微专题06 主元法处理最值与不等式问题（4大题型）-2025年新高考数学微专题全力突破

微专题06 主元法处理最值与不等式问题 【题型归纳目录】 题型一：利用主元法求最值与范围问题 题型二：利用主元法证明单变量不等式 题型三：利用主元法证明双变量不等式 题型四：利用主元法处理恒成立问题 【知识点梳理】 主元法是处理多元最值与不等式问题的核心策略，其核心在于选定某一变量为主元，将问题转化为单变量函数分析。具体步骤如下： 1、确定主元：根据问题结构，选择对目标表达式影响显著或约束条件明确的变量作为主元（如分式中分母变量、对称式中的对称变量）。 2、构造函数：将其他变量视为参数，将原式整理为关于主元的函数形式，明确定义域。 3、分析性质：利用导数研究函数单调性、极值，或通过配方法、基本不等式（如AM-GM）直接求解最值。 主元法通过降维简化复杂问题，尤其适用于含参数的不等式证明及条件极值求解。灵活选择主元可大幅降低计算量，但需注意主元选择对问题转化难度的影响，需结合具体结构动态调整策略。 【典型例题】 题型一：利用主元法求最值与范围问题 【例1】设角A，B，C分别是的三个内角，则的最大值（    ） A．等于 B．等于 C．等于 D．不存在 【变式1-1】设是一个三角形的三个内角，则的最小值为 . 【变式1-2】（2025·高三·辽宁丹东·期中）设、、是一个三角形的三个内角，则当取得最大值时， . 题型二：利用主元法证明单变量不等式 【例2】已知函数.（其中常数，是自然对数的底数.） （1）讨论函数的单调性； （2）证明：对任意的，当时，. 【变式2-1】（2025·高三·北京·期末）已知函数. （1）设是的极值点，求，并求的单调区间； （2）证明：当时，； （3）请写出函数的零点个数（结论不需证明）. 【变式2-2】已知函数，． （1）设，是的极值点，求函数的单调区间； （2）证明：当时，． 题型三：利用主元法证明双变量不等式 【例3】设函数． (1)求图象上点处的切线方程； (2)若在时恒成立，求a的取值范围； (3)若，证明． 【变式3-1】（2025·山西运城·模拟预测）设函数 （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若函数有两个极值点，求实数的取值范围； （3）当时，恒成立，求实数的取值范围. 【变式3-2】（2025·河南商丘·二模）已知函数. （1）如图，设直线将坐标平面分成四个区域（不含边界），若函数的图象恰好位于其中一个区域内，判断其所在的区域并求对应的的取值范围； （2）当时，求证：且，有. 【变式3-3】已知函数. (1)若函数f（x）的最小值为0，求m值； (2)设，证明：. 题型四：利用主元法处理恒成立问题 【例4】（2025·全国·一模）已知函数是定义在上的奇函数，对于任意，，总有且．若对于任意，存在，使成立，则实数的取值范围是（ ） A． B．或 C．或 D．或或 【专题训练】 1． 的取值范围是 ． 2．已知任意，若存在实数b使不等式对任意的恒成立，则b的最小值为 . 3．若a，b为实数，且，，则的取值范围是 . 4．已知函数. (1)若，且是增函数，求a的最小值； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)若当且仅当成立，求b的取值范围. 5．已知函数． (1)若时，，求a的最小值； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)设，若，当且仅当，求b的取值范围． 6．（2025·内蒙古包头·一模）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴所围成三角形的面积； (2)若没有零点，求a的取值范围． 7．设函数. (1)求图象上点处的切线方程为，求； (2)若，证明：； (3)若在时恒成立，求的值. 8．设函数. (1)若，求在处的切线方程 (2)若，，求的取值范围 (3)若对任意的，恒成立，求的取值范围. 9．设函数，函数，其中，（是自然对数的底数）. (1)求函数在处的切线方程； (2)记函数的最小值为. 求证：. 10．已知函数． （1）求的最小值； （2）讨论关于x的方程的解的个数； （3）当a＞0，b＞0时，求证：． 11．已知函数，为的导函数． （Ⅰ）当时， （i）求曲线在点处的切线方程； （ii）求函数的单调区间和极值； （Ⅱ）当时，求证：对任意的，且，有． 12．（2025·高三·上海·期中）已知函数，为的导函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)在第（1）题的条件下，求函数的单调区间和极值； (3)当时，求证；对任意的，且，有． 13．（2025·河南濮阳·一模）已知，函数 （Ⅰ）若函数在上为减函数，求实数的取值范围； （Ⅱ）设正实数，求证：对上的任意两个实数，，总有成立 14．（2025·全国·模拟预测）已知函数. （1）若函数在上为减函数，求实数的取值范围. （2）若正实数，满足，求证对任意两个实数，，总有成立. 15．（2025·全国·模拟预测）已知，函数. （1）若函数在上为减函数，求实数的取值范围； （2）求证：对上的任意两个实数，，总有成立. 16．已知, . (1)求函数的增区间； (2)若函数有两个零点，求实数的取值范围，并说明理由； (3)设正实数，满足，当时，求证：对任意的两个正实数，总有. (参考求导公式： ) 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 微专题06 主元法处理最值与不等式问题 【题型归纳目录】 题型一：利用主元法求最值与范围问题 题型二：利用主元法证明单变量不等式 题型三：利用主元法证明双变量不等式 题型四：利用主元法处理恒成立问题 【知识点梳理】 主元法是处理多元最值与不等式问题的核心策略，其核心在于选定某一变量为主元，将问题转化为单变量函数分析。具体步骤如下： 1、确定主元：根据问题结构，选择对目标表达式影响显著或约束条件明确的变量作为主元（如分式中分母变量、对称式中的对称变量）。 2、构造函数：将其他变量视为参数，将原式整理为关于主元的函数形式，明确定义域。 3、分析性质：利用导数研究函数单调性、极值，或通过配方法、基本不等式（如AM-GM）直接求解最值。 主元法通过降维简化复杂问题，尤其适用于含参数的不等式证明及条件极值求解。灵活选择主元可大幅降低计算量，但需注意主元选择对问题转化难度的影响，需结合具体结构动态调整策略。 【典型例题】 题型一：利用主元法求最值与范围问题 【例1】设角A，B，C分别是的三个内角，则的最大值（    ） A．等于 B．等于 C．等于 D．不存在 【答案】C 【解析】根据题意， ， 等号当时取得． 因此所求的最大值为． 故选：C. 【变式1-1】设是一个三角形的三个内角，则的最小值为 . 【答案】 【解析】 ， 令， 所以， 要想有最小值，显然为钝角，即， 于是有， 设， 因为， 所以 令，即， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 因此当时，函数有最大值， 所以的最小值为， 此时，， 即存在，显然存在，使得， 即的最小值为， 故答案为： 【变式1-2】（2025·高三·辽宁丹东·期中）设、、是一个三角形的三个内角，则当取得最大值时， . 【答案】 【解析】 ， 其中， 所以 ， 记函数，其中， 则， 当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故当时，取得最大值， 即当时，取得最大值. 故答案为：. 题型二：利用主元法证明单变量不等式 【例2】已知函数.（其中常数，是自然对数的底数.） （1）讨论函数的单调性； （2）证明：对任意的，当时，. 【解析】（1）. ①当时，，函数在R上单调递增； ②当时，由解得，由解得. 故在上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，在R上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）证法一：原不等式等价于 令，则. 当时，， 令，则当时，， ∴当时，单调递增，即， ∴当时，；当时，；当时，， ∴ 即，故. 证法二：原不等式等价于. 令，则. 当时，；当时，. ∴，即，当且仅当时等号成立. 当时，显然成立； 当且时，. 欲证对任意的，成立，只需证 思路1：∵，∴不等式可化为， 令，则， 易证当时，， ∴当时，，当时，， ∴函数在上单调递减，在上单调递增， ∴ ∴，即， 从而，对任意的，当时，. 思路2：令，则. ，或 ∴在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减. ∵， ∴，即. 从而，对任意的，当时，. 证法三：原不等式等价于. 令，则. 令，则，其中. ①当时，，在上单调递增. 注意到，故当时，；当时， ∴在上单调递减，在上单调递增. ∴，即. ②当时，. 当时，，单调递减；当时，，单调递增. ②（i）：若，则. ∵ ∴当时，；当时，. 与①同，不等式成立. ②（ii）：若，则， ∵ ∴，使得，且当时，；当时，；当时，. ∴在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. ∵ ∴此时，，即. 综上所述，结论得证 【变式2-1】（2025·高三·北京·期末）已知函数. （1）设是的极值点，求，并求的单调区间； （2）证明：当时，； （3）请写出函数的零点个数（结论不需证明）. 【解析】（1），， 由已知条件可得，解得， 所以，，，则， 所以，函数在上单调递增， 当时，；当时，. 此时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为； （2）构造函数，其中，则. 当时，，此时函数单调递减； 当时，，此时函数单调递增. 所以，，即； 构造函数，其中，则. 当时，，此时函数单调递减； 当时，，此时函数单调递增. 所以，，即， 因此，当时，，则； （3）当或时，函数只有一个零点； 当时，函数有两个零点； 当时，函数无零点. 理由如下：令，可得， 令，其中，则函数的零点个数等于直线与函数图象的交 点个数. ，令，则， 所以，函数在上单调递减，且，列表如下： 单调递增 极大值 单调递减 当时，，作出函数与直线的图象如下图所示： 由图可知，当或时，函数只有一个零点； 当时，函数有两个零点； 当时，函数无零点. 【变式2-2】已知函数，． （1）设，是的极值点，求函数的单调区间； （2）证明：当时，． 【解析】（1）∵，则， ∵是的极值点， ∴．， ∴在上单调递增， 又∵， ∴当时，，当时，， ∴在上单调递减，在上单调递增， （2）要证，即， ∵，则， 故只需证， 令，则在上单调递增，且， ∴时，；时，． ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴，即原命题得证． 【点晴】（1）第一问的关键是判断的正负，一般有两种方法解决：第一是解不等式直接得到，第二是判断单调性，利用特殊值解决，比如； （2）第二问是不等式恒成立问题，一般是构造函数，转化成求函数的最值问题，构造函数时要注意联系第一问. 题型三：利用主元法证明双变量不等式 【例3】设函数． (1)求图象上点处的切线方程； (2)若在时恒成立，求a的取值范围； (3)若，证明． 【解析】（1）由于，故． 所以，所以所求的切线经过，且斜率为1，故其方程为． （2）设，则，从而当时， 当时． 所以在上单调递减，在上单调递增，这就说明，即，且等号成立当且仅当． 设，则． 当时，的取值范围是，所以命题等价于对任意，都有． 一方面，若对任意，都有，则对，有， 取，得，故． 再取，得，所以． 另一方面，若，则对任意都有，满足条件． 综合以上两个方面，知a的取值范围是． （3）先证明一个结构，对，有， 证明：前面已经证明不等式，故， 且， 所以，即． 由，可知当时，当时． 所以在上单调递减，在上单调递增．不妨设，下面分三种情况证明本题结论． 情况一：当时，有，结论成立； 情况二：当时，有． 对任意的，设，则． 由于单调递增，且有， 且当时，由可知． 所以在上存在零点，再结合单调递增，即知时时，． 故在上单调递减，在上单调递增． ①当时，有； ②当时，由于，故可以取． 从而当时，由，可得． 再根据在上单调递减，即知对都有； 综合①②可知对任意，都有，即． 根据和的任意性，取，就得到． 所以． 情况三：当时，根据情况一和情况二的讨论，可得， ． 而根据的单调性，知或． 故一定有成立． 综上，结论成立． 【变式3-1】（2025·山西运城·模拟预测）设函数 （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若函数有两个极值点，求实数的取值范围； （3）当时，恒成立，求实数的取值范围. 【解析】（1）由题意知， 所以在点处的切线斜率， 则切线方程为. （2）定义域：. .有两个极值点. 即有两个零点，即有两个不等实根，， 令，即函数与函数有两个不同的交点 又因为，所以在（0，1）上在（0，1）上单调递增，在上单调递减，. 如图所示： 当时，，函数与函数无交点； 当时，，函数与函数仅有一个交点； 当时，因为当时，，而在（0，1）上单调递增，所以函数与函数至多在（0，1）上有一个交点； 当时，在（0，1）上单调递增，，所以函数与函数在（0，1）上仅有一个交点；在上单调递减，.所以函数与函数在上仅有一个交点；即函数与函数有两个不同的交点 因此. （3）可化为. 设，又. 在上单调递减， 在上恒成立，即. 又在（0，1）上单调递增，在上单调递减. 在处取得最大值.. . 【变式3-2】（2025·河南商丘·二模）已知函数. （1）如图，设直线将坐标平面分成四个区域（不含边界），若函数的图象恰好位于其中一个区域内，判断其所在的区域并求对应的的取值范围； （2）当时，求证：且，有. 【解析】（1）根据定义域确定只能在，区域，再根据确定只能在，转化为不等式恒成立，分离变量得．利用导数求函数单调性，根据单调性确定函数最值，即得的取值范围； （2）作差函数，再利用二次求导确定为单调递减函数，最后根据，得，即得结论. 试题解析：（1）函数的定义域为，且当时，． 又直线恰好通过原点， ∴函数的图象应位于区域Ⅳ内， 于是可得， 即． ∵，∴． 令，则． ∴时，，单调递增； 时，，单调递减． ∴     ∴的取值范围是． （2）∵， 设, 则， 时，，时， ∴， ∴时 为单调递减函数， 不妨设，令（）， 可得， ，∵且单调递减函数， ∴，∴，为单调递减函数， ∴，即． 【变式3-3】已知函数. (1)若函数f（x）的最小值为0，求m值； (2)设，证明：. 【解析】（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=+1. 令f′（x）=0，解得x=. 当0<x<时，f′（x）<0；当x>时，f′（x）>0. 故当x=时，f（x）取得最小值，最小值为 ，得. （2）f′（x）=+1.. 设则 令，得 当0<x<a时，，因此在内为减函数； 当x>a时，，因此F（x）在上为增函数. 从而，当x=a时，有极小值. 即. 设，则 当x>0时，，因此在上为减函数. 即，综上，原不等式得证. 题型四：利用主元法处理恒成立问题 【例4】（2025·全国·一模）已知函数是定义在上的奇函数，对于任意，，总有且．若对于任意，存在，使成立，则实数的取值范围是（ ） A． B．或 C．或 D．或或 【答案】D 【解析】∵f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数， ∴当x1、x2∈[﹣1，1]，且x1+x2≠0时，有0， ∴函数f（x）在[﹣1，1]上单调递增． ∵f（1）＝1， ∴f（x）的最小值为f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣1，最大值为f（1）＝1， 若对于任意a∈[﹣1，1]，存在x∈[﹣1，1]，使f（x）≤t2﹣2at﹣1成立， 即t2﹣2at﹣1≥﹣1对所有a∈[﹣1，1]恒成立， ∴t2﹣2at≥0， 设g（a）＝t2﹣2at＝﹣2ta+t2， 则满足， 即， ∴t≥2或t≤﹣2或t＝0， 故选D． 【专题训练】 1． 的取值范围是 ． 【答案】 【解析】 由，得， 令，则，则， 所以，当且仅当，即时取等号， 且，当且仅当，即时取等号， 所以的取值范围为. 故答案为： 2．已知任意，若存在实数b使不等式对任意的恒成立，则b的最小值为 . 【答案】6 【解析】由题意， 设，，其图象为开口向上，对称轴为的抛物线的一部分， 当，即时，，； 当，即时，，； 若要对于任意，均成立，则即，所以b的最小值为6. 故答案为：6 3．若a，b为实数，且，，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】构造函数，根据其在单调性，得到两边含有的不等式组，结合的范围、基本不等式，应用导数研究的最值，即可求的范围.设， 故上单调减， ∴， 令，则， 即在上单调减，在上单调增， 有， 令，则， 即在上单调减，在上单调增， 而，，所以， 综上，有 故答案为：. 4．已知函数. (1)若，且是增函数，求a的最小值； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)若当且仅当成立，求b的取值范围. 【解析】（1）若时，， 可知的定义域为，且， 若是增函数，即在内恒成立， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 即，则，解得， 所以的最小值为. （2）因为的定义域为， 且， 所以图象为中心对称图形，且对称中心为. （3）因为当且仅当成立， 结合（2）所得对称中心，知为的一个解， 即，可得，关于点对称， 根据对称性可知：原题意等价于在内恒成立， 即为在上恒成立， 设，则，得在上恒成立， 设，可知在上恒成立， 则， 因为，则，可得， 当，， 故恒成立，可知在上为增函数，则，符合题意； 当，当时，， 可知在内单调递减，故，不合题意； 综上所述：b的取值范围为. 5．已知函数． (1)若时，，求a的最小值； (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)设，若，当且仅当，求b的取值范围． 【解析】（1）的定义域为． 当时，． 因为，所以，等号成立当且仅当． 由题意，，所以. 故a的最小值为－1. （2）因为的定义域关于3对称， 且， 所以曲线是中心对称图形，对称中心为点． （3）令函数， 依题意当且仅当时， 所以． 若，因为，所以存在，使，矛盾， 从而，故． ． 若，当时，，从而，在区间单调递减， 当时，，不符合题目要求． 若，当时，．从而，等号成立当且仅当，故在区间单调递增， 当时，符合题目要求． 因此b的取值范围是． 6．（2025·内蒙古包头·一模）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴所围成三角形的面积； (2)若没有零点，求a的取值范围． 【解析】（1）当时，． ， 故曲线在点处的切线方程为， 即． 因为该切线在，轴上的截距分别为和， 所以该切线与两坐标轴所围成的直角三角形的面积． （2）①当时，，则， 由图象可得，当时，；当时，． 所以在上单调递减，在上单调递增， 故为最小值，且． 所以此时存在零点，不符合题意． ②当时，因为， 所以， 令，则， 因为，所以，在上单调递增， 又，由零点存在定理得， 在上有唯一的零点，即，因此有． 当时，，即；当时，，即． 所以在上单调递减，在上单调递增，故为最小值． 由，得，， 所以， 因为，所以，又因为，所以，所以． 所以，此时没有零点． 综上，的取值范围是． 7．设函数. (1)求图象上点处的切线方程为，求； (2)若，证明：； (3)若在时恒成立，求的值. 【解析】（1）由于，故. 故在点处的切线斜率为， 所以图象上点处的切线方程为：， 化简得到：，又，所以， 所以. （2）先证明一个结论：对，有. 证明：设，则， 从而当时，当时. 所以在上递减，在上递增，这就说明， 即，且等号成立当且仅当. 故， 所以，即. 由，可知当时，当时. 所以在上递减，在上递增. 不妨设，当时，，，， 结合有， 也即， 结论成立； （3）设，则， 从而当时，当时. 所以在上递减，在上递增， 这就说明，即，且等号成立当且仅当. 设，则 . 当时，的取值范围是， 所以命题等价于对任意，都有. 一方面，若对任意，都有，则对有 ， 取，得，故. 再取，得，所以. 另一方面，若，则对任意都有，满足条件. 综合以上两个方面，知的值是2. 8．设函数. (1)若，求在处的切线方程 (2)若，，求的取值范围 (3)若对任意的，恒成立，求的取值范围. 【解析】（1）若，则， 可得， 即切点坐标为，斜率， 所以切线方程为，即. （2）若，，即，， 原题意等价于， 构建，则， 当时，；当时，； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则， 可得，所以的取值范围为. （3）因为，，整理得， 构建，可知在内单调递减， 则在内恒成立， 整理得在内恒成立， 对于可知：当时，取得最小值， 可得，所以的取值范围为. 9．设函数，函数，其中，（是自然对数的底数）. (1)求函数在处的切线方程； (2)记函数的最小值为. 求证：. 【解析】（1）函数的定义域为，且   由 知 故所求的切线方程为 （2） 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以 即 下面证明 要证： 只需证： 即    令，构造 所以 所以函数在是增函数 ，故证得 10．已知函数． （1）求的最小值； （2）讨论关于x的方程的解的个数； （3）当a＞0，b＞0时，求证：． 【解析】（1）的定义域为， ，令，解得，当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以，在最小值是． （2）当，单调递减且的取值范围是； 当时，单调递增且的取值范围是 下面讨论的解； 所以，当时，原方程无解； 当时，原方程有唯一解； 当时，原方程有两解 （3）原不等式可化为， 设函数， 则， 令，则，∴，∴， 解得：， 令，解得：0＜x ∴函数在上单调递减，在上单调递增， ∴在上的最小值为 ∴当时，总有， 即：， 令，则有：． 11．已知函数，为的导函数． （Ⅰ）当时， （i）求曲线在点处的切线方程； （ii）求函数的单调区间和极值； （Ⅱ）当时，求证：对任意的，且，有． 【解析】(Ⅰ) (i) 当k=6时，，.可得，， 所以曲线在点处的切线方程为，即. (ii) 依题意，. 从而可得， 整理可得：， 令，解得. 当x变化时，的变化情况如下表： 单调递减 极小值 单调递增 所以，函数g(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，+∞)； g(x)的极小值为g(1)=1，无极大值. （Ⅱ）证明：由，得. 对任意的，且，令，则 .        ① 令. 当x>1时，， 由此可得在单调递增，所以当t>1时，，即. 因为，，， 所以 .        ② 由(Ⅰ)(ii)可知，当时，，即， 故         ③ 由①②③可得. 所以，当时，任意的，且，有 . 12．（2025·高三·上海·期中）已知函数，为的导函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)在第（1）题的条件下，求函数的单调区间和极值； (3)当时，求证；对任意的，且，有． 【解析】（1）当时，，故， ，，切点为， 曲线在点处的切线方程为，即； （2），， ， 令，解得， 当，，当，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 是极小值点，极小值为，无极大值； 故函数的单调减区间为，单调增区间为，极小值为，无极大值； （3）证明：由，得， 对任意的，且，令， 则 ①， 令，， 当时，， 在单调递增， 当时，，即， ，，， ， 即②， 由（2）可知，当时，，即， 故③， 由①②③可得， 当时，任意的，且，有. 13．（2025·河南濮阳·一模）已知，函数 （Ⅰ）若函数在上为减函数，求实数的取值范围； （Ⅱ）设正实数，求证：对上的任意两个实数，，总有成立 【解析】（Ⅰ）由题意知： 函数在上为减函数，即在上恒成立 即：在上恒成立 设 当时，单调递减，单调递增 在上单调递增         即的取值范围为： （Ⅱ）设，令：， 则 ，令，则 在上为减函数     ，即 在上是减函数    ，即 时， 14．（2025·全国·模拟预测）已知函数. （1）若函数在上为减函数，求实数的取值范围. （2）若正实数，满足，求证对任意两个实数，，总有成立. 【解析】(1)由题意知：， ∵函数在上为减函数，即在上恒成立. 即在上恒成立.设， 当时，单调递减，单调递增，∴在上单调递增. ∴，即实数的取值范围为. (2)证明：不妨设，令，， 则， ∴. ∵， ∴. ∵，令，则. ∴在上为减函数。 ∴. ∴，即， ∴在上是减函数， ∴，即. ∴， ∴时，. ∵， ∴. 15．（2025·全国·模拟预测）已知，函数. （1）若函数在上为减函数，求实数的取值范围； （2）求证：对上的任意两个实数，，总有成立. 【解析】（1）∵ ∴，且函数在上为减函数，即在上恒成立， ∴在上恒成立.设， ∵函数在上单调递增，∴， ∴，∴实数的取值范围为. （2）不妨设，，， 则， ∴. ∵，∴， 又，令，∴， ∴在上为减函数，∴， ∴，即， ∴在上是减函数，∴，即， ∴， ∴当时，. ∵，∴. 16．已知, . (1)求函数的增区间； (2)若函数有两个零点，求实数的取值范围，并说明理由； (3)设正实数，满足，当时，求证：对任意的两个正实数，总有. (参考求导公式： ) 【解析】（1）由已知，令， 当时， ，函数的增区间为； 若 ，令， 函数的增区间为； 综合以上：当时，函数的增区间；若增区间为 （2）由（1）知：若函数在上为增函数，函数至多有一个零点，不合题意． 若 当， ，函数在上为减函数， 当 ，函数在上为增函数， 要使得函数有两个零点，则 下证明：当 时，函数有两个零点. 方法1：，而，所以在存在唯一零点； 又 令，，所以在上递增， 所以 ，所以在上也存在唯一零点； 综上： 时，函数有两个零点． 方法2：(先证： 有) ，而 ，所以在也存在唯一零点； 综上： 时函数有两个零点． （3）证明：不妨设，以为变量 令， 则 令，则 因为，所以；即在定义域内递增． 又因为且， 所以即， 所以；又因为，所以 所以在单调递增；因为，所以 即． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$