数学（2）-2025年高考数学冲刺押题试卷

2025届高三高考考前冲刺押题卷（二）·数学参考答案 1.选D由x2-2x-3>0,解得x>3或x<-1.所以A=! 连接ME,则ME∥C1A,C1AC平面ADC,ME丈平面 {xx>3或x<-1},又B={1,2,3,4},所以A∩B= ADC1,于是ME∥平面ADC1,过E作EN∥AD,且EN {4}.故选D. ∩BB1=N,连接MN,由ADC平面ADC1·ENt平面 2.选A 2+3i=(2+3)(1-D=2-2i+3i-31= ADC,于是EN∥平面ADC,又ME∩EN=E,ME 1+i(1+i)(1-i) 1-3 EVC平面MNE,因此平面MVE∥平面ADC1,又MN 士，故虚那为宁故选 C平面MNE,则MN∥平面ADC1,在□ADNE中，DN 3.选A由已知a·b=|a|1b|cos(a,b〉=2×1× =EA=3,NB1=DB1-DN=4-3=1,BN=5,所以 (仁吉）=-号b在a方向上的投影向量为”。·日 aa NB=5.故选D. NB 2 8.选Df(x)的定义域为R,f(0)=sin1+cos0=sin1+1 3 ≠0，故A错误：若f(x)mx=2.由|sinx≤1.cosx≤ 2 .4=- 2 6a.故选A 1,有sin(cosx)=cos(sinx）=1,必有 4.选A设点P(x,y),则PA=(-2-x,一y),PB=(2 x,-y),所以P可·PB=(-2-x)(2-x)十y2=5,则x2 eosr=受+21不'k1k∈乙，这是不可能的，故B情误： 十y2=9,所以点P的轨迹方程为x2十y2=9,圆心为(0，} sin x=2k2x 0),半径为3，由此可知圆(x-a-1)2+(y-3a十2)2=4} f(x-)=sin[cos(-)]+cos[sin(-)]=-sin(cos x) 与圆x2十y2=9有公共，点，又圆(x-a-1)2十(y一3a+ +cos(sinx)≠f(x),故C错误；f(x+x)=sin[cos(x+ 2)2=4的圆心为(a+1,3a-2),半径为2，所以1≤ )]+cos[sin()]=sin(-cos r)+cos(-sin ) √(a+1)2+(3a-2)2≤5，解得-1≤a≤2，即a的取值范 -sin(cosx)+cos(sinx),cosx+sinx≤E<交 国是[-1,2].故途A. 5.选sinreosy叶cosiny=sin(x十）=2os2r cos1<受-sin,当xe[0]时，cosE[-1,1,受 cos 2y=cos[(x+y)+(x-y)]-cos[(x+y)-(x-y)] nx[受-1，受]，而y=x在[-受]上 =-2in(+》in(x-y)=-sin(x-y)=子，所以 单调诡增sin(cosx)<sin(受-simx）=cos(sinx) inr-y)=-子故选D .当x∈[0，π]时，f(x十π)>0，故D正确，故选D. 9.选ABC不妨设甲组数据从小到大排列为·x2,·, 6.选B由题意，设直线AB的方程为y=kx十3，A(x1, x16,则乙组数据从小到大排列为3x1一9,3x2一9，…， ,Ba购联立-+3”可得2-2一5p= x2=2py. 36一9，因为甲组数据的平均数为m,标准差为，极差 为a,第60百分位数为b,则a=x16一x1,又16×60%= 0,所以x1十x2=2k,x1x2=一6p,则y13y2= rir 4p2 =9.1 9.6,所以b=x0,所以乙组数据的平均数为3m一9，故A 正确：乙组数据的极差为3.x16一9一(3x1一9)=3（工16 因为AF刊=2.BF1=10,所以y=2-号y=10- 2 x1)=3a,故B正确：乙组数据的第60百分位数为3.t10 则(2-号)×(10-号)=9，解得p=2或p=22.因为2 9=3b一9，故C正确：乙组数据的标准差为31，故D错 误.故选ABC. -号>0，所以p=2.故选B 10.选BD因为f(1+x)+f(3-x)=2,所以f(1+1)十 f(3-1)=2,所以f(2)=1,取x=0,由f(0)-f(2-0) 7.选D在三棱柱ABCA,BC1中， M =4-4×0,可知f(0)=4+f(2)=5,故A错误：取x= A1M=MC,点D在枚BB1上·如A 0,由f(1+x)+f(3-x)=2,知f(1)+f(3)=2,所以 因，由VAABE=专VACAC,释 f(0)+f1)+f(2)+f(3)=8,故B正确：令x=1+t, 由f(1+x)+f(3-x)=2,知f(2十t)+f(2-t)=2,即 VEB=号ANCA,剥VAGD f(2+x)+f(2-x)=2,又因为f(x)-f(2-x)=4 4x,所以f(x)十f(x十2)=6-4x,故C错误：由f(x)十 f(x+2)=6-4x,得f(x)=-f(x+2)+6-4x,所以 SgD=子S号旺品，剥SAGmD-子S节信， f(x十2)=-f(x+4)+6-4(x+2),所以f(x)=f(x +4)+8,所以f(2024)=f(2020)-8,又f(2020)= 中部-号设三校柱ACA,BG的制校关为6，则 f(2016)-8,所以f(2024)=f(2016)-2×8,所以 f(2024)=f(0)-8×506=5-4048=-4043,故D正 DB1=4.DB=2,又M为A1C1的中点，取A1A的中点E, 确.故选BD. 1.选KD使题意，f〉=s2如十s2r=18解析：甲我乙参加A活动的情况有2C+9)A- 2sin(2ar+若）小由f(3）=2,得2a·子+音=2x+ 28种， 甲和乙都不参加A活动的情况有C(C十C)A呈 受k∈乙，解得u=3次十k∈乙而0<w<1,则w 24种， 则他们参加活动的不同方案有28十24=52种 2,所以f代)=2sim(x十晋)，则fx)的最小正周期为 答案：52 14.解析：如图所示，因为AB∥C1D1且 2,故A错误：y=f(2x+）=2sim(2x+x)= AB=CD1,故四边形ABCD1为平 行四边形，则BC∥AD1 -2sin2x是奇函数，故B正确y=f(x+石)osx= 因为BC1丈平面ACD1,AD1C平面 ACD,所以BC1∥平面ACD1, 2sin(r+g)cosx=2(sin reos号+cos rsin号)eosx 同理可证A,B∥平面ACD1,因为 A1B∩BC1=B,A1B,BC1C平 -sin coscosino1 面A1BC1, 2 所以平面A,BC1∥平面ACD1,因为C1∈平面A1BC1, sm(2z+吾）+号◆2x+吾-x,k∈z得r= 要使得CP∥平面ACD1, 2 则C1PC平面ABC1,因为P∈平面AA1BB,平面 否k∈Z,所以y=f(r+石)osx的对称中心为 AA1BB∩平面A1BC=A1B, 故点P的轨迹为线段A1B,当CP取最小值时，CP⊥ (受-吾号)∈D,当=0时，画数y=(+后) A1B,则P为A1B的中点， c0sx的对称中心为（一吾，号）故C正确：y=fx) 则GP√A1G2-(分AB)=V20-8=2E. 以D为原点，DA,DC,DD分别为xy,之轴的正方向建 =2sin(x+吾）1>0，当x∈[0，x]时，1z+吾∈ 立空间直角坐标系， 易知A(2,0,4),C1(0,4.4),P(2,2,2),A1C=(-2, [吾tx+吾]，图为画数y=f):∈R,>0)在[0，] 4,0),A1P=(0,2,-2), 上有且仅有三个零点，所以3x<红十吾<，解得号< 取a=A1P=(0,2,-2),4= AC-5(-1,2.0 1AC15 1<号故D正确，故选BCD 则a2=8,a·u= 45 5· 12,解析：设直线y=:与南线y=1nx十云相切于点 所以点P到直线A,C1的距离为√a2-(a·) -20 P(x0%), 5 由y=h十安可得y=子立周先切线针率长=号 答案：23 230 12.x0-1 2x2x 15.解：(1)由V3sinA+cosA=2,得sim(A+）=1, 2分 nx十2x -0 又切线过原点O(0,0),可得k阳= 因为A∈(0x),所以A+吾∈（答，2看）， x0-0 2x话，化简可得ln0-0+1=0. 2.x0-1 所以A+吾=受，得A=子 6分 令g(x)=xlnx-x+1,则g'(x)=lnx+1-1=lnx, (2)由AD为∠BAC的平分线，得∠BAD=∠CAD=看， 当x∈(0,1)时，g'(x)<0,即g(x)在(0,1)上单调通减， 因为S△ABC=S△ABD十S△CD: 当x∈(1，十∞)时，g'(x)>0,即g(x)在(1，+o∞)上单 调逅增， 即/3bc=b+c①， ….8分 所以g(x)在x=1处取得极小值，也是最小值，g(1)= 0,即可得g(x)=xlnx一x十1>≥0， 由余孩定理得u2=B+2-2 bees音， 因此可得0=1，即可得-2二1-1 即2十c2-bc=6②， 10分 2x8 由①②得bc=2. 12分 1 所以Saic=csn号-写 1 答案： -13分 32 1a-c=25-√6 所以PO⊥平面ABCD, 16.解：(1)由题意， 2分 la+c=2√5+√6 过点O作OH⊥BC,垂足为H,连接PH, 解得a=25,c=6,则b2=a2-c2=6 则PH⊥BC,所以∠PHO为二面角P-BCA的平面角， 4分 9分 所以腾国C的方邦为后+苦-。 5分 因为四棱锥P-ABCD的体积为VPABCD= 1 (2)由(1)知，F1(-6,0) F2(6,0), Smt彩AIDXPO=-号xABXBCXPO 当直线1的斜率不存在时，S1= S2,则|S1-S2|=0.6分 号×ABX√PH-0H=号×ABX3-(学町 当直线【的斜率存在时，设直线( 的方程为y=k(x+1)(k≠0)， y=k(x+1), 联立 号+号-1.释1+2++2-12-=0. 当且仅当-3，即AB=后时你积兼大， 12分 设A(y),B(x2,y2),则x1十x2= 4k2 1+2k21x2= 此时OH= 2k2-12 .9分 1+2k2 在Rt△POH中，tan∠PHO= O OH=1,所以∠PHO 所以S1=号×26×1m=5m,5=7×25× =45°， |y21=61y2l, 所以二面角PCA的正致值为号 15分 由于，为异号，所以1S一S2=611十为118.解：)依题意，随机变量X的可能取值为2.3,4， =√61k(x1+1)+k(x2+1) .…1分 =√6k(x1+x2)+2k|=√6· +0+2 4k 则P(X=2)= 21k1 12分 1+2k2 是PX=4)=()-云 =26· 1 ≤26· 5, 所以X的分布列如表所示： 丙+2 2√万·2到k X 2 3 4 当且仅音府一-21，即长一士号时等号成主 12 9 25 25 所以|S,一S2的最大值为√5. 14分 4分 综上所迷，S,-S2|的最大值为√ 15分 数学翔望为E(X)=2X完+3×号+4X号-9 17.解：(1)证明：设AC∩BD=Q,连 .5分 接PQ, (2)由这n人的合计得分为n十1分，得其中只有1人既 因为BC=CD,∠ABC=∠ADC 游览群河江又游览鸟蒙大草原， 90°，AC=AC, 所以Rt△ABC≌Rt△ADC, 2·n 所以AB=AD,∠DCQ=∠BCQ, 文BC=DC,CQ=CQ, (号)》”，令数列·（号）}的前n项和为S 则△QBC≌△QDC,点Q为BD的中点， 又PB=PD,所以PQ⊥BD, 分 则5，=1×号+2×（号）+3×（号）'+…+n× 又∠DQC=∠BQC,且∠DQC+∠BQC=180°， 所以AC⊥BD,- .4分 (号)” 7分 又AC∩PQ=Q,ACC平面PAC,PQC平而PAC, 所以BD⊥平面PAC. 6分 于是号5.=1×（号）+2×（号）+…+(m-D× (2)由(1)可知BD⊥平面PAC,BD C平面ABCD, (号)”+×（号） 所以平面ABCD⊥平面PAC, 取AC的中点为O,连接PO,则PO 两式相减得号s=号+（号）广+（号）+…+（号）】 ⊥AC, 平面ABCD∩平面PAC=AC,PO x传门x传 C平面PAC, 1-号 2 10×(号)广， 由f”"(x)=e,而f"(0)=R1(0),则-2b2+2=1→b2 3 15 因此S= 10 1.(号 =2 所以p十A十p十…十n=是S,= 55+3m 综上，R(x)= 3 3 -x+2且R,11分 (号)八 10分 令t(x)= 2 (3)在随机抽取的若千人的合计得分为一1分的基础上： 再抽取1人，则这些人的合计得分可能为n分或十 0则r)=号>0短成立， 1分， 所以t(x)在R上单调递增，又t(0)=1, 记“合计得n分”为事件A,“合计得n十1分”为事件B, 故当x∈（一∞，0）时，0<t(x)<1,当x∈(0，十∞)时， A与B是对立事件， t(x)>1, 3 3 则P(A)=am,p(B)=5am-1am+号am-1=1(n>≥2)， 所以当x∈（一∞，0）时，f（x)<R1(x),当x∈(0，十o∞) 时，f(x)>R1(x), -12分 此时，k=时=0不是8x)的极值点.12分 由a号得1一=一品则列a,一}是首项 以=是为界，讨论如下： 为一品公比为一号的等比数列 由连续函数m(x)=(1一x十k.x2)e→m'(x)=x[k:x十 5 (2k-1)]e, 当>时，m(x)=[+(2-)门e,而2- 品(-号）(m≥. ....15分 >0, 随者m的无限增大，（子 ”无限趋近于0，am无限 在（日-2.0）上，m(x)<0,m()单调运减，在(0， 超近于骨， 十∞)上，m'(x)>0,m(x)单调递增，则m(x)≥m(0) =1, 所以随着抽取人戴的无限增加，心趋近于常敏号 所以在x=0两侧g(r)=e 1-x+kx2≥0=g(0)恒 17分 成立，x=0是极小值点； .13分 19.解：0)由题意，可设R(x)=1十b,且f(0)=R(0),则 当0<k<时m)=[+(2-)]e,2- a=1, -1分 <0, 而f'(x)=e,R'(x)= (1+x)2且f(0)=R'(0). ab 在(-o∞，0)上，m'(x)>0,m(x)单调道增，在 则一ab=一b=1→b=一1， .3分 (0,-2上，m(x)<0,m(x)单河道减，则m(x)≤ 所以R(x)=-x 1 4分 m(0)=1, 1 (2)证明：当x<1时，恒有R(x)>0.0<f(x)<e, 所以在【=0两侧g)=e一1=+k<0=g《0)顿 令)-铝-1-e,且<1，则N)=-e, 成立，x=0为极大值点： -14分 .5分 当k=0时，有m'(x)=一xer, 当x<0时，h'(x)>0,即h(x)在（一o∞，0）上单调递增： 在(-o∞，0)上m'(x)>0,m(x)单调递增，在(0,1)上 当0<x<1时，h(x)<0,即h(x)在(0,1)上单调递诚. m'(,x)<0,m(x)单调递减，则m(x)≤m(0)=1, 所以在x=0两侧g(x)=e一 1 所以h(x)≤h(0)=1,故f(x)≤R(x),得证..9分 ≤0=g(0)恒 (3)令f(.x)=e在x=0处的[0,2]阶帕德近似为 1-x+kx2 成立，x=0为极大值点； .-15分 R1(x)= 1+b.x+b2.x2 当k<0时，m'()=k:[x+(2-)]e,而2-为 由f(0)=R(0),则ao=1,故Rx)=1+bx+bF >0, 由R1(x)= b1+2b2,x ,1+x+bgr22f()=e,而f(0) 在（侯一2,0）上m(x)>0,m)单调造撞，在0，十o) 上m'(x)<0,m(x)单调遍减，则m(x)≤m(0)=1, R(0),则-b1=1→b1=一1. 1-2b2x 所以R(x)= 所以在r=0两侧g）=e一1=十k≤0=g(0)恤 (1-x+g.x2)2 故R（x)=-26,1-x+b2)+21-2bx)2 成立，x=0为极大值点. .16分 1 (1-x+b2.x2)3 综上，k< 17分绝密★启用前 2025届高三高考考前冲刺押题卷（二）·数学 [满分150分，用时120分钟] 的 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的学校、姓名、班级、准考证号填写在答题卡上相应的位置。 蜜 2.全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效。 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦千净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案用0.5毫米黑色笔 迹签字笔写在答题卡上。 4考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 的 都 参考公式：锥体的体积公式：V=了h(其中s为锥体的底面积，h为锥体的高). 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知集合A={xx2-2x-3>0},B={1,2,3,4},则A∩B= A.{1,2 B.{1,2,3 C.{3,4》 D.{4} 2.已知复数之满足(1十i)之=2+3i,则复数的虚部为 A号 B号 C.- 1-2 n-号 的 种 3.已知平面向量a,b满足1a=2b=2,且c0s〈a,b)=- 3,则b在a方向上的投影向量为 A-0 1 B.60 C.a Dia 4.已知A(-2,0),B(2,0),若圆(.x-a-1)2十(y-3a十2)2=4上存在点P满足PA·PB=5,则a的 取值范围是 () A.[-1,2] B.[-2,1] C.[-2,3] D.[-3,2] 尝 5.已知sin zcos y+cos xsin y= .cos 2x-cosy=sin(y c.3 n-} 6.设抛物线E:.2=2py(p>0)的焦点为F,过点P(0,3)的直线与抛物线E相交于A,B两点，|AF|=2, 1BF1=10,则p= () A.1 B.2 C.4 D.22 家 7.在三棱柱ABCA1B1C中，点D在棱BB1上，满足VA-BCC D= VAICA,BG,点M在棱AC上，且 AM=MC,点N在直线B,上，若MN/平面ADC,则部 A.2 B.3 C.4 D.5 8.已知函数f(x)=sin(cosx)十cos(sinx),则下列结论正确的是 A.f(x)是奇函数 B.f(x)的最大值为2 C.Hx∈R,f(x-π)=f(x) D.Hx∈[0，π]，f(x+x)>0 【名校之约系列2025届高三高考考前冲刺押题卷（二）·数学第1页（共4页）】 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9,现有甲、乙两组数据，甲组数据为x1,x2,,x16:乙组数据为3.x1一9,3x2一9，…，3.x16一9，若甲组数 据的平均数为m,标准差为n,极差为a,第60百分位数为b,则下列说法一定正确的是 () A.乙组数据的平均数为3m一9 B.乙组数据的极差为3a C.乙组数据的第60百分位数为3b一9 D.乙组数据的标准差为n 10.已知函数f(x)的定义域为R,若f1+x)+f(3一x)=2,f(x)-f(2一x)=4-4x,则 A.f(0)=4 B.f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=8 C.f(x)+f(x+2)=8-4z D.f(2024)=-4043 11.函数f(x)=2V3sin.rcos wx十2cos2w.x-1(0<w<1)的图象如图所示，则 A.f(x)的最小正周期为π B.函数f(2x+)是奇函数 Cy=儿+后)@sx的图象关于点(-吾，)对称 D.若y=f)uER,>0)在[0，]上有且仅有三个零点，则∈[，器) 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.若直线y=kx与曲线y=lnx十公相切，则- 13.甲、乙等5人参加A,B,C这三项活动，要求每人只参加一项活动，且每项活动至少有1人参加，若 甲、乙不参加同一项活动，且只有1人参加A活动，则他们参加活动的不同方案有 种。 14.在长方体ABCD-A1B1CD1中，AB=AA1=4,AD=2,点P为侧面ABB1A1内一动点，且满足 CP∥平面ACD1,则CP的最小值为 ,此时点P到直线A,C,的距离为 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且3sinA+cosA=2. (1)求角A: (2)若a=√6，D为BC边上一点，AD为∠BAC的平分线，且AD=1,求△ABC的面积. 【名校之约系列2025届高三高考考前冲刺押题卷（二）·数学第2页（共4页）】 16.(15分)已知椭圆C:+岁1(0>6>0)上的点到焦点距离最短为236，到焦点距离最长 2+√6 (1)求椭圆C的方程： (2)过点M(一1,0)作直线（与椭圆C交于A,B两点，且椭圆C的左、右焦点分别为F1,F2, △F1AF2,△FBF2的面积分别为S1,S2,求|S一S2|的最大值. 17.(15分)如图所示，已知四棱锥P-ABCD中，BC=CD=PA=PB=PC=PD=2,∠ABC=∠ADC =90°. (1)求证：BD⊥平面PAC: (2)当四棱锥P-ABCD的体积最大时，求二面角PBC-A的正弦值. 【名校之约系列2025届高三高考考前冲刺押题卷（二）·数学第3页（共4页）】 18.(17分)中国凉都·六盘水，是全国唯一用气候特征命名的城市，其辖区内有牂舸江及乌蒙大草原等 景区，每年暑假都有大量游客来参观旅游.为了合理配置旅游资源，文旅部门对来牂涧江景区游览 的游客进行了问卷调查，据统计，其中号的人选择只游览样桐江，另外的人选择既游览牂洞江又游 览乌蒙大草原.每位游客若选择只游览牂洞江，则记1分：若选择既游览牂洞江又游览乌蒙大草原 则记2分.假设游客之间的旅游选择意愿相互独立，视频率为概率. (1)从游客中随机抽取2人，记这2人的合计得分为X,求X的分布列和数学期望. (2)从游客中随机抽取n个人(n∈N*),记这n个人的合计得分恰为n十1分的概率为pm,求p1十p2 十p3十…十pm… (3)从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为n分(n∈N”)的概率为am,随着抽取人数 的无限增加，am是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数：若不是，请说明理由. 19.(17分)帕德近似是法国数学家亨利·帕德发明的用有理函数近似特定函数的方法.给定自然数m,n 我们定义函数f(x)在x=0处的[m,n]阶帕德近似为R(x)=,十ax十…+amr“ 1+6x+…+6工。，该函数满足 f(0)=R(0),f(0)=R'(0),(0)=R(0),…,fm+m(0)=Rm+)(0). 注：f"(x)=[f(x)]',f3》(.x)=[f(x)]',,fm(x)=[a-D(x)门' 设函数f(x)=e在x=0处的[0,1]阶帕德近似为R(x). (1)求R(x)的解析式； (2)证明：当x<1时，f(x)≤R(x): (3)设函数gx)=c一1-x十k2,若r=0是gx)的极大值点，求的取值范围. 【名校之约系列2025届高三高考考前冲刺押题卷（二）·数学第4页（共4页）】