数学（6）-2025年高考数学冲刺押题试卷

2025届高三高考考前冲刺押题卷（六）·数学参考答案 1.选DU={x∈Nx≤4}={0,1,2,3,4}，令x+1=2得 √17.过B1作B1M⊥BC1于点M,因为AB⊥平面 x=1,令x+1=3得x=2,令x+1=4得x=3,故B= BCCB1,B1MC平面BCC1B1,所以AB⊥B1M.因为 {1,2,3},A∩B={2,3,4}1,2,3}={2,37,所以Cu(A AB,BC1C平面ABC1,所以BM⊥平面ABC1.所以 ∩B)={0,1,4.故选D. 2造A“-片8鹄-2号+号… 2 B,M为B到平面ABC的距离，共值为1X4=4 1+4平7 3-i(3-i)(3+i)10 在复平面内对应的点为（信，），位于第一豪限。故 =4点E考AB,的中点：所以点E到平百ABC 选A. 3.选C由于a⊥(3b-2a),则a·(3b-2a)=0,即a·3b 的矩高为好×1=2所以V脱，=号×m 17 =2a2=2a2,可得a·b=号a2,则b在a方向上的授 ×2巴=号故这C 17 影向量为9治·a=号a.故选C 2 9.选ABC 根据题意可得x=4,y= 4.选A令x=1,得a0十a1十u2十a3十a1十a5=3,又a5= 22+3.8+5.5+6.5+7=5,所以样本中心点为(4， C3(-1)5=-1,所以a0十a1十a2十a3十a4=3-(-1)= 5).对于A,由表中数据可得y随着x增大而增大，x与 4.故选A. y正相关，所以样本相关系数r>0,故A正确：对于B, 5.选D作出f(x)的图象如图所 y 将样本中心，点(4,5)代入经验回归方程y=1.23.x十a, y=f(x) 示，f(x1)=f(x2)=f(x3),不 可得a=0.08,故B正确：对于C,维修费用从小到大依 妨设x1<x2<x3,f(3)=一3， x<0时，f(x)=3x+4=-3→ 次为2.2.3.8,5.5,6.5,7，第60百分位数为5.5十6.5 2 2= 子则由因泉可知一子< =6,故C正确：对于D,根据回归分析的概念，机床投入 生产的时间为10年时，当年所需要支出的雏修费用大 10+有=6，所以号< 概是12.38万元，故D错误.故选ABC. 10.选ABD对于A,当a=-1时，f（x)=(x+1)2(x-2) 十x2十xg<6,故选D =x3-3.x-2,因为f(-x)=(-x)3-3(-x)-2 6.选B由题意可知三角形的周长为12，则c=12-(a十b)! 一x3十3x-2,所以f(x)十f(-x)=-4,所以f(x)的 4,S= √/6X(6-a)(6-b)X2 图象关于点(0，一2)对称，故A正确：对于B,当a=0 /1236-6(a+b)十abJ=√12(ab-12),因为a+b=8, 时，fx)=x3-2x2,则f(x)=3x2-4.x,令f(x)=0, 所以≤（生学）-16，当且仅当a=6=1时等号成主， 可得x=0或x= ,列表如下： 4 所以ab的最大值为16，所以三角形面积的最大值Smx (-0∞，0) 0 =√12X(16-12)=4√3.故选B. 3 7.选B依题意，f(x)=sin(-子)门当x∈ '(x) 0 f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增 []时(-)∈[0.]由f(x)在区 所以函数x)在(-©，0)上单调道增，(0，号)上单调 子]上拾有5个零点，得4<2<5，解得6<u< 递减，（台，十∞）上单调递增，所以 y=f() 受故选B f(x)越大值=f(0)=0,f(x)极小位 8.选C如图，取AB1与A1B的交点 f(告)=器又周为0sn1<1,r 为E,取BD中点G,连接A,G,交 32 AC1于点F,则三棱锥EBFC1即 如图所示.由图可知直线y=一sin1 为四面体ABBC1与四面体 与函数f(x)的图象有三个交点，即 A1C1BD的公共部分.因为S△AC a=0时，方程f(x)+sin1=0有3 =号×AB X BC=7×3× 个实根，故B正确：对于C,f(x)=2(x一a)(x一2)十(x T西=3平又能-治=安所以a脚 a)=3-a(a-告)当a=2时fx)=3 2 2)2≥0，此时函数f(x)在R上单调递增，故C错误；对 号5A版，所以SaC-号Sa慨=号×3里 于D,当a=2时，函数f(x)在R上单调递增，此时f(x) 2 <f(x十1)恒成立，故D正确.故选ABD. 11.选ABD将(0,0)代入可得（一1）3-7sin20+7c0s20=!14.解析：因为C1共5项，在f变换下，每个项都变为3 6→一1-0十7=6，故曲线C过原点O,A正确：设曲线 个项， 上任意一点P(x,y),则P(xy)关于y=x的对称点为 所以Cm的项数是首项为5，公比为3的等比数列，所以 P'(y,x),则(y2+x2-1)3-7sin2y+7c0s2x=(y2+x2 Cw的项数为5·3”-1 -1)3-7(1-cos2y)+7(1-sin2x)=(y2+x2-1)3- 根据变换规则，若数列的各项中，2与0的个数相同，则 7sin2x+7cos2y=6,故P'(y,x)在曲线上，B正确：若 曲线C上存在一，点P(x,y),根据C方程可知（一x, 与之相邻的下一个数列中2与0的个数也相同： 一y),(x,一y),(一x,y)均在曲线上，故曲线关于坐标 若2比0多n个，则与之相邻的下一个数列中2比0的 轴以及原点均对称，若曲线C上存在一点P(x,y),使得！ 个数少n个： 1OP=1,则x2+y2=1,根据对称性不妨设x≥0，y≥ 若2比0少个，则与之相邻的下一个数列中2比0的 0,将其代入曲线方程可得7c0s2y一7sin2r=6,所以 个数多n个， 71-sim2y）-7sin2x=6>sin2x+sin2y=7,由于 因为C1中有5项，其中2个2,3个0,2比0少1个， 所以C2的15项中，2比0的个数多1个. ≥0y≥0，则存在角0e[0,受]使得x=cos0,y= 以此类推，若为奇数，则数列的各项中2比0少1个， sin0,x+y=cos0+sin=/2sin(0+千)∈[1，W.0< 若为偶数，则数列的各项中2比0多1个， 所以数列C2m中2比0多1个，所以Sm=(5·32m-1 cas<os十<os1Kcos子=号，所以simr+ 1)+2=5·32w-1+1. 答案：5·3-15·32w-1十1 sin2 y 1- cos 2.r+cos 2y =1 2 一15.解：(1)证明：取DG的中点 cos[(r+y)+(r-y)]+cos[(x+y)-(z-y)]=1 H,连接NH,MH, 2 因为M是CF中点，N为EG cos(x十y)cos(.x-y)≥1-cos(x+y)≥1-cos1>1- 中点，DC∥FG, cm子-1号这与mr十ry不后故不 所以VH∥DE,MH∥CD, 存在一点P,使得|OP|=1,C错误：(x2+y2一1)3=6+ 因为DEC平面CDE,NH过 7sin2x-7cos2 y=6+7sin2 r-7(1-sin y)=7(sin2r 平面CDE, +sin2y)-1≤14-1，故(x2+y2-1)3≤13，故x2+y2 所以NH∥平面CDE, 2分 -1≤313，x2+y2≤3/3+1<4，故|x|+|y|≤ 同理可得MH∥平面CDE, √2(x2+y)<2瓦<3，故D正确.故选ABD. 又NH∩MH=H,NH,MHC平面MNH, 12.解析：由事件A与事件B相互独立，则事件与事件B 故平面MNH∥平面CDE,3分 相互独立， 又MNC平面MNH, 文P(A)=0.4,P(B)=0.7, 所以MN∥平面CDE. 5分 则P(A∩B)=P(不)P(B)=[1-P(A)]P(B)=(1 (2)因为DG⊥平面ABCD,CD,ADC平面ABCD. 0.4)×0.7=0.42. 所以DG⊥CD,DG⊥AD, 答案：0.42 13解析：如图，以A为原点建系，易 y 又四边形ABCD是边长为3的正方形，AD⊥CD, 知E(0.2,0.2),F(0.8,0.8),连 D 故AD,CD,DG两两垂直， 接EF, 以D为坐标原点，DA,DC,DG所在直线分别为xy,之 不妨设EF中点为M(0.5,0.5), 轴，建立空间直角坐标系， 6分 直线EF中垂线所在直线方程为 因为EG∥AD,EG=AD,DG⊥AD,所以四边形ADGE y-0.5=-(.x-0.5), 为矩形， 化简得y=一x十1，所以园心为(a·一a十1)，半径为a, 其中DC=3FG,DG=2, 且经过E,F点， 即(a-0.2)2+(-a+1-0.2)2=a2,化简得a2-2a+ 则N(202B3,3,0).C0.3,0).F01,2 0.68=0, 设平面NBC的法向量为m=(x,y,),则 解得a=2生28-=1士0.2=1士22 5 m·N3=(e…(层8，-2）=2x+3y-2:=0 钻合题意可得4=1-2巨≈0.34，故圆形通道的网长 5 m·CB=(x,y)·(3,0.0)=3x=0. 为C=2xa≈2.73. 解得x=0.令y=2,则=3，故m=(0,2,3),8分 答案：2.73 设平面FBC的法向量为n=(a,b,c). n·FB=(a,b,c)·(3,2,-2)=3a+2b-2c=0, 则 17.解：(1)函数f(x)=e一a-dlnx的定义域为(0， n·CB=(a.b.c)·(3,0.0)=3a=0. +0∞)， 解得a=0,令b=1.则c=1,故n=(0,1,1),-10分 设平面NBC与平面FBC的夹角为B, f(x)=e-(e-a_a=(x-1)(e-a .2分 则cos0=|cos〈m,n）= m·n m n ①当a≤1时，er-a>0, 1(0,2.3)·(0,1.1)1526 若0<x<1,f(x)<0,f(x)在(0,1)上单调递减， 26 12分1 √/4+9X个+I 若x>1,f(x)>0,f(x)在(1，十o∞)上单调递增，此时 f八x)在x=1处取得极小值，符合题意：3分 所以sind 5√26 26 26 26 ②当a>1时，由f'(x)=0可得x=1或x=na, 当1<a<e时，则由f(x)>0可得0<x<lna或x> 故平面NBC与平面FBC表商的正孩值为四 26 1,由f(x)<0可得lna<x<1, 13分 即f(x)在(0，lna)和(1，十o∞)上单调递增，在(lna,1) 16.解：1)证明：在△ABC中，么=@ 5 cos A=10 上单调递减，此时f(x)在x=1处取得极小位，符合题 10 设a 意： …4分 =5m,b=√10m,m>0, 当a=e时，f)=-De-e,若r>0,fx)≥0 根据余弦定理a2=b2+c2-2 bccos A,得25m2=10m2+ 恒成主，即f(x)在(0，十∞)上恒为增函数，不符合题 -2ex /1omx10 10· 意：… .5分 整理得c2-2mc-15m2=0, 3分 当a>e时，由f(x)>0可得0<x<1或x>lna,由 因为c>0,解得c=5m(负值已舍去)，所以a=c, f(x)<0可得1<x<lna, 5分 即f(x)在(0,1)和(lna,十oo)上单调递增，在(1，lna) 所以△ABC为等腰三角形. 7分 上单调递减，此时f(x)在x=1处取得极大值，不符合 (2)若选择条件①：若B=吾，由1)可知a=c,即A=C 题意， 6分 综上可得实效a的取值范国为（一∞，e).7分 5x 12· -10分 (2)由(1)知，①当a≤1时，f(x)在(0,1)上单调递减，在 (1,十∞)上单调递增， 所以msA=c0s=cos(+）=coscos 剩f(x)在x=1处取得极小值，也是最小值，为f(1)= sinsin吾- -厘≠而 4 10 13分 e一a>0,此时函数f（x）无零点；…9分 ②当1<a<e时，f(x)在(0，lna)和(1，十o∞)上单调遁 所以△ABC不存在 15分 增，在(lna,1)上单调递减， 若选择条件②：在△ABC中，由cosA= 10 故当x=1时，f(x)取得极小值f(1)=e一a>0,当x= 10 sin A- lna时，f(x)取得极大值f(lna)=-aln(lna)>0, V1-cos A=3 10 10 当x→0+时，f(x)→一o∞，故此时函数f（x)在(0，十o∞) 上有一个零，点： 11分 由(1)a=5m,b=10m,m>0, .10分 ③当a=e时，f(x)在(0，十o∞)上恒为增函数，又f(1) 所以S6=besinA=×mX5mX3 10 =0,故此时函数f(x)在(0，十∞)上有一个零点： 2m-吗 12分 21 ④当a>e时，f(x)在(0,1)和(lna,十o∞)上单调递增， 解得m=1(负值已舍去)， 13分 在(1，lna)上单调递减， 即b=√/10. -15分 故当x=1时f(x)有极大值为f(1)=e一a<0,当x 若选择条件③：在△ABC中，由AB边上的高为3，得 lna时，f(.x)有极小值为f(lna)<f(1)=e一a<0, bsin A=3,. -10分 且当x→十∞时，f(x)→十o∞，故此时函数f(x)在(0， 由osA=压→inA=√=c0sA=3 十o∞)上只有一个零点.… 14分 10 101 综上所述，当a≤1时，函数f(x)在(0，十o∞)上没有零 13分： 点，当a>1时，函数f(x)在(0，十∞)上只有一个零，点. 解得b=√10. 15分 -15分 3 18.解：(1)由题意a2=1.b=4,所以2=a2十b=5, .-2分 将长-号代入后化简可得6十-3=0，解得b= 因此，双曲线F的离心率=二=5 4分 土9由6>0，得6 2 16分 (2)证明：由直线1与圆0相切，得 =1,即b2=k2 经检验，此时L与「两支分别有交点， √k2+1 +1>0, 5分 63 为唯一满足条件的实数 17分 x2- y2 19.解：(1)当有3个士兵时，重新站成一排有2种站法： 联立 ”得(b2-k2).x2-2kx-2b=0. 当有4个士兵时，假设先安排甲，有3种站法，若甲站到 y=kx+b. 乙的位置，那就再安排乙，也有3种站法， 即x2-2kb.x-2b2=0, 6分 剩下的两个人都只有1种站法， 孩一元二次方程的判别式△=4k2P+8b=46(k2+2) 由分步乘法计数原理可得有3×3×1×1=9种站法. >0, 4分 因此有两个不相等的实数根，且两根之积为一2b2<0, (2)易知D1=0.D2=1. 5分 因此两根一正一负， -8分 如果有十1个人，解散后都不站原来的住置可以分两 即1与双曲线「的左、右两支各有一个公共点.9分 个步骤. (3)设A(x1,y当)，B(x2,2),C(x8, y 第一步：先让其中一个士兵甲去选位置，有种选法 y).D(x1y4), 第二步：重排其余个人，根据第一步，可以分为两类， 联立 1x2+y2=1, 得(1+2)x2+ 第一类：若甲站到乙的位置上，但乙没有站到甲的位置， ly=kr+b, 这样的站法有Dm种： 2khx+-1=0, 第二类：若甲站到乙的位置上，乙同时站到甲的位置，这 -2kb 十=1+R’ 样的站法有Dm-1种。 得 所以Dn+1=(Dn十Dm-1),1≥2，-7分 b2-1 x1x2一1+k' 又D2-2D=1, 由△1>0可得b-k2<1. -..-..10分} 所以 D+1-(n+1DD=n(D+D-1)-(n+1)D D-nD-1 D-nD-1 2 x2- 联立 1. 得(b2-k2)x2-2khx-2b2=0, -Dn十nD-1=-1. D.-nD-1 9分 y=kx十b, 所以数列{Dn一nDn-1》,n≥2是首项为1，公比为一1的 2kb x3十x4一62-k2 等比数列 .10分 得 -2b2 (3》证明：由题意可知P, D 11分 一短· 2b2-k2>0, 由2)可得D,-0-1=(-1,期片-2 D-1 由△2>0且分别交于左、右两支可得 1b2-k2>0. =-1)” -11分 n！ 又PA·PC=P第·PD,且C,A,B,D四个点在同一直 对进行碱值，依欢得品 D-2_(-1)”-] (n-2)1(n-1)I1 线上， Da-2 D-3(-1)"-2D2D11 P所1·PC=|PB1·PD1→PA= PDI IPBI PCI (n-21(m-31-(1-2Π…·2-7-2T allxl 将以上各式左右分别和如，母片吕-分动+市 2T Ix3T “-,还可得2= 员++ n,由D,=0. TI TA 4+丝=+型.十x=号+星（十2） 哈员动+动+” 13分 n T3TA J1T2 (x3十x)2 12分 即得，鼎-六动+动动+…+=1-1 T3T4 .…15分 2k 1+k2 2b2 化简后可得十2一日 621 11111 2-1 -2b2 当”无穷大时，P。=1-1+一十一十…十 1+ 14分 +…=e1=得运 n! 17分绝密★启用前 2025届高三高考考前冲刺押题卷（六）·数学 [满分150分，用时120分钟] 的 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的学校、姓名、班级、准考证号填写在答题卡上相应的位置。 蜜 2.全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效。 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案用0.5毫米黑色笔 迹签字笔写在答题卡上。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 的 都 参考公式：锥体的体积公式：V=了h(其中s为锥体的底面积，h为锥体的高). 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知集合U={x∈Nx≤4}，集合A={2,3,4},B={xx+1∈A},则C,(A∩B)= A.{1,2 B.{1,4} C.{0,1,2 D.{0,1,4} 2.已知复数= 3则：在复平面内对应的点位于 1+i A.第一象限 B.第二象限 的 C.第三象限 D.第四象限 种 3.已知a.b是两个非零平面向量，a⊥(3b-2a),则b在a方向上的投影向量为 A.a B.za C 4.若(2-x)3+(2-x)1+(2-x)5=a0十a1x十a2x2+a3x3+a4x+a5x5,则a+a1十a2十as十a4= ( A.4 B.3 C.2 D.1 x2-6.x+6,x≥0， 5.设函数f(x) 3.x+4,x<0, 若互不相等的实数x1,x2,x3满足f(x)=f(x2)=f(xg),则x1+ 声 x2+x3的取值范围是 (】 c.(.6] n得) 6.中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角 形的三条边长分别为a,b,c,则三角形的面积S可由公式S=√p(p一a)(p一b)(p一c)求得，其中p为 三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦-秦九韶公式.现有一个三角形的边长满足p=6,a十b=8, 家 则此三角形面积的最大值为 () A.183 B.43 C.83 D.93 7.将函数y=snx图象上所有点的横坐标变为原来的(w>1),纵坐标不变，再将所得图象向右平移零个 单位长度后得到函数f代)的图象，若f代)在区间[]上恰有5个零点，则~的取值范围是 ( A[5,) c(,] n6,] 【名校之约系列2025届高三高考考前冲刺押题卷（六）·数学 第1页（共4页）】 8.若在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=3,BC=1,AA1=4,则四面体ABB1C1与四面体AC1BD 公共部分的体积为 () A音 B.0 c号 D.1 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.某厂近几年陆续购买了几台A型机床，该型机床已投入生产的时间x(单位：年)与当年所需要支出 的维修费用y(单位：万元)有如下统计资料： 2 3 4 5 6 y 2.23.8.5.56.5 7 根据表中的数据可得到经验回归方程为y=1.23x十a,则 A.y与x的样本相关系数r>0 B.a=0.08 C.表中维修费用的第60百分位数为6 D.该型机床已投入生产的时间为10年时，当年所需要支出的维修费用一定是12.38万元 10.设函数f(x)=(x-a)2(x-2)(a∈R),则 A.当a=一1时，f(x)的图象关于点(0，一2)对称 B.当a=0时，方程f(x)十sin1=0有3个实根 C.当a≥2时，a是f(x)的极大值点 D.存在实数a,使得f(x)<f(x+1)恒成立 11.已知曲线C:(x2十y2-1)3-7sin2x+7cos2y=6,下列说法正确的是 A.曲线C过原点O B.曲线C关于y=x对称 C.曲线C上存在一点P,使得OP=1 D.若P(x,y)为曲线C上一点，则|x|+y<3 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知事件A与事件B相互独立，如果P(A)=0.4,P(B)=0.7,则P(A∩B) 13.正方形草地ABCD的边长为1.2，E到AB,AD的距离为0.2，F到BC,CD的距离 D 为0.4，有个圆形通道经过E,F,且经过AD上一点，则圆形通道的周长为 (精确到0.01) 14.已知数列C1:0,2,0,2,0,现按规则f:每个0都变为“2,0,2”，每个2都变为“0,2， 0”对该数列进行变换，得到一个新数列，记数列C+1=f(C),k∈N”,则数列C”A 的项数为 ,设C,的所有项的和为Sm,则S2m三 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分)如图，在多面体ABCDEFG中，四边形ABCD是边长为3的正方形，EG∥AD,DC∥FG,且 EG=AD,DC=3FG,DG⊥平面ABCD,DG=2,N为EG中点. (1)若M是CF中点，求证：MN∥平面CDE: (2)求平面VBC与平面FBC夹角的正弦值. 【名校之约系列2025届高三高考考前冲刺押题卷（六）·数学第2页（共4页）】 5,cos A=10 16.(15分)在△ABC中，b=0 101 (1)求证：△ABC为等腰三角形： (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一，求b的值. 条件①：B=石；条件②：△ABC的面积为5：条件③：AB边上的高为3. 17.(15分)已知函数fx)=-a-alnx. (1)若f(x)在x=1处取得极小值，求实数a的取值范围： (2)讨论f(x)的零点个数. 【名校之约系列2025届高三高考考前冲刺押题卷（六）·数学第3页（共4页）】 18.Q7分)已知圆O:2+y2=1,双曲线D:2兰1，直线：y=x+6,其中k∈R,b>0, (1)当b=2时，求双曲线P的离心率. (2)若1与圆O相切，证明：1与双曲线的左、右两支各有一个公共点， (3)设1与y轴交于点P,与圆O交于点A,B,与双曲线下的左、右两支分别交于点C,D,四个点从 左至右依次为C,A,B,D.当k=号时，是香存在实数6，使得PA·P心=PB·PD成立？若存在，求 出b的值：若不存在，请说明理由。 19.(17分)拿破仑排兵布阵是十分厉害的，有一次他让士兵站成一排，解散以后马上再重新站成一排， 并要求这些士兵不能站在自己原来的位置上 (1)如果只有3个士兵，那么重新站成一排有多少种站法？4个呢？ (2)假设原来有n个土兵，解散以后不能站在自己原来位置上的站法为D,种，写出Dm+1和Dn, D,1(n≥2)之间的递推关系，并证明：数列{D,一nD,-1}(n≥2)是等比数列. (3)假设让站好的一排n个士兵解散后立即随机站成一排，记这些士兵都没有站到原位的概率为 卫，证明：当n无穷大时，几趋近于（参考公式e=1十十员+后+…十片 【名校之约系列2025届高三高考考前冲刺押题卷（六）·数学第4页（共4页）】