2025年江苏省南京市初中学业水平考试数学模拟练习试卷

2025年江苏省南京市初中学业水平考试数学模拟练习试卷 注意事项： 1．本试卷共8页．全卷满分120分，考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效． 2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上． 3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置答题一律无效． 4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚． 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列四个数中，最小的数是(    ) A. B. C. D. 2.下列运算中，错误的是(    ) A. B. C. D. 3.下列各数中，与的积为有理数的是(    ) A. B. C. D. 4.某次考试中，某班级的数学成绩统计图如图所示，下列说法错误的是(    ) A. 组距为 B. 该班的总人数为人 C. 最低分为分 D. 及格分率为 5.如图，在一中学生耐力测试比赛中，甲、乙两学生测试的路程米与时间秒之间的函数关系的图象分别为折线和线段，下列说法正确的是(    ) A. 甲比乙后到终点 B. 乙测试的速度随时间增加而增大 C. 比赛过程中除去起点终点两人相遇两次 D. 比赛全程甲的测试速度始终比乙的测试速度快 6.综合实践课上，嘉嘉画出了，通过折叠的方法找一点，使得四边形为平行四边形，图图是其操作过程． 折叠使得点与点重合，折痕与相交于点； 沿折叠，得到直线，点是延长线上一点； 折痕过点再次折叠，使点的对应点落在上，连接， 在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形为平行四边形的条件是(    ) A. 两组对边分别平行 B. 两组对边分别相等 C. 对角线互相平分 D. 一组对边平行且相等 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 7.方程的根是          ． 8.清代袁枚的一首诗苔中的诗句：“白日不到处，青春恰自来苔花如米小，也学牡丹开”若苔花的花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为______． 9.分解因式：           ． 10.计算：           ． 11.方程的解为______． 12.如图，是的半径，是的弦，于点，是的切线，交的延长线于点若，，则线段的长为          ． 13.如图，在▱中，，，，点、分别是边、上的动点，将该四边形沿折痕翻折，使点落在边的三等分点处，则的长为______． 14.如图，点为反比例函数图象上的一点，连接，过点作的垂线与反比例的图象交于点，则的值为          ． 15.如图，点是边长为的正方形内一点，且，将线段以点为中心逆时针旋转得到线段，点是的中点，连接，则的最大值为__________． 16.如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点、交轴于点，点与点关于轴对称，动点、分别在线段、上点不与点、重合，满足当为等腰三角形时，点的坐标是          ． 三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.解不等式组： 18.先化简，再求值：，其中． 19.本小题分 下面是小明在证明“平行四边形的对角相等”这个性质定理时使用的三种添加辅助线的方法，请你选择其中一种，完成证明． 平行四边形性质定理：平行四边形的对角相等．已知：如图，四边形是平行四边形．求证：，．     方法一：证明：如图，连接．    方法二：证明：如图，延长至点．   方法三：证明：如图，连接、，与交于点．     你选择方法______． 证明： 20.本小题分 某博物馆展厅的俯视示意图如图所示，嘉淇进入展厅后开始自由参观，每走到一个十字道口，她自己可能直行，也可能向左转或向右转，且这三种可能性均相同． 求嘉淇走到十字道口向北走的概率； 补全图的树状图，并分析嘉淇经过两个十字道口后向哪个方向参观的概率较大． 21.本小题分 如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，过点作于点． 求证：平行四边形是矩形； 若，，求的长． 22.本小题分 某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段． 初赛由名教师评委和名学生评委给每位选手打分百分制对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析下面给出了部分信息． 教师评委打分： 学生评委打分的频数分布直方图如图数据分组：第组，第组，第组，第组，第组，第组： 评委打分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 教师评委 学生评委 根据以上信息，回答下列问题： 的值为______，的值位于学生评委打分数据分组的第______组； 若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余名教师评委打分的平均数为，则 ______填“”“”或“”； 决赛由名专业评委给每位选手打分百分制对每位选手，计算名专业评委给其打分的平均数和方差平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下： 评委 评委 评委 评委 评委 甲 乙 丙 若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是______，表中为整数的值为______． 23.本小题分 图是放置在水平地面上的落地式话筒架实物图，图是其示意图支撑杆垂直于地面，活动杆固定在支撑杆上的点处若，，，求活动杆端点离地面的高度．结果精确到，参考数据：，， 24.本小题分 如图，内接于，作于，与交于点，点在的延长线上，使得． 求证：是的切线； 若，，求的半径长． 25.本小题分 某机器工作至电量剩余时开始充电．充电系统提供两种不同的充电模式，机器剩余电量单位：与充电时间单位：的关系如下表所示： 充电时间 模式一剩余电量 模式二剩余电量 ； 通过数据分析，发现可以用函数来刻画与，与之间的关系，在给定的平面直角坐标系图中画出这两个函数图象； 充电系统通过调节充电电流单位：安培来控制电量，已知充电模式一的初始电流为安培，剩余电量每增加，充电电流将减小安培，则分钟时充电模式一的充电电流 安培；充电模式二的充电电流与充电时间的函数关系如图所示．根据以上数据并结合函数图象判断：当两种充电模式的电流相同时，剩余电量相差约 ． 26.本小题分 在平面直角坐标系中，已知抛物线． 当时， 求该抛物线的对称轴； 点和是抛物线上的两点，直接写出和的大小关系； 如果点和是抛物线上的两点，且对于，，都有，求的取值范围． 27.本小题分 综合与实践 【提出问题】 如图，在菱形中，，点是对角线上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，则的度数为______； 【类比探究】 如图，在正方形中，点是对角线上一动点，且，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，． 求的度数； 当时，求的长； 【迁移运用】 如图，在矩形中，，，点是对角线上一动点，连接，以为边在的右边作，且，，当点到的距离为时，请直接写出的长． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年江苏省南京市初中学业水平考试数学模拟练习试卷 一、选择题：本题共6小题，每小题2分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列四个数中，最小的数是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】本题考查了有理数的大小比较方法，根据实数比较大小的方法，利用绝对值概念根据两个负数绝对值大的数反而小比较两个负数的大小关系及作商法比较两个数的大小，解题的关键是熟练掌握两个数比较大小的方法． 【详解】解：，， ，即， 各数中，最小的数是， 故选：． 2.下列运算中，错误的是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】略 3.下列各数中，与的积为有理数的是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】略 4.某次考试中，某班级的数学成绩统计图如图所示，下列说法错误的是(    ) A. 组距为 B. 该班的总人数为人 C. 最低分为分 D. 及格分率为 【答案】C  【解析】略 5.如图，在一中学生耐力测试比赛中，甲、乙两学生测试的路程米与时间秒之间的函数关系的图象分别为折线和线段，下列说法正确的是(    ) A. 甲比乙后到终点 B. 乙测试的速度随时间增加而增大 C. 比赛过程中除去起点终点两人相遇两次 D. 比赛全程甲的测试速度始终比乙的测试速度快 【答案】C  【解析】解：甲比乙先到终点，错误，不符合题意； B.乙的图象是正比例函数，故乙测试的速度是常数，保持不变，错误，不符合题意； C.图象有两个交点，故比赛过程中除去起点终点两人相遇两次，正确，符合题意； D.根据图象，可得比赛全程，第一次相遇后，第二次相遇前，乙的速度大于甲的测试速度，错误，不符合题意， 故选：． 根据函数图象，读懂函数信息，解答即可． 本题考查了图象信息的获取与处理，正确读取信息是解题的关键． 6.综合实践课上，嘉嘉画出了，通过折叠的方法找一点，使得四边形为平行四边形，图图是其操作过程． 折叠使得点与点重合，折痕与相交于点； 沿折叠，得到直线，点是延长线上一点； 折痕过点再次折叠，使点的对应点落在上，连接， 在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形为平行四边形的条件是(    ) A. 两组对边分别平行 B. 两组对边分别相等 C. 对角线互相平分 D. 一组对边平行且相等 【答案】C  【解析】【分析】本题考查了平行四边形的判定及折叠的性质，解题的关键是掌握折叠的性质及平行四边形的判定定理． 根据折叠步骤可知，得出了对角线互相平分，从而可以判断． 【详解】解：根据条件可知：使得对角线互相平分，从而得出四边形为平行四边形， 判定四边形为平行四边形的条件是：对角线互相平分， 故选：． 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。 7.方程的根是          ． 【答案】，  【解析】略 8.清代袁枚的一首诗苔中的诗句：“白日不到处，青春恰自来苔花如米小，也学牡丹开”若苔花的花粉直径约为米，则数据用科学记数法表示为______． 【答案】  【解析】解：， 故答案为：． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，据此解答即可。 本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定． 9.分解因式：           ． 【答案】  【解析】先提取公因式，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 10.计算：           ． 【答案】  【解析】略 11.方程的解为______． 【答案】  【解析】解：原方程去分母得：， 解得：， 检验：当时，， 故原分式方程的解为， 故答案为：． 利用去分母将原方程化为整式方程，解得的值后进行检验即可． 本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 12.如图，是的半径，是的弦，于点，是的切线，交的延长线于点若，，则线段的长为          ． 【答案】  【解析】略 13.如图，在▱中，，，，点、分别是边、上的动点，将该四边形沿折痕翻折，使点落在边的三等分点处，则的长为______． 【答案】或  【解析】解：设点落在边上的点． 如图，当时，， 设，则，． 过点作垂直于，交延长线于点， 在中，， ，． 在中，利用勾股定理可得：， 解得． 即； 如图，当时， 设，则，． 过点作垂直于，交延长线于点， 在中，， ，． 在中，利用勾股定理可得：， 解得． 即； 所以的长为或． 故答案为或． 14.如图，点为反比例函数图象上的一点，连接，过点作的垂线与反比例的图象交于点，则的值为          ． 【答案】    【解析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，相似三角形的判定和性质，作轴，轴，根据值的几何意义，得到，证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求出的值即可． 【详解】解：作轴，轴， 则：， 点为反比例函数图象上的一点，点为反比例图象上一点， ， ， ， ， ， ， 负值舍去； 故答案为：． 15.如图，点是边长为的正方形内一点，且，将线段以点为中心逆时针旋转得到线段，点是的中点，连接，则的最大值为__________． 【答案】  【解析】解：连接，取的中点， 由旋转的性质知，， ，， 则≌， 则， 则点在以为直径的圆上，连接、， 当、、共线，在的延长线上时，最大， 则，， 则的到最大值为， 故答案为：． 连接，证明≌，则，当、、共线，在的延长线上时，最大，即可求解． 本题为四边形综合题，涉及到圆的基本知识、三角形全等等，证明三角形全等是解题的关键． 16.如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点、交轴于点，点与点关于轴对称，动点、分别在线段、上点不与点、重合，满足当为等腰三角形时，点的坐标是          ． 【答案】或  【解析】把和分别代入一次函数的解析式，求出、的坐标，分为三种情况：，，，分别求解即可． 【详解】解：， 当时，； 当时，． 即点的坐标是，点的坐标是． 点与点关于轴对称， 的坐标是． 分为三种情况： 当时， 和关于轴对称， ． ，，， ． 在和中， ， ，， ， ， 点的坐标是． 当时，则． ， ， 而根据三角形的外角性质，得， 此种情况不存在． 当时，则， 即， 设此时的坐标是． 在中，由勾股定理，得， ， 解得：， 即此时的坐标是． 当为等腰三角形时，点的坐标是或． 故答案为：或． 三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.解不等式组： 【答案】解： 解不等式，得，                        解不等式，得，                         不等式组的解集为：．  【解析】本题考查了一元一次不等式组的解法，掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键分别求出两个不等式的解集，再找出两个解集的公共部分即可． 18.先化简，再求值：，其中． 【答案】解：原式， 当时，原式．  【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值． 此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 19.本小题分 下面是小明在证明“平行四边形的对角相等”这个性质定理时使用的三种添加辅助线的方法，请你选择其中一种，完成证明． 平行四边形性质定理：平行四边形的对角相等．已知：如图，四边形是平行四边形．求证：，．     方法一：证明：如图，连接．    方法二：证明：如图，延长至点．   方法三：证明：如图，连接、，与交于点．     你选择方法______． 证明： 【答案】解：证明：选择方法一： 如图，连接，      四边形是平行四边形， ，，， ，， ， 在与中， ， ， 即平行四边形的对角相等．   【解析】根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可． 20.本小题分 某博物馆展厅的俯视示意图如图所示，嘉淇进入展厅后开始自由参观，每走到一个十字道口，她自己可能直行，也可能向左转或向右转，且这三种可能性均相同． 求嘉淇走到十字道口向北走的概率； 补全图的树状图，并分析嘉淇经过两个十字道口后向哪个方向参观的概率较大． 【答案】(1)嘉淇走到十字道口一共有三种可能，向北只有一种可能，嘉淇走到十字道口向北走的概率为；  (2)补全树状图如图所示： 嘉淇经过两个十字道口后共有9种可能，向西的概率为：；向南的概率为；向北的概率为；向东的概率为；嘉淇经过两个十字道口后向西参观的概率较大．   【解析】  嘉淇走到十字道口一共有三种可能，向北只有一种可能，根据概率公式求解即可；   根据树状图的画法补全树状图，再根据向哪个方向出现的次数求概率即可． 21.本小题分 如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，过点作于点． 求证：平行四边形是矩形； 若，，求的长． 【答案】解：证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ▱是矩形； ▱是矩形， ， ， ， ， ， 在中，，， ．  【解析】本题考查了矩形的判定和性质，平行四边形的性质，解直角三角形，熟练掌握矩形的判定和性质定理是解题的关键． 根据平行四边形的性质得到，，求得，于是得到结论； 根据矩形的性质得到，求得，解直角三角形即可得到结论． 22.本小题分 某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段． 初赛由名教师评委和名学生评委给每位选手打分百分制对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析下面给出了部分信息． 教师评委打分： 学生评委打分的频数分布直方图如图数据分组：第组，第组，第组，第组，第组，第组： 评委打分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 教师评委 学生评委 根据以上信息，回答下列问题： 的值为______，的值位于学生评委打分数据分组的第______组； 若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余名教师评委打分的平均数为，则 ______填“”“”或“”； 决赛由名专业评委给每位选手打分百分制对每位选手，计算名专业评委给其打分的平均数和方差平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下： 评委 评委 评委 评委 评委 甲 乙 丙 若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是______，表中为整数的值为______． 【答案】      甲    【解析】解：由题意得，教师评委打分中出现的次数最多，故众数． 名学生评委打分数据的中位数是第个数，故的值位于学生评委打分数据分组的第组； 故答案为：；； 若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余名教师评委打分的平均数为， 则， ． 故答案为：； 甲选手的平均数为， 乙选手的平均数为， 丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中， 丙选手的平均数大于或等于乙选手的平均数， 名专业评委给乙选手的打分为，，，，， 乙选手的方差， 名专业评委给丙选手的打分为，，，，， 乙选手的方差小于丙选手的方差， 丙选手的平均数大于乙选手的平均数，小于或等于甲选手的平均数， ， ， 为整数， 为整数的值为， 故答案为：． 根据众数以及中位数的定义解答即可； 根据算术平均数的定义求出其余名教师评委打分的平均数，即可得出答案； 根据方差的定义和平均数的意义求解即可． 本题考查频数分布直方图，平均数、众数、中位数、方差，理解平均数、众数、中位数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提． 23.本小题分 图是放置在水平地面上的落地式话筒架实物图，图是其示意图支撑杆垂直于地面，活动杆固定在支撑杆上的点处若，，，求活动杆端点离地面的高度．结果精确到，参考数据：，， 【答案】约为  【解析】略 24.本小题分 如图，内接于，作于，与交于点，点在的延长线上，使得． 求证：是的切线； 若，，求的半径长． 【答案】解：连接，如图所示： ， ， ， ， ， ， 是半径， 是的切线； 解：，，， 在中，， 连接，取的中点，连接交于一点，如图所示： 点是的中点， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 则， 则 在中，．   【解析】【分析】根据圆周角定理得，结合三角形内角和性质得，因为，得，进行作答即可． 先整理得，再根据垂径定理以及圆周角定理得，则，证明，得，代入数值得，，最后在中，． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，解直角三角形的相关计算，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定与性质，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 25.本小题分 某机器工作至电量剩余时开始充电．充电系统提供两种不同的充电模式，机器剩余电量单位：与充电时间单位：的关系如下表所示： 充电时间 模式一剩余电量 模式二剩余电量 ； 通过数据分析，发现可以用函数来刻画与，与之间的关系，在给定的平面直角坐标系图中画出这两个函数图象； 充电系统通过调节充电电流单位：安培来控制电量，已知充电模式一的初始电流为安培，剩余电量每增加，充电电流将减小安培，则分钟时充电模式一的充电电流 安培；充电模式二的充电电流与充电时间的函数关系如图所示．根据以上数据并结合函数图象判断：当两种充电模式的电流相同时，剩余电量相差约 ． 【答案】解：由表格可知，的值每增加，的值增加， ， 故答案为：； 根据表格数据描点连线画出函数图象如下： 解：时，， 安培； 由题意得，充电模式一的电流：， 当时，；当时，， 充电模式一的充电电流与充电时间的函数关系图象如下： 由函数图象可知，当时，两种充电模式的电流相同， 剩余电量相差约， 故答案为：，．   【解析】【分析】由表格可知，的值每增加，的值增加，进而即可求解； 根据表格数值描点连线画出图象即可；根据题意可求出的值及与的函数关系式，进而画出图象即可求解； 本题考查了函数的综合应用，理解题意是解题的关键 26.本小题分 在平面直角坐标系中，已知抛物线． 当时， 求该抛物线的对称轴； 点和是抛物线上的两点，直接写出和的大小关系； 如果点和是抛物线上的两点，且对于，，都有，求的取值范围． 【答案】对称轴为直线，；   的取值范围是或．  【解析】解：当时，， 该抛物线的对称轴为直线； 的图象开口向上，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， 关于直线的对称点为，且， ； 点和是抛物线上的两点，， ， 又， ， 当时， 又， ， ， ， 又， ， ， 当时， 又， ， ， ， 又， ， 综上所述，的取值范围是或． 根据题意，得到二次函数解析式，从而得到二次函数的对称轴，结合函数图象，当，对称轴右侧的图象随的增大而减增大，从而得到，的大小； 由题意，，得到，讨论的大小，从而得到结果． 本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 27.本小题分 综合与实践 【提出问题】 如图，在菱形中，，点是对角线上一动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，则的度数为______； 【类比探究】 如图，在正方形中，点是对角线上一动点，且，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，． 求的度数； 当时，求的长； 【迁移运用】 如图，在矩形中，，，点是对角线上一动点，连接，以为边在的右边作，且，，当点到的距离为时，请直接写出的长． 【答案】；  ；；  ．  【解析】解：菱形中，， ，，， 由旋转可知，，， ， ≌， ； 故答案为：； 过作于点， 四边形是正方形，是对角线， ，即为等腰直角三角形， ，， 由旋转可知是等腰直角三角形， ，， ，， ∽， ； 在中，， ， 由知∽， ， ； 在中，， ， ， ， 过作于点，过作于点，则， 在中，， 当在上方时， 同理可得∽， ， ， ； 当在下方时， 同理可得， ； 综上，的长为． 证≌即可得解； 过作于点，证∽即可得解；先求出的值，再利用相似比求解即可； 参考中思路构造三垂直相似，分类讨论求解即可． 本题主要考查了菱形的性质、正方形的性质、矩形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$