专题04 复数（易错必刷40题8种题型专项训练）-2024-2025学年高一数学下学期期末考点大串讲（苏教版2019必修第二册）

专题04 复数 （易错必刷40题8种题型专项训练） 题型一　复数的几何意义 题型二　复数相等的充要条件 题型三　复数的加、减运算 题型四　把复数表示成代数形式 题型五　复数模的综合问题 题型六　复数的三角形式乘法运算 题型七　复数的三角形式除法运算 题型八　在复数范围内解方程 题型一　复数的几何意义 1．（23-24高二下·甘肃庆阳·期末）已知平行四边形的三个顶点、、分别对应的复数为、、，则第四个顶点对应的复数是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·全国·模拟预测）已知复平面中，平行四边形的顶点，，的坐标分别为，，，则顶点所对应的复数为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·海南·模拟预测）如图，复平面内的平行四边形的顶点和对应的复数分别为和，则点对应的复数为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高三下·江西景德镇·阶段练习）在复平面内，平行四边形的三个顶点，A，B，C对应的复数分别为，，(为虚数单位)，则点D对应的复数为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·广东珠海·期末）已知平行四边形的三个顶点分别对应的复数为，则第四个顶点对应的复数为（    ） A． B． C． D． 题型二　复数相等的充要条件 6．（24-25高一下·陕西商洛·期中）若与均为实数，且，则的值为（    ） A．3 B．4 C． D． 7．（24-25高三上·黑龙江绥化·期中）已知复数（其中是虚数单位）的实部与虚部相等，则实数等于（ ） A． B． C．2 D．3 8．（22-23高一下·上海虹口·期末）已知，则下列说法中与“是纯虚数”不等价的是（    ） A． B． C．且 D．或，且 9．（24-25高一下·全国·课后作业）已知a，b∈R，设z1＝2＋bi，z2＝a＋i，且z1－z2＝0，则复数a＋bi为（    ） A．1＋i B．2＋i C．3 D．－2－i 10．（2024·陕西咸阳·三模）设为虚数单位，，则（    ） A． B． C． D． 题型三　复数的加、减运算 11．（24-25高一下·安徽·期中）设，则（    ） A． B． C． D． 12．（2025·广西·三模）已知复数满足，则（   ） A． B． C． D． 13．（23-24高一下·辽宁·期末）如果复数满足：，那么 （   ） A． B． C． D． 14．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）在复数范围内方程的两个根分别为，，则（    ） A．1 B． C． D． 15．（24-25高三下·山东菏泽·开学考试）已知，则（    ） A． B． C．0 D．1 题型四　把复数表示成代数形式 16．（2024高一下·全国·专题练习）复数的代数形式为（    ） A． B．1＋i C．1 D．i 17．（23-24高一·全国·课后作业）已知复数z1＝，z2＝，则z1z2的代数形式是（    ） A． B． C．－i D．＋i 18．（2024高一下·全国·专题练习）将代数形式的复数改写成三角形式为（　　） A． B． C． D． 19．（2024高一下·全国·专题练习）复数化为代数形式为（    ） A．i B． C． D． 20．（24-25高三上·重庆·阶段练习）法国数学家佛朗索瓦·韦达最早发现了代数方程的根与系数之间的关系，因此人们把这个关系称为韦达定理，韦达定理也可用于复数系一元二次方程中，即这也是因式分解中的“十字相乘法”. 设 (为坐标原点)的三个顶点为复平面上的三点，它们分别对应复数， 且 则的面积为（   ） A．6 B．6 C．12 D． 题型五　复数模的综合问题 21．（24-25高一下·浙江杭州·期中）复数，满足，，则的最小值为 . 22．（24-25高一下·河南·期中）已知复数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 23．（24-25高二下·浙江衢州·期中）已知复数，则（   ） A． B． C．1 D． 24．（24-25高一下·浙江宁波·阶段练习）设z为复数，若=1，则的最大值为 . 25．（24-25高三上·贵州贵阳·期末）已知复数在复平面内对应的点的坐标为，且满足，则（   ） A． B． C． D． 题型六　复数的三角形式乘法运算 26．（2025·福建省漳州第一中学高一期末）如果向量对应复数绕原点按顺时针方向旋转后再把模变为原来的倍得到向量，则对应的复数是___________. 27．（23-24高一下·福建泉州·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3) 28．（2024高一下·全国·专题练习） . 29．（23-24高一下·浙江宁波·阶段练习）复数的虚部是 ；若复数满足为虚数单位，则的取值范围为 . 30.计算的值是（    ） A． B． C． D． 题型七　复数的三角形式除法运算 31．（24-25高一下·全国·课后作业）复数是方程的一个根，那么的值为（   ） A． B． C． D． 32．（24-25高一下·全国·课后作业）复数经过n次乘方后，所得的复数等于它的共轭复数，则n的值等于（   ） A．3 B．12 C． D． 33．（24-25高一下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 34．（24-25高一下·全国·课后作业）复数，的共轭复数是，在复平面内，复数对应的点为，与为定点，则函数取最大值时，在复平面上以，A，B三点为顶点的图形是（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 35（2024·高一课时练习）已知复数，则（    ）． A． B． C． D． 题型八　在复数范围内解方程 36．（24-25高三下·湖北·阶段练习）已知，虚数是关于的方程的根，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 37．（24-25高一下·广东·期中）一元二次方程的两个虚根为 . 38．（24-25高一下·河北·期中）已知复数是关于的方程的一个根，则（    ） A．7 B．3 C． D． 39．（24-25高三下·上海·阶段练习）若是关于的实系数方程的一个复数根，则 . 40．（24-25高三上·河北石家庄·期末）已知是关于的方程的一个根，均为实数，则（    ） A．7 B．3 C． D． 1 / 1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 复数 （易错必刷40题8种题型专项训练） 题型一　复数的几何意义 题型二　复数相等的充要条件 题型三　复数的加、减运算 题型四　把复数表示成代数形式 题型五　复数模的综合问题 题型六　复数的三角形式乘法运算 题型七　复数的三角形式除法运算 题型八　在复数范围内解方程 题型一　复数的几何意义 1．（23-24高二下·甘肃庆阳·期末）已知平行四边形的三个顶点、、分别对应的复数为、、，则第四个顶点对应的复数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】可求得、、三点的坐标，利用可求得点的坐标，进而可求得点对应的复数. 【详解】由已知条件可得、、， 设点的坐标为，，， 四边形为平行四边形，则，即，解得，即点， 因此，点对应的复数为. 故选：A. 2．（2024·全国·模拟预测）已知复平面中，平行四边形的顶点，，的坐标分别为，，，则顶点所对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由为平行四边形，可得，即可求出点的坐标，进而可得出答案. 【详解】∵四边形为平行四边形， ∴． 而，， ∴， ∴点的坐标为， ∴顶点所对应的复数为. 故选：B． 3．（2024·海南·模拟预测）如图，复平面内的平行四边形的顶点和对应的复数分别为和，则点对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由复数对应的坐标，结合向量的线性关系求，即可写出对应的复数. 【详解】如图，由，而， ∴，故对应的复数为. 故选：D. 4．（23-24高三下·江西景德镇·阶段练习）在复平面内，平行四边形的三个顶点，A，B，C对应的复数分别为，，(为虚数单位)，则点D对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用复数的几何意义写出各点的坐标，再利用平行四边形构造相等向量列方程组求解. 【详解】由题知，，，，设. 则，. 因为为平行四边形，所以. 由，解得， 所以点对应的复数为. 故选：A. 5．（23-24高一下·广东珠海·期末）已知平行四边形的三个顶点分别对应的复数为，则第四个顶点对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用复数的几何意义写出各点的坐标，再利用平行四边形构造相等向量列方程组求解. 【详解】由题知，，，，设. 则，. 因为为平行四边形，所以. 由，解得， 所以点对应的复数为. 故选：D. 题型二　复数相等的充要条件 6．（24-25高一下·陕西商洛·期中）若与均为实数，且，则的值为（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】由复数相等的充要条件即可得出答案. 【详解】由复数相等的充要条件，即两个复数相等，则它们的实部相等，虚部相等，可得. 故选：C. 7．（24-25高三上·黑龙江绥化·期中）已知复数（其中是虚数单位）的实部与虚部相等，则实数等于（ ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】由题意得，解方程即可 【详解】因为的实部与虚部相等， 所以，解得， 故选：C. 8．（22-23高一下·上海虹口·期末）已知，则下列说法中与“是纯虚数”不等价的是（    ） A． B． C．且 D．或，且 【答案】A 【分析】利用复数的基本概念依次判断即可. 【详解】对于选项A，设，R , 由可知，，即， 但是不能说明一定不等于零，所以不能说明是纯虚数； 对于选项B，设，R , 由可知，即，，所以可知是纯虚数； 对于选项C，复数实部为，虚部不等于，所以可知是纯虚数； 对于选项D，设，R , 由可知，，则， 又因为，所以，同理且，可知，，所以可知是纯虚数； 故选：A. 9．（24-25高一下·全国·课后作业）已知a，b∈R，设z1＝2＋bi，z2＝a＋i，且z1－z2＝0，则复数a＋bi为（    ） A．1＋i B．2＋i C．3 D．－2－i 【答案】B 【分析】由已知可得(2－a)＋(b－1)i＝0，即可求，写出复数a＋bi即可. 【详解】∵z1－z2＝(2－a)＋(b－1)i＝0， ∴，即， ∴a＋bi＝2＋i. 故选：B. 10．（2024·陕西咸阳·三模）设为虚数单位，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题中条件，根据复数相等列出方程组，求出，即可得出结果. 【详解】由，可得， 则，解得，因此. 故选：B. 题型三　复数的加、减运算 11．（24-25高一下·安徽·期中）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出，即可求出. 【详解】， 则. 故选：D. 12．（2025·广西·三模）已知复数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设复数，根据定义得到其共轭复数，再根据复数相等的充要条件列方程求解. 【详解】设复数，则其共轭复数， 所以， 则，解得.所以. 故选：C. 13．（23-24高一下·辽宁·期末）如果复数满足：，那么 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先设复数,再计算即可求出复数. 【详解】设，则, 所以, 所以, 所以. 故选：A. 14．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）在复数范围内方程的两个根分别为，，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出两复数根，再根据复数的加法运算及复数的模的公式即可得解. 【详解】根据题意可得， ，即， 当，时，， ， 当，时，， ， 综上，. 故选：D. 15．（24-25高三下·山东菏泽·开学考试）已知，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】根据复数的除法运算求出，再由共轭复数的概念得到，从而解出． 【详解】因为， 所以，即． 故选：A． 题型四　把复数表示成代数形式 16．（2024高一下·全国·专题练习）复数的代数形式为（    ） A． B．1＋i C．1 D．i 【答案】B 【分析】根据复数的运算求解即可. 【详解】 ， 故选：B. 17．（23-24高一·全国·课后作业）已知复数z1＝，z2＝，则z1z2的代数形式是（    ） A． B． C．－i D．＋i 【答案】D 【分析】利用复数三角形式的乘法法则，计算即可得解. 【详解】 故选:D. 18．（2024高一下·全国·专题练习）将代数形式的复数改写成三角形式为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，结合复数的三角形式的表示方法，即可求解. 【详解】因为复数在复平面内所对应的点在虚轴正半轴上，可得， 所以，所以. 故选：D. 19．（2024高一下·全国·专题练习）复数化为代数形式为（    ） A．i B． C． D． 【答案】D 【分析】直接代入三角函数值即可运算求解. 【详解】. 故选：D. 20．（24-25高三上·重庆·阶段练习）法国数学家佛朗索瓦·韦达最早发现了代数方程的根与系数之间的关系，因此人们把这个关系称为韦达定理，韦达定理也可用于复数系一元二次方程中，即这也是因式分解中的“十字相乘法”. 设 (为坐标原点)的三个顶点为复平面上的三点，它们分别对应复数， 且 则的面积为（   ） A．6 B．6 C．12 D． 【答案】A 【分析】根据题意可知知 是方程 的两根，再利用因式分解可得 ，即得 在复平面上的顶点坐标，即可求解. 【详解】 ， 根据韦达定理知 是方程 的两根， 因式分解可得方程两根为 ，不妨设 ， 则 在复平面上的顶点坐标为 ， 所以，故A正确. 故选 ：A. 题型五　复数模的综合问题 21．（24-25高一下·浙江杭州·期中）复数，满足，，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】设，利用复数模的意义求出在复平面内对应点的轨迹，再结合复数的几何意义及圆的性质求出最小值. 【详解】设，则，由，得， 整理得，即在复平面内对应点的轨迹为直线， 由，得在复平面内对应点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆， 过点作于点，线段交圆于，则为等腰直角三角形，， 而表示在复平面内复数对应点的距离， 所以的最小值为. 故答案为： 22．（24-25高一下·河南·期中）已知复数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定所表示的图形，再分析的几何意义，最后结合图形求出的最大值． 【详解】设（），则． 已知，根据复数的模的计算公式可得． 等式两边同时平方可得， 这表示复平面上以点为圆心，半径的圆． 因为，所以，则， 它表示复平面上复数所对应的点与点之间的距离． 根据两点间距离公式，可得圆心与点之间的距离为： ． 因为表示点与点之间的距离，而点在以为圆心，半径为的圆上， 所以的最大值为圆心到点的距离加上圆的半径，即． 的最大值为． 故选：A． 23．（24-25高二下·浙江衢州·期中）已知复数，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】根据复数模的计算公式求即可. 【详解】法一：已知复数， ； 法二：； 故选：C. 24．（24-25高一下·浙江宁波·阶段练习）设z为复数，若=1，则的最大值为 . 【答案】3 【分析】设，由模长公式得到.然后由模长公式得到的代数式，由函数的单调性可知，当取最大值时取得最大，由求出的最大值，从而得出结果. 【详解】设，则，即， ，∴， ∵在上单调递增， ∵，， ∴当时，取最大值3. 故答案为：3. 25．（24-25高三上·贵州贵阳·期末）已知复数在复平面内对应的点的坐标为，且满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设复数，结合复数的模长运算和几何意义可得. 【详解】设复数，则， 所以， 所以在复平面上，表示到点的距离为1，即表示以为圆心，1为半径的圆， 故选：D． 题型六　复数的三角形式乘法运算 26．（2025·福建省漳州第一中学高一期末）如果向量对应复数绕原点按顺时针方向旋转后再把模变为原来的倍得到向量，则对应的复数是___________. 【答案】 【解析】解：因为， 所以由题意可得对应的复数为 ， 故答案为： 27．（23-24高一下·福建泉州·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）直接利用复数的四则运算求解； （3）利用复数的三角运算求解. 【详解】（1）； （2） ； （3） 28．（2024高一下·全国·专题练习） . 【答案】 【分析】借助复数的三角表示的运算法则计算即可得. 【详解】 . 故答案为：. 29．（23-24高一下·浙江宁波·阶段练习）复数的虚部是 ；若复数满足为虚数单位，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】借助复数的运算法则及复数的三角形式运算即可得. 【详解】，故复数的虚部是； 因为复数满足，则设，有， 因此 ， 而时，，则， 即， 于是，所以的取值范围为. 故答案为：；. 30.计算的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为 所以， 所以， 故选：B. 题型七　复数的三角形式除法运算 31．（24-25高一下·全国·课后作业）复数是方程的一个根，那么的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的三角形式的运算求解即可. 【详解】因为是方程的一个根， 所以． 故选：D. 32．（24-25高一下·全国·课后作业）复数经过n次乘方后，所得的复数等于它的共轭复数，则n的值等于（   ） A．3 B．12 C． D． 【答案】C 【分析】用共轭复数的概念，以及复数的三角表示即可. 【详解】由题意，得， 由复数相等的定义，得 解得，． 故选：C 33．（24-25高一下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】直接利用复数的三角表示的运算法则结合三角恒等变换计算得到答案. 【详解】（1）原式． （2）原式． 34．（24-25高一下·全国·课后作业）复数，的共轭复数是，在复平面内，复数对应的点为，与为定点，则函数取最大值时，在复平面上以，A，B三点为顶点的图形是（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 【答案】D 【分析】利用复数的三角形式，可得，可求的最大值，进而求得，计算可判断图形的形状. 【详解】，．， ， 当时，取得最大值， 即当，，即，时，取最大值， 此时，． 又，， ． ． 又， ，且， 该图形为等腰三角形． 故选：D． 35（2024·高一课时练习）已知复数，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由已知，复数， 故选：A． 题型八　在复数范围内解方程 36．（24-25高三下·湖北·阶段练习）已知，虚数是关于的方程的根，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】将方程的根代入方程，化为复数的代数形式，根据复数为零求出参数的值. 【详解】由题，，即， 所以，得，，所以. 故选：B 37．（24-25高一下·广东·期中）一元二次方程的两个虚根为 . 【答案】和 【分析】根据复数根的求解方法求解即可. 【详解】，所以，所以，得， 所以方程的两个虚根为和. 故答案为：和. 38．（24-25高一下·河北·期中）已知复数是关于的方程的一个根，则（    ） A．7 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】将代入，求得，进而得到答案. 【详解】因为是关于的方程的一个根，所以， 即，所以且，解得，， 所以． 故选：D． 39．（24-25高三下·上海·阶段练习）若是关于的实系数方程的一个复数根，则 . 【答案】 【分析】根据实系数方程虚根成对出现得另一根，再结合韦达定理求得结果. 【详解】因为是关于的实系数方程的一个复数根， 所以是关于的实系数方程的另一个复数根， 因此 故答案为： 40．（24-25高三上·河北石家庄·期末）已知是关于的方程的一个根，均为实数，则（    ） A．7 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】可根据实系数一元二次方程的根的性质求出方程的另一个根，再利用韦达定理求出、的值，最后计算. 【详解】因为是关于的实系数方程的一个根，所以另外一个根是， 由韦达定理可知，，故. 故选：A． 1 / 1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$