清单04 复数（考点清单，知识导图+8个考点清单+题型解读）-2024-2025学年高一数学下学期期末考点大串讲（苏教版2019必修第二册）

清单04 复数 （8个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】复数的基本概念 1、虚数单位 数叫倣虚数单位，它的平方等于，即． （1）是的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是； （2）可与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立． 2、复数的摡念 形如的数叫复数，记作：； 其中：叫复数的实部，叫复数的虚部，是虚数单位．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示． 复数定义中，容易忽视，但却是列方程求复数的重要依据． 3、复数的分类 对于复数 若，则为实数，若，则为虚数，若且，则为纯虚数． 分类如下： （） 4、复数集与其它数集之间的关系 （其中为自然数集，为整数集，为有理数集，为实数集，C为复数集．） 【清单02】复数相等的充要条件 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．即： 如果，那么 特别地：． （1）一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样． 根据复数与相等的定义，可知在两式中，只要有一个不成立，那么就有（，）． （2）一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小如果两个复数都是实数，就可以比较大小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小． 【清单03】复数的几何意义 1、复平面、实轴、虚轴： 如图所示，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴 实轴上的点都表示实数．除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 2、复数集与复平面中的向量的对应关系 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的，所以，我们还可以用向量来表示复数． 设复平面内的点表示复数，向量由点唯一确定；反过来，点也可以由向量唯一确定． 复数集和复平面内的向量所成的集合是一一对应的，即 复数平面向量 这是复数的另一种几何意义． 3、复数的模 设，则向量的长度叫做复数的模，记作． ①两个复数不全是实数时不能比较大小，但它们的模可以比较大小． ②复平面内，表示两个共轭复数的点关于x轴对称，并且他们的模相等． 【清单04】复数集与复平面内点的对应关系 按照复数的几何表示法，每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应． 复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即 复数复平面内的点 这是复数的一种几何意义． 【清单05】复数的乘除运算 1、乘法运算法则： 设，（），我们规定： ， 2、乘法运算律： （1）交换律：（2）结合律：（3）分配律： 【清单06】复数的加减运算 1、复数的加法、减法运算法则： 设，（），我们规定： 2、复数的加法运算律： 交换律： 结合律： 【清单07】复数的加减运算的几何意义 1、复数的表示形式： 代数形式：（） 几何表示： ①坐标表示：在复平面内以点表示复数（）； ②向量表示：以原点为起点，点为终点的向量表示复数． 2、复数加、减法的几何意义： 如果复数、分别对应于向量、，那么以、为两边作平行四边形，对角线表示的向量就是的和所对应的向量．对角线表示的向量就是两个复数的差所对应的向量． 设复数，，在复平面上所对应的向量为、，即、的坐标形式为，以、为邻边作平行四边形，则对角线对应的向量是， 由于，所以和的和就是与复数对应的向量． 【清单08】共轭复数： 当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．通常记复数的共轭复数为． 【考点题型一】：：复数模的几何意义 技巧:复数模的几何意义可以延伸为表示复数对应的点与原点之间的距离，从而可以用数形结合解决有关的问题，考查直观想象素养． 【例1】．已知i为虚数单位，复数，在复平面中将绕着原点逆时针旋转165°得到，则______. 【变式1-1】．平行四边形OABC中，顶点O、A、C在复平面内分别与复数0，，对应，则顶点B对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】．已知平行四边形的三个顶点分别对应的复数为，则第四个顶点对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【考点题型二】复数相等的充要条件 技巧：复数相等问题的解题技巧 （1）必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解． （2）根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现． （3）如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的． 【例2】．若共轭复数x，y满足，则x，y共有______组解． 【变式2-1】．（2023·高一课时练习）已知复数，且，则______． 【变式2-2】．若实数满足，则_____________． 【变式2-3】．如果，那么 __________. 【考点题型三】复数的加、减运算 技巧：解决复数加减运算的思路 两个复数相加（减），就是把两个复数的实部相加（减），虚部相加（减）．复数的减法是加法的逆运算．当多个复数相加（减）时，可将这些复数的所有实部相加（减），所有虚部相加（减）． 【例3】已知，则“为纯虚数”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-1】已知复数满足：，且的实部为2，则（    ） A．2 B． C． D．5 【变式3-2】已知复数，，其中为虚数单位，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】已知，其中为实数，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-4】已知是虚数单位，且，则实数为（   ） A． B．0 C．1 D．3 【考点题型四】：把复数表示成代数形式 技巧;（1）类似三角形式的复数求模和辐角时，注意三角形式的结构特征：模非负，角相同，余弦前，加号连． （2）由三角形式表示成代数形式，直接求出角的三角函数值，化简即可． 【例4】．复数10表示成代数形式为________． 【变式4-1】．设复数，那么的共轭复数的代数形式是______． 【变式4-2】．已知复数在复平面上所对应的向量是，将绕原点顺时针旋转120°得到向量，则向量所对应的复数为______(结果用复数的代数形式表示). 【变式4-3】．将复数化为代数形式为___________ 【变式4-4】．将复数化成代数形式，正确的是（    ） A．4 B．-4 C． D． 【考点题型五】复数模的综合问题 技巧：表示复平面内，对应的两点间的距离．利用此性质，可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题，从而进行数形结合，把复数问题转化为几何图形问题求解． 【例5】若，则实数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式5-1】若，且，则复数的虚部为（    ） A．或2 B．2 C． D．或 【变式5-2】已知复数的实部为正数，虚部为1，，则（    ）． A． B． C． D． 【变式5-3】若复数z满足(其中是虚数单位，)，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式5-4】已知复数，且，则实数的取值范围为 ． 【考点题型六】复数的三角形式乘法运算 技巧：两个复数相乘，积还是一个复数，它的模等于各复数的模的积，它的幅角等于各复数的幅角的和．简单的说，两个复数三角形式相乘的法则为：模数相乘，幅角相加． 【例6】．计算的值是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】．若，则（    ） A．1 B． C． D． 【变式6-2】．计算：______． 【变式6-3】．任意一个复数都可以表示成三角形式即.棣莫弗定理是由法国数学家棣莫弗（1667—1754年）创立的，指的是设两个复数（用三角函数形式表示），，则：，”已知复数，则______. 【变式6-4】．欧拉公式（为虚数单位，为自然底数）是瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥"，若将其中取作就得到了欧拉恒等式，它将两个超越数——自然底数，圆周率，两个单位一虚数单位，自然数单位1，以及被称为人类伟大发现之一0联系起来，数学家评价它是“上帝创造的公式”.由欧拉公式可知，若复数，则__________. 【考点题型七】：复数的三角形式除法运算 技巧：两个复数相除，商还是一个复数，它的模等于被除数的模除以除数的模，它的幅角等于被除数的辐角减去除数的辐角．简单的说切记两个复数三角形式除法运算法则：模数相除，幅角相减． 【例7】．已知复数，则（    ）． A． B． C． D． 【变式7-1】．计算________． 【变式7-2】．计算:4(cos 80°+isin 80°)÷[2(cos 320°+isin 320°)]. 【考点题型八】在复数范围内解方程 技巧：当一元二次方程中时，在复数范围内有两根且互为共轭复数． 【例8】．方程有一个根为，求的值为（    ） A．5 B．3 C．4 D．2 【变式8-1】．若虚数是方程的一个根，则实数，的值分别为（    ） A．1，2 B．，2 C．1， D．， 【变式8-2】．已知是关于的方程的一个根，求实数的值． 【变式8-3】．已知，且，复数为虚数单位）满足． (1)求； (2)若关于的方程有实根，求的所有可能值． 1 / 1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单04 复数 （8个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】复数的基本概念 1、虚数单位 数叫倣虚数单位，它的平方等于，即． （1）是的一个平方根，即方程的一个根，方程的另一个根是； （2）可与实数进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立． 2、复数的摡念 形如的数叫复数，记作：； 其中：叫复数的实部，叫复数的虚部，是虚数单位．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母表示． 复数定义中，容易忽视，但却是列方程求复数的重要依据． 3、复数的分类 对于复数 若，则为实数，若，则为虚数，若且，则为纯虚数． 分类如下： （） 4、复数集与其它数集之间的关系 （其中为自然数集，为整数集，为有理数集，为实数集，C为复数集．） 【清单02】复数相等的充要条件 两个复数相等的定义：如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．即： 如果，那么 特别地：． （1）一个复数一旦实部、虚部确定，那么这个复数就唯一确定；反之一样． 根据复数与相等的定义，可知在两式中，只要有一个不成立，那么就有（，）． （2）一般地，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小如果两个复数都是实数，就可以比较大小；也只有当两个复数全是实数时才能比较大小． 【清单03】复数的几何意义 1、复平面、实轴、虚轴： 如图所示，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴 实轴上的点都表示实数．除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 2、复数集与复平面中的向量的对应关系 在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的，所以，我们还可以用向量来表示复数． 设复平面内的点表示复数，向量由点唯一确定；反过来，点也可以由向量唯一确定． 复数集和复平面内的向量所成的集合是一一对应的，即 复数平面向量 这是复数的另一种几何意义． 3、复数的模 设，则向量的长度叫做复数的模，记作． ①两个复数不全是实数时不能比较大小，但它们的模可以比较大小． ②复平面内，表示两个共轭复数的点关于x轴对称，并且他们的模相等． 【清单04】复数集与复平面内点的对应关系 按照复数的几何表示法，每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应． 复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即 复数复平面内的点 这是复数的一种几何意义． 【清单05】复数的乘除运算 1、乘法运算法则： 设，（），我们规定： ， 2、乘法运算律： （1）交换律：（2）结合律：（3）分配律： 【清单06】复数的加减运算 1、复数的加法、减法运算法则： 设，（），我们规定： 2、复数的加法运算律： 交换律： 结合律： 【清单07】复数的加减运算的几何意义 1、复数的表示形式： 代数形式：（） 几何表示： ①坐标表示：在复平面内以点表示复数（）； ②向量表示：以原点为起点，点为终点的向量表示复数． 2、复数加、减法的几何意义： 如果复数、分别对应于向量、，那么以、为两边作平行四边形，对角线表示的向量就是的和所对应的向量．对角线表示的向量就是两个复数的差所对应的向量． 设复数，，在复平面上所对应的向量为、，即、的坐标形式为，以、为邻边作平行四边形，则对角线对应的向量是， 由于，所以和的和就是与复数对应的向量． 【清单08】共轭复数： 当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．通常记复数的共轭复数为． 【考点题型一】：：复数模的几何意义 技巧:复数模的几何意义可以延伸为表示复数对应的点与原点之间的距离，从而可以用数形结合解决有关的问题，考查直观想象素养． 【例1】．已知i为虚数单位，复数，在复平面中将绕着原点逆时针旋转165°得到，则______. 【答案】 【解析】在复平面内对应的点为，所以，且与轴正方向的夹角为， 将其逆时针旋转后落在第三象限，且与轴负半轴的夹角为，所以对应的点为， 所以． 故答案为：． 【变式1-1】．平行四边形OABC中，顶点O、A、C在复平面内分别与复数0，，对应，则顶点B对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题可得，设， 因为四边形OABC为平行四边形，所以，即， 所以，解得， 所以点B对应的复数为. 故选：A. 【变式1-2】．已知平行四边形的三个顶点分别对应的复数为，则第四个顶点对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题知，，，，设. 则，. 因为为平行四边形，所以. 由，解得， 所以点对应的复数为. 故选：D. 【考点题型二】复数相等的充要条件 技巧：复数相等问题的解题技巧 （1）必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解． （2）根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化思想的体现． （3）如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的． 【例2】．若共轭复数x，y满足，则x，y共有______组解． 【答案】4 【解析】设，则， ∵, ∴, ∴,∴, ∴或或 或 ∴共有4组解. 故答案为：4. 【变式2-1】．（2023·高一课时练习）已知复数，且，则______． 【答案】或 【解析】由题知，复数，且， 因为， 所以，即，解得或， 所以或. 故答案为：或 【变式2-2】．若实数满足，则_____________． 【答案】# 【解析】因为，可得，解得，所以. 故答案为： 【变式2-3】．如果，那么 __________. 【答案】 【解析】因为，，所以. 故答案为：. 【变式2-4】．若实数x，y满足(x＋y)＋(x－y)i＝2，则xy的值是____. 【答案】1 【解析】由(x＋y)＋(x－y)i＝2(x， y∈R)得 所以所以xy＝1. 故答案为：1 【考点题型三】复数的加、减运算 技巧：解决复数加减运算的思路 两个复数相加（减），就是把两个复数的实部相加（减），虚部相加（减）．复数的减法是加法的逆运算．当多个复数相加（减）时，可将这些复数的所有实部相加（减），所有虚部相加（减）． 【例3】已知，则“为纯虚数”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分不必要条件的定义及复数的相关概念可确定选项. 【详解】当为纯虚数时，设，则， ∴. 当时，可取，则为纯虚数不成立. 综上得，“为纯虚数”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式3-1】已知复数满足：，且的实部为2，则（    ） A．2 B． C． D．5 【答案】B 【分析】设，根据可求出的值，由此可得结果. 【详解】设，则，而， ∴，解得， ∴，故. 故选：B. 【变式3-2】已知复数，，其中为虚数单位，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的加法运算求解即可. 【详解】因为，，则. 故选：. 【变式3-3】已知，其中为实数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数相等求参数的值. 【详解】因为， 所以， 所以，解得， 故选:B. 【变式3-4】已知是虚数单位，且，则实数为（   ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】A 【分析】根据复数乘除法运算化简复数，进而得结果 【详解】由，得， 故选：A 【考点题型四】：把复数表示成代数形式 技巧;（1）类似三角形式的复数求模和辐角时，注意三角形式的结构特征：模非负，角相同，余弦前，加号连． （2）由三角形式表示成代数形式，直接求出角的三角函数值，化简即可． 【例4】．复数10表示成代数形式为________． 【答案】－5－5i 【解析】10＝10＝－5－5i． 故答案为： 【变式4-1】．设复数，那么的共轭复数的代数形式是______． 【答案】 【解析】，故. 故答案为：. 【变式4-2】．已知复数在复平面上所对应的向量是，将绕原点顺时针旋转120°得到向量，则向量所对应的复数为______(结果用复数的代数形式表示). 【答案】 【解析】向量与复数对应，把绕原点按顺时针方向旋转得到， 可得与对应的复数为 ， 故答案为：． 【变式4-3】．将复数化为代数形式为___________ 【答案】 【解析】由题得. 故答案为： 【变式4-4】．将复数化成代数形式，正确的是（    ） A．4 B．-4 C． D． 【答案】D 【解析】 故选：D. 【考点题型五】复数模的综合问题 技巧：表示复平面内，对应的两点间的距离．利用此性质，可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题，从而进行数形结合，把复数问题转化为几何图形问题求解． 【例5】若，则实数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用复数模的定义，列式计算得解. 【详解】依题意，，解得. 故选：B 【变式5-1】若，且，则复数的虚部为（    ） A．或2 B．2 C． D．或 【答案】A 【分析】利用复数模的性质建立方程求解参数，再求虚部即可. 【详解】因为，所以，解得， 则复数的虚部为或2，故A正确. 故选：A 【变式5-2】已知复数的实部为正数，虚部为1，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据模长公式计算得出实部. 【详解】复数的实部为正数，虚部为1，故， 又因为可得，故，． 故选：A． 【变式5-3】若复数z满足(其中是虚数单位，)，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由复数的运算结合模长公式求出，再由充分必要条件定义判断. 【详解】由得， ，解得或. 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 【变式5-4】已知复数，且，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由题意，解不等式即可得解. 【详解】因为， 所以， 所以， 即， 解得，. 故答案为：. 【考点题型六】复数的三角形式乘法运算 技巧：两个复数相乘，积还是一个复数，它的模等于各复数的模的积，它的幅角等于各复数的幅角的和．简单的说，两个复数三角形式相乘的法则为：模数相乘，幅角相加． 【例6】．计算的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为 所以， 所以， 故选：B. 【变式6-1】．若，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【解析】由， 所以，， 综上，. 故选：A 【变式6-2】．计算：______． 【答案】 【解析】 故答案为： 【变式6-3】．任意一个复数都可以表示成三角形式即.棣莫弗定理是由法国数学家棣莫弗（1667—1754年）创立的，指的是设两个复数（用三角函数形式表示），，则：，”已知复数，则______. 【答案】1 【解析】由， 所以， 而， 所以. 故答案为：1 【变式6-4】．欧拉公式（为虚数单位，为自然底数）是瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥"，若将其中取作就得到了欧拉恒等式，它将两个超越数——自然底数，圆周率，两个单位一虚数单位，自然数单位1，以及被称为人类伟大发现之一0联系起来，数学家评价它是“上帝创造的公式”.由欧拉公式可知，若复数，则__________. 【答案】 【解析】解法一：则 ； 解法二：∵ ∴ 故答案为：． 【考点题型七】：复数的三角形式除法运算 技巧：两个复数相除，商还是一个复数，它的模等于被除数的模除以除数的模，它的幅角等于被除数的辐角减去除数的辐角．简单的说切记两个复数三角形式除法运算法则：模数相除，幅角相减． 【例7】．已知复数，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由已知，复数， 故选：A． 【变式7-1】．计算________． 【答案】 【解析】 故答案为：. 【变式7-2】．计算:4(cos 80°+isin 80°)÷[2(cos 320°+isin 320°)]. 【解析】 【考点题型八】在复数范围内解方程 技巧：当一元二次方程中时，在复数范围内有两根且互为共轭复数． 【例8】．方程有一个根为，求的值为（    ） A．5 B．3 C．4 D．2 【答案】A 【解析】由可得，. 故选：A 【变式8-1】．若虚数是方程的一个根，则实数，的值分别为（    ） A．1，2 B．，2 C．1， D．， 【答案】B 【解析】关于的方程有一个根为（，为虚数单位）， 则也是此方程的一个根． 所以，， 解得，． 故选：B． 【变式8-2】．已知是关于的方程的一个根，求实数的值． 【解析】是方程的一个根，是该方程的另一根， ，解得：，. 【变式8-3】．已知，且，复数为虚数单位）满足． (1)求； (2)若关于的方程有实根，求的所有可能值． 【解析】（1） ，因为，所以， 又，所以，即； （2）因为，，所以， 设实根为，则， 所以，所以， 因为所以或， 若，则无实数解，舍去； 若，则，所以， 又由(1)知，所以， 所以或. 1 / 1 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$