客进园购买60元的门票，采摘的蓝莓六折优惠；乙采摘园的优惠方案是：游客进园不需购买门票，采摘的蓝莓超过10千克后，超过部分五折优惠，优惠期间，设某游客的蓝莓采摘量为（千克），在甲采摘园所需总费用为（元），在乙采摘园所需总费用为（元）． （1）当采摘量超过10千克时，求与的关系式； （2）若要采摘40千克蓝莓，去哪家比较合算？请计算说明． 【答案】（1），；（2）若要采摘40千克蓝莓，去乙家比较合算，理由见解析． 【分析】（1）根据题意可以分别得到y1、y2与x的函数关系式； （2）把x=40，代入函数关系式即可得到结论． 【详解】解：（1）根据题意得， y1=60+30×0.6x=60+18x； y2=10×30+30×0.5（x-10）=150+15x； （2）当x=40时， y1=60+18×40=780， y2=150+15×40=750， 因为y1＞y2， 所以要采摘40千克蓝莓，去乙家比较合算． 【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，正确理解题意列出函数关系式是解题的关键． 3．（23-24八年级下·湖南·期末）某学校计划在总费用2300元的限额内，租用汽车送234名学生和6名教师集体外出活动、每辆汽车上至少要有1名教师． 现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示． 甲种客车 乙种客车 载客量（人/辆） 45 30 租金（元/辆） 400 280 （1）共需租多少辆汽车？ （2）给出最节省费用的租车方案 分析：（1）可以从乘车人数的角度考虑租多少辆汽车，要注意到以下要求： ①要保证210名师生都有车坐； ②要使每辆汽车上至少要有1名教师． 根据①可知，汽车总数不能小于______；根据②可知，汽车总数不能大于______．综合起来可知汽车总数为______． （2）租车费用与所租车的种类有关．可以看出，当汽车总数a确定后，在满足各项要求的前提下．尽可能少地租用甲种客车可以节省费用． 设租用x辆甲种客车，则租车费用y（单位：元）是x的函数，即 ． 将（1）中确定的a的值代入上式，化简这个函数，得 _________． 为使240名师生有车坐，x不能小于________；为使租车费用不超过2300元，x不能超过________．综合起来可知x的取值为________． 在考虑上述问题的基础上，你能得出几种不同的租车方案？为节省费用应选择其中哪个方案？试说明理由． 【答案】（1）6；6；6；（2）；4；5；4或5；两种方案：①4辆甲种客车，2辆乙种客车；②5辆甲种客车，1辆乙种客车．方案①费用少． 【分析】（1）由师生总数为240人，根据“所需租车数＝人数÷载客量”算出租载客量最大的客车所需辆数，再结合每辆车上至少要有1名教师，即可得出结论； （2）设租乙种客车x辆，则甲种客车（6−x）辆，根据师生总数为240人以及租车总费用不超过2300元，即可得出关于x的一元一次不等式，解不等式即可得出x的值，再设租车的总费用为y元，根据“总费用＝租A种客车所需费用＋租B种客车所需费用”即可得出y关于x的函数关系式，根据一次函数的性质结合x的值即可解决最值问题． 【详解】解：（1）∵（234＋6）÷45＝5（辆）…15（人）， ∴保证240名师生都有车坐，汽车总数不能小于6； ∵只有6名教师， ∴要使每辆汽车上至少要有1名教师，汽车总数不能大于6； 故填： 6，6，6． （2）设租用x辆甲种客车，租乙种客车辆，则租车费用y是x的函数， 即， 由题意得：， 解得：4≤x≤， ∵x为整数， ∴x＝4，或x＝5， ∵租车的总费用为，且120＞0， ∴当x＝4时，y取最小值，最小值为2160元， 故填：4；5；4或5；两种方案：①4辆甲种客车，2辆乙种客车；②5辆甲种客车，1辆乙种客车．方案①费用少． 【点睛】本题考查了一次函数的应用、解一元一次不等式组已经一次函数的性质，解题的关键是：（1）根据数量关系确定租车数；（2）找出y关于x的函数关系式．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系找出函数关系式（不等式或不等式组）是关键． ( 题型02 ) 最大利润问题 4．（23-24八年级下·湖南·期末）某商店销售10台型和20台型电脑的利润为4000元，销售20台型和10台型电脑的利润为3500元． (1)求每台型电脑和型电脑的销售利润； (2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中型电脑的进货量不超过型电脑的3倍，预期进型电脑台，这100台电脑的销售总利润为元． ①求关于的函数关系式： ②该商店购进型、型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)100元，150元 (2)①②购进A型电脑25台，B型电脑75台时，利润最大，最大为13750元 【分析】(1)设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑销售利润为b元，列出方程组计算即可． (2) 设型电脑台，则购买型电脑台， ①． ②根据题意，得，，得到，结合一次函数的增减性解答即可． 本题考查了方程组的应用，不等式组的应用，一次函数性质的应用，正确列式并准确解答时解题的关键． 【详解】（1）设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑销售利润为b元， 依题意得：， 解得：， 答：每台A型电脑销售利润为100元，每台B型电脑销售利润为150元． （2）解：设型电脑台，则购买型电脑台， ①根据题意，得． ②根据题意，得，， 故， 根据题意，得， 故y所x的增大而减小， 故当时，，y有最大值，且最大值为13750， 答：购进A型电脑25台，B型电脑75台时，利润最大，最大为13750元． 5．（23-24八年级下·湖南岳阳·期末）汉服是中国古老而美好的生活方式的一个缩影，近年来，“汉服热”席卷中国各大景区，尤其是在节假日期间，“汉服+景区”已然成为当下年轻人的创新玩法.某景区一汉服专卖店计划购进甲、乙两种汉服共120件（2种服装都要），其进价与售价如表所示： 价格类型 进价（元/件） 售价（元/件） 甲 80 100 乙 100 200 若设甲汉服的数量为件，销售完甲、乙两种汉服的利润为元. (1)求与之间的函数关系式，写出自变量范围； (2)若乙汉服的数量不能超过甲汉服数量的2倍，请问当甲汉服购选多少件时，该店在销售完这两种汉服后获利最多？并求出最大利润。 【答案】(1) (2)当甲汉服购进件时，该店在销售完这两种汉服获利最多，最大利润为元 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次 不等式的应用，二元一次方程的应用，读懂题目信息，理解数量关系并确定出等量关系是解答本题的关键； （1）根据总利润=两种服装利润之和列出函数解析式； （2）根据乙汉服的数量不能超过甲汉服数量的2倍，得出x的取值范围，再根据函数的性质求出函数的最值即可． 【详解】（1）解：由题意得 ∴y与x之间的函数关系式为； （2）解：∵乙的数量不能超过甲的数量的２倍， ∴ 解得， ∴， 由（1）知，， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，y取最大值，y最大， 答：当甲汉服购进40件时，该店在销售完这两 种汉服获利最多，最大利润为元． 6．（23-24八年级下·湖南湘西·期末）湘西自治州为加快义务教育城乡一体化建设，办好乡镇寄宿制学校，加强县域高中建设，实施教育数字化战略行动，统筹推进乡村教育振兴和教育振兴乡村工作，大力促进教育公平．在教育数字化进程中，多媒体的作用不可小觑．某教育科技公司销售A，B两种多媒体教学设备，这两种多媒体设备的进价与售价如表所示： A B 进价（万元/套） 3 2.4 售价（万元/套） 3.3 2.8 该教育科技公司计划购进A，B两种多媒体设备共50套， 设购进A种多媒体设备x套，利润为y万元． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)若公司要求购进B种多媒体设备的数量不超过A种多媒体设备的4倍，当该公司把购进的两种多媒体设备全部售出，求购进A种多媒体设备多少套时，能获得最大利润，最大利润是多少万元？ 【答案】(1) (2)购进A种多媒体设备10套时，能获得最大利润，最大利润是19万元 【分析】本题考查了一次函数的应用，利用一次函数的性质求最值： （1）设购进A种多媒体设备x套，则购进B种多媒体设备套，根据利润售价进价销量，即可列出y与x之间的函数关系式； （2）先求出x的取值范围，再结合一次函数的性质，求出利润的最大值即可． 【详解】（1）解：设购进A种多媒体设备x套，则购进B种多媒体设备套， 由题意可得：， ∴y与x之间的函数关系式为． （2）解：由题意可得：， 解得． 在中，， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，y取得最大值，此时． 答：购进A种多媒体设备10套时，能获得最大利润，最大利润是19万元． 7．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）为增强国防意识，长沙某校于近日开展了国防教育竞技活动，提升了国防技能，培育了竞技精神．该校为比赛购买了甲、乙两种奖品．已知甲种奖品的单价是每件30元，乙种奖品的单价是每件15元，该活动一共需要购买甲、乙两种奖品共30件，设购买甲种奖品x件，购买奖品的总费用为w元． (1)求w与x之间的函数关系式； (2)若甲种奖品的数量不少于乙种奖品的，请设计出最省钱的购买方案，并求出购买费用的最小值． 【答案】(1) (2)购买甲种奖品8件，乙种奖品22件，购买费用最小为570元 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题意列出函数关系式和不等式关系式是解题的关键． （1）根据题意甲种奖品费用乙种奖品费用，即可列出函数关系式； （2）由甲种奖品的数量不少于乙种奖品的，得，故，从而知的最小值为8，再由一次函数性质可得答案． 【详解】（1）解：根据题意得：； （2）甲种奖品的数量不少于乙种奖品的， ， 解得， 为整数， 的最小值为8； 在中，， 随的增大而增大， 当时，取最小值，最小值为（元， 此时， 购买甲种奖品8件，乙种奖品22件，购买费用最小为570元． 8．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）每年5月的第二个星期日为母亲节，很多同学会买鲜花送给妈妈．在某花店，小敏买的3束百合和2束康乃馨共花了145元；小明买的2束百合和3 束康乃馨共花了130元． (1)求每束百合和每束康乃馨的售价； (2)某社团打算在该花店购买两种花一共90束，且购买百合的数量不少于康乃馨数量的一半．请设计一种购买方案，使购买花束的总费用最少，并求总费用最少为多少元． 【答案】(1)每束百合35元，每束康乃馨20元 (2)购进百合30束，康乃馨60束时，购进花束的总费用最少，最少费用为2250元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用及一次函数的应用，理解题意，正确列出方程是解题的关键． （1）设每束百合m元，每束康乃馨n元，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设购进百合x束，总费用为w元，则购进康乃馨束，根据列出关于x的一元一次不等式求得x的取值范围，再列出w关于x的一次函数，根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每束百合m元，每束康乃馨n元， 根据题意，得， 解得， 答：每束百合35元，每束康乃馨20元； （2）解：设购进百合x束，总费用为w元，则购进康乃馨束， ∵购进百合的数量不少于康乃馨数量的一半， ∴， 解得， 根据题意，得， ∵ ， ∴w随x的增大而增大． ∴ 当时，w取最小值，(元)， ∴． 答：购进百合30束，康乃馨60束时，购进花束的总费用最少，最少费用为2250元． 9．（23-24八年级下·湖南·期末）2024年4月25日，神舟十八号载人飞船发射取得圆满成功．某航天模型销售店看准商机，推出“神舟”和“天宫”模型．已知销售店老板购进1个“神舟”模型和2个“天宫”模型一共需要100元；购进2个“神舟”模型和3个“天宫”模型一共需要170元． (1)求每个“神舟”模型和“天宫”模型的进货价格； (2)该航天模型销售店计划购进两种模型共100个，且“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的一半．若每个“神舟”模型的售价为50元，每个“天宫”模型的售价为35元，则购进多少个“神舟”模型时，销售这批模型的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)每个“神舟”模型的进货价格为40元，每个“天宫”模型的进货价格为30元 (2)当购进33个“神舟”模型时，销售这批模型的利润最大，最大利润为665元 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用、不等式的应用和一次函数的应用． （1）设每个“神舟”模型的进货价格为x元，每个“天宫”模型的进货价格为y元，根据题意，列出二元一次方程组求解即可； （2）设购进m个“神舟”模型，个“天宫”模型时，销售这批模型的利润为w元，用m表示w，再根据题意求出m的取值范围，最后求最值即可． 【详解】（1）解：设每个“神舟”模型的进货价格为x元，每个“天宫”模型的进货价格为y元． 由题意得， 解得． 答：每个“神舟”模型的进货价格为40元，每个“天宫”模型的进货价格为30元． （2）设购进m个“神舟”模型， 个“天宫”模型时，销售这批模型的利润最大，最大利润为w元． 由题意得，． 由  ， 解得，， ∵， ∴w随m的增大而增大．由题意知，m取整数． ∴当 时，w取得最大值，为（元）． ∴当购进33个“神舟”模型时，销售这批模型的利润最大，最大利润为665元． ( 题型03 ) 行程问题 10．（23-24八年级下·湖南常德·期末）通信员跟随队伍沿直线行军，出发后，发现一份文件遗忘在了营地．通信员返回拿到后再追队伍，在此过程中，通信员的速度保持不变．队伍出发时间为，通信员到营地的距离与队伍到营地的距离之和为，y与x的函数图象如图所示，则通讯员追上队伍时， ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数在行程问题中的应用，一元一次方程在在行程问题中的应用；由图象得通讯员返回的速度是队伍行军速度的倍数为：，根据路程=速度×时间得出关于的一元一次方程即可求解；理解横纵坐标的实际意义是解题的关键． 【详解】解：由题意得，通讯员返回的速度是队伍行军速度的倍数为： ， ， 解得：； 故答案：． 11．（23-24八年级下·湖南·期末）在一条笔直的道路上依次有A，B，C三地，小明从A地跑步到达B地，休息后按原速跑步到达C地．小明距B 地的距离与时间之间的函数图象如图所示．下列说法错误的是（    ） A．从 A 地到C 地的距离为； B．小明从 B 地到 C 地的速度是； C．小明出发后到达 C 地； D．小明距 B 地时所用的时间是． 【答案】D 【分析】本题考查了从函数图像中获取信息以及一次函数的实际应用．明白横纵坐标所代表的意义是解题的关键． 纵坐标代表距B 地的距离，横坐标代表时间，小明一开始在A地，即A地距B 地的距离为，用时；到期间距离B 地，即此时小明在B 地；按原速跑步到达C地后，距离B 地．获取以上信息再对每个选项进行分析即可判断． 【详解】A． A地到达B地的距离为：，故说法正确，本选项不符合题意． B．小明原速度为：，故说法正确，本选项不符合题意． C．小明到达C 地实际用时为：，故说法正确，本选项不符合题意． D．小明距 B 地时所用的时间为：，故说法错误，本选项符合题意． 故选D． 12．（23-24八年级下·湖南·期末）在“生活中的函数”活动中，某学习小组设计了一个问题情境：小明从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店买圆规，然后散步回家．小明离家的距离与他所用的时间的关系如图所示．当小明离家时，他离开家所用的时间是 分． 【答案】12或 【分析】本题考查了一次函数的应用．小明离家时，有两个时间，第一个时间是小明从家跑步去体育场的过程中存在离家，利用路程速度可得此时间，第二个时间利用段解析式可求得． 【详解】解：小明家离体育场的距离为，小明跑步的平均速度为， 当小明离从家出发时，所用时间为：（分钟）； 如图，，， 设的解析式为：， 则， 解得， 的解析式为：， 当时，，解得， 即小明返回离家时，他离开家所用的时间是． 综上所述，当小明离家时，他离开家所用的时间是或． 故答案为：12或． 13．（23-24八年级下·湖南·期末）蓄电池发展水平是制约新能源汽车发展的关键要素．小明爸爸根据自家电动汽车仪表显示，感觉蓄电池充满电后，用前半部分电量所行驶的路程，总要比用后半部分电量行驶的路程更远一些．于是小明细心观察了充满电后汽车的行驶情况，并将蓄电池剩余电量（千瓦时）和已行驶路程（千米）的相关数据，用函数图象表示如下． (1)电池充满电时的电量为______千瓦时； (2)求所对应的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (3)在电量允许的情况下，如果在某段连续行驶时间里，汽车消耗了10千瓦时的电量，直接写出这段时间连续行驶路程的取值范围． 【答案】(1)60 (2) (3) 【分析】本题考查一次函数的应用． （1）观察图象可直接得出答案； （2）设所对应的函数关系式为，将代入，用待定系数法求解即可； （3）分别求出在段消耗了10千瓦时的电量时和在段消耗了10千瓦时的电量时对应的路程即可． 【详解】（1）解：由图可知，电池充满电时的电量为60千瓦时， 故答案为：60； （2）设所对应的函数关系式为，将代入得 解得 ； （3）当在段消耗了10千瓦时的电量时， (千米) 当在段消耗了10千瓦时的电量时， （千米） ． 14．（23-24八年级下·湖南·期末）小明和小强两同学分别从甲地出发，沿同一条道路骑自行车到乙地参加社会实践活动，小明同学先从甲地出发，1小时后小强出发，小明则放慢速度继续前行，小明和小强距甲地的距离y（千米）与小明出发的时间x（小时）之间的函数图象如图所示． (1)小强同学骑自行车的速度为___________千米/小时； (2)求小明距甲地的距离y与x之间的函数关系式； (3)当小强到达乙地时，求小明距乙地的距离． 【答案】(1) (2) (3)千米． 【分析】本题考查一次函数的应用，理解函数图象，掌握待定系数法求解函数解析式时解题的关键． （1）根据：速度=路程/时间，计算即可． （2）利用待定系数法求解即可． （3）根据待定系数法求出小强距甲地距离与之间的函数关系式，当小强到达乙地时，，代入求出相对应的值，将的值代入，可得，即为小明距离甲地的距离，在根据：小明距离乙地的距离＝甲乙两地的距离－小明距离甲地的距离，计算即可． 【详解】（1）由图象可知，小强同学在小时内骑了千米， 故其骑自行车的速度为（千米/小时）， 故答案为． （2）设小明距离甲地的距离与之间的函数关系式为（、为常数，且）， 当时，点和在直线上，代入到中， 可得，解得， 即：当时，小明距离甲地的距离与之间的函数关系式为 点和在直线上，代入到中， 可得，解得， ∴当时，小明距离甲地的距离与之间的函数关系式为． 综上所述：小明距离甲地的距离与之间的函数关系式为. （3）设小强距离甲地的距离与之间的函数关系式为（、为常数，且）， 小强同学骑自行车的速度为千米/小时，且点、在直线上， ∴，解得， 故小强距离甲地的距离与之间的函数关系式为：， 当小强到达乙地时，，代入解得：，解得：， 将代入到中，得：， 故（千米）， ∴当小强到达乙地时，小明距乙地的距离为千米． 15．（23-24八年级下·湖南·期末）在一条笔直的公路上有A，B，C三地，C地在A，B两地之间．甲车从A地出发匀速驶往B地，同时乙车从C地出发匀速驶往A地，到达A地因故停留1小时后按原路原速驶往B地．结果乙车比甲车早1小时到达B地，如图是甲、乙两车距B地的距离y（单位：千米）与甲车行驶时间x（单位：小时）之间的函数图象，请结合图象解决下列问题： (1)乙车的速度为________千米/时，A、C两地的距离为________千米； (2)求图象中线段对应的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (3)请直接写出在两车行驶的过程中，两车出发多长时间距C地的距离相同． 【答案】(1)200，400 (2) (3)小时或小时或小时 【分析】本题考查了一次函数的实际应用： （1）根据乙车在A地因故停留1小时，得到乙车用了到达A地所用的时间，用路程除以时间求出速度，再用速度乘以时间得到距离，即可得到结果； （2）先根据所得的条件得到乙车行驶的总时间，设出解析式，利用待定系数法求出函数解析式即可； （3）分三种情况，即甲乙两车相遇且乙车到达A地之后，和乙车过了C地之后，求解即可； 从图像上获取信息是解题的关键． 【详解】（1）解：∵乙车在A地因故停留1小时， ∴乙车到达A地所用的时间为小时， ∴乙车的速度为：千米/时， ∴A、C两地的距离为：千米， 故答案为：200,400； （2）解：乙车从A地到达B地所用时间为：小时， ∴乙车总时间为：小时， ∵乙车比甲车早1小时到达B地， ∴甲车总时间为：小时， 则甲车的速度为：千米/时， 设甲车从C地到B地过程中函数解析式为，由图像可知，直线经过点， ∴，解得， ∴； （3）解：设两车出发x小时后，距C地的距离相同， ①乙车到达A地之前，即甲乙相遇之时，两车相向而行，由题意可得： ，解得； ②两车经过小时相遇后，乙车到达A地之后，由题可得： ，解得； ③乙车过了C地之后，与甲车相遇，由题可得： ，解得； 综上所述，两车出发后经过小时或小时或小时距C地的距离相同． 16．（23-24八年级下·湖南邵阳·期末）小刚和小强在一条由西向东的公路上行走，小强从A地出发，小刚从小强东边处同时出发，如图所示是小刚，小强离A地的距离与行走的时间之间的图象，根据图象完成以下问题： (1)分别求出小刚、小强离A地的距离与行走时间之间的函数表达式． (2)小强在出发后几分钟可以追上小刚？ 【答案】(1)， (2)4 【分析】本题考查一次函数的应用，（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据小刚和小强相遇时，，求解即可． 【详解】（1）解：设小强离A地的距离与行走时间之间的函数表达为， 把代入得，， 解得， ∴小强离A地的距离与行走时间之间的函数表达为， 设小刚离A地的距离与行走时间之间的函数表达为， 把代入得，， 解得， ∴小刚离A地的距离与行走时间之间的函数表达为； （2）解：当小刚和小强相遇时，， 解得， 答：小强在出发后4分钟可以追上小刚． ( 题型0 4 )几何问题 17．（23-24八年级下·湖南郴州·期末）如图，将直线：向上平移个单位后得到直线，直线与直线：和轴分别相交于点、点． (1)求直线l2的函数表达式； (2)点P是x轴上任意一点，若以点A、B、P为顶点的三角形为直角三角形，请求出点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先求出点A的坐标，再利用待定系数法求出直线的表达式即可； （2）分两种情况：当为直角时，当为直角时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵直线：经过点， ∴，，即点． 依题意设直线的表达式为． 将点的坐标代入， 得， 解得， ∴． （2）解：若以点A、、为顶点的三角形为直角三角形，由题意可知为锐角，故只有或可能为直角． 当为直角时，将点设为点， 过点A作轴于点，则， ∵点， ∴此时点为； 当为直角时，将点设为点． 过点A作于交轴于点，则， 在中，令，得， ∴点为，即， ∵点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点． 故点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的平移，一次函数与几何综合，等腰三角形的判定和性质，熟知相关知识是解题的关键． 18．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）对于平面直角坐标系中的点，若点的坐标为（其中为常数，且），则称点为点的“属派生点”．例如：的“2属派生点”为，即． (1)点的“2属派生点”的坐标为 　　； (2)若点在x轴的正半轴上，点的“属派生点”为点，且，求值； (3)如图，点的坐标为，点A在函数的图象上，且点A是点B的“属派生点”，当线段最短时，求B点坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据“属派生点”的定义计算即可得出答案； （2）设点的坐标为，且，得出，从而得出，，结合，得出，计算即可得出答案； （3）设点的坐标为，则点的坐标为，将代入函数得出点在直线上，推出点的坐标为，再由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】（1）解：，， ∴的坐标为； （2）解：由题意，设点的坐标为，且，则，即， ∴，， ∵， ∴，即， 解得：； （3）解：设点的坐标为，则点的坐标为， ∵点A在函数的图象上， ∴， 整理得：， ∴点在直线上， ∴点的坐标为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴当时，线段最短，最短为，此时，即． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形的性质，勾股定理，弄清题中的新定义是解本题的关键． 19．（23-24八年级下·湖南邵阳·期末）我们约定：若关于x的一次函数和同时满足，，则称函数和互为“真诚函数”．根据该约定，解答下列问题： (1)若关于x的一次函数和互为“真诚函数”，求m，n的值； (2)若关于x的一次函数的“真诚函数”经过点，且与的交点P在第三象限，求k的取值范围； (3)在平面直角坐标系中，点，点，若关于x的一次函数与它的“真诚函数”交于点N，在平面内是否存在点M，使得以A、B、M、N为顶点，且为一边的四边形为菱形．若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2) (3)或或 【分析】（1）根据题意得到，，，即可求解． （2）由题意可知，的“真诚函数”为，联立可得交点，根据的“真诚函数”经过点得，由点在第三象限即可求解． （3）分三种情况：①若点在点的上方，四边形是菱形，②若点在点的下方，四边形是菱形，③若点在点的下方，四边形是菱形，分别求解即可． 本题是一次函数综合题，考查了新定义、菱形的性质、勾股定理等，解题的关键是利用分类讨论的思想解决问题． 【详解】（1）解：由题意可知：，，， ，，， 关于的一次函数和互为“真诚函数”， ，， ，； （2）由题意可知，的“真诚函数”为， 联立得，解得， 点， 的“真诚函数”经过点， ， ， 点， 点在第三象限， ， 的取值范围为； （3）解：由（2）可知， 点，点， ， ①若点在点的上方，四边形是菱形，如图1，    则， 点的坐标为； ②若点在点的下方，四边形是菱形，如图2，    则， 点的坐标为； ③若点在点的下方，四边形是菱形，如图3，    则， 与互相平分， 点的坐标为； 综上，点的坐标为或或 20．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）如图1，平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，点是的中点，直线过定点，交轴于点． (1)求点的坐标； (2)如图2，当时， 过点C作，交于点F，在直线上是否存在点，使得是等腰直角三角形，若存在，请求出所有满足条件的点P；若不存在，请说明理由． (3)点N在直线上，且，连接，点M为的中点，连接．求线段的长度的最大值，并直接写出此时点N的坐标． 【答案】(1) (2)存在，或 (3)， 【分析】（1）根据，得到直线过定点，即可； （2）先求出点的坐标、正方形的边长，过点作，证明，推出为等腰直角三角形，得到当点与点重合时，满足题意，再根据对称性求出点在点上方时，点的坐标即可； （3）取点，连接，易得为的中点，得到，进而得到最大时，最大，根据，得到三点共线时，有最大值为的长，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，， ∴直线过定点， ∴； （2）存在： 当时，直线为：， 当时，， ∴， ∵正方形的边在轴上，点是的中点，， ∴，， ∴， 过点作，则：，， ∵过点C作，交于点F， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵点在直线上，且是等腰直角三角形， ∴当点与点重合时，满足题意， 此时：； 当点在点上方时，则：时，满足题意， 即点为的中点， ∴， 综上：或； （3）取点，连接， 则：， ∴为的中点，， ∵点M为的中点， ∴， ∵， ∴当三点共线时，即在的延长线上时，有最大值为的长，此时的值最大，如图： ∵， ∴的最大值为， ∴的最大值为：； 过点作轴，则：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查坐标与图形，一次函数的综合应用，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的中位线等知识点，综合性强，难度较大，属于压轴题，熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 21．（23-24八年级下·湖南邵阳·期末）如图，已知直线与坐标轴交于A，B两点，点A是x轴负半轴上一点，并且，点E是线段上一动点（不与端点重合），过点E作轴，交于F． (1)求所在直线的解析式； (2)若轴于点D，点D的坐标为，请用含m的代数式表示与的长； (3)在x轴上是否存在一点P，使得为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)，； (3)，或，或，． 【分析】（1）由直线可求得、坐标，再结合，则可求得点坐标，利用待定系数法可求得直线的解析式； （2）根据直线解析式可求得点的纵坐标，由轴则可得出点纵坐标，代入直线解析式可求得点横坐标，从而可表示出及的长； （3）设，由为等腰直角三角形，分、和三种情况进行讨论，分别求得点坐标． 【详解】（1）在中，令可得，令可得，解得， ，， ，， ， ，即， 解得:， ， 设直线解析式为， ， 解得:， 直线解析式为． （2）轴，且， 点横坐标为， 在中，令，可得， ， 轴， 点纵坐标为， 在中，令，可得， 解得：， ， ，， ． （3）假设存在满足条件的点，设其坐标为， 为等腰直角三角形， 有、和三种情况， ①当时，则有， 由（2）可得，， ，解得， ，； ②当时，则有， 在中，令可得， ， 在中，令，可得，解得， ， ，解得， ，； ③当时，如图，过作于点，则， 由（2）可知，， ，解得， ，， ， ，； 综上可知存在满足条件的点，其坐标为，或，或，． 【点睛】本题为一次函数的综合应用，涉及三角形的面积、待定系数法、函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质、方程思想及分类讨论思想．在（1）中求得点坐标是解题的关键，在（2）中分别表示出、的坐标是解题的关键，在（3）中确定出点的位置，利用等腰直角三角形的性质得到关于点坐标的方程是解题的关键，注意分三种情况．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中． 22．（22-23八年级下·湖南长沙·期末）在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象与轴、轴分别交于两点．以为边在第二象限内作正方形．    (1)求点，的坐标； (2)在轴上是否存在点，使的周长最小？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点，的坐标，利用正方形的性质可得出，，过点作轴于点，过点作轴于点，易证，，再利用全等三角形的性质结合点，所在的位置，即可得出点，的坐标； （2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时取得最小值，即的周长最小，由点的坐标可得出点的坐标，利用待定系数法可求出直线的坐标，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：当时，， 点的坐标为， ； 当时，， 解得：， 点的坐标为， ． 四边形为正方形， ，． 过点作轴于点，过点作轴于点，如图1所示． ，，， ． 在和中， ， ， ，， 点的坐标为，即； 同理，可证出：， ，， 点的坐标为，即．    （2）解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时取得最小值，即的周长最小，如图2所示． 点的坐标为， 点的坐标为． 设直线的解析式为， 将，代入， 得：，解得：， 直线的解析式为． 当时，， 解得：， 点的坐标为． 在轴上存在点，使的周长最小，点的坐标为．    【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是：（1）利用一次函数图象上点的坐标特征及全等三角形的性质，求出，，，的长；（2）利用两点之间线段最短，找出点的位置． ( 题型0 5 )其他问题 23．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）某医院研究所开发了一种新药，在实验药效时发现：如果成人按规定剂量服用，那么服药后每毫升血液中含药量y（微克）随时间x（小时）的变化情况如图所示，如果每毫升血液中的含药量3微克或3微克以上时，治疗疾病最有效，那么这个最有效的时间共有 小时． 【答案】4 【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，求出时，与之间的函数关系式，时，与之间的函数关系式，把代入所得的两个函数解析式，看得到的相应时间，较大的数减较小的数即为有效时间． 【详解】设时，正比例函数解析式为，把代入得，， 当时，与之间的函数关系式是； 设时，一次函数解析式为， ，，在函数解析式上， ， 解得， 当时，与之间的函数关系式是； 把代入得，； 把代入得，， 有效时间为， 如果每毫升血液中的含药量3微克或3微克以上时，治疗疾病最有效，那么这个最有效的时间共有4小时． 故答案为：4． 24．（23-24八年级下·湖南衡阳·期末）为贯彻落实国家教育方针，培养体格健康的新一代少年，祁东县某中学每年冬季都会举办全体师生冬季长跑活动．为激励学生积极参与，学校用元购买，两种体育器材共件作为奖品．已知一件种器材价格是一件种器材价格的倍，且购买种器材与购买种器材的费用相同． (1)求购买一件 种器材和一件种器材各需多少元 (2)若学校还需购买， 两种器材共件，且种器材的数量不多于种器材数量的倍，问至少要花多少元? 【答案】(1)购买一件种器材需要元，购买一件种器材需要元 (2)至少要花元钱 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用． （1）设购买一件种器材需要元，购买一件种器材需要元，利用数量总价单价，结合学校用元购买了、两种体育器材共件，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出购买一件种器材所需费用，再将其代入中，即可求出购买一件种器材所需费用； （2）设学校还需购买件种器材，则还需购买件，根据再次购买的种器材的数量不多于种器材数量的倍，可列出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，设学校再次购买两种器材共花费元，利用总价单价数量，可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设购买一件种器材需要元，购买一件种器材需要元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ． 答：购买一件种器材需要元，购买一件种器材需要元； （2）设学校还需购买件种器材，则还需购买件， 根据题意得：， 解得：． 设学校再次购买两种器材共花费元，则， 即， ， 随的增大而减小， 又，且为正整数， 当时，取得最小值，最小值． 答：至少要花元钱． 25．（23-24八年级下·湖南邵阳·期末）某城市为了让居民节约用电，决定实行阶梯收费标准：每户居民每月用电量在100度以内，每度电0.8元；每月用电量超过100度，则超出部分每度电加0.7元．电力公司为了建立收费系统，必须创建两个收费公式． (1)请你用所学的函数知识为电力公司创建两个收费公式． (2)某户居民6月份电费为110元，请用创建的公式计算这户居民6月份的用电量． 【答案】(1)x在100度以内，；x超过100度，元 (2)这户居民6月份的用电量为度 【分析】本题考查列函数关系式，已知函数值求自变量的值． （1）根据题意分两种情况列出函数关系式即可； （2）由题意可知用电量超过100度，列方程解题即可． 【详解】（1）设用电量为x度，收费为y元， 当时，收费为元； 当时，收费为元； （2）解：∵， ∴用电量超过100度， 则， 解得， 答：这户居民6月份的用电量为度． 26．（23-24八年级下·湖南永州·期末）春分是二十四个节气中的第四个节气．这天以后太阳直射位置便向北移，北半球昼长夜短，所以春分是北半球春季的开始，也是农民播种疏菜的好时机．我国农谚有云：“春分有雨家家忙，先种瓜豆后插秧”．种植户农民刘大伯开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗．据了解，市场上每捆A种菜苗的价格比菜苗基地贵10元，用600元在市场上购买的A种菜苗捆数和用400元在菜苗基地购买的捆数一样多． (1)求菜苗基地每捆A种菜苗的价格； (2)菜苗基地每捆B种菜苗的价格是40元．刘大伯决定在菜苗基地购买A，B两种菜苗共100捆，且A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数的3倍，菜苗基地为支持刘大伯，对A，B两种菜苗均提供九折优惠．设刘大伯购买A种菜苗的捆数为x，共花费w元． ①求w关于x的函数关系式； ②求刘大伯购买菜苗最少花费多少钱． 【答案】(1)菜苗基地每捆A种菜苗的价格为20元 (2)①，②刘大伯购买菜苗最少花费2250元 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、一次函数的应用等知识点，审清题意、正确列出方程和函数解析式成为解题的关键． （1）设菜苗基地A种菜苗每捆x元，然后根据题意列出分式方程求解即可； （2）根据题意得购买B种菜苗的捆数为；根据不等关系“A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数的3倍”列不等式可得，然后再列出购买菜苗的花费为w元与x的函数关系式，最后根据一次函数的增减性即可解答． 【详解】（1）解：设菜苗基地A种菜苗每捆x元， 根据题意得：，解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：菜苗基地每捆A种菜苗的价格为20元． （2）解：根据题意得，购买B种菜苗的捆数为，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴w随x的增大而较小．当时，w最小， ∴(元)． 答：刘大伯购买菜苗最少花费2250元． 27．（23-24八年级下·湖南岳阳·期末）【综合实践】新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的． 【实验操作】为了解汽车电池需要多久能充满，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验． 实验Ⅰ：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量与时间t（分钟）的关系，数据记录如表1： 电池充电状态 时间t（分钟） 0 10 30 60 增加的电量 0 10 30 60 实验Ⅱ：探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示剩余电量与行驶里程s（千米）的关系，数据记录如表2： 汽车行驶过程 已行驶里程s（千米） 0 160 200 280 显示剩余电量 100 60 50 30 【建立模型】（1）观察表1、表2发现都是一次函数模型，请结合表1、表2的数据，直接写出函数关系式（不写自变量的取值范围）． y关于t的函数表达式为____________，e关于s的函数表达式为_____________； 【解决问题】（2）某电动汽车在充满电量的状态下，从A地出发前往距出发点480千米的B地，在途中服务区进行一次充电后继续行驶，其已行驶里程数（s）和显示剩余电量（e）的函数关系如下图所示： ①该车到达B地时，显示剩余电量e的值为____________；该车进入服务区充电前显示剩余电量e的值为_____________． ②该车中途充电用了多少分钟？ ③当汽车显示剩余电量e的值为60时，该车距出发点A地多少千米？ 【答案】（1），；（2）①10，40；②30分钟；（3）160或280千米 【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意是解答的关键． （1）利用待定系数法求解函数关系式即可； （2）①根据图象和表格数据直接解答即可； ②先求得离开服务区走完剩余路程千米时，需要耗电量，结合该车到达B地时，显示剩余电量为，可求得增加的为，利用（1）中解析式求解充电时间即可； ③分当汽车到达服务区前，汽车显示剩余电量e的值为60时和当汽车离开服务区后，汽车显示剩余电量e的值为60时两种情况求解即可． 【详解】解：（1）根据题意，设y关于t的函数表达式为， 将、代入，得，解得， ∴y关于t的函数表达式为； 设e关于s的函数表达式为， 将、代入，得，解得， ∴e关于s的函数表达式为， 故答案为：；； （2）①由图知，该车到达B地时，显示剩余电量e的值为10； 将代入代入中，得， ∴该车进入服务区充电前显示剩余电量e的值为40， 故答案为：10，40； ②离开服务区走完剩余路程千米时，需要耗电量，又知该车到达B地时，显示剩余电量为， ∴增加的电量为，即， ∴，即该车中途充电用了30分钟； ③当汽车到达服务区前，汽车显示剩余电量e的值为60时，由表格数据得此时该车距出发点A地160千米； 当汽车离开服务区后，汽车显示剩余电量e的值为60时， ∵离开服务区时的剩余电量为，汽车显示剩余电量e的值为60时，耗电量为，∵每千米耗电量为， ∴耗电量行驶的路程为千米， 故此时该车距出发点A地千米， 综上，当汽车显示剩余电量e的值为60时，该车距出发点A地160或280千米． 1．（23-24八年级下·湖南·期末）某礼品店为迎接农历新年的到来，准备购进一批适合学生的礼品.已知购进4件A礼品和12件B礼品共需360元，购进8件A礼品和6件B礼品共需270元. (1)（列二元一次方程组）求A，B两种礼品每件的进价. (2)该店计划将5000元全部用于购进A，B这两种礼品，设购进A礼品m件，B礼品n件. ①求n与m之间的关系式； ②该店进货时，厂家要求A礼品的购进数量不少于100件.已知A礼品每件售价为20元，B礼品每件售价为35元.设该店全部售出这两种礼品可获利W元，求W与m之间的关系式和该店所获利润的最大值. 【答案】(1)A礼品每个的进价是15元，B礼品每个的进价是25元 (2)①；②，最大利润为1900元 【分析】(1)设A、B两种礼品的进价分别是x元、y元，根据购进4件A礼品和12件B礼品共需360元，购进8件A礼品和6件B礼品共需270元，列出方程组，解方程组即可； (2)①该店计划用5000元全部购进A，B两种礼品，购进A种礼品m个，B种礼品n个，结合（1）中求出的进价，得到购进A种礼品需要元，B种礼品需要元，列出二元一次方程，整理可得n关于m的关系式； ②根据两种礼品的进价和售价列出W与m的关系式，根据W随m的变化情况及m的取值范围求最大利润即可． 本题主要考查了一次函数和二元一次方程组的应用，解决问题的关键是熟练掌握总价与单价和数量的关系，列出二元一次方程或方程组，一次函数关系式，并根据函数值的增减性和自变量的取值范围求出函数最值． 【详解】（1）设A礼品每个的进价是x元，B礼品每个的进价是y元， 依题意得，， 解得， 故A礼品每个的进价是15元，B礼品每个的进价是25元；． （2）(2)①依题意得，， ∴． ②∵W表示所获得的利润， ∴， ∵， ∴W随m的增大而减小， ∵， ∴当时，W取得最大值．即A礼品进货100件时，该店获利最大， 最大利润为， (元)． 2．（23-24八年级下·湖南长沙·期末）定义：形如（，，、为常数）的函数称为正比例函数的“分移函数”，其中叫“分移值”．例如，函数的“分移函数”为其中“分移值”为1． (1)已知点在的“分移函数”的图象上，则的值为　　　； (2)已知点，在函数的“分移函数”的图象上，求的值； (3)已知矩形顶点坐标为，，，．函数的“分移函数”的“分移值”为3，且其图象与矩形有两个交点，求的取值范围． 【答案】(1)4 (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数与新定义的综合，涉及待定系数法求解析式，分段函数，一次函数的图象和性质，理解“分移函数”的含义并运用数形结合思想是解题的关键． （1）待定系数法求解析式即可； （2）将点代入函数的“分移函数”的解析式，可得关于和的二元一次方程组，求解即可； （3）根据函数的“分移函数”图象与矩形的性质，通过计算函数图象分别过点和过点时的值，即可确定图象与矩形有两个交点时的取值范围． 【详解】（1）解：将点代入， 得， 解得， 故答案为：4； （2）根据题意，设函数的“分移函数”为， 将点代入， 得①， 将点代入， 得②， 得， ∴； （3）解：∵函数的“分移函数”的“分移值”为3， ∴， 当时，函数图象与矩形没有交点， 当时，当函数图象经过点B时，此时函数图象与矩形有一个交点， 将点代入， 得， 解得， 当函数图象经过点D时，此时函数图象与矩形有三个交点， 将点代入， 得， 解得， ∴当函数图象与矩形有两个交点时，k的取值范围是． 3．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，分别交坐标轴于点A，B，C，D． (1)求a和k的值； (2)如图，点P是直线上的一个动点，设点P的横坐标为m，当成立时，求点P的坐标； (3)直线上有一点F，在平面直角坐标系内找一点N，使得以为一边，以点B，D，F，N为顶点的四边形是菱形，请直接写出符合条件的点N的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或或 【分析】（1）将点的坐标代入函数的解析式即可求得的值，从而确定点是坐标，再将点的坐标代入即可求得值； （2）首先得到直线的解析式，然后得到点的坐标，根据的面积，求得或，代入直线的解析式即可求得答案； （3）设点的坐标为，根据点、的坐标，得到，然后分①当是边时和②当是对角线时，则的中点，即为的中点，且轴，进而求解． 【详解】（1）解：将点的坐标代入并解得：， 故点， 将点的坐标代入，得， 解得：， ，； （2）解：由（1）得直线的表达式为：， 则点， 的面积， 解得：或， 故点的坐标为或； （3）解：设点的坐标为， ∵， ∴当时，， ∴， ∵ ∴， 当，是边时， 当点在点的上方时，则，即， 解得， 则点的坐标为或； 点在点的正下方个单位， 则点或； 当为对角线时，则的中点坐标为， ∴点纵坐标为，即：， ∴， ∴， ∵的中点也为， ∴； 综上，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、待定系数法，菱形的判定与性质等，解答的关键是注意分类求解，避免遗漏． 4．（23-24八年级下·湖南湘西·期末）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，将点称为“芙蓉点”，经过点的函数，称为“芙蓉函数” (1)函数①；②；③，其中函数__________（填序号）是“芙蓉函数”； (2)已知“芙蓉函数”的图像经过点，求该“芙蓉函数”的解析式； (3)若直线与x轴、y轴分别交于点，M是y轴上一点，若将沿直线折叠，点B恰好落在x轴上的点C处．试问经过C，M两点的一次函数是否可以为“芙蓉函数”？若可以，请直接写出所有函数解析式；若不可以，请说明理由． 【答案】(1)② (2) (3)可以， 【分析】本题考查求函数值，待定系数法求函数解析式，一次函数与几何的综合应用： （1）根据“芙蓉函数”的定义进行判断即可； （2）待定系数法求出函数解析式即可； （3）根据题意分点M在y轴正半轴上和点M在y轴负半轴上两种情况讨论，分别根据“芙蓉函数”的性质求解即可． 【详解】（1）解：当时，对于，可得：， ∴图像不经过；故①不是“芙蓉函数”； 对于，可得：， ∴图像经过；故②是“芙蓉函数”； 对于，可得：； ∴图像不经过；故③不是“芙蓉函数”； 故答案为：②； （2）∵“芙蓉函数”的图像经过点， ∴的图像经过， ∴，解得：， ∴； （3）可以； ①如图所示，当点M在y轴正半轴上时，    设沿直线将折叠，点B正好落在x轴上的C点，则有， 由直线可得，，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 设M点坐标为，则，， ∴， ∴， 解得， ∴， 设直线解析式为，将，代入， 得： 解得，． ∴ ∴若该函数为“芙蓉函数”，则直线过“芙蓉点”． ∴， 解得（与矛盾，舍去）， ∴此时，不存在“芙蓉函数”． ②如图所示，当点M在y轴负半轴上时，   ， 设M点坐标为，则，， ∵， ∴， ∴， ∴，又， 同理，用待定系数法可求得直线解析式为：， 若该函数为“芙蓉函数”，则直线过“芙蓉点”． ∴，得． ∴， 综上所述，存在“芙蓉函数”． 5．（23-24八年级下·湖南·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线AB分别与x轴的负半轴、y轴的正半轴交于A、B两点，其中OA＝2，S△ABC＝12，点C在x轴的正半轴上，且OC＝OB． (1)求直线AB的解析式； (2)将直线AB向下平移6个单位长度得到直线l1，直线l1与y轴交于点E，与直线CB交于点D，过点E作y轴的垂线l2，若点P为y轴上一个动点，Q为直线l2上一个动点，求PD+PQ+DQ的最小值； (3)若点M为直线AB上的一点，在y轴上是否存在点N，使以点A、D、M、N为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)y＝2x+4 (2) (3)存在以点A、D、M、N为顶点的四边形为平行四边形，N的坐标为（0，﹣2）或（0，10） 【分析】（1）设OB＝OC＝m，由S△ABC＝12，可得B（0，4），设直线AB解析式为y＝kx＋b，利用待定系数法即可求解； （2）将直线AB向下平移6个单位，则直线l1解析式为y＝2x−2，可得E（0，−2），垂线l2的解析式为y＝−2，由B（0，4），C（4，0），得直线BC解析式为y＝−x＋4，从而可求得D（2，2），作D关于y轴的对称点D，作D关于直线y＝−2对称点D，连接DD交y轴于P，交直线y＝−2于Q，此时PD＋PQ＋DQ的最小，根据D（−2，2），D（2，−6），得直线DD解析式为y＝−2x−2，从而P（0，−2），Q（0，−2），故此时PD＝2，PQ＝0，DQ＝，PD＋PQ＋DQ的最小值为4． （3）设P（p，2p＋4），N（0，q），而A（−2，0），D（2，2），①以AD、MN为对角线，此时AD中点即为MN中点，根据中点公式得N（0，−2）；②以AM、DN为对角线，同理可得N（0，10）；③以AN、DM为对角线，同理可得N（0，−2）． 【详解】（1）解：（1）设OB＝OC＝m， ∵OA＝2， ∴AC＝m+2，A（﹣2，0）， ∵S△ABC＝12， ∴AC•OB＝12，即m•（m+2）＝12， 解得m＝4或m＝﹣6（舍去）， ∴OB＝OC＝4， ∴B（0，4）， 设直线AB解析式为y＝kx+b， ∴， 解得， ∴直线AB解析式为y＝2x+4； （2）将直线ABy＝2x+4向下平移6个单位，则直线l1解析式为y＝2x﹣2， 令x＝0得y＝﹣2， ∴E（0，﹣2），垂线l2的解析式为y＝﹣2， ∵B（0，4），C（4，0）， 设直线BC解析式为y＝px+q， ∴， 解得， ∴直线BC解析式为y＝﹣x+4， 由得：， ∴D（2，2）， 作D关于y轴的对称点D'，作D关于直线y＝﹣2对称点D''，连接D'D''交y轴于P，交直线y＝﹣2于Q，此时PD+PQ+DQ的最小，如图： ∴D'（﹣2，2），D''（2，﹣6）， 设直线D'D''解析式为y＝sx+t， 则，解得， ∴直线D'D'解析式为y＝﹣2x﹣2， 令x＝0得y＝﹣2，即P（0，﹣2）， 令y＝﹣2得x＝0，即Q（0，﹣2）， ∴此时PD＝2，PQ＝0，DQ＝2， ∴PD+PQ+DQ的最小值为4． （3）存在，理由如下： 设P（p，2p+4），N（0，q），而A（﹣2，0），D（2，2）， ①以AD、MN为对角线，如图： 此时AD中点即为MN中点， ∴，解得， ∴N（0，﹣2）； ②以AM、DN为对角线，如图： 同理可得：，解得， ∴N（0，10）； ③以AN、DM为对角线，如图： 同理可得，解得， ∴N（0，﹣2）， 综上所述，以点A、D、M、N为顶点的四边形为平行四边形，N的坐标为（0，﹣2）或（0，10）． 【点睛】本题考查一次函数及应用，涉及待定系数法、一次函数图象上点坐标特征、线段和的最小值、平行四边形等知识，解题的关键是应用平行四边形对角线互相平分，列方程组解决问题． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$