2025年江苏省扬州市初中学业水平考试数学模拟练习试卷

2025年江苏省扬州市初中学业水平考试数学模拟练习试卷 注意事项： 1．本试卷共8页．全卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．考生请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上． 3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．） 1.在，，，，中，负数的个数有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 2.下列运算正确的是(    ) A. B. C. D. 3.函数中自变量的取值范围是(    ) A. B. 且 C. 且 D. 4.图是我国古代的鲁班锁，图是其中的一个构件，则该构件的主视图是(    ) A. B. C. D. 5.如图，在轴，轴上分别截取，使，再分别以点，为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点若点的坐标为，则的值为(    ) A. B. C. D. 6.下表是某校合唱团成员的年龄分布表： 年龄岁 频数 对于不同的，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是(    ) A. 平均数、中位数 B. 众数、中位数 C. 平均数、方差 D. 中位数、方差 7.如图，一只蚂蚁从点出发，沿着扇形的边缘匀速爬行一周，当蚂蚁运动的时间为时，蚂蚁与点的距离为，则与之间的关系图象大致是(    ) A. B. C. D. 8.如图，日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷盘垂直的晷针投射到晷盘上的影子来测定时间。淄博市某学校内处有一个日晷模型，晷盘与赤道面平行，平面示意图如下，处的纬度为北纬地球球心为，处的纬度是指与赤道面所成角，则晷针与底座所成角为(    ) A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9.截至月日，电影哪吒全球总票房突破亿元，数字亿用科学记数法表示为________． 10.若关于的方程有实数根，则的值可以是          写出一个即可． 11.如图是边长为的正方形健康码，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方型区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为______． 12.已知反比例函数，当时，的取值范围是_______． 13.小明用四根长度相等的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图所示的菱形，并测得，接着活动学具成为图所示的正方形，并测得对角线，则图中菱形的对角线长为______． 14.将一对直角三角板如图放置，点在的延长线上，点在上，，，，，，则的长度是____________． 15.如图，在矩形中，，，点，分别是，的中点，连接，点在线段上，若，则的长为______． 16.如图，在菱形中，，，，分别为菱形边上的动点，过点，的直线将菱形分成面积相等的两部分，过点作于点，连接，则线段的最大值为          ． 17.如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，点在轴负半轴上，连接，，，交轴于点，，为中点，且，若，是关于的方程的两个实数根，则的值为________． 18.对于一个四位自然数，如果各个数位上的数字均不为零，且它的千位数字与百位数字的平方差的绝对值恰好等于去掉千位数字与百位数字后得到的两位数，则称这个四位数为“向阳数”例如：四位数，，是“向阳数”又如：四位数，，不是“向阳数”，则最小的“向阳数”是          ；若一个“向阳数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为其中，，，，，，，均为整数，规定，，的各个数位上的数字之和为若能被整除，则满足条件的的最大值为          ． 三、解答题（本大题共10题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19.计算：； 解不等式组． 20.先化简，再求值：，其中． 21.本小题分 为了提高农副产品的国际竞争力，我国一些行业协会对农副产品的规格进行了划分某外贸公司要出口一批规格为的鸡腿，现有两个厂家提供货源，它们的价格相同，鸡腿的品质相近质检员分别从两厂的产品中抽样调查了只鸡腿，它们的质量单位：如下： 甲厂：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，； 乙厂：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 甲厂鸡腿质量频数统计表 质量 频数 频率 合计 分析上述数据，得到下表： 统计量 厂家 平均数 中位数 众数 方差 甲厂 乙厂 请你根据图表中的信息完成下列问题： ______，______； 补全频数分布直方图； 如果只考虑出口鸡腿规格，请结合表中的某个统计量，为外贸公司选购鸡腿提供参考建议； 某外贸公司从甲厂采购了只鸡腿，并将质量单位：在的鸡腿加工成优等品，请估计可以加工成优等品的鸡腿有多少只？ 22.本小题分下面三个情境中我们都可以估计或计算各自的概率 在一次试验中，老师共做了次掷图钉游戏并记录了游戏的结果，绘制了钉尖朝上的频率折线统计图，如图所示，请估计钉尖朝上的概率； 图是一个可以自由转动的转盘，任意转动该转盘，当转盘停止时，计算指针落在丁区域的概率； 图是中国的四大名著，没有读过的两名同学准备从中各自随机挑选一本来阅读，请用列表法或树状图求他们选中同一名著的概率． 23.本小题分 如图，四边形为矩形，四边形为菱形． 求证：≌； 试探究：当矩形边长满足什么关系时，菱形为正方形？请说明理由． 24.本小题分 年春节，随着电影哪吒的爆火，某超市计划购进“哪吒”和“敖丙”两款手办进行销售．经了解每个“哪吒”手办的进价比每个“敖丙”手办的进价多元，用元购进“哪吒”手办的个数与用元购进“敖丙”手办的个数相同． 单个“哪吒”手办和单个“敖丙”手办的进价分别是多少元？ 该超市计划购进这两种手办共个，其中“哪吒”手办的个数不低于“敖丙”手办个数的一半，若“敖丙”手办、“哪吒”手办的售价分别为元个、元个．设购进“敖丙”手办的个数为个，两种手办全部售完时获得的利润为元．问超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？ 25.本小题分 已知，在中，是边上的中线． 如图，若，仅用圆规次，作边的中点不写作法，保留作图痕迹，并利用备用图说明理由； 如图，，，，，点是边上一动点，连接，若，则______． 26.本小题分 有一张矩形纸片，其中，，现将矩形纸片折叠，点的对应点记为点，折痕为点、是折痕与矩形纸片的边的交点，再将纸片还原． 当点与点重合时，          ，当点与点重合时，           如图，若点为的中点，求的长 如图，若点落在矩形的外部，点与点重合，点在上，与交于点，当时，请求出的长． 27.本小题分对于图形和点，若图形上存在三点、和，使以、、、为顶点的四边形为平行四边形，则称点是图形的“点”如图，在平面直角坐标系中，已知点，，． 在点，，，中，__________是正方形的“点”； 点在轴上，以为圆心，为半径的圆记作． 当圆心与原点重合时，若上存在正方形的“点”，直接写出的取值范围_________； 若，且正方形的每个点都是的“点”，直接写出圆心的横坐标的取值范围__________； 若，若存在点既是的“点”，也是的“点”，直接写出圆心的横坐标的取值范围__________． 28.本小题分如图，在中，，点是斜边上的动点点与点 不重合，连接，以为直角边在的左侧构造，，连接，． 【特例感知】 如图，当时，与之间的位置关系是_____，数量关系是_____． 【类比迁移】 如图，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 【拓展应用】 在的条件下，点与点关于对称，连接，，，如图已知，设，四边形的面积为． 求与的函数表达式，并求出的最小值； 当时，请直接写出的长度． 第7页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年江苏省扬州市初中学业水平考试数学模拟练习试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在，，，，中，负数的个数有(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B  【解析】解：负数有，，， 故选：． 根据正数和负数的定义进行求解即可． 本题考查了正数和负数，解答本题的关键在于熟练掌握正数和负数的概念． 2.下列运算正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：．和不是同类项，不能合并，故本选项错误； B.，故本选项错误； C.，故本选项错误； D.，故本选项正确． 故选D． 3.函数中自变量的取值范围是(    ) A. B. 且 C. 且 D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题考查了函数自变量的取值范围，涉及知识点为：分式有意义，分母不为；二次根式的被开方数是非负数． 根据被开方数大于等于，分母不等于列式计算即可得解． 【解答】 解：根据二次根式有意义，分式有意义得：且， 解得：且． 故选B 4.图是我国古代的鲁班锁，图是其中的一个构件，则该构件的主视图是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】本题考查简单几何体的三视图，根据简单几何体三视图的画法画出它的主视图即可． 【详解】解：该构件的主视图为： 故选：． 5.如图，在轴，轴上分别截取，使，再分别以点，为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点若点的坐标为，则的值为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：，分别以点，为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点， 点在的角平分线上， 点到轴和轴的距离相等， 又点的坐标为， ， ． 故选C． 6.下表是某校合唱团成员的年龄分布表： 年龄岁 频数 对于不同的，下列关于年龄的统计量不会发生改变的是(    ) A. 平均数、中位数 B. 众数、中位数 C. 平均数、方差 D. 中位数、方差 【答案】B  【解析】【分析】 本题主要考查频数分布表及统计量的选择，由表中数据得出数据的总数是根本，熟练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键由频数分布表可知后两组的频数和为，即可得知总人数，结合前两组的频数知出现次数最多的数据及第、个数据的平均数，可得答案． 【解答】 解：由表可知，年龄为岁与年龄为岁的频数和为， 则总人数为：， 故该组数据的众数为岁，中位数为：岁， 即对于不同的，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数． 故选B． 7.如图，一只蚂蚁从点出发，沿着扇形的边缘匀速爬行一周，当蚂蚁运动的时间为时，蚂蚁与点的距离为，则与之间的关系图象大致是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】略 8.如图，日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷盘垂直的晷针投射到晷盘上的影子来测定时间。淄博市某学校内处有一个日晷模型，晷盘与赤道面平行，平面示意图如下，处的纬度为北纬地球球心为，处的纬度是指与赤道面所成角，则晷针与底座所成角为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查了线面角的计算，属于中档题，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． 由纬度的定义和线面角的定义，结合直角三角形的性质，即可求得晷针与点处的水平面所成角． 【解答】 解：画出截面图如下图所示， 其中是赤道所在平面的截线，是点处的水平面的截线，是晷针所在直线，是晷面的截线， 依题意可知，，，且晷针与点处的水平面所成角为， 由于，， 所以， 由于， 所以，也即晷针与点处的水平面所成角为． 故选：． 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 9.截至月日，电影哪吒全球总票房突破亿元，数字亿用科学记数法表示为________． 【答案】  【解析】解：科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数． 亿． 10.若关于的方程有实数根，则的值可以是          写出一个即可． 【答案】  【解析】解：关于的方程有实数根， ， 解得：， 的值可以是． 故答案为：答案不唯一． 11.如图是边长为的正方形健康码，为了估计图中黑色部分的总面积，在正方型区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在左右，据此可以估计黑色部分的总面积约为______． 【答案】  【解析】解：估计黑色部分的面积为， 故答案为：． 正方形的面积乘以点落入黑色部分的频率稳定值即可． 本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 12.已知反比例函数，当时，的取值范围是_______． 【答案】  【解析】解：反比例函数中，， 此函数图象的两个分支位于一、三象限，且在每一象限内随的增大而减小， 当时，， 当时，． 故答案为：． 13.小明用四根长度相等的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图所示的菱形，并测得，接着活动学具成为图所示的正方形，并测得对角线，则图中菱形的对角线长为______． 【答案】  【解析】解：四边形是正方形， ， ， ，， ， 如图，连接、交于点，则， ，， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 根据正方形的性质结合勾股定理求出，连接、交于点，则，由菱形的性质结合题意得出为等边三角形，则，由勾股定理求出即可得解． 本题考查了正方形的性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 14.将一对直角三角板如图放置，点在的延长线上，点在上，，，，，，则的长度是____________． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了直角三角形的性质，勾股定理及平行线的性质，解答此类题目的关键根据题意建立直角三角形，利用所学的直角三角形的性质进行解答． 过点作于点，根据题意可求出的长度，然后在中可求出，进而可得出答案． 【解答】 解：过点作于点， 在中，，，， ， ， 根据勾股定理可得， ， ， ， ， 在中，，， ， ， ． 故答案是：． 15.如图，在矩形中，，，点，分别是，的中点，连接，点在线段上，若，则的长为______． 【答案】  【解析】解：连接，，过点作于点，如图， 在矩形中，，，点，分别是，的中点， ，， ， ， ， ， ． ，， ， ． 故答案为：． 连接，，过点作于点，利用矩形的性质和勾股定理求得线段，的长度，利用矩形列出等式求得，利用勾股定理和等腰直角三角形的性质分别求得线段，，即可求得的长． 本题主要考查了矩形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理，利用三角形的面积的关系式求得线段的长度是解题的关键． 16.如图，在菱形中，，，，分别为菱形边上的动点，过点，的直线将菱形分成面积相等的两部分，过点作于点，连接，则线段的最大值为          ． 【答案】  【解析】解：如图，连接交于点取的中点，连接，， 直线将菱形分成面积相等的两部分， 直线经过点， 四边形是菱形， ，，，，， ，都是等边三角形， ，， ， ， ，   ， ，   ， ， ， 的最大值为． 故答案为：． 连接交于点取的中点，连接，，由菱形的性质可得，，，，，得出，都是等边三角形，从而得出，，再由勾股定理求得，，得出， 最后得出，即可求解． 本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识点，关键是菱形性质的应用． 17.如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，点在轴负半轴上，连接，，，交轴于点，，为中点，且，若，是关于的方程的两个实数根，则的值为________． 【答案】  【解析】解：过点作轴于点， ，则， 设点，则， 为中点， ， ，，即：， ：，故点， 过点作轴交过点与轴的平行线于点，交过点与轴的平行线于点， ，， ， ， ∽， ， ，， 设点， 则且， 解得：且， 则，， ，， 解得，则， ． 18.对于一个四位自然数，如果各个数位上的数字均不为零，且它的千位数字与百位数字的平方差的绝对值恰好等于去掉千位数字与百位数字后得到的两位数，则称这个四位数为“向阳数”例如：四位数，，是“向阳数”又如：四位数，，不是“向阳数”，则最小的“向阳数”是          ；若一个“向阳数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为其中，，，，，，，均为整数，规定，，的各个数位上的数字之和为若能被整除，则满足条件的的最大值为          ． 【答案】   【解析】解：最小“向阳数”的确定： 设一个“向阳数”的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为其中，，，，，，，均为整数， 根据题意，四位数的千位数字和百位数字需满足， 从最小的千位开始，尝试可能的 当时，，对应，，四位数为， 其他值或导致结果不足两位数，或形成的四位数更大， 因此，为满足条件的最小四位数． 最大的确定： ，， 当时，是两位数， ，，， 又能被整除， 能被整除， ，， ， ， 结合，，，均为整数解得或． 当，，，， 当时，，，． 当时，为百位数字是的三位数， ，，， 能被整除， 能被整除． ，， ， ， ， 结合，，、均为整数，解得：或， 当时，，，， 当时，，，不合题意，舍． 综上，满足条件的为，，， ． 满足条件的最大为． 三、解答题：本题共10小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.计算：； 解不等式组． 【答案】解：， ， ； ， 解不等式得， 解不等式得， 在数轴上表示它们的解集如下： 不等式组的解集为．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 20.先化简，再求值：，其中． 【答案】解：原式， 当时，原式．  【解析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值． 21.本小题分 为了提高农副产品的国际竞争力，我国一些行业协会对农副产品的规格进行了划分某外贸公司要出口一批规格为的鸡腿，现有两个厂家提供货源，它们的价格相同，鸡腿的品质相近质检员分别从两厂的产品中抽样调查了只鸡腿，它们的质量单位：如下： 甲厂：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，； 乙厂：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 甲厂鸡腿质量频数统计表 质量 频数 频率 合计 分析上述数据，得到下表： 统计量 厂家 平均数 中位数 众数 方差 甲厂 乙厂 请你根据图表中的信息完成下列问题： ______，______； 补全频数分布直方图； 如果只考虑出口鸡腿规格，请结合表中的某个统计量，为外贸公司选购鸡腿提供参考建议； 某外贸公司从甲厂采购了只鸡腿，并将质量单位：在的鸡腿加工成优等品，请估计可以加工成优等品的鸡腿有多少只？ 【答案】， 个，补全频数分布直方图如下： 两个厂的平均数相同，都是，而甲厂的中位数、众数都是，接近平均数且方差较小，数据比较稳定，因此选择甲厂； 只， 答：从甲厂采购了只鸡腿中，可以加工成优等品的大约有只．  【解析】【分析】 本题考查频数分布表、频数分布直方图，掌握频数、频率、总数之间的关系是解决问题的前提． 根据频数、频率、总数之间的关系可求出的值，根据众数的意义可求出的值； 求出乙厂鸡腿质量在的频数，即可补全频数分布直方图； 根据中位数、众数、平均数综合进行判断即可； 求出甲厂鸡腿质量在的鸡腿数量所占的百分比即可． 【解答】 解：个，， 甲厂鸡腿质量出现次数最多的是，因此众数是，即， 故答案为：，； 见答案； 见答案； 见答案． 22.本小题分 下面三个情境中我们都可以估计或计算各自的概率 在一次试验中，老师共做了次掷图钉游戏并记录了游戏的结果，绘制了钉尖朝上的频率折线统计图，如图所示，请估计钉尖朝上的概率； 图是一个可以自由转动的转盘，任意转动该转盘，当转盘停止时，计算指针落在丁区域的概率； 图是中国的四大名著，没有读过的两名同学准备从中各自随机挑选一本来阅读，请用列表法或树状图求他们选中同一名著的概率． 【答案】(1)解：由折线统计图可知，经过大量重复试验，频率在上下波动，逐渐稳定在， ∴；   (2)解：；  (3)解：设西游记为A，红楼梦为B，水浒传为C，三国演义为D， 根据题意可列表如下： 甲                    乙 A B C D A AA AB AC AD B BA BB BC BD C CA CB CC CD D DA DB DC DD 由表格可知，共有16种等可能的结果，其中两名同学选中同一名著的结果有4种， ∴．   【解析】  本题主要考查了由频率估计概率，几何概率，列表法或树状图求概率等知识点，熟练掌握各概率的求法是解题的关键． 根据折线统计图，用频率估计概率即可；   用丁区域的圆心角度数除度即可；   根据题意列出表格或画出树状图表示出所有等可能的结果，然后找出两名同学选中同一名著的结果数，最后根据概率公式计算概率即可． 23.本小题分 如图，四边形为矩形，四边形为菱形． 求证：≌； 试探究：当矩形边长满足什么关系时，菱形为正方形？请说明理由． 【答案】证明：因为四边形为矩形，  所以，  因为四边形为菱形，所以  在和中，  所以≌． 解：当时，菱形为正方形．   理由：因为≌，  所以，． 又因为，所以． 所以， 所以． 因为，  所以  所以菱形是正方形．   【解析】见答案 24.本小题分 年春节，随着电影哪吒的爆火，某超市计划购进“哪吒”和“敖丙”两款手办进行销售．经了解每个“哪吒”手办的进价比每个“敖丙”手办的进价多元，用元购进“哪吒”手办的个数与用元购进“敖丙”手办的个数相同． 单个“哪吒”手办和单个“敖丙”手办的进价分别是多少元？ 该超市计划购进这两种手办共个，其中“哪吒”手办的个数不低于“敖丙”手办个数的一半，若“敖丙”手办、“哪吒”手办的售价分别为元个、元个．设购进“敖丙”手办的个数为个，两种手办全部售完时获得的利润为元．问超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？ 【答案】(1)解：设单个“敖丙”手办的进价是元，则单个“哪吒”手办的进价是元， 据题意得，， 解得， 经检验是原方程的解，且符合题意， ， 单个“敖丙”手办的进价是元，单个“哪吒”手办的进价是元．   (2)解：据题意得， 解得， ， ， 随的增大而增大， 又，为整数，且两种手办都有， 时，（元）， 此时， 超市应进“敖丙”手办个，“哪吒”手办个，才能获得最大利润，最大利润为元．   【解析】  设单个“敖丙”手办的进价是元，则单个“哪吒”手办的进价是元，根据题意列出分式方程后求解即可，注意检验；   由题意得，解出的取值范围，再由题意得出关于的关系式，分析该式，结合的取值范围即可得解． 25.本小题分 已知，在中，是边上的中线． 如图，若，仅用圆规次，作边的中点不写作法，保留作图痕迹，并利用备用图说明理由； 如图，，，，，点是边上一动点，连接，若，则______． 【答案】见解析．  或．  【解析】解：如图，点即为所求． 方法：以为圆心，为半径作弧交于点，点即为所求． 理由：连接，． ， ， ， ， ，即点是的中点； 当点是的中点时，是的中位线，满足条件，此时； 当时，， ， 是等边三角形， ， ． 故答案为：或． 以为圆心，为半径作弧交于点，点即为所求． 分两种情形：当点是的中点时，是的中位线，满足条件，此时；当时，证明是等边三角形，求出即可． 本题考查作图复杂作图，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形中位线定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 26.本小题分 有一张矩形纸片，其中，，现将矩形纸片折叠，点的对应点记为点，折痕为点、是折痕与矩形纸片的边的交点，再将纸片还原． 当点与点重合时，          ，当点与点重合时，           如图，若点为的中点，求的长 如图，若点落在矩形的外部，点与点重合，点在上，与交于点，当时，请求出的长． 【答案】解：，； 当点与点重合时，如图， 是的中垂线， ， 当点与点重合时，如图， 此时； 如图中，设交于点． 在中，，，， ， ， ，， ∽， ， ， ， ； 如图，连接， ，，， ≌， 设，则，则， ，， ， ， 解得：， ．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 27.本小题分 对于图形和点，若图形上存在三点、和，使以、、、为顶点的四边形为平行四边形，则称点是图形的“点”如图，在平面直角坐标系中，已知点，，． 在点，，，中，__________是正方形的“点”； 点在轴上，以为圆心，为半径的圆记作． 当圆心与原点重合时，若上存在正方形的“点”，直接写出的取值范围_________； 若，且正方形的每个点都是的“点”，直接写出圆心的横坐标的取值范围__________； 若，若存在点既是的“点”，也是的“点”，直接写出圆心的横坐标的取值范围__________． 【答案】解：如图所示， 在正方形上存在点、、使得四边形为平行四边形， 存在点、、使得四边形为平行四边形， 点、是正方形的“点”， 故答案为：、； 解：根据题意可知，正方形的边长为，连接， ，， 如图所示，延长到，使，连接，并延长到，使，连接，延长交于点， 当点在正方形区域时，连接，过点作交于点，过点作交于点，此时四边形为平行四边形， 同理当点在区域时不包含点，上总存在点，使得四边形为平行四边形， 当点在四边形区域时不包含点，点是正方形的“点”， 同理可得当点在如下图正方形区域内时不包含四个顶点，点是正方形的“点”， 当圆心与原点重合时，当时，上存在正方形的“点”， ， 当时，上存在正方形的“点”， 故答案为：； 的半径， 上两点最大距离为， 当点在以为圆心，半径为的圆的区域内时不包含圆上，存在点、、使得四边形为平行四边形，如图所示， 当点在以为圆心，半径为的圆的区域内时不包含圆上，点是的“点”， 当点在半径为的上时，连接，如图， 则，， ， ， 此时圆心的横坐标为， 同理，当点在半径为的上时，连接，如图， 同理可求得，此时圆心的横坐标为， 综上所述，当圆心的横坐标的取值范围为时，正方形的每个点都是的“点” 故答案为：； 同可得，当点在四边形、、区域时不含端点，点是的“点”，如下图所示， 由可知，当点在以为圆心，半径为的圆的区域内时不包含圆上，点是的“点”， 当点在半径为的上时，连接，作轴于点，如图， 则，， ， ， 此时圆心的横坐标为， 当半径为的与相切于点时，如图， 则，， ， 此时圆心的横坐标为， 存在点既是的“点”，也是的“点” 当时，存在点既是的“点”，也是的“点”， 故答案为：．   【解析】【分析】根据题意在平面直角坐标系中分别判断点，，，是否为正方形的“点”即可； 根据题意，利用平行四边形的定义，先求得点是正方形的“点”时，点的所在区域，然后求得当上存在任意一点在该区域内时的的最大值，即可；同理先求得当点是的“点”时，点在以为圆心，半径为的圆的区域内不包含圆上，然后分别求得当点在半径为的上和当点在半径为的上的值即可；同先求得点是的“点”时，点的所在区域，根据中点是的“点”时的区域，然后求得两区域重叠时取值即可． 【点睛】本题考查了“点”的定义，平面直角坐标系，勾股定理，平行四边形的定义，读懂题意理解“点”的定义，利用数形结合的思维是解题的关键． 28.本小题分 如图，在中，，点是斜边上的动点点与点 不重合，连接，以为直角边在的左侧构造，，连接，． 【特例感知】 如图，当时，与之间的位置关系是_____，数量关系是_____． 【类比迁移】 如图，当时，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想． 【拓展应用】 在的条件下，点与点关于对称，连接，，，如图已知，设，四边形的面积为． 求与的函数表达式，并求出的最小值； 当时，请直接写出的长度． 【答案】解：；； 当时，， ，， ， ，即， 在和中， ≌， ，， ， ， 即与的位置关系是，数量关系是； 猜想：，． 证明：， ，即， ，， ∽， ，， ，， ， 综上所述，与之间的位置关系是，与之间的数量关系是； 当时，， ，， 由可知，，，， ，， ，， 在中，， ， 在中，， ，即， 点与点关于对称， 沿翻折，、两点能够重合，即≌， ， ， 即， 在中，，，， ， ， 与的函数表达式为， ， 当时，取得最小值为； 的长度是或． 如图，连接交于点，过点作于，连接． 由可知，≌， ，， 又， ， 四边形是菱形， 又， 四边形是正方形， ，， 由可知， 是的斜边上的中线， ， ，， ，， ，即， ，即， 在中，，，， ， 在中，，， ，即， ， ，， 是等腰直角三角形，， 在中，，，， ， 由勾股定理可得，，即， ，， ， 在中，， ，即，解得，， 的长度是或．  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 第27页，共31页 学科网（北京）股份有限公司 $$