数学（4）-2025年高考数学冲刺押题试卷

2025届高三高考考前冲刺押题卷（四）·数学参考答案 1.选D由x2+3.x-10≤0，得-5≤x≤2，即B={x|-5 ≤x≤2}，由A={x∈Z-2<x<5}={-1,0,1,2,3, 国为y3让是双上的增画数y=一异是R上的增 4},所以A∩B={-1,0,1,2}.故选D. 函数，所以g(x)是R上的增函数，则由g(a2)>一g(3a 么，选B因为双曲线C:号一后=1的一条渐近我方程为 -4),可得g(a2)>g(4-3a),即a2>4-3a,整理得a2+ 3a一4>0，解得a>1或a<一4，所以实数a的取值范围 y=-2x,则m>0,且a=2,b=√m,则8=2=2，解： 为(-∞，-4)U(1,+0∞)，故选C. b√m :7,选C过A,B分别作x轴的垂线，垂 得m=2.故选B. 足分别为C,D,过A,D分别作y轴、x cosa=2,得1+lana 3.选D由cosa十ina =2,解得tana=: 轴的垂线相交于点E,连接AB,BE, -1+1 是所以m(e+) ana+ian是 则∠BDE-牙，BD=DE=M.由余弦 1+ 1 3 定理得BE=MP+M-2fcos号=3Mf,由上可知x 故选D. 轴垂直于BD,DE,又BD∩DE=D,BD,DEC平面 4.选B由2a一b=√7，等式两边同时平方得4a2一4a·b+： BDE,所以x轴垂直于平面BDE,又AE∥x轴，所以 :=7,又a=1,ab的夫角为号，所以4X1-4到b1cos5+ AE⊥平面BDE,因为BEC平面BDE,所以AE⊥BE, 1b12=7,即b2-21b1-3=0,解得|b1=3或1b1=-1: 因为f(x)的周期T=2红=6，所以AE=CD=3,由句股 (负值舍去)，所以b=3.故选B. 3 5.选C如图，以点D为原，点建立 D 定理得3M俨+9=15，解得M=√2，由题图知f(x)的图象 空间直角坐标系，A(3,0,0), B(3,3,0),Q(x,y,0),由QA= 过点(o,）,且在单调递减区间内，所以f0)=巨in9 2QB可知√(x-3)2+y2= -号甲如g一号周为0<<点o,9）在单调递浅 2√(x-3)2+(y-3)2,整理为 (x-3)2+(y-4)2=4,所以点 区间内，所以g一子故选C Q的轨迹是平面ABCD内以(3,4， :8,选C对于A,因为a4m-1=1,所以a31=a1×8-1=1,故 0)为圆心，2为半径的圆，如图，点Q A正确：对于B,因为a4m-3=一1，a2m=am,所以a2o24 到平面DD1A的最大值为6，此时 点Q在AB的延长钱线上，且BQ=3, a2×1012=a1012=a2×306=a506=a2×253=4253=44×64-3 所以QA⊥平面DD1A,QA=6,等 =一1，故B正确：对于C,由a4m-3=一1，得a1=as=ag 3巨，所以三 =…=-1,由a4m-1=1,得ag=a7=a11=…=1,由a2n 腰直角三角形D1DA的外接圆的半径为r= 2 =am,得a1=a2=a,=a8=a16=…=一1，而a3=a6=a12 =a21=…=1,所以am≠0，设存在非零常数T,Vn∈ 棱锥QDD:A的外接球的半径R= P+( N,使得am+T=ar,当n=1时，由a1=a1+T=一1，得T √层+=， =1或T=3或T=4等，不是常数，矛盾，所以不存在非 2, 零常数T,nEN·,使得am+r=an,故C错误；对于D, 所以三棱雏外接球的表而积S=4πR2一54x,故选C. 当n=1时，S2=S2=a1+a2=-1+(-1)=-2,当n= 选C由题意得函教fz)=32-十十1+1=3x2+ 2时，S2=S,=a1+a2+a8十a4=-1-1+1-1=-2, 即n=2时，有相邻两项a3,a4的和为零，即有接下来 1,设g)-)-1=r+e,由 22-1=2个项和为零，当n=3时，S2=S8=a1十a2+ag f(a2)+f(3a-4)>2,得g(a2)+g(3a-4)>0,从而： 十a4+as+a6+a7+a8=-1-1+1-1-1+1+1-1 g(a2)>-g(3a-4),又因为g(-x)=3(-x)3+ 一2，即n=3时，有相邻两项a3a1的和与相邻四项a5· 品-(+》- a6,a1,ag的和为零，即有接下来22-1十23-1=6个项和 为零，…，当n=k时，即有接下来22-1十23-1十…十2-1 所以g(x)是R上的奇函数， 21-2-1)=(2-2)个项和为零，所以S=a1+@2 又有0=+品3异1 1-2 er十1 十…十a2=一2十0=一2，故D正确.故选C. 9,选ABD若随机变量X~B(6,),则D(X)=6×:18.解析：曲线x=ny即曲线y=e, 在曲线y=e'上任取一点M(t,e),对函数y=e求导 ×(1-)=号故A正确：若随机变量X~N6,4),则 得y'=e, E(X)=6,故B正确：若随机变量X服从0~1分布，且： 所以曲线y=c在，点M(t,e)处的切线方程为y一e= PX=1)=子则D(X)=号×(1-号)=号：放C错 e(x-t),y=ex+(1-t)e, 又切线过点P(1,b),则b=e十(1-t)e=(2-t)e. 误：由随机变量X满足P(X=)=C吃·C 令f(t)=(2-t)e,则f(t)=(1-t)e, C -,k=0,1,2, 当1<1时，了(1)>0，此时函数f()单调递增， gX-0=房PX=I)49-是PGX-2- 当>1时，(t)<0,此时函数f(t)单调递减， 高所以BCX=0X品+1X是+2X品=号：故DE 所以f(1)max=f1)=e. 由题意知直线y=b与曲线y=f(t)有两个交点，则b< 确.故选ABD. f(t)max-e, 10.选ABD对于A,2=a2+4b2-2ab≥4ab-2ab=2ab, 当t<2时，f(t)>0,当t>2时，f(t)<0,故0<b<e 当且仅当a=2b-√2时等号成立，则ab≤1，A正确：对： 答案：(0，e) 于B,由a2十4b2-2ab=2,得(a+2b)2-6ab=2,ab=:14.解析：因为比赛结束时，两人的得分总和为n,其中两人 a+2b)2-2>0,则4+2b>2,B正确：对于C,(a+ 得分的差的绝对值为2， 6 所以n≥22，且n为偶数， 20=2+ah=2+3a…2≤2+3·().则 所以当n=2k-1,k≥11，k∈N时，P(n)=0, (a+2b)2≤2，当且仅当a=2b=√2时取等号，因此a+: (a+2b)2-2+1 当m=22时Pom=(）》'+(仔）》-18， 26≤2②，C错误：对于D.1+ab 6 当n≥24，且n为偶数时， 'a+2b1 a+2b 若甲赢得比赛，则最后两局比赛甲胜，余下比赛中，第 吉o]-(+2+)◆1=a+2 21球开始，奇数球与其之后的偶数球均为甲乙一胜 一负， ∈(W2,2②，对勾函数y=1+在2.2]上单调递减， 在[2,2同上单消递增，周光牛第-日(+) 所以甲燕得比案的概奉为(2×是×)"（任）= [号号]，D正确：技选AD ()"() 1L.选ACD已知原点O在C上，则OF1|·|OF2|=a2, 同理乙藏得比寒的概率为(2××)广"（什）》= 设(x,y)为C上任意一点，则有a2=√(x-a)2+y2· √（x十a)2+y2,整理得(x2+y2)2=2a2(x2-y2).若： ()“(什) F1F2|=12,则C的方程为(x2+y2)2=72(x2-y2), 故A正确：若OF,·|OF2|=16,则a=4,代入方程得 所以P()=品（层）产”+六（层）” (x2+y2)2=32(x2一y2),显然点（一4,0）不在此曲线 上，故B错误；若a=3,点(3，%)在C上，有 (食)产”. √(3-3)2+哈·√(3+3)+%=9，整理得(+18)2： 当n=22时，P(n)的值也符合关系式P(n)= =405,所以y%=9√5-18≈2.124，故C正确：因为： Sam,R=号PFIPF,sin∠F,PE,=号，PF· ()。 PF2|=9,可得∠F1PF2=90°，所以，点P是曲线C:(x2: +y2)2=18(x2-y2)和以F1F2为直径的圆x2十y2=9 所以P(n)= ( 7-11 ,n=2k,k≥11，k∈N. 在第一象限内的交点，联立方程，解得工=35】 3 2y=2 5/3)-山 答案：8(8 n=2k,k>11,k∈N, 即P(39）所以P,-PF,=18,故D 0,n=2k-1,k≥11，k∈N 确.故选ACD】 :15.解：)在△ABD中，AB=4,B=开，且BD=2V2 12.解析：因为2十i是关于x的方程x2十ax十5=0的根， 由余弦定理得AD2=AB2十BD2一2AB·BD·cOsB= 其中a∈R, 所以2一i也是关于x的方程x2十ax十5=0的根， 16+8-2x4X22×号-8， .4分 所以2十i十2-i=一a,即a=一4. 答案：一4 可得AD=2√2. -6分 2 (2)在△ABC中，AB=4,AC-2√3，B=元 不坊设AD=2a,则BC=CD=号AD=a 南正孩交见得-二 以A为坐标原点，平行于CD的直线为x轴，AD所在 直线为y轴，AP所在直线为：轴， 4 即 23 11分 建立如图所示的空间直角坐标系， sin C 9分 所以P(0,0,2a),E(0,a,0), 可得sinC= C(-a,2a,0)(其中a>0), 3 13分 16.解：(1)：△MNF1的周长为8，△MF1F2的最大面积： 则EC=(一a,a,0),PE=(0,a, 为3， -2a),Ap=(0,0,2a), …10分 f4a=8, 设平面PCE的法向量为n=(x,y,x), n·PE=0, -2分· 则 n·EC=0, 得，6 a2=2+c2, 令y=2,则x=2,心=1，可得n=(2,2,1),-12分 解得a=2,b=√3或a=2,b=1. 设直线PA与平面PCE所成的角为O, 国C的方为号+号=1或号+y=14分 sin 0-lcos(Ap.n)1-Ap.nl2 1 (2)由(1)及b>1易知F2(1,0), |AP11n3X23' 不妨设直线MN的方程为x ,14分 my+1(m≠0)，P(1,0).M(x1, 即直线PA与平面PCE所成角的正弦值为 3· 15分 y1),N(x2y2), 法二过A作AH⊥CE,交CE的延 (x=my+1, 长线于H,连接PH, 由(1)知CD∥BE, 得(4十3m2)y2+6my一9=0. 因为PA⊥CD,所以PA⊥BE, 则y1+y2= 6m1 9 4+3my1z=一4+3m' 7分 因为∠ADC=∠PAB=受，即PA ⊥AB, 若△PMN的内心在x轴上，则∠MPF2=∠NPF2, 又AB∩BE=B,AB,BEC平面ABCD,所以PA⊥平面 k十pN=0,即十”=0，即1(m十1- ABCD, r1-tx2-1 因为CEC平面ABCD,所以PA⊥CE, )十y2(my1十1-t)=0. 9分 又AH是PH在平面ABCD上的射影，由三垂线定理 可得2my13y2+(1-t)(y1+y2)=0. 知PH⊥CE, 则2m(+3m)+1-(）-0-1分 又PA∩PH=P,所以CE⊥平面PAH,8分 再过A作AI⊥PH,交PH于I, 得4-1=0，即1=4. 13分 当直线MN垂直于x轴，即m=0时，显然点P(4,0)也： 因为CE⊥平面PAH,AIC平面PAH,所以AILCE, 又PH∩CE=H,所以AI⊥平面PCE,所以∠API即 是符合题意的点， .…14分： 为直线PA与平面PCE所成的角， 故在x轴上存在定，点P(4,0),使得△PMN的内心在x 因为CD⊥AD,PA⊥平面ABCD,由三垂线定理得 轴上. 15分 CD⊥PD, 17.解：1)证明：因为AD∥BC,BC=AD,E为棱AD的 因此∠PDA是二面角PCDA的平面角，∠PDA=于， 中点， 10分 所以BC∥ED且BC=ED,所以四边形BCDE是平行： 四边形， …4分 设BC=CD=号AD=x(>0),则AD=PA=2x, 所以CD∥BE,又BEC平面PBE,CD过平面PBE, 因为BC=CD,CD⊥AD,所以四边形BCDE为正方形， 由线面平行的判定定理知CD∥平面PBE.6分： (2)法一因为∠PAB=受，即PALAB,且并面直线 所以∠CED=∠AEH=年， PA与CD所成的角为2，即PA⊥CD, 所以AH-号， 2 又AB∩CD=M,AB,CDC平面ABCD,AP⊥平面 ABCD. 所以an∠AP1=tan∠APH=AH_ PA 又CD⊥AD,由三垂线定理可得CD⊥PD,8分 因此∠PDA是二面角PCDA的平面角，∠PDA= 所以sin∠AP1= 3 …14分 平，所以PA=AD, 即直线PA与平面PCE所成角的正弦值为3 ,-15分 18.解：(1)由题可知f(x)=e-2.x-2,则f(x)=e一2，： (2)由题设可知4m=m一9必为奇数，∴.n必为偶数， 令f(.x)=0,可得x=ln2. 2分 5分 当x<ln2时f(.x)<0,f(x)在(-o∞，ln2)上单调 递减， 小存在正垫数，使得号=m一9即m2”十9， 当x>ln2时f(x)>0,f(x)在(ln2,十o)上单调 递增， “22ez且20-1>1 f(x）min=f(ln2)=-2ln2<0,4分 .2-1=1或2P-1=3或2P-1=9,解得p=1或 又f-1)=>0,f2)=e2-6>0. p=2, 即f(x)在(-oo,ln2)和(ln2,+oo)上各有一个零点，： 9 二m22十9=18或m2十9三12，脚m的值为 f(x)有2个不同的零点. 6分 (②①南题可知g=-管+a+1e-a一-3 12或18. 7分 (3)证明：显然偶数“理想数”必为形如2(k∈N)的 则g'(x)=-e2r+(a+1)e-a=-(er-a)(e'-1), 整数， 令g'(x)=0,可得x=0或x=lna≥ln2>0, 下面探究奇数“理想数”，不妨设置如下区间：(2,22]， 当x∈(0.lna)时，g'(.x)>0,当x∈(-co,0)U(lna, (22,2门，(2,2].…，(22-2,22]，k∈N”, +oo)时，g'(x)<0, 若奇数>1，不妨设1(22-2,22]， g(x)在(0，lna)上单调递增，在(-∞，0)和(lna, 十oo)上单调递减. 10分 若1为理想货，则岁=1N,且>2，即1= ②由g'(m)=g'(n)=0,可得e",e”是关于x的方程 -x2+(a十1).x-a=0的两个不同的实根， 3(s∈N且22). .9分 故e"e"=a,em十e"=a十1，即m十n=lna.-l2分 故gm)+gm)=-合e2n+e2+a+iD(e+e0 ①当=2(u∈N,且>1)时，1=1=3+1/-1∈ 3 3 N": -11分 a(m+n)-6 =-ta+10r-2a]+a+10r-ana-6 ②当=2+1u∈N)时，1=2X4-1=2×(3+1)y- 3 3 =2a+102+a-alna-6 N', ---14分 设ada)=合a+12+a-alha-6, =号eN且>D 当a≥2时，h'(a)=a-lna+1>0, 又2-2<，1≤2，即3×4-1<4-1≤3×4， 3 .h(a)为[2，十o∞)上的增函数， 13分 :A@)的最小值为h(2)=号一-2n2. 易知1=k为上迷不等式的唯一整数解， 故g(m)十gm)的最小值为号-21n2. -.--17分 区间(24-2,22门存在唯一的奇数“理想数”1=，」 3 19.解：(1)20以内的质数为2,3,5,7,11,13,17,19. (k∈N·,且k>1), 号-1，故2是“理想数” 显然1为奇数“理想数”，所有的奇数“理想数”为1= 3X3+1-10,而号-5，故3不是“现超截 4-1(keN). 3X5+1=16而9-1，成5是理您数 所有的寺截“理想数“的例载为己k∈N) 15分 3X7十1=2，而号=11，故7不是“现想数 3 3 3X1十1=34，而2=17，故11不是“理想数”； ∴.Sn=b1+b2+…+bn<b1+b2+…+bm十bn+1+ 3X13+1=40,而20 =5,故13不是“理想数”： 合安0水高 3×17+1=52,而7 =13,故17不是“理想数”： 3X19+1=58,6受-29，故10不是“理8数 .2和5为20以内的质数“理想数”. .4分 (n∈N"). 17分绝密★启用前 2025届高三高考考前冲刺押题卷（四）·数学 [满分150分，用时120分钟] 的 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的学校、姓名、班级、准考证号填写在答题卡上相应的位置。 2.全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效。 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦千净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案用0.5毫米黑色笔 迹签字笔写在答题卡上。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 的 参考公式：锥体的体积公式：V一了h(其中s为锥体的底面积，力为锥体的高)。 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知集合A={x∈Z-2<x<5},B={xx2+3.x-10≤0，则A∩B= () A(-2,2] B.(-2,3] C.{0,1,2 D.{-1,0,1,2} 2.已知双曲线C:苦-看-1的一条渐近线方程为y=一尼.则m A.1 B.2 C.8 D.16 的 3.已知 cos a =2,则an(a+于） cos a+sin a 的 A-吉 B.-3 C.3 4.已知向量a与向量b的夹角为5，且a=1,2a-b=√7，则b1= () A.4 B.3 C.2 D.1 5.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为3，平面ABCD内一动点Q满足QA=2QB,当三棱锥QDD1A的 体积取最大值时，该三棱锥外接球的表面积为 ( A.24π B.27π C.54π D.56π 苦 十2，且f(a2)+f3a-4)>2,则实数a的取值范围是 2 6.已知函数f(x)=3x3- () er+ A.(-4,1) B.(-o∞，-1)U(4,+o∞) C.(-o∞，-4)U(1,+0∞) D.(-1,4) 7,如图，将绘有函数f八x)=Msin(写x十g)M>0,0<g<x)部分图象的纸片沿x轴折成钝二面角，其 平面角为经，此时A,B之间的距离为V下，则g 6 0 兰 A哥 B哥 c D. 【名校之约系列2025届高三高考考前冲刺押题卷（四）·数学第1页（共4页）】 8.已知数列{an}满足，Vn∈N,a4m3=一1，am-1=1,a2m=an,该数列的前n项和为Sn,则下列结论 错误的是 () A.a31=1 B.a2o24=-1 C.了非零常数T,使得am+T=am D.Vn∈N·,都有S2=-2 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9,下列选项正确的是 A.若随机变量X~B(6,号)，则DX)=专 B.若随机变量X~N(6,4),则E(X)=6 C.若随机变量X服从0一1分布，且PX=1)=号，则D(X)=号 D.若随机变量X满足P(X=k)= ·Ck=0.1,2,则EX)=号 C 10.若a>0,b>0,a2十4b2一2ab=2,则下列说法正确的是 A.ab≤1 B.a+2b>√② C.a+2b≤2 D.1tab/ a+2b2 11.“∞”可以看作数学上的无穷符号，也可以用来表示数学上特殊的曲线.如图所示的曲线C过坐标原 点O,C上的点到两定点F1(一a,0),F2(a,0)(a>0)的距离之积为定值.则下列说法正确的是（参考 数据：√5≈2.236) A.若|F1F2|=12,则C的方程为(x2十y2)2=72(x2-y2) V B.若C上的点到两定点F1,F2的距离之积为16，则点（一4,0）在C上 C.若a=3,点(3，yo)在C上，则2<y%<3 D.当a=3时，C上第一象限内的点P满足△PF,F,的面积为号，则 IPF12-PF22=183 三，填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知2十i是关于x的方程x2+ax十5=0的根，则实数a= 13.若直线x=1上一点P可以作曲线x=ny的两条切线，则点P纵坐标的取值范围为 14.甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛11分制，若比分打到10：10时，需要一人比另一人多得两分， 比赛才能结束，已知甲赢得每一分的概率为子，在两人的第一局比赛中，两人打到了10：10，此局比 赛结束时，两人的得分总和为n,则此时的概率P(n)= 四，解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(I3分)在△ABC中，AB=4,B-于，D为BC边上一点，且BD=2②. (1)求AD: (2)若AC=23,求sinC. 【名校之约系列2025届高三高考考前冲刺押题卷（四）·数学第2页（共4页）】 +y2 16.15分)已知椭圆C:名+ +言=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F(-c,0),F2(c,0),过F2的直线与 椭圆C交于M,N两点，且△MNF1的周长为8，△MF1F2的最大面积为√3. (1)求椭圆C的方程. (2)设b>1,是否存在x轴上的定点P,使得△PMN的内心在x轴上？若存在，求出点P的坐标： 若不存在，请说明理由. 17.(I5分)如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC,∠ADC=∠PAB=受，BC=CD=2AD.E为棱AD 的中点，异面直线PA与CD所成角的大小为受. (1)求证：CD∥平面PBE: (2)若二面角PCDA的大小为牙，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值. 【名校之约系列2025届高三高考考前冲刺押题卷（四）·数学第3页（共4页）】 18.(17分)已知函数f(x)=e-ax-2(a∈R). (1)当a=2时，求f(x)的零点个数， (2)设a≥2，函数g(x)=f(x)二气+ae-1 ①判断g(x)的单调性： ②若g'(m)=g'(n)=0(m<n),求g(m)十g(n)的最小值. 19.(17分)对于任意正整数，进行如下操作：若n为偶数，则对n不断地除以2，直到得到一个奇数， 记这个奇数为am;若n为奇数，则对3n十1不断地除以2，直到得出一个奇数，记这个奇数为am: 若a,=1,则称正整数n为“理想数”， (1)求20以内的质数“理想数”： (2)已知am=m一9，求m的值： (3)将所有“理想数”从小至大依次排列，逐一取倒数后得到数列{b,},记{b}的前n项和为S。,证明： s,<号neN). 【名校之约系列2025届高三高考考前冲刺押题卷（四）·数学第4页（共4页）】