专题01 平面向量（易错必刷45题9种题型专项训练）-2024-2025学年高一数学下学期期末考点大串讲（苏教版2019必修第二册）

专题01 平面向量（易错必刷45题9种题型专项训练） 题型一　向量加减法则及应用 题型二　向量的线性运算 题型三　向量共线的判定及应用 题型四　三点共线的常用结论 题型五　求两向量的数量积 题型六　向量的模和夹角的计算问题 题型七　向量与垂直有关的问题 题型八　用基底表示向量及定比分点坐标公式及应用 题型九　利用向量解决平面几何求值问题 题型一　向量加减法则及应用 1．（24-25高三上·吉林长春·期末）在平行四边形中，已知，分别为，的中点，直线，交于，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·湖北·阶段练习）平面内有向量满足，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·四川乐山·期末）四边形中中，，则下列结论中错误的是（    ） A．一定成立 B．一定成立 C．一定成立 D．一定成立 5．（23-24高一下·黑龙江绥化·期中）化简（    ） A． B． C． D． 题型二　向量的线性运算 6．（24-25高三上·山东菏泽·期末）已知O为内部一点，，设，则（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）已知，D为BC边中点，若点P满足，则下列说法正确的是（    ） A．点P一定在内部 B． C． D．点P在直线AD上 8．（23-24高一下·青海西宁·期末）正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中，以为顶点的多边形为正五边形且，下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24高一下·四川雅安·期末）如图，在梯形ABCD中，，E在BC上，且，设，，则（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高一下·河北唐山·期末）已知平行四边形的两条对角线交于点，则（    ） A． B． C． D． 题型三　向量共线的判定及应用 11．（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知是坐标原点． (1)若点A，B，M三点共线，求t的值； (2)当t取何值时，取到最小值？并求出最小值． (3)若为线段（含端点）上的动点，求的取值范围． 12．（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知三个点． (1)求证：； (2)要使四边形为矩形，求点C的坐标并求矩形两条对角线所成的锐角的正切值． 13．（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）下列关于向量的说法中，正确的是（   ） A．若向量互为相反向量， 则 B．若，则 C．若两个相等向量的起点相同，则它们的终点一定相同 D．若与是共线向量，则A，B，C三点共线 14．（24-25高三下·北京海淀·期末）已知向量．若与共线，则（    ） A． B． C． D．2 15．（24-25高一上·辽宁大连·期末）①平行向量就是共线向量；②若向量与是共线向量，则、、、四点共线；③若非零向量与满足，则、互为相反向量.其中正确的有（    ）个. A．0 B．1 C．2 D．3 题型四　三点共线的常用结论 16．（20-21高一下·浙江·期末）已知，，，若，，三点共线，则（    ） A． B． C． D．2 17．（23-24高一下·四川雅安·期末）已知向量，． (1)若与垂直，求实数k的值； (2)已知O，A，B，C为平面内四点，且，，．若A，B，C三点共线，求实数m的值． 18．（23-24高一下·江苏镇江·期末）在直角坐标系中，已知向量，，（其中），为坐标平面内一点. (1)若，，三点共线，求的值； (2)若向量与的夹角为，求的值； (3)若四边形为矩形，求点坐标. 19．（23-24高一下·广东深圳·期末）已知 中， ，若 ，且 三点共线， 则 （      ） A． B． C． D． 20．（24-25高三上·河南·期末）已知向量不共线，，其中，若三点共线，则的最小值为 . 题型五　求两向量的数量积 21．（2025·江西·一模）已知向量满足，则 ． 22．（24-25高一下·河南三门峡·阶段练习）如图，在四边形中，，向量的夹角为.若是边的中点，是边的中点，则（    ） A． B． C． D． 23．（2024·四川宜宾·一模）已知向量满足,,且,则（　　） A．1 B． C． D．2 24．（24-25高三上·河北·期末）在中，D为边BC的中点，中线AD上有一点P满足，且，则 . 25．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知向量，满足，，，则（   ） A． B． C． D．1 题型六　向量的模和夹角的计算问题 26．（23-24高一下·湖北·期末）在中，已知.点是边BC上靠近的三等分点.AD的长等于边AB上的高，则（    ） A．3 B． C． D． 27．（22-23高一下·福建厦门·期末）在四边形中，，，，其中，为不共线的向量． (1)判断四边形的形状，并给出证明； (2)若，，与的夹角为，为中点，求． 28．（22-23高一下·山东聊城·期末）如图，在中，已知，，，是的中点，，设与相交于点，则 ．    29．（22-23高二下·湖南·期末）已知平面向量，则下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．且，则或 30．（22-23高一下·湖南怀化·期末）在中，已知，，，和边上的两条中线，相交于点，则的余弦值为 题型七　向量与垂直有关的问题 31．（22-23高一下·山东·期中）如图，为半圆的直径，，为上一点（不含端点）. (1)用向量的方法证明； (2)若是上更靠近点的三等分点，为上的任意一点（不含端点），求的最大值. 32．（23-24高三上·山西·期末）已知平面四边形的四条边，，，的中点依次为E，F，G，H，且，则四边形一定为（    ） A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．直角梯形 33．（22-23高一下·陕西西安·期中）已知中，，，则此三角形为（　　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 34．（20-21高一下·安徽黄山·期末）点在△所在的平面内，则以下说法正确的有（    ） A．若动点满足，则动点的轨迹一定经过△的垂心； B．若，则点为△的内心； C．若，则点为△的外心； D．若动点满足，则动点的轨迹一定经过△的重心. 35．（20-21高一下·陕西宝鸡·期末）如图，已知分别是的三条高，试用向量的方法求证：相交于同一点． 题型八　用基底表示向量及定比分点坐标公式及应用 36．（22-23高二下·陕西西安·期末）直线经过两个定点（其中），则直线的参数方程为（为参数，）.其中点为直线上任意一点，下列说法中不正确的是（    ） A．参数的几何意义是动点分有向线段的数量比 B．可以用表示直线上的任意一点 C．当且时，为外分点 D．当时，点与点重合 37．（22-23高一下·上海杨浦·期末）已知直角坐标平面上两点、，若满足，则点的坐标为 . 38．（22-23高一下·江苏苏州·期末）已知，，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D．或 39．（22-23高一下·江西抚州·期末）已知，，如图，在中，点，满足，，是线段上靠近的三等分点，点为的中点，且，，三点共线．    (1)用，来表示； (2)求的最小值． 40．（22-23高一上·北京·期末）如图所示，在中，点是边的中点，点是线段靠近的三等分点.过点的直线与边分别交于点.设，其中. (1)试用与表示，写出过程； (2)求证：为定值，并求此定值. 题型九　利用向量解决平面几何求值问题 41．（24-25高一上·北京·期末）已知圆的半径为13，和是圆的两条动弦，若，，则的最大值是（   ） A．17 B．20 C．34 D．48 42．（21-22高一下·福建泉州·期末）在菱形中，，，，，已知点M在线段上，且，则 ，若点N为线段上一个动点，则的最小值为 ． 43．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）在等腰梯形ABCD中，，，，P是腰AD上的动点，则的最小值为 . 44．（23-24高一下·江苏苏州·期末）如图，在等腰直角中，，，为的中点，将线段绕点旋转得到线段设为线段上的点，则的最小值为 ． 45．（23-24高一下·广东广州·期末）已知平面向量，，，且，.已知向量与所成的角为60°，且对任意实数恒成立，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 1 / 1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 平面向量（易错必刷45题9种题型专项训练） 题型一　向量加减法则及应用 题型二　向量的线性运算 题型三　向量共线的判定及应用 题型四　三点共线的常用结论 题型五　求两向量的数量积 题型六　向量的模和夹角的计算问题 题型七　向量与垂直有关的问题 题型八　用基底表示向量及定比分点坐标公式及应用 题型九　利用向量解决平面几何求值问题 题型一　向量加减法则及应用 1．（24-25高三上·吉林长春·期末）在平行四边形中，已知，分别为，的中点，直线，交于，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，用表示出，根据共线定理推论求出，然后可得. 【详解】 设， 则， 又， 所以， 因为三点共线，所以，解得， 所以. 故选：B 2．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量加法的平行四边形法则可得为的中点，为圆的直径，进而利用投影向量的定义求解即可. 【详解】因为是的外接圆圆心，， 所以由平行四边形法则可得为的中点，为圆的直径， 因为，所以为等边三角形，， 所以向量在向量上的投影向量为， 故选：A 3．（23-24高一下·湖北·阶段练习）平面内有向量满足，，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用几何图形表示向量和向量的线性运算，构造相似三角形，表示出，利用三点共线求最小值. 【详解】，则有，如图，， ， 延长至，使得， ，，则有，得， . 当三点共线且在线段上时，的最小值是. 故选：B 4．（23-24高一下·四川乐山·期末）四边形中中，，则下列结论中错误的是（    ） A．一定成立 B．一定成立 C．一定成立 D．一定成立 【答案】D 【分析】由可知四边形为平行四边形，逐项分析即可. 【详解】由可知四边形为平行四边形，显然AC正确， 根据平行四边形法则，B也是正确的，而，故D错误. 故选：D 5．（23-24高一下·黑龙江绥化·期中）化简（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量减法计算即可. 【详解】. 故选：D. 题型二　向量的线性运算 6．（24-25高三上·山东菏泽·期末）已知O为内部一点，，设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算求解即得. 【详解】依题意， 故选：D 7．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）已知，D为BC边中点，若点P满足，则下列说法正确的是（    ） A．点P一定在内部 B． C． D．点P在直线AD上 【答案】ABC 【分析】设、分别是、的中点，依题意可得，从而得到点是中位线上靠近点的三等分点，即可判断A，D再根据面积关系判断C，又平面向量线性运算法则判断B. 【详解】由，所以， 设、分别是、的中点，所以， 于是点是中位线上靠近点的三等分点，则点一定在内部，故A正确，D错误. 又，所以，则，故B正确； 由A可知，，且， 所以，，即，故C正确； 故选：ABC 8．（23-24高一下·青海西宁·期末）正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星中，以为顶点的多边形为正五边形且，下列关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用平面向量的概念、平面向量的加法、减法、数乘运算及其几何意义，根据选项依次运算化简判断即可. 【详解】A项，，故A正确； B项，，故B错误； C项，， 若，则，不合题意，故C错误； D项，，故D正确； 故选：AD. 9．（23-24高一下·四川雅安·期末）如图，在梯形ABCD中，，E在BC上，且，设，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由平面向量的加减、数乘运算求解即可. 【详解】， . 故选：D 10．（23-24高一下·河北唐山·期末）已知平行四边形的两条对角线交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用向量加法、减法的几何意义求解即可. 【详解】平行四边形的两条对角线交于点，作出图形如下：    由图可得:，故A正确； ，故D正确； 故选：AD 题型三　向量共线的判定及应用 11．（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知是坐标原点． (1)若点A，B，M三点共线，求t的值； (2)当t取何值时，取到最小值？并求出最小值． (3)若为线段（含端点）上的动点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，的最小值为 (3) 【分析】（1）根据向量减法运算再根据共线计算求参即可； （2） 先得出向量坐标，再根据数量积公式结合二次函数值域求解； （3）根据向量加法及模长公式结合二次函数值域求解. 【详解】（1），               ，              三点共线，与共线，即，             ，            解得：． （2），               ，            ∴当时，                     取得最小值． （3）由题意，设，                 则，所以，             ，            因为，所以当时有最小值， 当时有最大值20，所以的取值范围为， 故的取值范围为． 12．（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知三个点． (1)求证：； (2)要使四边形为矩形，求点C的坐标并求矩形两条对角线所成的锐角的正切值． 【答案】(1)证明见解析； (2)，正切值为. 【分析】（1）应用向量数量积的坐标运算求得，即可证； （2）设C点坐标为，结合的坐标表示求得，再应用向量夹角的坐标运算求与夹角的余弦值，进而求其正弦值. 【详解】（1）由，则， 又，即，则. （2），四边形为矩形，． 设C点坐标为，则， ，解得，故点坐标为， 由于，故， 又，设与的夹角为，则，                ， 所以矩形的两条对角线所成的锐角的正切值为． 13．（23-24高一下·河南南阳·阶段练习）下列关于向量的说法中，正确的是（   ） A．若向量互为相反向量， 则 B．若，则 C．若两个相等向量的起点相同，则它们的终点一定相同 D．若与是共线向量，则A，B，C三点共线 【答案】ACD 【分析】利用相等向量的概念可得A，由零向量与任何向量都共线可得B，利用向量相等的概念可得C，利用共线向量的概念可判断D选项 【详解】因为互为相反向量，则其模长相等，则A正确； 由于零向量与任何向量都共线，所以当为零向量时，不可传递，则B错误； 由于相等向量的长度和方向都相同，所以当两相等向量的起点相同时，终点一定相同，C正确； 由于与是共线向量，则与方向相同或相反，则A，B，C三点共线，则D正确. 故选：ACD 14．（24-25高三下·北京海淀·期末）已知向量．若与共线，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据向量共线得到方程，解出即可. 【详解】因为向量．且与共线， 所以得，解得. 故选：A. 15．（24-25高一上·辽宁大连·期末）①平行向量就是共线向量；②若向量与是共线向量，则、、、四点共线；③若非零向量与满足，则、互为相反向量.其中正确的有（    ）个. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据共线向量、相反向量的定义判断即可. 【详解】对于①：平行向量就是共线向量，故①正确； 对于②：若向量与是共线向量，则直线直线或、、、四点共线，故②错误； 对于③：若非零向量与满足，即，所以、互为相反向量，故③正确. 故选：C 题型四　三点共线的常用结论 16．（20-21高一下·浙江·期末）已知，，，若，，三点共线，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】利用向量坐标运算求得，然后利用共线的坐标形式列式得，即可得解. 【详解】根据题意，， 则，若三点共线，则， 则有，变形可得. 故选：A 17．（23-24高一下·四川雅安·期末）已知向量，． (1)若与垂直，求实数k的值； (2)已知O，A，B，C为平面内四点，且，，．若A，B，C三点共线，求实数m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由向量坐标线性运算结合垂直关系的坐标运算，列出方程求解即可； （2）由向量的加减、数乘运算表示，，再由共线定理解出实数m的值． 【详解】（1）， 则， 因为与垂直，所以， 解得． （2）， ， ， ， 因为A，B，C三点共线，所以． 所以， 解得． 18．（23-24高一下·江苏镇江·期末）在直角坐标系中，已知向量，，（其中），为坐标平面内一点. (1)若，，三点共线，求的值； (2)若向量与的夹角为，求的值； (3)若四边形为矩形，求点坐标. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据平面向量的坐标运算求出、，利用，，三点共线列方程求出的值． （2）利用向量的夹角公式即可求解. （3）由平面向量的坐标运算和矩形的定义，列方程组求出、、的值即可得到的坐标． 【详解】（1）向量，，， 所以，， 由，，三点共线知，， 即，解得； （2）， 解得， （3）设， 由，， ， ， 若四边形为矩形，则， 即，解得； 由，得， 解得， 故 19．（23-24高一下·广东深圳·期末）已知 中， ，若 ，且 三点共线， 则 （      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先应用平面向量基本定理，再根据三点共线的性质列式求参即可. 【详解】 因为所以， , 因为三点共线，所以, , 所以 . 故选：C. 20．（24-25高三上·河南·期末）已知向量不共线，，其中，若三点共线，则的最小值为 . 【答案】4 【分析】结合三点共线的向量形式，利用向量基本定理得，然后利用基本不等式求解最小值即可. 【详解】因为三点共线，所以存在实数k，使，即， 又向量不共线，所以，由，所以， 当且仅当时，取等号，即的最小值为4. 故答案为：4 题型五　求两向量的数量积 21．（2025·江西·一模）已知向量满足，则 ． 【答案】2 【分析】根据向量数量积的运算律化简即可得解. 【详解】因为， 所以，化简得． 又因为， 所以． 故答案为：2 22．（24-25高一下·河南三门峡·阶段练习）如图，在四边形中，，向量的夹角为.若是边的中点，是边的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的线性运算表示，可得，根据数量积的运算律可得结果. 【详解】由题意得，，， ∵若是边的中点，是边的中点， ∴， ∴①＋②得，， ∴， ∴，故. 故选：D. 23．（2024·四川宜宾·一模）已知向量满足,,且,则（　　） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据向量数量积的运算律，数量积求模，垂直关系的向量即可求解. 【详解】因为，则， 又因为， 由得， 则，则， 故选：A. 24．（24-25高三上·河北·期末）在中，D为边BC的中点，中线AD上有一点P满足，且，则 . 【答案】12 【分析】运用向量数量积的运算，结合向量三角形法则直接计算即可. 【详解】在中，因为D是边BC的中点， 所以， 又，所以，所以. 又因为，所以， 所以 . 故答案为：12. 25．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期末）已知向量，满足，，，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】根据条件可计算出和的值，即可得到. 【详解】∵，∴，即，故， ∵，∴， ∵，∴，故，即， ∴，，∴. 故选：D. 题型六　向量的模和夹角的计算问题 26．（23-24高一下·湖北·期末）在中，已知.点是边BC上靠近的三等分点.AD的长等于边AB上的高，则（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】使用向量法建立，得到从而得到结果. 【详解】如图，所以， 则，即， 由，所以， 所以，，可得或（舍），故， 所以. 故选：C. 27．（22-23高一下·福建厦门·期末）在四边形中，，，，其中，为不共线的向量． (1)判断四边形的形状，并给出证明； (2)若，，与的夹角为，为中点，求． 【答案】(1)四边形为梯形，证明见解析 (2) 【分析】（1）根据向量线性运算判断的关系即可； （2）利用向量数量积先求，和，然后由向量夹角公式可得. 【详解】（1）因为，， 所以， 又因为，所以， 又因为四点不共线，所以且，所以四边形为梯形． （2）因为， 所以， 因为为中点，所以， 所以，所以， 所以， 因为，所以．      28．（22-23高一下·山东聊城·期末）如图，在中，已知，，，是的中点，，设与相交于点，则 ．    【答案】 【分析】用和表示和，根据以及，，，可求出结果. 【详解】因为是的中点，所以， ， 因为，， ， 所以， 所以. 故答案为：. 29．（22-23高二下·湖南·期末）已知平面向量，则下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．且，则或 【答案】ABC 【分析】根据向量模、平行、垂直、夹角等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】平面向量， 则，解得或，故A错误； 若，则，得，故B错误； 若，则，得，故C错误； 由（对应点在轴），， 可得或，故D正确. 故选：ABC 30．（22-23高一下·湖南怀化·期末）在中，已知，，，和边上的两条中线，相交于点，则的余弦值为 【答案】/ 【分析】由已知结合向量的线性表示及向量数量积的性质即可求解. 【详解】 由已知得即为向量与的夹角. 因为M、N分别是，边上的中点， 所以，. 又因为， 所以 ， , , 所以. 故答案为： 题型七　向量与垂直有关的问题 31．（22-23高一下·山东·期中）如图，为半圆的直径，，为上一点（不含端点）. (1)用向量的方法证明； (2)若是上更靠近点的三等分点，为上的任意一点（不含端点），求的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建立平面直角坐标系，利用向量垂直的坐标表示可证； （2）利用坐标表示出，然后由三角函数性质可得. 【详解】（1）如图，建立平面直角坐标系. （方法一）由题意可知，设，则， ，，，得，， 所以，故，即. （方法二）由题意可知，，，设， 则，得，得，， 所以，故，即. （2）由题意得，则，设，则，， 由（1）得，， 所以， 由，得，当，即时，. 故的最大值为. 32．（23-24高三上·山西·期末）已知平面四边形的四条边，，，的中点依次为E，F，G，H，且，则四边形一定为（    ） A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．直角梯形 【答案】C 【分析】由中位线定理可得四边形为平行四边形，结合已知以及，化简整理得，即，进一步即可得解. 【详解】    由题意结合中位线定理可得，， 所以，即四边形为平行四边形. ， ， ， ， ，即，即， 所以，又，所以， 同理由中位线定理可得，所以， 故四边形为矩形. 故选：C. 33．（22-23高一下·陕西西安·期中）已知中，，，则此三角形为（　　） A．直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】根据即可得为等腰三角形，又因为可知，所以为等边三角形. 【详解】如下图所示：    设M为AC中点，则， 所以，即为等腰三角形， 又，所以， 即， 所以，可得， 综上可知三角形为等边三角形. 故选：B. 34．（20-21高一下·安徽黄山·期末）点在△所在的平面内，则以下说法正确的有（    ） A．若动点满足，则动点的轨迹一定经过△的垂心； B．若，则点为△的内心； C．若，则点为△的外心； D．若动点满足，则动点的轨迹一定经过△的重心. 【答案】BC 【分析】A由正弦定理知，且，代入已知等式得，即知的轨迹一定经过的哪种心；B、C分别假设为△的内心、外心，利用向量的几何图形中的关系，及向量的运算律和数量积判断条件是否成立即可；D由，根据数量积的运算律及向量数量积的几何意义求的值，即知的轨迹一定经过的哪种心； 【详解】A：由正弦定理知，而，所以，即动点的轨迹一定经过△的重心，故错误. B：若为△的内心，如下图示：，同理，，， ∴，，故正确； C：若为△的外心，分别为的中点，则，而，同理，又，故，正确； D：由，故，即，动点的轨迹一定经过△的垂心，错误. 故选：BC 35．（20-21高一下·陕西宝鸡·期末）如图，已知分别是的三条高，试用向量的方法求证：相交于同一点． 【答案】证明见解析 【分析】根据题意，设交于点，由向量数量积与向量垂直的关系证明点在上，由此可证得结果. 【详解】设交于点，以下只需证明点在上， 因为，， 所以，. 即，， 两式相减，得：即， 所以，，又， 所以，三点共线，在上． 题型八　用基底表示向量及定比分点坐标公式及应用 36．（22-23高二下·陕西西安·期末）直线经过两个定点（其中），则直线的参数方程为（为参数，）.其中点为直线上任意一点，下列说法中不正确的是（    ） A．参数的几何意义是动点分有向线段的数量比 B．可以用表示直线上的任意一点 C．当且时，为外分点 D．当时，点与点重合 【答案】B 【分析】A选项，由已知只需证明即可； B选项，由进行判断； CD选项，根据的范围可以确定和的关系进行判断. 【详解】A选项，由，可知， ，， 时，， 此时，A选项正确； B选项，由于，，不能表示横坐标为的点，B选项错误； C选项，由于，当且时，， 不妨设，故，，为外分点，C选项正确； D选项，当时，，此时会与重合，D选项正确. 故选：B 37．（22-23高一下·上海杨浦·期末）已知直角坐标平面上两点、，若满足，则点的坐标为 . 【答案】 【分析】设点的坐标为，将转化为坐标，利用坐标对应相等即可求解. 【详解】设点的坐标为， 因为点，， 所以，， 因为，所以，解得， 所以点的坐标为 故答案为： 38．（22-23高一下·江苏苏州·期末）已知，，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据已知条件及中点坐标公式即可求解. 【详解】由题意得，点为中点，设点，则 ，解得， 所以点的坐标为. 故选:B． 39．（22-23高一下·江西抚州·期末）已知，，如图，在中，点，满足，，是线段上靠近的三等分点，点为的中点，且，，三点共线．    (1)用，来表示； (2)求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的线性运算法则即可得； （2）由，结合结论可得，再利用基本不等式求的最小值． 【详解】（1）∵    ∴ ∴ （2）∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵，，三点共线， ∴， ∴， ∴， ∴当且仅当，时，的最小值为． 40．（22-23高一上·北京·期末）如图所示，在中，点是边的中点，点是线段靠近的三等分点.过点的直线与边分别交于点.设，其中. (1)试用与表示，写出过程； (2)求证：为定值，并求此定值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由平面向量基本定理可得答案； （2）由平面向量基本定理、向量的三点共线可得答案. 【详解】（1）因为点是边的中点，所以 ， ； （2）因为，所以， 因为， 所以， 因为三点共线，所以， 可得为定值. 题型九　利用向量解决平面几何求值问题 41．（24-25高一上·北京·期末）已知圆的半径为13，和是圆的两条动弦，若，，则的最大值是（   ） A．17 B．20 C．34 D．48 【答案】C 【分析】利用向量的线性运算、绝对值三角不等式、垂径定理等知识进行分析，从而确定正确答案. 【详解】设是圆的圆心，连接，作，垂足分别为， 则分别是的中点，由勾股定理得， ， ， 故, 当反向时等号成立， 所以的最大值是. 故选：C 42．（21-22高一下·福建泉州·期末）在菱形中，，，，，已知点M在线段上，且，则 ，若点N为线段上一个动点，则的最小值为 ． 【答案】 7 【分析】设，进一步将其表示成以，为基底的向量，结合已知条件，可得关于和的方程组，解之，再根据模长的计算方法，得的值；设，，根据平面向量的运算法则，推出，然后由配方法，得解． 【详解】因为，，所以，， 所以，， 因为点在线段上， 可设， 而，所以，解得，， 所以， 则， 所以， 因为点为线段上一个动点， 可设，， 所以， 所以 ， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为． 故答案为：7，． 43．（23-24高一上·辽宁沈阳·期末）在等腰梯形ABCD中，，，，P是腰AD上的动点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，设出点坐标，利用数量积的坐标运算结合二次函数的最值求解即可． 【详解】等腰梯形ABCD中，，，， 故梯形的高为， 根据题意，以为坐标原点，射线为轴正半轴建立直角坐标系，如图所示， 则，，设，其中， ， 则， 则， 则当时，取得最小值27， 则的最小值． 故答案为：． 44．（23-24高一下·江苏苏州·期末）如图，在等腰直角中，，，为的中点，将线段绕点旋转得到线段设为线段上的点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】引入参数，利用向量数量积的运算律将所求式子表示为的函数即可求解. 【详解】连接，，，因为，为，的中点， 所以四边形为矩形，则，，． 设，则 ，当且仅当时，取等号， 所以的最小值为． 故答案为：. 45．（23-24高一下·广东广州·期末）已知平面向量，，，且，.已知向量与所成的角为60°，且对任意实数恒成立，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对任意实数恒成立，两边平方，转化为二次函数的恒成立问题，用判别式来解，算出，借助，得到，的最小值转化为的最小值，最后用绝对值的三角不等式来解即可 【详解】根据题意，， ，两边平方，整理得到， 对任意实数恒成立，则，解得，则. 由于，如上图，，则 ，则的最小值为． 当且仅当终点在同一直线上时取等号. 故选：B． 1 / 1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$