微专题10 一网打尽导数中的双变量问题（9大题型）-2025年新高考数学微专题全力突破

微专题10 一网打尽导数中的双变量问题 【题型归纳目录】 题型一：双变量词下的最值转化 题型二：同构转化 题型三：两个函数直接转化为同构函数 题型四：利用韦达定理进行转化 题型五：比值与差值代换转化为一元函数 题型六：极值点偏移 题型七：主元法 题型八：几何法 题型九：放缩法 【知识点梳理】 在导数中处理双变量问题，需掌握以下核心方法： 1、变量代换：通过引入新变量，将双变量问题转化为单变量问题，简化分析． 2、构造辅助函数：根据题目条件，构造与双变量相关的辅助函数，利用导数研究其单调性、极值等，从而解决双变量问题． 3、利用不等式与等式关系：挖掘题目中的等式或不等式条件，结合导数性质，建立变量间联系，求解最值或证明不等式． 4、主元法：选定一个变量为主元，将另一个变量视为参数，转化为单变量函数问题，利用导数求解． 5、特殊值法与排除法：对于选择题，可通过代入特殊值快速排除错误选项，缩小答案范围． 【典型例题】 题型一：双变量词下的最值转化 【例1】已知函数，且，，若存在，使得对任意，恒成立，则的取值范围是 ． 【变式1-1】（2025·高三·吉林·期末）已知函数，. （1）当时，求的最小值； （2）当时，若存在，使得对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围. 【变式1-2】（2025·全国·模拟预测）已知函数，，． (1)求的极值； (2)若存在，对任意的，使得不等式成立，求实数的取值范围．（） 题型二：同构转化 【例2】若对任意，，当时，，则a的取值范围为 ． 【变式2-1】若对任意的，，，恒成立，则a的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2025·四川南充·二模）若对于任意的，，有恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2025·河南洛阳·三模）已知函数，其中. （1）讨论函数的单调性； （2）当时，证明：不等式恒成立（其中，）. 题型三：两个函数直接转化为同构函数 【例3】（2025·四川成都·二模）已知函数，.若存在，使得成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知函数，，若存在，使得成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2025·四川成都·二模）已知函数.若存在使得成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型四：利用韦达定理进行转化 【例4】已知函数有两个极值点，. （1）求的取值范围； （2）证明：. 【变式4-1】已知函数 (1)当时，求函数的最大值； (2)若函数有两个极值点，求的取值范围，并证明：. 【变式4-2】（2025·高三·辽宁葫芦岛·期末）已知函数． (1)当时，求的单调递增区间； (2)若有两个极值点． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：． 题型五：比值与差值代换转化为一元函数 【例5】已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)若，，且有两个极值点，分别为和，求的最小值． 【变式5-1】已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若函数的图象与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为，证明：． 【变式5-2】已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当时，证明：； (3)若函数有两个极值点，求的取值范围. 题型六：极值点偏移 【例6】定义：若函数与在公共定义域内存在，使得，则称与为“契合函数”，为“契合点”． (1)若与为“契合函数”，且只有一个“契合点”，求实数a的取值范围． (2)若与为“契合函数”，且有两个不同的“契合点”． ①求b的取值范围； ②证明：． 【变式6-1】已知函数，为实数. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)若函数在处取得极值，是函数的导函数，且，，证明：. 【变式6-2】已知函数． (1)求函数的单调区间和极值； (2)若，且，求证：． 【变式6-3】（2025·青海海南·模拟预测）已知函数． (1)讨论函数的单调性． (2)假设存在正实数，满足． （i）求实数的取值范围； （ii）证明：． 题型七：主元法 【例7】已知函数 (1)若，且，求的最小值； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)若当且仅当，求的取值范围． 【变式7-1】已知函数. (1)若，且是增函数，求a的最小值； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)若当且仅当成立，求b的取值范围. 【变式7-2】（2025·四川攀枝花·一模）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当时，恒成立，求实数a的取值范围； (3)设m，n是两个不相等的正数，且，证明：. 题型八：几何法 【例8】（2025·高三·天津南开·期末）已知函数． Ⅰ讨论的单调性； Ⅱ若对恒成立，求实数a的取值范围； Ⅲ当时，设为自然对数的底若正实数满足，证明： 【变式8-1】（2025·湖北·二模）已知函数有零点，当取最小值时，的值为 ． 【变式8-2】已知函数在区间上有零点，则的最小值为 . 题型九：放缩法 【例9】（2025·安徽·二模）已知函数，其中是自然对数的底数. (1)设曲线与轴正半轴相交于点，曲线在点处的切线为，求证：曲线上的点都不在直线的上方； (2)若关于的方程（为正实数）有两个不等实根，求证：. 【变式9-1】已知函数，是的极值点． (1)求的值； (2)设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线为直线．求证：曲线上的点都不在直线的上方； (3)若关于的方程有两个不等实根，，求证：． 【变式9-2】已知函数 曲线在原点处的切线为 . (1)证明：曲线与轴正半轴有交点； (2)设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线为直线，求证：曲线上的点都不在直线的上方 ； (3)若关于的方程（为正实数）有不等实根求证： 【专题训练】 1．已知函数，，若，其中，的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·全国·模拟预测）已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ． 3．已知函数，，若，，则的最大值为 4．已知函数，，若，且，则的最大值为 ． 5．（2025·高三·山西朔州·期中）已知函数， ． （1）求曲线在处的切线方程；   （2）讨论函数的极小值； （3）若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 6．（2025·高三·河南·期中）已知函数，，. (1)讨论函数的单调性； (2)若，，使得成立，求实数a的取值范围. 7．已知函数（其中），（其中为自然对数的底数）. （1）若曲线在处的切线与直线垂直，求的单调区间和极值； （2）若对任意，总存在使得成立，求实数的取值范围. 8．设函数. (1)若，求在处的切线方程 (2)若，，求的取值范围 (3)若对任意的，恒成立，求的取值范围. 9．（2025·高三·河北邢台·期末）已知函数． (1)若在上单调递增，求实数的取值范围； (2)若有两个极值点分别为，（），当时，证明：． 10．设a，b为实数，且，函数. (1)若，讨论函数的单调性； (2)若对任意，函数有两个不同的零点，求a的取值范围； (3)当时，对任意，函数有两个不同的零点，证明：. （注：是自然对数的底数） 11．已知函数且. （1）讨论函数的单调性; （2）当时，若函数的图象与轴交于，两点，设线段中点的横坐标为，证明:. 12．（2025·高三·上海杨浦·开学考试）若函数在上存在，使得，，则称是上的“双中值函数”，其中称为在上的中值点. (1)判断函数是否是上的“双中值函数”，并说明理由； (2)已知函数，存在，使得，且是上的“双中值函数”， 是在上的中值点. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 13．（2025·陕西宝鸡·二模）已知函数， (1)当时，求在处的切线方程； (2)若时，恒成立，求的范围； (3)若在内有两个不同零点、，求证：. 14．已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若有两个零点，且，证明：. 15．（2025·高三·山东潍坊·期末）已知函数，. (1)求曲线在处的切线方程； (2)若，求的取值范围； (3)若有两个实数解，，证明：. 16．已知函数． (1)若函数有两个零点，求的取值范围； (2)设是函数的两个极值点，证明：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微专题10 一网打尽导数中的双变量问题 【题型归纳目录】 题型一：双变量词下的最值转化 题型二：同构转化 题型三：两个函数直接转化为同构函数 题型四：利用韦达定理进行转化 题型五：比值与差值代换转化为一元函数 题型六：极值点偏移 题型七：主元法 题型八：几何法 题型九：放缩法 【知识点梳理】 在导数中处理双变量问题，需掌握以下核心方法： 1、变量代换：通过引入新变量，将双变量问题转化为单变量问题，简化分析． 2、构造辅助函数：根据题目条件，构造与双变量相关的辅助函数，利用导数研究其单调性、极值等，从而解决双变量问题． 3、利用不等式与等式关系：挖掘题目中的等式或不等式条件，结合导数性质，建立变量间联系，求解最值或证明不等式． 4、主元法：选定一个变量为主元，将另一个变量视为参数，转化为单变量函数问题，利用导数求解． 5、特殊值法与排除法：对于选择题，可通过代入特殊值快速排除错误选项，缩小答案范围． 【典型例题】 题型一：双变量词下的最值转化 【例1】已知函数，且，，若存在，使得对任意，恒成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】的定义域为，， 当时，，，为增函数， 所以； 若存在，使得对任意的，恒成立， 即 ， ， 当时，为减函数，， ∴，， ∴ 故答案为. 【变式1-1】（2025·高三·吉林·期末）已知函数，. （1）当时，求的最小值； （2）当时，若存在，使得对任意的，都有恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为的定义域为， . ①当时，因为，，所以在上为增函数，； ②当时，在上为减函数，在上为增函数，； ③当时，在上为减函数， . （2）当时，若存在，使得对任意的都有恒成立， 则. 由（1）知，当时， . 因为，令，则， 令，得；令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增，，所以在上单调递增. 所以，则， 解得，又，， 所以，即实数的取值范围是. 【变式1-2】（2025·全国·模拟预测）已知函数，，． (1)求的极值； (2)若存在，对任意的，使得不等式成立，求实数的取值范围．（） 【解析】（1）由， 得, 令，得或， 的变化关系如下表： 3 ＋ 0 － 0 ＋ 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 由表可知，当时，取得极大值，为，当时，取得极小值，为. （2）由（1）知，在上单调递减，所以当时，， 于是若存在，对任意的，使得不等式成立，则在上恒成立， 即在上恒成立， 令，，则， ， 因为，所以，， 因为，所以，所以， 所以单调递减，故， 于是，得，又， 所以实数a的取值范围是． 题型二：同构转化 【例2】若对任意，，当时，，则a的取值范围为 ． 【答案】 【解析】因为，所以， 所以．因为， 所以，所以． 设，则满足在上单调递减， 因为，所以在上单调递减， 在内单调递增，所以，即a的取值范围为． 故答案为：. 【变式2-1】若对任意的，，，恒成立，则a的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】将不等式转化为，构造函数，只需使在上递减，则在恒成立，只需恒成立，然后求解的取值范围.因为，所以，则可化为， 整理得，因为，所以， 令，则函数在上递减， 则在上恒成立， 所以在上恒成立， 令，则在上恒成立， 则在上递减，所以， 故只需满足：. 故选：A. 【变式2-2】（2025·四川南充·二模）若对于任意的，，有恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，不妨设， 则可变为， 即 整理得： 所以函数在上为减函数， ， 令， 得 设， 则 因为， 所以在上为减函数， 即 所以，即的最小值为. 故选：C 【变式2-3】（2025·河南洛阳·三模）已知函数，其中. （1）讨论函数的单调性； （2）当时，证明：不等式恒成立（其中，）. 【解析】（1）由于. 1）当时，，当时，，递增， 当时，，递减； 2）当时，由得或. 当时，，当时，，递增， 当时，，递减， 当时，，递增； 当时，，递增； ③当时，. 当时，，递增， 当时，，递减， 当时，，递增. 综上，当时，在上是减函数，在上是增函数； 当时，在，上是增函数，在上是减函数； 当时，在上是增函数； 当时，在，上是增函数，在上是减函数. （2）依题意 恒成立. 设，则上式等价于， 要证明对任意，恒成立， 即证明在上单调递增，又， 只需证明即可.令，则， 当时，，当时，， ∴，即，，那么，当时，，所以 ；当时，， ， ∴恒成立.从而原不等式成立. 题型三：两个函数直接转化为同构函数 【例3】（2025·四川成都·二模）已知函数，.若存在，使得成立，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知，，由可得出，，利用导数可得出函数在区间上单调递增，函数在区间上单调递增，进而可得出，由此可得出，可得出，构造函数，利用导数求出函数在上的最大值即可得解.，， 由于，则，同理可知，， 函数的定义域为，对恒成立，所以，函数在区间上单调递增，同理可知，函数在区间上单调递增， ，则，，则， 构造函数，其中，则. 当时，，此时函数单调递增；当时，，此时函数单调递减. 所以，. 故选：C. 【变式3-1】已知函数，，若存在，使得成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数f（x）的定义域为（0，+∞），， ∴当x∈（0，e）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，又f（1）＝0，所以x∈（0，1）时，f（x）＜0； 同时，若存在，使得成立， 则且，所以，即x2＝lnx1，又所以， 故，令，k＜0，则， 令，解得，令，解得， ∴在（﹣∞，﹣3）单调递减，在（﹣3，0）单调递增， ∴． 故选：D 【变式3-2】（2025·四川成都·二模）已知函数.若存在使得成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】将变形为，利用单调性可得，从而，再构造函数，通过求导找到最小值即可.易知在上单调递增，在上单调递减，同理， ，易得在上单调递增，在上单调递减，又存在 使得成立，则， ，且，又在上单调递增， 故，所以，令，则， 易知，在上单调递减，在上单调递增， 故. 故选：D. 题型四：利用韦达定理进行转化 【例4】已知函数有两个极值点，. （1）求的取值范围； （2）证明：. 【解析】（1）∵， ∴有两个不等正根，， ∴， 解得. （2）由已知得，，， ， ， ， ， 令，则，，，， ∴是增函数，， 即. 【变式4-1】已知函数 (1)当时，求函数的最大值； (2)若函数有两个极值点，求的取值范围，并证明：. 【解析】（1）， 而，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故 （2），， 令， 由题意得，，则且均大于， 由根的分布可得，解得， 故 整理得，又，则，原式得证 【变式4-2】（2025·高三·辽宁葫芦岛·期末）已知函数． (1)当时，求的单调递增区间； (2)若有两个极值点． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：． 【解析】（1）当时，， 由，所以. 故单调递增区间为. （2）（ⅰ），令，即 令，，则是方程的两个正根， 则，即， 有，，即. 所以的取值范围为：. （ⅱ） 令 则． 令，则， 则在上单调递减， 又 故存在，使，即， 则当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减 则， 又，故 即. 题型五：比值与差值代换转化为一元函数 【例5】已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)若，，且有两个极值点，分别为和，求的最小值． 【解析】（1）时，， ， 令，可得或， 当或时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减. 所以在和上单调递增，在上单调递减. （2）， 令，可得. 由题意可得，是关于的方程的两个实根， 所以. 由，有， 所以. 将代入上式，得， 同理可得. 所以 ①. 令，①式化为， 设，即， 则， 记，则. 记，则， 所以在上单调递增，所以， 所以，在上单调递增，所以. 所以，在上单调递减. 又 ， 当且仅当且，即时，取到最大值，即的最大值为2. 因为在上单调递减，所以. 所以的最小值为. 【变式5-1】已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若函数的图象与x轴交于A，B两点，线段AB中点的横坐标为，证明：． 【解析】（1）的定义域为， ． ①若，则，所以在单调递减． ②若，则由得， 且当时，，当时，． 所以在单调递减，在单调递减． （2）当时，函数在上单调递减， 故图像与x轴至多有一个交点，不符合题意，从而． 当时，在单调递减，在单调递增， 不妨设，，，则． 由， 两式相减得， 即， 又 令，， 则，从而函数在上单调递增， 故，从而，又，所以． 【变式5-2】已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当时，证明：； (3)若函数有两个极值点，求的取值范围. 【解析】（1）函数的定义域为， 求导得， 当时，，函数在上单调递减， 当时，由，得，由，得， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数的递减区间是，无递增区间； 当时，函数的递减区间是，递增区间是. （2）由（1）知，当时，函数在取得最小值， 要证，只需证明， 令，求导得，当时，，当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增，， 所以当时，，即成立. （3）函数的定义域为，求导得， 由函数有两个极值点，得方程在上有两个不等实根， 设，对称轴为，， 则，且，， 即； ， 令，由，得，即，解得， 令，求导得， 因此函数在上单调递减，，即， 所以的取值范围是. 题型六：极值点偏移 【例6】定义：若函数与在公共定义域内存在，使得，则称与为“契合函数”，为“契合点”． (1)若与为“契合函数”，且只有一个“契合点”，求实数a的取值范围． (2)若与为“契合函数”，且有两个不同的“契合点”． ①求b的取值范围； ②证明：． 【解析】（1）由与为“契合函数”，得，使 ，令，依题意，方程有唯一解， 求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，则， 当时，，时，，， 又和只有一个“契合点”，则直线与函数的图象只有1个交点，则或， 所以实数a的取值范围是. （2）①由与为“契合函数”，且有两个不同的“契合点”， 得存在，使， 即关于的方程有两个相异正根，令函数， 求导得， 由，得，得当时，；当时，， 则函数在上递增，在上递减，则， 当从大于0的方向趋近于0时，；当时，， 因此当时，直线与函数的图象有两个不同交点， 所以b的取值范围是. ②由（1）知，当时，，令， 求导得， 令，求导得， 当时，，函数在上单调递减，，， 函数在上单调递减，，因此当时，， 而，则，又，于是， 又，函数在上递减，则， 所以. 【变式6-1】已知函数，为实数. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)求函数的单调区间； (3)若函数在处取得极值，是函数的导函数，且，，证明：. 【解析】（1）当时，，， ，故， 故函数在处的切线方程为，即； （2）定义域为， ， 令，解得，令，解得， 故的单调递增区间为，单调递减区间为； （3）由题意得，解得， 故，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 可知函数在处取得极值，故符合题意， 因为，， 令，，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 且当时，恒成立，，当时，， 画出的图象如下： 故， 令，， ， 因为，所以，， 故在上单调递减， 又，故在上恒成立， 即，， 因为，所以，所以， 其中，故， 其中，，在上单调递增， 所以，即. 【变式6-2】已知函数． (1)求函数的单调区间和极值； (2)若，且，求证：． 【解析】（1）因为，其中，则， 令，解得，当变化时，、的变化情况如下表： 单调递增 极大值 单调递减 所以，的增区间为，减区间为. 故函数在处取得极大值，无极小值. （2）构造辅助函数，， 则， 当时，，，则，则， 所以，在上单调递增，当时，， 故当时，，（*） 由，， 因为函数的增区间为，减区间为， 可设，将代入（*）式可得， 又，所以，． 又，，而在上单调递增， 所以，，即． 【变式6-3】（2025·青海海南·模拟预测）已知函数． (1)讨论函数的单调性． (2)假设存在正实数，满足． （i）求实数的取值范围； （ii）证明：． 【解析】（1）由题意知，， 令，解得， 令，解得， 故函数在上单调递减，在上单调递增． （2）（i）由题意知，在上有两个不相等的实数根，即， 两边取对数，可得．记，易知在上是增函数， 故可等价于，即． 记，则，得在上单调递减，在上单调递增， 有最小值，故，即． （ii）根据题意得，不妨设． 构造函数， 则． 当时，，则，得在上单调递减， 有，即． 将代入不等式，得，又， 故， 又在上单调递增， 故，即． 题型七：主元法 【例7】已知函数 (1)若，且，求的最小值； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)若当且仅当，求的取值范围． 【解析】（1）时，，其中， 则， 因为，当且仅当时等号成立， 故，而成立，故即， 所以的最小值为.， （2）的定义域为， 设为图象上任意一点， 关于的对称点为， 因为在图象上，故， 而， ， 所以也在图象上， 由的任意性可得图象为中心对称图形，且对称中心为. （3）因为当且仅当，故为的一个解， 所以即， 先考虑时，恒成立. 此时即为在上恒成立， 设，则在上恒成立， 设， 则， 当，， 故恒成立，故在上为增函数， 故即在上恒成立. 当时，， 故恒成立，故在上为增函数， 故即在上恒成立. 当，则当时， 故在上为减函数，故，不合题意，舍； 综上，在上恒成立时. 而当时， 而时，由上述过程可得在递增，故的解为， 即的解为. 综上，. 【变式7-1】已知函数. (1)若，且是增函数，求a的最小值； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)若当且仅当成立，求b的取值范围. 【解析】（1）若时，， 可知的定义域为，且， 若是增函数，即在内恒成立， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 即，则，解得， 所以的最小值为. （2）因为的定义域为， 且， 所以图象为中心对称图形，且对称中心为. （3）因为当且仅当成立， 结合（2）所得对称中心，知为的一个解， 即，可得，关于点对称， 根据对称性可知：原题意等价于在内恒成立， 即为在上恒成立， 设，则，得在上恒成立， 设，可知在上恒成立， 则， 因为，则，可得， 当，， 故恒成立，可知在上为增函数，则，符合题意； 当，当时，， 可知在内单调递减，故，不合题意； 综上所述：b的取值范围为. 【变式7-2】（2025·四川攀枝花·一模）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当时，恒成立，求实数a的取值范围； (3)设m，n是两个不相等的正数，且，证明：. 【解析】（1）的定义域为 由，解得 所以当及时，，故在上单调递减； 当时，，故在上单调递增 （2）法一：由题知不等式在上恒成立， 等价于不等式在上恒成立 设， 则，解得， 当，，单调递减，当，，单调递增， 所以在上有最小值 ①当时，因为，所以不等式恒成立： ②当时，因为，而，此时不满足恒成立； 综上所述， 法二：由题知不等式在上恒成立， 等价于不等式在上恒成立 即在上恒成立． 设，则，解得， 当，，单调递减，当，，单调递增， 所以在上有最小值． 因为，所以，即 ①当时，因为，所以不等式恒成立； ②当时，因为，而，此时不满足恒成立； 综上所述， （3）证明：要证，只需证： 由，只需证： 不妨设，则有：； 两边取指数得，化简得 设，则 由（1）得在上单调递减，在上单调递增（如图所示）， 要使且， 则，即，从而． 要证，只需证： 由于在上单调递增，只需证：， 又，只需证： 只需证：． 设，则 设，则在上单调递增． 所以，从而 所以在上单调递减，从而，则， 所以 题型八：几何法 【例8】（2025·高三·天津南开·期末）已知函数． Ⅰ讨论的单调性； Ⅱ若对恒成立，求实数a的取值范围； Ⅲ当时，设为自然对数的底若正实数满足，证明： 【解析】Ⅰ函数的定义域为, 当时,,函数在上单调递增； 当时,令解得,令解得,故此时函数在上单调递增,在上单调递减； Ⅱ对恒成立,即为对任意的,都有, 设,则,令,则, 在上单调递减,且, 当时,单调递增； 当单调递减, , 实数a的取值范围为． Ⅲ证明：当时,,不妨设, 下先证：存在,使得, 构造函数,显然,且, 则由导数的几何意义可知,存在,使得,即存在,使得, 又为增函数, ,即, 设,则, , , 由得,, 即 【变式8-1】（2025·湖北·二模）已知函数有零点，当取最小值时，的值为 ． 【答案】 【解析】设的零点为，则，即， 设为直线上的一点， 坐标原点到直线的距离为，因为到原点的距离， 下求的最小值，令，则 在为减函数，在为增函数，即， 此时，所以的斜率为， 此时的最小值为，此时， （此时）． 故答案为： 【变式8-2】已知函数在区间上有零点，则的最小值为 . 【答案】 【解析】设为在上的一个零点，则， 所以在直线上， 又，为坐标原点， 易知， 令，则， 当时，，所以，单调递增， 所以，即的最小值为. 故答案为：. 题型九：放缩法 【例9】（2025·安徽·二模）已知函数，其中是自然对数的底数. (1)设曲线与轴正半轴相交于点，曲线在点处的切线为，求证：曲线上的点都不在直线的上方； (2)若关于的方程（为正实数）有两个不等实根，求证：. 【解析】（1）证明：由题意可得：， ， 可得曲线在点处的切线为. 令， ， 当时，，当时， ∴函数在上单调递减，在上单调递增， 曲线上的点都不在直线的上方. （2）证明：由（1）可得， 解得， 当时，，当时，， 所以在上递增，在上递减， 所以的最大值为， ， 曲线在点处的切线为， 由（1）得， 令， ，， ∴由零点的存在性定理知， 同理可得曲线在点处的切线为， 设与的交点的横坐标分别为 则， . 下面证明：. ， ，且， . 【变式9-1】已知函数，是的极值点． (1)求的值； (2)设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线为直线．求证：曲线上的点都不在直线的上方； (3)若关于的方程有两个不等实根，，求证：． 【解析】（1）；由题意知，，； （2）证明：设曲线在，处切线为直线； 令； ； ； 在上单调递增，在，上单调递减； ； ，即，即上的点都不在直线的上方； （3）由（2）设方程的解为； 则有，解得； 由题意知，； 令，； ； 在上单调递增； ； 的图象不在的下方； 与交点的横坐标为； 则有，即； ； 关于的函数在上单调递增； ． 【变式9-2】已知函数 曲线在原点处的切线为 . (1)证明：曲线与轴正半轴有交点； (2)设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线为直线，求证：曲线上的点都不在直线的上方 ； (3)若关于的方程（为正实数）有不等实根求证： 【解析】（1）∵， ∴， 由已知得 ，解得 ∴， 令,可得；令,可得， ∴在 上单调递增，在上单调递减， 又，， ∴存在 使得 ． ∴曲线与轴正半轴有交点． （2）由（1）可得曲线在点处的切线： ， 令， ， 则， 又, 故当 时，，单调递增， 当 时，，单调递减， 所以对任意实数都有， 即对任意实数都有， 故曲线上的点都不在直线的上方． （3）由（1）知， 所以为减函数. 设方程的根为， 由（2）可知， 所以. 记，则 当 时， 单调递增， 当 时，，单调递减， 所以对任意的实数，都有 ， 即. 设方程的根 ， 则 ， 所以. 于是 令， 又，则， 所以 在上为增函数， 又 所以 ， 所以 【专题训练】 1．已知函数，，若，其中，的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】已知函数，，，故，即，故和是方程的二根. ，时，时， 即在上递减，在上递增，又时， 只有一根，故=，则，而 故，设，，则，得 时，时， 即在上递增，在上递减， 时，取得最大值为，故的最大值为. 故选：B. 2．（2025·全国·模拟预测）已知函数，，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解析】由题可知，当时，不等式恒成立， 设，则在上是增函数， 则在上恒成立，即在上恒成立． 令，则， 当时，，单调递减，当时，，单调递增． 所以，所以． 故答案为：． 3．已知函数，，若，，则的最大值为 【答案】/ 【解析】依题意，，， 由函数，求导得，当时，，递减， 当时，，递增，又当时，，时，， 作出函数的图象，如图： 观察图象知，当时，有唯一解，而，于是，且， 因此，设，，求导得， 令解得，当时，，当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减，， 所以的最大值为， 故答案为： 4．已知函数，，若，且，则的最大值为 ． 【答案】/ 【解析】，时，，单调递增， 又，，所以， 又，所以， 由，有，即， 又，，在上单调递增，所以， 即，所以， 令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以，即，， 所以的最大值为. 故答案为：. 5．（2025·高三·山西朔州·期中）已知函数， ． （1）求曲线在处的切线方程；   （2）讨论函数的极小值； （3）若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）求出在处的导数即得切线的斜率；求出切点坐标，根据点斜式方程求得切线方程；（2）讨论导函数的零点与定义域的关系得到其单调性，找出极小值点，求得极小值；（3）对任意的，总存在，使得成立，等价于在上的最小值大于在上的最小值，分别求出的最小值和的最小值，得到的范围. 试题解析：（1）因为， 所以，即切线的斜率为． 又，则切点坐标为， 故曲线在处的切线方程为， 即． （2）， ，又的定义域， ∴当时，令，或， 令，， ∴在上单调递增，在上单调递减，在单调递增， ∴的极小值为， 当时，， 综上，． （3）对任意的，总存在， 使得成立，等价于在上的最小值大于在上的最小值， 当时，， 在上递减，， 由（2）知，在上递增， ， ∴，即，又， ∴． 考点：导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、极值和不等式的有解与恒成立问题. 6．（2025·高三·河南·期中）已知函数，，. (1)讨论函数的单调性； (2)若，，使得成立，求实数a的取值范围. 【解析】（1）的定义域为， 因为，所以. 由可得，， ①当时，，当时，，单调递减； 当时，，单调递增；当时，，单调递减； ②当时，，在上恒成立，所以在上单调递减； ③当时，，当时，，单调递减； 当时，，单调递增；当时，，单调递减. 综上所述：①当时，在上单调递增，在，上单调递减； ②当时，在上单调递减； ③当时，在上单调递增，在，上单调递减. （2）因为，使得成立，所以 因为，所以当时，由可得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以. 由（1）可得当时，的单调递增区间为，的单调递减区间为， 所以在上，， 所以，即. 令，，则，所以在上单调递增. 又因为，所以，即． 所以实数a的取值范围为 7．已知函数（其中），（其中为自然对数的底数）. （1）若曲线在处的切线与直线垂直，求的单调区间和极值； （2）若对任意，总存在使得成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）函数的定义域为，， 在处的切线斜率为，由，∴， ∴，，令，得，当时，，单调递减；当时，，单调递增.从而的单调递减区间为，单调递增区间为，当时，有极小值，没有极大值； （2）由，，当时，，单调递增，故有最小值， 因为对任意，总存在使得， 即成立，所以对任意，都有， 即， 也即成立，从而对任意，都有成立， 构造函数 ，则，令，得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，∴的最大值为，∴，综上，实数的取值范围为. 8．设函数. (1)若，求在处的切线方程 (2)若，，求的取值范围 (3)若对任意的，恒成立，求的取值范围. 【解析】（1）若，则， 可得， 即切点坐标为，斜率， 所以切线方程为，即. （2）若，，即，， 原题意等价于， 构建，则， 当时，；当时，； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则， 可得，所以的取值范围为. （3）因为，，整理得， 构建，可知在内单调递减， 则在内恒成立， 整理得在内恒成立， 对于可知：当时，取得最小值， 可得，所以的取值范围为. 9．（2025·高三·河北邢台·期末）已知函数． (1)若在上单调递增，求实数的取值范围； (2)若有两个极值点分别为，（），当时，证明：． 【解析】（1）得（），即（） 设（），则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增 所以， 所以，此时，在上单调递增 故的取值范围是． （2）因为有两个极值点，， 即方程有两个不同的实数根， 则，， 设，令（），即， ，联立，得， 解得，， 要证即证， 即 即（*） 令， 求导化简可得 由，可知，即，所以函数在上递增． 得到，即（*）式成立，所以原不等式成立． 10．设a，b为实数，且，函数. (1)若，讨论函数的单调性； (2)若对任意，函数有两个不同的零点，求a的取值范围； (3)当时，对任意，函数有两个不同的零点，证明：. （注：是自然对数的底数） 【解析】（1）因为，， 所以，， ①若，则，所以在上单调递增； ②若， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减. 综上， 时，在上单调递增； 时，在上单调递增，在上单调递减. （2）有2个不同零点有2个不同解， 等价于有2个不同的解， 令，则，， 记，， 记，， 所以定义域上单调递增，又， 所以时，，时，， 则在单调递减，单调递增， ∴，故， ∵， ∴， ∴. 即实数的取值范围是. （3）[方法一]【最优解】： ，有2个不同零点，则， 故函数的零点一定为正数. 由于函数有2个不同零点，， ， 由（2）知函数在区间上单调递减， 在区间上单调递增， 故，又由知， ， 要证，只需， 且关于的函数在上单调递增， 所以只需证， 只需证， 只需证， ∵，只需证在时为正， 由于，故函数单调递增， 又，故在时为正， 从而题中的不等式得证. [方法二]：分析+放缩法 ，有2个不同零点，， ，由得（其中）. 且，. 要证，只需证， 即证，只需证. 又，所以，即. 所以只需证，而， 所以，又，只需证. 所以， 原命题得证. [方法三]： 若且，则满足且， 由（2）知有两个零点且. 又，故进一步有. 由可得且， 从而. 因为，所以，只需证. 又因为在区间内单调递增， 故只需证，即， 注意时有，故不等式成立. 11．已知函数且. （1）讨论函数的单调性; （2）当时，若函数的图象与轴交于，两点，设线段中点的横坐标为，证明:. 【解析】（1）函数的定义域为， ，解得(舍去)，． 当时，在上恒成立，所以函数单调递增； 当时，在上，函数单调递减，在上，函数单调递增． 综上，时，函数单调递增； 时，在上单调递减；在上单调递增； （2）由（1）知，，， 令，， 则，当时，恒成立，所以单调递增， 即单调递增； 又，故要证，即证； 设，，且， 由题设条件知，，因此只需证； 由题意，， 两式作差可得，， 即， 即， 下面先证明，即证， 令，， 则显然成立， 所以在上单调递增， 则，所以，即， 所以， 因此， 即，， 即 因此， 所以原命题得证. 12．（2025·高三·上海杨浦·开学考试）若函数在上存在，使得，，则称是上的“双中值函数”，其中称为在上的中值点. (1)判断函数是否是上的“双中值函数”，并说明理由； (2)已知函数，存在，使得，且是上的“双中值函数”， 是在上的中值点. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 【解析】（1）是，理由如下： 根据条件易知， 又，可得， 显然，符合“双中值函数”定义， 即函数是上的“双中值函数”； （2）①因为，所以. 因为是上的“双中值函数”，所以. 由题意可得. 设，则. 当时，，则为减函数，即为减函数； 当时，，则为增函数，即为增函数. 故. 因为，且时，,时，， 所以，所以，即的取值范围为； ②证明：不妨设， 则，，即，． 要证，可证，即证． 设， 则． 设，则， 所以在上单调递增，所以， 所以，则在上单调递减． 因为，所以，即． 因为，所以． 因为，所以． 因为，所以． 由①可知在上单调递增，所以，即得证． 13．（2025·陕西宝鸡·二模）已知函数， (1)当时，求在处的切线方程； (2)若时，恒成立，求的范围； (3)若在内有两个不同零点、，求证：. 【解析】（1）当时，，则， 所以，，. 故切线方程为，即， （2）因为在上恒成立， 进而，即． 令，其中，则， 当时，，则，此时，函数单调递增， 当时，，则，此时，函数单调递减， 当时，，因为，因此， 所以，，故， 因此，实数的取值范围是. （3）因为函数在内有两个不同零点、， 则方程在内有两个根、，即， 由（2）知，当时，函数在单调递增，单调递减． 故，欲证，即证， 由于且函数在单调递减．所以只需证明， 即证，欲证，即证，即， 即证，即证，而该式显然成立， 欲证，即证，且，即证， 即证，即证，即证， 令，只需证， ， 令， 所以，即函数在上单调递增，所以，，故原不等式得证． 14．已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若有两个零点，且，证明：. 【解析】（1）当时，， 曲线在处切线的斜率为， 又切线方程为， 即曲线在处的切线方程为； （2）若有两个零点， 则， 得. ，令，则， 故， 则， ， 令，则， 令，则， 在上单调递增， ， ，则在上单调递增， ， 故. 15．（2025·高三·山东潍坊·期末）已知函数，. (1)求曲线在处的切线方程； (2)若，求的取值范围； (3)若有两个实数解，，证明：. 【解析】（1），，， 所以在处的切线方程为， 即； （2）由可知，，， 即在上恒成立， 设，， 当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增， 所以时，取得最小值，最小值为， 由题意知，即，故的取值范围为； （3）方程有两实数解，， 即有两实数解，不妨设， 由（2）知方程要有两实数解，则，即， 同时，，， ， 则，在单调递减， 欲证，即证，， 等价于，即， 等价于， 整理得①， 令，①式为， 又在单调递增， 故①式等价于，即， 令，， 当时，，在单调递增， 又，，即， 所以，则. 16．已知函数． (1)若函数有两个零点，求的取值范围； (2)设是函数的两个极值点，证明：． 【解析】（1），则， 令，得， 若函数有两个零点，则直线与函数的图象有两个不同的交点． 设，则． 当时，单调递减，当时，单调递增， 因此．当时，，当时，， 作出函数的大致图象与直线，如图所示，要使二者有两个不同交点， 则，故的取值范围为． （2）因为是函数的两个极值点，所以． 由（1）知，不妨设， 要证，即证， 只需证，显然． 由（1）知当时，单调递增，所以只需证， 而，所以即证． 设， 则， 当时，单调递减，所以当时，， 所以当时，，原不等式得证． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$