精品解析：辽宁省实验中学2024-2025学年高二下学期期中阶段测试数学试卷

辽宁省实验中学2024-2025学年度下学期期中阶段测试 高二年级数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 2. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知等比数列的公比为，设甲：，乙：是递增数列，则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若直线是曲线的切线，则（ ） A. 0 B. C. D. 5. 已知随机变量的分布列为，则（ ） A. B. C. D. 6. 若数列的前n项和，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知变量与变量的关系可以用模型（，为常数）拟合，设，变换后得到一组数据如下： 2 3 4 5 6 102 120 1.42 1.62 1.84 由上表可得经验回归方程为，则（ ） A. 0.206 B. C. 0.596 D. 8. 已知，，，成等比数列，且，若，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知数列的前n项和，则（ ） A. B. 是等差数列 C. 的最大值是2 D. 的最大值是 10. 已知恰有1个零点，则实数a的可能取值是（ ） A. B. C. 0 D. 11. 一个袋子中装有除颜色外完全相同的10个球，其中有6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，记随机变量X为取出白球的个数，随机变量Y为取出黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量Z为取出4个球的总得分，则下列结论中正确的是（ ） A X服从超几何分布 B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数极值点是______． 13. 对一个物理量做n次测量，最后结果的误差，为使误差在的概率不小于0.9973，则至少要测量______次．（若，则） 14. 甲乙丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，则4次传球后球在乙手中的概率是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老人，结果如下面表中所示： 男 女 合计 需要 50 25 s 不需要 200 225 425 合计 250 t 500 （1）求s，t； （2）能否有99%的把握认为该地老年人是否需要帮助与性别有关？ （3）根据（2）的结论，你能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由． 附：， 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10828 16. 已知函数， （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若有最大值，求证：． 17. 已知等比数列的前n项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）令，求的前n项和； （3）令，证明：． 18. 甲乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲获胜的概率是，乙获胜的概率是，每局比赛相互独立． （1）当时，比赛采用3局2胜制，求甲最终获胜的概率； （2）若比赛采用5局3胜制比3局2胜制对甲更有利（即甲最终获胜概率更大），确定p的取值范围； （3）若甲乙共进行10局比赛，随机变量X表示甲获胜的局数．令，，若是数列的唯一的最大项，确定p的取值范围． 19. 设和是两个等差数列，记，其中表示这s个数中最大的数． （1）若， （ⅰ）求，，的值； （ⅱ）证明：是等差数列 （2）证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当时，；或者存在正整数m，使得是等差数列． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 辽宁省实验中学2024-2025学年度下学期期中阶段测试 高二年级数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项分布的方差计算公式求解即可. 【详解】因为，所以. 故选：A. 2. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用条件概率公式的变式公式和对立事件的概率计算，就可以求出结果. 【详解】因为，由对立事件概率计算公式可得：， 又，则. 故选：C 3. 已知等比数列的公比为，设甲：，乙：是递增数列，则甲是乙的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】结合等比数列的单调性及充分条件和必要条件定义判断充分性及必要性可得结论． 【详解】当，时，，不是递增数列，充分性不成立； 当，时，是递增数列，但不成立，必要性不成立． 所以甲是乙的既不充分也不必要条件. 故选：D. 4. 若直线是曲线的切线，则（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设切点坐标为，则利用结合导数的几何意义求得，再将点坐标代入直线和曲线方程，即可求解. 【详解】，则， 设切点坐标为，则，解得， 又点在直线上，又在曲线上， 即，又，解得. 故选：B 5. 已知随机变量的分布列为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用分布列求，再应用期望的性质求即可. 【详解】由题设， 所以. 故选：C 6. 若数列的前n项和，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由求出，然后利用裂项相消法求和即可. 【详解】当时，； 当时，； 也满足；故的通项公式为. 所以， 则. 故选：D 7. 已知变量与变量的关系可以用模型（，为常数）拟合，设，变换后得到一组数据如下： 2 3 4 5 6 1.02 1.20 1.42 1.62 1.84 由上表可得经验回归方程为，则（ ） A. 0.206 B. C. 0.596 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据线性回归方程必过样本中心点，可求，再推导出，可求的值. 【详解】由表格中数据得， ， 代入方程得，，解得，因此. 由两边取对数，得. 又，所以，，即. 故选：D 8. 已知，，，成等比数列，且，若，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】先利用导数法证不等式，然后再确定首项和公比的取值范围，进而利用不等式性质作出判断. 【详解】令，则，令得， 所以当时，，当时，， 因此，所以， 所以，所以， 又，所以， 所以等比数列的公比， 若，则, 则，不合题意； 所以，从而，即， 所以， ，因为，，所以，即. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知数列的前n项和，则（ ） A. B. 是等差数列 C. 的最大值是2 D. 的最大值是 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据前项和公式求出通项公式即可判断A，根据等差的定义结合特例判断B，结合二次函数性质求解最值判断C，根据对勾函数的单调性求解最值判断D. 【详解】A，当时，， 当时，，不满足上式，故，故A正确； B，由A可知，显然，所以不是等差数列，故B错误； C，，故当或6时，有最大值2，C正确； D，， 根据对勾函数性质可知函数在上单调递减，在上单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，且，， 所以的最大值是，D正确， 故选：ACD 10. 已知恰有1个零点，则实数a的可能取值是（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】将可得，构造函数，利用导数求解单调性，即可结合函数图象求解. 【详解】令，得， 令，则， 故当且时，，当时，， 所以函数在和上单调递增，在上单调递增， 且，当时，，当时，， 作出的大致图象如下， 恰有1个零点，即方程只有一个解， 则与只有一个交点，观察图象可知，或， 结合选项可知，选项A和选项D符合题意. 故选：AD 11. 一个袋子中装有除颜色外完全相同的10个球，其中有6个黑球，4个白球，现从中任取4个球，记随机变量X为取出白球的个数，随机变量Y为取出黑球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量Z为取出4个球的总得分，则下列结论中正确的是（ ） A. X服从超几何分布 B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据已知条件，利用超几何分布的定义判断A，根据超几何分布列求出概率和期望即可判断BC，根据，且，利用期望性质求解判断D. 【详解】A选项，由题意知，随机变量X为取出白球的个数， 从10个球（6黑4白）中不放回抽取4个， 服从超几何分布概念，故A正确， BC选项，的取值可能为：， 所以，又， ，， ， 所以， 的取值可能为：， 由题意得，所以， 所以， ， ， 所以， 所以，故B错误，C正确， D选项，由题意，且，故， 则，D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的极值点是______． 【答案】3 【解析】 【分析】先求出导函数，然后根据极值点的定义可得 【详解】的定义域为，所以， 在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以是的极大值点，无极小值点. 故答案为：3 13. 对一个物理量做n次测量，最后结果的误差，为使误差在的概率不小于0.9973，则至少要测量______次．（若，则） 【答案】32 【解析】 【分析】利用正态分布的三段区间概率公式及性质计算即可. 【详解】由误差，得， 由误差在的概率不小于0.9973，得， 因此，解得，于是，解得， 所以至少要测量32次 故答案为：32 14. 甲乙丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，则4次传球后球在乙手中的概率是______． 【答案】## 【解析】 【分析】列举所有情况，利用古典概型概率公式求解即可. 【详解】前4次传球接球的情况有：乙甲乙甲、乙甲乙丙、乙甲丙甲、乙甲丙乙、乙丙甲乙、乙丙甲丙、 乙丙乙甲、乙丙乙丙、丙甲乙甲、丙甲乙丙、丙甲丙甲、丙甲丙乙、丙乙甲乙、丙乙甲丙、丙乙丙甲、丙乙丙乙，共16种， 第4次传球传给乙的情况有：乙甲丙乙、乙丙甲乙、丙甲丙乙、丙乙甲乙、丙乙丙乙，共5种， 设第4次传球传给乙的事件为，则. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老人，结果如下面表中所示： 男 女 合计 需要 50 25 s 不需要 200 225 425 合计 250 t 500 （1）求s，t； （2）能否有99%的把握认为该地老年人是否需要帮助与性别有关？ （3）根据（2）的结论，你能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由． 附：， 0050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）， （2）有 （3）采用分层抽样，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据表格中的数据完善列联表. （2）计算后与临界值比较即可判断. （3）根据（2）知该地区的老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，故选择分层抽样. 【小问1详解】 由列联表知，． 【小问2详解】 由列联表得， 由于，所以有99%的把握认为该地老年人是否需要帮助与性别有关． 【小问3详解】 采用分层抽样，理由如下： 由（2）的结论知，该地区的老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异， 因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好． 16. 已知函数， （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若有最大值，求证：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，根据导数的几何意义求出切线方程； （2）求出函数导函数，分，两种情况讨论函数的单调性，即可得到函数的最大值，依题意即证，构造函数，利用导数说明函数的单调性，即可证明. 【小问1详解】 当时，．， 则，， 故曲线在点处的切线方程是． 【小问2详解】 函数定义域为， 又， 当时，，故在上单调递增，无最大值； 当时，令，则， 所以时，，时，， 所以在上单调递增，在上单调递减． 故的最大值是， 要证， 令，，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，则．即，得证． 17. 已知等比数列的前n项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）令，求的前n项和； （3）令，证明：． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据和关系求得，即可求出公比，再利用条件求出，即可求解通项公式. （2）利用错位相减法求和即可. （3）通过变形得，结合等比数列求和公式及数列的有界性证明即可. 【小问1详解】 由，得， 两式相减，得， 即，又是等比数列，故公比， 由，知，则． 【小问2详解】 由题， 则， ， 两式相减，得， 即． 【小问3详解】 ，由， 得： 则. 18. 甲乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲获胜的概率是，乙获胜的概率是，每局比赛相互独立． （1）当时，比赛采用3局2胜制，求甲最终获胜的概率； （2）若比赛采用5局3胜制比3局2胜制对甲更有利（即甲最终获胜概率更大），确定p的取值范围； （3）若甲乙共进行10局比赛，随机变量X表示甲获胜的局数．令，，若是数列的唯一的最大项，确定p的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据独立事件乘法公式和互斥事件加法公式求解即可. （2）根据独立事件乘法公式和互斥事件的加法公式分别求解3局2胜制和5局3胜制甲获胜的概率，然后列不等式求解即可. （3）根据二项分布列的概率公式求出，然后根据列不等式求出p的取值范围，然后通过对相邻项作比建立不等式，确定唯一性，即可得解. 【小问1详解】 3局2胜制甲最终获胜结果可以是：、，每局比赛甲获胜的概率， 根据独立事件乘法公式和互斥事件的加法公式得 则甲最终获胜概率是：． 【小问2详解】 3局2胜制甲最终获胜结果可以是：、，每局比赛甲获胜的概率， 根据独立事件乘法公式和互斥事件的加法公式得 甲最终获胜概率是：， 5局3胜制甲最终获胜结果可以是：、、， 则甲最终获胜概率是：， 由题知，即， 则， 又，则p的取值范围是． 【小问3详解】 由题，，故，． 是数列的唯一的最大项，则必有， 即，解得：， 此时，，则 则时，；时，； 即，故是数列的唯一的最大项． 综上，p的取值范围是． 19. 设和是两个等差数列，记，其中表示这s个数中最大的数． （1）若， （ⅰ）求，，的值； （ⅱ）证明：是等差数列 （2）证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当时，；或者存在正整数m，使得是等差数列． 【答案】（1）（ⅰ）0，；（ⅱ）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）根据数列新定义直接求解即可； （ⅱ）先通过作差法判断关于单调递减，然后求出，再利用等差数列定义证明即可. （2）设数列和的公差分别为，，则，分、和三种情况分类讨论，即可证明. 【小问1详解】 （ⅰ）， ， ． （ⅱ）当时，， 所以关于单调递减． 所以，又，， 所以对任意，，于是， 所以是等差数列． 【小问2详解】 设数列和的公差分别为，， 则， 所以， ①当时，取正整数，则当时，，因此． 此时，是等差数列． ②当时，对任意，． 此时，是等差数列． ③当时，当时，有． 所以． 对任意正数M，取正整数， 故当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$