专项训练06 导数(基础+中档)(解答题篇)-2026届高考三轮冲刺

**基本信息** 聚焦导数基础与中档问题，以6大题型构建知识逻辑链条，通过各地模拟典例强化单调性、极值、恒成立等核心应用，培养数学推理能力与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |导数与三角函数结合|6题|交汇性强，综合导数应用与三角性质|从导数几何意义到函数性质综合| |单调性与极值|8题|含参数讨论，切线方程与单调区间分析|导数工具性的基础应用| |恒成立与有解问题|8题|参数范围求解，不等式恒成立转化|函数最值与不等式的逻辑关联| |取值范围与最值|9题|最值求解与参数范围综合|导数求最值的深化应用| |零点的问题|4题|零点个数判断与参数关系|函数图像与导数应用的结合| |证明类问题|7题|不等式证明，极值点应用|逻辑推理与数学表达的综合|

专题06 导数(基础+中档) 题型1：导数与三角函数结合的问题 题型2：单调性与极值 题型3：恒成立与有解问题 题型4：取值范围与最值问题 题型5：零点的问题 题型6：证明类问题 题型1：导数与三角函数结合的问题 1．（2026·湖南怀化·二模）已知函数． (1)设． ①求曲线在点处的切线方程； ②求在上的最小值． (2)若在上单调递减，求的取值范围． 【答案】(1)①；②． (2)． 【分析】（1）①求导，确定切线斜率即可求解，②通过二次求导，确定函数单调性，即可求解； （2）通过二次求导，结合，讨论，即可. 【详解】（1）当时，，． ①因为，， 所以曲线在点处的切线方程为． ②令，则． 当时，，，且两个等号不能同时成立， 所以，在上单调递减． 又，，所以存在，使得． 当时，；当时，． 在上单调递增，在上单调递减． 又，，， 所以在上的最小值为． （2）． 令，则， ． 若，即，则存在，使得当时，， 所以在上单调递增． 因为，所以当时，，即在上单调递增，不符合题意． 若，即，则当时，，，两个等号不能同时成立， 所以当时，． 当时，，， 所以，在上单调递减． 因为，所以当时，， 所以当时，，在上单调递减，符合题意． 综上，的取值范围为． 2．（2026·上海黄浦·二模）已知． (1)求函数的最小正周期与单调增区间； (2)将函数的图象上的所有点沿向量平移，得到的图象．若同时满足：①图象关于点对称；②有且仅有个极大值点在区间上．求的取值范围． 【答案】(1)最小正周期为，单调增区间为 (2) 【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，利用正弦型函数的周期公式和正弦型函数的单调性可求得答案； （2）利用三角函数图象变换可得出函数的解析式，根据函数满足条件①以及的范围可得出的值，再根据函数满足条件②可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】（1）因为， 所以函数的最小正周期为， 由，可得， 所以函数的单调增区间为． （2）由（1）知， 将函数的图象上的所有点沿向量平移，得到的图象， 所以， 由的图象关于点对称，可得， 所以，解得， 又，可知，故， 当时，， 由②知，解得， 故的取值范围是． 3．（2026·上海松江·模拟预测）已知函数的表达式为. (1)若将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像关于直线对称，求的最小值； (2)若函数在区间上恰有2个极值点和2个零点，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用辅助角公式，结合平移变换和三角函数的对称性即可求解； （2）利用相位整体思想，分析正弦函数的极值点和零点情况，即可确定动区间的范围，从而可求得参数范围. 【详解】（1）由， 当函数右移个单位得，则 ， 由关于对称，可得： ， 整理得：，又，取得最小正数， 即的最小值为； （2）由（1）可得：， 当，令， 再由的零点满足：或，， 不妨取，可得两个正数零点是或，依次增大的第三个正数零点是， 再由的极值点满足：，， 同理可得两个正数极值点是，依次增大的第三个正数极值点是， 所以函数在区间上恰有2个极值点和2个零点， 即满足在内取到，，，，不能取到和， 则， 即所求实数m的取值范围. 4．（2026·辽宁辽阳·二模）已知． (1)讨论在的单调性； (2)求的值域． 【答案】(1)在、上单调递减，在上单调递增 (2) 【分析】（1）借助导数结合三角函数降幂公式计算即可得； （2）计算可得为的周期，则在上的值域与在上的值域相同，结合（1）中所得单调性计算即可得解. 【详解】（1）， 由，则恒成立， 令，且，解得或， 则当时，，当时，， 故在、上单调递减，在上单调递增； （2）， 故为的周期，则在上的值域与在上的值域相同， 由（1）知，在、上单调递减，在上单调递增， 又， ， ， 故的值域为. 5．（2026·河北保定·二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， (1)求的值; (2)证明: . 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用正弦定理、余弦定理化简已知等式，结合正弦型函数的性质进行求解即可； （2）根据（1）的结论，结合二倍角的正余弦公式，利用换元法、构造函数法、导数的性质进行求解证明即可. 【详解】（1） ， 因为，所以， 所以由，或， 由， 由，显然不成立， 所以； （2）由（1）可知：， 所以，因为， 所以， ， 由，设，， 设， 则，令， 因为，所以解得， 当时，函数，所以函数在上单调递增， 当时，函数，所以函数在上单调递减， 因为，所以函数在时，值域为， 即当时，， 于是当时，. 6．（2026·四川凉山·二模）在中，角的对边分别为，已知. (1)求证：； (2)若. ①求； ②证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②证明见解析 【分析】（1）利用正弦定理将边化为角后，利用两角差的正弦公式计算即可得； （2）①借助同角三角函数基本关系与二倍角公式计算可得、、，再利用三角形内角和与两角和的正弦公式计算即可得；②令，利用三角恒等变换公式可得，构造函数，利用导数研究其单调性，最后由零点的存在性定理计算即可得. 【详解】（1）由正弦定理可得， 即有， 则或， 若，则； 若，则，舍去； 故； （2）①由，则， 由，则， 由，则，解得，， 故 ； ②令，由，则，， 则 ， 令，则，令， 则，故在上单调递减， 又， ， 由零点存在性定理可得，即. 题型2：单调性与极值 7．（2026·江苏·二模）已知函数，曲线在点处的切线方程为（为自然对数的底数）. (1)求的极值； (2)证明：. 【答案】(1)极小值为0，无极大值. (2)证明见解析 【分析】（1）通过求导判断函数的单调性从而找到极值； （2）通过求导得到切线方程，构建辅助函数，根据辅助函数的单调性来判断函数的极值，进而对不等式进行证明. 【详解】（1），求导可得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以的极小值为，无极大值. （2）因为，，所以在点处的切线方程为，即，所以， 设，求导可得， 设，求导可得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以的极大值为，即，在上单调递减， 因为， 所以当时，，， 当时，，， 综上所述，. 8．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有极小值，且，求a的取值范围. 【答案】(1) (2)当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增 (3) 【分析】（1）先对函数求导得到导函数表达式，代入已知条件确定参数后，算出处的导数值即切线斜率，再求出对应的函数值即切点坐标，最后用点斜式列出切线方程并整理成一般式即可. （2）先把导函数通分并因式分解，结合定义域，按参数的正负分类讨论；时判断导函数在定义域内恒正，直接得出函数单调递增；时以为分界点，分别判断区间内导函数正负，进而得到函数的递减、递增区间，最后汇总两种情况的单调结论. （3）先借助第二问单调性确定时函数在处取极小值也是最小值，代入求出最小值表达式；由恒成立转化为最小值大于等于0，化简不等式后构造新函数；通过求导判断新函数单调递减，结合特殊点，利用单调性分析出使不等式成立的的取值区间. 【详解】（1）当时，，所以 所以切线方程为即， （2）， 若，可得时，，所以在上单调递增； 若时，当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3）由（2）可知当时，有极小值，极小值为， 此时极小值也是最小值，由，可得，， 又，所以 令，求导得， 所以在上单调递减，又， 当时，，当时，， 所以时，，此时满足， 所以a的取值范围 9．（2026·湖北武汉·二模）已知函数，其中. (1)当时， （ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （ⅱ）求函数的单调区间； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ）在上单调递减，在上单调递增. (2). 【分析】（1）（ⅰ）根据导数的几何意义求切线方程； （ⅱ）根据导数的正负求函数的单调区间； （2）首先确定，再根据导数求函数的最小值，根据最小值，结合极值点化简不等式，求和的取值范围. 【详解】（1）当时，，. （ⅰ）因，，所以切线方程为. （ⅱ）由得，由得， 所以在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，，不满足题意. 所以，此时. 显然是上的增函数，且时，，时，， 所以存在唯一正实数使得，即. 此时在上单调递减，在上单调递增. 由题意. 将代入上式整理得：，解得：. 此时，代入后. 化简得：，解得：. 令，其中. 则，所以是区间上的增函数. 所以，代入得到的取值范围是. 10．（2026·四川宜宾·三模）已知函数. (1)当时，求函数的最小值； (2)若函数存在极小值点，且，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值； （2）依题意可得，即可得到，再由得到关于的方程，结合函数的单调性，求出，即可得解. 【详解】（1）当时，定义域为， 又， 因为在上单调递增，而在上单调递减， 所以在上单调递增， 又，所以当时，，在上单调递减， 当时，，在单调递增， 所以是的极小值点，也是最小值点， 所以. （2）函数的定义域为， 又， 因为是的极小值点，所以，即，化简得：. 又因为，代入得：，将代入得：，即， 设，则，令得， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得最小值，， 又因为当时，当时，， 故有唯一解为，代入得. 11．（2026·辽宁沈阳·三模）已知函数，其中e为自然对数的底数， (1)当时，求在处的切线； (2)若为实数，，求的最小值； (3)已知，且在单调递增，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)最小值为1 (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义求解； （2）利用导数确定单调性后可得最小值； （3），.注意，令，求出，分类讨论：时，由的单调性得出（）不可能恒成立，时，证明（）恒成立，从而可得参数范围． 【详解】（1）∵，∴， ∴，， ∴切线方程为， 整理得； （2）∵，令，，则， ∴，∴时，，时，， ∴在单调递减，在单调递增，∴的最小值为，即的最小值为1； （3）当时， ∵，∴， 令，则， 依题意，，，. 若，即时，使得时， 所以即在单调递减，∴时，不合题意， ∴，即，下面证明时符合题意. ∵，，，∴当时， 即在单调递增，∴，， 综上，实数a的取值范围为． 12．（2026·福建宁德·模拟预测）已知函数． (1)已知曲线在处的切线方程为，求和的值； (2)求证：不是函数的极值点； (3)设，，是否存在，使得函数的最小值为2？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2)证明见详解 (3)存在， 【分析】（1）根据导数即可求解； （2）根据、两种情况分析即可证明； （3）根据、、三种情况分析的导数，并据此求出最值，并根据题干求出对应a的值，判断是否符合情况即可． 【详解】（1），由题意， 解得，，解得． （2），且， ①当时，，令，求导得， 时，，单调递减；时，，单调递增； 故在处取得最小值，即恒成立， 因此不是极值点； ②当时，，不可能是极值点； 综上，不是函数的极值点． （3），，求导， ①，此时恒成立，在上单调递减， 最小值在处，即， 令，得，与矛盾，舍去； ②，即，此时在上为负，单调递减； 在上为正，单调递增， 最小值在处，即， 令，得，满足，成立； ③，即此时在上恒成立，单调递减， 最小值在处，即， 令，得，与矛盾，舍去； 综上，存在，使得在上的最小值为2． 13．（2026·河北·二模）已知函数． (1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的方程； (2)讨论的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可； （2）分，和三种情况讨论导数的正负即可求解. 【详解】（1）， 则． 因为， 所以，得． 又， 所以的方程为，即． （2）． 当时，，则在上单调递增． 当时，令，得或，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减． 当时，令，得或，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减． 14．（2026·江西南昌·二模）已知函数． (1)当时，求在上的最大值； (2)讨论在R上的单调递增区间． 【答案】(1) (2)当时，的单调递增区间为；当时，单调递增区间为；当时，无增区间． 【分析】（1）根据导数与最值的关系求解即可. （2）根据导数与单调性的关系，结合的范围分情况讨论即可. 【详解】（1）当时，，， 所以，， 令，即 ，解得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以当时，取得极大值，即最大值，为 所以当时，在上的最大值为． （2）， 当时，令，则，即的单调递增区间为； 当时，令，则，即的单调递增区间为； 当时，，此时在R单调递减，无增区间． 综上，当时，的单调递增区间为； 当时，单调递增区间为；当时，无增区间． 题型3：恒成立与有解问题 15．（2026·四川泸州·模拟预测）已知函数，其中． (1)当时，求函数的极小值； (2)当时，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，分析函数单调性和极值点，进而求出函数的极小值； （2）先转化不等式，构造函数并求导，分析函数单调性及极值点，进而求出的取值范围． 【详解】（1）当时，函数，求导得： ， 令，解得或， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 是极小值点，代入函数得． （2）恒成立， ，不等式化为， 整理得，，问题转化为， 令，则， ，令分子为0，化简得 ，整理得， ，，故，解得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 在处取得最大值：， 当时，，时， 且对所有，成立； 当时，处，不满足条件， 的取值范围为． 16．（2026·江西·三模）已知函数. (1)设. （i）求曲线在点处的切线方程； （ii）求的单调区间. (2)若恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)（i）；（ii）的单调递增区间为；单调递减区间为. (2) 【分析】（1）（i）利用导数的几何意义求切线方程即可；（ii）令、即可求解； （2）（方法一）根据题意得，再令，利用导数求出的最值即可求解；（方法二）设，求导，得到，再解不等式即可． 【详解】（1）函数，定义域为， 若，则， （i）， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （ii）令，得，所以的单调递增区间为； 令，得，所以的单调递减区间为. （2）（方法一）若恒成立，则，即恒成立. 设，则， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 所以， 则，即，所以的取值范围为. （方法二）设， 则. 令，得， 令，得， 则， 得． 17．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)若函数在定义域内单调递减，并且对任意正数都有，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）利用导数分析单调性可得； （2）结合（1）的结果，转化问题为，再构造函数，求导后分离常数再结合换元法和基本不等式可得. 【详解】（1）， ①当时，恒成立，故在上递增； ②当时，在上递增，在上递减； ③当时，在上递减． （2）因为在定义域内单调递减，所以． 不妨设，那么有， 于是不等式等价于，， 设，则，即在上递减， 故对恒成立，也即对恒成立， 令，则，故， 当且仅当时取等号，则， 所以实数的取值范围为. 18．（2026·安徽安庆·二模）设. (1)解不等式; (2)设，若存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因，则， 故， 即，解得， 故原不等式的解集为. （2）因， 由，可得为奇函数. 又，因，，则 故在上单调递增. 故存在使得等价于存在使得， 等价于存在使得， 即存在使得， 因，， 则当时，取得最小值，故得. 故实数的取值范围是. 19．（2026·广西贵港·三模）已知函数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)当时，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）求导后，分与进行讨论，当时，结合函数单调性可得该此时恒成立，符合题意；当时，可利用导数研究函数单调性从而可得，可通过构造函数证明，即可得不符合题意. 【详解】（1）当时，，则， 则，又， 故函数在处的切线方程为，即； （2），， 若，，则在上单调递增， 故，符合题意； 若，则当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 则， 令，则， 由单调递减，则， 故在上单调递减，故， 即，不符合题意； 综上可得：. 20．（2026·江西宜春·模拟预测）已知函数的图象在处的切线过点． (1)求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用函数导数求函数在某点处切线方程，切线过其它点建立方程求解即可. （2）根据题意将不等式问题等价出恒成立问题，构造新函数，结合函数导数与函数单调性求最值（极值）对参数进行分类讨论即可求解. 【详解】（1）由， 所以函数在处的切点为：， 又， 所以， 所以函数在点处的切线方程为：， 将点代入切线方程中得：，解得：. （2）由（1）得：， 所以对恒成立， 即在上恒成立， 即在上恒成立， 令，因为，所以，且， 将代入中化简得： 在上恒成立， 令， 由， 令， 则，因为，所以， 即在上单调递减， 所以， 当时，， 所以在上单调递减， 所以，满足题意， 当时，存在使得，且时，， 此时在上单调递增，所以，不满足题意. 综上实数的取值范围为 21．（2026·广西南宁·二模）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若方程在上有解，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求的切线方程； （2）由可得，令，其中，则实数的取值范围为函数在上的值域，利用导数求解即可. 【详解】（1）当时，，则， 所以，， 当时，曲线在点处的切线方程为， 即. （2）当时，由可得， 令，其中，则， 令，则， 当时，，即函数在上为减函数， 当时，，即函数在上为增函数， 当时，，即， 故函数在上为增函数， 当时，， 故函数在上的值域为， 故实数的取值范围为. 22．（2026·山东青岛·一模）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若存在，，，使得，求的最大值. 【答案】(1)当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增. (2) 【分析】（1）求导，分和，根据导函数的符号判断函数的单调性. （2）先根据函数的单调性得，，设，，求导，分析函数的单调性，求函数的最大值即可. 【详解】（1）由题得，. 若，则在上恒成立，所以在上单调递减； 若，当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）由（1）得，若存在，，使得， 则必有，由. 所以等价于， 即，化简得：. 设，，则， 所以在上单调递减，所以， 此时，. 所以当，时等号成立，所以的最大值为. 题型4：取值范围与最值问题 23．（2026·福建·二模）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】利用导数的几何意义、导数的应用等基础知识求解即可. 【详解】（1）函数的定义域为，． 当时，因为，所以， 又，所以曲线在点处的切线方程为， 即． （2）解法一：(i)当时，，在单调递增，此时存在，使， 不符合题意，舍去； (ii)当时，显然成立； (iii)当时，令，得，令，得； 所以在单调递减，在单调递增． 所以，解得． 综上所述，的取值范围为． 解法二：由已知，得． (i)当时，可得．因为，所以，又因为时，， 所以； (ii)当时，恒成立，所以； (iii)当时，可得． 令，， 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以，所以． 综上所述，的取值范围为． 24．（2026·江西·模拟预测）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若存在最小值，且最小值小于2，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）先求出导数，再对参数范围分类讨论，最后得到单调区间即可. （2）结合题意确定，再得到，构造函数并求导得到单调性，结合求解参数范围即可. 【详解】（1）由题意得的定义域为， 由，可得， 若，则在上恒成立， 则的单调递增区间为，无单调递减区间. 若，则当时，，当时，， 则的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）由（1）可知，若存在最小值，则， 且的最小值为， 则，可得，即. 令，则. 因为恒成立， 所以恒成立，则在上单调递增. 又，令，解得，即， 故的取值范围为. 25．（2026·山东泰安·二模）已知. (1)当时，求关于的函数在处的切线方程； (2)当时，在上的解集非空，求的取值范围； (3)若对于任意的，都有成立，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将代入，利用导数的几何意义求解即可； （2）将问题转化为，使得成立，设，利用导数求出其最大值即可； （3）由题意可得恒成立，即恒成立，其中，设，利用导数求出其最大值即可. 【详解】（1）当时，， ，， ， 在处的切线方程为； （2）当时，. 在上的解集非空， 等价于，使得成立， 设， 则， 单调递减，， . （3）恒成立，恒成立， 令，则，恒成立， 设， 则，显然，单调递减， ，∴在上，单调递增， 在上，单调递减， ， ，即的最小值为. 26．（2026·陕西榆林·三模）已知函数 (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：在上恒成立； (3)已知，若存在极大值M，且，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，再代入切点即可得到切线方程； （2）将不等式恒成立问题转为函数最值问题，再通过导数分析单调性得到最值； （3）对分类讨论存在极大值的情况，求出极大值关于的表达式，分析其单调性得到的范围. 【详解】（1）因为，则， 所以，又， 所以曲线在点处的切线方程为， （2）设，， 则， 令，则， 所以在上单调递减， 又，所以在上恒成立， 所以在上单调递减， 又，所以在上恒成立， 所以在上恒成立. （3）因为，所以，， 当时，，，在上单调递增，无极值； 当时，由，得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以当时，有极大值M，且， 所以，即， 设，因为，故有， ，的判别式，所以， 从而在上单调递增，所以根据可得， 的取值范围为. 27．（2026·陕西安康·三模）已知函数，且． (1)求的值； (2)若． （i）求在上的最大值和最小值； （ii）若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)（i）最大值为，最小值为；（ii）． 【分析】（1）求导，由，即可求解； （2）（i）由（1）得到，再求导，确定函数单调区间，即可求解；（ii）将问题转换成所以，进而可求解. 【详解】（1）因为， 所以，       则， 所以． （2）（i）由（1）得， 则，       因为，令，得； 令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减，       ，又， 所以在[0,3]上的最大值为，最小值为．       （ii）因为， ， 所以，       由（i）可知在上的最大值为， 由，       所以， 所以实数的取值范围为． 28．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求的单调区间； (3)若不等式恒成立，求的最大值. 【答案】(1) (2)单调递增区间为，单调递减区间为 (3) 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，再由点斜式方程求解即得； （2）通过导函数的符号判断函数的单调性即可； （3）依题将问题转化为不等式恒成立问题，设，利用求导得出该函数的最大值为，解对数不等式即可求得参数的范围. 【详解】（1）当时，，则， 得.又， 故曲线在点处的切线方程为，即. （2）当时，，得， 令，得或（舍去）， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 即的单调递增区间为，单调递减区间为. （3）恒成立，即恒成立， 即恒成立. 令，则， 当时，则，函数在上单调递增， 因为，不符合题意； 当时，由，得，则函数在上单调递增， 由，得，则函数在上单调递减， 故的最大值为， 由和，解得. 综上可得，的最大值为. 29．（2026·山东德州·模拟预测）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)关于的方程有三个实根，，，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对函数求导，求出切线斜率和切点坐标，进而求得切线方程. （2）先对函数进行分段讨论，然后结合方程有三个实根，分析函数与的关系，结合韦达定理和判别式求得范围. 【详解】（1）当时，，所以. 对上述函数求导得，所以. 所以曲线在点处的切线方程为： ，即. （2）当时，；当时，，在上单调递增. 因为方程①有三个实根，，，且， 不妨设. 若，则，此时方程①任意三个实数解之和必大于0，不合题意； 若，当时，方程①可整理为②至多两个负数解， 当时，方程①即为③至多一个非负解， 所以方程②有两个不同的负实数解，且，. 因为方程③有非负解，由可知. 由，得， 又，所以. 方程②变为，由判别式， 并结合，可知. 经检验，此时为负数，符合题意， 综上，实数的取值范围是. 30．（2026·安徽合肥·二模）设函数. (1)证明：曲线在点处的切线过定点，并求出该定点坐标； (2)若有两个零点，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）借助导数几何意义计算可得曲线在点处的切线方程，再求出该切线所过定点即可得； （2）求导后分及讨论该函数单调性，结合零点存在性定理可得不符， 时需满足，解出即可得. 【详解】（1）因为，， 所以，又， 所以曲线在点处的切线方程为：， 即，即， 所以曲线在点处的切线过定点； （2），， 当时，，则在上单调递减， 此时最多有一个零点，不满足题意； 当时，令，解得，令，解得， 于是在上单调递减，在上单调递增， 所以， 当时，，当时，， 又因为有两个零点， 所以，即， 解得或， 因此，的取值范围为. 31．（2026·山东临沂·一模）已知函数． (1)求的单调区间； (2)已知在上有且仅有两个零点，求a的取值范围. 【答案】(1)当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. (2) 【分析】（1）求导后讨论的取值，从而判断导函数的正负，确定单调区间. （2）根据（1）的结论，以及零点存在定理确定不等式，进而求解的取值范围. 【详解】（1）已知，其定义域为.求导​. 当时，因为，所以，即.所以在上单调递增. 当时，令，即，因为，所以，解得. 当​时，，则，所以在上单调递增； 当​时，，则，所以在上单调递减. 综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）由（1）可知，当时，在上单调递增，所以在上至多有一个零点，不符合题意. 所以，此时在上单调递增，在上单调递减. 要使在上有且仅有两个零点，当趋近于时，趋近于, 所以根据零点存在定理， 则需满足， ，解得. ，化简得，解得. 又因可得. 综上，的取值范围是. 题型5：零点的问题 32．（2026·山西晋城·模拟预测）已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)令，求函数在上的零点个数． 【答案】(1) (2)个 【分析】（1）当时，求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）由可得，令，则函数的零点个数即为直线与函数的图象的公共点的个数，利用导数分析函数的单调性，即可得出结论. 【详解】（1）当时，，则，所以，， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）由题意可得，， 令可得， 令，则函数的零点个数即为直线与函数的图象的公共点的个数， ， 令，其中， 则， 令，则， 由可得，由可得， 所以函数在处取得极大值，也是最大值， 所以，所以，即恒成立， 所以函数在上单调递减，且， 故当时，，所以，则函数在上单调递减， 当时，；当时，. 所以直线与函数的图象有且只有一个公共点， 故函数在上只有一个零点. 33．（2026·四川眉山·二模）已知函数，（其中），其导函数为． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，求实数的取值范围，并探究函数的零点个数． 【答案】(1) (2)的取值范围为； 当时，在定义域内无零点； 当时，在定义域内存在唯一零点； 当时，在定义域内存在两个零点. 【分析】（1）分别求出切点坐标和切线斜率，写出切线方程即得； （2）对函数求导，根据参数进行分类讨论导函数的正负，得出函数的单调区间，分，和三种情况讨论函数的零点个数即可. 【详解】（1）当时，，，故，. 从而所求切线经过点且斜率为，故曲线在点处的切线方程为； （2）由于， 故， 函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以是的极大值点，即，且在左侧，右侧， ①当时，有，， 从而当或时；当时. 故函数在和上单调递增，在上单调递减，不符合条件 ②当时，，从而对和均有， 故在和上单调递增，从而在上单调递增，不符合条件 ③当时，有，， 从而当或时；当时. 故函数在和上单调递增，在上单调递减，不符合条件 ④当时，对任意都有， 从而当时；当时， 故函数在上单调递增，在上单调递减，符合条件。 综上，的取值范围为 所以， 当，即时，在定义域内无零点； 当，即时，在处取得零点，且是唯一零点； 当，即时， 由于，， 根据零点存在性定理可得在存在唯一零点； 由于，根据零点存在性定理可得在存在唯一零点； 所以时，存在两个零点； 综上，当时，在定义域内无零点； 当时，在定义域内存在唯一零点； 当时，在定义域内存在两个零点. 34．（2026·安徽淮北·二模）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若方程有两个不同的根，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导数，利用导数的几何意义即可求解； （2）利用导数研究函数的单调性，结合零点存在定理即可求解. 【详解】（1）当时，函数， 函数的导函数， 所以，， 所以曲线在点处的切线方程是，即. （2）函数的导函数， 当时，，单调递增，方程至多有一个实根，不符合题意舍去； 当时，令，解得， 当时，单调递增； 当时，单调递减； 时，；时，. 要使方程有两个不同的根则, 即， 所以，即， 令， 故在上单调递增，又， 所以时，. 综上：的取值范围是. 35．（2026·贵州·模拟预测）已知函数的导函数为． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若方程有两个根，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，即可代入求解斜率，进而根据点斜式求解直线方程， （2）将问题转化为直线与函数图象的交点个数为2，即可构造函数，利用导数判断函数的单调性，进而求解最值得解. 【详解】（1）因为，所以 因为， 所以所求切线方程为，即． （2）因为， 所以的根即直线与函数图象的交点的横坐标. 令，则.由，得, 当， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以. 因为，且当时，，当, 所以的取值范围是 题型6：证明类问题 36．（2026·四川资阳·三模）已知函数在处有极大值． (1)求实数的值； (2)证明：． 【答案】(1) (2)证明见详解 【分析】（1）对进行求导，令求出实数的值，再验证即可； （2）要证，令只需要证明函数的最大值小于1即可. 【详解】（1）求导得， 又在处有极大值，，解得或， 当时，， 时，；时，，故为极大值点，符合题意， 当时，， 时，；时，，故为极小值点，不符合题意， 综上，实数的值为. （2）由（1）得， 要证，即证对成立， 令则， 令，解得或， 令，解得或， 所以函数在和上单调递增，在和上单调递减， 所以函数的极大值为和, 且，, 即对所有成立，成立. 37．（2026·山东德州·二模）已知函数. (1)求在上的最大值； (2)证明：. 【答案】(1)0 (2)证明见解析 【分析】（1）先根据导数的符号判断函数的单调性，从而可求在上的最大值； （2）根据（1）中结果可得，根据这个不等式可证题设中的不等式. 【详解】（1）由已知，， 因为，， 所以恒成立， 所以在单调递增，所以， 所以在最大值为0. （2）由（1）知，即. 令，其中，则， 所以 . 38．（2026·河北沧州·模拟预测）已知函数. (1)证明：； (2)证明：存在唯一极值点； (3)记（2）中的极值点为，证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）先通过得，令函数，求导判断单调性求出的最值即可得证； （2）先判断在和 时的单调性，再设，求导结合零点存在性定理即可分析求证； （3）利用极值点为得到，再证出，继而，最后利用（1）中的结论即可得证. 【详解】（1）易得，此时. 设函数，， 则时，，单调递减， 时，，单调递增. 于是，故原不等式成立. （2），定义域为R， 显然当时，； 当时，. 当时，设，则， 因为，所以， 故， 所以即在区间上单调递增，而， 所以存在使得， 所以当时，当时， 所以存在唯一极值点. （3）注意到， ， 又，故，故 在（1）中已证明，故，因此，故原不等式得证. 39．（2026·山西吕梁·三模）已知函数. (1)设是的极值点，求，并求函数的单调区间； (2)证明：. 【答案】(1)，单调递减区间为，单调递增区间为． (2)证明见解析. 【分析】（1）根据，即可求出值，再求出单调区间即可； （2）法一：求导后，再利用隐零点法即可证明不等式；法二：利用不等式进行合理放缩即可. 【详解】（1），， 由，得， 此时，令，则， 所以在上单调递增， 又，所以时，时，， 即的单调递减区间为，单调递增区间为． （2）法一：，令， 则，即在上单调递增， 当时，，当时，， 所以，使得，即， 所以， 当时，时，， 所以， 当且仅当时取等．故得证． 法二：先证， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，上单调递增， 故，即证得（当时取等）， 将替换为，得，即（当时取等）， 所以（当且，即时，等号成立）. 故得证． 40．（2026·河南南阳·二模）已知函数. (1)若，求在处的切线方程； (2)若，证明不等式在上恒成立. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）当时，要证不等式成立，即证对任意的恒成立，构造函数，其中，利用导数分析该函数在上的单调性，结合即可证得结论成立. 【详解】（1）当时，，则，，则， 此时函数在处的切线方程为. （2）当时，，要证对任意的恒成立， 即证，即证，即证对任意的恒成立， 构造函数，其中， ，其中，令，则， 对任意的，恒成立，故函数在上单调递增， 当时，，故函数在上单调递增， 当时，，故原不等式得证. 41．（2026·江苏·二模）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若曲线经过点，且在处的切线为．证明：除切点外，曲线在直线的下方． 【答案】(1)①当时，，则在上单调递增; ②当时，在上单调递增，在上单调递减. (2)证明见解析 【分析】第1问将讨论函数单调性问题，转化为讨论导函数的正负问题即可，第2问将要证明曲线在直线的下方，转化为函数不等式问题即可， 【详解】（1）（1）因为的定义域为， 的导函数. ①当时，，则在上单调递增. ②当时，令，得； 令，得； 所以，在上单调递增，在上单调递减. （2）（2）因为曲线经过点 所以，解得． 所以． 因为，所以的方程为. 要证除切点外，曲线在直线的下方， 即证：， 只需证：. 设，则， 令，得；令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以. 所以当时，， 所以原命题得证. 42．（2026·广东·一模）设函数，已知是函数的极值点． (1)求的值； (2)设函数，证明：． 【答案】(1)1 (2)证明见解析 【分析】（1）由极值点处导数为0即可求解出参数，代回检验得解； （2）由（1）得，要证，即证，即证，构造函数，利用导数证明. 【详解】（1）因为，所以， 则， 因为是函数的极值点， 所以，解得， 当时，，， 当时，，则，，故， 所以函数在上单调递增； 当时，，则，，故， 所以函数在上单调递减； 综上，是函数的极值点，符合题意，故. （2）由（1）得，所以， 由（1）可知，是函数的最小值点，所以对任意的，， 要证，即证， 即证，只需证， 令，则， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以， 综上，在上恒成立. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 导数(基础+中档) 题型1：导数与三角函数结合的问题 题型2：单调性与极值 题型3：恒成立与有解问题 题型4：取值范围与最值问题 题型5：零点的问题 题型6：证明类问题 题型1：导数与三角函数结合的问题 1．（2026·湖南怀化·二模）已知函数． (1)设． ①求曲线在点处的切线方程； ②求在上的最小值． (2)若在上单调递减，求的取值范围． 2．（2026·上海黄浦·二模）已知． (1)求函数的最小正周期与单调增区间； (2)将函数的图象上的所有点沿向量平移，得到的图象．若同时满足：①图象关于点对称；②有且仅有个极大值点在区间上．求的取值范围． 3．（2026·上海松江·模拟预测）已知函数的表达式为. (1)若将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像关于直线对称，求的最小值； (2)若函数在区间上恰有2个极值点和2个零点，求实数m的取值范围. 4．（2026·辽宁辽阳·二模）已知． (1)讨论在的单调性； (2)求的值域． 5．（2026·河北保定·二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c， (1)求的值; (2)证明: . 6．（2026·四川凉山·二模）在中，角的对边分别为，已知. (1)求证：； (2)若. ①求； ②证明：. 题型2：单调性与极值 7．（2026·江苏·二模）已知函数，曲线在点处的切线方程为（为自然对数的底数）. (1)求的极值； (2)证明：. 8．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有极小值，且，求a的取值范围. 9．（2026·湖北武汉·二模）已知函数，其中. (1)当时， （ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （ⅱ）求函数的单调区间； (2)若，求的取值范围. 10．（2026·四川宜宾·三模）已知函数. (1)当时，求函数的最小值； (2)若函数存在极小值点，且，求的值. 11．（2026·辽宁沈阳·三模）已知函数，其中e为自然对数的底数， (1)当时，求在处的切线； (2)若为实数，，求的最小值； (3)已知，且在单调递增，求实数的取值范围. 12．（2026·福建宁德·模拟预测）已知函数． (1)已知曲线在处的切线方程为，求和的值； (2)求证：不是函数的极值点； (3)设，，是否存在，使得函数的最小值为2？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 13．（2026·河北·二模）已知函数． (1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的方程； (2)讨论的单调性． 14．（2026·江西南昌·二模）已知函数． (1)当时，求在上的最大值； (2)讨论在R上的单调递增区间． 题型3：恒成立与有解问题 15．（2026·四川泸州·模拟预测）已知函数，其中． (1)当时，求函数的极小值； (2)当时，恒成立，求的取值范围． 16．（2026·江西·三模）已知函数. (1)设. （i）求曲线在点处的切线方程； （ii）求的单调区间. (2)若恒成立，求的取值范围. 17．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)若函数在定义域内单调递减，并且对任意正数都有，求实数的取值范围． 18．（2026·安徽安庆·二模）设. (1)解不等式; (2)设，若存在，使得，求实数的取值范围. 19．（2026·广西贵港·三模）已知函数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)当时，恒成立，求的取值范围． 20．（2026·江西宜春·模拟预测）已知函数的图象在处的切线过点． (1)求； (2)若，求实数的取值范围． 21．（2026·广西南宁·二模）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若方程在上有解，求的取值范围． 22．（2026·山东青岛·一模）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若存在，，，使得，求的最大值. 题型4：取值范围与最值问题 23．（2026·福建·二模）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，求的取值范围． 24．（2026·江西·模拟预测）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若存在最小值，且最小值小于2，求的取值范围. 25．（2026·山东泰安·二模）已知. (1)当时，求关于的函数在处的切线方程； (2)当时，在上的解集非空，求的取值范围； (3)若对于任意的，都有成立，求的最小值. 26．（2026·陕西榆林·三模）已知函数 (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：在上恒成立； (3)已知，若存在极大值M，且，求实数a的取值范围． 27．（2026·陕西安康·三模）已知函数，且． (1)求的值； (2)若． （i）求在上的最大值和最小值； （ii）若，求实数的取值范围． 28．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求的单调区间； (3)若不等式恒成立，求的最大值. 29．（2026·山东德州·模拟预测）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)关于的方程有三个实根，，，且，求的取值范围． 30．（2026·安徽合肥·二模）设函数. (1)证明：曲线在点处的切线过定点，并求出该定点坐标； (2)若有两个零点，求的取值范围. 31．（2026·山东临沂·一模）已知函数． (1)求的单调区间； (2)已知在上有且仅有两个零点，求a的取值范围. 题型5：零点的问题 32．（2026·山西晋城·模拟预测）已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)令，求函数在上的零点个数． 33．（2026·四川眉山·二模）已知函数，（其中），其导函数为． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，求实数的取值范围，并探究函数的零点个数． 34．（2026·安徽淮北·二模）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若方程有两个不同的根，求的取值范围. 35．（2026·贵州·模拟预测）已知函数的导函数为． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若方程有两个根，求的取值范围. 题型6：证明类问题 36．（2026·四川资阳·三模）已知函数在处有极大值． (1)求实数的值； (2)证明：． 37．（2026·山东德州·二模）已知函数. (1)求在上的最大值； (2)证明：. 38．（2026·河北沧州·模拟预测）已知函数. (1)证明：； (2)证明：存在唯一极值点； (3)记（2）中的极值点为，证明：. 39．（2026·山西吕梁·三模）已知函数. (1)设是的极值点，求，并求函数的单调区间； (2)证明：. 40．（2026·河南南阳·二模）已知函数. (1)若，求在处的切线方程； (2)若，证明不等式在上恒成立. 41．（2026·江苏·二模）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若曲线经过点，且在处的切线为．证明：除切点外，曲线在直线的下方． 42．（2026·广东·一模）设函数，已知是函数的极值点． (1)求的值； (2)设函数，证明：． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $