专题01 运动的合成与分解 抛体运动 圆周运动（考点清单）-2024-2025学年高一物理下学期期末考点大串讲（沪科版2020）

专题01 运动的合成与分解 抛体运动 圆周运动 考点1　 运动的合成与分解 考点2　 小船渡河问题 考点3　 绳(杆)端的关联速度问题 考点4　 平抛运动的规律应用 考点5　 与斜面或弧面相关的平抛运动 考点6　 平抛运动的临界和极值问题 考点7　 斜上抛运动 考点8　 实验:探究平抛运动的特点 考点9　圆周运动中的运动学分析 考点10　圆周运动中的动力学分析 考点11 生活中的圆周运动 考点12　水平面内圆周运动的临界问题 考点13 竖直面内的变速圆周运动 考点14 圆周运动与平抛运动的综合问题 考点15 实验：探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系 一、曲线运动 1．速度方向 质点在某一点的速度方向，沿曲线上该点的______方向。 2．运动性质 做曲线运动的物体，速度的______时刻改变，故曲线运动一定是______运动，即必然具有加速度。 3．曲线运动的条件 (1)运动学角度：物体的______方向跟速度方向不在同一条直线上。 (2)动力学角度：物体所受______的方向跟速度方向不在同一条直线上。 二、运动的合成与分解 1．合运动与分运动概念 (1)运动的合成：已知______求合运动。 (2)运动的分解：已知______求分运动。 2．遵循的法则 位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循______。 3．运动分解的原则 根据运动的______分解，也可采用正交分解法。 4．合运动与分运动的关系 (1)等时性：合运动和分运动经历的______相等，即同时开始、同时进行、同时停止。 (2)独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动______，不受其他分运动的影响。 (3)等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的______。 三、平抛运动 1．定义：以一定的初速度沿水平方向抛出的物体只在______作用下的运动。 2．性质：平抛运动是加速度为g的______曲线运动，其运动轨迹是______。 3．研究方法：化曲为直 (1)水平方向：______运动； (2)竖直方向：______运动。 4．基本规律：以抛出点为坐标原点，水平初速度v0方向为x轴正方向，竖直向下的方向为y轴正方向，建立如图所示的坐标系，在该坐标系下，对任一时刻t，有： (1)位移：分位移x＝______；y＝______ 合位移x合＝＝______，tan φ＝______，φ为合位移与x轴的夹角。 (2)速度：分速度vx＝______；vy＝______合速度v＝＝，tan θ＝______，θ为合速度v与x轴的夹角。 四、斜抛运动 1．定义：将物体以初速度v0______或斜向下方抛出，物体只在______作用下的运动。 2．性质：斜抛运动是加速度为g的______曲线运动，运动轨迹是______。 3．研究方法：运动的合成与分解 (1)水平方向：______直线运动。 (2)竖直方向：______直线运动。 4．基本规律(以斜上抛运动为例，如图所示) 以斜抛运动的抛出点为坐标原点O，水平向右为x轴的正方向，竖直向上为y轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系xOy. 初速度可以分解为v0x＝______，v0y＝______。 在水平方向，物体的位移和速度分别为 x＝v0xt＝(v0cos θ)t vx＝v0x＝v0cos θ 在竖直方向，物体的位移和速度分别为 y＝v0yt－gt2＝(v0sin θ)t－gt2 vy＝v0y－gt＝v0sin θ－gt 五、探究平抛运动的特点 一、实验思路 用描迹法逐点画出小钢球做平抛运动的轨迹，判断轨迹是否为抛物线，并求出小钢球的初速度。 二、实验器材 末端水平的斜槽、背板、挡板、复写纸、白纸、钢球、刻度尺、铅垂线、三角板、铅笔等。 三、实验过程 1．安装、调整背板：将白纸放在复写纸下面，然后固定在装置背板上，并用铅垂线检查背板是否______。 2．安装、调整斜槽：将固定有斜槽的木板放在实验桌上，用平衡法检查斜槽末端是否______，也就是将小球放在斜槽末端直轨道上，小球若能______，则表明斜槽末端已调水平，如图。 3．描绘运动轨迹：让小球在斜槽的某一固定位置由静止滚下，并从斜槽末端飞出开始做平抛运动，小球落到倾斜的挡板上，会挤压复写纸，在白纸上留下印迹。取下白纸用平滑的曲线把这些印迹连接起来，就得到小球做平抛运动的轨迹。 4．确定坐标原点及坐标轴：选定______________________________的点为坐标原点O，从坐标原点O画出竖直向下的y轴和水平向右的x轴。 四、数据处理 1．判断平抛运动的轨迹是不是抛物线 (1)原理：若平抛运动的轨迹是抛物线，则应以抛出点为坐标原点建立直角坐标系，且轨迹上各点的坐标满足y＝ax2的关系，且同一运动轨迹上a是一个特定的值。 (2)验证方法 方法一：代入法 用刻度尺测量几个点的x、y坐标，分别代入y＝ax2中求出常数a，判断a值在误差允许的范围内是否为一常数。 方法二：图像法 建立y－x2坐标系，根据所测量的各个点的x、y坐标值分别计算出对应y值的x2值，在y－x2坐标系中描点，连接各点看是否在一条直线上，并求出该直线的斜率即为a的值。 2．计算平抛运动物体的初速度 (1)类型1：若原点O为抛出点，利用公式x＝v0t和y＝gt2即可求出多个初速度v0＝______，最后求出初速度的平均值，就是做平抛运动的物体的初速度。 (2)类型2：若原点O不是抛出点 ①在轨迹曲线上取三点A、B、C，使xAB＝xBC＝x，如图所示。A到B与B到C的时间相等，设为T。 ②用刻度尺分别测出yA、yB、yC，则有yAB＝yB－yA，yBC＝yC－yB。 ③yBC－yAB＝gT2，且v0T＝x，由以上两式得v0＝x。 五、注意事项 1．固定斜槽时，要保证斜槽末端的切线水平，保证小球的初速度沿水平方向。 2．固定木板时，木板必须处在竖直平面内且与小球运动轨迹所在的竖直平面平行，固定时要用重垂线检查坐标纸竖线是否竖直。 3．为保证小球每次从斜槽上的同一位置由静止释放，可在斜槽上某一位置固定一个挡板。 4．要在斜槽上适当高度释放小球，使它以适当的水平初速度抛出，其轨迹由木板左上角到达右下角，这样可以减小测量误差。 5．坐标原点不是槽口的端点，应是小球出槽口时球心在木板上的投影点。 6．计算小球的初速度时，应选距抛出点稍远一些的点为宜，以便于测量和计算。 六、匀速圆周运动及其描述 1．匀速圆周运动 (1)定义：如果物体沿着圆周运动，并且线速度的_____处处相等，这种运动叫作匀速圆周运动。 (2)速度特点：速度的大小不变，方向始终与半径_____。 (3)性质：加速度大小不变，方向总是指向_____的变加速曲线运动。 2．描述匀速圆周运动的物理量 物理量 定义、意义 公式、单位 线速度 描述做圆周运动的物体沿圆弧运动快慢的物理量(v) (1)v＝＝ (2)单位：_____ 角速度 描述物体绕圆心_____的物理量(ω) (1)ω＝＝ (2)单位：_____ 周期 频率 转速 (1)物体沿圆周运动_____的时间(T)，周期的倒数为频率(f) (2)转速(n)是单位时间内物体转过的_____ (1)T＝＝，单位：s (2)f＝，单位：Hz (3)n的单位：r/s，r/min 向心 加速度 描述速度_____变化快慢的物理量(an)；方向指向_____ (1)an＝＝_____ (2)单位：_____ 七、向心力 (1)作用效果：向心力产生向心加速度，只改变速度的_____，不改变速度的_____。 (2)大小：Fn＝ m　＝mω2r＝_____＝mωv＝4π2mf2r。 (3)方向：始终沿半径方向指向_____，时刻在改变，即向心力是一个变力。 (4)来源：向心力可以由一个力提供，也可以由几个力的_____提供，还可以由一个力的_____提供。 八、变速圆周运动 1．速度特点 线速度的大小、方向都_____。 2．合力特点 合力产生两个效果： (1)沿半径方向的分力_____，即向心力，它改变速度的_____。 (2)沿切线方向的分力_____，它改变速度的_____。 九、离心运动 1．定义：做_____的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需_____的情况下，所做的逐渐远离圆心的运动。 2．本质：做圆周运动的物体，由于本身的_____，总有沿着圆周_____　飞出去的倾向。 3．受力特点 (1)当Fn＝mω2r时，物体做_____运动。 (2)当Fn＝0时，物体沿_____方向飞出。 (3)当Fn<mω2r时，物体逐渐_____圆心，做离心运动。 (4)当Fn>mω2r时，物体将逐渐靠近圆心，做近心运动。 注意　物体做圆周运动还是偏离圆形轨道完全是由实际提供的向心力和所需的向心力间的大小关系决定的。 十 实验：探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系 一、实验目的 1．学会使用向心力演示器。 2．探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系。 二、实验原理 1．本实验探究向心力与多个物理量之间的关系，因而实验方法采用了_____。 (1)使两物体的质量、转动的半径相同，探究向心力的大小跟转动的_____　的定量关系。 (2)使两物体的质量、转动的角速度相同，探究向心力的大小跟转动 的_____　的定量关系。 (3)使两物体的转动半径、转动的_____相同，探究向心力的大小跟物体质量的定量关系。 2．向心力演示器 如图所示，匀速转动手柄，可以使塔轮、长槽和短槽匀速转动，槽内的小球也就随之做匀速圆周运动，此时小球向外挤压挡板，挡板对小球有一个向内(指向圆周运动的圆心)的弹力作为小球做匀速圆周运动的向心力，可以通 过_____　上露出的红白相间等分标记，粗略计算出两球所需向心力的比值。 三、实验器材 向心力演示器 四、实验步骤 1．把两个质量相同的小球放在长槽和短槽上，使它们的转动半径相同。调整塔轮上的皮带，使两个小球的角速度不一样。探究向心力的大小与角速度的关系。 2．保持两个小球质量不变，增大长槽上小球的转动半径。调整塔轮上的皮带，使两个小球的角速度相同。探究向心力的大小与半径的关系。 3．换成质量不同的球，分别使两球的转动半径相同。调整塔轮上的皮带，使两个小球的角速度也相同。探究向心力的大小与质量的关系。 4．重复几次以上实验。 五、数据处理 分别作出_____、Fn－r、Fn－m的图像，分析向心力大小与角速度、半径、质量之间的关系，并得出结论。 六、注意事项 摇动手柄时应缓慢加速，注意观察其中的一个标尺的格数。达到预定格数时，即保持转速恒定，观察并记录其余读数。 考点1 运动的合成与分解 1．合运动性质的判断 加速度(或合外力) 加速度(或合外力)方向与合速度方向 2．两个直线运动的合运动性质的判断 (不共线)分运动 合运动 两个匀速直线运动 匀速直线运动 一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动 两个初速度为零的匀加速直线运动 匀加速直线运动 两个初速度不为零的匀变速直线运动 若v0合与a合共线，则合运动为匀变速直线运动 若v0合与a合不共线，则合运动为匀变速曲线运动 例1.(多选)如图甲所示，一无人机正在配送快递。无人机在0～5 s内的飞行过程中，其水平、竖直方向速度vx、vy与时间t的关系图像分别如图乙、丙所示，规定竖直向上为正方向。下列说法正确的是(　　) A．0～2 s内，无人机做匀加速曲线运动 B．2～4 s内，无人机做匀减速直线运动 C．t＝4 s时，无人机运动到最高点 D．0～5 s内，无人机的位移大小为9 m 例2.如图所示，某跳伞运动员从一定高度跳伞(空气阻力可以忽略不计)，在降落过程中受到水平方向大小恒定的风力影响，最后降落到同一水平面上，下列说法正确的是(　　) A．该运动员一定做曲线运动 B．其他条件不变，风力越大，该运动员在空中运动时间越短 C．其他条件不变，风力越大，该运动员在空中运动时间越长 D．其他条件不变，风力越大，该运动员着地时的速率越大 合运动性质的判断 两个互成角度的分运动 合运动的性质 速度、加速度矢量图 两个匀速直线运动 匀速直线运动 一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动 两个初速度为零的匀加速直线运动 匀加速直线运动 两个初速度不为零的匀变速直线运动 匀变速直线运动 匀变速曲线运动 变式1.如图是码头的旋臂式起重机，当起重机旋臂水平向右保持静止时，吊着货物的天车沿旋臂向右匀速行驶，同时天车又使货物沿竖直方向先做匀加速运动，后做匀减速运动。该过程中货物的运动轨迹可能是下图中的(　　) 考点2 小船渡河问题 1．船的实际运动：是随水漂流的运动和船相对静水的运动的合运动。 2．三种速度：船在静水中的速度v船、水流的速度v水、船的实际速度v。 3．三类问题、四种情境 情境 说明 渡河时 间最短 当船头垂直河岸时，渡河时间最短，最短时间tmin＝ 渡河位 移最短 当v水<v船时，如果满足v水－v船cos θ＝0，合速度垂直河岸，则渡河位移最短(等于河宽d) 当v水>v船时，如果船头方向(即v船方向)与合速度方向垂直，则渡河位移最短，最短渡河位移smin＝ 渡河船 速最小 在水流速度v水和船的航行方向(即v合方向)一定的前提下，当船头方向(即v船方向)与合速度方向垂直时，有满足条件的最小船速，即v船min＝v水sin θ 例3.(多选)(2024福建泉州市二模)如图，小船以大小为v1＝5 m/s、船头与上游河岸成θ＝60°角的速度(在静水中的速度)从A处渡河，经过一段时间正好到达正对岸B处。已知河宽d＝180 m，则下列说法中正确的是(　　) A．河中水流速度为2.5 m/s B．小船以最短位移渡河的时间为24 s C．小船渡河的最短时间为24 s D．小船以最短时间渡河时到达对岸的位移大小是90 m 例4.汽艇以18km/h的速度沿垂直于河岸的方向匀速向对岸行驶，河宽500m，河水流速为3.6km/h. （1）汽艇的合速度是多大？ （2）汽艇到达对岸用时多久？ （3）汽艇在对岸何处靠岸？ 小船渡河问题的模型建构 两类常考题型的解题攻略 1．最短时间渡河：只要船头垂直河对岸即可，实际航行方向斜向河下游． 2．最短位移渡河：要分情况，若v船＞v水，则最短位移等于河宽；若v船＜v水，则v船⊥v合时，位移最短. 变式2.一小船在静水中的速度为3m/s，它在一条宽为150m、水流速度为4m/s的河流中渡河，则该小船（　　） A.能到达正对岸 B.渡河的时间可能少于50s C.以最短时间渡河时，它沿水流方向的位移大小为200m D.以最小位移渡河时，位移大小为250m 考点3 绳(杆)端的关联速度问题 1．此类问题绳或杆的特点 绳或杆的特点：(1)不可伸长；(2)沿绳(或杆)方向的速度分量大小相等。 2．关联速度常见模型 情境图示 分解图示 定量结论 vB＝ vAcos θ vAcos θ ＝v0 vAcos β＝vBcos α vBsin α＝vAcos α 例5.(2025安徽高三联考)如图所示，绕过定滑轮的细线连着两个小球，小球a、b分别套在水平和竖直杆上。某时刻连接两球的细线与竖直方向的夹角均为37°，此时a、b两球的速度大小之比为(已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)(　　) A．　　 B．　　 C．　　 D． 例6.如图所示，一轻杆两端分别固定质量为mA和mB的两个小球A和B(可视为质点)。将其放在一个光滑球形容器中从位置1开始下滑，当轻杆到达位置2时球A与球形容器球心等高，其速度大小为v1，已知此时轻杆与水平方向成θ＝30°角，球B的速度大小为v2，则(　　) A．v2＝v1 B．v2＝2v1 C．v2＝v1 D．v2＝v1 变式3.如图所示，质量为m的木块a放置在倾角为α的固定斜面上，通过一根不可伸长的细线绕过固定在斜面上的轻滑轮与质量为m、套在杆上的小球b相连，小球以速率v向左匀速运动，不计空气阻力和一切摩擦力，重力加速度为g。当细线与水平杆的夹角为β时(　　) A．木块a的速度大小为v B．木块a的速度大小为 C．细线的拉力大于mgsin α D．细线的拉力小于mgsin α 考点4　平抛运动的规律应用 1．关于平抛运动必须掌握的四个物理量 物理量 相关分析 飞行时间 (t) t＝，飞行时间取决于下落高度h，与初速度v0无关 水平射程 (x) x＝v0t＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关 落地速度 (v) v＝＝，用θ表示落地时速度与x轴正方向间的夹角，有tan θ＝＝，所以落地速度也只与初速度v0和下落高度h有关 速度的改 变量(Δv) 因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt相同，方向恒为竖直向下，如图所示 2．平抛运动的两个重要推论 (1)做平抛运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图甲所示。其推导过程为tan θ＝＝＝。 (2)做平抛运动的物体在任一时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则tan θ＝2tan α。如图乙所示，其推导过程为tan θ＝＝＝＝2tan α。 例7.(2025贵州六盘水月考)今年贵州继“村BA”火遍全网后，“村超”(乡村足球超级联赛)又在全网爆火。某运动员在离球门正前方约6 m处训练头球攻门时，跳起后，头部高度约1.8 m，将足球以一定的初速度垂直球门水平顶出，恰好落在球门线上，足球视为质点，不计空气阻力，下列说法正确的是(　　) A．球在空中运动的时间约为1 s B．球被水平顶出时的初速度大小约为15 m/s C．球落地瞬间竖直方向的速度大小约为6 m/s D．球落地瞬间速度方向与初速度方向的夹角约为45° 例8.套圈游戏是一项趣味活动，如图所示，某次游戏中，一小孩从距地面高0.45m处水平抛出半径为0.1m的圆环（圆环面始终水平），套住了距圆环前端水平距离为1.0m、高度为0.25m的竖直细圆筒.若重力加速度大小g＝10m/s2，则小孩抛出圆环的初速度可能是（　　） A．4．3m/s B.5.6m/s C.6.5m/s D.7.5m/s 变式4.(2024浙江卷)如图所示，小明取山泉水时发现水平细水管到水平地面的距离为水桶高的两倍，在地面上平移水桶，水恰好从桶口中心无阻挡地落到桶底边沿A。已知桶高为h，直径为D，则水离开出水口的速度大小为(　　) A． B． C． D．(＋1)D 考点5　与斜面或弧面相关的平抛运动 1．平抛运动与斜面结合 模型 垂直打到斜面 再次落到斜面 图示 规律 分解速度，构建速度三角形： 水平速度vx＝v0 竖直速度vy＝gt 关系tanθ＝＝ 分解位移，构建位移三角形： 水平位移x＝v0t 竖直位移y＝gt2 关系tanθ＝＝ 总结 速度偏转角等于斜面倾角的余角 位移偏转角等于斜面倾角 2．平抛运动与弧面结合 模型1 小球从半圆弧左边沿平抛，落到半圆内的不同位置 由平抛运动规律和几何关系得h＝gt2，R±＝v0t，联立两方程可求t 模型2 小球恰好沿B点的切线方向进入圆弧轨道 速度方向垂直于半径OB，速度的偏转角等于圆心角α 模型3 小球恰好从圆柱体上Q点沿切线飞过 速度方向垂直于半径OQ，速度的偏转角等于圆心角θ 例9.（2024安徽芜湖模拟）（多选）如图，倾角为α＝45°的斜面ABC固定在水平面上，质量为m的两小球先后从顶点A以初速度v0和2v0向左水平抛出，分别落在斜面上的P1、P2点，经历的时间分别为t1、t2；A点与P1、P2之间的距离分别为l1和l2，不计空气阻力影响.下列说法正确的是（　　） A.t1∶t2＝1∶2 B.l1∶＝1∶2 C.两球刚落到斜面上时的速度比为1∶4 D.两球落到斜面上时的速度与斜面的夹角正切值的比为1∶1 例10.如图所示，水平路面出现了一个大坑，其竖直截面为半圆，AB为沿水平方向的直径。一辆行驶的汽车发现情况后紧急刹车安全停下，但两颗石子分别以速度v1、v2从A点沿AB方向水平飞出，分别落于C、D两点，C、D两点距水平路面距离分别为圆半径的0.6倍和1倍。则v1∶v2的值为(　　) A．　　　　　　　　 B． C． D． 变式5.(2024广东韶关诊断)如图所示，一竖直圆弧形槽固定于水平地面上，O为圆心，AB为沿水平方向的直径。若在A点以初速度v1沿AB方向平抛一小球，小球将击中槽壁上的最低点D点；若A点小球抛出的同时，在C点以初速度v2沿BA方向平抛另一相同质量的小球并也能击中D点，已知∠COD＝60°，且不计阻力，则(　　) A．两小球同时落到D点 B．两小球初速度大小之比为∶3 C．两小球落到D点时的速度方向与OD线夹角相等 D．两小球落到D点时的瞬时速率之比为 ∶1 考点6　平抛运动的临界和极值问题 1．平抛运动的临界问题有两种常见情形 (1)物体的最大位移、最小位移、最大初速度、最小初速度； (2)物体的速度方向恰好达到某一方向。 2．解题技巧 在题中找出有关临界问题的关键字，如“恰好不出界”“刚好飞过壕沟”“速度方向恰好与斜面平行”“速度方向与圆周相切”等，然后利用平抛运动对应的位移规律或速度规律进行解题。 例11.第19届杭州亚运会，中国女排第九次摘得亚运会金牌。在某次训练中，运动员从底线中点正上方高H＝3 m处将球以速度v0水平击出，球恰好擦着球网上沿进入对方场内，已知排球场长s＝18 m、宽L＝9 m，球网高h＝2.2 m，不计空气及擦网时的阻力，g取10 m/s2，则该运动员的击球速度v0不可能超过(　　) A．22.5 m/s B．6 m/s C．4 m/s D．15 m/s 1．临界点的确定 （1）若题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点. （2）若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起止点”，而这些“起止点”往往就是临界点. （3）若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值，这些极值点也往往是临界点. 2．求解平抛运动临界问题的一般思路 （1）找出临界状态对应的临界条件. （2）分解速度或位移. （3）若有必要，画出临界轨迹. 例12.（2024四川成都模拟）如图所示，某次排球比赛中，球员A在离水平地面3m的高处将排球以30m/s的速度垂直球网水平击出，此时排球与球网的水平距离为9m.球网的高度为2m.对方的球员B站立在球网处，直立伸直手臂可拦到离地高度为2.3m的排球，起跳拦网可拦到离地高度为2.75m的排球，取重力加速度大小g＝10m/s2.已知球员A、B的连线与球网垂直，不计空气阻力，下列关于球员B拦排球的说法，正确的是（　　） A.排球运动到球网正上方的时间为0.3s B.球员B站在球网前直立伸直手臂可拦到排球 C.若球员B未拦到排球，则排球不会出界 D.若球员B未拦到排球，则排球落地点到球网的距离约为12.6m 变式6.（2024江西赣州大余中学校考）如图所示，某同学在游戏中模拟直升机投弹后炸弹在空中的运动情况，直升机在距离水平地面一定高度处，以速度v0＝50m/s水平向右匀速飞行，某时刻在空中O点释放一颗质量为m的炸弹，炸弹下落t1＝2.5s后到达虚线PQ上的A点，虚线PQ与水平地面间的区域有水平横风，能给炸弹水平向左的恒力F＝mg，炸弹进入横风区域后会经过速度最小的B点（未画出），最后恰好竖直向下砸向地面.炸弹下落过程中，除了考虑重力和水平风力外，不考虑空气阻力，重力加速度g取10m/s2.求： （1）OA间的距离； （2）炸弹在空中运动的时间； （3）炸弹在B点的速度大小和方向. 考点7　斜上抛运动 1．解题技巧 (1)斜上抛运动从抛出点到最高点的运动，可逆过程分析为平抛运动。 (2)分析完整的斜上抛运动，可根据对称性求解。 2．斜上抛运动的极值 物体的射高ym＝＝ 在最高点vy＝0由vy＝v0sin θ－gt得上升时间t＝ 物体落回到与抛出点同一高度时，下降时间等于上升时间，物体运动的总时间t总＝ 物体的射程xm＝v0x·t总＝v0cos θ·＝ 当θ＝45°时，sin 2θ最大，射程最大。 所以对于给定大小的初速度v0，沿θ＝45°方向斜向上抛出时，射程最大。 例13.(多选)如图所示，工程队向峡谷对岸平台抛射重物，初速度v0大小为20 m/s，与水平方向的夹角为30°，抛出点P和落点Q的连线与水平方向夹角为30°，重力加速度大小取10 m/s2，忽略空气阻力。重物在此运动过程中，下列说法正确的是(　　) A．运动时间为2 s B．落地速度与水平方向夹角为60° C．重物离PQ连线的最远距离为10 m D．轨迹最高点与落点的高度差为45 m 例14．(2024广东揭阳测试)如图所示，在P点正对竖直墙面抛出一个板球，要使板球垂直打在竖直墙面上，不计空气阻力，球抛出的初速度大小v、初速度与水平方向的夹角θ的关系正确的是(　　) A．v与sin θ成反比 B．v与tan θ成正比 C．v2与sin 2θ成反比 D．v2与cos 2θ成正比 变式7.（2024山东青岛调研检测）如图甲是某人在湖边打水漂的图片，若石块每次从水面弹起时速度与水面的夹角均为37°，每打一个水漂速率损失30％.图乙是石块运动轨迹的示意图，测得石块从打第一个水漂到打第二个水漂的时间间隔为0.6s，已知石块在同一竖直面内运动，当触水速度小于2m/s时石块就不再弹起.不计空气阻力，已知重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，求： （1）石块打完第一个水漂后的速度大小； （2）石块在湖面上打出水漂的个数. 图甲　　　　　　　　　　图乙 考点8 实验:探究平抛运动的特点 例15.(2025陕晋青宁高考适应性考试)图甲为研究平抛运动的实验装置,其中装置A、B固定在铁架台上,装置B装有接收器并与计算机连接。装有发射器的小球从装置A某高处沿着轨道向下运动,离开轨道时,装置B开始实时探测小球运动的位置变化。根据实验记录的数据由数表作图软件拟合出平抛运动曲线方程y=1.63x2+0.13x,如图乙所示。 (1)安装并调节装置A时,必须保证轨道末端　　　　(选填“水平”或“光滑”)。  (2)根据拟合曲线方程,可知坐标原点　　　　(选填“在”或“不在”)抛出点。  (3)根据拟合曲线方程,可计算出平抛运动的初速度为　　　　 m/s。(当地重力加速度g取 9.8 m/s2,结果保留2位有效数字)  实验拓展 实验操作 实验结论 调整竖直板的位置，使竖直板每次向右平移相同的距离x，记录小球在竖直板上的落点A、B、C，测量A、B、C三点到O的距离y1、y2、y3 由平抛运动的规律得x＝v0T、（y3－y2）－（y2－y1）＝gT2，则v0＝x· 调整木板的高度，取钢球的落点a、b、c，且使ab＝bc＝L，分别记录钢球落在a、b、c点时木板到桌面的高度h1、h2、h3 竖直方向（h3－h2）－（h2－h1）＝gT2，水平方向L＝v0T，则v0＝L· 每隔一定时间对同一物体进行一次照相，并将其位置呈现在同一张底片上 在任一段相同时间内两物体竖直方向下落的位移是相等的，说明平抛运动的竖直分运动是自由落体运动；对B物体，任意两个相邻的点间水平距离相等，说明水平方向的分运动是匀速直线运动 例16.(2024甘肃兰州三模)某同学用实验室现有器材设计了如图甲所示装置来测量当地的重力加速度。 该同学进行了如下操作: ①调整弧形槽末端水平并固定,再将金属小球静置于槽的末端。在小球静止位置安装一个光电门,接通电源、使光电门发出的光线与小球球心在同一水平线上; ②测量金属小球的直径d以及弧形槽末端到水平地面的竖直高度h; ③将金属小球放在弧形槽一定高度由静止释放,测量小球落点与球心在水平地面投影点间的距离x。 (1)用螺旋测微器测得金属小球的直径d如图乙所示,则d=　　　　mm。  (2)某次实验中,金属小球通过光电门的时间为t,则金属小球的速度v=　　　　。(用题目中物理量符号表示)  (3)调整金属小球释放的位置,重复步骤③,得到多组对应的x与t,作出的x-图像为一条倾斜直线,测得斜率为k,则该地的重力加速度g=　　　　(用d、h、k表示)。  变式8.(2025广东佛山开学考试)某同学在佛山利用二维运动传感器研究平抛运动,实验装置如图甲所示,圆形信号发射器每隔0.05 s 发出一次信号,计算机利用信号接收点1、2接收到的信号之间的差异,可计算出信号发射器的实时位置,图乙是某次实验计算机绘制出的信号发射器平抛运动时的平面坐标位置图,图中每个小方格的边长为1 cm。 (1)图乙数据若满足　　　　　≈　　　　　≈　　　　　(使用图乙中物理量符号表示),即可认为圆形信号发射器在竖直方向的运动近似为匀加速直线运动;  (2)根据图乙中数据,计算出圆形信号发射器经过A点时水平方向的速度为　　　　m/s,以及当地重力加速度的大小为　　　　m/s2。(结果均保留3位有效数字)  (3)通过查找资料发现,广东地区的重力加速度为9.78 m/s2,实验结果出现该偏差的原因可能是　　　。  A.圆形信号发射器运动过程中受到空气阻力 B.信号实际发射间隔大于0.05 s C.轨道的出口处不水平 D.轨道不光滑 考点9　圆周运动中的运动学分析 1．匀速圆周运动的关系式 (1)线速度与角速度：v＝ωr。 (2)线速度与周期、频率、转速：v＝＝2πrf＝2πrn。 (3)角速度与周期、频率、转速：ω＝＝2πf＝2πn。 (4)向心力：Fn＝m＝mrω2＝m＝mωv。 (5)向心加速度：an＝＝rω2＝＝ωv。 2．常见的三种传动方式及特点 (1)皮带传动：如图1甲、乙所示，皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB。 (2)摩擦传动和齿轮传动：如图2甲、乙所示，两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB。 (3)同轴转动：如图3甲、乙所示，绕同一转轴转动的物体，角速度相同，ωA＝ωB，由v＝ωr知v与r成正比。 例17.明代出版的《天工开物》一书中就有牛力齿轮翻车的图画（如图），记录了我们祖先的劳动智慧.若A、B、C三齿轮半径的大小关系为rA＞rB＞rC，则（　　） A.齿轮A的角速度比C的大 B.齿轮A与B的角速度大小相等 C.齿轮B与C边缘的线速度大小相等 D.齿轮A边缘的线速度比C边缘的大 例18.如图所示，操场跑道的弯道部分是半圆形，最内圈的半径大约是36 m。一位同学沿最内圈匀速率跑过一侧弯道的时间约为12 s，则这位同学在沿弯道跑步时(　　) A．角速度约为 rad/s B．线速度约为3 m/s C．转速约为 r/s D．向心加速度约为 m/s2 变式9.(2024淮安模拟)如图所示为正在使用的修正带，大齿轮齿数为N1，小齿轮齿数为N2，A、B分别为大、小齿轮边缘上的点。下列说法正确的是(　　) A．大小齿轮转动的方向相同 B．A、B两点的线速度大小之比为N1∶N2 C．A、B两点的角速度大小之比为N2∶N1 D．A、B两点的向心加速度大小之比为N∶N 考点10　圆周运动中的动力学分析 1．对向心力的理解 (1)向心力的方向：无论是匀速圆周运动还是变速圆周运动向心力方向均沿半径指向圆心。 (2)向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再添加一个向心力。 2．匀速圆周运动向心力来源 做匀速圆周运动的物体合力一定时刻指向圆心，合力就是向心力。 3．变速圆周运动中向心力来源 如图所示，当小球在竖直面内摆动时，沿半径方向的合力提供向心力，Fn＝FT－mgcos θ＝m。 例19.（多选）如图所示，金属块Q放在带光滑小孔的水平桌面上，一根穿过小孔的不可伸长的细线上端固定在Q上，下端拴一个小球.小球在某一水平面内做匀速圆周运动（圆锥摆），细线与竖直方向成30°角（图中P位置）.现使小球在更高的水平面内做匀速圆周运动，细线与竖直方向成60°角（图中P'位置）.两种情况下，金属块Q都静止在桌面上的同一点，则后一种情况与原来相比较，下列说法正确的是（　　） A.Q受到桌面的静摩擦力大小不变 B.小球运动的角速度变大 C.细线中的张力之比为2：1 D.小球的向心力之比为3：1 例20.马戏团中上演的飞车节目深受观众喜爱.如图甲所示，两表演者骑着摩托车在轴线竖直的圆锥筒内壁上做水平面内的匀速圆周运动，摩托车与内壁沿圆锥母线方向的摩擦力恰好为0.若将两表演者（含摩托车）分别看作质点A、B，其示意简图如图乙所示，则相较于A质点，B质点做圆周运动的（　　） 　　 图甲　　　　　　 图乙 A.周期较大 B.线速度较大 C.角速度较大 D.向心加速度较大 圆周运动的动力学问题的分析思路 变式10.质量为m的小明坐在秋千上摆动到最高点时的照片如图所示，对该时刻，下列说法正确的是(　　) A．秋千对小明的作用力小于mg B．秋千对小明的作用力大于mg C．小明的速度为零，所受合力为零 D．小明的加速度为零，所受合力为零 考点11 生活中的圆周运动 1．火车转弯问题 （1）火车在弯道上的运动特点 火车在弯道上运动时实际上是在水平面内做圆周运动，由于其质量巨大，需要很大的向心力。 （2）转弯轨道受力与火车速度的关系 甲 ①若火车转弯时，火车所受支持力与重力的合力提供向心力，如图甲所示，有 ，则 ，其中 为弯道半径， 为轨道平面与水平面的夹角， 为转弯处的规定速度。此时，内外轨道对火车均无侧向挤压作用。 ②若火车行驶速度 ，则外轨对轮缘有侧压力。 ③若火车行驶速度 ，则内轨对轮缘有侧压力。 2．汽车转弯问题 （1）水平地面上转弯 乙 汽车、摩托车和自行车在水平地面上转弯，其向心力都是由地面的摩擦力提供的，受力分析如图乙所示，这时重力和地面对车的支持力平衡，当 达到最大时，即有 ,所以车辆转弯的安全速度 。 （2）外高内低斜面式弯道转弯 此种情况与火车垫高外轨的情境类似，车辆转弯时所需向心力由重力 和支持力 的合力 提供，如图丙所示。由 可得规定速度 。若车速 ，车轮受到沿斜面向下的摩擦力作用；若车速 ,车轮受到沿斜面向上的摩擦力作用。 丙 1．汽车过桥问题 （1）向心力来源 汽车通过拱形桥最高点和凹形路面最低点时，在竖直方向受重力和支持力，其合力提供向心力。 （2）压力的分析与讨论 若汽车质量为 ，桥面圆弧半径为 ，汽车在最高点或最低点速率为 ，则 比较项目 汽车过拱形桥 汽车过凹形路面 受力分析 指向圆心为正方向 牛顿第三定律 讨论 增大， 减小；当 增大到 时， 增大， 增大 2．航天器中的失重现象 绕地球做圆周运动的卫星、飞船、空间站均可看作完全失重状态。 （1）质量为 的航天器在近地轨道运行时，航天器的重力提供向心力，满足关系： ，则 。 （2）质量为 的航天员：航天员所受的重力和座舱对航天员的支持力的合力提供向心力，满足关系： 。当 时， ，即航天员处于完全失重状态。 （3）航天器内的任何物体都处于完全失重状态。 例21.在高速公路的拐弯处，通常路面都是外高内低。在某路段汽车向左拐弯，司机左侧的路面比右侧的路面低一些。汽车的运动可看作半径为 的圆周运动。设内、外路面高度差为 ，路基的水平宽度为 ，路面的宽度为 ，如图所示。已知重力加速度为 。要使车轮与路面之间的横向摩擦力（即垂直于前进方向）等于零，则汽车转弯时的车速应等于( ) A. B. C. D. 例22.（2024贵州贵阳摸底考试）常见于游乐园的摩天轮是一种大型轮状的机械建筑设施，乘客可以搭乘挂在轮边缘的座舱从高处俯瞰四周景色，如图所示.当摩天轮以一定的角速度逆时针匀速转动时，位于图中P位置的乘客所受座舱的作用力F的示意图可能正确的是（　　） A　　　　　B　　　　C　　　　D 变式11. 某游乐场里的过山车示意图如图所示，若过山车经过 、 两点的速率相同，则过山车( ) A. 在 点时处于失重状态 B. 在 点时处于超重状态 C. 点的向心加速度小于 点的向心加速度 D. 在 点时乘客对座椅的压力可能为零 考点12　水平面内圆周运动的临界问题 1．题型概述 物体做圆周运动时，若物体的速度、角速度发生变化，会引起某些力(如拉力、支持力、摩擦力)发生变化，进而出现某些物理量或运动状态的突变，即出现临界状态。 2．与摩擦力有关的临界极值问题 物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力。 (1)如果只是摩擦力提供向心力，则最大静摩擦力Ffm＝，静摩擦力的方向一定指向圆心。 (2)如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体随水平面转动，其中一个物体存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心。 3．与弹力有关的临界极值问题 (1)两个接触物体分离的临界条件是物体间的弹力恰好为零。 (2)绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力。 例23.（2024福建泉州质检）如图所示，水平圆盘的圆心O处开一小孔，沿径向固定一长度为L的细玻璃管PQ，P端与圆盘边缘重合，Q端与圆心O重合，管内有一半径略小、质量为m的小球，系在小球上的轻绳穿过小孔，下端悬挂重物，圆盘在电机驱动下可绕竖直轴OO'匀速转动，转速为n时重物处于悬停状态，不计一切摩擦，重力加速度大小为g.下列说法正确的是（　　） A.小球越靠近Q端，悬停的重物质量越大 B.小球越靠近Р端，悬停的重物质量越大 C.若小球处于玻璃管正中间，悬停的重物质量为 D.若略微增大圆盘转速，重物将上升一定高度后再悬停 例24.（2024山东泰安新泰一中校考）如图所示，在水平桌面上有一个可绕竖直固定转轴O'O转动的转盘，转盘半径为r，边缘绕有一条足够长的细绳，细绳末端系住一小木块.已知木块与桌面之间的动摩擦因数μ＝.当转盘以角速度ω＝rad/s旋转时，木块被带动一起旋转，达到稳定状态后，二者角速度相同.已知r＝1m，重力加速度取g＝10m/s2.下列说法正确的是（　　） A.当ω＝rad/s稳定时，木块做圆周运动的半径为1.2m B.当ω＝rad/s稳定时，木块的线速度与圆盘边缘线速度大小之比为4：1 C.要保持上述的稳定状态，角速度ω＜rad/s D.无论角速度多大，都可以保持上述稳定状态 解决临界问题的注意事项 (1)先确定研究对象受力情况，看哪些力提供向心力，哪些力可能突变引起临界问题。 (2)注意分析物体所受静摩擦力大小和方向随转盘转速的变化而发生的变化。 (3)关注临界状态，即静摩擦力达到最大值时。物体随转盘转动，静摩擦力提供向心力，随转速的增大，静摩擦力增大，当达到最大静摩擦力时开始滑动，出现临界情况，此时对应的角速度为临界角速度。 变式12.(多选)如图所示，水平杆固定在竖直杆上，两者互相垂直，水平杆上O、A两点连接有两轻绳，两绳的另一端都系在质量为m的小球上，OA＝OB＝AB，现通过转动竖直杆，使水平杆在水平面内做匀速圆周运动，三角形OAB始终在竖直平面内，若转动过程OB、AB两绳始终处于拉直状态，则下列说法正确的是(　　) A．OB绳的拉力范围为0～mg B．OB绳的拉力范围为mg～mg C．AB绳的拉力范围为0～mg D．AB绳的拉力范围为0～mg 考点13 竖直面内的变速圆周运动 项目 轻绳模型 轻杆模型 常见类型 均是没有支撑的小球 均是有支撑的小球 过最高点的临界条件 由 得 讨论分析 （1）能过最高点时， ， ，绳、轨道对球产生弹力 （2）不能过最高点时， ，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道，如图所示 （1）当 时， , 为支持力，沿半径背离圆心 （2）当 时， ， 背离圆心，随 的增大而减小 （3）当 时， （4）当 时， ， 指向圆心并随 的增大而增大 例25.如图所示，在电动机转轮上距轴O为r处固定一质量为m的小球，重力加速度为g，电机启动后，球以角速度ω绕O轴匀速转动，则电机对地面最大压力和最小压力之差为（　　） A.mω2r B.2mω2r C.mg＋2mω2r D.2mg＋2mω2r 例26.（多选）如图所示，质量为 、半径 的光滑细圆管用轻杆固定在竖直平面内，小球 和 的直径略小于细圆管的内径，它们的质量分别为 ， 。某时刻，小球 、 分别位于圆管最低点和最高点，且 的速度大小为 ，此时竖直轻杆受到细圆管的作用力大小为 ，则 球的速度 大小为 取 ( ) A. B. C. D. 变式13.(多选)(2024陕西延安市黄陵中学模拟)如图所示，一质量为m＝0.5 kg的小球(可视为质点)，用长为0.4 m的轻绳拴着在竖直平面内做圆周运动，g＝10 m/s2，下列说法正确的是(　　) A．小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为2 m/s B．当小球在最高点的速度为4 m/s时，轻绳拉力大小为15 N C．若轻绳能承受的最大张力为45 N，小球的最大速度不能超过4 m/s D．若轻绳能承受的最大张力为45 N，小球的最大速度不能超过4 m/s 考点14 圆周运动与平抛运动的综合问题 1．问题概述 此类问题有时是一个物体做水平面内的圆周运动，另一个物体做平抛运动，特定条件下相遇，有时是一个物体先做水平面内的匀速圆周运动，后做平抛运动，有时还要结合能量关系分析求解，多以选择题或计算题的形式考查。 2．解题关键 (1)明确水平面内匀速圆周运动的向心力来源，根据牛顿第二定律和向心力公式列方程。 (2)平抛运动一般是沿水平方向和竖直方向分解速度或位移。 (3)速度是联系前后两个过程的关键物理量，前一个过程的末速度是后一个过程的初速度。 例27．(多选)如图所示，一个固定在竖直平面内的光滑半圆形管道，管道里有一个直径略小于管道内径的小球，小球在管道内做圆周运动，从B点脱离后做平抛运动，经过0.3 s后又恰好与倾角为45°的斜面垂直相碰。已知半圆形管道的半径R＝1 m，小球可看作质点且其质量m＝1 kg，g取10 m/s2，则(　　) A．小球在斜面上的相碰点C与B点的水平距离是0.9 m B．小球在斜面上的相碰点C与B点的水平距离是1.9 m C．小球经过管道的B点时，受到管道的作用力FNB的大小是1 N D．小球经过管道的B点时，受到管道的作用力FNB的大小是2 N 例28．(2024天津蓟州区模拟)如图甲是某游乐场中水上过山车的实物图片，图乙是其原理示意图。在原理图中半径为R＝8 m的圆形轨道固定在离水面高h＝3.2 m的水平平台上，圆轨道与水平平台相切于A点，A、B分别为圆形轨道的最低点和最高点。过山车(实际是一艘带轮子的气垫小船，可视作质点)高速行驶，先后会通过多个圆形轨道，然后从A点离开圆轨道而进入光滑的水平轨道AC，最后从C点水平飞出落入水中，整个过程刺激惊险，受到很多年轻人的喜爱。已知水面宽度为s＝12 m，假设运动中不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，结果可保留根号。 (1)若过山车恰好能通过圆形轨道的最高点B，则其在B点的速度为多大？ (2)为使过山车安全落入水中，则过山车在C点的最大速度为多少？ (3)某次运动过程中乘客在圆轨道最低点A对座椅的压力为自身重力的3倍，则过山车落入水中时的速度大小是多少？ 变式14.(2025安徽淮北阶段练习)一滑雪运动员最开始在如图所示光滑倾斜圆轨道上，沿轨道中心线FA以速度v匀速运动。随后在A点滑离圆轨道，恰好落在三角形木支架上的B点，且速度沿BC方向。已知运动员滑行轨迹FA处于同一水平面内，倾斜圆轨道与水平面的夹角为α＝53°，AE、BD都在竖直方向，AE距离20 m。运动员的圆轨道半径r＝30 m，运动员及其装备质量为60 kg。BC与水平面夹角为θ，且tan θ＝。已知重力加速度g＝10 m/s2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，运动员可看成质点。求： (1)速度v大小； (2)BD及EC的距离； (3)若倾斜圆轨道粗糙，运动员离开A点速度大小是多少可以恰好落在C点？ 考点15 实验：探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系 例29.一物理兴趣小组利用学校实验室的数字实验系统“探究物体做圆周运动时向心力与角速度、半径的关系”.在保证重物的质量m和做圆周运动的角速度ω不变的情况下，改变重物做圆周运动的半径r，得到几组向心力F与半径r的数据，记录到表1中. 表1　向心力F与半径r的测量数据 次数 1 2 3 4 5 半径r/mm 50 60 70 80 90 向心力F/N 5.46 6.55 7.64 8.74 9.83 在保证重物的质量m和做圆周运动的半径r不变的情况下，改变重物做圆周运动的角速度ω，得到几组向心力F和角速度ω的数据，记录到表2中. 表2　向心力F与角速度ω的测量数据 次数 1 2 3 4 5 角速度ω/（rad·s－1） 6.58 9.3 11.0 14.4 21.8 向心力F/N 0.0983 0.2266 0.2821 0.4583 1.0807 （1）根据上面的测量结果，分别在图甲和图乙中作出F－r图线和F－ω图线. （2）若作出的F－ω图线不是直线，可以尝试作F－ω2图线，试在图丙中作出F－ω2图线. （3）通过以上实验探究可知，向心力与转动半径成　　，与角速度的平方成　　. 例30.某同学做验证向心力与线速度关系的实验.装置如图所示，一轻质细线上端固定在力传感器上，下端悬挂一小钢球.钢球静止时刚好位于光电门中央.主要实验步骤如下： ①用游标卡尺测出钢球直径d； ②将钢球悬挂静止不动，此时力传感器示数为F1，用米尺量出线长L； ③将钢球拉到适当的高度处由静止释放，光电门计时器测出钢球的遮光时间为t，力传感器示数的最大值为F2. 已知当地的重力加速度大小为g，请用上述测得的物理量表示： （1）钢球经过光电门时的线速度表达式v＝　　，向心力表达式F向＝m＝　　； （2）钢球经过光电门时所受合力的表达式F合＝　　； （3）若在实验误差允许的范围内F向＝F合，则验证了向心力与线速度的关系.该实验可能的误差有　　.（写出一条即可） 变式15.如图甲所示，某同学为了比较不同物体与转盘间动摩擦因数的大小设计了该装置.已知固定于转轴上的角速度传感器和力传感器与电脑连接，通过一不可伸长的细绳连接物块，细绳刚好拉直，物块随转盘缓慢加速.在电脑上记录如图乙所示图像.换用形状和大小相同但材料不同的物块重复实验，得到物块a、b、c分别对应的三条直线，发现a与c的纵截距相同，b与c的横截距相同，且符合一定的数量关系.回答下列问题： （1）物块没有看作质点对实验是否有影响？　　（选填“是”或“否”）. （2）物块a、b、c的密度之比为　　. （3）物块a、b、c与转盘之间的动摩擦因数之比为　　. 第一部分 运动的合成与分解 抛体运动 1．若分别以水平向右、竖直向上为x轴、y轴的正方向，某物体在x、y方向的v－t图像分别如图甲、乙所示，则在0～t2时间内，该物体的运动轨迹可能为（　　） 2．小明同学遥控小船做过河实验，并绘制了四幅小船过河的航线图，如图所示.图中实线为河岸，河水的流动速度不变，方向水平向右，虚线为小船从河岸M驶向对岸N的实际航线，小船相对于静水的速度不变，并且大于河水的流动速度，则（　　） A.航线图甲是正确的，船头保持图中的方向，小船过河时间最短 B.航线图乙是正确的，船头保持图中的方向，小船过河位移最短 C.航线图丙是正确的，船头保持图中的方向，小船过河位移最短 D.航线图丁不正确，如果船头保持图中的方向，船的轨迹应该是曲线 3.如图所示，一铁球用细线悬挂于天花板上，静止垂在桌子的边缘，悬线穿过一光盘的中间孔，手推光盘在桌面上平移，光盘带动悬线紧贴着桌子的边缘以速度v沿水平方向匀速运动，当光盘由A位置运动到图中虚线所示的B位置时，悬线与竖直方向的夹角为θ，此时铁球（　　） A.竖直方向速度大小为vcosθ B.竖直方向速度大小为vsinθ C.竖直方向速度大小为vtanθ D.相对于地面速度大小为v 4.（2024辽宁葫芦岛统考）如图所示，以速度v0＝4m/s从O点水平抛出的小球，抵达光滑固定的斜面上端P处时，速度方向恰好沿着斜面方向，然后紧贴斜面PQ做匀加速直线运动，已知斜面倾角为37°（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8），不计空气阻力，取重力加速度g＝10m/s2.下列说法正确的是（　　） A.O点到P点的竖直距离为0.45m B.小球在斜面上运动的加速度大小比平抛运动时的大 C.撤去斜面，小球仍从O点以相同速度水平抛出，落地时间将变小 D.撤去斜面，小球仍从O点以相同速度水平抛出，落地速度大小不变 5.（2024辽宁沈阳统考）某篮球运动员正在进行超远三分球投篮，篮球的运动轨迹如图所示，A是篮球的投出点，B是运动轨迹的最高点，C是篮球的投入点.已知篮球在A点的速度大小为v0、与水平方向的夹角为60°，C点速度与水平方向的夹角为45°，重力加速度大小为g，不计空气阻力.下列说法正确的是（　　） A.篮球在B点的速度大小为 B.篮球在C点的速度大小为 C.从A点到B点，篮球的运动时间为 D.A、C两点的高度差为 6．(2025河北张家口调研)如图所示，小球从楼梯上以2 m/s的速度水平抛出，所有台阶的高度和宽度均为0.25 m，取g＝10 m/s2，小球抛出后首先落到的台阶是(　　) A．第一级 B．第二级 C．第三级 D．第四级 7．如图所示是排球场的场地示意图，设排球场的总长为L，前场区的长度为，网高为h，在排球比赛中，对运动员的弹跳水平要求很高。如果运动员的弹跳水平不高，运动员的击球点的高度小于某个临界值H，那么无论水平击球的速度多大，排球不是触网就是越界。设某一次运动员站在前场区和后场区的交界处，正对网前竖直跳起垂直网将排球水平击出，关于该种情况下临界值H的大小，下列关系式正确的是(　　) A．H＝H B．H＝h C．H＝h D．H＝h 8．(多选)(2025广东梅州联考)如图，让小石子分别以v01、v02、v03、v04的水平速度离开水库大坝顶部，分别落在大坝上A、B和水面上C、D处。不计空气阻力。以下说法正确的是(　　) A．小石子平抛运动的时间关系为t1<t2<t3<t4 B．小石子平抛运动的初速度大小关系为v01<v02<v03<v04 C．小石子落到A、B、C、D处时，速度大小关系为vA<vB<vC<vD D．小石子落到A、B、C、D处时，速度方向都不相同 9．第24届冬季奥运会于2022年2月4日在北京和张家口联合举办，跳台滑雪是冬奥会中最具观赏性的项目之一，北京跳台滑雪赛道“雪如意”如图甲所示，其简化图如图乙所示，跳台滑雪赛道由助滑道AB、着陆坡BC、减速停止区CD三部分组成，圆弧AB的半径为R＝50 m。比赛中质量m＝50 kg的运动员从A点由静止下滑，运动到B点后水平飞出，落在着陆坡的C点，已知运动员在空中的飞行时间为4.5 s，着陆坡的倾角θ＝37°，重力加速度g＝10 m/s2，忽略空气阻力影响，则(　　) A．运动员从B点水平飞出的速度大小为60 m/s B．运动员从B点飞出后离斜面最远时的速度大小为45 m/s C．运动员从B点飞出后经3 s离斜面最远 D．运动员在B点对赛道的压力大小为1 400 N 10.(2024安徽合肥期中)飞镖是具有悠久历史的游戏。20世纪70年代以后,飞镖成为世界上最受欢迎的运动之一。长久以来这项运动的起源被认为是标枪、弩箭或箭术。其同心圆的靶子非常类似射箭靶,飞镖非常类似箭。如图甲所示,某同学为了研究飞镖在空中的运动轨迹,将飞镖上绑上自制信号发射装置,使用弹射器水平弹出,并使用实验室的“魔板”进行记录,如图乙所示,为一次实验记录中的一部分,图乙中背景方格的边长表示实际长度8 mm,g取10 m/s2,那么: (1)飞镖在水平方向上的运动是　　　。  A.匀速直线运动 B.匀变速直线运动 C.变加速直线运动 D.曲线运动 (2)图乙中的A点　　　　(选填“是”或“不是”)飞镖发射的起点。  (3)从图像上分析,魔板记录间隔T=　　　　s;小球做平抛运动的水平初速度大小是　　　　m/s;飞镖到B点时,已经在空中飞行了　　　　s。  11．(2024山东临沂一模)据史载，战国时期秦楚之战中就有使用投石机的战例。最初的投石机结构很简单，一根巨大的杠杆，长端是用皮套或是木筐装载的石块，短端系上几十根绳索，当命令下达时，数十人同时拉动绳索，利用杠杆原理将石块抛出。某学习小组用如图所示的模型演示抛石过程。质量m＝1 kg的石块装在长臂末端的口袋中，开始时口袋位于水平面并处于静止状态。现对短臂施力，当长臂转到与竖直方向夹角为θ＝53°时立即停止转动，石块以v0＝20 m/s的速度被抛出后打在地面上，石块抛出点P离地面高度h＝1.65 m，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6。 (1)求抛出后石块距离地面的最大高度； (2)若在石块运动轨迹最高点左侧竖立一块长度L＝3.2 m的木板充当城墙挡住石块，求木板离石块抛出点的最近距离。 第二部分 圆周运动 1．如图是洗衣机的脱水筒，在甩干衣服时，脱水筒绕竖直轴转动速度慢慢变快，高速转动时衣服紧贴脱水筒侧壁随之转动，则（　　） A.脱水筒转动速度较慢时，衣服上的水会做近心运动 B.脱水筒转动速度较快时，衣服上的水会做离心运动 C.衣服紧贴侧壁做圆周运动的向心力由衣服所受摩擦力提供 D.衣服紧贴侧壁做圆周运动的向心力由筒壁对衣服的弹力提供 2．列车转弯时的受力分析如图所示，铁路转弯处的圆弧半径为R，两铁轨之间的距离为d，内、外轨的高度差为h，铁轨平面和水平面间的夹角为α（α很小，可近似认为tanα＝sinα），重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A.列车转弯时受到重力、支持力和向心力的作用 B.列车过转弯处的速度v＝时，列车轮缘不会挤压内轨和外轨 C.列车过转弯处的速度v＜时，列车轮缘会挤压外轨 D.若减小α，可提高列车安全过转弯处的速度 3． 如图所示，质量为 的小明坐在秋千上摆动到最高点时悬线与竖直方向夹角为 ，下列说法正确的是( ) A. 小明在最高点的速度为零，合力为零 B. 小明在最低点的加速度为零，速度最大 C. 在最高点时，秋千对小明的作用力为 D. 在最低点时，秋千对小明的作用力为 4．如图所示的旋转脱水拖把，拖把杆内有一段长度为35cm的螺杆通过拖把杆下段与拖把头接在一起，螺杆的螺距（相邻螺纹之间的距离）d＝5cm，拖把头的半径为10cm，拖把杆上段相对螺杆向下运动时拖把头就会旋转，把拖把头上的水甩出去.某次脱水时，拖把杆上段1s内匀速下压了35cm，该过程中拖把头匀速转动，下列说法正确的是（　　） A.拖把头边缘的线速度为1.4πm/s B.拖把杆上段向下运动的速度为0.1πm/s C.拖把头转动的角速度为7πrad/s D.拖把头的转速为1r/s 5．（2024湖北黄石二中校考）如图所示，三个水平圆盘A、B、C紧挨在一起，转动过程中不打滑.已知A、B、C的半径之比为1：2：3，现将可视为质点的两个小物块M和N分别置于B、C的边缘随圆盘一起转动，M、N与圆盘之间的最大静摩擦力均为其所受重力的μ倍.从静止开始缓慢增大A转动的角速度，则下列说法正确的是（　　） A.B、C两圆盘转动的方向相反 B.M与圆盘之间先发生相对滑动 C.A、B、C三个圆盘转动的角速度之比为3：2：1 D.A、B、C三个圆盘边缘处的向心加速度大小之比为3：2：1 6．2023年5月28日，我国自主研制的大型客运飞机C919从上海虹桥飞抵北京首都国际机场，标志着中国造大飞机正式迈入商业运营阶段。若客机空中转弯时，在t时间内以恒定的速率沿圆弧路径飞行的路程为L，客机相对圆弧圆心转过的角度为θ，客机的质量为m，下列对客机转弯过程的分析，正确的是(　　) A．转弯半径为L B．转弯半径为 C．客机所受向心力大小为 D．客机所受向心力大小为 7．(多选)一辆小车沿水平面向右做加速度a＝0.2 m/s2的匀加速直线运动，车中有甲、乙两轻绳和轻弹簧共同系着质量m＝200 g的小球，如图所示，甲轻绳竖直，乙轻绳和轻弹簧水平。甲轻绳的长度L＝20 cm，轻弹簧处于伸长状态，弹力大小F＝1 N。当小车的速度达到v＝1 m/s时，速度突然减为零，在该瞬间下列说法正确的是(　　) A．轻绳甲的张力立即减为零 B．轻绳乙的张力立即减为零 C．小球的加速度大小变为5 m/s2 D．小球的加速度大小变为5 m/s2 8．(2025浙江温州高三期中)如图所示，竖直固定的光滑圆轨道内有一质量为m的小球在做完整的圆周运动。已知轨道半径为R，a为最高点，b为最低点，c和d为与圆心O等高的点，e和f为关于圆心O的对称点，重力加速度大小为g。下列说法正确的是(　　) A．小球在a点的速度必须大于 B．小球在c点和d点时与轨道之间没有弹力 C．小球在e点所受合力和在f点所受合力等大反向 D．若小球运动到a点时，速度为，则小球对轨道的压力大小为2mg 9．(多选)竖直平面内的圆周运动是物理学里的经典模型之一，某同学通过如下实验来探究其相关规律：如图，质量为m的小球固定在力传感器测量的一侧，传感器另一侧固定在轻杆一端，现给小球一初速度让其绕O点做圆周运动，小球到O点距离为L，已知当力传感器受到球对其为压力时读数为负，受到拉力时读数为正，重力加速度为g。则下列说法正确的是(　　) A．只要小球通过圆周最高点的速度大于0就能完成完整的圆周运动 B．若小球通过圆周最高点时速度为，则力传感器读数为－mg C．小球在与圆心等高的B点下方运动过程中，力传感器读数总是为正值 D．若小球通过圆周最低点时速度为，则力传感器读数为mg 10.（2024山西运城模拟）某同学用如图所示装置探究物体做圆周运动时向心力与角速度的关系，力传感器固定在竖直杆上的A点，质量为m的磁性小球用细线a、b连接，细线a的另一端连接在竖直杆上的O点，细线b的另一端连接在力传感器上，拉动小球，当a、b两细线都伸直时，细线b水平，测得OA间的距离为L1，小球到A点距离为L2，磁传感器可以记录接收到n次强磁场信号所用的时间，重力加速度为g. （1）实验时，保持杆竖直，使小球在细线b伸直且水平的条件下绕杆做匀速圆周运动，将接收到的第一个强磁场信号记为1，并开始计时，测得磁传感器接收到n次强磁场信号所用时间为t，则小球做圆周运动的角速度ω＝　　，测得力传感器的示数为F，则小球做圆周运动的向心力Fn＝　　（此空用含F的式子表示）. （2）多次改变小球做圆周运动的角速度（每次细线b均伸直且水平），测得多组力传感器示数F及磁传感器接收到n次强磁场信号所用的时间t，作出F－图像.如果图像是一条倾斜直线，图像与纵轴的截距为　　，图像的斜率为　　，则表明，小球做匀速圆周运动时，在质量、半径一定的条件下，向心力大小与　　（填“角速度”或“角速度的平方”）成正比. 13．图甲为一种大型游乐项目“空中飞椅”，用不计重力的钢丝绳将座椅挂在水平悬臂边缘。设备工作时，悬臂升到离水平地面24 m 高处，以1 rad/s的角速度匀速转动时，座椅到竖直转轴中心线的距离为7.5 m(简化示意图乙)，座椅和乘客(均视为质点)质量共计80 kg，钢丝绳长为5 m。忽略空气阻力，取重力加速度g＝10 m/s2。试计算此时： 甲　　　　　　　　乙 (1)钢丝绳的拉力大小； (2)若游客身上的物品脱落，因惯性水平飞出直接落到地面，求落地点到竖直转轴中心线的距离(结果保留3位有效数字)。 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 运动的合成与分解 抛体运动 圆周运动 考点1　运动的合成与分解 考点2　小船渡河问题 考点3　 绳(杆)端的关联速度问题 考点4　 平抛运动的规律应用 考点5　 与斜面或弧面相关的平抛运动 考点6　 平抛运动的临界和极值问题 考点7　 斜上抛运动 考点8　 实验:探究平抛运动的特点 考点9　圆周运动中的运动学分析 考点10　圆周运动中的动力学分析 考点11 生活中的圆周运动 考点12　水平面内圆周运动的临界问题 考点13 竖直面内的变速圆周运动 考点14 圆周运动与平抛运动的综合问题 考点15 实验：探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系 一、曲线运动 1．速度方向 质点在某一点的速度方向，沿曲线上该点的_切线　方向。 2．运动性质 做曲线运动的物体，速度的_方向　时刻改变，故曲线运动一定是_变速　运动，即必然具有加速度。 3．曲线运动的条件 (1)运动学角度：物体的_加速度　方向跟速度方向不在同一条直线上。 (2)动力学角度：物体所受_合外力　的方向跟速度方向不在同一条直线上。 二、运动的合成与分解 1．合运动与分运动概念 (1)运动的合成：已知_分运动　求合运动。 (2)运动的分解：已知_合运动　求分运动。 2．遵循的法则 位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循_平行四边形定则　。 3．运动分解的原则 根据运动的_效果　分解，也可采用正交分解法。 4．合运动与分运动的关系 (1)等时性：合运动和分运动经历的_时间　相等，即同时开始、同时进行、同时停止。 (2)独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动_相互独立　，不受其他分运动的影响。 (3)等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的_效果　。 三、平抛运动 1．定义：以一定的初速度沿水平方向抛出的物体只在_重力　作用下的运动。 2．性质：平抛运动是加速度为g的_匀变速　曲线运动，其运动轨迹是_抛物线　。 3．研究方法：化曲为直 (1)水平方向：_匀速直线　运动； (2)竖直方向：_自由落体　运动。 4．基本规律：以抛出点为坐标原点，水平初速度v0方向为x轴正方向，竖直向下的方向为y轴正方向，建立如图所示的坐标系，在该坐标系下，对任一时刻t，有： (1)位移：分位移x＝_v0t　；y＝_gt2　 合位移x合＝＝_　，tan φ＝_　，φ为合位移与x轴的夹角。 (2)速度：分速度vx＝_v0　；vy＝_gt　 合速度v＝＝，tan θ＝_　，θ为合速度v与x轴的夹角。 四、斜抛运动 1．定义：将物体以初速度v0_斜向上方　或斜向下方抛出，物体只在_重力　作用下的运动。 2．性质：斜抛运动是加速度为g的_匀变速　曲线运动，运动轨迹是_抛物线　。 3．研究方法：运动的合成与分解 (1)水平方向：_匀速　直线运动。 (2)竖直方向：_匀变速　直线运动。 4．基本规律(以斜上抛运动为例，如图所示) 以斜抛运动的抛出点为坐标原点O，水平向右为x轴的正方向，竖直向上为y轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系xOy. 初速度可以分解为v0x＝_v0cos_θ　，v0y＝_v0sin_θ　。 在水平方向，物体的位移和速度分别为 x＝v0xt＝(v0cos θ)t vx＝v0x＝v0cos θ 在竖直方向，物体的位移和速度分别为 y＝v0yt－gt2＝(v0sin θ)t－gt2 vy＝v0y－gt＝v0sin θ－gt 五、探究平抛运动的特点 一、实验思路 用描迹法逐点画出小钢球做平抛运动的轨迹，判断轨迹是否为抛物线，并求出小钢球的初速度。 二、实验器材 末端水平的斜槽、背板、挡板、复写纸、白纸、钢球、刻度尺、铅垂线、三角板、铅笔等。 三、实验过程 1．安装、调整背板：将白纸放在复写纸下面，然后固定在装置背板上，并用铅垂线检查背板是否_竖直　。 2．安装、调整斜槽：将固定有斜槽的木板放在实验桌上，用平衡法检查斜槽末端是否_水平　，也就是将小球放在斜槽末端直轨道上，小球若能_静止在轨道上的任意位置　，则表明斜槽末端已调水平，如图。 3．描绘运动轨迹：让小球在斜槽的某一固定位置由静止滚下，并从斜槽末端飞出开始做平抛运动，小球落到倾斜的挡板上，会挤压复写纸，在白纸上留下印迹。取下白纸用平滑的曲线把这些印迹连接起来，就得到小球做平抛运动的轨迹。 4．确定坐标原点及坐标轴：选定_斜槽末端处小球球心在白纸上的投影　的点为坐标原点O，从坐标原点O画出竖直向下的y轴和水平向右的x轴。 四、数据处理 1．判断平抛运动的轨迹是不是抛物线 (1)原理：若平抛运动的轨迹是抛物线，则应以抛出点为坐标原点建立直角坐标系，且轨迹上各点的坐标满足y＝ax2的关系，且同一运动轨迹上a是一个特定的值。 (2)验证方法 方法一：代入法 用刻度尺测量几个点的x、y坐标，分别代入y＝ax2中求出常数a，判断a值在误差允许的范围内是否为一常数。 方法二：图像法 建立y－x2坐标系，根据所测量的各个点的x、y坐标值分别计算出对应y值的x2值，在y－x2坐标系中描点，连接各点看是否在一条直线上，并求出该直线的斜率即为a的值。 2．计算平抛运动物体的初速度 (1)类型1：若原点O为抛出点，利用公式x＝v0t和y＝gt2即可求出多个初速度v0＝_x　，最后求出初速度的平均值，就是做平抛运动的物体的初速度。 (2)类型2：若原点O不是抛出点 ①在轨迹曲线上取三点A、B、C，使xAB＝xBC＝x，如图所示。A到B与B到C的时间相等，设为T。 ②用刻度尺分别测出yA、yB、yC，则有yAB＝yB－yA，yBC＝yC－yB。 ③yBC－yAB＝gT2，且v0T＝x，由以上两式得v0＝x。 五、注意事项 1．固定斜槽时，要保证斜槽末端的切线水平，保证小球的初速度沿水平方向。 2．固定木板时，木板必须处在竖直平面内且与小球运动轨迹所在的竖直平面平行，固定时要用重垂线检查坐标纸竖线是否竖直。 3．为保证小球每次从斜槽上的同一位置由静止释放，可在斜槽上某一位置固定一个挡板。 4．要在斜槽上适当高度释放小球，使它以适当的水平初速度抛出，其轨迹由木板左上角到达右下角，这样可以减小测量误差。 5．坐标原点不是槽口的端点，应是小球出槽口时球心在木板上的投影点。 6．计算小球的初速度时，应选距抛出点稍远一些的点为宜，以便于测量和计算。 六、匀速圆周运动及其描述 1．匀速圆周运动 (1)定义：如果物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处相等，这种运动叫作匀速圆周运动。 (2)速度特点：速度的大小不变，方向始终与半径垂直。 (3)性质：加速度大小不变，方向总是指向圆心的变加速曲线运动。 2．描述匀速圆周运动的物理量 物理量 定义、意义 公式、单位 线速度 描述做圆周运动的物体沿圆弧运动快慢的物理量(v) (1)v＝＝ (2)单位：m/s 角速度 描述物体绕圆心转动快慢的物理量(ω) (1)ω＝＝ (2)单位：rad/s 周期 频率 转速 (1)物体沿圆周运动一周的时间(T)，周期的倒数为频率(f) (2)转速(n)是单位时间内物体转过的圈数 (1)T＝＝，单位：s (2)f＝，单位：Hz (3)n的单位：r/s，r/min 向心 加速度 描述速度方向变化快慢的物理量(an)；方向指向圆心 (1)an＝＝ω2r (2)单位：m/s2 七、向心力 (1)作用效果：向心力产生向心加速度，只改变速度的_方向　，不改变速度的_大小　。 (2)大小：Fn＝ m　＝mω2r＝_mr　＝mωv＝4π2mf2r。 (3)方向：始终沿半径方向指向_圆心　，时刻在改变，即向心力是一个变力。 (4)来源：向心力可以由一个力提供，也可以由几个力的_合力　提供，还可以由一个力的_分力　提供。 八、变速圆周运动 1．速度特点 线速度的大小、方向都_变化　。 2．合力特点 合力产生两个效果： (1)沿半径方向的分力_Fn　，即向心力，它改变速度的_方向　。 (2)沿切线方向的分力_Ft　，它改变速度的_大小　。 九、离心运动 1．定义：做_圆周运动　的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需_向心力　的情况下，所做的逐渐远离圆心的运动。 2．本质：做圆周运动的物体，由于本身的_惯性　，总有沿着圆周_切线方向　飞出去的倾向。 3．受力特点 (1)当Fn＝mω2r时，物体做_匀速圆周　运动。 (2)当Fn＝0时，物体沿_切线　方向飞出。 (3)当Fn<mω2r时，物体逐渐_远离　圆心，做离心运动。 (4)当Fn>mω2r时，物体将逐渐靠近圆心，做近心运动。 注意　物体做圆周运动还是偏离圆形轨道完全是由实际提供的向心力和所需的向心力间的大小关系决定的。 十、实验：探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系 一、实验目的 1．学会使用向心力演示器。 2．探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系。 二、实验原理 1．本实验探究向心力与多个物理量之间的关系，因而实验方法采用了_控制变量法　。 (1)使两物体的质量、转动的半径相同，探究向心力的大小跟转动的_角速度　的定量关系。 (2)使两物体的质量、转动的角速度相同，探究向心力的大小跟转动的_半径　的定量关系。 (3)使两物体的转动半径、转动的_角速度　相同，探究向心力的大小跟物体质量的定量关系。 2．向心力演示器 如图所示，匀速转动手柄，可以使塔轮、长槽和短槽匀速转动，槽内的小球也就随之做匀速圆周运动，此时小球向外挤压挡板，挡板对小球有一个向内(指向圆周运动的圆心)的弹力作为小球做匀速圆周运动的向心力，可以通过_标尺　上露出的红白相间等分标记，粗略计算出两球所需向心力的比值。 三、实验器材 向心力演示器 四、实验步骤 1．把两个质量相同的小球放在长槽和短槽上，使它们的转动半径相同。调整塔轮上的皮带，使两个小球的角速度不一样。探究向心力的大小与角速度的关系。 2．保持两个小球质量不变，增大长槽上小球的转动半径。调整塔轮上的皮带，使两个小球的角速度相同。探究向心力的大小与半径的关系。 3．换成质量不同的球，分别使两球的转动半径相同。调整塔轮上的皮带，使两个小球的角速度也相同。探究向心力的大小与质量的关系。 4．重复几次以上实验。 五、数据处理 分别作出_Fn－ω2　、Fn－r、Fn－m的图像，分析向心力大小与角速度、半径、质量之间的关系，并得出结论。 六、注意事项 摇动手柄时应缓慢加速，注意观察其中的一个标尺的格数。达到预定格数时，即保持转速恒定，观察并记录其余读数。 考点1 运动的合成与分解 1．合运动性质的判断 加速度(或合外力) 加速度(或合外力)方向与合速度方向 2．两个直线运动的合运动性质的判断 (不共线)分运动 合运动 两个匀速直线运动 匀速直线运动 一个匀速直线运动、一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动 两个初速度为零的匀加速直线运动 匀加速直线运动 两个初速度不为零的匀变速直线运动 若v0合与a合共线，则合运动为匀变速直线运动 若v0合与a合不共线，则合运动为匀变速曲线运动 例1.(多选)如图甲所示，一无人机正在配送快递。无人机在0～5 s内的飞行过程中，其水平、竖直方向速度vx、vy与时间t的关系图像分别如图乙、丙所示，规定竖直向上为正方向。下列说法正确的是(　　) A．0～2 s内，无人机做匀加速曲线运动 B．2～4 s内，无人机做匀减速直线运动 C．t＝4 s时，无人机运动到最高点 D．0～5 s内，无人机的位移大小为9 m 答案　AC 解析　0～2 s时间内，无人机在水平方向做匀加速运动，在竖直方向也做匀加速运动，但初速度沿水平方向，合力与速度方向有夹角，因此，无人机做匀加速曲线运动，故A正确；2～4 s时间内，无人机在水平方向做匀速直线运动，竖直方向做匀减速直线运动，则合运动为匀变速曲线运动，故B错误；0～4 s时间内，竖直方向分速度一直为正，无人机一直向上运动，t＝4 s时刻，竖直方向分速度为0，所以，此时，无人机运动到最高点，故C正确；0～5 s内，无人机的水平位移为9 m，竖直位移为1.75 m，则合位移为，不等于9 m，故D错误。 例2.如图所示，某跳伞运动员从一定高度跳伞(空气阻力可以忽略不计)，在降落过程中受到水平方向大小恒定的风力影响，最后降落到同一水平面上，下列说法正确的是(　　) A．该运动员一定做曲线运动 B．其他条件不变，风力越大，该运动员在空中运动时间越短 C．其他条件不变，风力越大，该运动员在空中运动时间越长 D．其他条件不变，风力越大，该运动员着地时的速率越大 答案　D 解析　由于运动员的初速度未知，若运动员初速度为零，且起跳时立即打开降落伞，则运动员做直线运动，A错误；风力大小不影响竖直方向的运动，所以运动员的下落时间与风力无关，B、C错误；水平方向风力越大，水平方向加速度越大，落地时的水平速度越大，其他条件不变时，该运动员着地时速率越大，D正确。 合运动性质的判断 两个互成角度的分运动 合运动的性质 速度、加速度矢量图 两个匀速直线运动 匀速直线运动 一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动 两个初速度为零的匀加速直线运动 匀加速直线运动 两个初速度不为零的匀变速直线运动 匀变速直线运动 匀变速曲线运动 变式1.如图是码头的旋臂式起重机，当起重机旋臂水平向右保持静止时，吊着货物的天车沿旋臂向右匀速行驶，同时天车又使货物沿竖直方向先做匀加速运动，后做匀减速运动。该过程中货物的运动轨迹可能是下图中的(　　) 答案　C 解析　货物在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上先做匀加速运动，后做匀减速运动，根据平行四边形定则知，合速度的方向与合加速度的方向不在同一条直线上，合运动的轨迹为曲线，货物的加速度方向先向上后向下，因为加速度的方向指向轨迹的凹侧，故C正确。 考点2 小船渡河问题 1．船的实际运动：是随水漂流的运动和船相对静水的运动的合运动。 2．三种速度：船在静水中的速度v船、水流的速度v水、船的实际速度v。 3．三类问题、四种情境 情境 说明 渡河时 间最短 当船头垂直河岸时，渡河时间最短，最短时间tmin＝ 渡河位 移最短 当v水<v船时，如果满足v水－v船cos θ＝0，合速度垂直河岸，则渡河位移最短(等于河宽d) 当v水>v船时，如果船头方向(即v船方向)与合速度方向垂直，则渡河位移最短，最短渡河位移smin＝ 渡河船 速最小 在水流速度v水和船的航行方向(即v合方向)一定的前提下，当船头方向(即v船方向)与合速度方向垂直时，有满足条件的最小船速，即v船min＝v水sin θ 例3.(多选)(2024福建泉州市二模)如图，小船以大小为v1＝5 m/s、船头与上游河岸成θ＝60°角的速度(在静水中的速度)从A处渡河，经过一段时间正好到达正对岸B处。已知河宽d＝180 m，则下列说法中正确的是(　　) A．河中水流速度为2.5 m/s B．小船以最短位移渡河的时间为24 s C．小船渡河的最短时间为24 s D．小船以最短时间渡河时到达对岸的位移大小是90 m 答案　BD 解析　河中水流速度为v2＝v1cos 60°＝2.5 m/s，选项A错误；小船以最短位移渡河的时间为t＝＝ s＝24 s，选项B正确；当船头方向指向正对岸时渡河时间最短，则小船渡河的最短时间为tmin＝＝ s＝36 s，选项C错误；小船以最短时间渡河时到达对岸沿水流方向的位移大小是x＝v2tmin＝2.5×36 m＝90 m，则总位移大小s＝＝90 m，选项D正确。 例4.汽艇以18km/h的速度沿垂直于河岸的方向匀速向对岸行驶，河宽500m，河水流速为3.6km/h. （1）汽艇的合速度是多大？ （2）汽艇到达对岸用时多久？ （3）汽艇在对岸何处靠岸？ 答案　（1）m/s　（2）100s　（3）汽艇在对岸下游100m处靠岸 解析　（1）18km/h＝5m/s，3.6km/h＝1m/s，汽艇的合速度v合＝＝m/s （2）汽艇到达对岸用时t＝＝100s （3）汽艇在沿河水流动方向的位移s＝v河t＝100m，则汽艇在对岸下游100m处靠岸. 小船渡河问题的模型建构 两类常考题型的解题攻略 1．最短时间渡河：只要船头垂直河对岸即可，实际航行方向斜向河下游． 2．最短位移渡河：要分情况，若v船＞v水，则最短位移等于河宽；若v船＜v水，则v船⊥v合时，位移最短. 变式2.一小船在静水中的速度为3m/s，它在一条宽为150m、水流速度为4m/s的河流中渡河，则该小船（　　） A.能到达正对岸 B.渡河的时间可能少于50s C.以最短时间渡河时，它沿水流方向的位移大小为200m D.以最小位移渡河时，位移大小为250m 答案C 解析　因为小船在静水中的速度小于水流速度，所以小船不能到达正对岸，A错误；当船头与河岸垂直时渡河时间最短，最短时间t＝＝50 s，故渡河时间不能少于50 s，B错误；以最短时间渡河时，小船沿水流方向的位移大小为x＝v水t＝200 m，C正确；当v船与实际运动方向垂直时渡河位移最小，设此时船头与河岸的夹角为θ，则 cos θ＝，渡河位移大小为s＝＝200 m，D错误. 考点3 绳(杆)端的关联速度问题 1．此类问题绳或杆的特点 绳或杆的特点：(1)不可伸长；(2)沿绳(或杆)方向的速度分量大小相等。 2．关联速度常见模型 情境图示 分解图示 定量结论 vB＝ vAcos θ vAcos θ ＝v0 vAcos β＝vBcos α vBsin α＝vAcos α 例5.(2025安徽高三联考)如图所示，绕过定滑轮的细线连着两个小球，小球a、b分别套在水平和竖直杆上。某时刻连接两球的细线与竖直方向的夹角均为37°，此时a、b两球的速度大小之比为(已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)(　　) A．　　 B．　　 C．　　 D． 答案　A 解析　由题意可知，a、b球沿细线方向的分速度大小相等，即vasin 37°＝vbcos 37°，解得＝，故A正确。 例6.如图所示，一轻杆两端分别固定质量为mA和mB的两个小球A和B(可视为质点)。将其放在一个光滑球形容器中从位置1开始下滑，当轻杆到达位置2时球A与球形容器球心等高，其速度大小为v1，已知此时轻杆与水平方向成θ＝30°角，球B的速度大小为v2，则(　　) A．v2＝v1 B．v2＝2v1 C．v2＝v1 D．v2＝v1 答案　C 解析　球A与球形容器球心等高，速度v1方向竖直向下，速度分解如图所示，有v11＝v1sin 30°＝v1，球B此时速度方向与杆成α＝60°角，因此v21＝v2cos 60°＝v2，沿杆方向两球速度大小相等，即v21＝v11，解得v2＝v1，C项正确。 变式3.如图所示，质量为m的木块a放置在倾角为α的固定斜面上，通过一根不可伸长的细线绕过固定在斜面上的轻滑轮与质量为m、套在杆上的小球b相连，小球以速率v向左匀速运动，不计空气阻力和一切摩擦力，重力加速度为g。当细线与水平杆的夹角为β时(　　) A．木块a的速度大小为v B．木块a的速度大小为 C．细线的拉力大于mgsin α D．细线的拉力小于mgsin α 答案　C 解析　小球b的速度分解为沿绳方向的分速度v1和垂直于绳方向的分速度v2，木块a的速度大小等于v1＝vcos β，故A、B错误；小球b向左运动过程中，β逐渐减小，则木块a的速度逐渐增大，即木块a做加速运动，细线的拉力大于mgsin α，故C正确，D错误。 考点4　平抛运动的规律应用 1．关于平抛运动必须掌握的四个物理量 物理量 相关分析 飞行时间 (t) t＝，飞行时间取决于下落高度h，与初速度v0无关 水平射程 (x) x＝v0t＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关 落地速度 (v) v＝＝，用θ表示落地时速度与x轴正方向间的夹角，有tan θ＝＝，所以落地速度也只与初速度v0和下落高度h有关 速度的改 变量(Δv) 因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt相同，方向恒为竖直向下，如图所示 2．平抛运动的两个重要推论 (1)做平抛运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图甲所示。其推导过程为tan θ＝＝＝。 (2)做平抛运动的物体在任一时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则tan θ＝2tan α。如图乙所示，其推导过程为tan θ＝＝＝＝2tan α。 例7.(2025贵州六盘水月考)今年贵州继“村BA”火遍全网后，“村超”(乡村足球超级联赛)又在全网爆火。某运动员在离球门正前方约6 m处训练头球攻门时，跳起后，头部高度约1.8 m，将足球以一定的初速度垂直球门水平顶出，恰好落在球门线上，足球视为质点，不计空气阻力，下列说法正确的是(　　) A．球在空中运动的时间约为1 s B．球被水平顶出时的初速度大小约为15 m/s C．球落地瞬间竖直方向的速度大小约为6 m/s D．球落地瞬间速度方向与初速度方向的夹角约为45° 答案　C 解析　由h＝gt2知t近似为0.6 s，故A选项错误；由v0＝知v0近似为10 m/s，故B选项错误；由vy＝gt知vy近似为6 m/s，故C选项正确；落地时速度与水平方向的夹角正切tan θ＝＝，故θ不是45°，故D选项错误。故选C 例8.套圈游戏是一项趣味活动，如图所示，某次游戏中，一小孩从距地面高0.45m处水平抛出半径为0.1m的圆环（圆环面始终水平），套住了距圆环前端水平距离为1.0m、高度为0.25m的竖直细圆筒.若重力加速度大小g＝10m/s2，则小孩抛出圆环的初速度可能是（　　） A．4．3m/s B.5.6m/s C.6.5m/s D.7.5m/s 答案B 解析　根据h1－h2＝gt2得t＝0.2 s，则圆环做平抛运动的最大速度v1＝＝6.0 m/s，最小速度v2＝＝5.0 m/s，则5.0 m/s＜v＜6.0 m/s，B正确. 变式4.(2024浙江卷)如图所示，小明取山泉水时发现水平细水管到水平地面的距离为水桶高的两倍，在地面上平移水桶，水恰好从桶口中心无阻挡地落到桶底边沿A。已知桶高为h，直径为D，则水离开出水口的速度大小为(　　) A． B． C． D．(＋1)D 答案　C 解析　 考点5　与斜面或弧面相关的平抛运动 1．平抛运动与斜面结合 模型 垂直打到斜面 再次落到斜面 图示 规律 分解速度，构建速度三角形： 水平速度vx＝v0 竖直速度vy＝gt 关系tanθ＝＝ 分解位移，构建位移三角形： 水平位移x＝v0t 竖直位移y＝gt2 关系tanθ＝＝ 总结 速度偏转角等于斜面倾角的余角 位移偏转角等于斜面倾角 2．平抛运动与弧面结合 模型1 小球从半圆弧左边沿平抛，落到半圆内的不同位置 由平抛运动规律和几何关系得h＝gt2，R±＝v0t，联立两方程可求t 模型2 小球恰好沿B点的切线方向进入圆弧轨道 速度方向垂直于半径OB，速度的偏转角等于圆心角α 模型3 小球恰好从圆柱体上Q点沿切线飞过 速度方向垂直于半径OQ，速度的偏转角等于圆心角θ 例9.（2024安徽芜湖模拟）（多选）如图，倾角为α＝45°的斜面ABC固定在水平面上，质量为m的两小球先后从顶点A以初速度v0和2v0向左水平抛出，分别落在斜面上的P1、P2点，经历的时间分别为t1、t2；A点与P1、P2之间的距离分别为l1和l2，不计空气阻力影响.下列说法正确的是（　　） A.t1∶t2＝1∶2 B.l1∶＝1∶2 C.两球刚落到斜面上时的速度比为1∶4 D.两球落到斜面上时的速度与斜面的夹角正切值的比为1∶1 答案AD 解析　根据题意可知，两球做平抛运动的位移偏向角相同，与斜面倾角相等，则有＝＝tan 45°，解得两球做平抛运动的时间之比为t1∶t2＝1∶2，故A正确；根据几何关系可知l1＝，l2＝，联立解得l1∶l2＝1∶4，故B错误；两球做平抛运动落到斜面上时竖直方向上的分速度分别为gt1和gt2，由速度的合成与分解规律可知两球落到斜面上时的合速度分别为和2，则两球落到斜面上时的速度比为1∶2，故C错误；结合C项分析可知，两球落在斜面上时的速度方向相同，即与斜面之间的夹角相同，因此可知两球落到斜面上时的速度与斜面的夹角正切值的比为1∶1，故D正确. 例10.如图所示，水平路面出现了一个大坑，其竖直截面为半圆，AB为沿水平方向的直径。一辆行驶的汽车发现情况后紧急刹车安全停下，但两颗石子分别以速度v1、v2从A点沿AB方向水平飞出，分别落于C、D两点，C、D两点距水平路面距离分别为圆半径的0.6倍和1倍。则v1∶v2的值为(　　) A．　　　　　　　　 B． C． D． 答案　C 解析　设圆弧的半径为R，依平抛运动规律得x1＝v1t1，x2＝v2t2，联立得＝＝＝，两石子在竖直方向做自由落体运动，y1＝gt，y2＝gt，由两式相比得＝，其中y1＝R，y2＝R，则有＝，代入速度比关系式得＝，C项正确。 变式5.(2024广东韶关诊断)如图所示，一竖直圆弧形槽固定于水平地面上，O为圆心，AB为沿水平方向的直径。若在A点以初速度v1沿AB方向平抛一小球，小球将击中槽壁上的最低点D点；若A点小球抛出的同时，在C点以初速度v2沿BA方向平抛另一相同质量的小球并也能击中D点，已知∠COD＝60°，且不计阻力，则(　　) A．两小球同时落到D点 B．两小球初速度大小之比为∶3 C．两小球落到D点时的速度方向与OD线夹角相等 D．两小球落到D点时的瞬时速率之比为 ∶1 答案B　 解析 由于A、C两点到D点的竖直高度不同，两球在空中运动时间不同，选项A错误；设圆弧形槽半径为R，对从A点抛出的小球，R＝v1tA，tA＝，则v1＝R＝，对从C点抛出的小球，R sin 60 °＝v2tC，tC＝＝，则v2＝＝，v1∶v2＝∶3，选项B正确；设在D点速度方向与OD线夹角为θ，竖直分速度为vy，水平分速度为v0，则tan θ＝，由v1∶v2＝∶3和vy1∶vy2＝tA∶tC＝∶1知tan θ1≠tan θ2，选项C错误；设A、C两点抛出的小球落到D点时的瞬时速率分别为vA、vC，vA＝＝，vC＝＝，则vA∶vC＝∶，选项D错误。 考点6　平抛运动的临界和极值问题 1．平抛运动的临界问题有两种常见情形 (1)物体的最大位移、最小位移、最大初速度、最小初速度； (2)物体的速度方向恰好达到某一方向。 2．解题技巧 在题中找出有关临界问题的关键字，如“恰好不出界”“刚好飞过壕沟”“速度方向恰好与斜面平行”“速度方向与圆周相切”等，然后利用平抛运动对应的位移规律或速度规律进行解题。 例11.第19届杭州亚运会，中国女排第九次摘得亚运会金牌。在某次训练中，运动员从底线中点正上方高H＝3 m处将球以速度v0水平击出，球恰好擦着球网上沿进入对方场内，已知排球场长s＝18 m、宽L＝9 m，球网高h＝2.2 m，不计空气及擦网时的阻力，g取10 m/s2，则该运动员的击球速度v0不可能超过(　　) A．22.5 m/s B．6 m/s C．4 m/s D．15 m/s 答案　B 解析　根据平抛规律得H－h＝gt，H＝gt，解得球从水平击出到擦网的时间和球运动的总时间分别为t1＝0.4 s、t2＝ s，当运动员击出的球擦网的速度达到最大时，球恰好到对方场内的边界处，如图所示，设球击出的速度方向与球场中线的夹角为θ，则x1＝v0t1＝，x2＝v0t2＝，其中OA＝，BC＝，联立解得v0＝6 m/s，B正确，A、C、D错误。 1．临界点的确定 （1）若题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点. （2）若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起止点”，而这些“起止点”往往就是临界点. （3）若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值，这些极值点也往往是临界点. 2．求解平抛运动临界问题的一般思路 （1）找出临界状态对应的临界条件. （2）分解速度或位移. （3）若有必要，画出临界轨迹. 例12.（2024四川成都模拟）如图所示，某次排球比赛中，球员A在离水平地面3m的高处将排球以30m/s的速度垂直球网水平击出，此时排球与球网的水平距离为9m.球网的高度为2m.对方的球员B站立在球网处，直立伸直手臂可拦到离地高度为2.3m的排球，起跳拦网可拦到离地高度为2.75m的排球，取重力加速度大小g＝10m/s2.已知球员A、B的连线与球网垂直，不计空气阻力，下列关于球员B拦排球的说法，正确的是（　　） A.排球运动到球网正上方的时间为0.3s B.球员B站在球网前直立伸直手臂可拦到排球 C.若球员B未拦到排球，则排球不会出界 D.若球员B未拦到排球，则排球落地点到球网的距离约为12.6m 答案A 解析　排球做平抛运动，水平方向做匀速直线运动，则排球运动到球员B位置的时间t1＝＝ s＝0.3 s，故A正确；排球竖直方向做自由落体运动，该段时间排球下落的高度h＝g＝×10×0.32 m＝0.45 m，此时排球离地高度h3＝H－h＝3 m－0.45 m＝2.55 m＞h1＝2.3 m，故球员B在球网前直立伸直手臂拦不到排球，故B错误；竖直方向，由位移—时间公式得H＝g，代入数据解得，排球从被击出到落地的时间t2＝ s，排球运动的水平距离x＝vt2＝30× m＝6 m＞18 m，排球将出界，故C错误；排球落地点到球网的距离x'＝6 m－9 m≈14.2 m，故D错误. 变式6.（2024江西赣州大余中学校考）如图所示，某同学在游戏中模拟直升机投弹后炸弹在空中的运动情况，直升机在距离水平地面一定高度处，以速度v0＝50m/s水平向右匀速飞行，某时刻在空中O点释放一颗质量为m的炸弹，炸弹下落t1＝2.5s后到达虚线PQ上的A点，虚线PQ与水平地面间的区域有水平横风，能给炸弹水平向左的恒力F＝mg，炸弹进入横风区域后会经过速度最小的B点（未画出），最后恰好竖直向下砸向地面.炸弹下落过程中，除了考虑重力和水平风力外，不考虑空气阻力，重力加速度g取10m/s2.求： （1）OA间的距离； （2）炸弹在空中运动的时间； （3）炸弹在B点的速度大小和方向. 答案　（1）128.8m　（2）6.25s　（3）见解析 解析　（1）炸弹进入横风区域前做平抛运动，有x＝v0t1，y＝g 则OA间的距离为xOA＝＝128.8m （2）依题意，恰好竖直向下砸向地面，可得0＝v0－axt2 又mg＝max 联立解得t2＝3.75s 炸弹在空中运动的时间为t＝t1＋t2＝6.25s （3）炸弹进入横风区后，水平方向做匀减速直线运动，竖直方向做匀加速直线运动，有v＝ 其中vy0＝gt1 联立解得当t＝1.5s时，炸弹速度有最小值为vmin＝50m/s 设炸弹速度与水平夹角为θ，则有tanθ＝＝ 易知θ＝53° 则有炸弹在B点的速度大小为50m/s，方向与水平方向成53°角. 考点7　斜上抛运动 1．解题技巧 (1)斜上抛运动从抛出点到最高点的运动，可逆过程分析为平抛运动。 (2)分析完整的斜上抛运动，可根据对称性求解。 2．斜上抛运动的极值 物体的射高ym＝＝ 在最高点vy＝0由vy＝v0sin θ－gt得上升时间t＝ 物体落回到与抛出点同一高度时，下降时间等于上升时间，物体运动的总时间t总＝ 物体的射程xm＝v0x·t总＝v0cos θ·＝ 当θ＝45°时，sin 2θ最大，射程最大。 所以对于给定大小的初速度v0，沿θ＝45°方向斜向上抛出时，射程最大。 例13.(多选)如图所示，工程队向峡谷对岸平台抛射重物，初速度v0大小为20 m/s，与水平方向的夹角为30°，抛出点P和落点Q的连线与水平方向夹角为30°，重力加速度大小取10 m/s2，忽略空气阻力。重物在此运动过程中，下列说法正确的是(　　) A．运动时间为2 s B．落地速度与水平方向夹角为60° C．重物离PQ连线的最远距离为10 m D．轨迹最高点与落点的高度差为45 m 答案　BD 解析　将初速度分解为沿PQ方向的分速度v1和垂直PQ方向的分速度v2，则有v1＝v0cos 60°＝10 m/s，v2＝v0sin 60°＝10 m/s，将重力加速度分解为沿PQ方向的分加速度a1和垂直PQ方向的分加速度a2，则有a1＝gsin 30°＝5 m/s2，a2＝gcos 30°＝5 m/s2，垂直PQ方向根据对称性可得重物的运动时间t＝2×＝4 s，重物离P、Q连线的最远距离dmax＝＝10 m，故A、C错误；重物落地时竖直分速度大小vy＝－v0sin 30°＋gt＝30 m/s，则落地速度与水平方向夹角的正切值tan θ＝＝＝，可得θ＝60°，故B正确；从抛出到最高点所用时间t1＝＝1 s，则从最高点到落地所用时间t2＝t－t1＝3 s，轨迹最高点与落点的高度差h＝gt＝45 m，故D正确。 例14．(2024广东揭阳测试)如图所示，在P点正对竖直墙面抛出一个板球，要使板球垂直打在竖直墙面上，不计空气阻力，球抛出的初速度大小v、初速度与水平方向的夹角θ的关系正确的是(　　) A．v与sin θ成反比 B．v与tan θ成正比 C．v2与sin 2θ成反比 D．v2与cos 2θ成正比 答案C　 解析 设P点到墙壁的距离为d，将运动分解为水平方向和竖直方向，板球在水平方向做匀速直线运动d＝vt cos θ，在竖直方向上，做竖直上抛运动v sin θ＝gt，两式联立消去时间得d＝＝，因此v2与sin 2θ成反比，C正确。 变式7.（2024山东青岛调研检测）如图甲是某人在湖边打水漂的图片，若石块每次从水面弹起时速度与水面的夹角均为37°，每打一个水漂速率损失30％.图乙是石块运动轨迹的示意图，测得石块从打第一个水漂到打第二个水漂的时间间隔为0.6s，已知石块在同一竖直面内运动，当触水速度小于2m/s时石块就不再弹起.不计空气阻力，已知重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，求： （1）石块打完第一个水漂后的速度大小； （2）石块在湖面上打出水漂的个数. 图甲　　　　　　　　　　图乙 答案　（1）5m/s　（2）4 解析　（1）由题意可知石块离开湖面后做斜上抛运动，则对石块从打第一个水漂后瞬间到打第二个水漂前瞬间的过程，由运动学公式有v1y＝g· 由图乙的几何关系有v1＝ 联立并代入数据解得v1＝5m/s （2）设石块在湖面上打出水漂的个数为n（n为整数），则由题意可知石块在湖面上打第（n－1）个水漂后瞬间的速度大于等于2m/s，在湖面上打第n个水漂后瞬间的速度小于2m/s，即 （1－30％）n－2v1≥2m/s （1－30％）n－1v1＜2m/s 联立解得n＝4. 考点8 实验:探究平抛运动的特点 例15.(2025陕晋青宁高考适应性考试)图甲为研究平抛运动的实验装置,其中装置A、B固定在铁架台上,装置B装有接收器并与计算机连接。装有发射器的小球从装置A某高处沿着轨道向下运动,离开轨道时,装置B开始实时探测小球运动的位置变化。根据实验记录的数据由数表作图软件拟合出平抛运动曲线方程y=1.63x2+0.13x,如图乙所示。 (1)安装并调节装置A时,必须保证轨道末端　　　　(选填“水平”或“光滑”)。  (2)根据拟合曲线方程,可知坐标原点　　　　(选填“在”或“不在”)抛出点。  (3)根据拟合曲线方程,可计算出平抛运动的初速度为　　　　 m/s。(当地重力加速度g取 9.8 m/s2,结果保留2位有效数字)  答案 (1)水平　(2)不在　(3)1.7 解析 (1)安装并调节装置A时,必须保证轨道末端水平,以保证小球做平抛运动。 (2)根据曲线方程y=1.63x2+0.13x可知抛物线的顶点横坐标为x=- m≈-0.04 m,可知坐标原点不在抛出点。 (3)设在坐标原点位置小球的水平速度为v0,竖直速度为vy,则根据x=v0t,y=vyt+gt2 解得y=vy+g() 2=x2+x。对比 y=1.63x2+0.13x,可得=1.63,解得v0≈1.7 m/s。 实验拓展 实验操作 实验结论 调整竖直板的位置，使竖直板每次向右平移相同的距离x，记录小球在竖直板上的落点A、B、C，测量A、B、C三点到O的距离y1、y2、y3 由平抛运动的规律得x＝v0T、（y3－y2）－（y2－y1）＝gT2，则v0＝x· 调整木板的高度，取钢球的落点a、b、c，且使ab＝bc＝L，分别记录钢球落在a、b、c点时木板到桌面的高度h1、h2、h3 竖直方向（h3－h2）－（h2－h1）＝gT2，水平方向L＝v0T，则v0＝L· 每隔一定时间对同一物体进行一次照相，并将其位置呈现在同一张底片上 在任一段相同时间内两物体竖直方向下落的位移是相等的，说明平抛运动的竖直分运动是自由落体运动；对B物体，任意两个相邻的点间水平距离相等，说明水平方向的分运动是匀速直线运动 例16.(2024甘肃兰州三模)某同学用实验室现有器材设计了如图甲所示装置来测量当地的重力加速度。 该同学进行了如下操作: ①调整弧形槽末端水平并固定,再将金属小球静置于槽的末端。在小球静止位置安装一个光电门,接通电源、使光电门发出的光线与小球球心在同一水平线上; ②测量金属小球的直径d以及弧形槽末端到水平地面的竖直高度h; ③将金属小球放在弧形槽一定高度由静止释放,测量小球落点与球心在水平地面投影点间的距离x。 (1)用螺旋测微器测得金属小球的直径d如图乙所示,则d=　　　　mm。  (2)某次实验中,金属小球通过光电门的时间为t,则金属小球的速度v=　　　　。(用题目中物理量符号表示)  (3)调整金属小球释放的位置,重复步骤③,得到多组对应的x与t,作出的x-图像为一条倾斜直线,测得斜率为k,则该地的重力加速度g=　　　　(用d、h、k表示)。  答案 (1)11.860　(2)　(3) 解析 (1)由螺旋测微器读数可知d=(11.5+36.0×0.01)mm=11.860 mm。 (2)根据速度的定义式可知v=。 (3)根据平抛运动规律可知h=gt2,x=vt, 联立得x=·d, 则在x-图像中,斜率k=d, 解得重力加速度g=。 变式8.(2025广东佛山开学考试)某同学在佛山利用二维运动传感器研究平抛运动,实验装置如图甲所示,圆形信号发射器每隔0.05 s 发出一次信号,计算机利用信号接收点1、2接收到的信号之间的差异,可计算出信号发射器的实时位置,图乙是某次实验计算机绘制出的信号发射器平抛运动时的平面坐标位置图,图中每个小方格的边长为1 cm。 (1)图乙数据若满足　　　　　≈　　　　　≈　　　　　(使用图乙中物理量符号表示),即可认为圆形信号发射器在竖直方向的运动近似为匀加速直线运动;  (2)根据图乙中数据,计算出圆形信号发射器经过A点时水平方向的速度为　　　　m/s,以及当地重力加速度的大小为　　　　m/s2。(结果均保留3位有效数字)  (3)通过查找资料发现,广东地区的重力加速度为9.78 m/s2,实验结果出现该偏差的原因可能是　　　。  A.圆形信号发射器运动过程中受到空气阻力 B.信号实际发射间隔大于0.05 s C.轨道的出口处不水平 D.轨道不光滑 答案 (1)x4-x3　x3-x2　x2-x1　(2)1.00　9.90　(3)B 解析 (1)根据匀变速直线运动推论,连续相等时间内的位移差相等可知,若x4-x3≈x3-x2≈x2-x1,即可认为圆形信号发射器在竖直方向的运动近似为匀加速直线运动。 (2)根据题意,由题图乙中数据可得,圆形信号发射器经过A点时水平方向的速度为vA== m/s=1.00 m/s,竖直方向上,由逐差法有(x4+x3)-(x2+x1)=g(2T)2,解得当地重力加速度的大小为g=9.90 m/s2。 (3)圆形信号发射器运动过程中受到空气阻力,则测得的重力加速度偏小,故A不符合题意;信号实际发射间隔大于0.05 s,则时间T偏小,测得的重力加速度偏大,故B符合题意;轨道的出口处不水平、轨道不光滑不影响竖直方向上重力加速度的测量,故C、D不符合题意。 考点9　圆周运动中的运动学分析 1．匀速圆周运动的关系式 (1)线速度与角速度：v＝ωr。 (2)线速度与周期、频率、转速：v＝＝2πrf＝2πrn。 (3)角速度与周期、频率、转速：ω＝＝2πf＝2πn。 (4)向心力：Fn＝m＝mrω2＝m＝mωv。 (5)向心加速度：an＝＝rω2＝＝ωv。 2．常见的三种传动方式及特点 (1)皮带传动：如图1甲、乙所示，皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB。 (2)摩擦传动和齿轮传动：如图2甲、乙所示，两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB。 (3)同轴转动：如图3甲、乙所示，绕同一转轴转动的物体，角速度相同，ωA＝ωB，由v＝ωr知v与r成正比。 例17.明代出版的《天工开物》一书中就有牛力齿轮翻车的图画（如图），记录了我们祖先的劳动智慧.若A、B、C三齿轮半径的大小关系为rA＞rB＞rC，则（　　） A.齿轮A的角速度比C的大 B.齿轮A与B的角速度大小相等 C.齿轮B与C边缘的线速度大小相等 D.齿轮A边缘的线速度比C边缘的大 答案D 解析　齿轮A与齿轮B是同缘传动，边缘点线速度大小相等，根据公式v＝ωr可知，半径比较大的A的角速度小于B的角速度，而B与C是同轴传动，角速度相等，所以齿轮A的角速度比C的小，故A、B错误；齿轮B、C角速度相等，根据公式v＝ωr可知，半径比较大的齿轮B边缘的线速度比C边缘的线速度大，故C错误；齿轮A、B边缘的线速度大小相等，因为齿轮B边缘的线速度比C边缘的线速度大，所以齿轮A边缘的线速度比C边缘的大，故D正确. 例18.如图所示，操场跑道的弯道部分是半圆形，最内圈的半径大约是36 m。一位同学沿最内圈匀速率跑过一侧弯道的时间约为12 s，则这位同学在沿弯道跑步时(　　) A．角速度约为 rad/s B．线速度约为3 m/s C．转速约为 r/s D．向心加速度约为 m/s2 答案　D 解析　由题意知同学在沿弯道跑步时角速度约为ω＝＝ rad/s，线速度v＝ωr＝3π m/s，转速n＝＝ r/s，向心加速度a＝ω2r＝ m/s2，D项正确。 变式9.(2024淮安模拟)如图所示为正在使用的修正带，大齿轮齿数为N1，小齿轮齿数为N2，A、B分别为大、小齿轮边缘上的点。下列说法正确的是(　　) A．大小齿轮转动的方向相同 B．A、B两点的线速度大小之比为N1∶N2 C．A、B两点的角速度大小之比为N2∶N1 D．A、B两点的向心加速度大小之比为N∶N 答案　C 解析　大小齿轮转动的方向相反，故选项A错误；A、B两点的线速度大小之比为1∶1，故选项B错误；角速度ω＝，所以A、B两点的角速度之比＝＝，故选项C正确；A、B两点的向心加速度a＝，所以向心加速度之比＝＝，故选项D错误。 考点10　圆周运动中的动力学分析 1．对向心力的理解 (1)向心力的方向：无论是匀速圆周运动还是变速圆周运动向心力方向均沿半径指向圆心。 (2)向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再添加一个向心力。 2．匀速圆周运动向心力来源 做匀速圆周运动的物体合力一定时刻指向圆心，合力就是向心力。 3．变速圆周运动中向心力来源 如图所示，当小球在竖直面内摆动时，沿半径方向的合力提供向心力，Fn＝FT－mgcos θ＝m。 例19.（多选）如图所示，金属块Q放在带光滑小孔的水平桌面上，一根穿过小孔的不可伸长的细线上端固定在Q上，下端拴一个小球.小球在某一水平面内做匀速圆周运动（圆锥摆），细线与竖直方向成30°角（图中P位置）.现使小球在更高的水平面内做匀速圆周运动，细线与竖直方向成60°角（图中P'位置）.两种情况下，金属块Q都静止在桌面上的同一点，则后一种情况与原来相比较，下列说法正确的是（　　） A.Q受到桌面的静摩擦力大小不变 B.小球运动的角速度变大 C.细线中的张力之比为2：1 D.小球的向心力之比为3：1 答案BD 解析　设细线与竖直方向的夹角为θ，细线中的张力大小为FT，细线的长度为L. 小球做匀速圆周运动时，由重力和细线的拉力的合力提供向心力，则有FT＝，向心力Fn＝mgtan θ＝mω2L sin θ，得角速度ω＝，使小球在一个更高的水平面内做匀速圆周运动时，θ增大， cos θ减小，则细线拉力FT增大，角速度ω增大，故B正确；对Q，由平衡条件知，Q受到桌面的静摩擦力大小等于细线的拉力大小，细线拉力FT增大，则静摩擦力变大，故A错误；开始时细线的拉力FT1＝＝，θ增大为60°后细线的拉力FT2＝＝2mg，所以＝，故C错误；开始时小球的向心力Fn1＝mgtan 30°＝mg，θ增大为60°后的向心力Fn2＝mgtan 60°＝mg，所以＝，故D正确. 例20.马戏团中上演的飞车节目深受观众喜爱.如图甲所示，两表演者骑着摩托车在轴线竖直的圆锥筒内壁上做水平面内的匀速圆周运动，摩托车与内壁沿圆锥母线方向的摩擦力恰好为0.若将两表演者（含摩托车）分别看作质点A、B，其示意简图如图乙所示，则相较于A质点，B质点做圆周运动的（　　） 　　 图甲　　　　　　 图乙 A.周期较大 B.线速度较大 C.角速度较大 D.向心加速度较大 答案AB 解析　摩托车做匀速圆周运动，沿圆锥母线方向的摩擦力恰好为0，由重力mg和支持力FN的合力提供圆周运动的向心力，作出受力分析图如图所示，则有向心力Fn＝mgtan α，由Fn＝mω2r＝m，得ω＝，v＝，由于B质点所处位置较A质点高，所以运动半径r较大，ω较小，v较大，故B正确，C错误；因为T＝，而B质点角速度较小，则其周期较大，故A正确；由Fn＝man，得向心加速度an＝gtan α，可知A、B两质点的向心加速度相等，故D错误. 圆周运动的动力学问题的分析思路 变式10.质量为m的小明坐在秋千上摆动到最高点时的照片如图所示，对该时刻，下列说法正确的是(　　) A．秋千对小明的作用力小于mg B．秋千对小明的作用力大于mg C．小明的速度为零，所受合力为零 D．小明的加速度为零，所受合力为零 答案　A 解析　在最高点，小明的速度为0，设秋千的摆长为l，摆到最高点时摆绳与竖直方向的夹角为θ，秋千对小明的作用力为F，则对人，沿摆绳方向受力分析有F－mgcos θ＝m，由于小明的速度为0，则有F＝mgcos θ<mg，沿垂直摆绳方向有mgsin θ＝ma，解得小明在最高点的加速度为a＝gsin θ，所以A正确；B、C、D错误。故选A。 考点11 生活中的圆周运动 1．火车转弯问题 （1）火车在弯道上的运动特点 火车在弯道上运动时实际上是在水平面内做圆周运动，由于其质量巨大，需要很大的向心力。 （2）转弯轨道受力与火车速度的关系 甲 ①若火车转弯时，火车所受支持力与重力的合力提供向心力，如图甲所示，有 ，则 ，其中 为弯道半径， 为轨道平面与水平面的夹角， 为转弯处的规定速度。此时，内外轨道对火车均无侧向挤压作用。 ②若火车行驶速度 ，则外轨对轮缘有侧压力。 ③若火车行驶速度 ，则内轨对轮缘有侧压力。 2．汽车转弯问题 （1）水平地面上转弯 乙 汽车、摩托车和自行车在水平地面上转弯，其向心力都是由地面的摩擦力提供的，受力分析如图乙所示，这时重力和地面对车的支持力平衡，当 达到最大时，即有 ,所以车辆转弯的安全速度 。 （2）外高内低斜面式弯道转弯 此种情况与火车垫高外轨的情境类似，车辆转弯时所需向心力由重力 和支持力 的合力 提供，如图丙所示。由 可得规定速度 。若车速 ，车轮受到沿斜面向下的摩擦力作用；若车速 ,车轮受到沿斜面向上的摩擦力作用。 丙 1．汽车过桥问题 （1）向心力来源 汽车通过拱形桥最高点和凹形路面最低点时，在竖直方向受重力和支持力，其合力提供向心力。 （2）压力的分析与讨论 若汽车质量为 ，桥面圆弧半径为 ，汽车在最高点或最低点速率为 ，则 比较项目 汽车过拱形桥 汽车过凹形路面 受力分析 指向圆心为正方向 牛顿第三定律 讨论 增大， 减小；当 增大到 时， 增大， 增大 2．航天器中的失重现象 绕地球做圆周运动的卫星、飞船、空间站均可看作完全失重状态。 （1）质量为 的航天器在近地轨道运行时，航天器的重力提供向心力，满足关系： ，则 。 （2）质量为 的航天员：航天员所受的重力和座舱对航天员的支持力的合力提供向心力，满足关系： 。当 时， ，即航天员处于完全失重状态。 （3）航天器内的任何物体都处于完全失重状态。 例21.在高速公路的拐弯处，通常路面都是外高内低。在某路段汽车向左拐弯，司机左侧的路面比右侧的路面低一些。汽车的运动可看作半径为 的圆周运动。设内、外路面高度差为 ，路基的水平宽度为 ，路面的宽度为 ，如图所示。已知重力加速度为 。要使车轮与路面之间的横向摩擦力（即垂直于前进方向）等于零，则汽车转弯时的车速应等于( ) A. B. C. D. 答案B 解析设路面的倾角为 ，根据牛顿第二定律得 ，又由数学知识可知 ，联立解得 。 例22.（2024贵州贵阳摸底考试）常见于游乐园的摩天轮是一种大型轮状的机械建筑设施，乘客可以搭乘挂在轮边缘的座舱从高处俯瞰四周景色，如图所示.当摩天轮以一定的角速度逆时针匀速转动时，位于图中P位置的乘客所受座舱的作用力F的示意图可能正确的是（　　） A　　　　　B　　　　C　　　　D 答案D 解析　对在P位置的乘客进行受力分析可知，乘客所受的重力和座舱的作用力F的合力提供向心力，由于重力竖直向下，合力指向圆心，则座舱的作用力F只能是左上方向，如答图所示，D正确. 变式11. 某游乐场里的过山车示意图如图所示，若过山车经过 、 两点的速率相同，则过山车( ) A. 在 点时处于失重状态 B. 在 点时处于超重状态 C. 点的向心加速度小于 点的向心加速度 D. 在 点时乘客对座椅的压力可能为零 答案D 解析 对过山车由圆周运动的规律可知，在 点有 ，解得 ，可知在 点时处于超重状态，故 错误；在 点，由牛顿第二定律得 ，解得 ，可知在 点处于失重状态，故 错误；过山车从 到 ，速度大小不变，根据 及 ，可知在 点的向心加速度较小，故 错误；根据 可知，当 时， ，根据牛顿第三定律可知，在 点时乘客对座椅的压力可能为零，故 正确。 考点12　水平面内圆周运动的临界问题 1．题型概述 物体做圆周运动时，若物体的速度、角速度发生变化，会引起某些力(如拉力、支持力、摩擦力)发生变化，进而出现某些物理量或运动状态的突变，即出现临界状态。 2．与摩擦力有关的临界极值问题 物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力。 (1)如果只是摩擦力提供向心力，则最大静摩擦力Ffm＝，静摩擦力的方向一定指向圆心。 (2)如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体随水平面转动，其中一个物体存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心和沿半径指向圆心。 3．与弹力有关的临界极值问题 (1)两个接触物体分离的临界条件是物体间的弹力恰好为零。 (2)绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力。 例23.（2024福建泉州质检）如图所示，水平圆盘的圆心O处开一小孔，沿径向固定一长度为L的细玻璃管PQ，P端与圆盘边缘重合，Q端与圆心O重合，管内有一半径略小、质量为m的小球，系在小球上的轻绳穿过小孔，下端悬挂重物，圆盘在电机驱动下可绕竖直轴OO'匀速转动，转速为n时重物处于悬停状态，不计一切摩擦，重力加速度大小为g.下列说法正确的是（　　） A.小球越靠近Q端，悬停的重物质量越大 B.小球越靠近Р端，悬停的重物质量越大 C.若小球处于玻璃管正中间，悬停的重物质量为 D.若略微增大圆盘转速，重物将上升一定高度后再悬停 答案BC 解析　当重物处于悬停状态时，对重物由平衡条件有T＝Mg，对小球由牛顿第二定律有T'＝mω2r，又ω＝2πn，T＝T'，联立解得r＝，则重物的质量M越大，对应小球做圆周运动的半径r越大，小球离P端越近，A错误，B正确；当r＝时，代入r＝得M＝，C正确；略微增大圆盘转速时，拉力不足以提供向心力，小球将向P端移动，其做圆周运动的半径r增大，所需的向心力更大，则重物将一直上升，D错误. 例24.（2024山东泰安新泰一中校考）如图所示，在水平桌面上有一个可绕竖直固定转轴O'O转动的转盘，转盘半径为r，边缘绕有一条足够长的细绳，细绳末端系住一小木块.已知木块与桌面之间的动摩擦因数μ＝.当转盘以角速度ω＝rad/s旋转时，木块被带动一起旋转，达到稳定状态后，二者角速度相同.已知r＝1m，重力加速度取g＝10m/s2.下列说法正确的是（　　） A.当ω＝rad/s稳定时，木块做圆周运动的半径为1.2m B.当ω＝rad/s稳定时，木块的线速度与圆盘边缘线速度大小之比为4：1 C.要保持上述的稳定状态，角速度ω＜rad/s D.无论角速度多大，都可以保持上述稳定状态 答案C 解析　设小木块的质量为m，做圆周运动的半径为R，对木块受力分析，如图所示，根据几何关系，有 sin θ＝，tan θ＝，根据题意知，木块做匀速圆周运动时的切向加速度为零，则有T1＝f＝μmg，根据几何关系有tan θ＝，物块做匀速圆周运动有T2＝mω2R，联立解得R＝，当ω＝ rad/s稳定时，木块做圆周运动的半径为R＝2 m，木块的线速度与圆盘边缘线速度大小之比为＝＝，A、B错误；要保持上述的稳定状态，由R＝可知，μ2g2－ω4r2＞0，解得ω＜＝ rad/s，C正确、D错误. 解决临界问题的注意事项 (1)先确定研究对象受力情况，看哪些力提供向心力，哪些力可能突变引起临界问题。 (2)注意分析物体所受静摩擦力大小和方向随转盘转速的变化而发生的变化。 (3)关注临界状态，即静摩擦力达到最大值时。物体随转盘转动，静摩擦力提供向心力，随转速的增大，静摩擦力增大，当达到最大静摩擦力时开始滑动，出现临界情况，此时对应的角速度为临界角速度。 变式12.(多选)如图所示，水平杆固定在竖直杆上，两者互相垂直，水平杆上O、A两点连接有两轻绳，两绳的另一端都系在质量为m的小球上，OA＝OB＝AB，现通过转动竖直杆，使水平杆在水平面内做匀速圆周运动，三角形OAB始终在竖直平面内，若转动过程OB、AB两绳始终处于拉直状态，则下列说法正确的是(　　) A．OB绳的拉力范围为0～mg B．OB绳的拉力范围为mg～mg C．AB绳的拉力范围为0～mg D．AB绳的拉力范围为0～mg 答案　BC 解析 转动的角速度为0时，OB绳的拉力最小，AB绳的拉力最大，这时两者的值相同，设为T1，则2T1cos 30°＝mg，T1＝mg，增大转动的角速度，当AB绳的拉力刚好等于0时，OB绳的拉力最大，设这时OB绳的拉力为T2，则T2cos 30°＝mg，T2＝mg，因此OB绳的拉力范围为mg～mg，AB绳的拉力范围为0～mg，故B、C两项正确。 考点13 竖直面内的变速圆周运动 项目 轻绳模型 轻杆模型 常见类型 均是没有支撑的小球 均是有支撑的小球 过最高点的临界条件 由 得 讨论分析 （1）能过最高点时， ， ，绳、轨道对球产生弹力 （2）不能过最高点时， ，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道，如图所示 （1）当 时， , 为支持力，沿半径背离圆心 （2）当 时， ， 背离圆心，随 的增大而减小 （3）当 时， （4）当 时， ， 指向圆心并随 的增大而增大 例25.如图所示，在电动机转轮上距轴O为r处固定一质量为m的小球，重力加速度为g，电机启动后，球以角速度ω绕O轴匀速转动，则电机对地面最大压力和最小压力之差为（　　） A.mω2r B.2mω2r C.mg＋2mω2r D.2mg＋2mω2r 答案B 解析　设电机质量为M，在小球运动到最低点时，根据牛顿第二定律得F－mg＝mrω2，解得F＝mg＋mrω2，此时电机对地面的压力最大，N＝Mg＋F＝Mg＋mg＋mrω2；在小球运动到最高点时，根据牛顿第二定律得mg＋F'＝mrω2，解得F'＝mrω2－mg，此时电机对地面的压力最小，N'＝Mg－F'＝Mg＋mg－mrω2.则压力之差ΔF＝N－N'＝2mω2r，故B正确. 例26.（多选）如图所示，质量为 、半径 的光滑细圆管用轻杆固定在竖直平面内，小球 和 的直径略小于细圆管的内径，它们的质量分别为 ， 。某时刻，小球 、 分别位于圆管最低点和最高点，且 的速度大小为 ，此时竖直轻杆受到细圆管的作用力大小为 ，则 球的速度 大小为 取 ( ) A. B. C. D. 答案AD 解析 对 小球由牛顿第二定律得 ，解得 ，若杆对环弹力向上，则 对圆环的作用力为 ，所以 对圆环作用力向上，根据牛顿第三定律可知，对 有 ，解得 ；另一种情况，若杆对环弹力向下 ， 对圆环作用力向上，根据牛顿第三定律可知，对 有 ，解得 。 变式13.(多选)(2024陕西延安市黄陵中学模拟)如图所示，一质量为m＝0.5 kg的小球(可视为质点)，用长为0.4 m的轻绳拴着在竖直平面内做圆周运动，g＝10 m/s2，下列说法正确的是(　　) A．小球要做完整的圆周运动，在最高点的速度至少为2 m/s B．当小球在最高点的速度为4 m/s时，轻绳拉力大小为15 N C．若轻绳能承受的最大张力为45 N，小球的最大速度不能超过4 m/s D．若轻绳能承受的最大张力为45 N，小球的最大速度不能超过4 m/s 答案　ABC 解析　设小球通过最高点时的最小速度为v0，则根据牛顿第二定律有mg＝m，解得v0＝2 m/s，故A正确；当小球在最高点的速度为v1＝4 m/s时，设轻绳拉力大小为FT，根据牛顿第二定律有FT＋mg＝m，解得FT＝15 N，故B正确；小球在轨迹最低点处速度最大，此时轻绳的拉力最大，根据牛顿第二定律有FTm－mg＝m，解得vm＝4 m/s，故C正确，D错误。 考点14 圆周运动与平抛运动的综合问题 1．问题概述 此类问题有时是一个物体做水平面内的圆周运动，另一个物体做平抛运动，特定条件下相遇，有时是一个物体先做水平面内的匀速圆周运动，后做平抛运动，有时还要结合能量关系分析求解，多以选择题或计算题的形式考查。 2．解题关键 (1)明确水平面内匀速圆周运动的向心力来源，根据牛顿第二定律和向心力公式列方程。 (2)平抛运动一般是沿水平方向和竖直方向分解速度或位移。 (3)速度是联系前后两个过程的关键物理量，前一个过程的末速度是后一个过程的初速度。 例27．(多选)如图所示，一个固定在竖直平面内的光滑半圆形管道，管道里有一个直径略小于管道内径的小球，小球在管道内做圆周运动，从B点脱离后做平抛运动，经过0.3 s后又恰好与倾角为45°的斜面垂直相碰。已知半圆形管道的半径R＝1 m，小球可看作质点且其质量m＝1 kg，g取10 m/s2，则(　　) A．小球在斜面上的相碰点C与B点的水平距离是0.9 m B．小球在斜面上的相碰点C与B点的水平距离是1.9 m C．小球经过管道的B点时，受到管道的作用力FNB的大小是1 N D．小球经过管道的B点时，受到管道的作用力FNB的大小是2 N 答案　AC 解析　根据平抛运动的规律，小球在C点的竖直分速度vy＝gt＝3 m/s，水平分速度vx＝vytan 45°＝3 m/s，则B点到C点的水平距离x＝vxt＝0.9 m，A项正确，B项错误；在B点设管道对小球的作用力方向向下，根据牛顿第二定律有FNB＋mg＝m，vB＝vx＝3 m/s，解得FNB＝－1 N，负号表示管道对小球的作用力方向向上，C项正确，D项错误。 例28．(2024天津蓟州区模拟)如图甲是某游乐场中水上过山车的实物图片，图乙是其原理示意图。在原理图中半径为R＝8 m的圆形轨道固定在离水面高h＝3.2 m的水平平台上，圆轨道与水平平台相切于A点，A、B分别为圆形轨道的最低点和最高点。过山车(实际是一艘带轮子的气垫小船，可视作质点)高速行驶，先后会通过多个圆形轨道，然后从A点离开圆轨道而进入光滑的水平轨道AC，最后从C点水平飞出落入水中，整个过程刺激惊险，受到很多年轻人的喜爱。已知水面宽度为s＝12 m，假设运动中不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，结果可保留根号。 (1)若过山车恰好能通过圆形轨道的最高点B，则其在B点的速度为多大？ (2)为使过山车安全落入水中，则过山车在C点的最大速度为多少？ (3)某次运动过程中乘客在圆轨道最低点A对座椅的压力为自身重力的3倍，则过山车落入水中时的速度大小是多少？ 答案　(1)4 m/s　(2)15 m/s(3)4 m/s 解析　(1)过山车恰好过最高点对，只受重力，有mg＝m 则vB＝＝4 m/s。 (2)离开C点后做平抛运动，由h＝gt2 运动时间为t＝0.8 s 故最大速度为vm＝＝15 m/s。 (3)在圆轨道最低点有FN－mg＝m 解得vA＝＝4 m/s 变式14.(2025安徽淮北阶段练习)一滑雪运动员最开始在如图所示光滑倾斜圆轨道上，沿轨道中心线FA以速度v匀速运动。随后在A点滑离圆轨道，恰好落在三角形木支架上的B点，且速度沿BC方向。已知运动员滑行轨迹FA处于同一水平面内，倾斜圆轨道与水平面的夹角为α＝53°，AE、BD都在竖直方向，AE距离20 m。运动员的圆轨道半径r＝30 m，运动员及其装备质量为60 kg。BC与水平面夹角为θ，且tan θ＝。已知重力加速度g＝10 m/s2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，运动员可看成质点。求： (1)速度v大小； (2)BD及EC的距离； (3)若倾斜圆轨道粗糙，运动员离开A点速度大小是多少可以恰好落在C点？ 答案　(1)20 m/s　(2)15 m　50 m(3)25 m/s 解析　(1)对运动员在倾斜圆轨道上受力分析，如图所示 其做匀速圆周运动，可得向心力为 Fn＝mg·tan α Fn＝m 解得v＝20 m/s。 (2)在A点以v＝20 m/s做平抛运动，在B点相切于BC方向进入斜面，其中tan θ＝ 解得vy＝10 m/s 根据平抛运动规律可得vy＝gt 解得t＝1 s 水平方向上做匀速直线运动，故xED＝vt＝20 m 根据竖直方向上做自由落体运动可得 xBD＝xAE－gt2＝15 m 其中xCD＝＝30 m 故xEC＝xED＋xDC＝50 m。 (3)若恰好落在C点，则xEC＝vAt′ xAE＝gt′2 解得vA＝25 m/s 故运动员离开A点速度大小是25 m/s可以恰好落在C点。 考点15 实验：探究向心力大小与半径、角速度、质量的关系 例29.一物理兴趣小组利用学校实验室的数字实验系统“探究物体做圆周运动时向心力与角速度、半径的关系”.在保证重物的质量m和做圆周运动的角速度ω不变的情况下，改变重物做圆周运动的半径r，得到几组向心力F与半径r的数据，记录到表1中. 表1　向心力F与半径r的测量数据 次数 1 2 3 4 5 半径r/mm 50 60 70 80 90 向心力F/N 5.46 6.55 7.64 8.74 9.83 在保证重物的质量m和做圆周运动的半径r不变的情况下，改变重物做圆周运动的角速度ω，得到几组向心力F和角速度ω的数据，记录到表2中. 表2　向心力F与角速度ω的测量数据 次数 1 2 3 4 5 角速度ω/（rad·s－1） 6.58 9.3 11.0 14.4 21.8 向心力F/N 0.0983 0.2266 0.2821 0.4583 1.0807 （1）根据上面的测量结果，分别在图甲和图乙中作出F－r图线和F－ω图线. （2）若作出的F－ω图线不是直线，可以尝试作F－ω2图线，试在图丙中作出F－ω2图线. （3）通过以上实验探究可知，向心力与转动半径成　　，与角速度的平方成　　. 答案　（1） （2） （3）正比 正比 解析　在坐标系中描点作图可得F－r的图线为过原点的直线，则F与r成正比，F－ ω图线不是直线，但F－ω2图线为过原点的直线，则F与ω2成正比. 例30.某同学做验证向心力与线速度关系的实验.装置如图所示，一轻质细线上端固定在力传感器上，下端悬挂一小钢球.钢球静止时刚好位于光电门中央.主要实验步骤如下： ①用游标卡尺测出钢球直径d； ②将钢球悬挂静止不动，此时力传感器示数为F1，用米尺量出线长L； ③将钢球拉到适当的高度处由静止释放，光电门计时器测出钢球的遮光时间为t，力传感器示数的最大值为F2. 已知当地的重力加速度大小为g，请用上述测得的物理量表示： （1）钢球经过光电门时的线速度表达式v＝　　，向心力表达式F向＝m＝　　； （2）钢球经过光电门时所受合力的表达式F合＝　　； （3）若在实验误差允许的范围内F向＝F合，则验证了向心力与线速度的关系.该实验可能的误差有　　.（写出一条即可） 答案 F2－F1 摆线的长度测量有误差 解析　（1）钢球的直径为d，遮光时间为t，所以钢球通过光电门的线速度v＝，根据题意知，钢球做圆周运动的半径为R＝L＋，钢球的质量m＝，则向心力表达式F向＝m＝. （2）钢球经过光电门时只受重力和细线的拉力，由分析可知，钢球通过光电门时，细线的拉力最大，大小为F2，故所受合力为F合＝F2－F1. （3）根据向心力表达式知，可能在测量摆线长度时存在误差. 变式15.如图甲所示，某同学为了比较不同物体与转盘间动摩擦因数的大小设计了该装置.已知固定于转轴上的角速度传感器和力传感器与电脑连接，通过一不可伸长的细绳连接物块，细绳刚好拉直，物块随转盘缓慢加速.在电脑上记录如图乙所示图像.换用形状和大小相同但材料不同的物块重复实验，得到物块a、b、c分别对应的三条直线，发现a与c的纵截距相同，b与c的横截距相同，且符合一定的数量关系.回答下列问题： （1）物块没有看作质点对实验是否有影响？　　（选填“是”或“否”）. （2）物块a、b、c的密度之比为　　. （3）物块a、b、c与转盘之间的动摩擦因数之比为　　. 答案 否 2：2：1 1：2：2 解析　（1）物块的形状和大小相同，做圆周运动的半径相同，所以物块没有看作质点对实验没有影响. （2）当物块随转盘缓慢加速过程中，物块所需的向心力先由静摩擦力提供，当达到最大静摩擦力后由绳子的拉力和最大静摩擦力的合力提供，即F向＝F＋μmg＝mrω2，所以有F＝mrω2－μmg，题图乙中图线的斜率为mr，在纵轴的截距为－μmg，根据题图乙知a的斜率ka＝mar＝1kg·m，b的斜率kb＝mbr＝1kg·m，c的斜率kc＝mcr＝kg·m，所以a、b、c的质量之比为2：2：1，因为体积相同，所以物块a、b、c的密度之比为2：2：1. （3）由题图乙知a的纵轴截距－μamag＝－1N，b的纵轴截距－μbmbg＝－2N，c的纵轴截距－μcmcg＝－1N，结合质量之比得到物块a、b、c与转盘之间的动摩擦因数之比为1：2：2. 第一部分 运动的合成与分解 抛体运动 1．若分别以水平向右、竖直向上为x轴、y轴的正方向，某物体在x、y方向的v－t图像分别如图甲、乙所示，则在0～t2时间内，该物体的运动轨迹可能为（　　） 答案B 解析　在0～t1时间内物体水平向右做匀速直线运动，竖直向上做匀减速直线运动，可知在0～t1时间内物体所受的合力竖直向下；在t1～t2时间内物体水平向右做匀减速直线运动，竖直向上做匀速直线运动，可知在t1～t2时间内物体所受的合力水平向左，根据合力指向轨迹凹侧，可知B正确，A、C、D错误. 2．小明同学遥控小船做过河实验，并绘制了四幅小船过河的航线图，如图所示.图中实线为河岸，河水的流动速度不变，方向水平向右，虚线为小船从河岸M驶向对岸N的实际航线，小船相对于静水的速度不变，并且大于河水的流动速度，则（　　） A.航线图甲是正确的，船头保持图中的方向，小船过河时间最短 B.航线图乙是正确的，船头保持图中的方向，小船过河位移最短 C.航线图丙是正确的，船头保持图中的方向，小船过河位移最短 D.航线图丁不正确，如果船头保持图中的方向，船的轨迹应该是曲线 答案AB 解析　船速垂直于河岸，合速度的方向偏向下游，且过河时间最短，故A正确；根据平行四边形定则知，合速度的方向正好垂直于河岸，过河的位移最短，故B正确；由于有流水速度，因此不可能出现此现象，故C错误；船头的指向为船速的方向，船速的方向与流水速度的合速度的方向不可能是图示方向，但轨迹应为直线，故D错误. 3.如图所示，一铁球用细线悬挂于天花板上，静止垂在桌子的边缘，悬线穿过一光盘的中间孔，手推光盘在桌面上平移，光盘带动悬线紧贴着桌子的边缘以速度v沿水平方向匀速运动，当光盘由A位置运动到图中虚线所示的B位置时，悬线与竖直方向的夹角为θ，此时铁球（　　） A.竖直方向速度大小为vcosθ B.竖直方向速度大小为vsinθ C.竖直方向速度大小为vtanθ D.相对于地面速度大小为v 答案B 解析　将光盘的速度沿细线和垂直于细线的方向分解，如图所示，沿细线方向的分量v'＝v sin θ，这就是桌面以上细线变长的速度，也等于铁球上升的速度，A、C错误，B正确；由题意可知铁球在水平方向上速度与光盘相同，竖直方向速度为v sin θ，可得铁球相对于地面的速度大小为v，D错误. 4.（2024辽宁葫芦岛统考）如图所示，以速度v0＝4m/s从O点水平抛出的小球，抵达光滑固定的斜面上端P处时，速度方向恰好沿着斜面方向，然后紧贴斜面PQ做匀加速直线运动，已知斜面倾角为37°（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8），不计空气阻力，取重力加速度g＝10m/s2.下列说法正确的是（　　） A.O点到P点的竖直距离为0.45m B.小球在斜面上运动的加速度大小比平抛运动时的大 C.撤去斜面，小球仍从O点以相同速度水平抛出，落地时间将变小 D.撤去斜面，小球仍从O点以相同速度水平抛出，落地速度大小不变 答案ACD 解析　由题意可知，小球落到斜面上时速度偏向角为37°，则有tan 37°＝，解得t＝0.3s，又因为h＝gt2，解得h＝0.45 m，A正确；小球做平抛运动时的加速度为g＝10m/s2，小球在斜面上运动时有mg sin 37°＝ma，解得a＝6 m/s2＜g，B错误；由于小球在斜面上的加速度a＝6 m/s2，则小球在斜面上运动时，在竖直方向的加速度ay＝a sin 37°＝3.6 m/s2，由此可知，有斜面时，小球在竖直方向上的加速度小于重力加速度，所以撤去斜面后，小球的下落时间变小，C正确；小球从O点抛出到落地的过程，根据机械能守恒定律得mgh＋m＝mv2，撤去斜面，h不变，则落地的速率v不变，D正确. 5.（2024辽宁沈阳统考）某篮球运动员正在进行超远三分球投篮，篮球的运动轨迹如图所示，A是篮球的投出点，B是运动轨迹的最高点，C是篮球的投入点.已知篮球在A点的速度大小为v0、与水平方向的夹角为60°，C点速度与水平方向的夹角为45°，重力加速度大小为g，不计空气阻力.下列说法正确的是（　　） A.篮球在B点的速度大小为 B.篮球在C点的速度大小为 C.从A点到B点，篮球的运动时间为 D.A、C两点的高度差为 答案B 解析　篮球做斜抛运动，到达最高点时竖直分速度为零，但水平分速度不为零，在最高点B的速度大小为vx＝v0 cos 60°＝，A错误；在C点，把速度vC分解可得vx＝vC cos 45°，则vC＝v0，B正确；篮球在A点时的竖直分速度为vy＝v0 sin 60°＝v0，从A点到B点，竖直方向做竖直上抛运动，有vy＝gt，解得t＝，C错误；设篮球由A点运动到C点的高度为h，由机械能守恒定律可得m＝mgh＋m，解得h＝，D错误. 6．(2025河北张家口调研)如图所示，小球从楼梯上以2 m/s的速度水平抛出，所有台阶的高度和宽度均为0.25 m，取g＝10 m/s2，小球抛出后首先落到的台阶是(　　) A．第一级 B．第二级 C．第三级 D．第四级 答案D 解析　如图所示，构建一个过所有台阶边缘的斜面，显然斜面的倾角θ＝45°，小球经过斜面时必满足＝tan θ，代入数据解得t＝0.4 s，此时水平位移x＝v0t＝0.8 m，为第四级台阶上方，小球将首先落在第四级台阶上，选项D正确。 7．如图所示是排球场的场地示意图，设排球场的总长为L，前场区的长度为，网高为h，在排球比赛中，对运动员的弹跳水平要求很高。如果运动员的弹跳水平不高，运动员的击球点的高度小于某个临界值H，那么无论水平击球的速度多大，排球不是触网就是越界。设某一次运动员站在前场区和后场区的交界处，正对网前竖直跳起垂直网将排球水平击出，关于该种情况下临界值H的大小，下列关系式正确的是(　　) A．H＝H B．H＝h C．H＝h D．H＝h 答案　C 解析　将排球水平击出后排球做平抛运动，排球刚好触网到达底线时，则有＝v0，＋＝v0，联立解得H＝h，故选项C正确。 8．(多选)(2025广东梅州联考)如图，让小石子分别以v01、v02、v03、v04的水平速度离开水库大坝顶部，分别落在大坝上A、B和水面上C、D处。不计空气阻力。以下说法正确的是(　　) A．小石子平抛运动的时间关系为t1<t2<t3<t4 B．小石子平抛运动的初速度大小关系为v01<v02<v03<v04 C．小石子落到A、B、C、D处时，速度大小关系为vA<vB<vC<vD D．小石子落到A、B、C、D处时，速度方向都不相同 答案　BC 解析　小石子做平抛运动，竖直方向满足h＝gt2，解得t＝，因为hA<hB<hC＝hD，所以t1<t2<t3＝t4，故A错误；过A点作一水平线，与各小石子轨迹相交，可知当高度相同时，运动时间相等，水平方向做匀速直线运动，满足xA<xB<xC<xD，x＝v0t，可知v01<v02<v03<v04，故B正确；竖直方向满足v＝2gh，则小石子落到A、B、C、D处时，速度v＝＝，又因为v01<v02<v03<v04，hA<hB<hC＝hD，所以vA<vB<vC<vD，故C正确；小石子落到斜面时，设斜面倾角为θ，即位移偏转角为θ，再设速度偏转角为α，则满足tan θ＝＝＝＝＝tan α，可知同一斜面，斜面倾角相等，速度与水平方向夹角相同，所以小石子落在A、B两处时速度方向相同，故D错误。故选BC。 9．第24届冬季奥运会于2022年2月4日在北京和张家口联合举办，跳台滑雪是冬奥会中最具观赏性的项目之一，北京跳台滑雪赛道“雪如意”如图甲所示，其简化图如图乙所示，跳台滑雪赛道由助滑道AB、着陆坡BC、减速停止区CD三部分组成，圆弧AB的半径为R＝50 m。比赛中质量m＝50 kg的运动员从A点由静止下滑，运动到B点后水平飞出，落在着陆坡的C点，已知运动员在空中的飞行时间为4.5 s，着陆坡的倾角θ＝37°，重力加速度g＝10 m/s2，忽略空气阻力影响，则(　　) A．运动员从B点水平飞出的速度大小为60 m/s B．运动员从B点飞出后离斜面最远时的速度大小为45 m/s C．运动员从B点飞出后经3 s离斜面最远 D．运动员在B点对赛道的压力大小为1 400 N 答案　D 解析　运动员从B点水平飞出后做平抛运动，因此有y＝gt2，x＝vBt，tan 37°＝，联立解得vB＝30 m/s，A错误；运动员从B点飞出后离斜面最远时，速度方向与斜面平行，设此时速度大小为v′，则有v′＝＝37.5 m/s，B错误；运动员从B点飞出后离斜面最远时，竖直方向有vy′＝gt′＝vBtan 37°，解得t′＝2.25 s，C错误；运动员从B点飞出前做圆周运动，根据牛顿第二定律有FN－mg＝m，解得FN＝1 400 N，根据牛顿第三定律可知，运动员在B点对赛道的压力大小为1 400 N，D正确。 10.(2024安徽合肥期中)飞镖是具有悠久历史的游戏。20世纪70年代以后,飞镖成为世界上最受欢迎的运动之一。长久以来这项运动的起源被认为是标枪、弩箭或箭术。其同心圆的靶子非常类似射箭靶,飞镖非常类似箭。如图甲所示,某同学为了研究飞镖在空中的运动轨迹,将飞镖上绑上自制信号发射装置,使用弹射器水平弹出,并使用实验室的“魔板”进行记录,如图乙所示,为一次实验记录中的一部分,图乙中背景方格的边长表示实际长度8 mm,g取10 m/s2,那么: (1)飞镖在水平方向上的运动是　　　。  A.匀速直线运动 B.匀变速直线运动 C.变加速直线运动 D.曲线运动 (2)图乙中的A点　　　　(选填“是”或“不是”)飞镖发射的起点。  (3)从图像上分析,魔板记录间隔T=　　　　s;小球做平抛运动的水平初速度大小是　　　　m/s;飞镖到B点时,已经在空中飞行了　　　　s。  答案 (1)A　(2)不是　(3)0.04　0.6　0.08 解析 (1)飞镖在水平方向上不受力,所以水平方向的运动是匀速直线运动。故选A。 (2)水平方向上飞镖做匀速直线运动且A、B与B、C间的水平距离相等,所以飞镖经过A、B与B、C间的时间相等,若A点是抛出点,则A、B与B、C间竖直方向的位移之比为1∶3,但实际AB与BC间竖直方向的位移之比为3∶5,所以A点不是抛出点。 (3)竖直方向上有5L-3L=gT2,解得T==0.04 s,小球做平抛运动的水平初速度大小是v0==0.6 m/s,飞镖到B点时,竖直方向的速度为vyB==0.8 m/s,飞镖到B点时,已经在空中飞行的时间为tB==0.08 s。 11．(2024山东临沂一模)据史载，战国时期秦楚之战中就有使用投石机的战例。最初的投石机结构很简单，一根巨大的杠杆，长端是用皮套或是木筐装载的石块，短端系上几十根绳索，当命令下达时，数十人同时拉动绳索，利用杠杆原理将石块抛出。某学习小组用如图所示的模型演示抛石过程。质量m＝1 kg的石块装在长臂末端的口袋中，开始时口袋位于水平面并处于静止状态。现对短臂施力，当长臂转到与竖直方向夹角为θ＝53°时立即停止转动，石块以v0＝20 m/s的速度被抛出后打在地面上，石块抛出点P离地面高度h＝1.65 m，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6。 (1)求抛出后石块距离地面的最大高度； (2)若在石块运动轨迹最高点左侧竖立一块长度L＝3.2 m的木板充当城墙挡住石块，求木板离石块抛出点的最近距离。 答案　(1)14.45 m　(2)37.2 m 解析　(1)石块抛出时沿竖直方向的分速度为v0y＝v0sin θ＝16 m/s，则石块抛出点到最高点的高度差为h1＝＝12.8 m，抛出后石块距离地面的最大高度为H＝h1＋h＝14.45 m。 (2) 当石块刚好被木板上端挡住时，木板离石块抛出点距离最近。石块从最高点到木板上端的过程中做平抛运动，竖直方向有H－L＝gt，解得t2＝＝1.5 s，石块从抛出点到最高点所用时间为t1＝＝1.6 s，石块抛出时的水平分速度为v0x＝v0cos θ＝12 m/s，则木板离石块抛出点的最近距离为x＝v0x(t1＋t2)＝37.2 m。 第二部分 圆周运动 1．如图是洗衣机的脱水筒，在甩干衣服时，脱水筒绕竖直轴转动速度慢慢变快，高速转动时衣服紧贴脱水筒侧壁随之转动，则（　　） A.脱水筒转动速度较慢时，衣服上的水会做近心运动 B.脱水筒转动速度较快时，衣服上的水会做离心运动 C.衣服紧贴侧壁做圆周运动的向心力由衣服所受摩擦力提供 D.衣服紧贴侧壁做圆周运动的向心力由筒壁对衣服的弹力提供 答案BD 解析　脱水筒转动速度较慢时，衣服对水的作用力足以提供其做圆周运动所需的向心力，衣服上的水随衣服做圆周运动；脱水筒转动速度较快时，衣服对水的作用力不足以提供其做圆周运动需要的向心力，故水将做离心运动，离开衣服，A错误，B正确.衣服紧贴在脱水筒的侧壁做圆周运动，竖直方向衣服受到的重力与静摩擦力平衡，侧壁对衣服的水平弹力提供衣服做圆周运动的向心力，C错误，D正确. 2．列车转弯时的受力分析如图所示，铁路转弯处的圆弧半径为R，两铁轨之间的距离为d，内、外轨的高度差为h，铁轨平面和水平面间的夹角为α（α很小，可近似认为tanα＝sinα），重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A.列车转弯时受到重力、支持力和向心力的作用 B.列车过转弯处的速度v＝时，列车轮缘不会挤压内轨和外轨 C.列车过转弯处的速度v＜时，列车轮缘会挤压外轨 D.若减小α，可提高列车安全过转弯处的速度 答案B 解析　列车以规定速度转弯时受到重力、支持力，重力和支持力的合力提供向心力，A错误；当重力和支持力的合力提供向心力时，有m＝mgtan α＝mg，解得v＝，列车轮缘不会挤压内轨和外轨，B正确；列车过转弯处的速度v＜时，转弯所需的合力F＜mgtan α，故此时列车轮缘会挤压内轨，C错误；若要提高列车安全过转弯处的速度，则列车所需的向心力增大，故需要增大α，D错误. 3． 如图所示，质量为 的小明坐在秋千上摆动到最高点时悬线与竖直方向夹角为 ，下列说法正确的是( ) A. 小明在最高点的速度为零，合力为零 B. 小明在最低点的加速度为零，速度最大 C. 在最高点时，秋千对小明的作用力为 D. 在最低点时，秋千对小明的作用力为 答案C 解析 小明在最高点时，速度为零，受力分析如图甲所示。易知 ， ，解得 ， ，故 错误， 正确。小明在最低点速度最大，受力分析如图乙所示，由牛顿第二定律，可得 ，易知，加速度不为零，秋千对小明的作用力 大于 ，故 、 错误。 4．如图所示的旋转脱水拖把，拖把杆内有一段长度为35cm的螺杆通过拖把杆下段与拖把头接在一起，螺杆的螺距（相邻螺纹之间的距离）d＝5cm，拖把头的半径为10cm，拖把杆上段相对螺杆向下运动时拖把头就会旋转，把拖把头上的水甩出去.某次脱水时，拖把杆上段1s内匀速下压了35cm，该过程中拖把头匀速转动，下列说法正确的是（　　） A.拖把头边缘的线速度为1.4πm/s B.拖把杆上段向下运动的速度为0.1πm/s C.拖把头转动的角速度为7πrad/s D.拖把头的转速为1r/s 答案A 解析　由题意知拖把头转动的周期T＝ s，则拖把头转动的角速度ω＝＝14π rad/s，故C错误；拖把头边缘的线速度v1＝＝1.4π m/s，故A正确；拖把杆上段向下运动的速度v2＝＝0.35 m/s，故B错误；拖把头的转速n＝＝7 r/s，故D错误. 5．（2024湖北黄石二中校考）如图所示，三个水平圆盘A、B、C紧挨在一起，转动过程中不打滑.已知A、B、C的半径之比为1：2：3，现将可视为质点的两个小物块M和N分别置于B、C的边缘随圆盘一起转动，M、N与圆盘之间的最大静摩擦力均为其所受重力的μ倍.从静止开始缓慢增大A转动的角速度，则下列说法正确的是（　　） A.B、C两圆盘转动的方向相反 B.M与圆盘之间先发生相对滑动 C.A、B、C三个圆盘转动的角速度之比为3：2：1 D.A、B、C三个圆盘边缘处的向心加速度大小之比为3：2：1 答案B 解析　由题图可知，B、C两圆盘转动方向相同，A错误；A、B、C三个圆盘边缘处的线速度大小相同，小物块发生相对滑动的临界条件为μmg＝m，解得v＝，由于M做圆周运动的半径更小，发生相对滑动的临界速度更小，因此先发生相对滑动，B正确；由v＝ωr以及an＝可得A、B、C三个圆盘转动的角速度之比为6：3：2，边缘处的向心加速度大小之比为6：3：2，C、D错误. 6．2023年5月28日，我国自主研制的大型客运飞机C919从上海虹桥飞抵北京首都国际机场，标志着中国造大飞机正式迈入商业运营阶段。若客机空中转弯时，在t时间内以恒定的速率沿圆弧路径飞行的路程为L，客机相对圆弧圆心转过的角度为θ，客机的质量为m，下列对客机转弯过程的分析，正确的是(　　) A．转弯半径为L B．转弯半径为 C．客机所受向心力大小为 D．客机所受向心力大小为 答案　D 解析　转弯半径为r＝，A、B错误；客机所受向心力大小为F＝mω2r，又因为ω＝，解得F＝，C错误，D正确。故选D。 7．(多选)一辆小车沿水平面向右做加速度a＝0.2 m/s2的匀加速直线运动，车中有甲、乙两轻绳和轻弹簧共同系着质量m＝200 g的小球，如图所示，甲轻绳竖直，乙轻绳和轻弹簧水平。甲轻绳的长度L＝20 cm，轻弹簧处于伸长状态，弹力大小F＝1 N。当小车的速度达到v＝1 m/s时，速度突然减为零，在该瞬间下列说法正确的是(　　) A．轻绳甲的张力立即减为零 B．轻绳乙的张力立即减为零 C．小球的加速度大小变为5 m/s2 D．小球的加速度大小变为5 m/s2 答案　BC 解析　在该瞬间，小球要绕甲绳做圆周运动，因此竖直方向的加速度为向心加速度ay＝＝5 m/s2，绳子甲的拉力和重力的合力充当向心力，因此甲的拉力不为零，小球由于惯性具有向右运动的趋势，所以轻绳乙的张力立即减为零，根据牛顿第二定律可知此时小球的水平加速度大小变为ax＝＝5 m/s2，因此合加速度为a＝＝5 m/s2。故选BC。 8．(2025浙江温州高三期中)如图所示，竖直固定的光滑圆轨道内有一质量为m的小球在做完整的圆周运动。已知轨道半径为R，a为最高点，b为最低点，c和d为与圆心O等高的点，e和f为关于圆心O的对称点，重力加速度大小为g。下列说法正确的是(　　) A．小球在a点的速度必须大于 B．小球在c点和d点时与轨道之间没有弹力 C．小球在e点所受合力和在f点所受合力等大反向 D．若小球运动到a点时，速度为，则小球对轨道的压力大小为2mg 答案　D 解析　小球若恰能经过a点，则mg＝m，解得vmin＝，即小球在a点的速度大于等于，A错误；小球在c点和d点时轨道对小球的支持力提供向心力，即与轨道之间都有弹力，B错误；小球在e点和f点受力情况如图，可知小球在e点所受合力和在f点所受合力大小不相等，方向不是相反，C错误；小球在a点时，合力提供向心力，有FNa＋mg＝m，解得FNa＝2mg，D正确。 9．(多选)竖直平面内的圆周运动是物理学里的经典模型之一，某同学通过如下实验来探究其相关规律：如图，质量为m的小球固定在力传感器测量的一侧，传感器另一侧固定在轻杆一端，现给小球一初速度让其绕O点做圆周运动，小球到O点距离为L，已知当力传感器受到球对其为压力时读数为负，受到拉力时读数为正，重力加速度为g。则下列说法正确的是(　　) A．只要小球通过圆周最高点的速度大于0就能完成完整的圆周运动 B．若小球通过圆周最高点时速度为，则力传感器读数为－mg C．小球在与圆心等高的B点下方运动过程中，力传感器读数总是为正值 D．若小球通过圆周最低点时速度为，则力传感器读数为mg 答案　ABC 解析　轻杆模型中小球过最高点速度不小于0，A项正确；在最高点受力分析有mg＋F＝m，将速度代入，解得F＝－mg，即小球受到向上的支持力，由牛顿第三定律可知传感器受到向下的压力，B项正确；小球在与圆心等高的B点下方运动过程中，小球都受到拉力，力传感器读数总是为正值，C项正确；在最低点受力分析有F－mg＝m。将速度为代入，解得F＝3mg，D项错误。故选ABC。 10.（2024山西运城模拟）某同学用如图所示装置探究物体做圆周运动时向心力与角速度的关系，力传感器固定在竖直杆上的A点，质量为m的磁性小球用细线a、b连接，细线a的另一端连接在竖直杆上的O点，细线b的另一端连接在力传感器上，拉动小球，当a、b两细线都伸直时，细线b水平，测得OA间的距离为L1，小球到A点距离为L2，磁传感器可以记录接收到n次强磁场信号所用的时间，重力加速度为g. （1）实验时，保持杆竖直，使小球在细线b伸直且水平的条件下绕杆做匀速圆周运动，将接收到的第一个强磁场信号记为1，并开始计时，测得磁传感器接收到n次强磁场信号所用时间为t，则小球做圆周运动的角速度ω＝　　，测得力传感器的示数为F，则小球做圆周运动的向心力Fn＝　　（此空用含F的式子表示）. （2）多次改变小球做圆周运动的角速度（每次细线b均伸直且水平），测得多组力传感器示数F及磁传感器接收到n次强磁场信号所用的时间t，作出F－图像.如果图像是一条倾斜直线，图像与纵轴的截距为　　，图像的斜率为　　，则表明，小球做匀速圆周运动时，在质量、半径一定的条件下，向心力大小与　　（填“角速度”或“角速度的平方”）成正比. 答案 ＋F － 4π2（n－1）2mL2 角速度的平方 解析　（1）将接收到的第一个强磁场信号记为1，并开始计时，测得磁传感器接收到n次强磁场信号所用时间为t，则小球做圆周运动的周期为T＝，小球做圆周运动的角速度为ω＝＝.设细线a与竖直方向夹角为θ，则竖直方向上有F1cosθ＝mg，水平方向上有Fn＝F1sinθ＋F，又tanθ＝，联立解得Fn＝＋F. （2）由于Fn＝mω2L2＝mL2，与上式联立解得F＝4π2（n－1）2mL2·－，所以F－图像是一条倾斜直线，图像与纵轴的截距为b＝－，图像的斜率为k＝4π2（n－1）2mL2，可知小球做匀速圆周运动时，在质量、半径一定的条件下，向心力大小与角速度的平方成正比. 13．图甲为一种大型游乐项目“空中飞椅”，用不计重力的钢丝绳将座椅挂在水平悬臂边缘。设备工作时，悬臂升到离水平地面24 m 高处，以1 rad/s的角速度匀速转动时，座椅到竖直转轴中心线的距离为7.5 m(简化示意图乙)，座椅和乘客(均视为质点)质量共计80 kg，钢丝绳长为5 m。忽略空气阻力，取重力加速度g＝10 m/s2。试计算此时： 甲　　　　　　　　乙 (1)钢丝绳的拉力大小； (2)若游客身上的物品脱落，因惯性水平飞出直接落到地面，求落地点到竖直转轴中心线的距离(结果保留3位有效数字)。 答案　(1)1 000 N　(2)16.8 m 解析　(1)设备以1 rad/s的角速度匀速转动时，对座椅和乘客，设绳与竖直方向夹角为θ，水平方向由牛顿第二定律可得T sin θ＝ma ① 竖直方向由平衡关系可得T cos θ＝mg ② 由加速度公式可得a＝ω2r ③ 联立①②③式，代入ω＝1 rad/s、r＝7.5 m、m＝80 kg 解得T＝1 000 N。 ④ (2)游客身上惯性飞出而脱落的物品做平抛运动，水平方向匀速运动 x＝vt ⑤ 竖直方向做自由落体运动 y＝gt2 ⑥ 由线速度公式可知v＝ωr ⑦ 由几何关系可得y＝(24－5cos θ) m ⑧ R2＝x2＋r2 ⑨ 联立②④⑤⑥⑦⑧⑨式，解得落地点到竖直转轴中心线的距离R＝7.5 m≈16.8 m。 ⑩ (3) 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$