清单07 概率（考点清单，知识导图+14个考点清单+题型解读）-2024-2025学年高一数学下学期期末考点大串讲（苏教版2019必修第二册）

清单07 概率 （14个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】随机试验 我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验（randomexperiment），简称试验，常用字母E表示． 【清单02】随机试验的特点 （1）试验可以在相同条件下重复进行； （2）试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； （3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果． 【清单03】样本空间 我们把随机试验的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验的样本空间（samplespace）．一般地，我们用表示样本空间，用表示样本点．在本书中，我们只讨论为有限集的情况．如果一个随机试验有个可能结果，则称样本空间为有限样本空间． 【清单04】随机事件 一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示．为了叙述方便，我们将样本空间的子集称为随机事件（randomevent），简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件（elementaryevent）．随机事件一般用大写字母A，B，C，表示．在每次试验中，当且仅当中某个样本点出现时，称为事件发生． 【清单05】必然事件，不可能事件 在每次试验中总有一个样本点发生，所以总会发生，我们称为必然事件．而空集抔包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称不可能事件． 【清单06】事件的关系与运算 定义 表示法 图示 事件的运算 包含关系 一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A（或称事件A包含于事件B） （或） 并事件 若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件（或和事件） （或） 交事件 若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件（或积事件） （或） 互斥关系 若为不可能事件，则称事件A与事件B互斥 若，则A与B互斥 对立关系 若为不可能事件，为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件，可记为或 若，，则A与B对立 探究1（1）并事件、交事件和集合的并集、交集意义一样吗？ （2）互斥事件和对立事件的关系是怎样的？ 答案（1）并事件、交事件和集合的并集、交集的意义一样． （2）互斥事件包括对立事件，即对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件． 探究2从运算的含义总结事件的关系或运算？ 事件的关系或运算 含义 符号表示 包含 A发生导致B发生 并事件（和事件） A与B至少一个发生 或 交事件（积事件） A与B同时发生 或 互斥（互不相容） A与B不能同时发生 互为对立 A与B有且仅有一个发生 ， 【清单07】概率 对随机事件发生可能性大小的度量（数值）称为事件的概率（probability），事件A的概率用P（A）表示． 【清单08】古典概型 （1）古典概型 考察这些试验的共同特征，就是要看它们的样本点及样本空间有哪些共性．可以发现，它们具有如下共同特征： ①有限性：样本空间的样本点只有有限个； ②等可能性：每个样本点发生的可能性相等． 我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型（classicalmodelsofprobability），简称古典概型． （2）概率公式 一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率 其中，和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数． 【清单09】概率的基本性质 一般地，概率有如下性质： 性质1：对任意的事件，都有． 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即 性质3：如果事件与事件互斥，那么 性质4：如果事件与事件互为对立事件，那么 ， 性质5：如果，那么． 性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有 【清单10】频率的稳定性 一般地，随着试验次数的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率．我们称频率的这个性质为频率的稳定性．因此，我们可以用频率估计概率． 【清单11】概率与频率的区别与联系 频率 概率 区别 频率反映了一个随机事件发生的频繁程度，是随机的 概率是一个确定的值，它反映随机事件发生的可能性的大小 联系 频率是概率的估计值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率 【清单12】随机模拟 我们知道，利用计算器或计算机软件可以产生随机数．实际上，我们也可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟实验，这样就可以快速地进行大量重复试验了，这么随机模拟方式叫做随机模拟． 我们称利用随机模拟解决问题地方法为蒙特卡洛方法． 【清单13】相互独立事件的概念 对任意两个事件与，如果成立，则称事件与事件相互独立，简称为独立． 【清单14】相互独立事件的性质 （1）事件与是相互独立的，那么与，与，与也是否相互独立． （2）相互独立事件同时发生的概率：． 【考点题型一】必然事件、不可能事件与随机事件的判断 技巧：（判断事件类型的步骤） 要判定事件是何种事件，首先要看清条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的，第二步再看它是一定发生，还是不一定发生，还是一定不发生，一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件． 【例1】连续掷一颗筛子两次，以下是必然事件的是（    ） A．点数和为偶数 B．至少出现一次点数为偶数 C．点数和不小于2 D．点数和为奇数 【变式1-1】已知袋中有大小、形状完全相同的4个红色、3个白色的乒乓球，从中任取4个，则下列判断错误的是（    ） A．事件“都是红色球”是随机事件 B．事件“都是白色球”是不可能事件 C．事件“至少有一个白色球”是必然事件 D．事件“有3个红色球和1个白色球”是随机事件 【变式1-2】下列事件： ①空间任意三点可以确定一个平面； ②367个人中至少有两个人的生日在同一天； ③6个人的生日在不同月份； ④掷两次骰子，点数和不小于2； ⑤两条异面直线所成角为钝角. 其中，______是不确定事件，______是必然事件，______是不可能事件（填写序号）. 【考点题型二】事件关系的判断 技巧：（事件关系的判断方法） （1） 两个事件是互斥事件还是对立事件，要根据互斥事件与对立事件的定义来判断，互斥事件是在任何一次试验中不能同时发生的两个事件，对立事件除要求两个事件互斥外，还要求在一次试验中必有一个事件发生． （2）对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件． 【例2】某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，那么互斥不对立的两个事件是（    ） A．恰有1名女生与恰有2名女生 B．至多有1名女生与全是男生 C．至多有1名男生与全是男生 D．至少有1名女生与至多有1名男生 【变式2-1】“韦神”数学兴趣小组有4名男生和2名女生，从中任选2名同学参加数学公式推导比赛，下列各对事件中互斥而不对立的是（    ） A．至少有1名男生与全是男生； B．至少有1名男生与全是女生； C．恰有1名男生与恰有2名男生； D．至少有1名男生与至少有1名女生． 【变式2-2】在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，则下列说法正确的是（    ） A．“至少一张是移动卡”和“两张都是移动卡”是互斥事件 B．“至少一张是移动卡”和“至少一张是联通卡”是互斥事件 C．“恰有一张是移动卡”和“两张都是移动卡”是互斥事件，也是对立事件 D．“至少一张是移动卡”和“两张都是联通卡”是对立事件 【变式2-3】某小组有1名男生和2名女生，从中任选2名学生参加围棋比赛，事件“至多有1名男生”与事件“至多有1名女生”（    ） A．是对立事件 B．都是必然事件 C．不是互斥事件 D．是互斥事件但不是对立事件 【考点题型三】古典概型的计算 技巧：1、（求古典概型的一般步骤） （1）明确实验的条件及要观察的结果，用适当的符号（字母/数字/数组等）表示实验的可能结果（可借助图表）； （2）根据实际问题情景判断样本点的等可能性； （3）计算样本点总个数及事件包含的样本点个数，求出事件A的概率． 2、（“有放回”与“无放回”的区别） “有放回”是指抽取物体时，每一次抽取之后，都将被抽取的物体放回原处，这样前后两次抽取时，被抽取的物体的总数是一样的． “无放回”是指抽取物体时，在每一次抽取后，被抽取的物体放到一边，并不放回到原处，这样，前后两次抽取时，后一次被抽取的物体的总数较前一次被抽取的物体总数少；这两种情况下基本事件总数是不同的． 【例3】一个盒子里装有标号为的张标签，随机选取张，这张的标号平均数是的概率为______. 【变式3-1】掷四次骰子点数恰有一次为1的概率是______. 【变式3-2】已知冰箱里有4袋牛奶，其中1袋枣味､3袋原味，若小明从中任取两袋，则取到枣味牛奶的概率为__________. 【变式3-3】从一个12男11女的班级中任选一人进行问卷调查，抽到的是女同学的概率为______. 【变式3-4】某工厂生产的每件产品所用原材料的质量（单位：千克）是一定值，每件产品的价格是以长度（单位：米）计算的，产品越长也就越细，要求工人的技术水平越高，产品价格也就越高，但市场对各种长度的产品都有需求.为了预测市场需求并合理安排生产任务，查阅以往售出的产品的长度，随机抽取了件产品，并将得到的数据按如下方式分为组：、、、，绘制成如下的频率分布直方图： 工厂今年一月份按频率分布直方图提供的数据生产了件产品. (1)求今年一月份生产的产品长度在的件数； (2)现从和两组产品中以分层抽样的方式抽取件产品，客户在这件产品中再随机抽取件，求这件产品在和两组中各有件的概率. 【变式3-5】公司检测一批产品的质量情况，共计件，将其质量指标值统计如下所示. (1)求的值以及这批产品质量指标的平均值以及方差；(同组中的数据用该组区间的中点值表示) (2)若按照分层抽样的方法在质量指标值为的产品中随机抽取件，再从这件中任取件，求至少有件产品的质量指标在的概率. 【考点题型四】频率与概率 技巧：1、（1）频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率． （2）频率本身是随机的，在试验前不能确定． （3）概率是一个确定的常数，是客观存在的，在试验前已经确定，与试验次数无关． 2、在一次试验中，概率大的事件比概率小的事件出现的可能性更大． 3、用随机数模拟法求事件概率的方法 在使用整数随机数进行模拟试验时，首先要确定随机数的范围和用哪个代表试验结果． （1）试验的基本结果是等可能时，基本事件的总数即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个基本事件． （2）研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数 4、(1)概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件A的本质属性，随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的近似值． (2)正确理解概率的意义，要清楚概率与频率的区别与联系．对具体的问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件． 【例4】下列四个命题中真命题的个数为（    ）个 ①有一批产品的次品率为，则从中任意取出件产品中必有件是次品； ②抛次硬币，结果次出现正面，则出现正面的概率是； ③随机事件发生的概率就是这个随机事件发生的频率； ④掷骰子次，得点数为的结果有次，则出现点的频率为. A． B． C． D． 【变式4-1】考虑掷硬币试验，设事件“正面朝上”，则下列论述正确的是（    ） A．掷2次硬币，事件“一个正面，一个反面”发生的概率为 B．掷8次硬币，事件A发生的次数一定是4 C．重复掷硬币，事件A发生的频率等于事件A发生的概率 D．当投掷次数足够多时，事件A发生的频率接近0.5 【变式4-2】已知n是一个三位正整数，若n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如135，256，345等） 现要从甲乙两名同学中，选出一个参加某市组织的数学竞赛，选取的规则如下：从由1，2，3，4，5，6组成的所有“三位递增数”中随机抽取1个数，且只抽取1次，若抽取的“三位递增数”是偶数，则甲参加数学竞赛；否则，乙参加数学竞赛. （1）由1，2，3，4，5，6可组成多少“三位递增数”？并一一列举出来. （2）这种选取规则对甲乙两名学生公平吗？并说明理由. 【变式4-3】一天，甲拿出一个装有三张卡片的盒子（一张卡片的两面都是绿色，一张卡片的两面都是蓝色，还有一张卡片一面是绿色，另一面是蓝色），跟乙说玩一个游戏，规则是：甲将盒子里的卡片顺序打乱后，由乙随机抽出一张卡片放在桌子上，然后卡片朝下的面的颜色决定胜负，如果朝下的面的颜色与朝上的面的颜色一致，则甲赢，否则甲输.乙对游戏的公平性提出了质疑，但是甲说：“当然公平！你看，如果朝上的面的颜色为绿色，则这张卡片不可能两面都是蓝色，因此朝下的面要么是绿色，要么是蓝色，因此，你赢的概率为，我赢的概率也是，怎么不公平？”分析这个游戏是否公平. 【变式4-4】蜜蜂包括小蜜蜂和黑小蜜蜂等很多种类，在我国的云南及周边各省都有分布，春暖花开的时候是放蜂的大好时机，养蜂人甲在某地区放养了100箱小蜜蜂和1箱黑小蜜蜂，养蜂人乙在同一地区放养了1箱小蜜蜂和100箱黑小蜜蜂.某中学生物小组在上述地区捕获了1只黑小蜜蜂，假设每箱中蜜蜂的数量相同，那么，该生物小组的同学认为这只黑小蜜蜂是养蜂人　　　　放养的比较合理（    ） A．甲 B．乙 C．甲和乙 D．不能确定 【变式4-5】一批瓶装纯净水，每瓶标注的净含量是，现从中随机抽取10瓶，测得各瓶的净含量为（单位：）： 542 548 549 551 549 550 551 555 550 557 若用频率分布估计总体分布，则该批纯净水每瓶净含量在之间的概率估计为（    ） A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.7 【变式4-6】有三张除字母外完全相同的纸牌，字母分别是K，K，Q．进行有放回的抽样，每次试验抽出一张纸牌，经过多次试验后结果汇总如下表： 试验总次数 10 20 50 100 200 300 400 500 1000 … 抽出K的频数 7 13 32 136 198 270 660 … 抽出K的频率 65% 67% … (1)将上述表格补充完整； (2)观察表格，计算摸到K的频率为多少； (3)估计摸到K的概率． 【考点题型五】事件独立性的判断 技巧：两个事件是否相互独立的判断 （1）直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响． （2）公式法：若，则事件A，B为相互独立事件． 【例5】国家于2021年8月20日表决通过了关于修改人口与计划生育法的决定，修改后的人口计生法规定，国家提倡适龄婚育､优生优育，一对夫妻可以生育三个子女，该政策被称为三孩政策.某个家庭积极响应该政策，一共生育了三个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，记事件：该家庭既有男孩又有女孩；事件：该家庭最多有一个男孩；事件：该家庭最多有一个女孩.则下列说法正确的是（    ） A．事件与事件互斥但不对立 B．事件与事件互斥且对立 C．事件与事件相互独立 D．事件与事件相互独立 【变式5-1】已知A，B是一次随机试验中的两个事件，若满足，则（    ） A．事件A，B互斥 B．事件A.B相互独立 C．事件A，B不互斥 D．事件A，B不相互独立 【变式5-2】连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子，观察这两次骰子出现的点数．记事件A为“第一次骰子出现的点数为3”，事件B为“第二次骰子出现的点数为5”，事件C为“两次点数之和为8”，事件D为“两次点数之和为7”，则（    ） A．A与B相互独立 B．A与D相互独立 C．B与C为互斥事件 D．C与D为互斥事件 【变式5-3】抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件“第一枚出现奇数点”，事件“第二枚出现偶数点”，事件“两枚骰子出现点数和为8”，事件“两枚骰子出现点数和为9”，则（    ） A．与互斥 B．与互斥 C．与独立 D．与独立 【考点题型六】相互独立事件概率 技巧：1、（1）求相互独立事件同时发生的概率的步骤 ①首先确定各事件之间是相互独立的． ②求出每个事件的概率，再求积． （2）使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的． 2、求较复杂事件的概率的一般步骤如下 （1）列出题中涉及的各个事件，并且用适当的符号表示． （2）理清事件之间的关系（两个事件是互斥还是对立，或者是相互独立的），列出关系式． （3）根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算． （4）当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率． 【例6】某次五局三胜排球比赛中，甲队在每局获胜的概率都相等，均为，前两局乙队都获胜了，求最后乙队获胜的概率. 【变式6-1】根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.3，1位车主只购买一种保险. (1)求该地的1位车主购买甲、乙两种保险中的1种的概率； (2)求该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率. 【变式6-2】甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和，求： (1)两个人都译出密码的概率. (2)两个人都译不出密码的概率. (3)恰有1个人译出密码的概率. 【变式6-3】某项密码破译工作需甲、乙、丙、丁四人完成，已知每人独立译出密码的概率为，若二人合为一组，则该组破译的概率为，若三人合为一组，则该组破译的概率为． (1)若四人独立翻译，求破译出密码的概率； (2)若将四人分成两组，两组独立破译密码，求破译出密码的概率． 【变式6-4】计算机考试分理论考试与实际操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为，，，在实际操作考试中“合格”的概率依次为，，，所有考试是否合格相互之间没有影响. （1）假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？ （2）这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率. 【变式6-5】如图所示为两点间的电路，在时间内不同元件发生故障的事件是相互独立的，他们发生故障的概率如下表所示: 元件 概率 0.6 0.5 0.4 0.5 0.7 (1)求在时间内，与同时发生故障的概率； (2)求在时间内，，至少一个发生故障的概率； (3)求在时间内，电路不通的概率. 【变式6-6】某居民小区有两个相互独立的安全防范系统，简称系统A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p． (1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值； (2)求系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率． 【考点题型七】方程思想在相互独立事件概率中的应用 技巧：对于相互独立事件中的概率问题，可先从问题的数量关系入手，根据概率的定义、公式等构造方程（组），通过解方程（组）解决问题，提升数学抽象素养． 【例7】某居民小区有两个相互独立的安全防范系统和，系统和系统在任意时刻发生故障的概率分别为和.若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为，则 _______. 【变式7-1】甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为． （1）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率； （2）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率． 【变式7-2】设A、B、C三个事件两两相互独立，事件A发生的概率是，A、B、C同时发生的概率是，A、B、C都不发生的概率是. (1)试分别求出事件B和事件C发生的概率； (2)试求A、B、C只有一个发生的概率. 【考点题型八】概率的基本性质 技巧：（概率性质公式） （1）运用概率加法公式解题的步骤 ①确定诸事件彼此互斥； ②先求诸事件分别发生的概率，再求其和． （2）求复杂事件的概率通常有两种方法 一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的并； 二是先求对立事件的概率，进而再求所求事件的概率． 【例8】从1~30这30个整数中随机选择一个数，设事件M表示选到的数能被2整除，事件N表示选到的数能被3整除．求下列事件的概率： (1)这个数既能被2整除也能被3整除； (2)这个数能被2整除或能被3整除； (3)这个数既不能被2整除也不能被3整除． 【变式8-1】一个电路板上装有甲、乙两根熔丝，某种情况下甲熔断的概率为0.85，乙熔断概率为0.74，两根同时熔断的概率为0.63，问该情况下至少有一根熔断的概率是多少？ 【变式8-2】袋中装有除颜色外完全相同的黑球和白球共7个，其中白球3个，现有甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止.每个球在每一次被取出的机会是等可能的. （1）求取球2次即终止的概率； （2）求甲取到白球的概率. 【变式8-3】甲、乙两人进行摸球游戏，游戏规则是：在一个不透明的盒子中装有质地、大小完全相同且编号分别为1，2，3，4，5的5个球，甲先随机摸出一个球，记下编号，设编号为a，放回后乙再随机摸出一个球，也记下编号，设编号为b，记录摸球结果（a，b），如果，算甲赢，否则算乙赢． (1)求的概率； (2)这种游戏规则公平吗？请说明理由． 【变式8-4】在“六一”联欢会上设有一个抽奖游戏.抽奖箱中共有12张纸条，分一等奖、二等奖、三等奖、无奖四种.从中任取一张，不中奖的概率为，中二等奖或三等奖的概率是. （Ⅰ）求任取一张，中一等奖的概率； （Ⅱ）若中一等奖或二等奖的概率是，求任取一张，中三等奖的概率. 【变式8-5】下表为某班的英语及数学成绩，全班共有学生50人，成绩分为1~5分五个档次．设x、y分别表示英语成绩和数学成绩．表中所示英语成绩为4分的学生共14人，数学成绩为5分的共5人． y分人数 x/分 5 4 3 2 1 5 1 3 1 0 1 4 1 0 7 5 1 3 2 1 0 9 3 2 1 b 6 0 a 1 0 0 1 1 3 (1)x=4的概率是多少？x=4且y=3的概率是多少？x≥3的概率是多少？ (2)x=2的概率是多少？a＋b的值是多少？ 【变式8-6】给出下列事件：①明天进行的某场足球比赛的比分是；②同时掷两颗骰子，向上一面的两个点数之和不小于2；③下周一某地的最高气温与最低气温相差10℃；④射击一次，命中靶心；⑤当为实数时，． 其中，必然事件有______，不可能事件有______． 1 / 1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单07 概率 （14个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】随机试验 我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验（randomexperiment），简称试验，常用字母E表示． 【清单02】随机试验的特点 （1）试验可以在相同条件下重复进行； （2）试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； （3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果． 【清单03】样本空间 我们把随机试验的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验的样本空间（samplespace）．一般地，我们用表示样本空间，用表示样本点．在本书中，我们只讨论为有限集的情况．如果一个随机试验有个可能结果，则称样本空间为有限样本空间． 【清单04】随机事件 一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示．为了叙述方便，我们将样本空间的子集称为随机事件（randomevent），简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件（elementaryevent）．随机事件一般用大写字母A，B，C，表示．在每次试验中，当且仅当中某个样本点出现时，称为事件发生． 【清单05】必然事件，不可能事件 在每次试验中总有一个样本点发生，所以总会发生，我们称为必然事件．而空集抔包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称不可能事件． 【清单06】事件的关系与运算 定义 表示法 图示 事件的运算 包含关系 一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A（或称事件A包含于事件B） （或） 并事件 若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件（或和事件） （或） 交事件 若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件（或积事件） （或） 互斥关系 若为不可能事件，则称事件A与事件B互斥 若，则A与B互斥 对立关系 若为不可能事件，为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件，可记为或 若，，则A与B对立 探究1（1）并事件、交事件和集合的并集、交集意义一样吗？ （2）互斥事件和对立事件的关系是怎样的？ 答案（1）并事件、交事件和集合的并集、交集的意义一样． （2）互斥事件包括对立事件，即对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件． 探究2从运算的含义总结事件的关系或运算？ 事件的关系或运算 含义 符号表示 包含 A发生导致B发生 并事件（和事件） A与B至少一个发生 或 交事件（积事件） A与B同时发生 或 互斥（互不相容） A与B不能同时发生 互为对立 A与B有且仅有一个发生 ， 【清单07】概率 对随机事件发生可能性大小的度量（数值）称为事件的概率（probability），事件A的概率用P（A）表示． 【清单08】古典概型 （1）古典概型 考察这些试验的共同特征，就是要看它们的样本点及样本空间有哪些共性．可以发现，它们具有如下共同特征： ①有限性：样本空间的样本点只有有限个； ②等可能性：每个样本点发生的可能性相等． 我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型（classicalmodelsofprobability），简称古典概型． （2）概率公式 一般地，设试验是古典概型，样本空间包含个样本点，事件包含其中的个样本点，则定义事件的概率 其中，和分别表示事件和样本空间包含的样本点个数． 【清单09】概率的基本性质 一般地，概率有如下性质： 性质1：对任意的事件，都有． 性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即 性质3：如果事件与事件互斥，那么 性质4：如果事件与事件互为对立事件，那么 ， 性质5：如果，那么． 性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有 【清单10】频率的稳定性 一般地，随着试验次数的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率．我们称频率的这个性质为频率的稳定性．因此，我们可以用频率估计概率． 【清单11】概率与频率的区别与联系 频率 概率 区别 频率反映了一个随机事件发生的频繁程度，是随机的 概率是一个确定的值，它反映随机事件发生的可能性的大小 联系 频率是概率的估计值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率 【清单12】随机模拟 我们知道，利用计算器或计算机软件可以产生随机数．实际上，我们也可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟实验，这样就可以快速地进行大量重复试验了，这么随机模拟方式叫做随机模拟． 我们称利用随机模拟解决问题地方法为蒙特卡洛方法． 【清单13】相互独立事件的概念 对任意两个事件与，如果成立，则称事件与事件相互独立，简称为独立． 【清单14】相互独立事件的性质 （1）事件与是相互独立的，那么与，与，与也是否相互独立． （2）相互独立事件同时发生的概率：． 【考点题型一】必然事件、不可能事件与随机事件的判断 技巧：（判断事件类型的步骤） 要判定事件是何种事件，首先要看清条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的，第二步再看它是一定发生，还是不一定发生，还是一定不发生，一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件． 【例1】连续掷一颗筛子两次，以下是必然事件的是（    ） A．点数和为偶数 B．至少出现一次点数为偶数 C．点数和不小于2 D．点数和为奇数 【答案】C 【解析】连续掷一颗筛子两次，两次事件相互独立，各自的可能都为1,2,3,4,5,6， 对于A：若两次点数分别为1，2，则和为奇数，故A错误； 对于B：若两次点数分别为1，3，则都为奇数，故B错误； 对于C：两次点数最小都为1，则和不小于2，故C正确； 对于D：若两次点数分别为1，3，则和为偶数，故D错误； 故选：C. 【变式1-1】已知袋中有大小、形状完全相同的4个红色、3个白色的乒乓球，从中任取4个，则下列判断错误的是（    ） A．事件“都是红色球”是随机事件 B．事件“都是白色球”是不可能事件 C．事件“至少有一个白色球”是必然事件 D．事件“有3个红色球和1个白色球”是随机事件 【答案】C 【解析】因为袋中有大小、形状完全相同的4个红色、3个白色的乒乓球，所以从中任取4个球共有：3白1红，2白2红，1白3红，4红四种情况. 故事件“都是红色球”是随机事件，故A正确； 事件“都是白色球”是不可能事件，故B正确； 事件“至少有一个白色球”是随机事件，故C错误； 事件“有3个红色球和1个白色球”是随机事件，故D正确． 故选：C 【变式1-2】下列事件： ①空间任意三点可以确定一个平面； ②367个人中至少有两个人的生日在同一天； ③6个人的生日在不同月份； ④掷两次骰子，点数和不小于2； ⑤两条异面直线所成角为钝角. 其中，______是不确定事件，______是必然事件，______是不可能事件（填写序号）. 【答案】 ①③ ②④ ⑤ 【解析】因为空间中不共线的三点可以确定一个平面，所以事件①可能发生也可能不发生，故①是不确定事件； 因为每年有365天或366天，所以事件②一定发生，故②是必然事件； 事件③可能发生也可能不发生，故③是不确定事件； 因为掷两次骰子，点数和的可能结果是：2，3，…，12，所以事件④一定发生，故④是必然事件； 因为两条异面直线所成角的范围是（0°，90°]，所以事件⑤不可能发生，故⑤是不可能事件． 故答案为：①③，②④，⑤． 【考点题型二】事件关系的判断 技巧：（事件关系的判断方法） （1） 两个事件是互斥事件还是对立事件，要根据互斥事件与对立事件的定义来判断，互斥事件是在任何一次试验中不能同时发生的两个事件，对立事件除要求两个事件互斥外，还要求在一次试验中必有一个事件发生． （2）对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件． 【例2】某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，那么互斥不对立的两个事件是（    ） A．恰有1名女生与恰有2名女生 B．至多有1名女生与全是男生 C．至多有1名男生与全是男生 D．至少有1名女生与至多有1名男生 【答案】A 【解析】“从中任选2名同学参加演讲比赛”所包含的基本情况有： 两男、两女、一男一女． 恰有1名女生与恰有2名女生是互斥且不对立的两个事件，故A正确； 至多有1名女生与全是男生不是互斥事件，故B错误； 至多有1名男生与全是男生既互斥又对立，故C错误； 至少有1名女生与至多有1名男生不是互斥事件，故D错误． 故选：A． 【变式2-1】“韦神”数学兴趣小组有4名男生和2名女生，从中任选2名同学参加数学公式推导比赛，下列各对事件中互斥而不对立的是（    ） A．至少有1名男生与全是男生； B．至少有1名男生与全是女生； C．恰有1名男生与恰有2名男生； D．至少有1名男生与至少有1名女生． 【答案】C 【解析】对于A项，事件至少有1名男生包括恰有1名男生和全是男生两种情况，故A项错误； 对于B项，事件至少有1名男生包括恰有1名男生和全是男生两种情况，与事件全是女生是互斥对立事件，故B项错误； 对于C项，事件恰有1名男生指恰有1名男生和1名女生，与事件恰有2名男生是互斥事件，但不是对立事件，故C项正确； 对于D项，事件至少有1名男生包括恰有1名男生和全是男生两种情况，事件至少有1名女生包括恰有1名女生和全是女生两种情况，两个事件有交事件恰有1名男生和1名女生，故D项错误. 故选：C. 【变式2-2】在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，则下列说法正确的是（    ） A．“至少一张是移动卡”和“两张都是移动卡”是互斥事件 B．“至少一张是移动卡”和“至少一张是联通卡”是互斥事件 C．“恰有一张是移动卡”和“两张都是移动卡”是互斥事件，也是对立事件 D．“至少一张是移动卡”和“两张都是联通卡”是对立事件 【答案】D 【解析】“至少一张是移动卡”和“两张都是移动卡”可以同时发生，故不是互斥事件，故A错误； “至少一张是移动卡”和“至少一张是联通卡”可以同时发生，故不是互斥事件，故B错误； “恰有一张是移动卡”和“两张都是移动卡”是互斥事件，不是对立事件，故C错误； “至少一张是移动卡”和“两张都是联通卡”是对立事件，故D正确. 故选：D. 【变式2-3】某小组有1名男生和2名女生，从中任选2名学生参加围棋比赛，事件“至多有1名男生”与事件“至多有1名女生”（    ） A．是对立事件 B．都是必然事件 C．不是互斥事件 D．是互斥事件但不是对立事件 【答案】C 【解析】事件“至多有1名男生”和“至多有1名女生”均为随机事件，故B错误. 事件“至多有1名男生”有两种情况：2名学生都是女生或2名学生一男一女. “至多有1名女生” 有一种情况： 2名学生一男一女. 故两个事件不是对立事件、互斥事件，故AD错误，C正确， 故选：C. 【考点题型三】古典概型的计算 技巧：1、（求古典概型的一般步骤） （1）明确实验的条件及要观察的结果，用适当的符号（字母/数字/数组等）表示实验的可能结果（可借助图表）； （2）根据实际问题情景判断样本点的等可能性； （3）计算样本点总个数及事件包含的样本点个数，求出事件A的概率． 2、（“有放回”与“无放回”的区别） “有放回”是指抽取物体时，每一次抽取之后，都将被抽取的物体放回原处，这样前后两次抽取时，被抽取的物体的总数是一样的． “无放回”是指抽取物体时，在每一次抽取后，被抽取的物体放到一边，并不放回到原处，这样，前后两次抽取时，后一次被抽取的物体的总数较前一次被抽取的物体总数少；这两种情况下基本事件总数是不同的． 【例3】一个盒子里装有标号为的张标签，随机选取张，这张的标号平均数是的概率为______. 【答案】/0.2 【解析】张的标签的标号平均数是，则这个标号之和为，有和两种情况， 所以这张的标号平均数是的概率为 故答案为： 【变式3-1】掷四次骰子点数恰有一次为1的概率是______. 【答案】 【解析】掷四次骰子点数出现的基本事件的总数共有种， 符合点数恰有一次为1的事件总数有种， 故掷四次骰子点数恰有一次为1的概率是. 故答案为：. 【变式3-2】已知冰箱里有4袋牛奶，其中1袋枣味､3袋原味，若小明从中任取两袋，则取到枣味牛奶的概率为__________. 【答案】/0.5 【解析】设4袋牛奶编号分别为，其中为枣味，为原味， 从中任取两袋，则样本空间，共6个样本点， 用事件表示“取到枣味”，则，共3个样本点， 根据古典概型的概率公式可得，. 故答案为： 【变式3-3】把四本不同的书放在书架上排成一排，则其中指定的两本书排在一起的概率是______. 【答案】/ 【解析】把四本书标记为、、、， 在书架上排成一排，样本空间为： ，有个基本事件， 不妨指定、两本书排在一起，设“指定、两本书排在一起”为事件，则 ，有个基本事件， ∴指定、两本书排在一起的概率为， ∴其中指定的两本书排在一起的概率是. 故答案为：. 【变式3-4】从一个12男11女的班级中任选一人进行问卷调查，抽到的是女同学的概率为______. 【答案】 【解析】因为班级的人数为， 所以抽到的是女同学的概率为， 故答案为： 【变式3-5】某工厂生产的每件产品所用原材料的质量（单位：千克）是一定值，每件产品的价格是以长度（单位：米）计算的，产品越长也就越细，要求工人的技术水平越高，产品价格也就越高，但市场对各种长度的产品都有需求.为了预测市场需求并合理安排生产任务，查阅以往售出的产品的长度，随机抽取了件产品，并将得到的数据按如下方式分为组：、、、，绘制成如下的频率分布直方图： 工厂今年一月份按频率分布直方图提供的数据生产了件产品. (1)求今年一月份生产的产品长度在的件数； (2)现从和两组产品中以分层抽样的方式抽取件产品，客户在这件产品中再随机抽取件，求这件产品在和两组中各有件的概率. 【解析】（1）由频率分布直方图可得，产品长度在的有（件）. （2）由题可知，按分层抽样抽取的件产品中， 在的产品有（件），设编号分别为、、 在的产品有（件），编号分别为、、、， 则在件产品中随机抽取件，所有的基本事件有：、、、、、、、、、、、、、 、、、、、、、，共有个基本事件， 其中事件“抽到的件产品在和两组中各有件”所包含的基本事件有： 、、、、、、、、、 、、，共个基本事件， 故所求概率为. 【变式3-5】公司检测一批产品的质量情况，共计件，将其质量指标值统计如下所示. (1)求的值以及这批产品质量指标的平均值以及方差；(同组中的数据用该组区间的中点值表示) (2)若按照分层抽样的方法在质量指标值为的产品中随机抽取件，再从这件中任取件，求至少有件产品的质量指标在的概率. 【解析】（1），解得； ； . （2）由分层抽样可知，质量指标在的产品中抽个，记为； 在的产品中抽个，记为，则任取个， 所有的情况为，共种， 其中满足条件的为，共种， 故所求概率. 【考点题型四】频率与概率 技巧：1、（1）频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率． （2）频率本身是随机的，在试验前不能确定． （3）概率是一个确定的常数，是客观存在的，在试验前已经确定，与试验次数无关． 2、在一次试验中，概率大的事件比概率小的事件出现的可能性更大． 3、用随机数模拟法求事件概率的方法 在使用整数随机数进行模拟试验时，首先要确定随机数的范围和用哪个代表试验结果． （1）试验的基本结果是等可能时，基本事件的总数即为产生随机数的范围，每个随机数代表一个基本事件． （2）研究等可能事件的概率时，用按比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数 4、(1)概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件A的本质属性，随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的近似值． (2)正确理解概率的意义，要清楚概率与频率的区别与联系．对具体的问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件． 【例4】下列四个命题中真命题的个数为（    ）个 ①有一批产品的次品率为，则从中任意取出件产品中必有件是次品； ②抛次硬币，结果次出现正面，则出现正面的概率是； ③随机事件发生的概率就是这个随机事件发生的频率； ④掷骰子次，得点数为的结果有次，则出现点的频率为. A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于①，一批产品的次品率即出现次品的概率，它表示的是产品中出现次品的可能性的大小，并非表示件产品中必有件次品，故①不是真命题； 对于②，抛次硬币，结果次出现正面，可知出现正面的频率是，而非概率，故②不是真命题； 对于③，随机事件发生的概率不随试验次数的多少而发生变化，是事件的一种固有属性，而随机事件发生的频率，会发生变化，随着试验次数的增加，频率会稳定于概率，但频率只是概率的近似值，并不表示概率就是频率，故③不是真命题； 对于④，掷骰子次，得点数为的结果有次，即次试验中，“出现点”这一事件发生了次，则出现点的频率为，故④为真命题. 综上所述，真命题个数为个. 故选：A. 【变式4-1】考虑掷硬币试验，设事件“正面朝上”，则下列论述正确的是（    ） A．掷2次硬币，事件“一个正面，一个反面”发生的概率为 B．掷8次硬币，事件A发生的次数一定是4 C．重复掷硬币，事件A发生的频率等于事件A发生的概率 D．当投掷次数足够多时，事件A发生的频率接近0.5 【答案】D 【解析】掷2次硬币，事件“一个正面，一个反面”发生的概率，A错误； 掷8次硬币，事件A发生的次数是随机的，B错误； 重复掷硬币，事件A发生的频率无限接近于事件A发生的概率，C错误； 当投掷次数足够多时，事件A发生的频率接近0.5，D正确. 故选：D 【变式4-2】已知n是一个三位正整数，若n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如135，256，345等） 现要从甲乙两名同学中，选出一个参加某市组织的数学竞赛，选取的规则如下：从由1，2，3，4，5，6组成的所有“三位递增数”中随机抽取1个数，且只抽取1次，若抽取的“三位递增数”是偶数，则甲参加数学竞赛；否则，乙参加数学竞赛. （1）由1，2，3，4，5，6可组成多少“三位递增数”？并一一列举出来. （2）这种选取规则对甲乙两名学生公平吗？并说明理由. 【解析】（1）由题意知，所有由1，2，3，4，5，6组成的“三位递增数共有20个. 分别是123，124，125，126，134，135，136，145，146，156，234，235，236，245，246，256，345，346，356，456. （2）不公平由（1）知，所有由1，2，3，4，5，6组成的“三位递增数”有20个，记“甲参加数学竞赛”为事件A，记“乙参加数学竞赛”为事件B.则事件A含有基本事件有：124，134，234，126，136，146，156，236，246，256，346，356，456共13个. 由古典概型计算公式，得 ， 又A与B对立，所以， 所以.故选取规则对甲、乙两名学生不公平. 【变式4-3】一天，甲拿出一个装有三张卡片的盒子（一张卡片的两面都是绿色，一张卡片的两面都是蓝色，还有一张卡片一面是绿色，另一面是蓝色），跟乙说玩一个游戏，规则是：甲将盒子里的卡片顺序打乱后，由乙随机抽出一张卡片放在桌子上，然后卡片朝下的面的颜色决定胜负，如果朝下的面的颜色与朝上的面的颜色一致，则甲赢，否则甲输.乙对游戏的公平性提出了质疑，但是甲说：“当然公平！你看，如果朝上的面的颜色为绿色，则这张卡片不可能两面都是蓝色，因此朝下的面要么是绿色，要么是蓝色，因此，你赢的概率为，我赢的概率也是，怎么不公平？”分析这个游戏是否公平. 【解析】把卡片六个面的颜色记为，，，，，， 其中，G表示绿色，B表示蓝色；和是两面颜色不一样的那张卡片的颜色. 游戏所有的结果可以用如图表示. 不难看出，此时，样本空间中共有6个样本点，朝上的面与朝下的面颜色不一致的情况只有2种，因此乙赢的概率为. 因此，这个游戏不公平. 【变式4-4】蜜蜂包括小蜜蜂和黑小蜜蜂等很多种类，在我国的云南及周边各省都有分布，春暖花开的时候是放蜂的大好时机，养蜂人甲在某地区放养了100箱小蜜蜂和1箱黑小蜜蜂，养蜂人乙在同一地区放养了1箱小蜜蜂和100箱黑小蜜蜂.某中学生物小组在上述地区捕获了1只黑小蜜蜂，假设每箱中蜜蜂的数量相同，那么，该生物小组的同学认为这只黑小蜜蜂是养蜂人　　　　放养的比较合理（    ） A．甲 B．乙 C．甲和乙 D．不能确定 【答案】B 【解析】由题意可知,从养蜂人甲放养的蜜蜂中捕获一只蜜蜂是黑小蜜蜂的概率为, 而从养蜂人乙放养的蜜蜂中捕获一只蜜蜂是黑小蜜蜂的概率为, 所以认为这只黑小蜜蜂是养蜂人乙放养的比较合理. 故选：B. 【变式4-5】一批瓶装纯净水，每瓶标注的净含量是，现从中随机抽取10瓶，测得各瓶的净含量为（单位：）： 542 548 549 551 549 550 551 555 550 557 若用频率分布估计总体分布，则该批纯净水每瓶净含量在之间的概率估计为（    ） A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.7 【答案】D 【解析】从数据可知，在随机抽取的10瓶水中，净含量在之间的瓶数为7，频率为， 由频率分布估计总体分布，可知该批纯净水中，净含量在之间的概率为. 故选：D 【变式4-6】有三张除字母外完全相同的纸牌，字母分别是K，K，Q．进行有放回的抽样，每次试验抽出一张纸牌，经过多次试验后结果汇总如下表： 试验总次数 10 20 50 100 200 300 400 500 1000 … 抽出K的频数 7 13 32 136 198 270 660 … 抽出K的频率 65% 67% … (1)将上述表格补充完整； (2)观察表格，计算摸到K的频率为多少； (3)估计摸到K的概率． 【解析】(1)完善后表格如下表所示： 试验总次数 10 20 50 100 200 300 400 500 1000 抽出K的频数 7 13 32 65 136 198 270 335 660 抽出K的频率 70% 65% 64% 65% 68% 66% 67.5% 67% 66% (2)由（1）可得计算摸到K的频率约为66%. (3)由频率与概率的关系可得摸到K的概率约为66%，事实上摸到K的概率为 【考点题型五】事件独立性的判断 技巧：两个事件是否相互独立的判断 （1）直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响． （2）公式法：若，则事件A，B为相互独立事件． 【例5】国家于2021年8月20日表决通过了关于修改人口与计划生育法的决定，修改后的人口计生法规定，国家提倡适龄婚育､优生优育，一对夫妻可以生育三个子女，该政策被称为三孩政策.某个家庭积极响应该政策，一共生育了三个小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，记事件：该家庭既有男孩又有女孩；事件：该家庭最多有一个男孩；事件：该家庭最多有一个女孩.则下列说法正确的是（    ） A．事件与事件互斥但不对立 B．事件与事件互斥且对立 C．事件与事件相互独立 D．事件与事件相互独立 【答案】D 【解析】有三个小孩的家庭的样本空间可记为： ={(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}， 事件={(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)，(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)} 事件={(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)，(女，女，女)}， 事件={(男，男，男)，(男，男，女)，(男，女，男)，(女，男，男)}， 对于A，,且，所以事件B与事件C互斥且对立，故A不正确； 对于B，{(男，女，女)，(女，男，女)，(女，女，男)}，所以事件与事件不互斥，故B不正确； 对于C，事件有4个样本点，事件有4个样本点，事件有0个样本点，，显然有，即事件与事件不相互独立，故C不正确； 对于D，事件有6个样本点，事件有4个样本点，事件有3个样本点，，显然有，即事件与事件相互独立，故D正确； 故选：D 【变式5-1】已知A，B是一次随机试验中的两个事件，若满足，则（    ） A．事件A，B互斥 B．事件A.B相互独立 C．事件A，B不互斥 D．事件A，B不相互独立 【答案】C 【解析】若事件A，B互斥，则，与事件的概率小于等于1矛盾，故事件A，B不互斥； 若事件A，B相互独立，则，而题设无法判断是否成立，故无法判断事件A，B是否相互独立. 故选：C. 【变式5-2】连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子，观察这两次骰子出现的点数．记事件A为“第一次骰子出现的点数为3”，事件B为“第二次骰子出现的点数为5”，事件C为“两次点数之和为8”，事件D为“两次点数之和为7”，则（    ） A．A与B相互独立 B．A与D相互独立 C．B与C为互斥事件 D．C与D为互斥事件 【答案】ABD 【解析】连续两次抛掷一枚质地均匀的骰子的结果用有序数对表示，其中第一次在前，第二次在后，不同结果如下：．共36个． 依题意，， 事件C包括，共5个，，事件D包括，共6个，． 对于选项A，事件只有结果，A与B相互独立，所以选项A正确； 对于选项B，事件只有结果，A与D相互独立，所以选项B正确； 对于选项C，当第一次的点数是3点，第二次是5点时，两个事件同时发生了，所以事件不是互斥事件，所以选项C不正确； 对于选项D，事件是不可能事件，即C与D是互斥事件，所以选项D正确． 故选：ABD 【变式5-3】抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件“第一枚出现奇数点”，事件“第二枚出现偶数点”，事件“两枚骰子出现点数和为8”，事件“两枚骰子出现点数和为9”，则（    ） A．与互斥 B．与互斥 C．与独立 D．与独立 【答案】BC 【解析】对于A，记表示事件“第一枚点数为，第二枚点数为”，则事件包含事件，事件也包含事件，所以，故与不互斥，故A错误； 对于B，事件包含的基本事件有共5件，事件包含的基本事件有共4件，故，即与互斥，故B正确； 对于C，总的基本事件有件，事件的基本事件有件，故， 由选项B知， 而事件包含的基本事件有共2件，故， 所以，故与独立，故C正确； 对于D，事件的基本事件有件，故，由选项B知， 而事件包含的基本事件有共3件，故， 所以，故与不独立，故D错误. 故选：BC. 【考点题型六】相互独立事件概率 技巧：1、（1）求相互独立事件同时发生的概率的步骤 ①首先确定各事件之间是相互独立的． ②求出每个事件的概率，再求积． （2）使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的． 2、求较复杂事件的概率的一般步骤如下 （1）列出题中涉及的各个事件，并且用适当的符号表示． （2）理清事件之间的关系（两个事件是互斥还是对立，或者是相互独立的），列出关系式． （3）根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算． （4）当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率． 【例6】某次五局三胜排球比赛中，甲队在每局获胜的概率都相等，均为，前两局乙队都获胜了，求最后乙队获胜的概率. 【解析】记“前两局乙队都获胜了，最后乙队获胜”为事件， 取其对立事件为“前两局乙队都获胜了，最后甲队获胜”，则后三局甲队全胜，故， “前两局乙队都获胜了，最后乙队获胜”的概率为. 【变式6-1】根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.3，1位车主只购买一种保险. (1)求该地的1位车主购买甲、乙两种保险中的1种的概率； (2)求该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率. 【解析】（1）记表示事件“该地的1位车主购买甲种保险”； 表示事件“该地的1位车主购买乙种保险”； 表示事件“该地的1位车主购买甲、乙两种保险中的1种”； 则，，， 所以. （2）设表示事件“该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买”. 则，故. 【变式6-2】甲、乙两个人独立地破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为和，求： (1)两个人都译出密码的概率. (2)两个人都译不出密码的概率. (3)恰有1个人译出密码的概率. 【解析】（1）记“甲独立地译出密码”为事件A，“乙独立地译出密码”为事件B， A，B为相互独立事件，且，. 2个人都译出密码的概率为. （2）两个人都译不出密码的概率为. （3）恰有1个人译出密码可以分为两类，即甲译出乙未译出和甲未译出乙译出，且两个事件为互斥事件， 所以恰有1个人译出密码的概率为 . 【变式6-3】某项密码破译工作需甲、乙、丙、丁四人完成，已知每人独立译出密码的概率为，若二人合为一组，则该组破译的概率为，若三人合为一组，则该组破译的概率为． (1)若四人独立翻译，求破译出密码的概率； (2)若将四人分成两组，两组独立破译密码，求破译出密码的概率． 【解析】(1)有任何一人破译成功密码，则密码就被译出：四人均没有成功破译密码的概率为，所以四人独立翻译，密码能被译出的概率为． (2)①若每组两人，两组独立翻译 由二人合为一组，该组破译的概率为，则密码能被译出的概率为：． ②若一组三人、一组一人 三人合为一组，该组破译的概率为， 则密码能被译出的概率为：． 【变式6-4】计算机考试分理论考试与实际操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为，，，在实际操作考试中“合格”的概率依次为，，，所有考试是否合格相互之间没有影响. （1）假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？ （2）这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率. 【解析】（1）设“甲获得合格证书”为事件A，“乙获得合格证书”为事件B，“丙获得合格证书”为事件C，则，，. 因为，所以丙获得合格证书的可能性最大. （2）设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件D，则. 【变式6-5】如图所示为两点间的电路，在时间内不同元件发生故障的事件是相互独立的，他们发生故障的概率如下表所示: 元件 概率 0.6 0.5 0.4 0.5 0.7 (1)求在时间内，与同时发生故障的概率； (2)求在时间内，，至少一个发生故障的概率； (3)求在时间内，电路不通的概率. 【解析】（1）设表示发生故障，则， 在时间内与同时发生故障的概率； （2）在时间内，与至少一个发生故障的概率； （3）设表示发生故障，则， 在时间内，电路不通的概率. 【变式6-6】某居民小区有两个相互独立的安全防范系统，简称系统A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p． (1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值； (2)求系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率． 【解析】(1)（1）设“至少有一个系统不发生故障”为事件C，那么，解得． (2)设“系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数”为事件D， 则． 【考点题型七】方程思想在相互独立事件概率中的应用 技巧：对于相互独立事件中的概率问题，可先从问题的数量关系入手，根据概率的定义、公式等构造方程（组），通过解方程（组）解决问题，提升数学抽象素养． 【例7】某居民小区有两个相互独立的安全防范系统和，系统和系统在任意时刻发生故障的概率分别为和.若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为，则 _______. 【答案】 【解析】由题意得，解得. 故答案为： 【变式7-1】甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率为，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率为，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率为． （1）分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率； （2）从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率． 【解析】（1）设A、B、C分别为甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件， 由题设条件有即 解得，，． 即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别是，，； （2）记D为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验至少有一个一等品的事件，则 ． 故从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率为． 【变式7-2】设A、B、C三个事件两两相互独立，事件A发生的概率是，A、B、C同时发生的概率是，A、B、C都不发生的概率是. (1)试分别求出事件B和事件C发生的概率； (2)试求A、B、C只有一个发生的概率. 【解析】(1)由题意得：， ，即， 解得：或 (2)设A、B、C只有一个发生的概率为P， 当时， 则； 当时，同理可得：， 综上：A、B、C只有一个发生的概率为 【考点题型八】概率的基本性质 技巧：（概率性质公式） （1）运用概率加法公式解题的步骤 ①确定诸事件彼此互斥； ②先求诸事件分别发生的概率，再求其和． （2）求复杂事件的概率通常有两种方法 一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的并； 二是先求对立事件的概率，进而再求所求事件的概率． 【例8】从1~30这30个整数中随机选择一个数，设事件M表示选到的数能被2整除，事件N表示选到的数能被3整除．求下列事件的概率： (1)这个数既能被2整除也能被3整除； (2)这个数能被2整除或能被3整除； (3)这个数既不能被2整除也不能被3整除． 【解析】（1）1~30这30个整数中既能被2整除也能被3整除的有5个，∴； （2）1~30这30个整数中能被2整除的有15个，能被3整除的有10个，所以，， ； （3）由于事件“这个数既不能被2整除也不能被3整除”与事件“这个数能被2整除或能被3整除”互为对立事件， 则． 【变式8-1】一个电路板上装有甲、乙两根熔丝，某种情况下甲熔断的概率为0.85，乙熔断概率为0.74，两根同时熔断的概率为0.63，问该情况下至少有一根熔断的概率是多少？ 【解析】设A=“甲熔丝熔断”，B=“乙熔丝熔断”，则有，， “甲、乙两根熔丝同时熔断”为事件，有，“甲、乙两根熔丝至少有一根熔断”为事件， 于是得， 所以甲、乙至少有一根熔断的概率是. 【变式8-2】袋中装有除颜色外完全相同的黑球和白球共7个，其中白球3个，现有甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，…，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止.每个球在每一次被取出的机会是等可能的. （1）求取球2次即终止的概率； （2）求甲取到白球的概率. 【解析】（1）设事件A为“取球2次即终止”.即甲第一次取到的是黑球而乙取到的是白球，借助树状图求出相应事件的样本点数： 因此，. （2）设事件B为“甲取到白球”，“第i次取到白球”为事件，因为甲先取，所以甲只可能在第1次，第3次和第5次取到白球.借助树状图求出相应事件的样本点数： 所以 . 【变式8-3】甲、乙两人进行摸球游戏，游戏规则是：在一个不透明的盒子中装有质地、大小完全相同且编号分别为1，2，3，4，5的5个球，甲先随机摸出一个球，记下编号，设编号为a，放回后乙再随机摸出一个球，也记下编号，设编号为b，记录摸球结果（a，b），如果，算甲赢，否则算乙赢． (1)求的概率； (2)这种游戏规则公平吗？请说明理由． 【解析】（1）摸球结果（a，b）全部可能的结果是（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），共25种， 其中的结果为（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），共4种，故由古典概型的概率计算公式可得； （2）这种游戏规则不公平，理由如下： 设甲赢为事件A，乙赢为事件B，则A，B为对立事件， 由题意事件A包含的基本事件（1，5），（2，4），（2，5），（3，3），（3，4），（3，5），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），共15个， 由古典概型的概率计算公式可得，∴， ∵，故这种游戏规则不公平． 【变式8-4】在“六一”联欢会上设有一个抽奖游戏.抽奖箱中共有12张纸条，分一等奖、二等奖、三等奖、无奖四种.从中任取一张，不中奖的概率为，中二等奖或三等奖的概率是. （Ⅰ）求任取一张，中一等奖的概率； （Ⅱ）若中一等奖或二等奖的概率是，求任取一张，中三等奖的概率. 【解析】设任取一张，抽得一等奖、二等奖、三等奖、不中奖的事件分别为，，，，它们是互斥事件. 由条件可得，， （Ⅰ）由对立事件的概率公式知 ， 所以任取一张，中一等奖的概率为； （Ⅱ）∵，而 ∴， 又，∴ 所以任取一张，中三等奖的概率为. 【变式8-5】下表为某班的英语及数学成绩，全班共有学生50人，成绩分为1~5分五个档次．设x、y分别表示英语成绩和数学成绩．表中所示英语成绩为4分的学生共14人，数学成绩为5分的共5人． y分人数 x/分 5 4 3 2 1 5 1 3 1 0 1 4 1 0 7 5 1 3 2 1 0 9 3 2 1 b 6 0 a 1 0 0 1 1 3 (1)x=4的概率是多少？x=4且y=3的概率是多少？x≥3的概率是多少？ (2)x=2的概率是多少？a＋b的值是多少？ 【解析】（1）由数表知，x=4的事件有14人，其概率为：， x=4且y=3的事件有7人，其概率为：且， x≥3的事件是x=3的事件，x=4的事件，x=5的事件的和，它们互斥，而， ， 因此，. （2）x=1的事件概率为，x=2的事件的对立事件是x=1的事件与x≥3的事件的和，它们互斥事件， 则有， 而，即有，解得， 所以x=2的概率是，a＋b的值是3. 【变式8-6】给出下列事件：①明天进行的某场足球比赛的比分是；②同时掷两颗骰子，向上一面的两个点数之和不小于2；③下周一某地的最高气温与最低气温相差10℃；④射击一次，命中靶心；⑤当为实数时，． 其中，必然事件有______，不可能事件有______． 【答案】 ② ⑤ 【解析】①为随机事件； ②同时掷两颗骰子，向上一面的两个点数最小均为1，此时和为2，其他情况均大于2，所以向上一面的两个点数之和不小于2，为必然事件； ③下周一某地的最高气温与最低气温相差10℃，为随机事件； ④射击一次，命中靶心，为随机事件； ⑤当为实数时，，所以⑤为不可能事件. 故答案为：②，⑤ 1 / 1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$