数学（3）-2025年高考数学冲刺押题试卷

2025届高三高考考前冲刺押题卷（三）·数学参考答案 1.选DAUB=A等价于BCA,当m=0时，B=☑，此时： 如图.又f(x)一1=1，则f(x)=1十1，当t=0时，f(x)= BEA,特合：当m≠0时，B=(品}，因为BEA,故 1,由y=f(x)的图象，知方程f(x)=1有两个解：当t 一2时，f(x)=一1，由y=f(x)的图象，知方程f(x) -1或品=2，即m=-1或m=子所以特合条件的实数 -1有两个解：当t=t1,t∈(1，e)时，f(x)=t1十1，由y =f(x)的图象，知方程f(x)=11十1有一个解.综上所 m组成的条合是{-10,2}故选D 述，函数g(x)=f(f(x)一1)的零点个数为5.故选B. 2.选Λ由题意，得：4+3D=6-8别=10，则=9=：7.选B周为f)=n3+os3x=Eos(3r一于）》， 10 10(4-3i) (4+31)(4-3) =10D=-号i11- 25 g(x)=Ecos(3x-x)=Ecos[3(红-平）-平]，所以起 √（管）+（号）=2.故选A f(x)的图象向右平移于个单住长度可以得到g(x)的图 3.选C由已知得m·n=(ae1十e2)(e1-e2)=(1-入2)·： 象，则的最小值为不，故选B e1·e十x-03=0,:单位向量白a的夫角为受，8.选B:f(受-1）为寺函数，·f(受-1) 6=6=1,且66=之21-）=0.解得 -f(-号-1)小，即fx-1)=-f(-x-1),两边求号 A=士1，故选C 得f(x-1)=f(-x-1),则g(x-1)=g(-x-1),可 4.选D设圆锥的母线长为(，底面半径为r,由圆锥底面圆 知g(x)关于直线x=一1对称，又g(2x十1)为奇函数， 的周长等于扇形的孤长，得πl=2πr,即1=2r,圆维的 所以g(2.x+1)+g(-2x+1)=0,即g(x+1)+g(-z 高h=√一产=√4r2一严=√5r,所以圆柱的侧面积为 十1)=0，可知g(x)关于(1,0)中心对称.令x=1,可得 2√3x2,圆雏的侧面积为2π2，故圆柱和圆维的侧面积 g2)+g0)=0,即g(2)=-g0)=-2,由gx-D 的比值为√.故选D. g(-x-1),得g(x)=g(-x-2),由g(x+1)十g(-d 5.选D因为tana十an号，则cosa≠0，cos≠0，又因 +1)=0,得g(x)十g(-x+2)=0,即g(x)=-g(-x 十2)，可得g(一x-2)=一g(一x十2)，即g(x+4) 为sin(a十B)=2cos(a-B),则sin acos 8+cos asin3= 2 cos acos 8十2 sin asin B①，等式①的两边同时除以 一gx),令x=0,可得g(④0=一g(0)=-2:令x=2 c,得ane十an月=2+21 an atan=号，解得 可得g(6)=-g2)=合：且g(x+8)=-gx+)= tan atan g=-子：故选D. 一[一g(x)]=g(x),可知8为g(x)的周期.可知g(8k十 6.选B依题意，函数g(x)=f(f(x)-1)零点的个数，即！ 2)=R(8k+40=-2g(8+6)=g(8+8)=号k∈Z. 为方程f(f(x)一1)=0解的个数，令f(x)一1=1，则 所以2kg(2)=-7×1+2+5+6+9+10)+7×(3 f0=0,当>0时，ln1-=0,令Ae)=ln1-},> +4+7+8)=- 号故选B 0,品数y=n1.y-在(0，+o∞)上单满造增，于是画9.选ACD(X)=3××1-号）-号，D(Y)=D2X 数h(t)在(0，十∞)上单调递增，又h(1)=一1<0，h(e) =1-1>0,则存在t1∈(1，e),使得h(4)=0:当区0 +1)=4D(X)=4×号=3，故A正确：图为7=2,3十 e 1,3x2+1,3.x3+1,…,3xm十1的平均数为3×2十1=7， 时，一t+1+1=0,解得t=0或t 故B错误；因为7×0.6=4.2，所以第60百分位数是第五 =一2.作函数f(x) 个数10，故C正确：X服从正态分布N(5,a2),P(2<X lnr-子>0， 的大致图象， =f(x) <5)=P(5<X<8=a,所以P(X8)=专-a,故D错 -|x+1川+1，x≤0 误.故选AC. 10.选BD对于A,连接AC,BD (0,受)上单调递增，则∠APC的最大值为于，当且仅 交于O,连接EF,PQ交于G, 因为平面BCCB,∥平面 当PC⊥1时取等号，因此∠APB的最大值为三，C正 ADD1A1·平面BCCB∩平面 确：对于D,设P(t,6一1)，则以PC为直径的圆的方程 PEQF=EQ,平面ADD1A,∩ 为(x-1)(r-t)+(y-1)(y+t-6)=0,即x2+y2-(t 平面PEQF=PF,所以EQ∥ +1)x+(t-7)y+6=0, PF,同理可证得PE∥FQ,所以四边形PEQF为平行四 与已知圆的方程相减可得直线AB的方程为(1一t).x十 边形，因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD,因为！ (t-5)y+8=0,即(x-5y+8)-t(x-y)=0,由 四棱柱ABCD-A1B,CD1为直四棱柱，所以BB1⊥平 x-5y+8=0, x=2, 面ABCD,因为ACC平面ABCD,所以BB1⊥AC,因为 可得{ 即直线AB过定点(2,2)，D x-y=0, y=2.1 BB1∩BD=B,BB1,BDC平面BDD1B1,所以AC⊥平 正确.故选BCD. 面BDDB1,因为EFC平面BDDB,所以ACLEF,12.解析：二项式(x-2)的展开式道项为T+1=Cx-· 因为P,Q分别是校AA1,CC1的中点，所以AP= (-2)r=Cf(-2)r·x5-, 2AA,CQCC,周为AA∥CC,AA=CC,所以 令6-r=3,可得r=3,所以x3项的系数为C(一2)3= AP∥CQ,AP=CQ,所以四边形ACQP为平行四边形，： 20×(-8)=-160. 所以AC∥PQ,所以PQ⊥EF,所以四边形PEQF为菱！ 答案：一160 形，所以A错误：对于B,连接BD,因为四边形PEQF13.解析：由题意知OQ=a,OP,- c,则QF2|=b, 为平行四边形，所以PG=QG,EG=FG,因为P,Q分别 是棱AA1,CC的中点，所以G为直四棱柱ABCD 所以cos∠PF2F1= QF2b A1BC1D1的中心，所以BD1过点G且被平分，即BG 1 =D1G,因为EG=FG,∠BGE=∠D1GF,所以△BGE 易知SAPF,0=SAPF,0=ZOQ· ≌△DGF,所以BE=D1F,所以B正确：对于C,因为 PF,=之a·PF=2,则PE 9 24, 四边形ABCD是边米为2的菱形，∠BAD=子，所以！ 由双曲线的定义得1PF,|=|PF2-2a=号a 2a-2a BD=2,AC=2√5，所以PQ=AC=2√5，因为四边形； PEQF为菱移，所以四边形PEQF的面积为2PQ· 2a, EF=号×2EF=EF≥万BD=2E,即四边形 在△PFF2中，由余孩定理得（ a)°-(a)+ PEQF面积的最小值为2√尽，所以C错误：对于D,因为 (20-2x号ax2c×2 VG-PEQF=2VC,PEQ=2VrC,Q·点P到平面C1EQ的 即5a2=e+4d+)-1b即26-9ab+9r 距离为定值，S△GEQ为定值，所以四棱维C1-PEQF的 =0. 体积为定值，所以D正确.故选BD 3 11.选BCD圖C:(.x-1)+(y-1)2 即2（总）广-9（白）+9=0，解得名=3成名= 21 =4的圆心C(1,1),半径r=2,连 接PC.对于A点C到直线I:x十y 所以离心率为气+（）了=而我 -6=0的距离d=4=22>2 答案：V减四 r,直线1与圆C相离，A错误；对于B,点Q在国C上，14.解析：不妨设x1<x2,则 则|PQImin=d-r=2瓦-2，B正确：对于C,由切线长 由函数y=x与y=4 fx)-(a>0) 定理知∠APB=2∠APC,而sin∠APC=AC 2 y-4(a>0) (a>0)的图象性质可知 O Aa B ≤号-号又∠APC是税角，正孩画载y=mr在 0>0 x a>0) -x1+4=2, (2)如图所示，以点C为原，点建立 所以 两式相减得一(x1十x2)十 空间直角坐标系， xg =2 则C(0,0,0),B(2√3,0,0). (÷+号）-0 9小w9》 所以-（x1十x)+a+)=0. 故C第=(2,0,0)，CA I1I2 即+g)(-1+品)=0. 子) 9分 因为x十2≠0，所以-1十0=0→a=1x2 设平面A'BC的法向量为n=(x,y,x), T1T2 n·CB=2√/5x=0, 所以到=号代入程号-2，得-有=2， 则有 2 2=0, 即AB引=2， 可取n=(0,-25,5), 12分 又|AA1|=2,所以Sg造形AAB,B=2×2=4. 答案：x1x2=a(或此式的合理变形也可以)4 则1cos(mA作1=1n·NE1.3尽-3m nAEl /37×1 37, 15.解：(1)设a=2k,b=3k,c=4k,k≠0， -14分 则由余孩定理得cosA=+2-d-9驰2+16k?- 所以直线A'E与平面A'BC所成角的正弦值为 2bc 2×3k·4k 3Π 7 37 15分 8 .5分 17.解：(1)由题意可知|BF1=a (2)在△ACD中，osA=名AD=2,CD=而， OF=c. 由余弦定理得CD=AD+AC-2AD·ACcos A, 因为离心率为豆 中10=4+92-2X2k·3k·名，解得k=28分 IOF1l=1 所以BF=a=2' 故a=4,b=6,c=8. .9分 所以∠BFO=60°，故△BFF2是正三角形，如图所示. 又sinA=√个-cos'A=E .10分 若直线I⊥BF,则直线I垂直平分线段BF1, 8 所以△BDE≌△F1DE, S△Ac= ×6×8×=35. 由于△BDE的周长为8，故△FDE的周长为8,2分 8 由定义可知|EF,|+|EF2|=2a,IDF1|+|DF2|=2a, 13分 所以△F1DE的周长为4a=8,故a=2,-4分 16.解：1)运明：依题意cos∠BAC=福=7，剩∠BAC 所以c=1,故b=5, =60°， 所以精国C的方程为+-1 6分 因为AB=2AC=4,AD=号AC,AE=AB,所以AD (2)由题意可设直线【的方程为x =AE=1, =my+1,D(x·y).E(x2,y2), 所以△ADE和△A'DE都是边长为1的正三角形， 则G(x2,一y2）,如图所示. 可得直线DG的方程为y一y1 2分 取DE的中点M,连接A'M,则A'M⊥DE,AM= 当十2(x一) x1一x2 2 因为x1=my1+1,xg=my2+1, 因为平面A'DE⊥平面BCDE,平面A'DE∩平面 BCDE=DE,A'MC平面A'DE. 将其代入直线DG的方程，可得y= y+y2 m(-2)（x 所以A'M⊥平面BCDE, .5分 my1-1)+y1: 所以AM即为四棱锥A'-BCDE的高， 整理可得y=+)r二2mn%-（+2(*). m(y-y2） 所以四棱维'BCDE的高为 ---7分 .9分 3 (x=my+1: x=0处m(x)的图象递减趋势比y=sim工的图象平缓， 联立方程 得(3m2+4)y2+6my-9=0, 3 故y=in与m(x)=ln(x十1)-x在x∈(0，x]上有且 a 6m 9 则y1+y2= 3m2+4My2=- 3m2+41 11分 仅有一个交点， 所以”-婴即2m头=3十 此时，g(x)在x∈[0，π]有两个零点；14分 yiy2 若a>0y=in≥0在x∈(0，]上恒成立，而m(x)< a 将其代入()式中，可得直线DG的方程为y= 0恒成立， (y1+y2)x-4(y1十y2) -6(x-4) .14分 m(y1-y2） (3m2+4)(y1-y2) 故y=n2与m(x)=n(x+1)-x在x∈(0，x]上无 a 可见直线DG过定点(4,0)， 交，点， 所以直线DG过定点，坐标为(4,0) -15分 此时，g(x)在x∈[0，π]有一个零点. 16分 18.解：(1)证明：由题设f(x)=一x十sinx且x∈[0，x],则 综上，a<0时g(x)有两个零点；a>0时g(x)有一个零 f(x）=C08x1≤0,2分 点 17分 所以f(x)在[0，π]上单调递诚，故f(x)≤f(0)=0,得 19.解：(1)由题意得2a,=5,则1+1+3=5或1十2十2=5 证. …4分 (2)由解析式，易知x=0时f(x)≤0恒成立， 或2+1+1+1=5， 当x∈(0，x]时，只需a≤-in兰恒成立，5分 故所有5的2减数列有数列3,1,1，效列2,2,1和数列 x 1,2,1,1. 5分 令g(x)=-n且xe(0,], (2)若数列中的每一项都相等，则k=0,-6分 若k≠0，所以数列{am》存在大于1的项， 则g'(.x)=$in x-rcos x 若末项an≠1，将a拆分成a#个1后k变大，所以此时 k不是最大值，所以am=1, 8分 令h(x)=sinx-xcos x.x∈(0，x],则h'(x)=xsin x≥ 当i=1,2,…,n一1时， 0,即h(x)在(0，π]上单调递增， 若a<a+1,交换a,a+1的顺序后k变为k十1，所以此 所以h(x)>h(0)=0,故9(x)>0,即p(x)在(0，x]上} 时k不是最大值，所以a≥a+1 单调递增，且(x)=0, ..7分 若a;-a+1廷{0,1}，所以a≥a+1十2， 对于y=x-sinx,x∈[0，x],则y=1-cosx≥0， 所以将a,改为a:一1，并在数列末尾添加一项1，则k 故y=x-sinx在xr∈[0，x]上单调递增，且x=0时y! 变大， =x-sinx=0→x=sinx, 9分 (当数列末尾添加一项1后，因为数列{4n》中必存在大 综上，9(x)∈(-1,0]，即a≤-1.10分 于1的项，所以k必会变大) (3)由题设g(x)=fCD-1n(x十1)，且定义城为x∈ 所以此时k不是最大值，所以a,一a4+1∈{0,1， 11分 [0,π]，显然g(0)=0, 若数列{a}中存在相邻的两项a,≥3，a+1=2,将a4改 令g(x)=0>aln(x+1)-x]=sinx,且x∈(0，x], 为2，并在数列末尾添加a,一2项1后，k的值会变大，所 只需研究y=sin与m(x)=1n(x十1)-x在x∈(0，x] 以此时k不是最大值， 上的交，点情况。 -11分 所以数列{an》的各项只能为2或1，…14分 若a<0,则y=0严在(0，受]上单调跪减，在 所以数列{an}为2,2.….2,1,1.…，1的形式.15分 设其中有x项为2，有y项为1， (受x]上单调道增，且x=x时y=0, 因为存在100的k减数列，所以2x十y=100, 所以k=xy=x(100-2x)=-2x2+100x=-2(x 而m()=一千0，即m(x)在(0，]上单调递减，且 25)2+1250, 所以当且仅当x=25,y=50时， m()=ln+<m(0)=0. k取最大值为1250， 又y=o2,则y1-0=s0-<m0)=0.在 所以若存在100的k减效列，k的最大值为1250， a a a -17分绝密★启用前 2025届高三高考考前冲刺押题卷（三）·数学 [满分150分，用时120分钟] 的 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的学校、姓名、班级、准考证号填写在答题卡上相应的位置。 2.全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效。 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦千净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案用0.5毫米黑色笔 迹签字笔写在答题卡上。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 的 参考公式：锥体的体积公式：V=子h(其中：为锥体的底面积，h为锥体的高). 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知集合A={一1,2}，B={xmx一1=0，m∈R},若AUB=A,则所有符合条件的实数m组成的 集合是 A{-20.1 B.{-1,0,2 C.{-1,2 D -1,0,2 2.已知复数x满足x(4十3i)=|6一8i,则1x= 的 A.2 B.5 C.√2 D.5 3.已知单位向量e,2的夹角为受，向量m=e1十e2,n=e1一e2且m⊥n,则入的值为 岩 A.1 B.-1 C.±1 D.2 4.已知圆柱和圆锥的底面半径及高均相等，且圆锥侧面展开图为一个半圆，则该圆柱和圆锥的侧面积 的比值为 ) A.2 B.√2 C.3 D.5 5.已知sin(a十3)=2cos(a-B),tana+tanB= 3,则tan atan= 茶 A.3 B.-3 c号 D吉 In 1 ,x>0, 6.已知函数f(x) 则函数g(.x)=f(f(x)一1)的零点个数为 () x十1|+1，x≤0， A.3 B.5 C.6 D.8 7.将函数f(x)=sin3x十cos3.x的图象向右平移g(>0)个单位长度，得到函数g(x)=一√2cos3x的 女 图象，则的最小值为 () A危 B c n竖 8.已知可导函数八x)的定义域为R,三-1)为奇函数，设g(x)是八x)的导函数，若g(2x十1)为奇函数， 且g0)=,则2kg(2k) 器 A号 c n-号 【名校之约系列2025届高三高考考前冲刺押题卷（三）·数学第1页（共4页）】 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.下列结论正确的是 A.随机变量X服从二项分布B(3,2)Y=2X+1,则DY)=3 B.数据1，x2,x3,…,xm的平均数为2，则3x十1,3x2十1,3x3十1，…，3xm十1的平均数为6 C.数据2,4,6,8,10,12,14的第60百分位数是10 D.随机变量X服从正态分布N(5,a),且P(2<X<5)=a,则P(X>8)=1-a 10.在直四棱柱ABCD-A,B,CD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=号，AA:=2,P,Q分别 是棱AA1,CC1的中点，过直线PQ的平面a分别与棱BB1,DD1交于点E,F,则下列说法正确的是 () A.四边形PEQF为矩形 B.BE=D F C.四边形PEQF面积的最小值为8 D.四棱锥C1-PEQF的体积为定值 11.已知动点P在直线I:x十y一6=0上，动点Q在圆C:x2+y2-2x-2y一2=0上，过点P作圆C的 两条切线，切点分别为A,B,则下列描述正确的有 () A.直线l与圆C相交 B.PQ的最小值为2√2-2 C.存在P点，使得∠APB=罗 D.直线AB过定点(2,2) 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.在(x一2)5的二项展开式中，x3项的系数为 3.设双曲线C:无-=1(a>0,6>0)的左，右焦点分别为F,F2过F2的直线与C的左支交于点 坐标原点O到直线PF2的距离为a,△F,P0的面积为。2，则C的离心率为 14.已知a>0,函数)=一(x>0.若曲线y=)与直线y=2交于A,B两点，设A,B的横 坐标分别为x1,x2,写出x1,x2与a的一个关系式： :分别过点A,B作x轴的垂线段AA1, BB1,垂足分别为A1,B1,则四边形AA1B1B的面积为 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分)已知△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a:b:c=2:3:4 (1)求cosA: (2)若点D为AB的中点，且CD=I0,求△ABC的面积. 【名校之约系列2025届高三高考考前冲刺押题卷（三）·数学第2页（共4页）】 16.I5分)如图，在△ABC中，∠C=90,AB=2AC=4,AD=AC,AE=号AB,将△ADE沿DE折起 得到四棱锥A'-BCDE,且平面A'DE⊥平面BCDE. 1)证明：四校锥A-BCDE的高为， (2)求直线A'E与平面A'BC所成角的正弦值. 忆.5分)已知椭圆℃：无+1(a>b>0,C的下顶点为B,左，右焦点分别为乃和P2,离心率为 可椭圆C相交于D,E两点。若直线L垂直于BF (1)求椭圆C的方程： (2)若直线！与坐标轴不垂直，点E关于x轴的对称点为G,试判断直线DG是否过定点，并说明 理由. 【名校之约系列2025届高三高考考前冲刺押题卷（三）·数学第3页（共4页）】 18.(17分)已知函数f(x)=ax+sinx,x∈[0，x]. (1)若a=一1，证明：f(x)≤0： (2)若f(x)≤0，求a的取值范围 (3)若a≠0，记g(x)=1f(x)-1n(x+1),讨论函数g(x)的零点个数. 19.(17分)若正整数数列{an}满足：①(an}为有穷数列：a1a2…,am:②2a,=m:③当1≤i<j≤n时， 满足a:>a,的正整数对(i,j)有且仅有k个.则称该数列{am}为m的k减数列. (1)写出5的2减数列的所有情况： (2)若存在100的k减数列，求正整数k的最大值. 【名校之约系列2025届高三高考考前冲刺押题卷（三）·数学第4页（共4页）】