专题02 三角恒等变换（易错必刷40题8种题型专项训练）-2024-2025学年高一数学下学期期末考点大串讲（苏教版2019必修第二册）

专题02 三角恒等变换 （易错必刷40题8种题型专项训练） 题型一　两角和与差的正（余）弦公式 题型二　两角和与差的正切公式 题型三　二倍角公式的简单应用 题型四　给角求值、给值求值、给值求角 题型五 辅助角公式的应用 题型六　三角恒等变换在实际问题中的应用 题型七　利用半角公式化简求值问题 题型八 三角恒等变换与三角函数图象性质的综合 题型一　两角和与差的正（余）弦公式 1．已知则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先要根据已知角的范围求出相关角的余弦值，然后利用两角差公式将所求的转化为已知角的三角函数组合来求解. 【详解】已知，那么. 因为，根据，可得： . 把变形为. 由两角差公式可得： . 把，，，代入上式得： . 故选：B. 2．已知，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由将切化弦，再通分，结合两角差的正弦公式求出，再由两角差的余弦公式求出，即可得解. 【详解】因为，， 所以， 所以， 又，所以， 所以. 故选：A 3．在中，，则 . 【答案】 【分析】由已知条件，利用三角恒等变换化简求出即可得解. 【详解】由， 化弦可得, 又，, 所以，解得， 因为，所以. 故答案为： 4．已知，且，，则 . 【答案】/ 【分析】同时平方，根据同角三角函数的平方关系得到，再利用两角和的正弦公式的逆用求得，再根据的范围求得的值. 【详解】因为，，所以， 即， 所以， 由，得，则. 故答案为：. 5．若，则 【答案】5 【分析】根据正弦的和差角公式可得，即可利用弦切互化求解. 【详解】由可得， 故， 故答案为：5 题型二　两角和与差的正切公式 6．已知，则 . 【答案】 【分析】将化为，再利用两角和的正切公式求解即可. 【详解】由题意得， 则， 故答案为： 7．已知，都是锐角，且，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】首先得到，结合基本不等式即可求解. 【详解】都是锐角，所以， 由， 可得， 由基本不等式有， 所以， 可得或（舍） 所以， 当且仅当时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为： 8．已知，且，则 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先利用三角函数正切函数的和差公式计算判定BD，再运用正切函数性质，放缩判定AC. 【详解】，则，则， 整理得到. 因此.故B错误，D正确. ，则，.则. 且.解得.同理得，则， 因此得，则.故AC错误. 故选：D. 9．若，，则的值为（    ） A． B．0 C． D．1 【答案】A 【分析】应用两角和差的正弦及正切公式计算求解得出，最后应用对数运算化简求值. 【详解】因为， 又因为，所以 所以， ， 则. 故选：A. 10．如图正方形ABCD的边长为1，，分别为边AB，DA上的点．当的周长为2时，（    ）（提示：） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，，，，则，，且的周长为2，即，利用三角函数的和差角公式计算即可. 【详解】设，，，，则，， 于是， 又的周长为2，即，变形得， 则，又，因此， 所以. 故选：C 题型三　二倍角公式的简单应用 11．已知，满足，则当时，的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题干中的等式求得参数，根据三角函数的恒等变换化简函数解析式，结合正弦函数单调性，可得答案. 【详解】由，则，解得， 由， 且，即，则. 故选：D. 12．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由三角函数的诱导公式和余弦的二倍角公式求解即可. 【详解】. 故选：B 13．已知幂函数（），在区间上是单调减函数．若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由幂函数的单调性结合不等式求出，再由同角的三角函数和二倍角的正弦计算即可； 【详解】由题意可得，解得，又，所以，所以， ，所以， 所以， 所以，即， 因为，，所以， 所以，所以. 故选：A. 14．如图，在扇形中，半径，圆心角，C为扇形弧上的动点，矩形内接于扇形，则矩形的面积的最大值为 ．    【答案】/ 【分析】利用三角函数的定义表示出点，在直角三角形中表示出，进而得出矩形的面积表达式，从而得到最大值. 【详解】设点，由则， 所以矩形的面积 ， 由，，， ，当且仅当时取到最大值. 故矩形的面积的最大值为 故答案为： 15．求值： ． 【答案】1 【分析】由，切化弦，再由辅助角公式即可化简求值； 【详解】 ． 故答案为：1 题型四　给角求值、给值求值、给值求角 16．若，则 . 【答案】 【分析】由诱导公式结合和差角公式求解即可. 【详解】 故答案为： 17．已知是第三象限角，则 . 【答案】/ 【分析】利用正弦的差角公式先计算，结合诱导公式及同角三角函数的平方关系再利用正弦的和角公式计算即可. 【详解】因为， 且为第三象限角，所以， 所以 . 故答案为： 18．已知，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对平方得，根据及同角三角函数基本关系式得，进而得出且；根据及，利用同角三角函数基本关系式得，再由二倍角公式得出，进而有，，最后由两角和的余弦公式计算即可. 【详解】由题意得，所以， 因为，所以，所以， 又，所以，且, 所以，且. 因为，所以，又，所以， 所以， 又，所以. 因为，所以，所以. 所以. 故选：A. 19．若，，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二倍角公式，以及两角差的正切公式，以及结合角的范围，诱导公式，即可求解. 【详解】， 因为，所以， 所以，得. 故选：D 20．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先得到，即，根据，得到，即. 【详解】， 所以， 则， 即． 因为，所以， 所以， 解得． 故选：B． 题型五 辅助角公式的应用 21．（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用辅助角公式以及二倍角公式即可求解. 【详解】， 故选：B 22．已知函数，若对任意，在区间上的值域均为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角恒等变换将函数化成正弦型函数，结合函数在上的值域和题设条件，可知区间长度必须大于一个周期，从而建立不等式，即可求得的范围. 【详解】因为， 当时，，故． 因为，在上的值域均为， 故区间长度必须大于一个周期， 即，解得． 故选：A. 23．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为，这一数值也可表示为，若，则 ； 【答案】 【分析】根据，，求得，代入应用辅助角公式即可求解. 【详解】因为，， 所以，， 所以， 故答案为：. 24．当， ． 【答案】或， 【分析】由辅助角公式可得，再取角即可. 【详解】因为， 所以， 即， 所以或， 即或， 故答案为：或. 25．已知函数的最小正周期为. (1)若，求的值域； (2)若，，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先化简函数的解析式，根据周期求，再利用代入法求函数的值域； （2）根据（1）的结果，代入求得，再利用换元，以及二倍角公式，两角和的正弦公式，即可求解. 【详解】（1） ， 因为函数的最小正周期为，所以，得， 所以， ，则，所以， 所以函数的值域是； （2）， 设，，则，，所以， 所以， . 题型六　三角恒等变换在实际问题中的应用 26．如图，某城市有一条公路从正西方沿通过市中心后转到北偏东的上，为了缓解城市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路，并在、上分别设置两个出口、．若要求市中心与的距离为千米，则线段最短为（    ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 【答案】D 【分析】过点作，垂足为点，设，，且，，计算得出，利用两角差的正切公式以及基本不等式可求得的最小值. 【详解】过点作，垂足为点，设，，且，， 由题意可得，， 所以， ， 因为， 令，则 ， 当且仅当时，等号成立， 故（千米）. 故选：D. 27．如图，以正方形的各边为底可以向外作四个腰长为的等腰三角形，则正方形与四个等腰三角形面积之和的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设等腰三角形的底角为，其中，将正方形与四个等腰三角形面积之和用的三角函数式表示出来，利用三角恒等变换以及正弦型函数的有界性可求得结果. 【详解】设等腰三角形的底角为，其中，则等腰三角形的高为，其底边长为， 所以，正方形与四个等腰三角形面积之和为， ，则，故当时，即当时， 取得最大值. 故选：B. 28．如图，已知直线，为、之间的定点，并且到、的距离分别为和，点、分别是直线、上的动点，使得.过点作直线，交于点，交于点，设，则的面积最小值为 .    【答案】 【分析】计算得出，，利用二倍角的正弦公式以及正弦函数的有界性可求得的最小值. 【详解】因为直线，为、之间的定点，并且到、的距离分别为和， 过点作直线，交于点，交于点，则，，且， 又因为，则，故，且， 在中，，则， 在中，，则， 所以，， 因为，则，故当时，即当时，取最小值，且最小值为. 故答案为：. 29．如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，矩形内接于扇形，记，矩形的面积为． (1)求； (2)求的最大值及此时的值； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2)，； (3) 【分析】（1）求出、、关于的表达式，利用三角恒等变换化简函数的表达式即可，并写出该函数的定义域； （2）由可求出的取值范围，由正弦型函数的基本性质可求得的最大值及其对应的值； （3）由可求出的取值范围，由可得出，可得出的取值范围，解之即可. 【详解】（1）根据题意可知，，， 所以， 整理得 . 即. （2）由（1）知， 所以，显然时，，此时. （3）由，可得， 因为，所以，解得， 即不等式的解集为. 30．如图，长方形ABCD，，，的直角顶点P为AD中点，点M、N分别在边AB，CD上，令． (1)当时，求梯形BCNM的面积S； (2)求的周长l的最小值，并求此时角的值． 【答案】(1) (2)当时，. 【分析】（1）在中，由直角三角形的边角关系得出，进而得出梯形BCNM的面积S； （2）由直角三角形的边角关系以及勾股定理得出，再由换元法结合正弦函数的性质求解即可. 【详解】（1） ，， （2）由（1）可知， ，， 令，则，即 当，即时，. 题型七　利用半角公式化简求值问题 31．已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正弦、余弦的二倍角公式化原式为，根据结合，解出，再由降幂公式求出即可求解. 【详解】， 因为，即，， 解得，又，， 所以. 故选：A． 32．已知，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】先由得，再通过降幂公式化简得，代入即可求解. 【详解】由，得，即，，所以，. 故选：D． 33．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题可得，从而可求出，即得. 【详解】∵ 所以，又因为，， 所以，即， 所以，又因为， 所以，． 故选：C． 34．已知，，则 ． 【答案】/ 【分析】根据同角的三角函数关系式，结合降幂公式、诱导公式进行求解即可. 【详解】解：由，，得， 所以． 故答案为： 35．已知. (1)求的最小正周期； (2)求的单调增区间； (3)当时，求的值域. 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）利用降幂公式等化简可得，结合周期公式可得结果； （2）由，，解不等式可得增区间； （3）由的范围，得出的范围，根据正弦函数的性质即可得结果. 【详解】（1） ∴函数的最小正周期. （2）由， 得， ∴所求函数的单调递增区间为，. （3）∵， ∴ ∴，， ∴的值域为. 题型八 三角恒等变换与三角函数图象性质的综合 36．已知函数，，则下列结论正确的是（   ） A．函数的最大值为2 B．函数的单调递增区间是 C．函数的图象关于点中心对称 D．直线与函数的图象所有公共点的横坐标之和为 【答案】D 【分析】应用三角恒等变换化简，结合正弦型三角函数的性质依次判断各项的正误. 【详解】， 由，则， 当，即时，取最大值为3，A错； 由正弦函数的单调性，知和， 即和时，单调递增，B错； ，但不关于对称，C错； 令，则，又， 所以或或，即或或， 故所有公共点的横坐标之和为，D对. 故选：D 37．已知函数的图象关于直线对称，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D． 【答案】B 【分析】分析可知为函数的最大值，结合辅助角公式解得，即可得结果. 【详解】因为，其中， 若函数的图象关于直线对称，为函数的最大值， 则，解得， 所以. 故选：B. 38．已知是函数的图象在轴上的两个相邻交点，若，则 ． 【答案】或 【分析】利用倍角公式及辅助角公式化简函数的解析式，根据求，利用建立等量关系可得结果. 【详解】由题意得， 令，得，则， ∴或， ∴或， ∵，∴或，解得或． 故答案为：或. 39．已知函数． (1)求的最小正周期以及单调递增区间； (2)设函数在区间上单调递减，求实数的取值范围； (3)当时，关于的方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围． 【答案】(1)，； (2)； (3). 【分析】（1）先化简解析式，运用周期公式求出最小正周期，用整体代入法求单调区间； （2）由 时，得，结合函数单调性列出的不等式即可求出； （3）方程有两个不相等的实数根，即函数与函数的图像有两个交点，结合图像求解即可. 【详解】（1） 所以函数的最小正周期为. 令，解得， 所以函数的单调递增区间为. （2）当时，， 因为在区间上单调递减，所以，解得. 所以实数的取值范围是. （3）令，∵，∴， 因为方程有两个不相等的实数根，所以函数与函数的图像有两个交点.结合图像，得，解得. 所以实数的取值范围是. 40．已知， (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)解不等式； (3)若为锐角，且，求的值． 【答案】(1)最小正周期为，单调递增区间为； (2) (3) 【分析】（1）利用辅助角公式得到，根据求出最小正周期，整体法求出单调递增区间； （2）在（1）基础上，得到不等式，数形结合得到解集； （3）在（1）基础上，得到，由同角三角函数关系和角的范围求出，凑角法，结合余弦差角公式求出答案. 【详解】（1）， 故的最小正周期， 令， 解得， 故的单调递增区间为； （2）由（1）知，，即， 故，解得， 所以的解集为； （3）由（1）得，即， 因为为锐角，所以，故， 当时，， 而，故，所以， 则， . 1 / 1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 三角恒等变换 （易错必刷40题8种题型专项训练） 题型一　两角和与差的正（余）弦公式 题型二　两角和与差的正切公式 题型三　二倍角公式的简单应用 题型四　给角求值、给值求值、给值求角 题型五 辅助角公式的应用 题型六　三角恒等变换在实际问题中的应用 题型七　利用半角公式化简求值问题 题型八 三角恒等变换与三角函数图象性质的综合 题型一　两角和与差的正（余）弦公式 1．已知则（   ） A． B． C． D． 2．已知，，则的值是（   ） A． B． C． D． 3．在中，，则 . 4．已知，且，，则 . 5．若，则 题型二　两角和与差的正切公式 6．已知，则 . 7．已知，都是锐角，且，则的最小值为 . 8．已知，且，则 A． B． C． D． 9．若，，则的值为（    ） A． B．0 C． D．1 10．如图正方形ABCD的边长为1，，分别为边AB，DA上的点．当的周长为2时，（    ）（提示：） A． B． C． D． 题型三　二倍角公式的简单应用 11．已知，满足，则当时，的值域为（   ） A． B． C． D． 12．已知，则（    ） A． B． C． D． 13．已知幂函数（），在区间上是单调减函数．若，，则（   ） A． B． C． D． 14．如图，在扇形中，半径，圆心角，C为扇形弧上的动点，矩形内接于扇形，则矩形的面积的最大值为 ．    15．求值： ． 题型四　给角求值、给值求值、给值求角 16．若，则 . 17．已知是第三象限角，则 . 18．已知，，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 19．若，，且，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 20．已知，，则（    ） A． B． C． D． 题型五 辅助角公式的应用 21．（    ） A． B． C． D． 22．已知函数，若对任意，在区间上的值域均为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 23．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为，这一数值也可表示为，若，则 ； 24．当， ． 25．已知函数的最小正周期为. (1)若，求的值域； (2)若，，求的值. 题型六　三角恒等变换在实际问题中的应用 26．如图，某城市有一条公路从正西方沿通过市中心后转到北偏东的上，为了缓解城市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路，并在、上分别设置两个出口、．若要求市中心与的距离为千米，则线段最短为（    ） A．千米 B．千米 C．千米 D．千米 27．如图，以正方形的各边为底可以向外作四个腰长为的等腰三角形，则正方形与四个等腰三角形面积之和的最大值为（    ） A． B． C． D． 28．如图，已知直线，为、之间的定点，并且到、的距离分别为和，点、分别是直线、上的动点，使得.过点作直线，交于点，交于点，设，则的面积最小值为 .    29．如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，矩形内接于扇形，记，矩形的面积为． (1)求； (2)求的最大值及此时的值； (3)若，求的取值范围． 30．如图，长方形ABCD，，，的直角顶点P为AD中点，点M、N分别在边AB，CD上，令． (1)当时，求梯形BCNM的面积S； (2)求的周长l的最小值，并求此时角的值． 题型七　利用半角公式化简求值问题 31．已知，，则（   ） A． B． C． D． 32．已知，则（    ） A． B．1 C． D． 33．若，，则（    ） A． B． C． D． 34．已知，，则 ． 35．已知. (1)求的最小正周期； (2)求的单调增区间； (3)当时，求的值域. 题型八 三角恒等变换与三角函数图象性质的综合 36．已知函数，，则下列结论正确的是（   ） A．函数的最大值为2 B．函数的单调递增区间是 C．函数的图象关于点中心对称 D．直线与函数的图象所有公共点的横坐标之和为 37．已知函数的图象关于直线对称，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D． 38．已知是函数的图象在轴上的两个相邻交点，若，则 ． 39．已知函数． (1)求的最小正周期以及单调递增区间； (2)设函数在区间上单调递减，求实数的取值范围； (3)当时，关于的方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围． 40．已知， (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)解不等式； (3)若为锐角，且，求的值． 1 / 1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$